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Theorem iundom2g 8972
Description: An upper bound for the cardinality of a disjoint indexed union, with explicit choice principles. 
B depends on  x and should be thought of as  B ( x ). (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iunfo.1  |-  T  = 
U_ x  e.  A  ( { x }  X.  B )
iundomg.2  |-  ( ph  ->  U_ x  e.  A  ( C  ^m  B )  e. AC  A )
iundomg.3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  ~<_  C )
Assertion
Ref Expression
iundom2g  |-  ( ph  ->  T  ~<_  ( A  X.  C ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, C
Allowed substitution hints:    ph( x)    B( x)    T( x)

Proof of Theorem iundom2g
Dummy variables  f 
g  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iundomg.2 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ x  e.  A  ( C  ^m  B )  e. AC  A )
2 iundomg.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  ~<_  C )
3 brdomi 7591 . . . . . . . . 9  |-  ( B  ~<_  C  ->  E. g 
g : B -1-1-> C
)
43adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  ~<_  C )  ->  E. g  g : B -1-1-> C )
5 f1f 5796 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g : B -1-1-> C  -> 
g : B --> C )
6 reldom 7586 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Rel  ~<_
76brrelex2i 4895 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  ~<_  C  ->  C  e.  _V )
86brrelexi 4894 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  ~<_  C  ->  B  e.  _V )
97, 8elmapd 7497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  ~<_  C  ->  ( g  e.  ( C  ^m  B
)  <->  g : B --> C ) )
109adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  ~<_  C )  -> 
( g  e.  ( C  ^m  B )  <-> 
g : B --> C ) )
115, 10syl5ibr 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  ~<_  C )  -> 
( g : B -1-1-> C  ->  g  e.  ( C  ^m  B ) ) )
12 ssiun2 4342 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  A  ->  ( C  ^m  B )  C_  U_ x  e.  A  ( C  ^m  B ) )
1312adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  ~<_  C )  -> 
( C  ^m  B
)  C_  U_ x  e.  A  ( C  ^m  B ) )
1413sseld 3463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  ~<_  C )  -> 
( g  e.  ( C  ^m  B )  ->  g  e.  U_ x  e.  A  ( C  ^m  B ) ) )
1511, 14syld 45 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  ~<_  C )  -> 
( g : B -1-1-> C  ->  g  e.  U_ x  e.  A  ( C  ^m  B ) ) )
1615ancrd 556 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  ~<_  C )  -> 
( g : B -1-1-> C  ->  ( g  e. 
U_ x  e.  A  ( C  ^m  B )  /\  g : B -1-1-> C ) ) )
1716eximdv 1758 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  ~<_  C )  -> 
( E. g  g : B -1-1-> C  ->  E. g ( g  e. 
U_ x  e.  A  ( C  ^m  B )  /\  g : B -1-1-> C ) ) )
184, 17mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  ~<_  C )  ->  E. g ( g  e. 
