Theorem iundjiun 38298

Description: Given a sequence E of sets, a sequence F of disjoint sets is built, such that the indexed union stays the same. As in the proof of Property 112C (d) of [Fremlin1] p. 16. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iundjiun.nph	|- F/ n ph
iundjiun.z	|- Z = ( ZZ>= ` N )
iundjiun.e	|- ( ph -> E : Z --> V )
iundjiun.f	|- F = ( n e. Z |-> ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) )

Assertion

Ref	Expression
iundjiun	|- ( ph -> ( ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) = U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) /\ U_ n e. Z ( F ` n ) = U_ n e. Z ( E ` n ) ) /\ Disj n e. Z ( F ` n ) ) )

Distinct variable groups:   i, E, m, n   m, F   i, N, m, n   m, Z, n   ph, i, m

Allowed substitution hints:   ph( n)   F( i, n)   V( i, m, n)   Z( i)

Proof of Theorem iundjiun

Dummy variables x k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliun 4283	. . . . . . . . 9 |- ( x e. U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) <-> E. n e. ( N ... m ) x e. ( F ` n ) )
2	1	biimpi 198	. . . . . . . 8 |- ( x e. U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) -> E. n e. ( N ... m ) x e. ( F ` n ) )
3	2	adantl 468	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) ) -> E. n e. ( N ... m ) x e. ( F ` n ) )
4		iundjiun.nph	. . . . . . . . 9 |- F/ n ph
5		nfcv 2592	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n x
6		nfiu1 4308	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n )
7	5, 6	nfel 2604	. . . . . . . . 9 |- F/ n x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n )
8		simp2 1009	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) /\ x e. ( F ` n ) ) -> n e. ( N ... m ) )
9		simpl 459	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) -> ph )
10		elfzuz 11796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. ( N ... m ) -> n e. ( ZZ>= ` N ) )
11		iundjiun.z	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- Z = ( ZZ>= ` N )
12	11	eqcomi 2460	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ZZ>= ` N ) = Z
13	10, 12	syl6eleq 2539	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ( N ... m ) -> n e. Z )
14	13	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) -> n e. Z )
15		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> n e. Z )
16		iundjiun.e	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> E : Z --> V )
17	16	ffvelrnda 6022	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( E ` n ) e. V )
18		difexg 4551	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( E ` n ) e. V -> ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) e. _V )
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) e. _V )
20		iundjiun.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F = ( n e. Z |-> ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) )
21	20	fvmpt2 5957	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. Z /\ ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) e. _V ) -> ( F ` n ) = ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) )
22	15, 19, 21	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) = ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) )
23		difssd 3561	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) C_ ( E ` n ) )
24	22, 23	eqsstrd 3466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) C_ ( E ` n ) )
25	9, 14, 24	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) -> ( F ` n ) C_ ( E ` n ) )
26	25	3adant3 1028	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) /\ x e. ( F ` n ) ) -> ( F ` n ) C_ ( E ` n ) )
27		simp3 1010	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) /\ x e. ( F ` n ) ) -> x e. ( F ` n ) )
28	26, 27	sseldd 3433	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) /\ x e. ( F ` n ) ) -> x e. ( E ` n ) )
29		rspe 2845	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ x e. ( E ` n ) ) -> E. n e. ( N ... m ) x e. ( E ` n ) )
30	8, 28, 29	syl2anc 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) /\ x e. ( F ` n ) ) -> E. n e. ( N ... m ) x e. ( E ` n ) )
31		eliun 4283	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) <-> E. n e. ( N ... m ) x e. ( E ` n ) )
32	30, 31	sylibr 216	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) /\ x e. ( F ` n ) ) -> x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) )
33	32	3exp 1207	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( n e. ( N ... m ) -> ( x e. ( F ` n ) -> x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) ) ) )
34	4, 7, 33	rexlimd 2871	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E. n e. ( N ... m ) x e. ( F ` n ) -> x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) ) )
35	34	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) ) -> ( E. n e. ( N ... m ) x e. ( F ` n ) -> x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) ) )
36	3, 35	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) ) -> x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) )
37	36	ralrimiva 2802	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) )
