Theorem iundjiun 38414

Description: Given a sequence E of sets, a sequence F of disjoint sets is built, such that the indexed union stays the same. As in the proof of Property 112C (d) of [Fremlin1] p. 16. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iundjiun.nph	|- F/ n ph
iundjiun.z	|- Z = ( ZZ>= ` N )
iundjiun.e	|- ( ph -> E : Z --> V )
iundjiun.f	|- F = ( n e. Z |-> ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) )

Assertion

Ref	Expression
iundjiun	|- ( ph -> ( ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) = U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) /\ U_ n e. Z ( F ` n ) = U_ n e. Z ( E ` n ) ) /\ Disj n e. Z ( F ` n ) ) )

Distinct variable groups:   i, E, m, n   m, F   i, N, m, n   m, Z, n   ph, i, m

Allowed substitution hints:   ph( n)   F( i, n)   V( i, m, n)   Z( i)

Proof of Theorem iundjiun

Dummy variables x k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliun 4274	. . . . . . . . 9 |- ( x e. U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) <-> E. n e. ( N ... m ) x e. ( F ` n ) )
2	1	biimpi 199	. . . . . . . 8 |- ( x e. U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) -> E. n e. ( N ... m ) x e. ( F ` n ) )
3	2	adantl 473	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) ) -> E. n e. ( N ... m ) x e. ( F ` n ) )
4		iundjiun.nph	. . . . . . . . 9 |- F/ n ph
5		nfcv 2612	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n x
6		nfiu1 4299	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n )
7	5, 6	nfel 2624	. . . . . . . . 9 |- F/ n x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n )
8		simp2 1031	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) /\ x e. ( F ` n ) ) -> n e. ( N ... m ) )
9		simpl 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) -> ph )
10		elfzuz 11822	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. ( N ... m ) -> n e. ( ZZ>= ` N ) )
11		iundjiun.z	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- Z = ( ZZ>= ` N )
12	11	eqcomi 2480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ZZ>= ` N ) = Z
13	10, 12	syl6eleq 2559	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ( N ... m ) -> n e. Z )
14	13	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) -> n e. Z )
15		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> n e. Z )
16		iundjiun.e	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> E : Z --> V )
17	16	ffvelrnda 6037	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( E ` n ) e. V )
18		difexg 4545	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( E ` n ) e. V -> ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) e. _V )
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) e. _V )
20		iundjiun.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F = ( n e. Z |-> ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) )
21	20	fvmpt2 5972	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. Z /\ ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) e. _V ) -> ( F ` n ) = ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) )
22	15, 19, 21	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) = ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) )
23		difssd 3550	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) C_ ( E ` n ) )
24	22, 23	eqsstrd 3452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) C_ ( E ` n ) )
25	9, 14, 24	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) -> ( F ` n ) C_ ( E ` n ) )
26	25	3adant3 1050	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) /\ x e. ( F ` n ) ) -> ( F ` n ) C_ ( E ` n ) )
27		simp3 1032	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) /\ x e. ( F ` n ) ) -> x e. ( F ` n ) )
28	26, 27	sseldd 3419	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) /\ x e. ( F ` n ) ) -> x e. ( E ` n ) )
29		rspe 2844	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ x e. ( E ` n ) ) -> E. n e. ( N ... m ) x e. ( E ` n ) )
30	8, 28, 29	syl2anc 673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) /\ x e. ( F ` n ) ) -> E. n e. ( N ... m ) x e. ( E ` n ) )
31		eliun 4274	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) <-> E. n e. ( N ... m ) x e. ( E ` n ) )
32	30, 31	sylibr 217	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) /\ x e. ( F ` n ) ) -> x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) )
33	32	3exp 1230	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( n e. ( N ... m ) -> ( x e. ( F ` n ) -> x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) ) ) )
34	4, 7, 33	rexlimd 2866	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E. n e. ( N ... m ) x e. ( F ` n ) -> x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) ) )
35	34	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) ) -> ( E. n e. ( N ... m ) x e. ( F ` n ) -> x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) ) )
36	3, 35	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) ) -> x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) )
37	36	ralrimiva 2809	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) )
