Theorem iundjiun 38083

Description: Given a sequence E of sets, a sequence F of disjoint sets is built, such that the indexed union stays the same. As in the proof of Property 112C (d) of [Fremlin1] p. 16 (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iundjiun.nph	|- F/ n ph
iundjiun.z	|- Z = ( ZZ>= ` N )
iundjiun.e	|- ( ph -> E : Z --> V )
iundjiun.f	|- F = ( n e. Z |-> ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) )

Assertion

Ref	Expression
iundjiun	|- ( ph -> ( ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) = U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) /\ U_ n e. Z ( F ` n ) = U_ n e. Z ( E ` n ) ) /\ Disj n e. Z ( F ` n ) ) )

Distinct variable groups:   i, E, m, n   m, F   i, N, m, n   m, Z, n   ph, i, m

Allowed substitution hints:   ph( n)   F( i, n)   V( i, m, n)   Z( i)

Proof of Theorem iundjiun

Dummy variables x k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliun 4302	. . . . . . . . 9 |- ( x e. U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) <-> E. n e. ( N ... m ) x e. ( F ` n ) )
2	1	biimpi 198	. . . . . . . 8 |- ( x e. U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) -> E. n e. ( N ... m ) x e. ( F ` n ) )
3	2	adantl 468	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) ) -> E. n e. ( N ... m ) x e. ( F ` n ) )
4		iundjiun.nph	. . . . . . . . 9 |- F/ n ph
5		nfcv 2585	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n x
6		nfiu1 4327	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n )
7	5, 6	nfel 2598	. . . . . . . . 9 |- F/ n x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n )
8		simp2 1007	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) /\ x e. ( F ` n ) ) -> n e. ( N ... m ) )
9		simpl 459	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) -> ph )
10		elfzuz 11798	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. ( N ... m ) -> n e. ( ZZ>= ` N ) )
11		iundjiun.z	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- Z = ( ZZ>= ` N )
12	11	eqcomi 2436	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ZZ>= ` N ) = Z
13	10, 12	syl6eleq 2521	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ( N ... m ) -> n e. Z )
14	13	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) -> n e. Z )
15		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> n e. Z )
16		iundjiun.e	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> E : Z --> V )
17	16	ffvelrnda 6035	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( E ` n ) e. V )
18		difexg 4570	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( E ` n ) e. V -> ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) e. _V )
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) e. _V )
20		iundjiun.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F = ( n e. Z |-> ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) )
21	20	fvmpt2 5971	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. Z /\ ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) e. _V ) -> ( F ` n ) = ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) )
22	15, 19, 21	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) = ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) )
23		difssd 3594	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) C_ ( E ` n ) )
24	22, 23	eqsstrd 3499	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) C_ ( E ` n ) )
25	9, 14, 24	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) -> ( F ` n ) C_ ( E ` n ) )
26	25	3adant3 1026	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) /\ x e. ( F ` n ) ) -> ( F ` n ) C_ ( E ` n ) )
27		simp3 1008	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) /\ x e. ( F ` n ) ) -> x e. ( F ` n ) )
28	26, 27	sseldd 3466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) /\ x e. ( F ` n ) ) -> x e. ( E ` n ) )
29		rspe 2884	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ x e. ( E ` n ) ) -> E. n e. ( N ... m ) x e. ( E ` n ) )
30	8, 28, 29	syl2anc 666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) /\ x e. ( F ` n ) ) -> E. n e. ( N ... m ) x e. ( E ` n ) )
31		eliun 4302	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) <-> E. n e. ( N ... m ) x e. ( E ` n ) )
32	30, 31	sylibr 216	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) /\ x e. ( F ` n ) ) -> x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) )
33	32	3exp 1205	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( n e. ( N ... m ) -> ( x e. ( F ` n ) -> x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) ) ) )
34	4, 7, 33	rexlimd 2910	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E. n e. ( N ... m ) x e. ( F ` n ) -> x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) ) )
35	34	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) ) -> ( E. n e. ( N ... m ) x e. ( F ` n ) -> x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) ) )
36	3, 35	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) ) -> x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) )
