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Theorem iundom2g 8983
Description: An upper bound for the cardinality of a disjoint indexed union, with explicit choice principles. 
B depends on  x and should be thought of as  B ( x ). (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iunfo.1  |-  T  = 
U_ x  e.  A  ( { x }  X.  B )
iundomg.2  |-  ( ph  ->  U_ x  e.  A  ( C  ^m  B )  e. AC  A )
iundomg.3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  ~<_  C )
Assertion
Ref Expression
iundom2g  |-  ( ph  ->  T  ~<_  ( A  X.  C ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, C
Allowed substitution hints:    ph( x)    B( x)    T( x)

Proof of Theorem iundom2g
Dummy variables  f 
g  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iundomg.2 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ x  e.  A  ( C  ^m  B )  e. AC  A )
2 iundomg.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  ~<_  C )
3 brdomi 7598 . . . . . . . . 9  |-  ( B  ~<_  C  ->  E. g 
g : B -1-1-> C
)
43adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  ~<_  C )  ->  E. g  g : B -1-1-> C )
5 f1f 5792 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g : B -1-1-> C  -> 
g : B --> C )
6 reldom 7593 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Rel  ~<_
76brrelex2i 4881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  ~<_  C  ->  C  e.  _V )
86brrelexi 4880 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  ~<_  C  ->  B  e.  _V )
97, 8elmapd 7504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  ~<_  C  ->  ( g  e.  ( C  ^m  B
)  <->  g : B --> C ) )
109adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  ~<_  C )  -> 
( g  e.  ( C  ^m  B )  <-> 
g : B --> C ) )
115, 10syl5ibr 229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  ~<_  C )  -> 
( g : B -1-1-> C  ->  g  e.  ( C  ^m  B ) ) )
12 ssiun2 4312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  A  ->  ( C  ^m  B )  C_  U_ x  e.  A  ( C  ^m  B ) )
1312adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  ~<_  C )  -> 
( C  ^m  B
)  C_  U_ x  e.  A  ( C  ^m  B ) )
1413sseld 3417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  ~<_  C )  -> 
( g  e.  ( C  ^m  B )  ->  g  e.  U_ x  e.  A  ( C  ^m  B ) ) )
1511, 14syld 44 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  ~<_  C )  -> 
( g : B -1-1-> C  ->  g  e.  U_ x  e.  A  ( C  ^m  B ) ) )
1615ancrd 563 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  ~<_  C )  -> 
( g : B -1-1-> C  ->  ( g  e. 
U_ x  e.  A  ( C  ^m  B )  /\  g : B -1-1-> C ) ) )
1716eximdv 1772 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  ~<_  C )  -> 
( E. g  g : B -1-1-> C  ->  E. g ( g  e. 
U_ x  e.  A  ( C  ^m  B )  /\  g : B -1-1-> C ) ) )
184, 17mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  ~<_  C )  ->  E. g ( g  e. 
