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Theorem iunfictbso 8546
Description: Countability of a countable union of finite sets with a strict (not globally well) order fulfilling the choice role. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
iunfictbso |- ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) -> U. A ~<_ om )
Proof of Theorem iunfictbso
Dummy variables a b c d e f g h i j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omex 8151 . . . . 5 |- om e. _V
210dom 7705 . . . 4 |- (/) ~<_ om
3 breq1 4423 . . . 4 |- ( U. A = (/) -> ( U. A ~<_ om <-> (/) ~<_ om ) )
42, 3mpbiri 236 . . 3 |- ( U. A = (/) -> U. A ~<_ om )
54a1d 26 . 2 |- ( U. A = (/) -> ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) -> U. A ~<_ om ) )
6 n0 3771 . . 3 |- ( U. A =/= (/) <-> E. a a e. U. A )
7 ne0i 3767 . . . . . . . . . 10 |- ( a e. U. A -> U. A =/= (/) )
8 unieq 4224 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A = (/) -> U. A = U. (/) )
9 uni0 4243 . . . . . . . . . . . 12 |- U. (/) = (/)
108, 9syl6eq 2479 . . . . . . . . . . 11 |- ( A = (/) -> U. A = (/) )
1110necon3i 2664 . . . . . . . . . 10 |- ( U. A =/= (/) -> A =/= (/) )
127, 11syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( a e. U. A -> A =/= (/) )
1312adantl 467 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ a e. U. A ) -> A =/= (/) )
14 simpl1 1008 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ a e. U. A ) -> A ~<_ om )
15 reldom 7580 . . . . . . . . . 10 |- Rel ~<_
1615brrelexi 4891 . . . . . . . . 9 |- ( A ~<_ om -> A e. _V )
17 0sdomg 7704 . . . . . . . . 9 |- ( A e. _V -> ( (/) ~< A <-> A =/= (/) ) )
1814, 16, 173syl 18 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ a e. U. A ) -> ( (/) ~< A <-> A =/= (/) ) )
1913, 18mpbird 235 . . . . . . 7 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ a e. U. A ) -> (/) ~< A )
20 fodomr 7726 . . . . . . 7 |- ( ( (/) ~< A /\ A ~<_ om ) -> E. b b : om -onto-> A )
2119, 14, 20syl2anc 665 . . . . . 6 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ a e. U. A ) -> E. b b : om -onto-> A )
22 omelon 8154 . . . . . . . . . . . 12 |- om e. On
23 onenon 8385 . . . . . . . . . . . 12 |- ( om e. On -> om e. dom card )
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 |- om e. dom card
25 xpnum 8387 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( om e. dom card /\ om e. dom card ) -> ( om X. om ) e. dom card )
2624, 24, 25mp2an 676 . . . . . . . . . 10 |- ( om X. om ) e. dom card
27 simplrr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> b : om -onto-> A )
28 fof 5807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( b : om -onto-> A -> b : om --> A )
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> b : om --> A )
30 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> f e. om )
3129, 30ffvelrnd 6035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( b ` f ) e. A )
3231adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) /\ g e. ( card ` ( b ` f ) ) ) -> ( b ` f ) e. A )
33 elssuni 4245 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( b ` f ) e. A -> ( b ` f ) C_ U. A )
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) /\ g e. ( card ` ( b ` f ) ) ) -> ( b ` f ) C_ U. A )
3531, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( b ` f ) C_ U. A )
36 simpll3 1046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> B Or U. A )
37 soss 4789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( b ` f ) C_ U. A -> ( B Or U. A -> B Or ( b ` f ) ) )
3835, 36, 37sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> B Or ( b ` f ) )
39 simpll2 1045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> A C_ Fin )
4039, 31sseldd 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( b ` f ) e. Fin )
41 finnisoeu 8545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( B Or ( b ` f ) /\ ( b ` f ) e. Fin ) -> E! h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) )
4238, 40, 41syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> E! h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) )
43 iotacl 5585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( E! h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) -> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) e. { h | h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) } )
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) e. { h | h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) } )
45 iotaex 5579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) e. _V
46 isoeq1 6222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a = ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) -> ( a Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) <-> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) )
47 isoeq1 6222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( h = a -> ( h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) <-> a Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) )
4847cbvabv 2565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- { h | h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) } = { a | a Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) }
4945, 46, 48elab2 3221 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) e. { h | h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) } <-> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) )
5044, 49sylib 199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) )
