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Theorem iunfi 7353
Description: The finite union of finite sets is finite. Exercise 13 of [Enderton] p. 144. This is the indexed union version of unifi 7354. Note that  B depends on  x, i.e. can be thought of as  B ( x ). (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
iunfi  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  Fin )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem iunfi
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 2864 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( A. x  e.  w  B  e.  Fin  <->  A. x  e.  (/)  B  e.  Fin ) )
2 iuneq1 4066 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  U_ x  e.  w  B  =  U_ x  e.  (/)  B )
3 0iun 4108 . . . . . 6  |-  U_ x  e.  (/)  B  =  (/)
42, 3syl6eq 2452 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  U_ x  e.  w  B  =  (/) )
54eleq1d 2470 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( U_ x  e.  w  B  e.  Fin  <->  (/)  e.  Fin )
)
61, 5imbi12d 312 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( A. x  e.  w  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  w  B  e.  Fin )  <->  ( A. x  e.  (/)  B  e.  Fin  -> 
(/)  e.  Fin )
) )
7 raleq 2864 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  ( A. x  e.  w  B  e.  Fin  <->  A. x  e.  y  B  e.  Fin ) )
8 iuneq1 4066 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  U_ x  e.  w  B  =  U_ x  e.  y  B )
98eleq1d 2470 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  ( U_ x  e.  w  B  e.  Fin  <->  U_ x  e.  y  B  e.  Fin ) )
107, 9imbi12d 312 . . 3  |-  ( w  =  y  ->  (
( A. x  e.  w  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  w  B  e.  Fin )  <->  ( A. x  e.  y  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  y  B  e.  Fin ) ) )
11 raleq 2864 . . . 4  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. x  e.  w  B  e.  Fin 
<-> 
A. x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e. 
Fin ) )
12 iuneq1 4066 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  U_ x  e.  w  B  =  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B )
1312eleq1d 2470 . . . 4  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( U_ x  e.  w  B  e.  Fin 
<-> 
U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e. 
Fin ) )
1411, 13imbi12d 312 . . 3  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( A. x  e.  w  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  w  B  e.  Fin ) 
<->  ( A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  Fin ) ) )
15 raleq 2864 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  ( A. x  e.  w  B  e.  Fin  <->  A. x  e.  A  B  e.  Fin ) )
16 iuneq1 4066 . . . . 5  |-  ( w  =  A  ->  U_ x  e.  w  B  =  U_ x  e.  A  B
)
1716eleq1d 2470 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  ( U_ x  e.  w  B  e.  Fin  <->  U_ x  e.  A  B  e.  Fin ) )
1815, 17imbi12d 312 . . 3  |-  ( w  =  A  ->  (
( A. x  e.  w  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  w  B  e.  Fin )  <->  ( A. x  e.  A  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  A  B  e.  Fin ) ) )
19 0fin 7295 . . . 4  |-  (/)  e.  Fin
2019a1i 11 . . 3  |-  ( A. x  e.  (/)  B  e. 
Fin  ->  (/)  e.  Fin )
21 ssun1 3470 . . . . . . 7  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
22 ssralv 3367 . . . . . . 7  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  Fin  ->  A. x  e.  y  B  e.  Fin ) )
2321, 22ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  Fin  ->  A. x  e.  y  B  e.  Fin )
2423imim1i 56 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  y  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  -> 
( A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  y  B  e.  Fin ) )
25 iunxun 4132 . . . . . . 7  |-  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  =  ( U_ x  e.  y  B  u.  U_ x  e.  { z } B )
26 nfcv 2540 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y B
27 nfcsb1v 3243 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ B
28 csbeq1a 3219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  B  =  [_ y  /  x ]_ B )
2926, 27, 28cbviun 4088 . . . . . . . . . 10  |-  U_ x  e.  { z } B  =  U_ y  e.  {
z } [_ y  /  x ]_ B
30 vex 2919 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
31 csbeq1 3214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  [_ y  /  x ]_ B  = 
[_ z  /  x ]_ B )
3230, 31iunxsn 4130 . . . . . . . . . 10  |-  U_ y  e.  { z } [_ y  /  x ]_ B  =  [_ z  /  x ]_ B
3329, 32eqtri 2424 . . . . . . . . 9  |-  U_ x  e.  { z } B  =  [_ z  /  x ]_ B
34 ssun2 3471 . . . . . . . . . . 11  |-  { z }  C_  ( y  u.  { z } )
3530snid 3801 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
{ z }
3634, 35sselii 3305 . . . . . . . . . 10  |-  z  e.  ( y  u.  {
z } )
37 nfcsb1v 3243 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x [_ z  /  x ]_ B
3837nfel1 2550 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x [_ z  /  x ]_ B  e.  Fin
39 csbeq1a 3219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  B  =  [_ z  /  x ]_ B )
4039eleq1d 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  ( B  e.  Fin  <->  [_ z  /  x ]_ B  e.  Fin ) )
4138, 40rspc 3006 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  Fin  ->  [_ z  /  x ]_ B  e. 
Fin ) )
4236, 41ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  Fin  ->  [_ z  /  x ]_ B  e.  Fin )
4333, 42syl5eqel 2488 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  { z } B  e.  Fin )
44 unfi 7333 . . . . . . . 8  |-  ( (
U_ x  e.  y  B  e.  Fin  /\  U_ x  e.  { z } B  e.  Fin )  ->  ( U_ x  e.  y  B  u.  U_ x  e.  { z } B )  e. 
Fin )
4543, 44sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( (
U_ x  e.  y  B  e.  Fin  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  Fin )  ->  ( U_ x  e.  y  B  u.  U_ x  e.  { z } B )  e. 
Fin )
4625, 45syl5eqel 2488 . . . . . 6  |-  ( (
U_ x  e.  y  B  e.  Fin  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  Fin )  ->  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e. 
Fin )
4746expcom 425 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  Fin  ->  (
U_ x  e.  y  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  Fin ) )
4824, 47sylcom 27 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  y  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  -> 
( A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  Fin ) )
4948a1i 11 . . 3  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
( A. x  e.  y  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  ->  ( A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  Fin ) ) )
506, 10, 14, 18, 20, 49findcard2 7307 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A. x  e.  A  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  A  B  e.  Fin ) )
5150imp 419 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   [_csb 3211    u. cun 3278    C_ wss 3280   (/)c0 3588   {csn 3774   U_ciun 4053   Fincfn 7068
This theorem is referenced by:  unifi  7354  ixpfi  7362  ackbij1lem9  8064  ackbij1lem10  8065  fsum2dlem  12509  fsumcom2  12513  fsumiun  12555  hashiun  12556  ackbijnn  12562  ablfaclem3  15600  txcmplem2  17627  alexsubALTlem3  18033  aannenlem1  20198  fsumvma  20950  fprod2dlem  25257  fprodcom2  25261  locfincmp  26274  fiphp3d  26770  hbt  27202  frghash2spot  28166  usgreghash2spotv  28169
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-fin 7072
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