U_ x  e.  A  ( C  ^m  B )  /\  g : B -1-1-> C ) )
19 df-rex 2777 . . . . . . 7  |-  ( E. g  e.  U_  x  e.  A  ( C  ^m  B ) g : B -1-1-> C  <->  E. g ( g  e.  U_ x  e.  A  ( C  ^m  B )  /\  g : B -1-1-> C ) )
2018, 19sylibr 215 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  ~<_  C )  ->  E. g  e.  U_  x  e.  A  ( C  ^m  B ) g : B -1-1-> C )
2120ralimiaa 2814 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  B  ~<_  C  ->  A. x  e.  A  E. g  e.  U_  x  e.  A  ( C  ^m  B ) g : B -1-1-> C )
222, 21syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  E. g  e.  U_  x  e.  A  ( C  ^m  B ) g : B -1-1-> C )
23 nfv 1755 . . . . 5  |-  F/ y E. g  e.  U_  x  e.  A  ( C  ^m  B ) g : B -1-1-> C
24 nfiu1 4329 . . . . . 6  |-  F/_ x U_ x  e.  A  ( C  ^m  B )
25 nfcv 2580 . . . . . . 7  |-  F/_ x
g
26 nfcsb1v 3411 . . . . . . 7  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ B
27 nfcv 2580 . . . . . . 7  |-  F/_ x C
2825, 26, 27nff1 5794 . . . . . 6  |-  F/ x  g : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C
2924, 28nfrex 2885 . . . . 5  |-  F/ x E. g  e.  U_  x  e.  A  ( C  ^m  B ) g :
[_ y  /  x ]_ B -1-1-> C
30 csbeq1a 3404 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  B  =  [_ y  /  x ]_ B )
31 f1eq2 5792 . . . . . . 7  |-  ( B  =  [_ y  /  x ]_ B  ->  (
g : B -1-1-> C  <->  g : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C ) )
3230, 31syl 17 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
g : B -1-1-> C  <->  g : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C ) )
3332rexbidv 2936 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( E. g  e.  U_  x  e.  A  ( C  ^m  B ) g : B -1-1-> C  <->  E. g  e.  U_  x  e.  A  ( C  ^m  B ) g : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C ) )
3423, 29, 33cbvral 3050 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  E. g  e.  U_  x  e.  A  ( C  ^m  B ) g : B -1-1-> C  <->  A. y  e.  A  E. g  e.  U_  x  e.  A  ( C  ^m  B ) g :
[_ y  /  x ]_ B -1-1-> C )
3522, 34sylib 199 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  A  E. g  e.  U_  x  e.  A  ( C  ^m  B ) g :
[_ y  /  x ]_ B -1-1-> C )
36 f1eq1 5791 . . . 4  |-  ( g  =  ( f `  y )  ->  (
g : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C  <->  ( f `  y ) : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C ) )
3736acni3 8485 . . 3  |-  ( (
U_ x  e.  A  ( C  ^m  B )  e. AC  A  /\  A. y  e.  A  E. g  e.  U_  x  e.  A  ( C  ^m  B ) g : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C
)  ->  E. f
( f : A --> U_ x  e.  A  ( C  ^m  B )  /\  A. y  e.  A  ( f `  y ) : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C ) )
381, 35, 37syl2anc 665 . 2  |-  ( ph  ->  E. f ( f : A --> U_ x  e.  A  ( C  ^m  B )  /\  A. y  e.  A  (
f `  y ) : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C ) )
39 nfv 1755 . . . . . 6  |-  F/ y ( f `  x
) : B -1-1-> C
40 nfcv 2580 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( f `  y
)
4140, 26, 27nff1 5794 . . . . . 6  |-  F/ x
( f `  y
) : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C
42 fveq2 5881 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
f `  x )  =  ( f `  y ) )
43 f1eq1 5791 . . . . . . . 8  |-  ( ( f `  x )  =  ( f `  y )  ->  (
( f `  x
) : B -1-1-> C  <->  ( f `  y ) : B -1-1-> C ) )
4442, 43syl 17 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( f `  x
) : B -1-1-> C  <->  ( f `  y ) : B -1-1-> C ) )
45 f1eq2 5792 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  [_ y  /  x ]_ B  ->  (
( f `  y
) : B -1-1-> C  <->  ( f `  y ) : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C ) )
4630, 45syl 17 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( f `  y
) : B -1-1-> C  <->  ( f `  y ) : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C ) )
4744, 46bitrd 256 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( f `  x
) : B -1-1-> C  <->  ( f `  y ) : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C ) )
4839, 41, 47cbvral 3050 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  (
f `  x ) : B -1-1-> C  <->  A. y  e.  A  ( f `  y
) : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C
)
49 df-ne 2616 . . . . . . . 8  |-  ( A  =/=  (/)  <->  -.  A  =  (/) )
50 acnrcl 8480 . . . . . . . . . 10  |-  ( U_ x  e.  A  ( C  ^m  B )  e. AC  A  ->  A  e.  _V )
511, 50syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
52 r19.2z 3888 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  B  ~<_  C )  ->  E. x  e.  A  B  ~<_  C )
537rexlimivw 2911 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. x  e.  A  B  ~<_  C  ->  C  e.  _V )
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  B  ~<_  C )  ->  C  e.  _V )
5554expcom 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  A  B  ~<_  C  ->  ( A  =/=  (/)  ->  C  e.  _V ) )
562, 55syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  =/=  (/)  ->  C  e.  _V ) )
57 xpexg 6607 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  _V  /\  C  e.  _V )  ->  ( A  X.  C
)  e.  _V )
5851, 56, 57syl6an 547 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  =/=  (/)  ->  ( A  X.  C )  e. 
