MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iundom Structured version   Unicode version

Theorem iundom 8913
Description: An upper bound for the cardinality of an indexed union.  C depends on  x and should be thought of as  C ( x ). (Contributed by NM, 26-Mar-2006.)
Assertion
Ref Expression
iundom  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  C  ~<_  B )  ->  U_ x  e.  A  C  ~<_  ( A  X.  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B
Allowed substitution hints:    C( x)    V( x)

Proof of Theorem iundom
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . 2  |-  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  C
)  =  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  C
)
2 simpl 457 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  C  ~<_  B )  ->  A  e.  V )
3 ovex 6307 . . . . . 6  |-  ( B  ^m  C )  e. 
_V
43rgenw 2825 . . . . 5  |-  A. x  e.  A  ( B  ^m  C )  e.  _V
5 iunexg 6757 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  ( B  ^m  C )  e.  _V )  ->  U_ x  e.  A  ( B  ^m  C )  e.  _V )
62, 4, 5sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  C  ~<_  B )  ->  U_ x  e.  A  ( B  ^m  C )  e.  _V )
7 numth3 8846 . . . 4  |-  ( U_ x  e.  A  ( B  ^m  C )  e. 
_V  ->  U_ x  e.  A  ( B  ^m  C )  e.  dom  card )
86, 7syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  C  ~<_  B )  ->  U_ x  e.  A  ( B  ^m  C )  e.  dom  card )
9 numacn 8426 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( U_ x  e.  A  ( B  ^m  C )  e.  dom  card  ->  U_ x  e.  A  ( B  ^m  C )  e. AC  A ) )
102, 8, 9sylc 60 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  C  ~<_  B )  ->  U_ x  e.  A  ( B  ^m  C )  e. AC  A )
11 simpr 461 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  C  ~<_  B )  ->  A. x  e.  A  C  ~<_  B )
12 reldom 7519 . . . . . 6  |-  Rel  ~<_
1312brrelexi 5039 . . . . 5  |-  ( C  ~<_  B  ->  C  e.  _V )
1413ralimi 2857 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  C  ~<_  B  ->  A. x  e.  A  C  e.  _V )
15 iunexg 6757 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  C  e.  _V )  ->  U_ x  e.  A  C  e.  _V )
1614, 15sylan2 474 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  C  ~<_  B )  ->  U_ x  e.  A  C  e.  _V )
171, 10, 11iundom2g 8911 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  C  ~<_  B )  ->  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  C
)  ~<_  ( A  X.  B ) )
1812brrelex2i 5040 . . . 4  |-  ( U_ x  e.  A  ( { x }  X.  C )  ~<_  ( A  X.  B )  -> 
( A  X.  B
)  e.  _V )
19 numth3 8846 . . . 4  |-  ( ( A  X.  B )  e.  _V  ->  ( A  X.  B )  e. 
dom  card )
2017, 18, 193syl 20 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  C  ~<_  B )  ->  ( A  X.  B )  e. 
dom  card )
21 numacn 8426 . . 3  |-  ( U_ x  e.  A  C  e.  _V  ->  ( ( A  X.  B )  e. 
dom  card  ->  ( A  X.  B )  e. AC  U_ x  e.  A  C )
)
2216, 20, 21sylc 60 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  C  ~<_  B )  ->  ( A  X.  B )  e. AC  U_ x  e.  A  C
)
231, 10, 11, 22iundomg 8912 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  C  ~<_  B )  ->  U_ x  e.  A  C  ~<_  ( A  X.  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113   {csn 4027   U_ciun 4325   class class class wbr 4447    X. cxp 4997   dom cdm 4999  (class class class)co 6282    ^m cmap 7417    ~<_ cdom 7511   cardccrd 8312  AC wacn 8315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-ac2 8839
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-card 8316  df-acn 8319  df-ac 8493
This theorem is referenced by:  unidom  8914  alephreg  8953  inar1  9149
  Copyright terms: Public domain W3C validator