Theorem iunfictbso 8390

Description: Countability of a countable union of finite sets with a strict (not globally well) order fulfilling the choice role. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iunfictbso	|- ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) -> U. A ~<_ om )

Proof of Theorem iunfictbso

Dummy variables a b c d e f g h i j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 7955	. . . . 5 |- om e. _V
2	1	0dom 7546	. . . 4 |- (/) ~<_ om
3		breq1 4398	. . . 4 |- ( U. A = (/) -> ( U. A ~<_ om <-> (/) ~<_ om ) )
4	2, 3	mpbiri 233	. . 3 |- ( U. A = (/) -> U. A ~<_ om )
5	4	a1d 25	. 2 |- ( U. A = (/) -> ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) -> U. A ~<_ om ) )
6		n0 3749	. . 3 |- ( U. A =/= (/) <-> E. a a e. U. A )
7		ne0i 3746	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. U. A -> U. A =/= (/) )
8		unieq 4202	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A = (/) -> U. A = U. (/) )
9		uni0 4221	. . . . . . . . . . . 12 |- U. (/) = (/)
10	8, 9	syl6eq 2509	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = (/) -> U. A = (/) )
11	10	necon3i 2689	. . . . . . . . . 10 |- ( U. A =/= (/) -> A =/= (/) )
12	7, 11	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( a e. U. A -> A =/= (/) )
13	12	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ a e. U. A ) -> A =/= (/) )
14		simpl1 991	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ a e. U. A ) -> A ~<_ om )
15		reldom 7421	. . . . . . . . . 10 |- Rel ~<_
16	15	brrelexi 4982	. . . . . . . . 9 |- ( A ~<_ om -> A e. _V )
17		0sdomg 7545	. . . . . . . . 9 |- ( A e. _V -> ( (/) ~< A <-> A =/= (/) ) )
18	14, 16, 17	3syl 20	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ a e. U. A ) -> ( (/) ~< A <-> A =/= (/) ) )
19	13, 18	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ a e. U. A ) -> (/) ~< A )
20		fodomr 7567	. . . . . . 7 |- ( ( (/) ~< A /\ A ~<_ om ) -> E. b b : om -onto-> A )
21	19, 14, 20	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ a e. U. A ) -> E. b b : om -onto-> A )
22		omelon 7958	. . . . . . . . . . . 12 |- om e. On
23		onenon 8225	. . . . . . . . . . . 12 |- ( om e. On -> om e. dom card )
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- om e. dom card
25		xpnum 8227	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( om e. dom card /\ om e. dom card ) -> ( om X. om ) e. dom card )
26	24, 24, 25	mp2an 672	. . . . . . . . . 10 |- ( om X. om ) e. dom card
27		simplrr 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> b : om -onto-> A )
28		fof 5723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( b : om -onto-> A -> b : om --> A )
29	27, 28	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> b : om --> A )
30		simprl 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> f e. om )
31	29, 30	ffvelrnd 5948	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( b ` f ) e. A )
32	31	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) /\ g e. ( card ` ( b ` f ) ) ) -> ( b ` f ) e. A )
33		elssuni 4224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( b ` f ) e. A -> ( b ` f ) C_ U. A )
34	32, 33	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) /\ g e. ( card ` ( b ` f ) ) ) -> ( b ` f ) C_ U. A )
35	31, 33	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( b ` f ) C_ U. A )
36		simpll3 1029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> B Or U. A )
37		soss 4762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( b ` f ) C_ U. A -> ( B Or U. A -> B Or ( b ` f ) ) )
38	35, 36, 37	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> B Or ( b ` f ) )
39		simpll2 1028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> A C_ Fin )
40	39, 31	sseldd 3460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( b ` f ) e. Fin )
41		finnisoeu 8389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( B Or ( b ` f ) /\ ( b ` f ) e. Fin ) -> E! h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) )
42	38, 40, 41	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> E! h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) )
43		iotacl 5507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( E! h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) -> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) e. { h | h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) } )
44	42, 43	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) e. { h | h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) } )
45		iotaex 5501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) e. _V
46		isoeq1 6114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a = ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) -> ( a Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) <-> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) )
47		isoeq1 6114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( h = a -> ( h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) <-> a Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) )
48	47	cbvabv 2595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- { h | h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) } = { a | a Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) }
49	45, 46, 48	elab2 3210	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) e. { h | h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) } <-> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) )
50	44, 49	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) )
51		isof1o 6120	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) -> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) : ( card ` ( b ` f ) ) -1-1-onto-> ( b ` f ) )
