Theorem iunexg 6749

Description: The existence of an indexed union. x is normally a free-variable parameter in B. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.)

Assertion

Ref	Expression
iunexg	|- ( ( A e. V /\ A. x e. A B e. W ) -> U_ x e. A B e. _V )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   V( x)   W( x)

Proof of Theorem iunexg

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfiun2g 4347	. . 3 |- ( A. x e. A B e. W -> U_ x e. A B = U. { y | E. x e. A y = B } )
2	1	adantl 464	. 2 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A B e. W ) -> U_ x e. A B = U. { y | E. x e. A y = B } )
3		abrexexg 6748	. . . 4 |- ( A e. V -> { y | E. x e. A y = B } e. _V )
4		uniexg 6570	. . . 4 |- ( { y | E. x e. A y = B } e. _V -> U. { y | E. x e. A y = B } e. _V )
5	3, 4	syl 16	. . 3 |- ( A e. V -> U. { y | E. x e. A y = B } e. _V )
6	5	adantr 463	. 2 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A B e. W ) -> U. { y | E. x e. A y = B } e. _V )
7	2, 6	eqeltrd 2542	1 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A B e. W ) -> U_ x e. A B e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   = wceq 1398   e. wcel 1823   {cab 2439   A.wral 2804   E.wrex 2805   _Vcvv 3106   U.cuni 4235   U_ciun 4315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pr 4676  ax-un 6565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578

This theorem is referenced by:  abrexex2g  6750  opabex3d  6751  opabex3  6752  iunex  6753  xpexgALT  6766  mpt2exxg  6847  ixpexg  7486  ixpssmapg  7492  iundom  8908  iunctb  8940  cshwsex  14669  imasplusg  15006  imasmulr  15007  imasvsca  15009  imasip  15010  gsum2d2  17198  gsumcom2  17199  dprd2da  17286  ptcls  20283  ptcmplem2  20719  elpwiuncl  27622  aciunf1lem  27729  esum2dlem  28321  esum2d  28322  esumiun  28323  omssubadd  28508  eulerpartlemgs2  28583  trpredtr  29553  trpredmintr  29554  trpredrec  29561  mpt2exxg2  33181  bnj535  34349  bnj546  34355  bnj893  34387  bnj1136  34454  bnj1413  34492  eliunov2  38200  iunrelexp0  38224