38		dfss3 3422	. . . . 5 |- ( U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) C_ U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) <-> A. x e. U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) )
39	37, 38	sylibr 216	. . . 4 |- ( ph -> U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) C_ U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) )
40		fzssuz 11839	. . . . . . . . . . 11 |- ( N ... m ) C_ ( ZZ>= ` N )
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) -> ( N ... m ) C_ ( ZZ>= ` N ) )
42	31	biimpi 198	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) -> E. n e. ( N ... m ) x e. ( E ` n ) )
43		nfv 1761	. . . . . . . . . . 11 |- F/ n x e. ( E ` i )
44		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = i -> ( E ` n ) = ( E ` i ) )
45	44	eleq2d 2514	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = i -> ( x e. ( E ` n ) <-> x e. ( E ` i ) ) )
46	43, 45	uzwo4 37392	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N ... m ) C_ ( ZZ>= ` N ) /\ E. n e. ( N ... m ) x e. ( E ` n ) ) -> E. n e. ( N ... m ) ( x e. ( E ` n ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) )
47	41, 42, 46	syl2anc 667	. . . . . . . . 9 |- ( x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) -> E. n e. ( N ... m ) ( x e. ( E ` n ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) )
48	47	adantl 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) ) -> E. n e. ( N ... m ) ( x e. ( E ` n ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) )
49		simprl 764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) /\ ( x e. ( E ` n ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) ) -> x e. ( E ` n ) )
50		nfv 1761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ i ( ph /\ n e. ( N ... m ) )
51		nfra1 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ i A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) )
52	50, 51	nfan 2011	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ i ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) )
53		elfzoelz 11920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( i e. ( N..^ n ) -> i e. ZZ )
54	53	zred 11040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( i e. ( N..^ n ) -> i e. RR )
55	54	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> i e. RR )
56		elfzelz 11800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( n e. ( N ... m ) -> n e. ZZ )
57	56	zred 11040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( n e. ( N ... m ) -> n e. RR )
58	57	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> n e. RR )
59		1red 9658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> 1 e. RR )
60	58, 59	resubcld 10047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> ( n - 1 ) e. RR )
61		elfzolem1 37544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( i e. ( N..^ n ) -> i <_ ( n - 1 ) )
62	61	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> i <_ ( n - 1 ) )
63	58	ltm1d 10539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> ( n - 1 ) < n )
64	55, 60, 58, 62, 63	lelttrd 9793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> i < n )
65	64	ad4ant24 1240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> i < n )
66		simplr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( n e. ( N ... m ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) )
67		elfzel1 11799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( n e. ( N ... m ) -> N e. ZZ )
68	67	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> N e. ZZ )
69		elfzel2 11798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( n e. ( N ... m ) -> m e. ZZ )
70	69	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> m e. ZZ )
71	53	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> i e. ZZ )
72	68, 70, 71	3jca 1188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> ( N e. ZZ /\ m e. ZZ /\ i e. ZZ ) )
73		elfzole1 11928	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( i e. ( N..^ n ) -> N <_ i )
74	73	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> N <_ i )
75	70	zred 11040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> m e. RR )
76		1red 9658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( n e. ( N ... m ) -> 1 e. RR )
77	57, 76	resubcld 10047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( n e. ( N ... m ) -> ( n - 1 ) e. RR )
78	69	zred 11040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( n e. ( N ... m ) -> m e. RR )
79	57	ltm1d 10539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( n e. ( N ... m ) -> ( n - 1 ) < n )
80		elfzle2 11803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( n e. ( N ... m ) -> n <_ m )
81	77, 57, 78, 79, 80	ltletrd 9795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( n e. ( N ... m ) -> ( n - 1 ) < m )
82	81	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> ( n - 1 ) < m )
83	55, 60, 75, 62, 82	lelttrd 9793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> i < m )
84	55, 75, 83	ltled 9783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> i <_ m )
85	72, 74, 84	jca32 538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> ( ( N e. ZZ /\ m e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( N <_ i /\ i <_ m ) ) )
