Theorem iunfi 5659

Description: The finite union of finite sets is finite. Exercise 13 of [Enderton] p. 144. This is the indexed union version of unifi 5648. Note that B depends on x, i.e. can be thought of as B(x).

Assertion

Ref	Expression
iunfi	|- ((A e. Fin /\ A.x e. A B e. Fin) -> U_x e. A B e. Fin)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem iunfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fodomfi 5656	. . . . . . 7 |- ((A e. Fin /\ {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)}:A-onto->ran {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)}) -> ran {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)} ~<_ A)
2		eqid 1884	. . . . . . . . 9 |- {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)} = {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)}
3	2	fnopab2g 4547	. . . . . . . 8 |- (A.x e. A B e. _V <-> {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)} Fn A)
4		dffn4 4623	. . . . . . . 8 |- ({<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)} Fn A <-> {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)}:A-onto->ran {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)})
5	3, 4	bitri 190	. . . . . . 7 |- (A.x e. A B e. _V <-> {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)}:A-onto->ran {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)})
6	1, 5	sylan2b 501	. . . . . 6 |- ((A e. Fin /\ A.x e. A B e. _V) -> ran {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)} ~<_ A)
7		rnopab2 4202	. . . . . 6 |- ran {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)} = {y | E.x e. A y = B}
8	6, 7	syl5eqbrr 3371	. . . . 5 |- ((A e. Fin /\ A.x e. A B e. _V) -> {y | E.x e. A y = B} ~<_ A)
9		domfi 5631	. . . . 5 |- ((A e. Fin /\ {y | E.x e. A y = B} ~<_ A) -> {y | E.x e. A y = B} e. Fin)
10	8, 9	syldan 516	. . . 4 |- ((A e. Fin /\ A.x e. A B e. _V) -> {y | E.x e. A y = B} e. Fin)
11		elisset 2299	. . . . 5 |- (B e. Fin -> B e. _V)
12	11	ralimi 2168	. . . 4 |- (A.x e. A B e. Fin -> A.x e. A B e. _V)
13	10, 12	sylan2 500	. . 3 |- ((A e. Fin /\ A.x e. A B e. Fin) -> {y | E.x e. A y = B} e. Fin)
14		r19.29 2227	. . . . . . . 8 |- ((A.x e. A B e. Fin /\ E.x e. A y = B) -> E.x e. A (B e. Fin /\ y = B))
15		eleq1a 1966	. . . . . . . . . . 11 |- (B e. Fin -> (y = B -> y e. Fin))
16	15	imp 377	. . . . . . . . . 10 |- ((B e. Fin /\ y = B) -> y e. Fin)
17	16	a1i 8	. . . . . . . . 9 |- (x e. A -> ((B e. Fin /\ y = B) -> y e. Fin))
18	17	r19.23aiv 2211	. . . . . . . 8 |- (E.x e. A (B e. Fin /\ y = B) -> y e. Fin)
19	14, 18	syl 12	. . . . . . 7 |- ((A.x e. A B e. Fin /\ E.x e. A y = B) -> y e. Fin)
20	19	ex 402	. . . . . 6 |- (A.x e. A B e. Fin -> (E.x e. A y = B -> y e. Fin))
21	20	adantl 424	. . . . 5 |- ((A e. Fin /\ A.x e. A B e. Fin) -> (E.x e. A y = B -> y e. Fin))
22		abid 1873	. . . . 5 |- (y e. {y | E.x e. A y = B} <-> E.x e. A y = B)
23	21, 22	syl5ib 223	. . . 4 |- ((A e. Fin /\ A.x e. A B e. Fin) -> (y e. {y | E.x e. A y = B} -> y e. Fin))
24	23	r19.21aiv 2175	. . 3 |- ((A e. Fin /\ A.x e. A B e. Fin) -> A.y e. {y | E.x e. A y = B}y e. Fin)
25		unifi 5648	. . . 4 |- (({y | E.x e. A y = B} e. Fin /\ A.z e. {y | E.x e. A y = B}z e. Fin) -> U.{y | E.x e. A y = B} e. Fin)
26		hbab1 1874	. . . . 5 |- (w e. {y | E.x e. A y = B} -> A.y w e. {y | E.x e. A y = B})
27		ax-17 1317	. . . . 5 |- (w e. {y | E.x e. A y = B} -> A.z w e. {y | E.x e. A y = B})
28		ax-17 1317	. . . . 5 |- (y e. Fin -> A.z y e. Fin)
29		ax-17 1317	. . . . 5 |- (z e. Fin -> A.y z e. Fin)
30		eleq1 1957	. . . . 5 |- (y = z -> (y e. Fin <-> z e. Fin))
31	26, 27, 28, 29, 30	cbvralf 2276	. . . 4 |- (A.y e. {y | E.x e. A y = B}y e. Fin <-> A.z e. {y | E.x e. A y = B}z e. Fin)
32	25, 31	sylan2b 501	. . 3 |- (({y | E.x e. A y = B} e. Fin /\ A.y e. {y | E.x e. A y = B}y e. Fin) -> U.{y | E.x e. A y = B} e. Fin)
33	13, 24, 32	syl11anc 524	. 2 |- ((A e. Fin /\ A.x e. A B e. Fin) -> U.{y | E.x e. A y = B} e. Fin)
34		dfiun2g 3283	. . . 4 |- (A.x e. A B e. Fin -> U_x e. A B = U.{y | E.x e. A y = B})
35	34	eleq1d 1963	. . 3 |- (A.x e. A B e. Fin -> (U_x e. A B e. Fin <-> U.{y | E.x e. A y = B} e. Fin))
36	35	adantl 424	. 2 |- ((A e. Fin /\ A.x e. A B e. Fin) -> (U_x e. A B e. Fin <-> U.{y | E.x e. A y = B} e. Fin))
37	33, 36	mpbird 213	1 |- ((A e. Fin /\ A.x e. A B e. Fin) -> U_x e. A B e. Fin)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292  U.cuni 3177  U_ciun 3255   class class class wbr 3338  {copab 3395  ran crn 3987   Fn wfn 3993  -onto->wfo 3996   ~<_ cdom 5424  Fincfn 5426

This theorem is referenced by:  isunscov 14386  alexsublem3 15439  locfincomp 15514  ixpfi 15728

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-fin 5430

Copyright terms: Public domain