52		f1of 5744	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) : ( card ` ( b ` f ) ) -1-1-onto-> ( b ` f ) -> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) : ( card ` ( b ` f ) ) --> ( b ` f ) )
53	50, 51, 52	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) : ( card ` ( b ` f ) ) --> ( b ` f ) )
54	53	ffvelrnda 5947	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) /\ g e. ( card ` ( b ` f ) ) ) -> ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) e. ( b ` f ) )
55	34, 54	sseldd 3460	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) /\ g e. ( card ` ( b ` f ) ) ) -> ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) e. U. A )
56		simprl 755	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) -> a e. U. A )
57	56	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) /\ -. g e. ( card ` ( b ` f ) ) ) -> a e. U. A )
58	55, 57	ifclda 3924	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) e. U. A )
59	58	ralrimivva 2908	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) -> A. f e. om A. g e. om if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) e. U. A )
60		eqid 2452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) = ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) )
61	60	fmpt2 6746	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. f e. om A. g e. om if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) e. U. A <-> ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) : ( om X. om ) --> U. A )
62	59, 61	sylib 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) -> ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) : ( om X. om ) --> U. A )
63		eluni 4197	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c e. U. A <-> E. i ( c e. i /\ i e. A ) )
64		simplrr 760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( c e. i /\ i e. A ) ) -> b : om -onto-> A )
65		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( c e. i /\ i e. A ) ) -> i e. A )
66		foelrn 5966	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( b : om -onto-> A /\ i e. A ) -> E. j e. om i = ( b ` j ) )
67	64, 65, 66	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( c e. i /\ i e. A ) ) -> E. j e. om i = ( b ` j ) )
68		simprrl 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> j e. om )
69		ordom 6590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- Ord om
70		simpll2 1028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> A C_ Fin )
71		simplrr 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> b : om -onto-> A )
72	71, 28	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> b : om --> A )
73	72, 68	ffvelrnd 5948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> ( b ` j ) e. A )
74	70, 73	sseldd 3460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> ( b ` j ) e. Fin )
75		ficardom 8237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( b ` j ) e. Fin -> ( card ` ( b ` j ) ) e. om )
76	74, 75	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> ( card ` ( b ` j ) ) e. om )
77		ordelss 4838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( Ord om /\ ( card ` ( b ` j ) ) e. om ) -> ( card ` ( b ` j ) ) C_ om )
78	69, 76, 77	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> ( card ` ( b ` j ) ) C_ om )
79		elssuni 4224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( b ` j ) e. A -> ( b ` j ) C_ U. A )
80	73, 79	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> ( b ` j ) C_ U. A )
81		simpll3 1029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> B Or U. A )
82		soss 4762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( b ` j ) C_ U. A -> ( B Or U. A -> B Or ( b ` j ) ) )
83	80, 81, 82	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> B Or ( b ` j ) )
84		finnisoeu 8389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( B Or ( b ` j ) /\ ( b ` j ) e. Fin ) -> E! h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) )
85	83, 74, 84	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> E! h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) )
86		iotacl 5507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( E! h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) -> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) e. { h | h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) } )
87	85, 86	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) e. { h | h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) } )
88		iotaex 5501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) e. _V
89		isoeq1 6114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( a = ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) -> ( a Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) <-> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) )
90		isoeq1 6114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( h = a -> ( h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) <-> a Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) )
91	90	cbvabv 2595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- { h | h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) } = { a | a Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) }
92	88, 89, 91	elab2 3210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) e. { h | h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) } <-> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) )
93	87, 92	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) )
