Theorem iuneqfzuzlem 37644

Description: Lemma for iuneqfzuz 37645: here, inclusion is proven; aiuneqfzuz uses this lemma twice, to prove equality. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
iuneqfzuzlem.z	|- Z = ( ZZ>= ` N )

Assertion

Ref	Expression
iuneqfzuzlem	|- ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B -> U_ n e. Z A C_ U_ n e. Z B )

Distinct variable groups:   A, m   B, m   n, N   n, Z, m

Allowed substitution hints:   A( n)   B( n)   N( m)

Proof of Theorem iuneqfzuzlem

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2612	. . . . . . . . 9 |- F/_ m A
2		nfcsb1v 3365	. . . . . . . . 9 |- F/_ n [_ m / n ]_ A
3		csbeq1a 3358	. . . . . . . . 9 |- ( n = m -> A = [_ m / n ]_ A )
4	1, 2, 3	cbviun 4306	. . . . . . . 8 |- U_ n e. Z A = U_ m e. Z [_ m / n ]_ A
5	4	eleq2i 2541	. . . . . . 7 |- ( x e. U_ n e. Z A <-> x e. U_ m e. Z [_ m / n ]_ A )
6		eliun 4274	. . . . . . 7 |- ( x e. U_ m e. Z [_ m / n ]_ A <-> E. m e. Z x e. [_ m / n ]_ A )
7	5, 6	bitri 257	. . . . . 6 |- ( x e. U_ n e. Z A <-> E. m e. Z x e. [_ m / n ]_ A )
8	7	biimpi 199	. . . . 5 |- ( x e. U_ n e. Z A -> E. m e. Z x e. [_ m / n ]_ A )
9	8	adantl 473	. . . 4 |- ( ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B /\ x e. U_ n e. Z A ) -> E. m e. Z x e. [_ m / n ]_ A )
10		nfra1 2785	. . . . . 6 |- F/ m A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B
11		nfv 1769	. . . . . 6 |- F/ m x e. U_ n e. Z B
12		simp2 1031	. . . . . . . 8 |- ( ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B /\ m e. Z /\ x e. [_ m / n ]_ A ) -> m e. Z )
13		rspa 2774	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B /\ m e. Z ) -> U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B )
14	13	3adant3 1050	. . . . . . . 8 |- ( ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B /\ m e. Z /\ x e. [_ m / n ]_ A ) -> U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B )
15		simp3 1032	. . . . . . . 8 |- ( ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B /\ m e. Z /\ x e. [_ m / n ]_ A ) -> x e. [_ m / n ]_ A )
16		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B -> U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B )
17		fzssuz 11865	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N ... m ) C_ ( ZZ>= ` N )
18		iuneqfzuzlem.z	. . . . . . . . . . . . . 14 |- Z = ( ZZ>= ` N )
19	18	eqcomi 2480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ZZ>= ` N ) = Z
20	17, 19	sseqtri 3450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N ... m ) C_ Z
21		iunss1 4281	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N ... m ) C_ Z -> U_ n e. ( N ... m ) B C_ U_ n e. Z B )
22	20, 21	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B -> U_ n e. ( N ... m ) B C_ U_ n e. Z B )
23	16, 22	eqsstrd 3452	. . . . . . . . . 10 |- ( U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B -> U_ n e. ( N ... m ) A C_ U_ n e. Z B )
24	23	3ad2ant2 1052	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. Z /\ U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B /\ x e. [_ m / n ]_ A ) -> U_ n e. ( N ... m ) A C_ U_ n e. Z B )
25	18	eleq2i 2541	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. Z <-> m e. ( ZZ>= ` N ) )
26	25	biimpi 199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. Z -> m e. ( ZZ>= ` N ) )
27		eluzel2 11187	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. ( ZZ>= ` N ) -> N e. ZZ )
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. Z -> N e. ZZ )
29		eluzelz 11192	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. ( ZZ>= ` N ) -> m e. ZZ )
30	26, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. Z -> m e. ZZ )
31	28, 30, 30	3jca 1210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. Z -> ( N e. ZZ /\ m e. ZZ /\ m e. ZZ ) )
32		eluzle 11195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. ( ZZ>= ` N ) -> N <_ m )
33	26, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. Z -> N <_ m )
34	30	zred 11063	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. Z -> m e. RR )
35		leid 9747	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. RR -> m <_ m )
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. Z -> m <_ m )
37	31, 33, 36	jca32 544	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. Z -> ( ( N e. ZZ /\ m e. ZZ /\ m e. ZZ ) /\ ( N <_ m /\ m <_ m ) ) )
38		elfz2 11817	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. ( N ... m ) <-> ( ( N e. ZZ /\ m e. ZZ /\ m e. ZZ ) /\ ( N <_ m /\ m <_ m ) ) )
39	37, 38	sylibr 217	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. Z -> m e. ( N ... m ) )
40		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ n x
41	40, 2	nfel 2624	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ n x e. [_ m / n ]_ A
42	3	eleq2d 2534	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = m -> ( x e. A <-> x e. [_ m / n ]_ A ) )
43	41, 42	rspce 3131	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. ( N ... m ) /\ x e. [_ m / n ]_ A ) -> E. n e. ( N ... m ) x e. A )
44	39, 43	sylan 479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. Z /\ x e. [_ m / n ]_ A ) -> E. n e. ( N ... m ) x e. A )
45		eliun 4274	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. U_ n e. ( N ... m ) A <-> E. n e. ( N ... m ) x e. A )
46	44, 45	sylibr 217	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. Z /\ x e. [_ m / n ]_ A ) -> x e. U_ n e. ( N ... m ) A )
47	46	3adant2 1049	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. Z /\ U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B /\ x e. [_ m / n ]_ A ) -> x e. U_ n e. ( N ... m ) A )
48	24, 47	sseldd 3419	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. Z /\ U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B /\ x e. [_ m / n ]_ A ) -> x e. U_ n e. Z B )
49	12, 14, 15, 48	syl3anc 1292	. . . . . . 7 |- ( ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B /\ m e. Z /\ x e. [_ m / n ]_ A ) -> x e. U_ n e. Z B )
50	49	3exp 1230	. . . . . 6 |- ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B -> ( m e. Z -> ( x e. [_ m / n ]_ A -> x e. U_ n e. Z B ) ) )
51	10, 11, 50	rexlimd 2866	. . . . 5 |- ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B -> ( E. m e. Z x e. [_ m / n ]_ A -> x e. U_ n e. Z B ) )
52	51	adantr 472	. . . 4 |- ( ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B /\ x e. U_ n e. Z A ) -> ( E. m e. Z x e. [_ m / n ]_ A -> x e. U_ n e. Z B ) )
53	9, 52	mpd 15	. . 3 |- ( ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B /\ x e. U_ n e. Z A ) -> x e. U_ n e. Z B )
54	53	ralrimiva 2809	. 2 |- ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B -> A. x e. U_ n e. Z A x e. U_ n e. Z B )
55		dfss3 3408	. 2 |- ( U_ n e. Z A C_ U_ n e. Z B <-> A. x e. U_ n e. Z A x e. U_ n e. Z B )
56	54, 55	sylibr 217	1 |- ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B -> U_ n e. Z A C_ U_ n e. Z B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   [_csb 3349   C_ wss 3390   U_ciun 4269   class class class wbr 4395   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   RRcr 9556   <_ cle 9694   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   ...cfz 11810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-pre-lttri 9631

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-neg 9883  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811

This theorem is referenced by:  iuneqfzuz  37645