Theorem iuneqfzuzlem 37557

Description: Lemma for iuneqfzuz 37558: here, inclusion is proven; aiuneqfzuz uses this lemma twice, to prove equality. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
iuneqfzuzlem.z	|- Z = ( ZZ>= ` N )

Assertion

Ref	Expression
iuneqfzuzlem	|- ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B -> U_ n e. Z A C_ U_ n e. Z B )

Distinct variable groups:   A, m   B, m   n, N   n, Z, m

Allowed substitution hints:   A( n)   B( n)   N( m)

Proof of Theorem iuneqfzuzlem

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2592	. . . . . . . . 9 |- F/_ m A
2		nfcsb1v 3379	. . . . . . . . 9 |- F/_ n [_ m / n ]_ A
3		csbeq1a 3372	. . . . . . . . 9 |- ( n = m -> A = [_ m / n ]_ A )
4	1, 2, 3	cbviun 4315	. . . . . . . 8 |- U_ n e. Z A = U_ m e. Z [_ m / n ]_ A
5	4	eleq2i 2521	. . . . . . 7 |- ( x e. U_ n e. Z A <-> x e. U_ m e. Z [_ m / n ]_ A )
6		eliun 4283	. . . . . . 7 |- ( x e. U_ m e. Z [_ m / n ]_ A <-> E. m e. Z x e. [_ m / n ]_ A )
7	5, 6	bitri 253	. . . . . 6 |- ( x e. U_ n e. Z A <-> E. m e. Z x e. [_ m / n ]_ A )
8	7	biimpi 198	. . . . 5 |- ( x e. U_ n e. Z A -> E. m e. Z x e. [_ m / n ]_ A )
9	8	adantl 468	. . . 4 |- ( ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B /\ x e. U_ n e. Z A ) -> E. m e. Z x e. [_ m / n ]_ A )
10		nfra1 2769	. . . . . 6 |- F/ m A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B
11		nfv 1761	. . . . . 6 |- F/ m x e. U_ n e. Z B
12		simp2 1009	. . . . . . . 8 |- ( ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B /\ m e. Z /\ x e. [_ m / n ]_ A ) -> m e. Z )
13		rspa 2755	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B /\ m e. Z ) -> U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B )
14	13	3adant3 1028	. . . . . . . 8 |- ( ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B /\ m e. Z /\ x e. [_ m / n ]_ A ) -> U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B )
15		simp3 1010	. . . . . . . 8 |- ( ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B /\ m e. Z /\ x e. [_ m / n ]_ A ) -> x e. [_ m / n ]_ A )
16		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B -> U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B )
17		fzssuz 11839	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N ... m ) C_ ( ZZ>= ` N )
18		iuneqfzuzlem.z	. . . . . . . . . . . . . 14 |- Z = ( ZZ>= ` N )
19	18	eqcomi 2460	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ZZ>= ` N ) = Z
20	17, 19	sseqtri 3464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N ... m ) C_ Z
21		iunss1 4290	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N ... m ) C_ Z -> U_ n e. ( N ... m ) B C_ U_ n e. Z B )
22	20, 21	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B -> U_ n e. ( N ... m ) B C_ U_ n e. Z B )
23	16, 22	eqsstrd 3466	. . . . . . . . . 10 |- ( U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B -> U_ n e. ( N ... m ) A C_ U_ n e. Z B )
24	23	3ad2ant2 1030	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. Z /\ U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B /\ x e. [_ m / n ]_ A ) -> U_ n e. ( N ... m ) A C_ U_ n e. Z B )
25	18	eleq2i 2521	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. Z <-> m e. ( ZZ>= ` N ) )
26	25	biimpi 198	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. Z -> m e. ( ZZ>= ` N ) )
27		eluzel2 11164	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. ( ZZ>= ` N ) -> N e. ZZ )
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. Z -> N e. ZZ )
29		eluzelz 11168	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. ( ZZ>= ` N ) -> m e. ZZ )
30	26, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. Z -> m e. ZZ )
31	28, 30, 30	3jca 1188	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. Z -> ( N e. ZZ /\ m e. ZZ /\ m e. ZZ ) )
32		eluzle 11171	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. ( ZZ>= ` N ) -> N <_ m )
33	26, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. Z -> N <_ m )
34	30	zred 11040	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. Z -> m e. RR )
35		leid 9729	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. RR -> m <_ m )
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. Z -> m <_ m )
37	31, 33, 36	jca32 538	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. Z -> ( ( N e. ZZ /\ m e. ZZ /\ m e. ZZ ) /\ ( N <_ m /\ m <_ m ) ) )
38		elfz2 11791	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. ( N ... m ) <-> ( ( N e. ZZ /\ m e. ZZ /\ m e. ZZ ) /\ ( N <_ m /\ m <_ m ) ) )
39	37, 38	sylibr 216	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. Z -> m e. ( N ... m ) )
40		nfcv 2592	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ n x
41	40, 2	nfel 2604	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ n x e. [_ m / n ]_ A
42	3	eleq2d 2514	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = m -> ( x e. A <-> x e. [_ m / n ]_ A ) )
43	41, 42	rspce 3145	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. ( N ... m ) /\ x e. [_ m / n ]_ A ) -> E. n e. ( N ... m ) x e. A )
44	39, 43	sylan 474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. Z /\ x e. [_ m / n ]_ A ) -> E. n e. ( N ... m ) x e. A )
45		eliun 4283	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. U_ n e. ( N ... m ) A <-> E. n e. ( N ... m ) x e. A )
46	44, 45	sylibr 216	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. Z /\ x e. [_ m / n ]_ A ) -> x e. U_ n e. ( N ... m ) A )
47	46	3adant2 1027	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. Z /\ U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B /\ x e. [_ m / n ]_ A ) -> x e. U_ n e. ( N ... m ) A )
48	24, 47	sseldd 3433	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. Z /\ U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B /\ x e. [_ m / n ]_ A ) -> x e. U_ n e. Z B )
49	12, 14, 15, 48	syl3anc 1268	. . . . . . 7 |- ( ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B /\ m e. Z /\ x e. [_ m / n ]_ A ) -> x e. U_ n e. Z B )
50	49	3exp 1207	. . . . . 6 |- ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B -> ( m e. Z -> ( x e. [_ m / n ]_ A -> x e. U_ n e. Z B ) ) )
51	10, 11, 50	rexlimd 2871	. . . . 5 |- ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B -> ( E. m e. Z x e. [_ m / n ]_ A -> x e. U_ n e. Z B ) )
52	51	adantr 467	. . . 4 |- ( ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B /\ x e. U_ n e. Z A ) -> ( E. m e. Z x e. [_ m / n ]_ A -> x e. U_ n e. Z B ) )
53	9, 52	mpd 15	. . 3 |- ( ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B /\ x e. U_ n e. Z A ) -> x e. U_ n e. Z B )
54	53	ralrimiva 2802	. 2 |- ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B -> A. x e. U_ n e. Z A x e. U_ n e. Z B )
55		dfss3 3422	. 2 |- ( U_ n e. Z A C_ U_ n e. Z B <-> A. x e. U_ n e. Z A x e. U_ n e. Z B )
56	54, 55	sylibr 216	1 |- ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B -> U_ n e. Z A C_ U_ n e. Z B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   [_csb 3363   C_ wss 3404   U_ciun 4278   class class class wbr 4402   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   RRcr 9538   <_ cle 9676   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   ...cfz 11784

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-pre-lttri 9613

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-neg 9863  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785

This theorem is referenced by:  iuneqfzuz  37558