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Theorem iuneqfzuzlem 37644
Description: Lemma for iuneqfzuz 37645: here, inclusion is proven; aiuneqfzuz uses this lemma twice, to prove equality. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
iuneqfzuzlem.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  N )
Assertion
Ref Expression
iuneqfzuzlem  |-  ( A. m  e.  Z  U_ n  e.  ( N ... m
) A  =  U_ n  e.  ( N ... m ) B  ->  U_ n  e.  Z  A  C_  U_ n  e.  Z  B )
Distinct variable groups:    A, m    B, m    n, N    n, Z, m
Allowed substitution hints:    A( n)    B( n)    N( m)

Proof of Theorem iuneqfzuzlem
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2612 . . . . . . . . 9  |-  F/_ m A
2 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n [_ m  /  n ]_ A
3 csbeq1a 3358 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  m  ->  A  =  [_ m  /  n ]_ A )
41, 2, 3cbviun 4306 . . . . . . . 8  |-  U_ n  e.  Z  A  =  U_ m  e.  Z  [_ m  /  n ]_ A
54eleq2i 2541 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  U_ n  e.  Z  A  <->  x  e.  U_ m  e.  Z  [_ m  /  n ]_ A
)
6 eliun 4274 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  U_ m  e.  Z  [_ m  /  n ]_ A  <->  E. m  e.  Z  x  e.  [_ m  /  n ]_ A )
75, 6bitri 257 . . . . . 6  |-  ( x  e.  U_ n  e.  Z  A  <->  E. m  e.  Z  x  e.  [_ m  /  n ]_ A )
87biimpi 199 . . . . 5  |-  ( x  e.  U_ n  e.  Z  A  ->  E. m  e.  Z  x  e.  [_ m  /  n ]_ A )
98adantl 473 . . . 4  |-  ( ( A. m  e.  Z  U_ n  e.  ( N ... m ) A  =  U_ n  e.  ( N ... m
) B  /\  x  e.  U_ n  e.  Z  A )  ->  E. m  e.  Z  x  e.  [_ m  /  n ]_ A )
10 nfra1 2785 . . . . . 6  |-  F/ m A. m  e.  Z  U_ n  e.  ( N ... m ) A  =  U_ n  e.  ( N ... m
) B
11 nfv 1769 . . . . . 6  |-  F/ m  x  e.  U_ n  e.  Z  B
12 simp2 1031 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. m  e.  Z  U_ n  e.  ( N ... m ) A  =  U_ n  e.  ( N ... m
) B  /\  m  e.  Z  /\  x  e.  [_ m  /  n ]_ A )  ->  m  e.  Z )
13 rspa 2774 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. m  e.  Z  U_ n  e.  ( N ... m ) A  =  U_ n  e.  ( N ... m
) B  /\  m  e.  Z )  ->  U_ n  e.  ( N ... m
) A  =  U_ n  e.  ( N ... m ) B )
14133adant3 1050 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. m  e.  Z  U_ n  e.  ( N ... m ) A  =  U_ n  e.  ( N ... m
) B  /\  m  e.  Z  /\  x  e.  [_ m  /  n ]_ A )  ->  U_ n  e.  ( N ... m
) A  =  U_ n  e.  ( N ... m ) B )
15 simp3 1032 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. m  e.  Z  U_ n  e.  ( N ... m ) A  =  U_ n  e.  ( N ... m
) B  /\  m  e.  Z  /\  x  e.  [_ m  /  n ]_ A )  ->  x  e.  [_ m  /  n ]_ A )
16 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U_ n  e.  ( N ... m ) A  = 
U_ n  e.  ( N ... m ) B  ->  U_ n  e.  ( N ... m
) A  =  U_ n  e.  ( N ... m ) B )
17 fzssuz 11865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N ... m )  C_  ( ZZ>= `  N )
18 iuneqfzuzlem.z . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Z  =  ( ZZ>= `  N )
1918eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ZZ>= `  N )  =  Z
2017, 19sseqtri 3450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N ... m )  C_  Z
21 iunss1 4281 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N ... m ) 
C_  Z  ->  U_ n  e.  ( N ... m
) B  C_  U_ n  e.  Z  B )
2220, 21mp1i 13 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U_ n  e.  ( N ... m ) A  = 
U_ n  e.  ( N ... m ) B  ->  U_ n  e.  ( N ... m
) B  C_  U_ n  e.  Z  B )
2316, 22eqsstrd 3452 . . . . . . . . . 10  |-  ( U_ n  e.  ( N ... m ) A  = 
U_ n  e.  ( N ... m ) B  ->  U_ n  e.  ( N ... m
) A  C_  U_ n  e.  Z  B )
24233ad2ant2 1052 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  Z  /\  U_ n  e.  ( N ... m ) A  =  U_ n  e.  ( N ... m
) B  /\  x  e.  [_ m  /  n ]_ A )  ->  U_ n  e.  ( N ... m
) A  C_  U_ n  e.  Z  B )
2518eleq2i 2541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  Z  <->  m  e.  ( ZZ>= `  N )
)
2625biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  Z  ->  m  e.  ( ZZ>= `  N )
)
27 eluzel2 11187 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  N  e.  ZZ )
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  Z  ->  N  e.  ZZ )
29 eluzelz 11192 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  m  e.  ZZ )
