MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iunfictbso Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem iunfictbso 8563
Description: Countability of a countable union of finite sets with a strict (not globally well) order fulfilling the choice role. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
iunfictbso  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A )  ->  U. A  ~<_  om )

Proof of Theorem iunfictbso
Dummy variables  a 
b  c  d  e  f  g  h  i  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omex 8166 . . . . 5  |-  om  e.  _V
210dom 7720 . . . 4  |-  (/)  ~<_  om
3 breq1 4398 . . . 4  |-  ( U. A  =  (/)  ->  ( U. A  ~<_  om  <->  (/)  ~<_  om )
)
42, 3mpbiri 241 . . 3  |-  ( U. A  =  (/)  ->  U. A  ~<_  om )
54a1d 25 . 2  |-  ( U. A  =  (/)  ->  (
( A  ~<_  om  /\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A )  ->  U. A  ~<_  om )
)
6 n0 3732 . . 3  |-  ( U. A  =/=  (/)  <->  E. a  a  e. 
U. A )
7 ne0i 3728 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  U. A  ->  U. A  =/=  (/) )
8 unieq 4198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  (/)  ->  U. A  =  U. (/) )
9 uni0 4217 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. (/)  =  (/)
108, 9syl6eq 2521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  (/)  ->  U. A  =  (/) )
1110necon3i 2675 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. A  =/=  (/)  ->  A  =/=  (/) )
127, 11syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  U. A  ->  A  =/=  (/) )
1312adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  ~<_  om  /\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A )  /\  a  e.  U. A )  ->  A  =/=  (/) )
14 simpl1 1033 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  ~<_  om  /\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A )  /\  a  e.  U. A )  ->  A  ~<_  om )
15 reldom 7593 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  ~<_
1615brrelexi 4880 . . . . . . . . 9  |-  ( A  ~<_  om  ->  A  e.  _V )
17 0sdomg 7719 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  _V  ->  ( (/) 
~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
1814, 16, 173syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  ~<_  om  /\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A )  /\  a  e.  U. A )  ->  ( (/)  ~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
1913, 18mpbird 240 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  ~<_  om  /\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A )  /\  a  e.  U. A )  ->  (/)  ~<  A )
20 fodomr 7741 . . . . . . 7  |-  ( (
(/)  ~<  A  /\  A  ~<_  om )  ->  E. b 
b : om -onto-> A
)
2119, 14, 20syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  ~<_  om  /\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A )  /\  a  e.  U. A )  ->  E. b  b : om -onto-> A )
22 omelon 8169 . . . . . . . . . . . 12  |-  om  e.  On
23 onenon 8401 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( om  e.  On  ->  om  e.  dom  card )
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  om  e.  dom  card
25 xpnum 8403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( om  e.  dom  card  /\ 
om  e.  dom  card )  ->  ( om  X.  om )  e.  dom  card )
2624, 24, 25mp2an 686 . . . . . . . . . 10  |-  ( om 
X.  om )  e.  dom  card
27 simplrr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  ~<_  om 
/\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A
)  /\  ( a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A ) )  /\  ( f  e.  om  /\  g  e.  om )
)  ->  b : om -onto-> A )
28 fof 5806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b : om -onto-> A  -> 
b : om --> A )
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  ~<_  om 
/\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A
)  /\  ( a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A ) )  /\  ( f  e.  om  /\  g  e.  om )
)  ->  b : om
--> A )
30 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  ~<_  om 
/\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A
)  /\  ( a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A ) )  /\  ( f  e.  om  /\  g  e.  om )
)  ->  f  e.  om )
3129, 30ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  ~<_  om 
/\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A
)  /\  ( a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A ) )  /\  ( f  e.  om  /\  g  e.  om )
)  ->  ( b `  f )  e.  A
)
3231adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  ~<_  om  /\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A )  /\  (
a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A
) )  /\  (
f  e.  om  /\  g  e.  om )
)  /\  g  e.  ( card `  ( b `  f ) ) )  ->  ( b `  f )  e.  A
)
33 elssuni 4219 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b `  f )  e.  A  ->  (
b `  f )  C_ 
U. A )
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  ~<_  om  /\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A )  /\  (
a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A
) )  /\  (
f  e.  om  /\  g  e.  om )
)  /\  g  e.  ( card `  ( b `  f ) ) )  ->  ( b `  f )  C_  U. A
)
3531, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  ~<_  om 
/\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A
)  /\  ( a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A ) )  /\  ( f  e.  om  /\  g  e.  om )
)  ->  ( b `  f )  C_  U. A
)
36 simpll3 1071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  ~<_  om 
/\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A
)  /\  ( a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A ) )  /\  ( f  e.  om  /\  g  e.  om )
)  ->  B  Or  U. A )
37 soss 4778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( b `  f ) 
C_  U. A  ->  ( B  Or  U. A  ->  B  Or  ( b `  f ) ) )
3835, 36, 37sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  ~<_  om 
/\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A
)  /\  ( a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A ) )  /\  ( f  e.  om  /\  g  e.  om )
)  ->  B  Or  ( b `  f
) )
39 simpll2 1070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  ~<_  om 
/\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A