U_ x  e.  A  ( C  ^m  B )  /\  g : B -1-1-> C ) )
19 df-rex 2762 . . . . . . 7  |-  ( E. g  e.  U_  x  e.  A  ( C  ^m  B ) g : B -1-1-> C  <->  E. g ( g  e.  U_ x  e.  A  ( C  ^m  B )  /\  g : B -1-1-> C ) )
2018, 19sylibr 217 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  ~<_  C )  ->  E. g  e.  U_  x  e.  A  ( C  ^m  B ) g : B -1-1-> C )
2120ralimiaa 2795 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  B  ~<_  C  ->  A. x  e.  A  E. g  e.  U_  x  e.  A  ( C  ^m  B ) g : B -1-1-> C )
222, 21syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  E. g  e.  U_  x  e.  A  ( C  ^m  B ) g : B -1-1-> C )
23 nfv 1769 . . . . 5  |-  F/ y E. g  e.  U_  x  e.  A  ( C  ^m  B ) g : B -1-1-> C
24 nfiu1 4299 . . . . . 6  |-  F/_ x U_ x  e.  A  ( C  ^m  B )
25 nfcv 2612 . . . . . . 7  |-  F/_ x
g
26 nfcsb1v 3365 . . . . . . 7  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ B
27 nfcv 2612 . . . . . . 7  |-  F/_ x C
2825, 26, 27nff1 5790 . . . . . 6  |-  F/ x  g : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C
2924, 28nfrex 2848 . . . . 5  |-  F/ x E. g  e.  U_  x  e.  A  ( C  ^m  B ) g :
[_ y  /  x ]_ B -1-1-> C
30 csbeq1a 3358 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  B  =  [_ y  /  x ]_ B )
31 f1eq2 5788 . . . . . . 7  |-  ( B  =  [_ y  /  x ]_ B  ->  (
g : B -1-1-> C  <->  g : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C ) )
3230, 31syl 17 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
g : B -1-1-> C  <->  g : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C ) )
3332rexbidv 2892 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( E. g  e.  U_  x  e.  A  ( C  ^m  B ) g : B -1-1-> C  <->  E. g  e.  U_  x  e.  A  ( C  ^m  B ) g : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C ) )
3423, 29, 33cbvral 3001 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  E. g  e.  U_  x  e.  A  ( C  ^m  B ) g : B -1-1-> C  <->  A. y  e.  A  E. g  e.  U_  x  e.  A  ( C  ^m  B ) g :
[_ y  /  x ]_ B -1-1-> C )
3522, 34sylib 201 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  A  E. g  e.  U_  x  e.  A  ( C  ^m  B ) g :
[_ y  /  x ]_ B -1-1-> C )
36 f1eq1 5787 . . . 4  |-  ( g  =  ( f `  y )  ->  (
g : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C  <->  ( f `  y ) : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C ) )
3736acni3 8496 . . 3  |-  ( (
U_ x  e.  A  ( C  ^m  B )  e. AC  A  /\  A. y  e.  A  E. g  e.  U_  x  e.  A  ( C  ^m  B ) g : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C
)  ->  E. f
( f : A --> U_ x  e.  A  ( C  ^m  B )  /\  A. y  e.  A  ( f `  y ) : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C ) )
381, 35, 37syl2anc 673 . 2  |-  ( ph  ->  E. f ( f : A --> U_ x  e.  A  ( C  ^m  B )  /\  A. y  e.  A  (
f `  y ) : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C ) )
39 nfv 1769 . . . . . 6  |-  F/ y ( f `  x
) : B -1-1-> C
40 nfcv 2612 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( f `  y
)
4140, 26, 27nff1 5790 . . . . . 6  |-  F/ x
( f `  y
) : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C
42 fveq2 5879 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
f `  x )  =  ( f `  y ) )
43 f1eq1 5787 . . . . . . . 8  |-  ( ( f `  x )  =  ( f `  y )  ->  (
( f `  x
) : B -1-1-> C  <->  ( f `  y ) : B -1-1-> C ) )
4442, 43syl 17 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( f `  x
) : B -1-1-> C  <->  ( f `  y ) : B -1-1-> C ) )
45 f1eq2 5788 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  [_ y  /  x ]_ B  ->  (
( f `  y
) : B -1-1-> C  <->  ( f `  y ) : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C ) )
4630, 45syl 17 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( f `  y
) : B -1-1-> C  <->  ( f `  y ) : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C ) )
4744, 46bitrd 261 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( f `  x
) : B -1-1-> C  <->  ( f `  y ) : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C ) )
4839, 41, 47cbvral 3001 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  (
f `  x ) : B -1-1-> C  <->  A. y  e.  A  ( f `  y
) : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C
)
49 df-ne 2643 . . . . . . . 8  |-  ( A  =/=  (/)  <->  -.  A  =  (/) )
50 acnrcl 8491 . . . . . . . . . 10  |-  ( U_ x  e.  A  ( C  ^m  B )  e. AC  A  ->  A  e.  _V )
511, 50syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
52 r19.2z 3849 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  B  ~<_  C )  ->  E. x  e.  A  B  ~<_  C )
537rexlimivw 2869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. x  e.  A  B  ~<_  C  ->  C  e.  _V )
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  B  ~<_  C )  ->  C  e.  _V )
5554expcom 442 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  A  B  ~<_  C  ->  ( A  =/=  (/)  ->  C  e.  _V ) )
562, 55syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  =/=  (/)  ->  C  e.  _V ) )
57 xpexg 6612 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  _V  /\  C  e.  _V )  ->  ( A  X.  C
)  e.  _V )
5851, 56, 57syl6an 554 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  =/=  (/)  ->  ( A  X.  C )  e. 