86		elfz2 11791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( i e. ( N ... m ) <-> ( ( N e. ZZ /\ m e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( N <_ i /\ i <_ m ) ) )
87	85, 86	sylibr 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> i e. ( N ... m ) )
88	87	adantlr 721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( n e. ( N ... m ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> i e. ( N ... m ) )
89		rspa 2755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) /\ i e. ( N ... m ) ) -> ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) )
90	66, 88, 89	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( n e. ( N ... m ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) )
91	90	adantlll 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) )
92	65, 91	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> -. x e. ( E ` i ) )
93	92	ex 436	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) -> ( i e. ( N..^ n ) -> -. x e. ( E ` i ) ) )
94	52, 93	ralrimi 2788	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) -> A. i e. ( N..^ n ) -. x e. ( E ` i ) )
95		ralnex 2834	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. i e. ( N..^ n ) -. x e. ( E ` i ) <-> -. E. i e. ( N..^ n ) x e. ( E ` i ) )
96	94, 95	sylib 200	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) -> -. E. i e. ( N..^ n ) x e. ( E ` i ) )
97		eliun 4283	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) <-> E. i e. ( N..^ n ) x e. ( E ` i ) )
98	96, 97	sylnibr 307	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) -> -. x e. U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) )
99	98	adantrl 722	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) /\ ( x e. ( E ` n ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) ) -> -. x e. U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) )
100	49, 99	eldifd 3415	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) /\ ( x e. ( E ` n ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) ) -> x e. ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) )
101	14, 22	syldan 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) -> ( F ` n ) = ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) )
102	101	eqcomd 2457	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) -> ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) = ( F ` n ) )
103	102	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) /\ ( x e. ( E ` n ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) ) -> ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) = ( F ` n ) )
104	100, 103	eleqtrd 2531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) /\ ( x e. ( E ` n ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) ) -> x e. ( F ` n ) )
105	104	ex 436	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) -> ( ( x e. ( E ` n ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) -> x e. ( F ` n ) ) )
106	105	ex 436	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( n e. ( N ... m ) -> ( ( x e. ( E ` n ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) -> x e. ( F ` n ) ) ) )
107	4, 106	reximdai 2856	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E. n e. ( N ... m ) ( x e. ( E ` n ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) -> E. n e. ( N ... m ) x e. ( F ` n ) ) )
108	107	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) ) -> ( E. n e. ( N ... m ) ( x e. ( E ` n ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) -> E. n e. ( N ... m ) x e. ( F ` n ) ) )
109	48, 108	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) ) -> E. n e. ( N ... m ) x e. ( F ` n ) )
110	109, 1	sylibr 216	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) ) -> x e. U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) )
111	110	ralrimiva 2802	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) x e. U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) )
112		dfss3 3422	. . . . 5 |- ( U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) C_ U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) <-> A. x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) x e. U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) )
113	111, 112	sylibr 216	. . . 4 |- ( ph -> U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) C_ U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) )
114	39, 113	eqssd 3449	. . 3 |- ( ph -> U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) = U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) )
115	114	ralrimivw 2803	. 2 |- ( ph -> A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) = U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) )
116	11	iuneqfzuz 37558	. . 3 |- ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) = U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) -> U_ n e. Z ( F ` n ) = U_ n e. Z ( E ` n ) )
117	115, 116	syl 17	. 2 |- ( ph -> U_ n e. Z ( F ` n ) = U_ n e. Z ( E ` n ) )
118		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = m -> ( E ` n ) = ( E ` m ) )
