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Theorem iuneqfzuzlem 37557
Description: Lemma for iuneqfzuz 37558: here, inclusion is proven; aiuneqfzuz uses this lemma twice, to prove equality. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
iuneqfzuzlem.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  N )
Assertion
Ref Expression
iuneqfzuzlem  |-  ( A. m  e.  Z  U_ n  e.  ( N ... m
) A  =  U_ n  e.  ( N ... m ) B  ->  U_ n  e.  Z  A  C_  U_ n  e.  Z  B )
Distinct variable groups:    A, m    B, m    n, N    n, Z, m
Allowed substitution hints:    A( n)    B( n)    N( m)

Proof of Theorem iuneqfzuzlem
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2592 . . . . . . . . 9  |-  F/_ m A
2 nfcsb1v 3379 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n [_ m  /  n ]_ A
3 csbeq1a 3372 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  m  ->  A  =  [_ m  /  n ]_ A )
41, 2, 3cbviun 4315 . . . . . . . 8  |-  U_ n  e.  Z  A  =  U_ m  e.  Z  [_ m  /  n ]_ A
54eleq2i 2521 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  U_ n  e.  Z  A  <->  x  e.  U_ m  e.  Z  [_ m  /  n ]_ A
)
6 eliun 4283 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  U_ m  e.  Z  [_ m  /  n ]_ A  <->  E. m  e.  Z  x  e.  [_ m  /  n ]_ A )
75, 6bitri 253 . . . . . 6  |-  ( x  e.  U_ n  e.  Z  A  <->  E. m  e.  Z  x  e.  [_ m  /  n ]_ A )
87biimpi 198 . . . . 5  |-  ( x  e.  U_ n  e.  Z  A  ->  E. m  e.  Z  x  e.  [_ m  /  n ]_ A )
98adantl 468 . . . 4  |-  ( ( A. m  e.  Z  U_ n  e.  ( N ... m ) A  =  U_ n  e.  ( N ... m
) B  /\  x  e.  U_ n  e.  Z  A )  ->  E. m  e.  Z  x  e.  [_ m  /  n ]_ A )
10 nfra1 2769 . . . . . 6  |-  F/ m A. m  e.  Z  U_ n  e.  ( N ... m ) A  =  U_ n  e.  ( N ... m
) B
11 nfv 1761 . . . . . 6  |-  F/ m  x  e.  U_ n  e.  Z  B
12 simp2 1009 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. m  e.  Z  U_ n  e.  ( N ... m ) A  =  U_ n  e.  ( N ... m
) B  /\  m  e.  Z  /\  x  e.  [_ m  /  n ]_ A )  ->  m  e.  Z )
13 rspa 2755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. m  e.  Z  U_ n  e.  ( N ... m ) A  =  U_ n  e.  ( N ... m
) B  /\  m  e.  Z )  ->  U_ n  e.  ( N ... m
) A  =  U_ n  e.  ( N ... m ) B )
14133adant3 1028 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. m  e.  Z  U_ n  e.  ( N ... m ) A  =  U_ n  e.  ( N ... m
) B  /\  m  e.  Z  /\  x  e.  [_ m  /  n ]_ A )  ->  U_ n  e.  ( N ... m
) A  =  U_ n  e.  ( N ... m ) B )
15 simp3 1010 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. m  e.  Z  U_ n  e.  ( N ... m ) A  =  U_ n  e.  ( N ... m
) B  /\  m  e.  Z  /\  x  e.  [_ m  /  n ]_ A )  ->  x  e.  [_ m  /  n ]_ A )
16 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U_ n  e.  ( N ... m ) A  = 
U_ n  e.  ( N ... m ) B  ->  U_ n  e.  ( N ... m
) A  =  U_ n  e.  ( N ... m ) B )
17 fzssuz 11839 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N ... m )  C_  ( ZZ>= `  N )
18 iuneqfzuzlem.z . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Z  =  ( ZZ>= `  N )
1918eqcomi 2460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ZZ>= `  N )  =  Z
2017, 19sseqtri 3464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N ... m )  C_  Z
21 iunss1 4290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N ... m ) 
C_  Z  ->  U_ n  e.  ( N ... m
) B  C_  U_ n  e.  Z  B )
2220, 21mp1i 13 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U_ n  e.  ( N ... m ) A  = 
U_ n  e.  ( N ... m ) B  ->  U_ n  e.  ( N ... m
) B  C_  U_ n  e.  Z  B )
2316, 22eqsstrd 3466 . . . . . . . . . 10  |-  ( U_ n  e.  ( N ... m ) A  = 
U_ n  e.  ( N ... m ) B  ->  U_ n  e.  ( N ... m
) A  C_  U_ n  e.  Z  B )
24233ad2ant2 1030 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  Z  /\  U_ n  e.  ( N ... m ) A  =  U_ n  e.  ( N ... m
) B  /\  x  e.  [_ m  /  n ]_ A )  ->  U_ n  e.  ( N ... m
) A  C_  U_ n  e.  Z  B )
2518eleq2i 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  Z  <->  m  e.  ( ZZ>= `  N )
)
2625biimpi 198 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  Z  ->  m  e.  ( ZZ>= `  N )
)
27 eluzel2 11164 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  N  e.  ZZ )
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  Z  ->  N  e.  ZZ )