)  /\  ( a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A ) )  /\  ( f  e.  om  /\  g  e.  om )
)  ->  A  C_  Fin )
4039, 31sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  ~<_  om 
/\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A
)  /\  ( a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A ) )  /\  ( f  e.  om  /\  g  e.  om )
)  ->  ( b `  f )  e.  Fin )
41 finnisoeu 8562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  Or  ( b `
 f )  /\  ( b `  f
)  e.  Fin )  ->  E! h  h  Isom  _E  ,  B  ( (
card `  ( b `  f ) ) ,  ( b `  f
) ) )
4238, 40, 41syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  ~<_  om 
/\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A
)  /\  ( a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A ) )  /\  ( f  e.  om  /\  g  e.  om )
)  ->  E! h  h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  f )
) ,  ( b `
 f ) ) )
43 iotacl 5576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E! h  h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  ( b `  f
) ) ,  ( b `  f ) )  ->  ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  ( b `  f
) ) ,  ( b `  f ) ) )  e.  {
h  |  h  Isom  _E  ,  B  ( (
card `  ( b `  f ) ) ,  ( b `  f
) ) } )
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  ~<_  om 
/\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A
)  /\  ( a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A ) )  /\  ( f  e.  om  /\  g  e.  om )
)  ->  ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  ( b `  f
) ) ,  ( b `  f ) ) )  e.  {
h  |  h  Isom  _E  ,  B  ( (
card `  ( b `  f ) ) ,  ( b `  f
) ) } )
45 iotaex 5570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( iota
h h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  ( b `  f
) ) ,  ( b `  f ) ) )  e.  _V
46 isoeq1 6228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  =  ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  f )
) ,  ( b `
 f ) ) )  ->  ( a  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  f )
) ,  ( b `
 f ) )  <-> 
( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( (
card `  ( b `  f ) ) ,  ( b `  f
) ) )  Isom  _E  ,  B  ( (
card `  ( b `  f ) ) ,  ( b `  f
) ) ) )
47 isoeq1 6228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( h  =  a  ->  (
h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  f )
) ,  ( b `
 f ) )  <-> 
a  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  f )
) ,  ( b `
 f ) ) ) )
4847cbvabv 2595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { h  |  h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  ( b `  f
) ) ,  ( b `  f ) ) }  =  {
a  |  a  Isom  _E  ,  B  ( (
card `  ( b `  f ) ) ,  ( b `  f
) ) }
4945, 46, 48elab2 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( (
card `  ( b `  f ) ) ,  ( b `  f
) ) )  e. 
{ h  |  h 
Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  f )
) ,  ( b `
 f ) ) }  <->  ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  f )
) ,  ( b `
 f ) ) )  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  f )
) ,  ( b `
 f ) ) )
5044, 49sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  ~<_  om 
/\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A
)  /\  ( a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A ) )  /\  ( f  e.  om  /\  g  e.  om )
)  ->  ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  ( b `  f
) ) ,  ( b `  f ) ) )  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  ( b `  f
) ) ,  ( b `  f ) ) )
51 isof1o 6234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( (
card `  ( b `  f ) ) ,  ( b `  f
) ) )  Isom  _E  ,  B  ( (
card `  ( b `  f ) ) ,  ( b `  f
) )  ->  ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  ( b `  f
) ) ,  ( b `  f ) ) ) : (
card `  ( b `  f ) ) -1-1-onto-> ( b `
 f ) )
52 f1of 5828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( (
card `  ( b `  f ) ) ,  ( b `  f
) ) ) : ( card `  (
b `  f )
)
-1-1-onto-> ( b `  f
)  ->  ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  ( b `  f
) ) ,  ( b `  f ) ) ) : (
card `  ( b `  f ) ) --> ( b `  f ) )
5350, 51, 523syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  ~<_  om 
/\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A
)  /\  ( a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A ) )  /\  ( f  e.  om  /\  g  e.  om )
)  ->  ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  ( b `  f
) ) ,  ( b `  f ) ) ) : (
card `  ( b `  f ) ) --> ( b `  f ) )
5453ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  ~<_  om  /\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A )  /\  (
a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A
) )  /\  (
f  e.  om  /\  g  e.  om )
)  /\  g  e.  ( card `  ( b `  f ) ) )  ->  ( ( iota
h h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  ( b `  f
) ) ,  ( b `  f ) ) ) `  g
)  e.  ( b `
 f ) )
5534, 54sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  ~<_  om  /\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A )  /\  (
a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A
) )  /\  (
f  e.  om  /\  g  e.  om )
)  /\  g  e.  ( card `  ( b `  f ) ) )  ->  ( ( iota
h h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  ( b `  f
) ) ,  ( b `  f ) ) ) `  g
)  e.  U. A
)
56 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  ~<_  om  /\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A )  /\  ( a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A ) )  -> 
a  e.  U. A
)
5756ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  ~<_  om  /\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A )  /\  (
a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A
) )  /\  (
f  e.  om  /\  g  e.  om )
)  /\  -.  g  e.  ( card `  (
b `  f )
) )  ->  a  e.  U. A )
5855, 57ifclda 3904 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  ~<_  om 
/\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A
)  /\  ( a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A ) )  /\  ( f  e.  om  /\  g  e.  om )
)  ->  if (
g  e.  ( card `  ( b `  f
) ) ,  ( ( iota h h 
Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  f )
) ,  ( b `
 f ) ) ) `  g ) ,  a )  e. 