119		oveq2 6298	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = m -> ( N..^ n ) = ( N..^ m ) )
120	119	iuneq1d 4303	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = m -> U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) = U_ i e. ( N..^ m ) ( E ` i ) )
121	118, 120	difeq12d 3552	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = m -> ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) = ( ( E ` m ) \ U_ i e. ( N..^ m ) ( E ` i ) ) )
122	121	cbvmptv 4495	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. Z |-> ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) ) = ( m e. Z |-> ( ( E ` m ) \ U_ i e. ( N..^ m ) ( E ` i ) ) )
123	20, 122	eqtri 2473	. . . . . . . . . . 11 |- F = ( m e. Z |-> ( ( E ` m ) \ U_ i e. ( N..^ m ) ( E ` i ) ) )
124		simpllr 769	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. Z ) /\ n < k ) -> n e. Z )
125		simplr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. Z ) /\ n < k ) -> k e. Z )
126		simpr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. Z ) /\ n < k ) -> n < k )
127	11, 123, 124, 125, 126	iundjiunlem 38297	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. Z ) /\ n < k ) -> ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) )
128	127	adantlr 721	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. Z ) /\ -. n = k ) /\ n < k ) -> ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) )
129		simpll 760	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. Z ) /\ -. n = k ) /\ -. n < k ) -> ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. Z ) )
130		neqne 37374	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. n = k -> n =/= k )
131		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. Z -> k e. Z )
132	131, 11	syl6eleq 2539	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. Z -> k e. ( ZZ>= ` N ) )
133		eluzelz 11168	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( ZZ>= ` N ) -> k e. ZZ )
134	132, 133	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. Z -> k e. ZZ )
135	134	zred 11040	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. Z -> k e. RR )
136	135	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. Z /\ k e. Z ) -> k e. RR )
137	136	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( n e. Z /\ k e. Z ) /\ n =/= k ) /\ -. n < k ) -> k e. RR )
138		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. Z -> n e. Z )
139	138, 11	syl6eleq 2539	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. Z -> n e. ( ZZ>= ` N ) )
140		eluzelz 11168	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ( ZZ>= ` N ) -> n e. ZZ )
141	139, 140	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. Z -> n e. ZZ )
142	141	zred 11040	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. Z -> n e. RR )
143	142	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( n e. Z /\ k e. Z ) /\ n =/= k ) /\ -. n < k ) -> n e. RR )
144		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( n e. Z /\ k e. Z ) /\ -. n < k ) -> -. n < k )
145	136	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( n e. Z /\ k e. Z ) /\ -. n < k ) -> k e. RR )
146	142	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( n e. Z /\ k e. Z ) /\ -. n < k ) -> n e. RR )
147	145, 146	lenltd 9781	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( n e. Z /\ k e. Z ) /\ -. n < k ) -> ( k <_ n <-> -. n < k ) )
148	144, 147	mpbird 236	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( n e. Z /\ k e. Z ) /\ -. n < k ) -> k <_ n )
149	148	adantlr 721	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( n e. Z /\ k e. Z ) /\ n =/= k ) /\ -. n < k ) -> k <_ n )
150		simplr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( n e. Z /\ k e. Z ) /\ n =/= k ) /\ -. n < k ) -> n =/= k )
151	137, 143, 149, 150	leneltd 9789	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( n e. Z /\ k e. Z ) /\ n =/= k ) /\ -. n < k ) -> k < n )
152	130, 151	sylanl2 657	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( n e. Z /\ k e. Z ) /\ -. n = k ) /\ -. n < k ) -> k < n )
153	152	ad5ant2345 1259	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. Z ) /\ -. n = k ) /\ -. n < k ) -> k < n )
154		anass 655	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. Z ) <-> ( ph /\ ( n e. Z /\ k e. Z ) ) )
155		incom 3625	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = ( ( F ` k ) i^i ( F ` n ) )
156	155	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. Z /\ k e. Z ) ) /\ k < n ) -> ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = ( ( F ` k ) i^i ( F ` n ) ) )
157		simplrr 771	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( n e. Z /\ k e. Z ) ) /\ k < n ) -> k e. Z )
158		simplrl 770	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( n e. Z /\ k e. Z ) ) /\ k < n ) -> n e. Z )
159		simpr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( n e. Z /\ k e. Z ) ) /\ k < n ) -> k < n )
160	11, 123, 157, 158, 159	iundjiunlem 38297	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. Z /\ k e. Z ) ) /\ k < n ) -> ( ( F ` k ) i^i ( F ` n ) ) = (/) )