37	36	ralrimiva 2840	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) )
38		dfss3 3455	. . . . 5 |- ( U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) C_ U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) <-> A. x e. U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) )
39	37, 38	sylibr 216	. . . 4 |- ( ph -> U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) C_ U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) )
40		fzssuz 11841	. . . . . . . . . . 11 |- ( N ... m ) C_ ( ZZ>= ` N )
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) -> ( N ... m ) C_ ( ZZ>= ` N ) )
42	31	biimpi 198	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) -> E. n e. ( N ... m ) x e. ( E ` n ) )
43		nfv 1752	. . . . . . . . . . 11 |- F/ n x e. ( E ` i )
44		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = i -> ( E ` n ) = ( E ` i ) )
45	44	eleq2d 2493	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = i -> ( x e. ( E ` n ) <-> x e. ( E ` i ) ) )
46	43, 45	uzwo4 37260	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N ... m ) C_ ( ZZ>= ` N ) /\ E. n e. ( N ... m ) x e. ( E ` n ) ) -> E. n e. ( N ... m ) ( x e. ( E ` n ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) )
47	41, 42, 46	syl2anc 666	. . . . . . . . 9 |- ( x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) -> E. n e. ( N ... m ) ( x e. ( E ` n ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) )
48	47	adantl 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) ) -> E. n e. ( N ... m ) ( x e. ( E ` n ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) )
49		simprl 763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) /\ ( x e. ( E ` n ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) ) -> x e. ( E ` n ) )
50		nfv 1752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ i ( ph /\ n e. ( N ... m ) )
51		nfra1 2807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ i A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) )
52	50, 51	nfan 1985	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ i ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) )
53		elfzoelz 11922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( i e. ( N..^ n ) -> i e. ZZ )
54	53	zred 11042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( i e. ( N..^ n ) -> i e. RR )
55	54	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> i e. RR )
56		elfzelz 11802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( n e. ( N ... m ) -> n e. ZZ )
57	56	zred 11042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( n e. ( N ... m ) -> n e. RR )
58	57	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> n e. RR )
59		1red 9660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> 1 e. RR )
60	58, 59	resubcld 10049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> ( n - 1 ) e. RR )
61		elfzolem1 37392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( i e. ( N..^ n ) -> i <_ ( n - 1 ) )
62	61	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> i <_ ( n - 1 ) )
63	58	ltm1d 10541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> ( n - 1 ) < n )
64	55, 60, 58, 62, 63	lelttrd 9795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> i < n )
65	64	ad4ant24 1237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> i < n )
66		simplr 761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( n e. ( N ... m ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) )
67		elfzel1 11801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( n e. ( N ... m ) -> N e. ZZ )
68	67	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> N e. ZZ )
69		elfzel2 11800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( n e. ( N ... m ) -> m e. ZZ )
70	69	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> m e. ZZ )
71	53	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> i e. ZZ )
72	68, 70, 71	3jca 1186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> ( N e. ZZ /\ m e. ZZ /\ i e. ZZ ) )
73		elfzole1 11930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( i e. ( N..^ n ) -> N <_ i )
74	73	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> N <_ i )
75	70	zred 11042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> m e. RR )
76		1red 9660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( n e. ( N ... m ) -> 1 e. RR )
77	57, 76	resubcld 10049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( n e. ( N ... m ) -> ( n - 1 ) e. RR )
78	69	zred 11042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( n e. ( N ... m ) -> m e. RR )
79	57	ltm1d 10541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( n e. ( N ... m ) -> ( n - 1 ) < n )
80		elfzle2 11805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( n e. ( N ... m ) -> n <_ m )
81	77, 57, 78, 79, 80	ltletrd 9797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( n e. ( N ... m ) -> ( n - 1 ) < m )