_V ) )
5949, 58syl5bir 226 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -.  A  =  (/)  ->  ( A  X.  C )  e.  _V ) )
60 xpeq1 4853 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A  X.  C )  =  ( (/)  X.  C
) )
61 0xp 4920 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  X.  C )  =  (/)
62 0ex 4528 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  _V
6361, 62eqeltri 2545 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  X.  C )  e.  _V
6460, 63syl6eqel 2557 . . . . . . 7  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A  X.  C )  e. 
_V )
6559, 64pm2.61d2 165 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  X.  C
)  e.  _V )
66 iunfo.1 . . . . . . . . . 10  |-  T  = 
U_ x  e.  A  ( { x }  X.  B )
6766eleq2i 2541 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  T  <->  y  e.  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  B ) )
68 eliun 4274 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  B )  <->  E. x  e.  A  y  e.  ( { x }  X.  B ) )
6967, 68bitri 257 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  T  <->  E. x  e.  A  y  e.  ( { x }  X.  B ) )
70 r19.29 2912 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  E. x  e.  A  y  e.  ( {
x }  X.  B
) )  ->  E. x  e.  A  ( (
f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )
71 xp1st 6842 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( { x }  X.  B )  -> 
( 1st `  y
)  e.  { x } )
7271ad2antll 743 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )  ->  ( 1st `  y
)  e.  { x } )
73 elsni 3985 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1st `  y )  e.  { x }  ->  ( 1st `  y
)  =  x )
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )  ->  ( 1st `  y
)  =  x )
75 simpl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )  ->  x  e.  A
)
7674, 75eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )  ->  ( 1st `  y
)  e.  A )
7774fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )  ->  ( f `  ( 1st `  y ) )  =  ( f `
 x ) )
7877fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )  ->  ( ( f `
 ( 1st `  y
) ) `  ( 2nd `  y ) )  =  ( ( f `
 x ) `  ( 2nd `  y ) ) )
79 f1f 5792 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  -> 
( f `  x
) : B --> C )
8079ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )  ->  ( f `  x ) : B --> C )
81 xp2nd 6843 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( { x }  X.  B )  -> 
( 2nd `  y
)  e.  B )
8281ad2antll 743 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )  ->  ( 2nd `  y
)  e.  B )
8380, 82ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )  ->  ( ( f `
 x ) `  ( 2nd `  y ) )  e.  C )
8478, 83eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )  ->  ( ( f `
 ( 1st `  y
) ) `  ( 2nd `  y ) )  e.  C )
85 opelxpi 4871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1st `  y
)  e.  A  /\  ( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) )  e.  C )  ->  <. ( 1st `  y ) ,  ( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) ) >.  e.  ( A  X.  C
) )
8676, 84, 85syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )  ->  <. ( 1st `  y
) ,  ( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) ) >.  e.  ( A  X.  C ) )
8786rexlimiva 2868 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  A  ( ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) )  ->  <. ( 1st `  y
) ,  ( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) ) >.  e.  ( A  X.  C ) )
8870, 87syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  E. x  e.  A  y  e.  ( {
x }  X.  B
) )  ->  <. ( 1st `  y ) ,  ( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) ) >.  e.  ( A  X.  C
) )
8988ex 441 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  (
f `  x ) : B -1-1-> C  ->  ( E. x  e.  A  y  e.  ( { x }  X.  B )  ->  <. ( 1st `  y
) ,  ( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) ) >.  e.  ( A  X.  C ) ) )
9069, 89syl5bi 225 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  (
f `  x ) : B -1-1-> C  ->  ( y  e.  T  ->  <. ( 1st `  y ) ,  ( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) ) >.  e.  ( A  X.  C
) ) )
91 fvex 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1st `  y )  e.  _V
92 fvex 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) )  e.  _V
9391, 92opth 4676 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
( 1st `  y
) ,  ( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) ) >.  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( ( f `
 ( 1st `  z
) ) `  ( 2nd `  z ) )
>. 