_V ) )
5949, 58syl5bir 221 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -.  A  =  (/)  ->  ( A  X.  C )  e.  _V ) )
60 xpeq1 4867 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A  X.  C )  =  ( (/)  X.  C
) )
61 0xp 4934 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  X.  C )  =  (/)
62 0ex 4556 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  _V
6361, 62eqeltri 2503 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  X.  C )  e.  _V
6460, 63syl6eqel 2515 . . . . . . 7  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A  X.  C )  e. 
_V )
6559, 64pm2.61d2 163 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  X.  C
)  e.  _V )
66 iunfo.1 . . . . . . . . . 10  |-  T  = 
U_ x  e.  A  ( { x }  X.  B )
6766eleq2i 2499 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  T  <->  y  e.  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  B ) )
68 eliun 4304 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  B )  <->  E. x  e.  A  y  e.  ( { x }  X.  B ) )
6967, 68bitri 252 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  T  <->  E. x  e.  A  y  e.  ( { x }  X.  B ) )
70 r19.29 2960 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  E. x  e.  A  y  e.  ( {
x }  X.  B
) )  ->  E. x  e.  A  ( (
f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )
71 xp1st 6837 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( { x }  X.  B )  -> 
( 1st `  y
)  e.  { x } )
7271ad2antll 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )  ->  ( 1st `  y
)  e.  { x } )
73 elsni 4023 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1st `  y )  e.  { x }  ->  ( 1st `  y
)  =  x )
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )  ->  ( 1st `  y
)  =  x )
75 simpl 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )  ->  x  e.  A
)
7674, 75eqeltrd 2507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )  ->  ( 1st `  y
)  e.  A )
7774fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )  ->  ( f `  ( 1st `  y ) )  =  ( f `
 x ) )
7877fveq1d 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )  ->  ( ( f `
 ( 1st `  y
) ) `  ( 2nd `  y ) )  =  ( ( f `
 x ) `  ( 2nd `  y ) ) )
79 f1f 5796 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  -> 
( f `  x
) : B --> C )
8079ad2antrl 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )  ->  ( f `  x ) : B --> C )
81 xp2nd 6838 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( { x }  X.  B )  -> 
( 2nd `  y
)  e.  B )
8281ad2antll 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )  ->  ( 2nd `  y
)  e.  B )
8380, 82ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )  ->  ( ( f `
 x ) `  ( 2nd `  y ) )  e.  C )
8478, 83eqeltrd 2507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )  ->  ( ( f `
 ( 1st `  y
) ) `  ( 2nd `  y ) )  e.  C )
85 opelxpi 4885 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1st `  y
)  e.  A  /\  ( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) )  e.  C )  ->  <. ( 1st `  y ) ,  ( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) ) >.  e.  ( A  X.  C
) )
8676, 84, 85syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )  ->  <. ( 1st `  y
) ,  ( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) ) >.  e.  ( A  X.  C ) )
8786rexlimiva 2910 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  A  ( ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) )  ->  <. ( 1st `  y
) ,  ( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) ) >.  e.  ( A  X.  C ) )
8870, 87syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  E. x  e.  A  y  e.  ( {
x }  X.  B
) )  ->  <. ( 1st `  y ) ,  ( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) ) >.  e.  ( A  X.  C
) )
8988ex 435 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  (
f `  x ) : B -1-1-> C  ->  ( E. x  e.  A  y  e.  ( { x }  X.  B )  ->  <. ( 1st `  y
) ,  ( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) ) >.  e.  ( A  X.  C ) ) )
9069, 89syl5bi 220 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  (
f `  x ) : B -1-1-> C  ->  ( y  e.  T  ->  <. ( 1st `  y ) ,  ( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) ) >.  e.  ( A  X.  C
) ) )
91 fvex 5891 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1st `  y )  e.  _V
92 fvex 5891 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) )  e.  _V
9391, 92opth 4695 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
( 1st `  y
) ,  ( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) ) >.  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( ( f `
 ( 1st `  z
) ) `  ( 2nd `  z ) )
>. 
