Theorem iunexg 4838

Description: The existence of an indexed union. x is normally a free-variable parameter in B.

Assertion

Ref	Expression
iunexg	|- ((A e. C /\ A.x e. A B e. D) -> U_x e. A B e. _V)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem iunexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfiun2g 3283	. . 3 |- (A.x e. A B e. D -> U_x e. A B = U.{y | E.x e. A y = B})
2	1	adantl 424	. 2 |- ((A e. C /\ A.x e. A B e. D) -> U_x e. A B = U.{y | E.x e. A y = B})
3		abrexexg 4837	. . . 4 |- (A e. C -> {y | E.x e. A y = B} e. _V)
4		uniexg 3795	. . . 4 |- ({y | E.x e. A y = B} e. _V -> U.{y | E.x e. A y = B} e. _V)
5	3, 4	syl 12	. . 3 |- (A e. C -> U.{y | E.x e. A y = B} e. _V)
6	5	adantr 425	. 2 |- ((A e. C /\ A.x e. A B e. D) -> U.{y | E.x e. A y = B} e. _V)
7	2, 6	eqeltrd 1971	1 |- ((A e. C /\ A.x e. A B e. D) -> U_x e. A B e. _V)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292  U.cuni 3177  U_ciun 3255

This theorem is referenced by:  iunex 4839  ixpexg 5417  bnj890 12812  bnj522 13261  bnj535 13265  bnj546 13272  bnj889 13323  bnj1136 13435  bnj1410 13520  trcltr 13936  trclval 15271  opabex3 15701  ixpssmapg 15726  abrexex2g 15738

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014

Copyright terms: Public domain