Theorem iunfictbso 7951

Description: Countability of a countable union of finite sets with a strict (not globally well) order fulfilling the choice role. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iunfictbso	|- ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) -> U. A ~<_ om )

Proof of Theorem iunfictbso

Dummy variables a b c d e f g h i j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 7554	. . . . 5 |- om e. _V
2	1	0dom 7196	. . . 4 |- (/) ~<_ om
3		breq1 4175	. . . 4 |- ( U. A = (/) -> ( U. A ~<_ om <-> (/) ~<_ om ) )
4	2, 3	mpbiri 225	. . 3 |- ( U. A = (/) -> U. A ~<_ om )
5	4	a1d 23	. 2 |- ( U. A = (/) -> ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) -> U. A ~<_ om ) )
6		n0 3597	. . 3 |- ( U. A =/= (/) <-> E. a a e. U. A )
7		ne0i 3594	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. U. A -> U. A =/= (/) )
8		unieq 3984	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A = (/) -> U. A = U. (/) )
9		uni0 4002	. . . . . . . . . . . 12 |- U. (/) = (/)
10	8, 9	syl6eq 2452	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = (/) -> U. A = (/) )
11	10	necon3i 2606	. . . . . . . . . 10 |- ( U. A =/= (/) -> A =/= (/) )
12	7, 11	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( a e. U. A -> A =/= (/) )
13	12	adantl 453	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ a e. U. A ) -> A =/= (/) )
14		simpl1 960	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ a e. U. A ) -> A ~<_ om )
15		reldom 7074	. . . . . . . . . 10 |- Rel ~<_
16	15	brrelexi 4877	. . . . . . . . 9 |- ( A ~<_ om -> A e. _V )
17		0sdomg 7195	. . . . . . . . 9 |- ( A e. _V -> ( (/) ~< A <-> A =/= (/) ) )
18	14, 16, 17	3syl 19	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ a e. U. A ) -> ( (/) ~< A <-> A =/= (/) ) )
19	13, 18	mpbird 224	. . . . . . 7 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ a e. U. A ) -> (/) ~< A )
20		fodomr 7217	. . . . . . 7 |- ( ( (/) ~< A /\ A ~<_ om ) -> E. b b : om -onto-> A )
21	19, 14, 20	syl2anc 643	. . . . . 6 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ a e. U. A ) -> E. b b : om -onto-> A )
22		omelon 7557	. . . . . . . . . . . 12 |- om e. On
23		onenon 7792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( om e. On -> om e. dom card )
24	22, 23	ax-mp 8	. . . . . . . . . . 11 |- om e. dom card
25		xpnum 7794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( om e. dom card /\ om e. dom card ) -> ( om X. om ) e. dom card )
26	24, 24, 25	mp2an 654	. . . . . . . . . 10 |- ( om X. om ) e. dom card
27		simplrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> b : om -onto-> A )
28		fof 5612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( b : om -onto-> A -> b : om --> A )
29	27, 28	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> b : om --> A )
30		simprl 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> f e. om )
31	29, 30	ffvelrnd 5830	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( b ` f ) e. A )
32	31	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) /\ g e. ( card ` ( b ` f ) ) ) -> ( b ` f ) e. A )
33		elssuni 4003	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( b ` f ) e. A -> ( b ` f ) C_ U. A )
34	32, 33	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) /\ g e. ( card ` ( b ` f ) ) ) -> ( b ` f ) C_ U. A )
35	31, 33	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( b ` f ) C_ U. A )
36		simpll3 998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> B Or U. A )
37		soss 4481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( b ` f ) C_ U. A -> ( B Or U. A -> B Or ( b ` f ) ) )
38	35, 36, 37	sylc 58	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> B Or ( b ` f ) )
39		simpll2 997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> A C_ Fin )
40	39, 31	sseldd 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( b ` f ) e. Fin )
41		finnisoeu 7950	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( B Or ( b ` f ) /\ ( b ` f ) e. Fin ) -> E! h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) )
42	38, 40, 41	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> E! h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) )
43		iotacl 5400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( E! h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) -> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) e. { h | h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) } )
44	42, 43	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) e. { h | h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) } )
45		iotaex 5394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) e. _V
46		isoeq1 5998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a = ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) -> ( a Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) <-> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) )
47		isoeq1 5998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( h = a -> ( h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) <-> a Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) )
48	47	cbvabv 2523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- { h | h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) } = { a | a Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) }
49	45, 46, 48	elab2 3045	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) e. { h | h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) } <-> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) )
50	44, 49	sylib 189	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) )