U. A )
5958ralrimivva 2814 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  ~<_  om  /\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A )  /\  ( a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A ) )  ->  A. f  e.  om  A. g  e.  om  if ( g  e.  (
card `  ( b `  f ) ) ,  ( ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  f )
) ,  ( b `
 f ) ) ) `  g ) ,  a )  e. 
U. A )
60 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  om ,  g  e.  om  |->  if ( g  e.  ( card `  ( b `  f
) ) ,  ( ( iota h h 
Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  f )
) ,  ( b `
 f ) ) ) `  g ) ,  a ) )  =  ( f  e. 
om ,  g  e. 
om  |->  if ( g  e.  ( card `  (
b `  f )
) ,  ( ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( (
card `  ( b `  f ) ) ,  ( b `  f
) ) ) `  g ) ,  a ) )
6160fmpt2 6879 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. f  e.  om  A. g  e.  om  if ( g  e.  ( card `  (
b `  f )
) ,  ( ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( (
card `  ( b `  f ) ) ,  ( b `  f
) ) ) `  g ) ,  a )  e.  U. A  <->  ( f  e.  om , 
g  e.  om  |->  if ( g  e.  (
card `  ( b `  f ) ) ,  ( ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  f )
) ,  ( b `
 f ) ) ) `  g ) ,  a ) ) : ( om  X.  om ) --> U. A )
6259, 61sylib 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  ~<_  om  /\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A )  /\  ( a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A ) )  -> 
( f  e.  om ,  g  e.  om  |->  if ( g  e.  (
card `  ( b `  f ) ) ,  ( ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  f )
) ,  ( b `
 f ) ) ) `  g ) ,  a ) ) : ( om  X.  om ) --> U. A )
63 eluni 4193 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  U. A  <->  E. i
( c  e.  i  /\  i  e.  A
) )
64 simplrr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  ~<_  om 
/\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A
)  /\  ( a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A ) )  /\  ( c  e.  i  /\  i  e.  A
) )  ->  b : om -onto-> A )
65 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  ~<_  om 
/\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A
)  /\  ( a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A ) )  /\  ( c  e.  i  /\  i  e.  A
) )  ->  i  e.  A )
66 foelrn 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( b : om -onto-> A  /\  i  e.  A
)  ->  E. j  e.  om  i  =  ( b `  j ) )
6764, 65, 66syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  ~<_  om 
/\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A
)  /\  ( a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A ) )  /\  ( c  e.  i  /\  i  e.  A
) )  ->  E. j  e.  om  i  =  ( b `  j ) )
68 simprrl 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  ~<_  om 
/\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A
)  /\  ( a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A ) )  /\  ( ( c  e.  i  /\  i  e.  A )  /\  (
j  e.  om  /\  i  =  ( b `  j ) ) ) )  ->  j  e.  om )
69 ordom 6720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  Ord  om
70 simpll2 1070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( A  ~<_  om 
/\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A
)  /\  ( a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A ) )  /\  ( ( c  e.  i  /\  i  e.  A )  /\  (
j  e.  om  /\  i  =  ( b `  j ) ) ) )  ->  A  C_  Fin )
71 simplrr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( A  ~<_  om 
/\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A
)  /\  ( a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A ) )  /\  ( ( c  e.  i  /\  i  e.  A )  /\  (
j  e.  om  /\  i  =  ( b `  j ) ) ) )  ->  b : om -onto-> A )
7271, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( A  ~<_  om 
/\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A
)  /\  ( a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A ) )  /\  ( ( c  e.  i  /\  i  e.  A )  /\  (
j  e.  om  /\  i  =  ( b `  j ) ) ) )  ->  b : om
--> A )
7372, 68ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( A  ~<_  om 
/\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A
)  /\  ( a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A ) )  /\  ( ( c  e.  i  /\  i  e.  A )  /\  (
j  e.  om  /\  i  =  ( b `  j ) ) ) )  ->  ( b `  j )  e.  A
)
7470, 73sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( A  ~<_  om 
/\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A
)  /\  ( a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A ) )  /\  ( ( c  e.  i  /\  i  e.  A )  /\  (
j  e.  om  /\  i  =  ( b `  j ) ) ) )  ->  ( b `  j )  e.  Fin )
75 ficardom 8413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( b `  j )  e.  Fin  ->  ( card `  ( b `  j ) )  e. 
om )
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  ~<_  om 
/\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A
)  /\  ( a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A ) )  /\  ( ( c  e.  i  /\  i  e.  A )  /\  (
j  e.  om  /\  i  =  ( b `  j ) ) ) )  ->  ( card `  ( b `  j
) )  e.  om )
77 ordelss 5446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( Ord  om  /\  ( card `  ( b `  j ) )  e. 