94		isof1o 6120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) -> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) : ( card ` ( b ` j ) ) -1-1-onto-> ( b ` j ) )
95	93, 94	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) : ( card ` ( b ` j ) ) -1-1-onto-> ( b ` j ) )
96		f1ocnv 5756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) : ( card ` ( b ` j ) ) -1-1-onto-> ( b ` j ) -> `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) : ( b ` j ) -1-1-onto-> ( card ` ( b ` j ) ) )
97		f1of 5744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) : ( b ` j ) -1-1-onto-> ( card ` ( b ` j ) ) -> `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) : ( b ` j ) --> ( card ` ( b ` j ) ) )
98	95, 96, 97	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) : ( b ` j ) --> ( card ` ( b ` j ) ) )
99		simprll 761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> c e. i )
100		simprrr 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> i = ( b ` j ) )
101	99, 100	eleqtrd 2542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> c e. ( b ` j ) )
102	98, 101	ffvelrnd 5948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) e. ( card ` ( b ` j ) ) )
103	78, 102	sseldd 3460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) e. om )
104		fveq2 5794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( f = j -> ( b ` f ) = ( b ` j ) )
105	104	fveq2d 5798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( f = j -> ( card ` ( b ` f ) ) = ( card ` ( b ` j ) ) )
106	105	eleq2d 2522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( f = j -> ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) <-> g e. ( card ` ( b ` j ) ) ) )
107		isoeq4 6117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( card ` ( b ` f ) ) = ( card ` ( b ` j ) ) -> ( h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) <-> h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` f ) ) ) )
108	105, 107	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( f = j -> ( h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) <-> h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` f ) ) ) )
109		isoeq5 6118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( b ` f ) = ( b ` j ) -> ( h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` f ) ) <-> h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) )
110	104, 109	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( f = j -> ( h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` f ) ) <-> h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) )
111	108, 110	bitrd 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( f = j -> ( h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) <-> h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) )
112	111	iotabidv 5505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( f = j -> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) = ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) )
113	112	fveq1d 5796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( f = j -> ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) = ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` g ) )
114	106, 113	ifbieq1d 3915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( f = j -> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) = if ( g e. ( card ` ( b ` j ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` g ) , a ) )
115		eleq1 2524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( g = ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) -> ( g e. ( card ` ( b ` j ) ) <-> ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) e. ( card ` ( b ` j ) ) ) )
116		fveq2 5794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( g = ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) -> ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` g ) = ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) )
117	115, 116	ifbieq1d 3915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( g = ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) -> if ( g e. ( card ` ( b ` j ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` g ) , a ) = if ( ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) e. ( card ` ( b ` j ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) , a ) )
118		fvex 5804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) e. _V
119		vex 3075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- a e. _V
120	118, 119	ifex 3961	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- if ( ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) e. ( card ` ( b ` j ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) , a ) e. _V
121	114, 117, 60, 120	ovmpt2 6331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( j e. om /\ ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) e. om ) -> ( j ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) = if ( ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) e. ( card ` ( b ` j ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) , a ) )
122	68, 103, 121	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> ( j ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) = if ( ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) e. ( card ` ( b ` j ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) , a ) )
123		iftrue 3900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) e. ( card ` ( b ` j ) ) -> if ( ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) e. ( card ` ( b ` j ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) , a ) = ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) )