51 isof1o 6228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) -> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) : ( card ` ( b ` f ) ) -1-1-onto-> ( b ` f ) )
52 f1of 5828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) : ( card ` ( b ` f ) ) -1-1-onto-> ( b ` f ) -> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) : ( card ` ( b ` f ) ) --> ( b ` f ) )
5350, 51, 523syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) : ( card ` ( b ` f ) ) --> ( b ` f ) )
5453ffvelrnda 6034 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) /\ g e. ( card ` ( b ` f ) ) ) -> ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) e. ( b ` f ) )
5534, 54sseldd 3465 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) /\ g e. ( card ` ( b ` f ) ) ) -> ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) e. U. A )
56 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) -> a e. U. A )
5756ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) /\ -. g e. ( card ` ( b ` f ) ) ) -> a e. U. A )
5855, 57ifclda 3941 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) e. U. A )
5958ralrimivva 2846 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) -> A. f e. om A. g e. om if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) e. U. A )
60 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) = ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) )
6160fmpt2 6871 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A. f e. om A. g e. om if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) e. U. A <-> ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) : ( om X. om ) --> U. A )
6259, 61sylib 199 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) -> ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) : ( om X. om ) --> U. A )
63 eluni 4219 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( c e. U. A <-> E. i ( c e. i /\ i e. A ) )
64 simplrr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( c e. i /\ i e. A ) ) -> b : om -onto-> A )
65 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( c e. i /\ i e. A ) ) -> i e. A )
66 foelrn 6053 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( b : om -onto-> A /\ i e. A ) -> E. j e. om i = ( b ` j ) )
6764, 65, 66syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( c e. i /\ i e. A ) ) -> E. j e. om i = ( b ` j ) )
68 simprrl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> j e. om )
69 ordom 6712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- Ord om
70 simpll2 1045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> A C_ Fin )
71 simplrr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> b : om -onto-> A )
7271, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> b : om --> A )
7372, 68ffvelrnd 6035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> ( b ` j ) e. A )
7470, 73sseldd 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> ( b ` j ) e. Fin )
75 ficardom 8397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( b ` j ) e. Fin -> ( card ` ( b ` j ) ) e. om )
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> ( card ` ( b ` j ) ) e. om )
77 ordelss 5455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( Ord om /\ ( card ` ( b ` j ) ) e. om ) -> ( card ` ( b ` j ) ) C_ om )
7869, 76, 77sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> ( card ` ( b ` j ) ) C_ om )
79 elssuni 4245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( b ` j ) e. A -> ( b ` j ) C_ U. A )
8073, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> ( b ` j ) C_ U. A )
81 simpll3 1046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> B Or U. A )
82 soss 4789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( b ` j ) C_ U. A -> ( B Or U. A -> B Or ( b ` j ) ) )
8380, 81, 82sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> B Or ( b ` j ) )
84 finnisoeu 8545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( B Or ( b ` j ) /\ ( b ` j ) e. Fin ) -> E! h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) )
8583, 74, 84syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> E! h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) )
86 iotacl 5585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( E! h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) -> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) e. { h | h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) } )
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) e. { h | h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) } )
88 iotaex 5579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) e. _V
89 isoeq1 6222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( a = ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) -> ( a Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) <-> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) )
90 isoeq1 6222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( h = a -> ( h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) <-> a Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) )
9190cbvabv 2565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- { h | h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) } = { a | a Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) }
9288, 89, 91elab2 3221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) e. { h | h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) } <-> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) )
9387, 92sylib 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) )