<->  ( ( 1st `  y
)  =  ( 1st `  z )  /\  (
( f `  ( 1st `  y ) ) `
 ( 2nd `  y
) )  =  ( ( f `  ( 1st `  z ) ) `
 ( 2nd `  z
) ) ) )
94 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  /\  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )  ->  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )
9594fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  /\  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )  ->  (
f `  ( 1st `  y ) )  =  ( f `  ( 1st `  z ) ) )
9695fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  /\  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )  ->  (
( f `  ( 1st `  y ) ) `
 ( 2nd `  z
) )  =  ( ( f `  ( 1st `  z ) ) `
 ( 2nd `  z
) ) )
9796eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  /\  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )  ->  (
( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) )  =  ( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  z ) )  <->  ( (
f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) )  =  ( ( f `  ( 1st `  z ) ) `  ( 2nd `  z ) ) ) )
98 djussxp 4985 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  B
)  C_  ( A  X.  _V )
9966, 98eqsstri 3448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  T  C_  ( A  X.  _V )
100 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T
) )  ->  y  e.  T )
10199, 100sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T
) )  ->  y  e.  ( A  X.  _V ) )
102101adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  /\  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )  ->  y  e.  ( A  X.  _V ) )
103 xp1st 6842 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( A  X.  _V )  ->  ( 1st `  y )  e.  A
)
104102, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  /\  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )  ->  ( 1st `  y )  e.  A )
105 simpll 768 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  /\  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )  ->  A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C )
106 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x
( f `  ( 1st `  y ) )
107 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x [_ ( 1st `  y
)  /  x ]_ B
108106, 107, 27nff1 5790 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ x
( f `  ( 1st `  y ) ) : [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B -1-1-> C
109 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( 1st `  y
)  ->  ( f `  x )  =  ( f `  ( 1st `  y ) ) )
110 f1eq1 5787 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f `  x )  =  ( f `  ( 1st `  y ) )  ->  ( (
f `  x ) : B -1-1-> C  <->  ( f `  ( 1st `  y ) ) : B -1-1-> C
) )
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( 1st `  y
)  ->  ( (
f `  x ) : B -1-1-> C  <->  ( f `  ( 1st `  y ) ) : B -1-1-> C
) )
112 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( 1st `  y
)  ->  B  =  [_ ( 1st `  y
)  /  x ]_ B )
113 f1eq2 5788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  =  [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B  ->  ( ( f `  ( 1st `  y ) ) : B -1-1-> C  <->  ( f `  ( 1st `  y ) ) : [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B -1-1-> C ) )
114112, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( 1st `  y
)  ->  ( (
f `  ( 1st `  y ) ) : B -1-1-> C  <->  ( f `  ( 1st `  y ) ) : [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B -1-1-> C ) )
115111, 114bitrd 261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( 1st `  y
)  ->  ( (
f `  x ) : B -1-1-> C  <->  ( f `  ( 1st `  y ) ) : [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B -1-1-> C ) )
116108, 115rspc 3130 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1st `  y )  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  ->  ( f `  ( 1st `  y ) ) : [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B -1-1-> C ) )
117104, 105, 116sylc 61 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  /\  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )  ->  (
f `  ( 1st `  y ) ) :
[_ ( 1st `  y
)  /  x ]_ B -1-1-> C )
118107nfel2 2628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ x
( 2nd `  y
)  e.  [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B
11974eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )  ->  x  =  ( 1st `  y ) )
120119, 112syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )  ->  B  =  [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B
)
12182, 120eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )  ->  ( 2nd `  y
)  e.  [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B )
122121ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  A  ->  (
( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) )  -> 
( 2nd `  y
)  e.  [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B ) )
123118, 122rexlimi 2864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E. x  e.  A  ( ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) )  -> 
( 2nd `  y
)  e.  [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B )
12470, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  E. x  e.  A  y  e.  ( {
x }  X.  B
) )  ->  ( 2nd `  y )  e. 