om )  ->  ( card `  ( b `  j ) )  C_  om )
7869, 76, 77sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  ~<_  om 
/\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A
)  /\  ( a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A ) )  /\  ( ( c  e.  i  /\  i  e.  A )  /\  (
j  e.  om  /\  i  =  ( b `  j ) ) ) )  ->  ( card `  ( b `  j
) )  C_  om )
79 elssuni 4219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( b `  j )  e.  A  ->  (
b `  j )  C_ 
U. A )
8073, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( A  ~<_  om 
/\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A
)  /\  ( a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A ) )  /\  ( ( c  e.  i  /\  i  e.  A )  /\  (
j  e.  om  /\  i  =  ( b `  j ) ) ) )  ->  ( b `  j )  C_  U. A
)
81 simpll3 1071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( A  ~<_  om 
/\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A
)  /\  ( a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A ) )  /\  ( ( c  e.  i  /\  i  e.  A )  /\  (
j  e.  om  /\  i  =  ( b `  j ) ) ) )  ->  B  Or  U. A )
82 soss 4778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( b `  j ) 
C_  U. A  ->  ( B  Or  U. A  ->  B  Or  ( b `  j ) ) )
8380, 81, 82sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( A  ~<_  om 
/\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A
)  /\  ( a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A ) )  /\  ( ( c  e.  i  /\  i  e.  A )  /\  (
j  e.  om  /\  i  =  ( b `  j ) ) ) )  ->  B  Or  ( b `  j
) )
84 finnisoeu 8562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( B  Or  ( b `
 j )  /\  ( b `  j
)  e.  Fin )  ->  E! h  h  Isom  _E  ,  B  ( (
card `  ( b `  j ) ) ,  ( b `  j
) ) )
8583, 74, 84syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( A  ~<_  om 
/\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A
)  /\  ( a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A ) )  /\  ( ( c  e.  i  /\  i  e.  A )  /\  (
j  e.  om  /\  i  =  ( b `  j ) ) ) )  ->  E! h  h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  j )
) ,  ( b `
 j ) ) )
86 iotacl 5576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( E! h  h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  ( b `  j
) ) ,  ( b `  j ) )  ->  ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  ( b `  j
) ) ,  ( b `  j ) ) )  e.  {
h  |  h  Isom  _E  ,  B  ( (
card `  ( b `  j ) ) ,  ( b `  j
) ) } )
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( A  ~<_  om 
/\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A
)  /\  ( a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A ) )  /\  ( ( c  e.  i  /\  i  e.  A )  /\  (
j  e.  om  /\  i  =  ( b `  j ) ) ) )  ->  ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  ( b `  j
) ) ,  ( b `  j ) ) )  e.  {
h  |  h  Isom  _E  ,  B  ( (
card `  ( b `  j ) ) ,  ( b `  j
) ) } )
88 iotaex 5570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( iota
h h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  ( b `  j
) ) ,  ( b `  j ) ) )  e.  _V
89 isoeq1 6228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( a  =  ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  j )
) ,  ( b `
 j ) ) )  ->  ( a  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  j )
) ,  ( b `
 j ) )  <-> 
( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( (
card `  ( b `  j ) ) ,  ( b `  j
) ) )  Isom  _E  ,  B  ( (
card `  ( b `  j ) ) ,  ( b `  j
) ) ) )
90 isoeq1 6228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( h  =  a  ->  (
h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  j )
) ,  ( b `
 j ) )  <-> 
a  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  j )
) ,  ( b `
 j ) ) ) )
9190cbvabv 2595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  { h  |  h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  ( b `  j
) ) ,  ( b `  j ) ) }  =  {
a  |  a  Isom  _E  ,  B  ( (
card `  ( b `  j ) ) ,  ( b `  j
) ) }
9288, 89, 91elab2 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( (
card `  ( b `  j ) ) ,  ( b `  j
) ) )  e. 