94 isof1o 6228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) -> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) : ( card ` ( b ` j ) ) -1-1-onto-> ( b ` j ) )
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) : ( card ` ( b ` j ) ) -1-1-onto-> ( b ` j ) )
96 f1ocnv 5840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) : ( card ` ( b ` j ) ) -1-1-onto-> ( b ` j ) -> `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) : ( b ` j ) -1-1-onto-> ( card ` ( b ` j ) ) )
97 f1of 5828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) : ( b ` j ) -1-1-onto-> ( card ` ( b ` j ) ) -> `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) : ( b ` j ) --> ( card ` ( b ` j ) ) )
9895, 96, 973syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) : ( b ` j ) --> ( card ` ( b ` j ) ) )
99 simprll 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> c e. i )
100 simprrr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> i = ( b ` j ) )
10199, 100eleqtrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> c e. ( b ` j ) )
10298, 101ffvelrnd 6035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) e. ( card ` ( b ` j ) ) )
10378, 102sseldd 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) e. om )
104 fveq2 5878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( f = j -> ( b ` f ) = ( b ` j ) )
105104fveq2d 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( f = j -> ( card ` ( b ` f ) ) = ( card ` ( b ` j ) ) )
106105eleq2d 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( f = j -> ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) <-> g e. ( card ` ( b ` j ) ) ) )
107 isoeq4 6225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( card ` ( b ` f ) ) = ( card ` ( b ` j ) ) -> ( h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) <-> h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` f ) ) ) )
108105, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( f = j -> ( h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) <-> h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` f ) ) ) )
109 isoeq5 6226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( b ` f ) = ( b ` j ) -> ( h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` f ) ) <-> h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) )
110104, 109syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( f = j -> ( h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` f ) ) <-> h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) )
111108, 110bitrd 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( f = j -> ( h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) <-> h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) )
112111iotabidv 5583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( f = j -> ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) = ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) )
113112fveq1d 5880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( f = j -> ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) = ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` g ) )
114106, 113ifbieq1d 3932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( f = j -> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) = if ( g e. ( card ` ( b ` j ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` g ) , a ) )
115 eleq1 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( g = ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) -> ( g e. ( card ` ( b ` j ) ) <-> ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) e. ( card ` ( b ` j ) ) ) )
116 fveq2 5878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( g = ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) -> ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` g ) = ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) )
117115, 116ifbieq1d 3932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( g = ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) -> if ( g e. ( card ` ( b ` j ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` g ) , a ) = if ( ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) e. ( card ` ( b ` j ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) , a ) )
118 fvex 5888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) e. _V
119 vex 3084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- a e. _V
120118, 119ifex 3977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- if ( ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) e. ( card ` ( b ` j ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) , a ) e. _V
121114, 117, 60, 120ovmpt2 6443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( j e. om /\ ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) e. om ) -> ( j ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) = if ( ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) e. ( card ` ( b ` j ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) , a ) )
12268, 103, 121syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> ( j ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) = if ( ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) e. ( card ` ( b ` j ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) , a ) )
123102iftrued 3917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> if ( ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) e. ( card ` ( b ` j ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) , a ) = ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) )
124 f1ocnvfv2 6188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) : ( card ` ( b ` j ) ) -1-1-onto-> ( b ` j ) /\ c e. ( b ` j ) ) -> ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) = c )