51		isof1o 6004	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) -> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) : ( card ` ( b ` f ) ) -1-1-onto-> ( b ` f ) )
52		f1of 5633	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) : ( card ` ( b ` f ) ) -1-1-onto-> ( b ` f ) -> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) : ( card ` ( b ` f ) ) --> ( b ` f ) )
53	50, 51, 52	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) : ( card ` ( b ` f ) ) --> ( b ` f ) )
54	53	ffvelrnda 5829	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) /\ g e. ( card ` ( b ` f ) ) ) -> ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) e. ( b ` f ) )
55	34, 54	sseldd 3309	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) /\ g e. ( card ` ( b ` f ) ) ) -> ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) e. U. A )
56		simprl 733	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) -> a e. U. A )
57	56	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) /\ -. g e. ( card ` ( b ` f ) ) ) -> a e. U. A )
58	55, 57	ifclda 3726	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) e. U. A )
59	58	ralrimivva 2758	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) -> A. f e. om A. g e. om if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) e. U. A )
60		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) = ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) )
61	60	fmpt2 6377	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. f e. om A. g e. om if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) e. U. A <-> ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) : ( om X. om ) --> U. A )
62	59, 61	sylib 189	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) -> ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) : ( om X. om ) --> U. A )
63		eluni 3978	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c e. U. A <-> E. i ( c e. i /\ i e. A ) )
64		simplrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( c e. i /\ i e. A ) ) -> b : om -onto-> A )
65		simprr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( c e. i /\ i e. A ) ) -> i e. A )
66		foelrn 5847	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( b : om -onto-> A /\ i e. A ) -> E. j e. om i = ( b ` j ) )
67	64, 65, 66	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( c e. i /\ i e. A ) ) -> E. j e. om i = ( b ` j ) )
68		simprrl 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> j e. om )
69		ordom 4813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- Ord om
70		simpll2 997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> A C_ Fin )
71		simplrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> b : om -onto-> A )
72	71, 28	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> b : om --> A )
73	72, 68	ffvelrnd 5830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> ( b ` j ) e. A )
74	70, 73	sseldd 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> ( b ` j ) e. Fin )
75		ficardom 7804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( b ` j ) e. Fin -> ( card ` ( b ` j ) ) e. om )
76	74, 75	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> ( card ` ( b ` j ) ) e. om )
77		ordelss 4557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( Ord om /\ ( card ` ( b ` j ) ) e. om ) -> ( card ` ( b ` j ) ) C_ om )
78	69, 76, 77	sylancr 645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> ( card ` ( b ` j ) ) C_ om )
79		elssuni 4003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( b ` j ) e. A -> ( b ` j ) C_ U. A )
80	73, 79	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> ( b ` j ) C_ U. A )
81		simpll3 998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> B Or U. A )
82		soss 4481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( b ` j ) C_ U. A -> ( B Or U. A -> B Or ( b ` j ) ) )
83	80, 81, 82	sylc 58	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> B Or ( b ` j ) )
84		finnisoeu 7950	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( B Or ( b ` j ) /\ ( b ` j ) e. Fin ) -> E! h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) )
85	83, 74, 84	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> E! h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) )
86		iotacl 5400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( E! h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) -> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) e. { h | h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) } )
87	85, 86	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) e. { h | h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) } )
88		iotaex 5394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) e. _V
89		isoeq1 5998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( a = ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) -> ( a Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) <-> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) )
90		isoeq1 5998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( h = a -> ( h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) <-> a Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) )
91	90	cbvabv 2523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- { h | h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) } = { a | a Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) }
92	88, 89, 91	elab2 3045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) e. { h | h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) } <-> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) )
93	87, 92	sylib 189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) )