29 eluzelz 11168 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  m  e.  ZZ )
3026, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  Z  ->  m  e.  ZZ )
3128, 30, 303jca 1188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  Z  ->  ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ ) )
32 eluzle 11171 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  N  <_  m )
3326, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  Z  ->  N  <_  m )
3430zred 11040 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  Z  ->  m  e.  RR )
35 leid 9729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  RR  ->  m  <_  m )
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  Z  ->  m  <_  m )
3731, 33, 36jca32 538 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  Z  ->  (
( N  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( N  <_  m  /\  m  <_  m ) ) )
38 elfz2 11791 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( N ... m )  <->  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( N  <_  m  /\  m  <_  m ) ) )
3937, 38sylibr 216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  Z  ->  m  e.  ( N ... m
) )
40 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n x
4140, 2nfel 2604 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ n  x  e.  [_ m  /  n ]_ A
423eleq2d 2514 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  (
x  e.  A  <->  x  e.  [_ m  /  n ]_ A ) )
4341, 42rspce 3145 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  ( N ... m )  /\  x  e.  [_ m  /  n ]_ A )  ->  E. n  e.  ( N ... m ) x  e.  A )
4439, 43sylan 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  Z  /\  x  e.  [_ m  /  n ]_ A )  ->  E. n  e.  ( N ... m ) x  e.  A )
45 eliun 4283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  U_ n  e.  ( N ... m
) A  <->  E. n  e.  ( N ... m
) x  e.  A
)
4644, 45sylibr 216 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  Z  /\  x  e.  [_ m  /  n ]_ A )  ->  x  e.  U_ n  e.  ( N ... m
) A )
47463adant2 1027 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  Z  /\  U_ n  e.  ( N ... m ) A  =  U_ n  e.  ( N ... m
) B  /\  x  e.  [_ m  /  n ]_ A )  ->  x  e.  U_ n  e.  ( N ... m ) A )
4824, 47sseldd 3433 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  Z  /\  U_ n  e.  ( N ... m ) A  =  U_ n  e.  ( N ... m
) B  /\  x  e.  [_ m  /  n ]_ A )  ->  x  e.  U_ n  e.  Z  B )
4912, 14, 15, 48syl3anc 1268 . . . . . . 7  |-  ( ( A. m  e.  Z  U_ n  e.  ( N ... m ) A  =  U_ n  e.  ( N ... m
) B  /\  m  e.  Z  /\  x  e.  [_ m  /  n ]_ A )  ->  x  e.  U_ n  e.  Z  B )
50493exp 1207 . . . . . 6  |-  ( A. m  e.  Z  U_ n  e.  ( N ... m
) A  =  U_ n  e.  ( N ... m ) B  -> 
( m  e.  Z  ->  ( x  e.  [_ m  /  n ]_ A  ->  x  e.  U_ n  e.  Z  B )
) )
5110, 11, 50rexlimd 2871 . . . . 5  |-  ( A. m  e.  Z  U_ n  e.  ( N ... m
) A  =  U_ n  e.  ( N ... m ) B  -> 
( E. m  e.  Z  x  e.  [_ m  /  n ]_ A  ->  x  e.  U_ n  e.  Z  B )
)
5251adantr 467 . . . 4  |-  ( ( A. m  e.  Z  U_ n  e.  ( N ... m ) A  =  U_ n  e.  ( N ... m
) B  /\  x  e.  U_ n  e.  Z  A )  ->  ( E. m  e.  Z  x  e.  [_ m  /  n ]_ A  ->  x  e.  U_ n  e.  Z  B ) )
539, 52mpd 15 . . 3  |-  ( ( A. m  e.  Z  U_ n  e.  ( N ... m ) A  =  U_ n  e.  ( N ... m
) B  /\  x  e.  U_ n  e.  Z  A )  ->  x  e.  U_ n  e.  Z  B )
5453ralrimiva 2802 . 2  |-  ( A. m  e.  Z  U_ n  e.  ( N ... m
) A  =  U_ n  e.  ( N ... m ) B  ->  A. x  e.  U_  n  e.  Z  A x  e.  U_ n  e.  Z  B )
55 dfss3 3422 . 2  |-  ( U_ n  e.  Z  A  C_ 
U_ n  e.  Z  B 
<-> 
A. x  e.  U_  n  e.  Z  A x  e.  U_ n  e.  Z  B )
5654, 55sylibr 216 1  |-  ( A. m  e.  Z  U_ n  e.  ( N ... m
) A  =  U_ n  e.  ( N ... m ) B  ->  U_ n  e.  Z  A  C_  U_ n  e.  Z  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   [_csb 3363    C_ wss 3404   U_ciun 4278   class class class wbr 4402   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   RRcr 9538    <_ cle 9676   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   ...cfz 11784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-pre-lttri 9613
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-neg 9863  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785
This theorem is referenced by:  iuneqfzuz  37558
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