38		dfss3 3408	. . . . 5 |- ( U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) C_ U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) <-> A. x e. U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) )
39	37, 38	sylibr 217	. . . 4 |- ( ph -> U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) C_ U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) )
40		fzssuz 11865	. . . . . . . . . . 11 |- ( N ... m ) C_ ( ZZ>= ` N )
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) -> ( N ... m ) C_ ( ZZ>= ` N ) )
42	31	biimpi 199	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) -> E. n e. ( N ... m ) x e. ( E ` n ) )
43		nfv 1769	. . . . . . . . . . 11 |- F/ n x e. ( E ` i )
44		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = i -> ( E ` n ) = ( E ` i ) )
45	44	eleq2d 2534	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = i -> ( x e. ( E ` n ) <-> x e. ( E ` i ) ) )
46	43, 45	uzwo4 37451	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N ... m ) C_ ( ZZ>= ` N ) /\ E. n e. ( N ... m ) x e. ( E ` n ) ) -> E. n e. ( N ... m ) ( x e. ( E ` n ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) )
47	41, 42, 46	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) -> E. n e. ( N ... m ) ( x e. ( E ` n ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) )
48	47	adantl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) ) -> E. n e. ( N ... m ) ( x e. ( E ` n ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) )
49		simprl 772	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) /\ ( x e. ( E ` n ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) ) -> x e. ( E ` n ) )
50		nfv 1769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ i ( ph /\ n e. ( N ... m ) )
51		nfra1 2785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ i A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) )
52	50, 51	nfan 2031	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ i ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) )
53		elfzoelz 11947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( i e. ( N..^ n ) -> i e. ZZ )
54	53	zred 11063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( i e. ( N..^ n ) -> i e. RR )
55	54	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> i e. RR )
56		elfzelz 11826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( n e. ( N ... m ) -> n e. ZZ )
57	56	zred 11063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( n e. ( N ... m ) -> n e. RR )
58	57	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> n e. RR )
59		1red 9676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> 1 e. RR )
60	58, 59	resubcld 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> ( n - 1 ) e. RR )
61		elfzolem1 37631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( i e. ( N..^ n ) -> i <_ ( n - 1 ) )
62	61	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> i <_ ( n - 1 ) )
63	58	ltm1d 10561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> ( n - 1 ) < n )
64	55, 60, 58, 62, 63	lelttrd 9810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> i < n )
65	64	ad4ant24 1264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> i < n )
66		simplr 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( n e. ( N ... m ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) )
67		elfzel1 11825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( n e. ( N ... m ) -> N e. ZZ )
68	67	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> N e. ZZ )
69		elfzel2 11824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( n e. ( N ... m ) -> m e. ZZ )
70	69	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> m e. ZZ )
71	53	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> i e. ZZ )
72	68, 70, 71	3jca 1210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> ( N e. ZZ /\ m e. ZZ /\ i e. ZZ ) )
73		elfzole1 11955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( i e. ( N..^ n ) -> N <_ i )
74	73	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> N <_ i )
75	70	zred 11063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> m e. RR )
76		1red 9676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( n e. ( N ... m ) -> 1 e. RR )
77	57, 76	resubcld 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( n e. ( N ... m ) -> ( n - 1 ) e. RR )
78	69	zred 11063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( n e. ( N ... m ) -> m e. RR )
79	57	ltm1d 10561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( n e. ( N ... m ) -> ( n - 1 ) < n )
80		elfzle2 11829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( n e. ( N ... m ) -> n <_ m )
81	77, 57, 78, 79, 80	ltletrd 9812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( n e. ( N ... m ) -> ( n - 1 ) < m )
82	81	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> ( n - 1 ) < m )
83	55, 60, 75, 62, 82	lelttrd 9810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> i < m )
84	55, 75, 83	ltled 9800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> i <_ m )