[_ ( 1st `  y
)  /  x ]_ B )
125124ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. x  e.  A  (
f `  x ) : B -1-1-> C  ->  ( E. x  e.  A  y  e.  ( { x }  X.  B )  -> 
( 2nd `  y
)  e.  [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B ) )
12669, 125syl5bi 225 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e.  A  (
f `  x ) : B -1-1-> C  ->  ( y  e.  T  ->  ( 2nd `  y )  e. 
[_ ( 1st `  y
)  /  x ]_ B ) )
127126imp 436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  y  e.  T
)  ->  ( 2nd `  y )  e.  [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B
)
128127adantrr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T
) )  ->  ( 2nd `  y )  e. 
[_ ( 1st `  y
)  /  x ]_ B )
129128adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  /\  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )  ->  ( 2nd `  y )  e. 
[_ ( 1st `  y
)  /  x ]_ B )
130126ralrimiv 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. x  e.  A  (
f `  x ) : B -1-1-> C  ->  A. y  e.  T  ( 2nd `  y )  e.  [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B
)
131 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  z  ->  ( 2nd `  y )  =  ( 2nd `  z
) )
132 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  z  ->  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )
133132csbeq1d 3356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  z  ->  [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B  =  [_ ( 1st `  z )  /  x ]_ B
)
134131, 133eleq12d 2543 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  z  ->  (
( 2nd `  y
)  e.  [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B  <->  ( 2nd `  z )  e.  [_ ( 1st `  z )  /  x ]_ B
) )
135134rspccva 3135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. y  e.  T  ( 2nd `  y )  e.  [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B  /\  z  e.  T )  ->  ( 2nd `  z )  e. 
[_ ( 1st `  z
)  /  x ]_ B )
136130, 135sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  z  e.  T
)  ->  ( 2nd `  z )  e.  [_ ( 1st `  z )  /  x ]_ B
)
137136adantrl 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T
) )  ->  ( 2nd `  z )  e. 
[_ ( 1st `  z
)  /  x ]_ B )
138137adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  /\  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )  ->  ( 2nd `  z )  e. 
[_ ( 1st `  z
)  /  x ]_ B )
13994csbeq1d 3356 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  /\  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )  ->  [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B  =  [_ ( 1st `  z )  /  x ]_ B
)
140138, 139eleqtrrd 2552 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  /\  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )  ->  ( 2nd `  z )  e. 
[_ ( 1st `  y
)  /  x ]_ B )
141 f1fveq 6181 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f `  ( 1st `  y ) ) : [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B -1-1-> C  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B  /\  ( 2nd `  z )  e. 