{ h  |  h 
Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  j )
) ,  ( b `
 j ) ) }  <->  ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  j )
) ,  ( b `
 j ) ) )  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  j )
) ,  ( b `
 j ) ) )
9387, 92sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( A  ~<_  om 
/\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A
)  /\  ( a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A ) )  /\  ( ( c  e.  i  /\  i  e.  A )  /\  (
j  e.  om  /\  i  =  ( b `  j ) ) ) )  ->  ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  ( b `  j
) ) ,  ( b `  j ) ) )  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  ( b `  j
) ) ,  ( b `  j ) ) )
94 isof1o 6234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( (
card `  ( b `  j ) ) ,  ( b `  j
) ) )  Isom  _E  ,  B  ( (
card `  ( b `  j ) ) ,  ( b `  j
) )  ->  ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  ( b `  j
) ) ,  ( b `  j ) ) ) : (
card `  ( b `  j ) ) -1-1-onto-> ( b `
 j ) )
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( A  ~<_  om 
/\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A
)  /\  ( a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A ) )  /\  ( ( c  e.  i  /\  i  e.  A )  /\  (
j  e.  om  /\  i  =  ( b `  j ) ) ) )  ->  ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  ( b `  j
) ) ,  ( b `  j ) ) ) : (
card `  ( b `  j ) ) -1-1-onto-> ( b `
 j ) )
96 f1ocnv 5840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( (
card `  ( b `  j ) ) ,  ( b `  j
) ) ) : ( card `  (
b `  j )
)
-1-1-onto-> ( b `  j
)  ->  `' ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  ( b `  j
) ) ,  ( b `  j ) ) ) : ( b `  j ) -1-1-onto-> (
card `  ( b `  j ) ) )
97 f1of 5828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( `' ( iota h h 
Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  j )
) ,  ( b `
 j ) ) ) : ( b `
 j ) -1-1-onto-> ( card `  ( b `  j
) )  ->  `' ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( (
card `  ( b `  j ) ) ,  ( b `  j
) ) ) : ( b `  j
) --> ( card `  (
b `  j )
) )
9895, 96, 973syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  ~<_  om 
/\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A
)  /\  ( a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A ) )  /\  ( ( c  e.  i  /\  i  e.  A )  /\  (
j  e.  om  /\  i  =  ( b `  j ) ) ) )  ->  `' ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  ( b `  j
) ) ,  ( b `  j ) ) ) : ( b `  j ) --> ( card `  (
b `  j )
) )
99 simprll 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( A  ~<_  om 
/\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A
)  /\  ( a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A ) )  /\  ( ( c  e.  i  /\  i  e.  A )  /\  (
j  e.  om  /\  i  =  ( b `  j ) ) ) )  ->  c  e.  i )
100 simprrr 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( A  ~<_  om 
/\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A
)  /\  ( a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A ) )  /\  ( ( c  e.  i  /\  i  e.  A )  /\  (
j  e.  om  /\  i  =  ( b `  j ) ) ) )  ->  i  =  ( b `  j
) )
10199, 100eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  ~<_  om 
/\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A
)  /\  ( a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A ) )  /\  ( ( c  e.  i  /\  i  e.  A )  /\  (
j  e.  om  /\  i  =  ( b `  j ) ) ) )  ->  c  e.  ( b `  j
) )
10298, 101ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  ~<_  om 
/\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A
)  /\  ( a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A ) )  /\  ( ( c  e.  i  /\  i  e.  A )  /\  (
j  e.  om  /\  i  =  ( b `  j ) ) ) )  ->  ( `' ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( (
card `  ( b `  j ) ) ,  ( b `  j
) ) ) `  c )  e.  (
card `  ( b `  j ) ) )
10378, 102sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  ~<_  om 
/\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A
)  /\  ( a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A ) )  /\  ( ( c  e.  i  /\  i  e.  A )  /\  (
j  e.  om  /\  i  =  ( b `  j ) ) ) )  ->  ( `' ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( (
card `  ( b `  j ) ) ,  ( b `  j
) ) ) `  c )  e.  om )
104 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( f  =  j  ->  (
b `  f )  =  ( b `  j ) )
105104fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( f  =  j  ->  ( card `  ( b `  f ) )  =  ( card `  (
b `  j )
) )
106105eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( f  =  j  ->  (
g  e.  ( card `  ( b `  f
) )  <->  g  e.  ( card `  ( b `  j ) ) ) )
107 isoeq4 6231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
card `  ( b `  f ) )  =  ( card `  (
b `  j )
)  ->  ( h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  f )
) ,  ( b `
 f ) )  <-> 
h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  j )
) ,  ( b `
 f ) ) ) )
108105, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( f  =  j  ->  (
h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  f )
) ,  ( b `
 f ) )  <-> 
h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  j )
) ,  ( b `
 f ) ) ) )
109 isoeq5 6232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( b `  f )  =  ( b `  j )  ->  (
h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  j )
) ,  ( b `
 f ) )  <-> 
h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  j )
) ,  ( b `
 j ) ) ) )
110104, 109syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( f  =  j  ->  (
h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  j )
) ,  ( b `
 f ) )  <-> 
h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  j )
) ,  ( b `
 j ) ) ) )
111108, 110bitrd 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( f  =  j  ->  (
h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  f )
) ,  ( b `
 f ) )  <-> 
h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  j )
) ,  ( b `
 j ) ) ) )
112111iotabidv 5574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( f  =  j  ->  ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  ( b `  f
) ) ,  ( b `  f ) ) )  =  ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( (
card `  ( b `  j ) ) ,  ( b `  j
) ) ) )
113112fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( f  =  j  ->  (
( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( (
card `  ( b `  f ) ) ,  ( b `  f
) ) ) `  g )  =  ( ( iota h h 
Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  j )
) ,  ( b `
 j ) ) ) `  g ) )
114106, 113ifbieq1d 3895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( f  =  j  ->  if ( g  e.  (
card `  ( b `  f ) ) ,  ( ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  f )
) ,  ( b `
 f ) ) ) `  g ) ,  a )  =  if ( g  e.  ( card `  (
b `  j )
) ,  ( ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( (
card `  ( b `  j ) ) ,  ( b `  j
) ) ) `  g ) ,  a ) )
115 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( g  =  ( `' ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( (
card `  ( b `  j ) ) ,  ( b `  j
) ) ) `  c )  ->  (
g  e.  ( card `  ( b `  j
) )  <->  ( `' ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( (
card `  ( b `  j ) ) ,  ( b `  j
) ) ) `  c )  e.  (
card `  ( b `  j ) ) ) )
116 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( g  =  ( `' ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( (
card `  ( b `  j ) ) ,  ( b `  j
) ) ) `  c )  ->  (
( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( (
card `  ( b `  j ) ) ,  ( b `  j
) ) ) `  g )  =  ( ( iota h h 
Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  j )
) ,  ( b `
 j ) ) ) `  ( `' ( iota h h 
Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  j )
) ,  ( b `
 j ) ) ) `  c ) ) )
117115, 116ifbieq1d 3895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( g  =  ( `' ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( (
card `  ( b `  j ) ) ,  ( b `  j
) ) ) `  c )  ->  if ( g  e.  (
card `  ( b `  j ) ) ,  ( ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  j )
) ,  ( b `
 j ) ) ) `  g ) ,  a )  =  if ( ( `' ( iota h h 
Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  j )
) ,  ( b `
 j ) ) ) `  c )  e.  ( card `  (
b `  j )
) ,  ( ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( (
card `  ( b `  j ) ) ,  ( b `  j
) ) ) `  ( `' ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  j )
) ,  ( b `
 j ) ) ) `  c ) ) ,  a ) )
118 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( (
card `  ( b `  j ) ) ,  ( b `  j
) ) ) `  ( `' ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  j )
) ,  ( b `
 j ) ) ) `  c ) )  e.  _V
119 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  a  e. 