85	72, 74, 84	jca32 544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> ( ( N e. ZZ /\ m e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( N <_ i /\ i <_ m ) ) )
86		elfz2 11817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( i e. ( N ... m ) <-> ( ( N e. ZZ /\ m e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( N <_ i /\ i <_ m ) ) )
87	85, 86	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> i e. ( N ... m ) )
88	87	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( n e. ( N ... m ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> i e. ( N ... m ) )
89		rspa 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) /\ i e. ( N ... m ) ) -> ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) )
90	66, 88, 89	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( n e. ( N ... m ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) )
91	90	adantlll 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) )
92	65, 91	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> -. x e. ( E ` i ) )
93	92	ex 441	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) -> ( i e. ( N..^ n ) -> -. x e. ( E ` i ) ) )
94	52, 93	ralrimi 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) -> A. i e. ( N..^ n ) -. x e. ( E ` i ) )
95		ralnex 2834	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. i e. ( N..^ n ) -. x e. ( E ` i ) <-> -. E. i e. ( N..^ n ) x e. ( E ` i ) )
96	94, 95	sylib 201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) -> -. E. i e. ( N..^ n ) x e. ( E ` i ) )
97		eliun 4274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) <-> E. i e. ( N..^ n ) x e. ( E ` i ) )
98	96, 97	sylnibr 312	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) -> -. x e. U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) )
99	98	adantrl 730	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) /\ ( x e. ( E ` n ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) ) -> -. x e. U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) )
100	49, 99	eldifd 3401	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) /\ ( x e. ( E ` n ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) ) -> x e. ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) )
101	14, 22	syldan 478	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) -> ( F ` n ) = ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) )
102	101	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) -> ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) = ( F ` n ) )
103	102	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) /\ ( x e. ( E ` n ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) ) -> ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) = ( F ` n ) )
104	100, 103	eleqtrd 2551	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) /\ ( x e. ( E ` n ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) ) -> x e. ( F ` n ) )
105	104	ex 441	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) -> ( ( x e. ( E ` n ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) -> x e. ( F ` n ) ) )
106	105	ex 441	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( n e. ( N ... m ) -> ( ( x e. ( E ` n ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) -> x e. ( F ` n ) ) ) )
107	4, 106	reximdai 2853	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E. n e. ( N ... m ) ( x e. ( E ` n ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) -> E. n e. ( N ... m ) x e. ( F ` n ) ) )
108	107	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) ) -> ( E. n e. ( N ... m ) ( x e. ( E ` n ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) -> E. n e. ( N ... m ) x e. ( F ` n ) ) )
109	48, 108	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) ) -> E. n e. ( N ... m ) x e. ( F ` n ) )
110	109, 1	sylibr 217	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) ) -> x e. U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) )
111	110	ralrimiva 2809	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) x e. U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) )
112		dfss3 3408	. . . . 5 |- ( U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) C_ U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) <-> A. x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) x e. U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) )
113	111, 112	sylibr 217	. . . 4 |- ( ph -> U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) C_ U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) )
114	39, 113	eqssd 3435	. . 3 |- ( ph -> U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) = U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) )
115	114	ralrimivw 2810	. 2 |- ( ph -> A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) = U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) )
116	11	iuneqfzuz 37645	. . 3 |- ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) = U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) -> U_ n e. Z ( F ` n ) = U_ n e. Z ( E ` n ) )
117	115, 116	syl 17	. 2 |- ( ph -> U_ n e. Z ( F ` n ) = U_ n e. Z ( E ` n ) )
118		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = m -> ( E ` n ) = ( E ` m ) )
