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Theorem iunfi 7591
Description: The finite union of finite sets is finite. Exercise 13 of [Enderton] p. 144. This is the indexed union version of unifi 7592. Note that  B depends on  x, i.e. can be thought of as  B ( x ). (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
iunfi  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  Fin )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem iunfi
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 2911 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( A. x  e.  w  B  e.  Fin  <->  A. x  e.  (/)  B  e.  Fin ) )
2 iuneq1 4177 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  U_ x  e.  w  B  =  U_ x  e.  (/)  B )
3 0iun 4220 . . . . . 6  |-  U_ x  e.  (/)  B  =  (/)
42, 3syl6eq 2485 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  U_ x  e.  w  B  =  (/) )
54eleq1d 2503 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( U_ x  e.  w  B  e.  Fin  <->  (/)  e.  Fin )
)
61, 5imbi12d 320 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( A. x  e.  w  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  w  B  e.  Fin )  <->  ( A. x  e.  (/)  B  e.  Fin  -> 
(/)  e.  Fin )
) )
7 raleq 2911 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  ( A. x  e.  w  B  e.  Fin  <->  A. x  e.  y  B  e.  Fin ) )
8 iuneq1 4177 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  U_ x  e.  w  B  =  U_ x  e.  y  B )
98eleq1d 2503 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  ( U_ x  e.  w  B  e.  Fin  <->  U_ x  e.  y  B  e.  Fin ) )
107, 9imbi12d 320 . . 3  |-  ( w  =  y  ->  (
( A. x  e.  w  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  w  B  e.  Fin )  <->  ( A. x  e.  y  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  y  B  e.  Fin ) ) )
11 raleq 2911 . . . 4  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. x  e.  w  B  e.  Fin 
<-> 
A. x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e. 
Fin ) )
12 iuneq1 4177 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  U_ x  e.  w  B  =  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B )
1312eleq1d 2503 . . . 4  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( U_ x  e.  w  B  e.  Fin 
<-> 
U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e. 
Fin ) )
1411, 13imbi12d 320 . . 3  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( A. x  e.  w  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  w  B  e.  Fin ) 
<->  ( A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  Fin ) ) )
15 raleq 2911 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  ( A. x  e.  w  B  e.  Fin  <->  A. x  e.  A  B  e.  Fin ) )
16 iuneq1 4177 . . . . 5  |-  ( w  =  A  ->  U_ x  e.  w  B  =  U_ x  e.  A  B
)
1716eleq1d 2503 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  ( U_ x  e.  w  B  e.  Fin  <->  U_ x  e.  A  B  e.  Fin ) )
1815, 17imbi12d 320 . . 3  |-  ( w  =  A  ->  (
( A. x  e.  w  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  w  B  e.  Fin )  <->  ( A. x  e.  A  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  A  B  e.  Fin ) ) )
19 0fin 7532 . . . 4  |-  (/)  e.  Fin
2019a1i 11 . . 3  |-  ( A. x  e.  (/)  B  e. 
Fin  ->  (/)  e.  Fin )
21 ssun1 3512 . . . . . . 7  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
22 ssralv 3409 . . . . . . 7  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  Fin  ->  A. x  e.  y  B  e.  Fin ) )
2321, 22ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  Fin  ->  A. x  e.  y  B  e.  Fin )
2423imim1i 58 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  y  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  -> 
( A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  y  B  e.  Fin ) )
25 iunxun 4245 . . . . . . 7  |-  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  =  ( U_ x  e.  y  B  u.  U_ x  e.  { z } B )
26 nfcv 2573 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y B
27 nfcsb1v 3297 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ B
28 csbeq1a 3290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  B  =  [_ y  /  x ]_ B )
2926, 27, 28cbviun 4200 . . . . . . . . . 10  |-  U_ x  e.  { z } B  =  U_ y  e.  {
z } [_ y  /  x ]_ B
30 vex 2969 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
31 csbeq1 3284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  [_ y  /  x ]_ B  = 
[_ z  /  x ]_ B )
3230, 31iunxsn 4243 . . . . . . . . . 10  |-  U_ y  e.  { z } [_ y  /  x ]_ B  =  [_ z  /  x ]_ B
3329, 32eqtri 2457 . . . . . . . . 9  |-  U_ x  e.  { z } B  =  [_ z  /  x ]_ B
34 ssun2 3513 . . . . . . . . . . 11  |-  { z }  C_  ( y  u.  { z } )
35 ssnid 3899 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
{ z }
3634, 35sselii 3346 . . . . . . . . . 10  |-  z  e.  ( y  u.  {
z } )
37 nfcsb1v 3297 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x [_ z  /  x ]_ B
3837nfel1 2583 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x [_ z  /  x ]_ B  e.  Fin
39 csbeq1a 3290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  B  =  [_ z  /  x ]_ B )
4039eleq1d 2503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  ( B  e.  Fin  <->  [_ z  /  x ]_ B  e.  Fin ) )
4138, 40rspc 3060 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  Fin  ->  [_ z  /  x ]_ B  e. 