[_ ( 1st `  y
)  /  x ]_ B ) )  -> 
( ( ( f `
 ( 1st `  y
) ) `  ( 2nd `  y ) )  =  ( ( f `
 ( 1st `  y
) ) `  ( 2nd `  z ) )  <-> 
( 2nd `  y
)  =  ( 2nd `  z ) ) )
142117, 129, 140, 141syl12anc 1290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  /\  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )  ->  (
( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) )  =  ( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  z ) )  <->  ( 2nd `  y )  =  ( 2nd `  z ) ) )
14397, 142bitr3d 263 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  /\  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )  ->  (
( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) )  =  ( ( f `  ( 1st `  z ) ) `  ( 2nd `  z ) )  <->  ( 2nd `  y )  =  ( 2nd `  z ) ) )
144143pm5.32da 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T
) )  ->  (
( ( 1st `  y
)  =  ( 1st `  z )  /\  (
( f `  ( 1st `  y ) ) `
 ( 2nd `  y
) )  =  ( ( f `  ( 1st `  z ) ) `
 ( 2nd `  z
) ) )  <->  ( ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
)  /\  ( 2nd `  y )  =  ( 2nd `  z ) ) ) )
145 simprr 774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T
) )  ->  z  e.  T )
14699, 145sseldi 3416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T
) )  ->  z  e.  ( A  X.  _V ) )
147 xpopth 6851 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( A  X.  _V )  /\  z  e.  ( A  X.  _V ) )  -> 
( ( ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z )  /\  ( 2nd `  y
)  =  ( 2nd `  z ) )  <->  y  =  z ) )
148101, 146, 147syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T
) )  ->  (
( ( 1st `  y
)  =  ( 1st `  z )  /\  ( 2nd `  y )  =  ( 2nd `  z
) )  <->  y  =  z ) )
149144, 148bitrd 261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T
) )  ->  (
( ( 1st `  y
)  =  ( 1st `  z )  /\  (
( f `  ( 1st `  y ) ) `
 ( 2nd `  y
) )  =  ( ( f `  ( 1st `  z ) ) `
 ( 2nd `  z
) ) )  <->  y  =  z ) )
15093, 149syl5bb 265 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T
) )  ->  ( <. ( 1st `  y
) ,  ( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) ) >.  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( ( f `
 ( 1st `  z
) ) `  ( 2nd `  z ) )
>. 
<->  y  =  z ) )
151150ex 441 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  (
f `  x ) : B -1-1-> C  ->  ( ( y  e.  T  /\  z  e.  T )  ->  ( <. ( 1st `  y
) ,  ( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) ) >.  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( ( f `
 ( 1st `  z
) ) `  ( 2nd `  z ) )
>. 
<->  y  =  z ) ) )
15290, 151dom2d 7628 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  (
f `  x ) : B -1-1-> C  ->  ( ( A  X.  C )  e.  _V  ->  T  ~<_  ( A  X.  C
) ) )
15365, 152syl5com 30 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  ->  T  ~<_  ( A  X.  C ) ) )
15448, 153syl5bir 226 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  A  ( f `  y ) : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C  ->  T  ~<_  ( A  X.  C ) ) )
155154adantld 474 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( f : A --> U_ x  e.  A  ( C  ^m  B )  /\  A. y  e.  A  ( f `  y ) : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C )  ->  T  ~<_  ( A  X.  C ) ) )
156155exlimdv 1787 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. f ( f : A --> U_ x  e.  A  ( C  ^m  B )  /\  A. y  e.  A  (
f `  y ) : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C )  ->  T  ~<_  ( A  X.  C ) ) )
15738, 156mpd 15 1  |-  ( ph  ->  T  ~<_  ( A  X.  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   [_csb 3349    C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   <.cop 3965   U_ciun 4269   class class class wbr 4395    X. cxp 4837   -->wf 5585   -1-1->wf1 5586   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   1stc1st 6810   2ndc2nd 6811    ^m cmap 7490    ~<_ cdom 7585  AC wacn 8390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-map 7492  df-dom 7589  df-acn 8394
This theorem is referenced by:  iundomg  8984  iundom  8985
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