MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iunfi Structured version   Unicode version

Theorem iunfi 7859
Description: The finite union of finite sets is finite. Exercise 13 of [Enderton] p. 144. This is the indexed union version of unifi 7860. Note that  B depends on  x, i.e. can be thought of as  B ( x ). (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
iunfi  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  Fin )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem iunfi
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 3023 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( A. x  e.  w  B  e.  Fin  <->  A. x  e.  (/)  B  e.  Fin ) )
2 iuneq1 4307 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  U_ x  e.  w  B  =  U_ x  e.  (/)  B )
3 0iun 4350 . . . . . 6  |-  U_ x  e.  (/)  B  =  (/)
42, 3syl6eq 2477 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  U_ x  e.  w  B  =  (/) )
54eleq1d 2489 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( U_ x  e.  w  B  e.  Fin  <->  (/)  e.  Fin )
)
61, 5imbi12d 321 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( A. x  e.  w  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  w  B  e.  Fin )  <->  ( A. x  e.  (/)  B  e.  Fin  -> 
(/)  e.  Fin )
) )
7 raleq 3023 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  ( A. x  e.  w  B  e.  Fin  <->  A. x  e.  y  B  e.  Fin ) )
8 iuneq1 4307 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  U_ x  e.  w  B  =  U_ x  e.  y  B )
98eleq1d 2489 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  ( U_ x  e.  w  B  e.  Fin  <->  U_ x  e.  y  B  e.  Fin ) )
107, 9imbi12d 321 . . 3  |-  ( w  =  y  ->  (
( A. x  e.  w  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  w  B  e.  Fin )  <->  ( A. x  e.  y  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  y  B  e.  Fin ) ) )
11 raleq 3023 . . . 4  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. x  e.  w  B  e.  Fin 
<-> 
A. x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e. 
Fin ) )
12 iuneq1 4307 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  U_ x  e.  w  B  =  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B )
1312eleq1d 2489 . . . 4  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( U_ x  e.  w  B  e.  Fin 
<-> 
U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e. 
Fin ) )
1411, 13imbi12d 321 . . 3  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( A. x  e.  w  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  w  B  e.  Fin ) 
<->  ( A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  Fin ) ) )
15 raleq 3023 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  ( A. x  e.  w  B  e.  Fin  <->  A. x  e.  A  B  e.  Fin ) )
16 iuneq1 4307 . . . . 5  |-  ( w  =  A  ->  U_ x  e.  w  B  =  U_ x  e.  A  B
)
1716eleq1d 2489 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  ( U_ x  e.  w  B  e.  Fin  <->  U_ x  e.  A  B  e.  Fin ) )
1815, 17imbi12d 321 . . 3  |-  ( w  =  A  ->  (
( A. x  e.  w  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  w  B  e.  Fin )  <->  ( A. x  e.  A  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  A  B  e.  Fin ) ) )
19 0fin 7796 . . . 4  |-  (/)  e.  Fin
2019a1i 11 . . 3  |-  ( A. x  e.  (/)  B  e. 
Fin  ->  (/)  e.  Fin )
21 ssun1 3626 . . . . . . 7  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
22 ssralv 3522 . . . . . . 7  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  Fin  ->  A. x  e.  y  B  e.  Fin ) )
2321, 22ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  Fin  ->  A. x  e.  y  B  e.  Fin )
2423imim1i 60 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  y  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  -> 
( A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  y  B  e.  Fin ) )
25 iunxun 4378 . . . . . . 7  |-  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  =  ( U_ x  e.  y  B  u.  U_ x  e.  { z } B )
26 nfcv 2582 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y B
27 nfcsb1v 3408 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ B
28 csbeq1a 3401 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  B  =  [_ y  /  x ]_ B )
2926, 27, 28cbviun 4330 . . . . . . . . . 10  |-  U_ x  e.  { z } B  =  U_ y  e.  {
z } [_ y  /  x ]_ B
30 vex 3081 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
31 csbeq1 3395 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  [_ y  /  x ]_ B  = 
[_ z  /  x ]_ B )
3230, 31iunxsn 4376 . . . . . . . . . 10  |-  U_ y  e.  { z } [_ y  /  x ]_ B  =  [_ z  /  x ]_ B
3329, 32eqtri 2449 . . . . . . . . 9  |-  U_ x  e.  { z } B  =  [_ z  /  x ]_ B
34 ssun2 3627 . . . . . . . . . . 11  |-  { z }  C_  ( y  u.  { z } )
35 ssnid 4022 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
{ z }
3634, 35sselii 3458 . . . . . . . . . 10  |-  z  e.  ( y  u.  {
z } )
37 nfcsb1v 3408 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x [_ z  /  x ]_ B
3837nfel1 2598 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x [_ z  /  x ]_ B  e.  Fin
39 csbeq1a 3401 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  B  =  [_ z  /  x ]_ B )
4039eleq1d 2489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  ( B  e.  Fin  <->  [_ z  /  x ]_ B  e.  Fin ) )
4138, 40rspc 3173 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  Fin  ->  [_ z  /  x ]_ B  e. 
Fin ) )
4236, 41ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  Fin  ->  [_ z  /  x ]_ B  e.  Fin )
4333, 42syl5eqel 2512 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  { z } B  e.  Fin )
44 unfi 7835 . . . . . . . 8  |-  ( (
U_ x  e.  y  B  e.  Fin  /\  U_ x  e.  { z } B  e.  Fin )  ->  ( U_ x  e.  y  B  u.  U_ x  e.  { z } B )  e. 
Fin )
4543, 44sylan2 476 . . . . . . 7  |-  ( (
U_ x  e.  y  B  e.  Fin  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  Fin )  ->  ( U_ x  e.  y  B  u.  U_ x  e.  { z } B )  e. 
Fin )
4625, 45syl5eqel 2512 . . . . . 6  |-  ( (
U_ x  e.  y  B  e.  Fin  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  Fin )  ->  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e. 
Fin )
4746expcom 436 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  Fin  ->  (
U_ x  e.  y  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  Fin ) )
4824, 47sylcom 30 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  y  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  -> 
( A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  Fin ) )
4948a1i 11 . . 3  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
( A. x  e.  y  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  ->  ( A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  Fin ) ) )
506, 10, 14, 18, 20, 49findcard2 7808 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A. x  e.  A  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  A  B  e.  Fin ) )
5150imp 430 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867   A.wral 2773   [_csb 3392    u. cun 3431    C_ wss 3433   (/)c0 3758   {csn 3993   U_ciun 4293   Fincfn 7568
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-er 7362  df-en 7569  df-fin 7572
This theorem is referenced by:  unifi  7860  infssuni  7862  ixpfi  7868  ackbij1lem9  8647  ackbij1lem10  8648  fsuppmapnn0fiublem  12188  fsuppmapnn0fiub  12189  fsum2dlem  13798  fsumcom2  13802  fsumiun  13848  hashiun  13849  ackbijnn  13853  fprod2dlem  14001  fprodcom2  14005  ablfaclem3  17661  pmatcoe1fsupp  19662  locfincmp  20478  txcmplem2  20594  alexsubALTlem3  21001  aannenlem1  23188  fsumvma  24043  frghash2spot  25677  usgreghash2spotv  25680  poimirlem30  31718  fiphp3d  35415  hbt  35743
  Copyright terms: Public domain W3C validator