<->  ( ( 1st `  y
)  =  ( 1st `  z )  /\  (
( f `  ( 1st `  y ) ) `
 ( 2nd `  y
) )  =  ( ( f `  ( 1st `  z ) ) `
 ( 2nd `  z
) ) ) )
94 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  /\  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )  ->  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )
9594fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  /\  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )  ->  (
f `  ( 1st `  y ) )  =  ( f `  ( 1st `  z ) ) )
9695fveq1d 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  /\  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )  ->  (
( f `  ( 1st `  y ) ) `
 ( 2nd `  z
) )  =  ( ( f `  ( 1st `  z ) ) `
 ( 2nd `  z
) ) )
9796eqeq2d 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  /\  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )  ->  (
( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) )  =  ( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  z ) )  <->  ( (
f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) )  =  ( ( f `  ( 1st `  z ) ) `  ( 2nd `  z ) ) ) )
98 djussxp 4999 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  B
)  C_  ( A  X.  _V )
9966, 98eqsstri 3494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  T  C_  ( A  X.  _V )
100 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T
) )  ->  y  e.  T )
10199, 100sseldi 3462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T
) )  ->  y  e.  ( A  X.  _V ) )
102101adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  /\  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )  ->  y  e.  ( A  X.  _V ) )
103 xp1st 6837 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( A  X.  _V )  ->  ( 1st `  y )  e.  A
)
104102, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  /\  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )  ->  ( 1st `  y )  e.  A )
105 simpll 758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  /\  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )  ->  A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C )
106 nfcv 2580 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x
( f `  ( 1st `  y ) )
107 nfcsb1v 3411 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x [_ ( 1st `  y
)  /  x ]_ B
108106, 107, 27nff1 5794 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ x
( f `  ( 1st `  y ) ) : [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B -1-1-> C
109 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( 1st `  y
)  ->  ( f `  x )  =  ( f `  ( 1st `  y ) ) )
110 f1eq1 5791 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f `  x )  =  ( f `  ( 1st `  y ) )  ->  ( (
f `  x ) : B -1-1-> C  <->  ( f `  ( 1st `  y ) ) : B -1-1-> C
) )
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( 1st `  y
)  ->  ( (
f `  x ) : B -1-1-> C  <->  ( f `  ( 1st `  y ) ) : B -1-1-> C
) )
112 csbeq1a 3404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( 1st `  y
)  ->  B  =  [_ ( 1st `  y
)  /  x ]_ B )
113 f1eq2 5792 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  =  [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B  ->  ( ( f `  ( 1st `  y ) ) : B -1-1-> C  <->  ( f `  ( 1st `  y ) ) : [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B -1-1-> C ) )
114112, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( 1st `  y
)  ->  ( (
f `  ( 1st `  y ) ) : B -1-1-> C  <->  ( f `  ( 1st `  y ) ) : [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B -1-1-> C ) )
115111, 114bitrd 256 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( 1st `  y
)  ->  ( (
f `  x ) : B -1-1-> C  <->  ( f `  ( 1st `  y ) ) : [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B -1-1-> C ) )
116108, 115rspc 3176 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1st `  y )  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  ->  ( f `  ( 1st `  y ) ) : [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B -1-1-> C ) )
117104, 105, 116sylc 62 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  /\  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )  ->  (
f `  ( 1st `  y ) ) :
[_ ( 1st `  y
)  /  x ]_ B -1-1-> C )
118107nfel2 2598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ x
( 2nd `  y
)  e.  [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B
11974eqcomd 2430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )  ->  x  =  ( 1st `  y ) )
120119, 112syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )  ->  B  =  [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B
)
12182, 120eleqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) ) )  ->  ( 2nd `  y
)  e.  [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B )
122121ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  A  ->  (
( ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) )  -> 
( 2nd `  y
)  e.  [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B ) )
123118, 122rexlimi 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E. x  e.  A  ( ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  y  e.  ( { x }  X.  B ) )  -> 
( 2nd `  y
)  e.  [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B )
12470, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  E. x  e.  A  y  e.  ( {
x }  X.  B
) )  ->  ( 2nd `  y )  e. 