Fin ) )
4236, 41ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  Fin  ->  [_ z  /  x ]_ B  e.  Fin )
4333, 42syl5eqel 2521 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  { z } B  e.  Fin )
44 unfi 7571 . . . . . . . 8  |-  ( (
U_ x  e.  y  B  e.  Fin  /\  U_ x  e.  { z } B  e.  Fin )  ->  ( U_ x  e.  y  B  u.  U_ x  e.  { z } B )  e. 
Fin )
4543, 44sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( (
U_ x  e.  y  B  e.  Fin  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  Fin )  ->  ( U_ x  e.  y  B  u.  U_ x  e.  { z } B )  e. 
Fin )
4625, 45syl5eqel 2521 . . . . . 6  |-  ( (
U_ x  e.  y  B  e.  Fin  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  Fin )  ->  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e. 
Fin )
4746expcom 435 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  Fin  ->  (
U_ x  e.  y  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  Fin ) )
4824, 47sylcom 29 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  y  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  -> 
( A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  Fin ) )
4948a1i 11 . . 3  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
( A. x  e.  y  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  ->  ( A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  Fin ) ) )
506, 10, 14, 18, 20, 49findcard2 7544 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A. x  e.  A  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  A  B  e.  Fin ) )
5150imp 429 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2709   [_csb 3281    u. cun 3319    C_ wss 3321   (/)c0 3630   {csn 3870   U_ciun 4164   Fincfn 7302
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2418  ax-sep 4406  ax-nul 4414  ax-pow 4463  ax-pr 4524  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rab 2718  df-v 2968  df-sbc 3180  df-csb 3282  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3631  df-if 3785  df-pw 3855  df-sn 3871  df-pr 3873  df-tp 3875  df-op 3877  df-uni 4085  df-int 4122  df-iun 4166  df-br 4286  df-opab 4344  df-mpt 4345  df-tr 4379  df-eprel 4624  df-id 4628  df-po 4633  df-so 4634  df-fr 4671  df-we 4673  df-ord 4714  df-on 4715  df-lim 4716  df-suc 4717  df-xp 4838  df-rel 4839  df-cnv 4840  df-co 4841  df-dm 4842  df-rn 4843  df-res 4844  df-ima 4845  df-iota 5374  df-fun 5413  df-fn 5414  df-f 5415  df-f1 5416  df-fo 5417  df-f1o 5418  df-fv 5419  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-en 7303  df-fin 7306
This theorem is referenced by:  unifi  7592  infssuni  7594  ixpfi  7600  ackbij1lem9  8389  ackbij1lem10  8390  fsum2dlem  13229  fsumcom2  13233  fsumiun  13276  hashiun  13277  ackbijnn  13283  ablfaclem3  16574  txcmplem2  19184  alexsubALTlem3  19590  aannenlem1  21763  fsumvma  22521  fprod2dlem  27438  fprodcom2  27442  locfincmp  28519  fiphp3d  29101  hbt  29429  frghash2spot  30599  usgreghash2spotv  30602
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