94		isof1o 6004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) -> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) : ( card ` ( b ` j ) ) -1-1-onto-> ( b ` j ) )
95	93, 94	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) : ( card ` ( b ` j ) ) -1-1-onto-> ( b ` j ) )
96		f1ocnv 5646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) : ( card ` ( b ` j ) ) -1-1-onto-> ( b ` j ) -> `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) : ( b ` j ) -1-1-onto-> ( card ` ( b ` j ) ) )
97		f1of 5633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) : ( b ` j ) -1-1-onto-> ( card ` ( b ` j ) ) -> `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) : ( b ` j ) --> ( card ` ( b ` j ) ) )
98	95, 96, 97	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) : ( b ` j ) --> ( card ` ( b ` j ) ) )
99		simprll 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> c e. i )
100		simprrr 742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> i = ( b ` j ) )
101	99, 100	eleqtrd 2480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> c e. ( b ` j ) )
102	98, 101	ffvelrnd 5830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) e. ( card ` ( b ` j ) ) )
103	78, 102	sseldd 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) e. om )
104		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( f = j -> ( b ` f ) = ( b ` j ) )
105	104	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( f = j -> ( card ` ( b ` f ) ) = ( card ` ( b ` j ) ) )
106	105	eleq2d 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( f = j -> ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) <-> g e. ( card ` ( b ` j ) ) ) )
107		isoeq4 6001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( card ` ( b ` f ) ) = ( card ` ( b ` j ) ) -> ( h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) <-> h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` f ) ) ) )
108	105, 107	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( f = j -> ( h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) <-> h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` f ) ) ) )
109		isoeq5 6002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( b ` f ) = ( b ` j ) -> ( h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` f ) ) <-> h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) )
110	104, 109	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( f = j -> ( h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` f ) ) <-> h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) )
111	108, 110	bitrd 245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( f = j -> ( h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) <-> h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) )
112	111	iotabidv 5398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( f = j -> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) = ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) )
113	112	fveq1d 5689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( f = j -> ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) = ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` g ) )
114		eqidd 2405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( f = j -> a = a )
115	106, 113, 114	ifbieq12d 3721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( f = j -> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) = if ( g e. ( card ` ( b ` j ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` g ) , a ) )
116		eleq1 2464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( g = ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) -> ( g e. ( card ` ( b ` j ) ) <-> ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) e. ( card ` ( b ` j ) ) ) )
117		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( g = ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) -> ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` g ) = ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) )
118		eqidd 2405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( g = ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) -> a = a )
119	116, 117, 118	ifbieq12d 3721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( g = ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) -> if ( g e. ( card ` ( b ` j ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` g ) , a ) = if ( ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) e. ( card ` ( b ` j ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) , a ) )
120		fvex 5701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) e. _V
121		vex 2919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- a e. _V
122	120, 121	ifex 3757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- if ( ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) e. ( card ` ( b ` j ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) , a ) e. _V
123	115, 119, 60, 122	ovmpt2 6168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( j e. om /\ ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) e. om ) -> ( j ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) = if ( ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) e. ( card ` ( b ` j ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) , a ) )
124	68, 103, 123	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> ( j ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) = if ( ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) e. ( card ` ( b ` j ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) , a ) )