82	81	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> ( n - 1 ) < m )
83	55, 60, 75, 62, 82	lelttrd 9795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> i < m )
84	55, 75, 83	ltled 9785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> i <_ m )
85	72, 74, 84	jca32 538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> ( ( N e. ZZ /\ m e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( N <_ i /\ i <_ m ) ) )
86		elfz2 11793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( i e. ( N ... m ) <-> ( ( N e. ZZ /\ m e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( N <_ i /\ i <_ m ) ) )
87	85, 86	sylibr 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( n e. ( N ... m ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> i e. ( N ... m ) )
88	87	adantlr 720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( n e. ( N ... m ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> i e. ( N ... m ) )
89		rspa 2793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) /\ i e. ( N ... m ) ) -> ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) )
90	66, 88, 89	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( n e. ( N ... m ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) )
91	90	adantlll 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) )
92	65, 91	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) /\ i e. ( N..^ n ) ) -> -. x e. ( E ` i ) )
93	92	ex 436	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) -> ( i e. ( N..^ n ) -> -. x e. ( E ` i ) ) )
94	52, 93	ralrimi 2826	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) -> A. i e. ( N..^ n ) -. x e. ( E ` i ) )
95		ralnex 2872	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. i e. ( N..^ n ) -. x e. ( E ` i ) <-> -. E. i e. ( N..^ n ) x e. ( E ` i ) )
96	94, 95	sylib 200	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) -> -. E. i e. ( N..^ n ) x e. ( E ` i ) )
97		eliun 4302	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) <-> E. i e. ( N..^ n ) x e. ( E ` i ) )
98	96, 97	sylnibr 307	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) -> -. x e. U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) )
99	98	adantrl 721	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) /\ ( x e. ( E ` n ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) ) -> -. x e. U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) )
100	49, 99	eldifd 3448	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) /\ ( x e. ( E ` n ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) ) -> x e. ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) )
101	14, 22	syldan 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) -> ( F ` n ) = ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) )
102	101	eqcomd 2431	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) -> ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) = ( F ` n ) )
103	102	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) /\ ( x e. ( E ` n ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) ) -> ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) = ( F ` n ) )
104	100, 103	eleqtrd 2513	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) /\ ( x e. ( E ` n ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) ) -> x e. ( F ` n ) )
105	104	ex 436	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( N ... m ) ) -> ( ( x e. ( E ` n ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) -> x e. ( F ` n ) ) )
106	105	ex 436	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( n e. ( N ... m ) -> ( ( x e. ( E ` n ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) -> x e. ( F ` n ) ) ) )
107	4, 106	reximdai 2895	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E. n e. ( N ... m ) ( x e. ( E ` n ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) -> E. n e. ( N ... m ) x e. ( F ` n ) ) )
108	107	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) ) -> ( E. n e. ( N ... m ) ( x e. ( E ` n ) /\ A. i e. ( N ... m ) ( i < n -> -. x e. ( E ` i ) ) ) -> E. n e. ( N ... m ) x e. ( F ` n ) ) )
109	48, 108	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) ) -> E. n e. ( N ... m ) x e. ( F ` n ) )
110	109, 1	sylibr 216	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) ) -> x e. U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) )
111	110	ralrimiva 2840	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) x e. U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) )
112		dfss3 3455	. . . . 5 |- ( U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) C_ U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) <-> A. x e. U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) x e. U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) )
113	111, 112	sylibr 216	. . . 4 |- ( ph -> U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) C_ U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) )