_V
120118, 119ifex 3940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  if ( ( `' ( iota
h h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  ( b `  j
) ) ,  ( b `  j ) ) ) `  c
)  e.  ( card `  ( b `  j
) ) ,  ( ( iota h h 
Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  j )
) ,  ( b `
 j ) ) ) `  ( `' ( iota h h 
Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  j )
) ,  ( b `
 j ) ) ) `  c ) ) ,  a )  e.  _V
121114, 117, 60, 120ovmpt2 6451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( j  e.  om  /\  ( `' ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  j )
) ,  ( b `
 j ) ) ) `  c )  e.  om )  -> 
( j ( f  e.  om ,  g  e.  om  |->  if ( g  e.  ( card `  ( b `  f
) ) ,  ( ( iota h h 
Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  f )
) ,  ( b `
 f ) ) ) `  g ) ,  a ) ) ( `' ( iota
h h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  ( b `  j
) ) ,  ( b `  j ) ) ) `  c
) )  =  if ( ( `' ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( (
card `  ( b `  j ) ) ,  ( b `  j
) ) ) `  c )  e.  (
card `  ( b `  j ) ) ,  ( ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  j )
) ,  ( b `
 j ) ) ) `  ( `' ( iota h h 
Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  j )
) ,  ( b `
 j ) ) ) `  c ) ) ,  a ) )
12268, 103, 121syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  ~<_  om 
/\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A
)  /\  ( a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A ) )  /\  ( ( c  e.  i  /\  i  e.  A )  /\  (
j  e.  om  /\  i  =  ( b `  j ) ) ) )  ->  ( j
( f  e.  om ,  g  e.  om  |->  if ( g  e.  (
card `  ( b `  f ) ) ,  ( ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  f )
) ,  ( b `
 f ) ) ) `  g ) ,  a ) ) ( `' ( iota
h h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  ( b `  j
) ) ,  ( b `  j ) ) ) `  c
) )  =  if ( ( `' ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( (
card `  ( b `  j ) ) ,  ( b `  j
) ) ) `  c )  e.  (
card `  ( b `  j ) ) ,  ( ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  j )
) ,  ( b `
 j ) ) ) `  ( `' ( iota h h 
Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  j )
) ,  ( b `
 j ) ) ) `  c ) ) ,  a ) )
123102iftrued 3880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  ~<_  om 
/\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A
)  /\  ( a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A ) )  /\  ( ( c  e.  i  /\  i  e.  A )  /\  (
j  e.  om  /\  i  =  ( b `  j ) ) ) )  ->  if (
( `' ( iota
h h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  ( b `  j
) ) ,  ( b `  j ) ) ) `  c
)  e.  ( card `  ( b `  j
) ) ,  ( ( iota h h 
Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  j )
) ,  ( b `
 j ) ) ) `  ( `' ( iota h h 
Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  j )
) ,  ( b `
 j ) ) ) `  c ) ) ,  a )  =  ( ( iota
h h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  ( b `  j
) ) ,  ( b `  j ) ) ) `  ( `' ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  j )
) ,  ( b `
 j ) ) ) `  c ) ) )
124 f1ocnvfv2 6194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( iota h h 
Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  j )
) ,  ( b `
 j ) ) ) : ( card `  ( b `  j
) ) -1-1-onto-> ( b `  j
)  /\  c  e.  ( b `  j
) )  ->  (
( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( (
card `  ( b `  j ) ) ,  ( b `  j
) ) ) `  ( `' ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  j )
) ,  ( b `
 j ) ) ) `  c ) )  =  c )
12595, 101, 124syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  ~<_  om 
/\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A
)  /\  ( a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A ) )  /\  ( ( c  e.  i  /\  i  e.  A )  /\  (
j  e.  om  /\  i  =  ( b `  j ) ) ) )  ->  ( ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  ( b `  j
) ) ,  ( b `  j ) ) ) `  ( `' ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  j )
) ,  ( b `
 j ) ) ) `  c ) )  =  c )
126122, 123, 1253eqtrrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  ~<_  om 