125		iftrue 3705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) e. ( card ` ( b ` j ) ) -> if ( ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) e. ( card ` ( b ` j ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) , a ) = ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) )
126	102, 125	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> if ( ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) e. ( card ` ( b ` j ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) , a ) = ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) )
127		f1ocnvfv2 5974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) : ( card ` ( b ` j ) ) -1-1-onto-> ( b ` j ) /\ c e. ( b ` j ) ) -> ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) = c )
128	95, 101, 127	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) = c )
129	124, 126, 128	3eqtrrd 2441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> c = ( j ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) )
130		rspceov 6075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( j e. om /\ ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) e. om /\ c = ( j ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) ) -> E. d e. om E. e e. om c = ( d ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) e ) )
131	68, 103, 129, 130	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> E. d e. om E. e e. om c = ( d ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) e ) )
132	131	expr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( c e. i /\ i e. A ) ) -> ( ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) -> E. d e. om E. e e. om c = ( d ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) e ) ) )
133	132	exp3a 426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( c e. i /\ i e. A ) ) -> ( j e. om -> ( i = ( b ` j ) -> E. d e. om E. e e. om c = ( d ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) e ) ) ) )
134	133	rexlimdv 2789	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( c e. i /\ i e. A ) ) -> ( E. j e. om i = ( b ` j ) -> E. d e. om E. e e. om c = ( d ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) e ) ) )
135	67, 134	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( c e. i /\ i e. A ) ) -> E. d e. om E. e e. om c = ( d ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) e ) )
136	135	ex 424	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) -> ( ( c e. i /\ i e. A ) -> E. d e. om E. e e. om c = ( d ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) e ) ) )
137	136	exlimdv 1643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) -> ( E. i ( c e. i /\ i e. A ) -> E. d e. om E. e e. om c = ( d ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) e ) ) )
138	63, 137	syl5bi 209	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) -> ( c e. U. A -> E. d e. om E. e e. om c = ( d ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) e ) ) )
139	138	ralrimiv 2748	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) -> A. c e. U. A E. d e. om E. e e. om c = ( d ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) e ) )
140		foov 6179	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) : ( om X. om ) -onto-> U. A <-> ( ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) : ( om X. om ) --> U. A /\ A. c e. U. A E. d e. om E. e e. om c = ( d ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) e ) ) )
141	62, 139, 140	sylanbrc 646	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) -> ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) : ( om X. om ) -onto-> U. A )
142		fodomnum 7894	. . . . . . . . . 10 |- ( ( om X. om ) e. dom card -> ( ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) : ( om X. om ) -onto-> U. A -> U. A ~<_ ( om X. om ) ) )
143	26, 141, 142	mpsyl 61	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) -> U. A ~<_ ( om X. om ) )
144		xpomen 7853	. . . . . . . . 9 |- ( om X. om ) ~~ om
145		domentr 7125	. . . . . . . . 9 |- ( ( U. A ~<_ ( om X. om ) /\ ( om X. om ) ~~ om ) -> U. A ~<_ om )
146	143, 144, 145	sylancl 644	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) -> U. A ~<_ om )
147	146	expr 599	. . . . . . 7 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ a e. U. A ) -> ( b : om -onto-> A -> U. A ~<_ om ) )
148	147	exlimdv 1643	. . . . . 6 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ a e. U. A ) -> ( E. b b : om -onto-> A -> U. A ~<_ om ) )
149	21, 148	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ a e. U. A ) -> U. A ~<_ om )
150	149	expcom 425	. . . 4 |- ( a e. U. A -> ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) -> U. A ~<_ om ) )
151	150	exlimiv 1641	. . 3 |- ( E. a a e. U. A -> ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) -> U. A ~<_ om ) )
152	6, 151	sylbi 188	. 2 |- ( U. A =/= (/) -> ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) -> U. A ~<_ om ) )
153	5, 152	pm2.61ine 2643	1 |- ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) -> U. A ~<_ om )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   E.wex 1547   = wceq 1649   e. wcel 1721   E!weu 2254   {cab 2390   =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916   C_ wss 3280   (/)c0 3588   ifcif 3699   U.cuni 3975   class class class wbr 4172   _E cep 4452   Or wor 4462   Ord word 4540   Oncon0 4541   omcom 4804   X. cxp 4835   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   iotacio 5375   -->wf 5409   -onto->wfo 5411   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413   Isom wiso 5414  (class class class)co 6040   e. cmpt2 6042   ~~ cen 7065   ~<_ cdom 7066   ~< csdm 7067   Fincfn 7068   cardccrd 7778

This theorem is referenced by:  aannenlem3  20200

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785