114	39, 113	eqssd 3482	. . 3 |- ( ph -> U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) = U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) )
115	114	ralrimivw 2841	. 2 |- ( ph -> A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) = U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) )
116	11	iuneqfzuz 37406	. . 3 |- ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) = U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) -> U_ n e. Z ( F ` n ) = U_ n e. Z ( E ` n ) )
117	115, 116	syl 17	. 2 |- ( ph -> U_ n e. Z ( F ` n ) = U_ n e. Z ( E ` n ) )
118		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = m -> ( E ` n ) = ( E ` m ) )
119		oveq2 6311	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = m -> ( N..^ n ) = ( N..^ m ) )
120	119	iuneq1d 4322	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = m -> U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) = U_ i e. ( N..^ m ) ( E ` i ) )
121	118, 120	difeq12d 3585	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = m -> ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) = ( ( E ` m ) \ U_ i e. ( N..^ m ) ( E ` i ) ) )
122	121	cbvmptv 4514	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. Z |-> ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) ) = ( m e. Z |-> ( ( E ` m ) \ U_ i e. ( N..^ m ) ( E ` i ) ) )
123	20, 122	eqtri 2452	. . . . . . . . . . 11 |- F = ( m e. Z |-> ( ( E ` m ) \ U_ i e. ( N..^ m ) ( E ` i ) ) )
124		simpllr 768	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. Z ) /\ n < k ) -> n e. Z )
125		simplr 761	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. Z ) /\ n < k ) -> k e. Z )
126		simpr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. Z ) /\ n < k ) -> n < k )
127	11, 123, 124, 125, 126	iundjiunlem 38082	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. Z ) /\ n < k ) -> ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) )
128	127	adantlr 720	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. Z ) /\ -. n = k ) /\ n < k ) -> ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) )
129		simpll 759	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. Z ) /\ -. n = k ) /\ -. n < k ) -> ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. Z ) )
130		neqne 37241	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. n = k -> n =/= k )
131		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. Z -> k e. Z )
132	131, 11	syl6eleq 2521	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. Z -> k e. ( ZZ>= ` N ) )
133		eluzelz 11170	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( ZZ>= ` N ) -> k e. ZZ )
134	132, 133	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. Z -> k e. ZZ )
135	134	zred 11042	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. Z -> k e. RR )
136	135	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. Z /\ k e. Z ) -> k e. RR )
137	136	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( n e. Z /\ k e. Z ) /\ n =/= k ) /\ -. n < k ) -> k e. RR )
138		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. Z -> n e. Z )
139	138, 11	syl6eleq 2521	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. Z -> n e. ( ZZ>= ` N ) )
140		eluzelz 11170	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ( ZZ>= ` N ) -> n e. ZZ )
141	139, 140	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. Z -> n e. ZZ )
142	141	zred 11042	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. Z -> n e. RR )
143	142	ad3antrrr 735	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( n e. Z /\ k e. Z ) /\ n =/= k ) /\ -. n < k ) -> n e. RR )
144		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( n e. Z /\ k e. Z ) /\ -. n < k ) -> -. n < k )
145	136	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( n e. Z /\ k e. Z ) /\ -. n < k ) -> k e. RR )
146	142	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( n e. Z /\ k e. Z ) /\ -. n < k ) -> n e. RR )
147	145, 146	lenltd 9783	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( n e. Z /\ k e. Z ) /\ -. n < k ) -> ( k <_ n <-> -. n < k ) )
148	144, 147	mpbird 236	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( n e. Z /\ k e. Z ) /\ -. n < k ) -> k <_ n )
149	148	adantlr 720	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( n e. Z /\ k e. Z ) /\ n =/= k ) /\ -. n < k ) -> k <_ n )
150		simplr 761	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( n e. Z /\ k e. Z ) /\ n =/= k ) /\ -. n < k ) -> n =/= k )
151	137, 143, 149, 150	leneltd 9791	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( n e. Z /\ k e. Z ) /\ n =/= k ) /\ -. n < k ) -> k < n )
152	130, 151	sylanl2 656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( n e. Z /\ k e. Z ) /\ -. n = k ) /\ -. n < k ) -> k < n )
153	152	ad5ant2345 1256	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. Z ) /\ -. n = k ) /\ -. n < k ) -> k < n )
154		anass 654	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. Z ) <-> ( ph /\ ( n e. Z /\ k e. Z ) ) )