/\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A
)  /\  ( a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A ) )  /\  ( ( c  e.  i  /\  i  e.  A )  /\  (
j  e.  om  /\  i  =  ( b `  j ) ) ) )  ->  c  =  ( j ( f  e.  om ,  g  e.  om  |->  if ( g  e.  ( card `  ( b `  f
) ) ,  ( ( iota h h 
Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  f )
) ,  ( b `
 f ) ) ) `  g ) ,  a ) ) ( `' ( iota
h h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  ( b `  j
) ) ,  ( b `  j ) ) ) `  c
) ) )
127 rspceov 6347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( j  e.  om  /\  ( `' ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  j )
) ,  ( b `
 j ) ) ) `  c )  e.  om  /\  c  =  ( j ( f  e.  om , 
g  e.  om  |->  if ( g  e.  (
card `  ( b `  f ) ) ,  ( ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  f )
) ,  ( b `
 f ) ) ) `  g ) ,  a ) ) ( `' ( iota
h h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  ( b `  j
) ) ,  ( b `  j ) ) ) `  c
) ) )  ->  E. d  e.  om  E. e  e.  om  c  =  ( d ( f  e.  om , 
g  e.  om  |->  if ( g  e.  (
card `  ( b `  f ) ) ,  ( ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  f )
) ,  ( b `
 f ) ) ) `  g ) ,  a ) ) e ) )
12868, 103, 126, 127syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  ~<_  om 
/\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A
)  /\  ( a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A ) )  /\  ( ( c  e.  i  /\  i  e.  A )  /\  (
j  e.  om  /\  i  =  ( b `  j ) ) ) )  ->  E. d  e.  om  E. e  e. 
om  c  =  ( d ( f  e. 
om ,  g  e. 
om  |->  if ( g  e.  ( card `  (
b `  f )
) ,  ( ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( (
card `  ( b `  f ) ) ,  ( b `  f
) ) ) `  g ) ,  a ) ) e ) )
129128expr 626 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  ~<_  om 
/\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A
)  /\  ( a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A ) )  /\  ( c  e.  i  /\  i  e.  A
) )  ->  (
( j  e.  om  /\  i  =  ( b `
 j ) )  ->  E. d  e.  om  E. e  e.  om  c  =  ( d ( f  e.  om , 
g  e.  om  |->  if ( g  e.  (
card `  ( b `  f ) ) ,  ( ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  f )
) ,  ( b `
 f ) ) ) `  g ) ,  a ) ) e ) ) )
130129expd 443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  ~<_  om 
/\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A
)  /\  ( a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A ) )  /\  ( c  e.  i  /\  i  e.  A
) )  ->  (
j  e.  om  ->  ( i  =  ( b `
 j )  ->  E. d  e.  om  E. e  e.  om  c  =  ( d ( f  e.  om , 
g  e.  om  |->  if ( g  e.  (
card `  ( b `  f ) ) ,  ( ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  f )
) ,  ( b `
 f ) ) ) `  g ) ,  a ) ) e ) ) ) )
131130rexlimdv 2870 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  ~<_  om 
/\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A
)  /\  ( a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A ) )  /\  ( c  e.  i  /\  i  e.  A
) )  ->  ( E. j  e.  om  i  =  ( b `  j )  ->  E. d  e.  om  E. e  e. 
om  c  =  ( d ( f  e. 
om ,  g  e. 
om  |->  if ( g  e.  ( card `  (
b `  f )
) ,  ( ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( (
card `  ( b `  f ) ) ,  ( b `  f
) ) ) `  g ) ,  a ) ) e ) ) )
13267, 131mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  ~<_  om 
/\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A
)  /\  ( a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A ) )  /\  ( c  e.  i  /\  i  e.  A
) )  ->  E. d  e.  om  E. e  e. 
om  c  =  ( d ( f  e. 
om ,  g  e. 
om  |->  if ( g  e.  ( card `  (
b `  f )
) ,  ( ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( (
card `  ( b `  f ) ) ,  ( b `  f
) ) ) `  g ) ,  a ) ) e ) )
133132ex 441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  ~<_  om  /\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A )  /\  ( a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A ) )  -> 
( ( c  e.  i  /\  i  e.  A )  ->  E. d  e.  om  E. e  e. 
om  c  =  ( d ( f  e. 
om ,  g  e. 