124	102, 123	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> if ( ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) e. ( card ` ( b ` j ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) , a ) = ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) )
125		f1ocnvfv2 6088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) : ( card ` ( b ` j ) ) -1-1-onto-> ( b ` j ) /\ c e. ( b ` j ) ) -> ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) = c )
126	95, 101, 125	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) = c )
127	122, 124, 126	3eqtrrd 2498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> c = ( j ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) )
128		rspceov 6232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( j e. om /\ ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) e. om /\ c = ( j ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) ) -> E. d e. om E. e e. om c = ( d ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) e ) )
129	68, 103, 127, 128	syl3anc 1219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> E. d e. om E. e e. om c = ( d ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) e ) )
130	129	expr 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( c e. i /\ i e. A ) ) -> ( ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) -> E. d e. om E. e e. om c = ( d ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) e ) ) )
131	130	expd 436	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( c e. i /\ i e. A ) ) -> ( j e. om -> ( i = ( b ` j ) -> E. d e. om E. e e. om c = ( d ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) e ) ) ) )
132	131	rexlimdv 2940	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( c e. i /\ i e. A ) ) -> ( E. j e. om i = ( b ` j ) -> E. d e. om E. e e. om c = ( d ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) e ) ) )
133	67, 132	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( c e. i /\ i e. A ) ) -> E. d e. om E. e e. om c = ( d ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) e ) )
134	133	ex 434	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) -> ( ( c e. i /\ i e. A ) -> E. d e. om E. e e. om c = ( d ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) e ) ) )
135	134	exlimdv 1691	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) -> ( E. i ( c e. i /\ i e. A ) -> E. d e. om E. e e. om c = ( d ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) e ) ) )
136	63, 135	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) -> ( c e. U. A -> E. d e. om E. e e. om c = ( d ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) e ) ) )
137	136	ralrimiv 2825	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) -> A. c e. U. A E. d e. om E. e e. om c = ( d ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) e ) )
138		foov 6342	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) : ( om X. om ) -onto-> U. A <-> ( ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) : ( om X. om ) --> U. A /\ A. c e. U. A E. d e. om E. e e. om c = ( d ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) e ) ) )
139	62, 137, 138	sylanbrc 664	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) -> ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) : ( om X. om ) -onto-> U. A )
140		fodomnum 8333	. . . . . . . . . 10 |- ( ( om X. om ) e. dom card -> ( ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) : ( om X. om ) -onto-> U. A -> U. A ~<_ ( om X. om ) ) )
141	26, 139, 140	mpsyl 63	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) -> U. A ~<_ ( om X. om ) )
142		xpomen 8288	. . . . . . . . 9 |- ( om X. om ) ~~ om
143		domentr 7473	. . . . . . . . 9 |- ( ( U. A ~<_ ( om X. om ) /\ ( om X. om ) ~~ om ) -> U. A ~<_ om )
144	141, 142, 143	sylancl 662	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) -> U. A ~<_ om )
145	144	expr 615	. . . . . . 7 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ a e. U. A ) -> ( b : om -onto-> A -> U. A ~<_ om ) )
146	145	exlimdv 1691	. . . . . 6 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ a e. U. A ) -> ( E. b b : om -onto-> A -> U. A ~<_ om ) )
147	21, 146	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ a e. U. A ) -> U. A ~<_ om )
148	147	expcom 435	. . . 4 |- ( a e. U. A -> ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) -> U. A ~<_ om ) )
149	148	exlimiv 1689	. . 3 |- ( E. a a e. U. A -> ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) -> U. A ~<_ om ) )
150	6, 149	sylbi 195	. 2 |- ( U. A =/= (/) -> ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) -> U. A ~<_ om ) )
151	5, 150	pm2.61ine 2762	1 |- ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) -> U. A ~<_ om )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   E.wex 1587   e. wcel 1758   E!weu 2261   {cab 2437   =/= wne 2645   A.wral 2796   E.wrex 2797   _Vcvv 3072   C_ wss 3431   (/)c0 3740   ifcif 3894   U.cuni 4194   class class class wbr 4395   _E cep 4733   Or wor 4743   Ord word 4821   Oncon0 4822   X. cxp 4941   `'ccnv 4942   dom cdm 4943   iotacio 5482   -->wf 5517   -onto->wfo 5519   -1-1-onto->wf1o 5520   ` cfv 5521   Isom wiso 5522  (class class class)co 6195   |-> cmpt2 6197   omcom 6581   ~~ cen 7412   ~<_ cdom 7413   ~< csdm 7414   Fincfn 7415   cardccrd 8211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-inf2 7953

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-isom 5530  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-oadd 7029  df-omul 7030  df-er 7206  df-map 7321  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-oi 7830  df-card 8215  df-acn 8218

This theorem is referenced by:  aannenlem3  21924