[_ ( 1st `  y
)  /  x ]_ B )
125124ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. x  e.  A  (
f `  x ) : B -1-1-> C  ->  ( E. x  e.  A  y  e.  ( { x }  X.  B )  -> 
( 2nd `  y
)  e.  [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B ) )
12669, 125syl5bi 220 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e.  A  (
f `  x ) : B -1-1-> C  ->  ( y  e.  T  ->  ( 2nd `  y )  e. 
[_ ( 1st `  y
)  /  x ]_ B ) )
127126imp 430 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  y  e.  T
)  ->  ( 2nd `  y )  e.  [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B
)
128127adantrr 721 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T
) )  ->  ( 2nd `  y )  e. 
[_ ( 1st `  y
)  /  x ]_ B )
129128adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  /\  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )  ->  ( 2nd `  y )  e. 
[_ ( 1st `  y
)  /  x ]_ B )
130126ralrimiv 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. x  e.  A  (
f `  x ) : B -1-1-> C  ->  A. y  e.  T  ( 2nd `  y )  e.  [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B
)
131 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  z  ->  ( 2nd `  y )  =  ( 2nd `  z
) )
132 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  z  ->  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )
133132csbeq1d 3402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  z  ->  [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B  =  [_ ( 1st `  z )  /  x ]_ B
)
134131, 133eleq12d 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  z  ->  (
( 2nd `  y
)  e.  [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B  <->  ( 2nd `  z )  e.  [_ ( 1st `  z )  /  x ]_ B
) )
135134rspccva 3181 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. y  e.  T  ( 2nd `  y )  e.  [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B  /\  z  e.  T )  ->  ( 2nd `  z )  e. 
[_ ( 1st `  z
)  /  x ]_ B )
136130, 135sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  z  e.  T
)  ->  ( 2nd `  z )  e.  [_ ( 1st `  z )  /  x ]_ B
)
137136adantrl 720 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T
) )  ->  ( 2nd `  z )  e. 
[_ ( 1st `  z
)  /  x ]_ B )
138137adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  /\  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )  ->  ( 2nd `  z )  e. 
[_ ( 1st `  z
)  /  x ]_ B )
13994csbeq1d 3402 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  /\  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )  ->  [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B  =  [_ ( 1st `  z )  /  x ]_ B
)
140138, 139eleqtrrd 2510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  /\  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )  ->  ( 2nd `  z )  e. 
[_ ( 1st `  y
)  /  x ]_ B )
141 f1fveq 6178 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f `  ( 1st `  y ) ) : [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B -1-1-> C  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  [_ ( 1st `  y )  /  x ]_ B  /\  ( 2nd `  z )  e. 
