MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iunex Structured version   Unicode version

Theorem iunex 6787
Description: The existence of an indexed union.  x is normally a free-variable parameter in the class expression substituted for  B, which can be read informally as  B ( x ). (Contributed by NM, 13-Oct-2003.)
Hypotheses
Ref Expression
iunex.1  |-  A  e. 
_V
iunex.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
iunex  |-  U_ x  e.  A  B  e.  _V
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem iunex
StepHypRef Expression
1 iunex.1 . 2  |-  A  e. 
_V
2 iunex.2 . . 3  |-  B  e. 
_V
32rgenw 2793 . 2  |-  A. x  e.  A  B  e.  _V
4 iunexg 6783 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. x  e.  A  B  e.  _V )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  _V )
51, 3, 4mp2an 676 1  |-  U_ x  e.  A  B  e.  _V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1870   A.wral 2782   _Vcvv 3087   U_ciun 4302
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609
This theorem is referenced by:  abrexex2  6788  tz9.1  8212  tz9.1c  8213  cplem2  8360  fseqdom  8455  pwsdompw  8632  cfsmolem  8698  ac6c4  8909  konigthlem  8991  alephreg  9005  pwfseqlem4  9086  pwfseqlem5  9087  pwxpndom2  9089  wunex2  9162  wuncval2  9171  inar1  9199  dfrtrclrec2  13099  rtrclreclem1  13100  rtrclreclem2  13101  rtrclreclem4  13103  isfunc  15720  dfac14  20564  txcmplem2  20588  cnextfval  21008  bnj893  29527  colinearex  30612  volsupnfl  31689  heiborlem3  31849  comptiunov2i  35937  corclrcl  35938  iunrelexpmin1  35939  trclrelexplem  35942  iunrelexpmin2  35943  dftrcl3  35951  trclfvcom  35954  cnvtrclfv  35955  cotrcltrcl  35956  trclimalb2  35957  trclfvdecomr  35959  dfrtrcl3  35964  dfrtrcl4  35969  corcltrcl  35970  cotrclrcl  35973  carageniuncllem1  37851  carageniuncllem2  37852  carageniuncl  37853  caratheodorylem1  37856  caratheodorylem2  37857
  Copyright terms: Public domain W3C validator