161	156, 160	eqtrd 2485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. Z /\ k e. Z ) ) /\ k < n ) -> ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) )
162	154, 161	sylanb 475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. Z ) /\ k < n ) -> ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) )
163	129, 153, 162	syl2anc 667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. Z ) /\ -. n = k ) /\ -. n < k ) -> ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) )
164	128, 163	pm2.61dan 800	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. Z ) /\ -. n = k ) -> ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) )
165	164	ex 436	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. Z ) -> ( -. n = k -> ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) )
166		df-or 372	. . . . . . 7 |- ( ( n = k \/ ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) <-> ( -. n = k -> ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) )
167	165, 166	sylibr 216	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. Z ) -> ( n = k \/ ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) )
168	167	ralrimiva 2802	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> A. k e. Z ( n = k \/ ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) )
169	168	ex 436	. . . 4 |- ( ph -> ( n e. Z -> A. k e. Z ( n = k \/ ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) ) )
170	4, 169	ralrimi 2788	. . 3 |- ( ph -> A. n e. Z A. k e. Z ( n = k \/ ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) )
171		nfcv 2592	. . . . 5 |- F/_ m ( F ` n )
172		nfmpt1 4492	. . . . . . 7 |- F/_ n ( n e. Z |-> ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) )
173	20, 172	nfcxfr 2590	. . . . . 6 |- F/_ n F
174		nfcv 2592	. . . . . 6 |- F/_ n m
175	173, 174	nffv 5872	. . . . 5 |- F/_ n ( F ` m )
176		fveq2 5865	. . . . 5 |- ( n = m -> ( F ` n ) = ( F ` m ) )
177	171, 175, 176	cbvdisj 4383	. . . 4 |- (Disj n e. Z ( F ` n ) <-> Disj m e. Z ( F ` m ) )
178		fveq2 5865	. . . . 5 |- ( m = k -> ( F ` m ) = ( F ` k ) )
179	178	disjor 4387	. . . 4 |- (Disj m e. Z ( F ` m ) <-> A. m e. Z A. k e. Z ( m = k \/ ( ( F ` m ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) )
180		nfcv 2592	. . . . . 6 |- F/_ n Z
181		nfv 1761	. . . . . . 7 |- F/ n m = k
182		nfcv 2592	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n k
183	173, 182	nffv 5872	. . . . . . . . 9 |- F/_ n ( F ` k )
184	175, 183	nfin 3639	. . . . . . . 8 |- F/_ n ( ( F ` m ) i^i ( F ` k ) )
185		nfcv 2592	. . . . . . . 8 |- F/_ n (/)
186	184, 185	nfeq 2603	. . . . . . 7 |- F/ n ( ( F ` m ) i^i ( F ` k ) ) = (/)
187	181, 186	nfor 2018	. . . . . 6 |- F/ n ( m = k \/ ( ( F ` m ) i^i ( F ` k ) ) = (/) )
188	180, 187	nfral 2774	. . . . 5 |- F/ n A. k e. Z ( m = k \/ ( ( F ` m ) i^i ( F ` k ) ) = (/) )
189		nfv 1761	. . . . 5 |- F/ m A. k e. Z ( n = k \/ ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) )
190		equequ1 1867	. . . . . . 7 |- ( m = n -> ( m = k <-> n = k ) )
191		fveq2 5865	. . . . . . . . 9 |- ( m = n -> ( F ` m ) = ( F ` n ) )
192	191	ineq1d 3633	. . . . . . . 8 |- ( m = n -> ( ( F ` m ) i^i ( F ` k ) ) = ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) )
193	192	eqeq1d 2453	. . . . . . 7 |- ( m = n -> ( ( ( F ` m ) i^i ( F ` k ) ) = (/) <-> ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) )
194	190, 193	orbi12d 716	. . . . . 6 |- ( m = n -> ( ( m = k \/ ( ( F ` m ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) <-> ( n = k \/ ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) ) )
195	194	ralbidv 2827	. . . . 5 |- ( m = n -> ( A. k e. Z ( m = k \/ ( ( F ` m ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) <-> A. k e. Z ( n = k \/ ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) ) )
196	188, 189, 195	cbvral 3015	. . . 4 |- ( A. m e. Z A. k e. Z ( m = k \/ ( ( F ` m ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) <-> A. n e. Z A. k e. Z ( n = k \/ ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) )
197	177, 179, 196	3bitri 275	. . 3 |- (Disj n e. Z ( F ` n ) <-> A. n e. Z A. k e. Z ( n = k \/ ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) )
198	170, 197	sylibr 216	. 2 |- ( ph -> Disj n e. Z ( F ` n ) )
199	115, 117, 198	jca31 537	1 |- ( ph -> ( ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) = U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) /\ U_ n e. Z ( F ` n ) = U_ n e. Z ( E ` n ) ) /\ Disj n e. Z ( F ` n ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 370   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   F/wnf 1667   e. wcel 1887   =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3045   \ cdif 3401   i^i cin 3403   C_ wss 3404   (/)c0 3731   U_ciun 4278  Disj wdisj 4373   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   RRcr 9538   1c1 9540   < clt 9675   <_ cle 9676   - cmin 9860   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   ...cfz 11784  ..^cfzo 11915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-disj 4374  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916

This theorem is referenced by:  meaiunlelem  38306  carageniuncllem2  38343