om  |->  if ( g  e.  ( card `  (
b `  f )
) ,  ( ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( (
card `  ( b `  f ) ) ,  ( b `  f
) ) ) `  g ) ,  a ) ) e ) ) )
134133exlimdv 1787 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  ~<_  om  /\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A )  /\  ( a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A ) )  -> 
( E. i ( c  e.  i  /\  i  e.  A )  ->  E. d  e.  om  E. e  e.  om  c  =  ( d ( f  e.  om , 
g  e.  om  |->  if ( g  e.  (
card `  ( b `  f ) ) ,  ( ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  f )
) ,  ( b `
 f ) ) ) `  g ) ,  a ) ) e ) ) )
13563, 134syl5bi 225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  ~<_  om  /\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A )  /\  ( a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A ) )  -> 
( c  e.  U. A  ->  E. d  e.  om  E. e  e.  om  c  =  ( d ( f  e.  om , 
g  e.  om  |->  if ( g  e.  (
card `  ( b `  f ) ) ,  ( ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  f )
) ,  ( b `
 f ) ) ) `  g ) ,  a ) ) e ) ) )
136135ralrimiv 2808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  ~<_  om  /\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A )  /\  ( a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A ) )  ->  A. c  e.  U. A E. d  e.  om  E. e  e.  om  c  =  ( d ( f  e.  om , 
g  e.  om  |->  if ( g  e.  (
card `  ( b `  f ) ) ,  ( ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  f )
) ,  ( b `
 f ) ) ) `  g ) ,  a ) ) e ) )
137 foov 6462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  e.  om , 
g  e.  om  |->  if ( g  e.  (
card `  ( b `  f ) ) ,  ( ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  f )
) ,  ( b `
 f ) ) ) `  g ) ,  a ) ) : ( om  X.  om ) -onto-> U. A  <->  ( (
f  e.  om , 
g  e.  om  |->  if ( g  e.  (
card `  ( b `  f ) ) ,  ( ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  f )
) ,  ( b `
 f ) ) ) `  g ) ,  a ) ) : ( om  X.  om ) --> U. A  /\  A. c  e.  U. A E. d  e.  om  E. e  e.  om  c  =  ( d ( f  e. 
om ,  g  e. 
om  |->  if ( g  e.  ( card `  (
b `  f )
) ,  ( ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( (
card `  ( b `  f ) ) ,  ( b `  f
) ) ) `  g ) ,  a ) ) e ) ) )
13862, 136, 137sylanbrc 677 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  ~<_  om  /\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A )  /\  ( a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A ) )  -> 
( f  e.  om ,  g  e.  om  |->  if ( g  e.  (
card `  ( b `  f ) ) ,  ( ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  f )
) ,  ( b `
 f ) ) ) `  g ) ,  a ) ) : ( om  X.  om ) -onto-> U. A )
139 fodomnum 8506 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( om  X.  om )  e.  dom  card  ->  ( ( f  e.  om , 
g  e.  om  |->  if ( g  e.  (
card `  ( b `  f ) ) ,  ( ( iota h h  Isom  _E  ,  B  ( ( card `  (
b `  f )
) ,  ( b `
 f ) ) ) `  g ) ,  a ) ) : ( om  X.  om ) -onto-> U. A  ->  U. A  ~<_  ( om  X.  om )
) )
14026, 138, 139mpsyl 64 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  ~<_  om  /\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A )  /\  ( a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A ) )  ->  U. A  ~<_  ( om  X.  om ) )
141 xpomen 8464 . . . . . . . . 9  |-  ( om 
X.  om )  ~~  om
142 domentr 7646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U. A  ~<_  ( om 
X.  om )  /\  ( om  X.  om )  ~~  om )  ->  U. A  ~<_  om )
143140, 141, 142sylancl 675 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  ~<_  om  /\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A )  /\  ( a  e.  U. A  /\  b : om -onto-> A ) )  ->  U. A  ~<_  om )
144143expr 626 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  ~<_  om  /\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A )  /\  a  e.  U. A )  ->  ( b : om -onto-> A  ->  U. A  ~<_  om ) )
145144exlimdv 1787 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  ~<_  om  /\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A )  /\  a  e.  U. A )  ->  ( E. b 
b : om -onto-> A  ->  U. A  ~<_  om )
)
14621, 145mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( A  ~<_  om  /\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A )  /\  a  e.  U. A )  ->  U. A  ~<_  om )
147146expcom 442 . . . 4  |-  ( a  e.  U. A  -> 
( ( A  ~<_  om 
/\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A
)  ->  U. A  ~<_  om ) )
148147exlimiv 1784 . . 3  |-  ( E. a  a  e.  U. A  ->  ( ( A  ~<_  om  /\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A )  ->  U. A  ~<_  om ) )
1496, 148sylbi 200 . 2  |-  ( U. A  =/=  (/)  ->  ( ( A  ~<_  om  /\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A )  ->  U. A  ~<_  om ) )
1505, 149pm2.61ine 2726 1  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  A  C_  Fin  /\  B  Or  U. A )  ->  U. A  ~<_  om )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904   E!weu 2319   {cab 2457    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ifcif 3872   U.cuni 4190   class class class wbr 4395    _E cep 4748    Or wor 4759    X. cxp 4837   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   Ord word 5429   Oncon0 5430   iotacio 5551   -->wf 5585   -onto->wfo 5587   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589    Isom wiso 5590  (class class class)co 6308    |-> cmpt2 6310   omcom 6711    ~~ cen 7584    ~<_ cdom 7585    ~< csdm 7586   Fincfn 7587   cardccrd 8387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394
This theorem is referenced by:  aannenlem3  23365
  Copyright terms: Public domain W3C validator