[_ ( 1st `  y
)  /  x ]_ B ) )  -> 
( ( ( f `
 ( 1st `  y
) ) `  ( 2nd `  y ) )  =  ( ( f `
 ( 1st `  y
) ) `  ( 2nd `  z ) )  <-> 
( 2nd `  y
)  =  ( 2nd `  z ) ) )
142117, 129, 140, 141syl12anc 1262 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  /\  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )  ->  (
( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) )  =  ( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  z ) )  <->  ( 2nd `  y )  =  ( 2nd `  z ) ) )
14397, 142bitr3d 258 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  /\  ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
) )  ->  (
( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) )  =  ( ( f `  ( 1st `  z ) ) `  ( 2nd `  z ) )  <->  ( 2nd `  y )  =  ( 2nd `  z ) ) )
144143pm5.32da 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T
) )  ->  (
( ( 1st `  y
)  =  ( 1st `  z )  /\  (
( f `  ( 1st `  y ) ) `
 ( 2nd `  y
) )  =  ( ( f `  ( 1st `  z ) ) `
 ( 2nd `  z
) ) )  <->  ( ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z
)  /\  ( 2nd `  y )  =  ( 2nd `  z ) ) ) )
145 simprr 764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T
) )  ->  z  e.  T )
14699, 145sseldi 3462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T
) )  ->  z  e.  ( A  X.  _V ) )
147 xpopth 6846 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( A  X.  _V )  /\  z  e.  ( A  X.  _V ) )  -> 
( ( ( 1st `  y )  =  ( 1st `  z )  /\  ( 2nd `  y
)  =  ( 2nd `  z ) )  <->  y  =  z ) )
148101, 146, 147syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T
) )  ->  (
( ( 1st `  y
)  =  ( 1st `  z )  /\  ( 2nd `  y )  =  ( 2nd `  z
) )  <->  y  =  z ) )
149144, 148bitrd 256 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T
) )  ->  (
( ( 1st `  y
)  =  ( 1st `  z )  /\  (
( f `  ( 1st `  y ) ) `
 ( 2nd `  y
) )  =  ( ( f `  ( 1st `  z ) ) `
 ( 2nd `  z
) ) )  <->  y  =  z ) )
15093, 149syl5bb 260 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
) : B -1-1-> C  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T
) )  ->  ( <. ( 1st `  y
) ,  ( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) ) >.  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( ( f `
 ( 1st `  z
) ) `  ( 2nd `  z ) )
>. 
<->  y  =  z ) )
151150ex 435 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  (
f `  x ) : B -1-1-> C  ->  ( ( y  e.  T  /\  z  e.  T )  ->  ( <. ( 1st `  y
) ,  ( ( f `  ( 1st `  y ) ) `  ( 2nd `  y ) ) >.  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( ( f `
 ( 1st `  z
) ) `  ( 2nd `  z ) )
>. 
<->  y  =  z ) ) )
15290, 151dom2d 7620 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  (
f `  x ) : B -1-1-> C  ->  ( ( A  X.  C )  e.  _V  ->  T  ~<_  ( A  X.  C
) ) )
15365, 152syl5com 31 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  A  ( f `  x ) : B -1-1-> C  ->  T  ~<_  ( A  X.  C ) ) )
15448, 153syl5bir 221 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  A  ( f `  y ) : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C  ->  T  ~<_  ( A  X.  C ) ) )
155154adantld 468 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( f : A --> U_ x  e.  A  ( C  ^m  B )  /\  A. y  e.  A  ( f `  y ) : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C )  ->  T  ~<_  ( A  X.  C ) ) )
156155exlimdv 1772 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. f ( f : A --> U_ x  e.  A  ( C  ^m  B )  /\  A. y  e.  A  (
f `  y ) : [_ y  /  x ]_ B -1-1-> C )  ->  T  ~<_  ( A  X.  C ) ) )
15738, 156mpd 15 1  |-  ( ph  ->  T  ~<_  ( A  X.  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872    =/= wne 2614   A.wral 2771   E.wrex 2772   _Vcvv 3080   [_csb 3395    C_ wss 3436   (/)c0 3761   {csn 3998   <.cop 4004   U_ciun 4299   class class class wbr 4423    X. cxp 4851   -->wf 5597   -1-1->wf1 5598   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   1stc1st 6805   2ndc2nd 6806    ^m cmap 7483    ~<_ cdom 7578  AC wacn 8380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-map 7485  df-dom 7582  df-acn 8384
This theorem is referenced by:  iundomg  8973  iundom  8974
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