119		oveq2 6316	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = m -> ( N..^ n ) = ( N..^ m ) )
120	119	iuneq1d 4294	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = m -> U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) = U_ i e. ( N..^ m ) ( E ` i ) )
121	118, 120	difeq12d 3541	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = m -> ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) = ( ( E ` m ) \ U_ i e. ( N..^ m ) ( E ` i ) ) )
122	121	cbvmptv 4488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. Z |-> ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) ) = ( m e. Z |-> ( ( E ` m ) \ U_ i e. ( N..^ m ) ( E ` i ) ) )
123	20, 122	eqtri 2493	. . . . . . . . . . 11 |- F = ( m e. Z |-> ( ( E ` m ) \ U_ i e. ( N..^ m ) ( E ` i ) ) )
124		simpllr 777	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. Z ) /\ n < k ) -> n e. Z )
125		simplr 770	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. Z ) /\ n < k ) -> k e. Z )
126		simpr 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. Z ) /\ n < k ) -> n < k )
127	11, 123, 124, 125, 126	iundjiunlem 38413	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. Z ) /\ n < k ) -> ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) )
128	127	adantlr 729	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. Z ) /\ -. n = k ) /\ n < k ) -> ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) )
129		simpll 768	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. Z ) /\ -. n = k ) /\ -. n < k ) -> ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. Z ) )
130		neqne 2651	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. n = k -> n =/= k )
131		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. Z -> k e. Z )
132	131, 11	syl6eleq 2559	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. Z -> k e. ( ZZ>= ` N ) )
133		eluzelz 11192	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( ZZ>= ` N ) -> k e. ZZ )
134	132, 133	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. Z -> k e. ZZ )
135	134	zred 11063	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. Z -> k e. RR )
136	135	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. Z /\ k e. Z ) -> k e. RR )
137	136	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( n e. Z /\ k e. Z ) /\ n =/= k ) /\ -. n < k ) -> k e. RR )
138		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. Z -> n e. Z )
139	138, 11	syl6eleq 2559	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. Z -> n e. ( ZZ>= ` N ) )
140		eluzelz 11192	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ( ZZ>= ` N ) -> n e. ZZ )
141	139, 140	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. Z -> n e. ZZ )
142	141	zred 11063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. Z -> n e. RR )
143	142	ad3antrrr 744	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( n e. Z /\ k e. Z ) /\ n =/= k ) /\ -. n < k ) -> n e. RR )
144		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( n e. Z /\ k e. Z ) /\ -. n < k ) -> -. n < k )
145	136	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( n e. Z /\ k e. Z ) /\ -. n < k ) -> k e. RR )
146	142	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( n e. Z /\ k e. Z ) /\ -. n < k ) -> n e. RR )
147	145, 146	lenltd 9798	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( n e. Z /\ k e. Z ) /\ -. n < k ) -> ( k <_ n <-> -. n < k ) )
148	144, 147	mpbird 240	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( n e. Z /\ k e. Z ) /\ -. n < k ) -> k <_ n )
149	148	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( n e. Z /\ k e. Z ) /\ n =/= k ) /\ -. n < k ) -> k <_ n )
150		simplr 770	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( n e. Z /\ k e. Z ) /\ n =/= k ) /\ -. n < k ) -> n =/= k )
151	137, 143, 149, 150	leneltd 9806	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( n e. Z /\ k e. Z ) /\ n =/= k ) /\ -. n < k ) -> k < n )
152	130, 151	sylanl2 663	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( n e. Z /\ k e. Z ) /\ -. n = k ) /\ -. n < k ) -> k < n )
153	152	ad5ant2345 1283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. Z ) /\ -. n = k ) /\ -. n < k ) -> k < n )
154		anass 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. Z ) <-> ( ph /\ ( n e. Z /\ k e. Z ) ) )
155		incom 3616	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = ( ( F ` k ) i^i ( F ` n ) )
156	155	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. Z /\ k e. Z ) ) /\ k < n ) -> ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = ( ( F ` k ) i^i ( F ` n ) ) )
157		simplrr 779	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( n e. Z /\ k e. Z ) ) /\ k < n ) -> k e. Z )
158		simplrl 778	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( n e. Z /\ k e. Z ) ) /\ k < n ) -> n e. Z )
159		simpr 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( n e. Z /\ k e. Z ) ) /\ k < n ) -> k < n )
160	11, 123, 157, 158, 159	iundjiunlem 38413	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. Z /\ k e. Z ) ) /\ k < n ) -> ( ( F ` k ) i^i ( F ` n ) ) = (/) )
