MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iunfictbso Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem iunfictbso 8563
Description: Countability of a countable union of finite sets with a strict (not globally well) order fulfilling the choice role. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
iunfictbso |- ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) -> U. A ~<_ om )
Proof of Theorem iunfictbso
Dummy variables a b c d e f g h i j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omex 8166 . . . . 5 |- om e. _V
210dom 7720 . . . 4 |- (/) ~<_ om
3 breq1 4398 . . . 4 |- ( U. A = (/) -> ( U. A ~<_ om <-> (/) ~<_ om ) )
42, 3mpbiri 241 . . 3 |- ( U. A = (/) -> U. A ~<_ om )
54a1d 25 . 2 |- ( U. A = (/) -> ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) -> U. A ~<_ om ) )
6 n0 3732 . . 3 |- ( U. A =/= (/) <-> E. a a e. U. A )
7 ne0i 3728 . . . . . . . . . 10 |- ( a e. U. A -> U. A =/= (/) )
8 unieq 4198 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A = (/) -> U. A = U. (/) )
9 uni0 4217 . . . . . . . . . . . 12 |- U. (/) = (/)
108, 9syl6eq 2521 . . . . . . . . . . 11 |- ( A = (/) -> U. A = (/) )
1110necon3i 2675 . . . . . . . . . 10 |- ( U. A =/= (/) -> A =/= (/) )
127, 11syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( a e. U. A -> A =/= (/) )
1312adantl 473 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ a e. U. A ) -> A =/= (/) )
14 simpl1 1033 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ a e. U. A ) -> A ~<_ om )
15 reldom 7593 . . . . . . . . . 10 |- Rel ~<_
1615brrelexi 4880 . . . . . . . . 9 |- ( A ~<_ om -> A e. _V )
17 0sdomg 7719 . . . . . . . . 9 |- ( A e. _V -> ( (/) ~< A <-> A =/= (/) ) )
1814, 16, 173syl 18 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ a e. U. A ) -> ( (/) ~< A <-> A =/= (/) ) )
1913, 18mpbird 240 . . . . . . 7 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ a e. U. A ) -> (/) ~< A )
20 fodomr 7741 . . . . . . 7 |- ( ( (/) ~< A /\ A ~<_ om ) -> E. b b : om -onto-> A )
2119, 14, 20syl2anc 673 . . . . . 6 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ a e. U. A ) -> E. b b : om -onto-> A )
22 omelon 8169 . . . . . . . . . . . 12 |- om e. On
23 onenon 8401 . . . . . . . . . . . 12 |- ( om e. On -> om e. dom card )
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 |- om e. dom card
25 xpnum 8403 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( om e. dom card /\ om e. dom card ) -> ( om X. om ) e. dom card )
2624, 24, 25mp2an 686 . . . . . . . . . 10 |- ( om X. om ) e. dom card
27 simplrr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> b : om -onto-> A )
28 fof 5806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( b : om -onto-> A -> b : om --> A )
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> b : om --> A )
30 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> f e. om )
3129, 30ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( b ` f ) e. A )
3231adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) /\ g e. ( card ` ( b ` f ) ) ) -> ( b ` f ) e. A )
33 elssuni 4219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( b ` f ) e. A -> ( b ` f ) C_ U. A )
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) /\ g e. ( card ` ( b ` f ) ) ) -> ( b ` f ) C_ U. A )
3531, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( b ` f ) C_ U. A )
36 simpll3 1071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> B Or U. A )
37 soss 4778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( b ` f ) C_ U. A -> ( B Or U. A -> B Or ( b ` f ) ) )
3835, 36, 37sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> B Or ( b ` f ) )
39 simpll2 1070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> A C_ Fin )
4039, 31sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( b ` f ) e. Fin )
41 finnisoeu 8562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( B Or ( b ` f ) /\ ( b ` f ) e. Fin ) -> E! h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) )
4238, 40, 41syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> E! h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) )
43 iotacl 5576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( E! h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) -> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) e. { h | h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) } )
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) e. { h | h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) } )
45 iotaex 5570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) e. _V
46 isoeq1 6228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a = ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) -> ( a Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) <-> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) )
47 isoeq1 6228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( h = a -> ( h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) <-> a Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) )
4847cbvabv 2595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- { h | h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) } = { a | a Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) }
4945, 46, 48elab2 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) e. { h | h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) } <-> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) )
5044, 49sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) )
51 isof1o 6234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) -> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) : ( card ` ( b ` f ) ) -1-1-onto-> ( b ` f ) )
52 f1of 5828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) : ( card ` ( b ` f ) ) -1-1-onto-> ( b ` f ) -> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) : ( card ` ( b ` f ) ) --> ( b ` f ) )
5350, 51, 523syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) : ( card ` ( b ` f ) ) --> ( b ` f ) )
5453ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) /\ g e. ( card ` ( b ` f ) ) ) -> ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) e. ( b ` f ) )
5534, 54sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) /\ g e. ( card ` ( b ` f ) ) ) -> ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) e. U. A )
56 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) -> a e. U. A )
5756ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) /\ -. g e. ( card ` ( b ` f ) ) ) -> a e. U. A )
5855, 57ifclda 3904 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) e. U. A )
5958ralrimivva 2814 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) -> A. f e. om A. g e. om if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) e. U. A )
60 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) = ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) )
6160fmpt2 6879 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A. f e. om A. g e. om if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) e. U. A <-> ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) : ( om X. om ) --> U. A )
6259, 61sylib 201 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) -> ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) : ( om X. om ) --> U. A )