3026, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  Z  ->  m  e.  ZZ )
3128, 30, 303jca 1210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  Z  ->  ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ ) )
32 eluzle 11195 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  N  <_  m )
3326, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  Z  ->  N  <_  m )
3430zred 11063 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  Z  ->  m  e.  RR )
35 leid 9747 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  RR  ->  m  <_  m )
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  Z  ->  m  <_  m )
3731, 33, 36jca32 544 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  Z  ->  (
( N  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( N  <_  m  /\  m  <_  m ) ) )
38 elfz2 11817 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( N ... m )  <->  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( N  <_  m  /\  m  <_  m ) ) )
3937, 38sylibr 217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  Z  ->  m  e.  ( N ... m
) )
40 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n x
4140, 2nfel 2624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ n  x  e.  [_ m  /  n ]_ A
423eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  (
x  e.  A  <->  x  e.  [_ m  /  n ]_ A ) )
4341, 42rspce 3131 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  ( N ... m )  /\  x  e.  [_ m  /  n ]_ A )  ->  E. n  e.  ( N ... m ) x  e.  A )
4439, 43sylan 479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  Z  /\  x  e.  [_ m  /  n ]_ A )  ->  E. n  e.  ( N ... m ) x  e.  A )
45 eliun 4274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  U_ n  e.  ( N ... m
) A  <->  E. n  e.  ( N ... m
) x  e.  A
)
4644, 45sylibr 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  Z  /\  x  e.  [_ m  /  n ]_ A )  ->  x  e.  U_ n  e.  ( N ... m
) A )
47463adant2 1049 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  Z  /\  U_ n  e.  ( N ... m ) A  =  U_ n  e.  ( N ... m
) B  /\  x  e.  [_ m  /  n ]_ A )  ->  x  e.  U_ n  e.  ( N ... m ) A )
4824, 47sseldd 3419 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  Z  /\  U_ n  e.  ( N ... m ) A  =  U_ n  e.  ( N ... m
) B  /\  x  e.  [_ m  /  n ]_ A )  ->  x  e.  U_ n  e.  Z  B )
4912, 14, 15, 48syl3anc 1292 . . . . . . 7  |-  ( ( A. m  e.  Z  U_ n  e.  ( N ... m ) A  =  U_ n  e.  ( N ... m
) B  /\  m  e.  Z  /\  x  e.  [_ m  /  n ]_ A )  ->  x  e.  U_ n  e.  Z  B )
50493exp 1230 . . . . . 6  |-  ( A. m  e.  Z  U_ n  e.  ( N ... m
) A  =  U_ n  e.  ( N ... m ) B  -> 
( m  e.  Z  ->  ( x  e.  [_ m  /  n ]_ A  ->  x  e.  U_ n  e.  Z  B )
) )
5110, 11, 50rexlimd 2866 . . . . 5  |-  ( A. m  e.  Z  U_ n  e.  ( N ... m
) A  =  U_ n  e.  ( N ... m ) B  -> 
( E. m  e.  Z  x  e.  [_ m  /  n ]_ A  ->  x  e.  U_ n  e.  Z  B )
)
5251adantr 472 . . . 4  |-  ( ( A. m  e.  Z  U_ n  e.  ( N ... m ) A  =  U_ n  e.  ( N ... m
) B  /\  x  e.  U_ n  e.  Z  A )  ->  ( E. m  e.  Z  x  e.  [_ m  /  n ]_ A  ->  x  e.  U_ n  e.  Z  B ) )
539, 52mpd 15 . . 3  |-  ( ( A. m  e.  Z  U_ n  e.  ( N ... m ) A  =  U_ n  e.  ( N ... m
) B  /\  x  e.  U_ n  e.  Z  A )  ->  x  e.  U_ n  e.  Z  B )
5453ralrimiva 2809 . 2  |-  ( A. m  e.  Z  U_ n  e.  ( N ... m
) A  =  U_ n  e.  ( N ... m ) B  ->  A. x  e.  U_  n  e.  Z  A x  e.  U_ n  e.  Z  B )
55 dfss3 3408 . 2  |-  ( U_ n  e.  Z  A  C_ 
U_ n  e.  Z  B 
<-> 
A. x  e.  U_  n  e.  Z  A x  e.  U_ n  e.  Z  B )
5654, 55sylibr 217 1  |-  ( A. m  e.  Z  U_ n  e.  ( N ... m
) A  =  U_ n  e.  ( N ... m ) B  ->  U_ n  e.  Z  A  C_  U_ n  e.  Z  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   [_csb 3349    C_ wss 3390   U_ciun 4269   class class class wbr 4395   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   RRcr 9556    <_ cle 9694   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   ...cfz 11810
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-pre-lttri 9631
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-neg 9883  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811
This theorem is referenced by:  iuneqfzuz  37645
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