161	156, 160	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. Z /\ k e. Z ) ) /\ k < n ) -> ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) )
162	154, 161	sylanb 480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. Z ) /\ k < n ) -> ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) )
163	129, 153, 162	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. Z ) /\ -. n = k ) /\ -. n < k ) -> ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) )
164	128, 163	pm2.61dan 808	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. Z ) /\ -. n = k ) -> ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) )
165	164	ex 441	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. Z ) -> ( -. n = k -> ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) )
166		df-or 377	. . . . . . 7 |- ( ( n = k \/ ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) <-> ( -. n = k -> ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) )
167	165, 166	sylibr 217	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. Z ) -> ( n = k \/ ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) )
168	167	ralrimiva 2809	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> A. k e. Z ( n = k \/ ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) )
169	168	ex 441	. . . 4 |- ( ph -> ( n e. Z -> A. k e. Z ( n = k \/ ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) ) )
170	4, 169	ralrimi 2800	. . 3 |- ( ph -> A. n e. Z A. k e. Z ( n = k \/ ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) )
171		nfcv 2612	. . . . 5 |- F/_ m ( F ` n )
172		nfmpt1 4485	. . . . . . 7 |- F/_ n ( n e. Z |-> ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) )
173	20, 172	nfcxfr 2610	. . . . . 6 |- F/_ n F
174		nfcv 2612	. . . . . 6 |- F/_ n m
175	173, 174	nffv 5886	. . . . 5 |- F/_ n ( F ` m )
176		fveq2 5879	. . . . 5 |- ( n = m -> ( F ` n ) = ( F ` m ) )
177	171, 175, 176	cbvdisj 4376	. . . 4 |- (Disj n e. Z ( F ` n ) <-> Disj m e. Z ( F ` m ) )
178		fveq2 5879	. . . . 5 |- ( m = k -> ( F ` m ) = ( F ` k ) )
179	178	disjor 4380	. . . 4 |- (Disj m e. Z ( F ` m ) <-> A. m e. Z A. k e. Z ( m = k \/ ( ( F ` m ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) )
180		nfcv 2612	. . . . . 6 |- F/_ n Z
181		nfv 1769	. . . . . . 7 |- F/ n m = k
182		nfcv 2612	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n k
183	173, 182	nffv 5886	. . . . . . . . 9 |- F/_ n ( F ` k )
184	175, 183	nfin 3630	. . . . . . . 8 |- F/_ n ( ( F ` m ) i^i ( F ` k ) )
185		nfcv 2612	. . . . . . . 8 |- F/_ n (/)
186	184, 185	nfeq 2623	. . . . . . 7 |- F/ n ( ( F ` m ) i^i ( F ` k ) ) = (/)
187	181, 186	nfor 2038	. . . . . 6 |- F/ n ( m = k \/ ( ( F ` m ) i^i ( F ` k ) ) = (/) )
188	180, 187	nfral 2789	. . . . 5 |- F/ n A. k e. Z ( m = k \/ ( ( F ` m ) i^i ( F ` k ) ) = (/) )
189		nfv 1769	. . . . 5 |- F/ m A. k e. Z ( n = k \/ ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) )
190		equequ1 1875	. . . . . . 7 |- ( m = n -> ( m = k <-> n = k ) )
191		fveq2 5879	. . . . . . . . 9 |- ( m = n -> ( F ` m ) = ( F ` n ) )
192	191	ineq1d 3624	. . . . . . . 8 |- ( m = n -> ( ( F ` m ) i^i ( F ` k ) ) = ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) )
193	192	eqeq1d 2473	. . . . . . 7 |- ( m = n -> ( ( ( F ` m ) i^i ( F ` k ) ) = (/) <-> ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) )
194	190, 193	orbi12d 724	. . . . . 6 |- ( m = n -> ( ( m = k \/ ( ( F ` m ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) <-> ( n = k \/ ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) ) )
195	194	ralbidv 2829	. . . . 5 |- ( m = n -> ( A. k e. Z ( m = k \/ ( ( F ` m ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) <-> A. k e. Z ( n = k \/ ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) ) )
196	188, 189, 195	cbvral 3001	. . . 4 |- ( A. m e. Z A. k e. Z ( m = k \/ ( ( F ` m ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) <-> A. n e. Z A. k e. Z ( n = k \/ ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) )
197	177, 179, 196	3bitri 279	. . 3 |- (Disj n e. Z ( F ` n ) <-> A. n e. Z A. k e. Z ( n = k \/ ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) )
198	170, 197	sylibr 217	. 2 |- ( ph -> Disj n e. Z ( F ` n ) )
199	115, 117, 198	jca31 543	1 |- ( ph -> ( ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) = U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) /\ U_ n e. Z ( F ` n ) = U_ n e. Z ( E ` n ) ) /\ Disj n e. Z ( F ` n ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 375   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   F/wnf 1675   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   \ cdif 3387   i^i cin 3389   C_ wss 3390   (/)c0 3722   U_ciun 4269  Disj wdisj 4366   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   RRcr 9556   1c1 9558   < clt 9693   <_ cle 9694   - cmin 9880   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   ...cfz 11810  ..^cfzo 11942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943

This theorem is referenced by:  meaiunlelem  38422  carageniuncllem2  38462