63 eluni 4193 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( c e. U. A <-> E. i ( c e. i /\ i e. A ) )
64 simplrr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( c e. i /\ i e. A ) ) -> b : om -onto-> A )
65 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( c e. i /\ i e. A ) ) -> i e. A )
66 foelrn 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( b : om -onto-> A /\ i e. A ) -> E. j e. om i = ( b ` j ) )
6764, 65, 66syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( c e. i /\ i e. A ) ) -> E. j e. om i = ( b ` j ) )
68 simprrl 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> j e. om )
69 ordom 6720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- Ord om
70 simpll2 1070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> A C_ Fin )
71 simplrr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> b : om -onto-> A )
7271, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> b : om --> A )
7372, 68ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> ( b ` j ) e. A )
7470, 73sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> ( b ` j ) e. Fin )
75 ficardom 8413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( b ` j ) e. Fin -> ( card ` ( b ` j ) ) e. om )
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> ( card ` ( b ` j ) ) e. om )
77 ordelss 5446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( Ord om /\ ( card ` ( b ` j ) ) e. om ) -> ( card ` ( b ` j ) ) C_ om )
7869, 76, 77sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> ( card ` ( b ` j ) ) C_ om )
79 elssuni 4219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( b ` j ) e. A -> ( b ` j ) C_ U. A )
8073, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> ( b ` j ) C_ U. A )
81 simpll3 1071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> B Or U. A )
82 soss 4778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( b ` j ) C_ U. A -> ( B Or U. A -> B Or ( b ` j ) ) )
8380, 81, 82sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> B Or ( b ` j ) )
84 finnisoeu 8562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( B Or ( b ` j ) /\ ( b ` j ) e. Fin ) -> E! h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) )
8583, 74, 84syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> E! h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) )
86 iotacl 5576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( E! h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) -> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) e. { h | h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) } )
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) e. { h | h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) } )
88 iotaex 5570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) e. _V
89 isoeq1 6228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( a = ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) -> ( a Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) <-> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) )
90 isoeq1 6228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( h = a -> ( h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) <-> a Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) )
9190cbvabv 2595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- { h | h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) } = { a | a Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) }
9288, 89, 91elab2 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) e. { h | h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) } <-> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) )
9387, 92sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) )
94 isof1o 6234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) -> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) : ( card ` ( b ` j ) ) -1-1-onto-> ( b ` j ) )
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) : ( card ` ( b ` j ) ) -1-1-onto-> ( b ` j ) )
96 f1ocnv 5840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) : ( card ` ( b ` j ) ) -1-1-onto-> ( b ` j ) -> `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) : ( b ` j ) -1-1-onto-> ( card ` ( b ` j ) ) )
97 f1of 5828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) : ( b ` j ) -1-1-onto-> ( card ` ( b ` j ) ) -> `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) : ( b ` j ) --> ( card ` ( b ` j ) ) )
9895, 96, 973syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) : ( b ` j ) --> ( card ` ( b ` j ) ) )
99 simprll 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> c e. i )
100 simprrr 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> i = ( b ` j ) )
10199, 100eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> c e. ( b ` j ) )
10298, 101ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) e. ( card ` ( b ` j ) ) )
10378, 102sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) e. om )
104 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( f = j -> ( b ` f ) = ( b ` j ) )
105104fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( f = j -> ( card ` ( b ` f ) ) = ( card ` ( b ` j ) ) )
106105eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( f = j -> ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) <-> g e. ( card ` ( b ` j ) ) ) )
107 isoeq4 6231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( card ` ( b ` f ) ) = ( card ` ( b ` j ) ) -> ( h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) <-> h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` f ) ) ) )
108105, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( f = j -> ( h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) <-> h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` f ) ) ) )
109 isoeq5 6232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( b ` f ) = ( b ` j ) -> ( h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` f ) ) <-> h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) )
110104, 109syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( f = j -> ( h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` f ) ) <-> h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) )
111108, 110bitrd 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( f = j -> ( h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) <-> h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) )
112111iotabidv 5574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( f = j -> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) = ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) )
113112fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( f = j -> ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) = ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` g ) )
114106, 113ifbieq1d 3895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( f = j -> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) = if ( g e. ( card ` ( b ` j ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` g ) , a ) )
115 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( g = ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) -> ( g e. ( card ` ( b ` j ) ) <-> ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) e. ( card ` ( b ` j ) ) ) )