12595, 101, 124syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) = c )
126122, 123, 1253eqtrrd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> c = ( j ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) )
127 rspceov 6341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( j e. om /\ ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) e. om /\ c = ( j ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) ( `' ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` j ) ) , ( b ` j ) ) ) ` c ) ) ) -> E. d e. om E. e e. om c = ( d ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) e ) )
12868, 103, 126, 127syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( ( c e. i /\ i e. A ) /\ ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) ) ) -> E. d e. om E. e e. om c = ( d ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) e ) )
129128expr 618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( c e. i /\ i e. A ) ) -> ( ( j e. om /\ i = ( b ` j ) ) -> E. d e. om E. e e. om c = ( d ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) e ) ) )
130129expd 437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( c e. i /\ i e. A ) ) -> ( j e. om -> ( i = ( b ` j ) -> E. d e. om E. e e. om c = ( d ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) e ) ) ) )
131130rexlimdv 2915 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( c e. i /\ i e. A ) ) -> ( E. j e. om i = ( b ` j ) -> E. d e. om E. e e. om c = ( d ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) e ) ) )
13267, 131mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) /\ ( c e. i /\ i e. A ) ) -> E. d e. om E. e e. om c = ( d ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) e ) )
133132ex 435 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) -> ( ( c e. i /\ i e. A ) -> E. d e. om E. e e. om c = ( d ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) e ) ) )
134133exlimdv 1768 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) -> ( E. i ( c e. i /\ i e. A ) -> E. d e. om E. e e. om c = ( d ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) e ) ) )
13563, 134syl5bi 220 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) -> ( c e. U. A -> E. d e. om E. e e. om c = ( d ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) e ) ) )
136135ralrimiv 2837 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) -> A. c e. U. A E. d e. om E. e e. om c = ( d ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) e ) )
137 foov 6454 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) : ( om X. om ) -onto-> U. A <-> ( ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) : ( om X. om ) --> U. A /\ A. c e. U. A E. d e. om E. e e. om c = ( d ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) e ) ) )
13862, 136, 137sylanbrc 668 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) -> ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) : ( om X. om ) -onto-> U. A )
139 fodomnum 8489 . . . . . . . . . 10 |- ( ( om X. om ) e. dom card -> ( ( f e. om , g e. om |-> if ( g e. ( card ` ( b ` f ) ) , ( ( iota h h Isom _E , B ( ( card ` ( b ` f ) ) , ( b ` f ) ) ) ` g ) , a ) ) : ( om X. om ) -onto-> U. A -> U. A ~<_ ( om X. om ) ) )
14026, 138, 139mpsyl 65 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) -> U. A ~<_ ( om X. om ) )
141 xpomen 8448 . . . . . . . . 9 |- ( om X. om ) ~~ om
142 domentr 7632 . . . . . . . . 9 |- ( ( U. A ~<_ ( om X. om ) /\ ( om X. om ) ~~ om ) -> U. A ~<_ om )
143140, 141, 142sylancl 666 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ ( a e. U. A /\ b : om -onto-> A ) ) -> U. A ~<_ om )
144143expr 618 . . . . . . 7 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ a e. U. A ) -> ( b : om -onto-> A -> U. A ~<_ om ) )
145144exlimdv 1768 . . . . . 6 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ a e. U. A ) -> ( E. b b : om -onto-> A -> U. A ~<_ om ) )
14621, 145mpd 15 . . . . 5 |- ( ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) /\ a e. U. A ) -> U. A ~<_ om )
147146expcom 436 . . . 4 |- ( a e. U. A -> ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) -> U. A ~<_ om ) )
148147exlimiv 1766 . . 3 |- ( E. a a e. U. A -> ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) -> U. A ~<_ om ) )
1496, 148sylbi 198 . 2 |- ( U. A =/= (/) -> ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) -> U. A ~<_ om ) )
1505, 149pm2.61ine 2737 1 |- ( ( A ~<_ om /\ A C_ Fin /\ B Or U. A ) -> U. A ~<_ om )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   E.wex 1659   e. wcel 1868   E!weu 2265   {cab 2407   =/= wne 2618   A.wral 2775   E.wrex 2776   _Vcvv 3081   C_ wss 3436   (/)c0 3761   ifcif 3909   U.cuni 4216   class class class wbr 4420   _E cep 4759   Or wor 4770   X. cxp 4848   `'ccnv 4849   dom cdm 4850   Ord word 5438   Oncon0 5439   iotacio 5560   -->wf 5594   -onto->wfo 5596   -1-1-onto->wf1o 5597   ` cfv 5598   Isom wiso 5599  (class class class)co 6302   |-> cmpt2 6304   omcom 6703   ~~ cen 7571   ~<_ cdom 7572   ~< csdm 7573   Fincfn 7574   cardccrd 8371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-inf2 8149
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-se 4810  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-isom 5607  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-omul 7192  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-oi 8028  df-card 8375  df-acn 8378
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