116 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( g = ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) -> ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` g ) = ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) )
117115, 116ifbieq1d 3895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( g = ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) -> if ( g e. ( card ` ( b ` j ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` g ) , a ) = if ( ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) e. ( card ` ( b ` j ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) , a ) )
118 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) e. _V
119 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- a e. _V
120118, 119ifex 3940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- if ( ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) e. ( card ` ( b ` j ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) , a ) e. _V
121114, 117, 60, 120ovmpt2 6451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( j e. om /\ ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) e. om ) -> ( j ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) = if ( ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) e. ( card ` ( b ` j ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) , a ) )
12268, 103, 121syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> ( j ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) = if ( ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) e. ( card ` ( b ` j ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) , a ) )
123102iftrued 3880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> if ( ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) e. ( card ` ( b ` j ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) , a ) = ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) )
124 f1ocnvfv2 6194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) : ( card ` ( b ` j ) ) -1-1-onto-> ( b ` j ) /\ c e. ( b ` j ) ) -> ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) = c )
12595, 101, 124syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) = c )
126122, 123, 1253eqtrrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> c = ( j ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) )
127 rspceov 6347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( j e. om /\ ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) e. om /\ c = ( j ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) ) -> E. d e. om E. e e. om c = ( d ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) e ) )
12868, 103, 126, 127syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> E. d e. om E. e e. om c = ( d ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) e ) )
129128expr 626 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( c e. i /\ i e. A ) ) -> ( ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) -> E. d e. om E. e e. om c = ( d ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) e ) ) )
130129expd 443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( c e. i /\ i e. A ) ) -> ( j e. om -> ( i = ( b ` j ) -> E. d e. om E. e e. om c = ( d ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) e ) ) ) )
131130rexlimdv 2870 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( c e. i /\ i e. A ) ) -> ( E. j e. om i = ( b ` j ) -> E. d e. om E. e e. om c = ( d ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) e ) ) )
13267, 131mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( c e. i /\ i e. A ) ) -> E. d e. om E. e e. om c = ( d ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) e ) )
133132ex 441 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) -> ( ( c e. i /\ i e. A ) -> E. d e. om E. e e. om c = ( d ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) e ) ) )
134133exlimdv 1787 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) -> ( E. i ( c e. i /\ i e. A ) -> E. d e. om E. e e. om c = ( d ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) e ) ) )
13563, 134syl5bi 225 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) -> ( c e. U. A -> E. d e. om E. e e. om c = ( d ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) e ) ) )
136135ralrimiv 2808 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) -> A. c e. U. A E. d e. om E. e e. om c = ( d ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) e ) )
137 foov 6462 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) : ( om X. om ) -onto-> U. A <-> ( ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) : ( om X. om ) --> U. A /\ A. c e. U. A E. d e. om E. e e. om c = ( d ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) e ) ) )
13862, 136, 137sylanbrc 677 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) -> ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) : ( om X. om ) -onto-> U. A )
139 fodomnum 8506 . . . . . . . . . 10 |- ( ( om X. om ) e. dom card -> ( ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) : ( om X. om ) -onto-> U. A -> U. A ~<_ ( om X. om ) ) )
14026, 138, 139mpsyl 64 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) -> U. A ~<_ ( om X. om ) )
141 xpomen 8464 . . . . . . . . 9 |- ( om X. om ) ~~ om
142 domentr 7646 . . . . . . . . 9 |- ( ( U. A ~<_ ( om X. om ) /\ ( om X. om ) ~~ om ) -> U. A ~<_ om )
143140, 141, 142sylancl 675 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) -> U. A ~<_ om )
144143expr 626 . . . . . . 7 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ a e. U. A ) -> ( b : om -onto-> A -> U. A ~<_ om ) )
145144exlimdv 1787 . . . . . 6 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ a e. U. A ) -> ( E. b b : om -onto-> A -> U. A ~<_ om ) )
14621, 145mpd 15 . . . . 5 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ a e. U. A ) -> U. A ~<_ om )
147146expcom 442 . . . 4 |- ( a e. U. A -> ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) -> U. A ~<_ om ) )
148147exlimiv 1784 . . 3 |- ( E. a a e. U. A -> ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) -> U. A ~<_ om ) )
1496, 148sylbi 200 . 2 |- ( U. A =/= (/) -> ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) -> U. A ~<_ om ) )
1505, 149pm2.61ine 2726 1 |- ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) -> U. A ~<_ om )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   E.wex 1671   e. wcel 1904   E!weu 2319   {cab 2457   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   C_ wss 3390   (/)c0 3722   ifcif 3872   U.cuni 4190   class class class wbr 4395   _E cep 4748   Or wor 4759   X. cxp 4837   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   Ord word 5429   Oncon0 5430   iotacio 5551   -->wf 5585   -onto->wfo 5587   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589   Isom wiso 5590  (class class class)co 6308   |-> cmpt2 6310   omcom 6711   ~~ cen 7584   ~<_ cdom 7585   ~< csdm 7586   Fincfn 7587   cardccrd 8387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394
This theorem is referenced by:  aannenlem3  23365
  Copyright terms: Public domain W3C validator