155		incom 3656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = ( ( F ` k ) i^i ( F ` n ) )
156	155	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. Z /\ k e. Z ) ) /\ k < n ) -> ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = ( ( F ` k ) i^i ( F ` n ) ) )
157		simplrr 770	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( n e. Z /\ k e. Z ) ) /\ k < n ) -> k e. Z )
158		simplrl 769	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( n e. Z /\ k e. Z ) ) /\ k < n ) -> n e. Z )
159		simpr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( n e. Z /\ k e. Z ) ) /\ k < n ) -> k < n )
160	11, 123, 157, 158, 159	iundjiunlem 38082	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. Z /\ k e. Z ) ) /\ k < n ) -> ( ( F ` k ) i^i ( F ` n ) ) = (/) )
161	156, 160	eqtrd 2464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. Z /\ k e. Z ) ) /\ k < n ) -> ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) )
162	154, 161	sylanb 475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. Z ) /\ k < n ) -> ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) )
163	129, 153, 162	syl2anc 666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. Z ) /\ -. n = k ) /\ -. n < k ) -> ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) )
164	128, 163	pm2.61dan 799	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. Z ) /\ -. n = k ) -> ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) )
165	164	ex 436	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. Z ) -> ( -. n = k -> ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) )
166		df-or 372	. . . . . . 7 |- ( ( n = k \/ ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) <-> ( -. n = k -> ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) )
167	165, 166	sylibr 216	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. Z ) -> ( n = k \/ ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) )
168	167	ralrimiva 2840	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> A. k e. Z ( n = k \/ ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) )
169	168	ex 436	. . . 4 |- ( ph -> ( n e. Z -> A. k e. Z ( n = k \/ ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) ) )
170	4, 169	ralrimi 2826	. . 3 |- ( ph -> A. n e. Z A. k e. Z ( n = k \/ ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) )
171		nfcv 2585	. . . . 5 |- F/_ m ( F ` n )
172		nfmpt1 4511	. . . . . . 7 |- F/_ n ( n e. Z |-> ( ( E ` n ) \ U_ i e. ( N..^ n ) ( E ` i ) ) )
173	20, 172	nfcxfr 2583	. . . . . 6 |- F/_ n F
174		nfcv 2585	. . . . . 6 |- F/_ n m
175	173, 174	nffv 5886	. . . . 5 |- F/_ n ( F ` m )
176		fveq2 5879	. . . . 5 |- ( n = m -> ( F ` n ) = ( F ` m ) )
177	171, 175, 176	cbvdisj 4402	. . . 4 |- (Disj n e. Z ( F ` n ) <-> Disj m e. Z ( F ` m ) )
178		fveq2 5879	. . . . 5 |- ( m = k -> ( F ` m ) = ( F ` k ) )
179	178	disjor 4406	. . . 4 |- (Disj m e. Z ( F ` m ) <-> A. m e. Z A. k e. Z ( m = k \/ ( ( F ` m ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) )
180		nfcv 2585	. . . . . 6 |- F/_ n Z
181		nfv 1752	. . . . . . 7 |- F/ n m = k
182		nfcv 2585	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n k
183	173, 182	nffv 5886	. . . . . . . . 9 |- F/_ n ( F ` k )
184	175, 183	nfin 3670	. . . . . . . 8 |- F/_ n ( ( F ` m ) i^i ( F ` k ) )
185		nfcv 2585	. . . . . . . 8 |- F/_ n (/)
186	184, 185	nfeq 2596	. . . . . . 7 |- F/ n ( ( F ` m ) i^i ( F ` k ) ) = (/)
187	181, 186	nfor 1992	. . . . . 6 |- F/ n ( m = k \/ ( ( F ` m ) i^i ( F ` k ) ) = (/) )
188	180, 187	nfral 2812	. . . . 5 |- F/ n A. k e. Z ( m = k \/ ( ( F ` m ) i^i ( F ` k ) ) = (/) )
189		nfv 1752	. . . . 5 |- F/ m A. k e. Z ( n = k \/ ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) )
190		equequ1 1849	. . . . . . 7 |- ( m = n -> ( m = k <-> n = k ) )
191		fveq2 5879	. . . . . . . . 9 |- ( m = n -> ( F ` m ) = ( F ` n ) )
192	191	ineq1d 3664	. . . . . . . 8 |- ( m = n -> ( ( F ` m ) i^i ( F ` k ) ) = ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) )
193	192	eqeq1d 2425	. . . . . . 7 |- ( m = n -> ( ( ( F ` m ) i^i ( F ` k ) ) = (/) <-> ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) )
194	190, 193	orbi12d 715	. . . . . 6 |- ( m = n -> ( ( m = k \/ ( ( F ` m ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) <-> ( n = k \/ ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) ) )
195	194	ralbidv 2865	. . . . 5 |- ( m = n -> ( A. k e. Z ( m = k \/ ( ( F ` m ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) <-> A. k e. Z ( n = k \/ ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) ) )
196	188, 189, 195	cbvral 3052	. . . 4 |- ( A. m e. Z A. k e. Z ( m = k \/ ( ( F ` m ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) <-> A. n e. Z A. k e. Z ( n = k \/ ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) )
197	177, 179, 196	3bitri 275	. . 3 |- (Disj n e. Z ( F ` n ) <-> A. n e. Z A. k e. Z ( n = k \/ ( ( F ` n ) i^i ( F ` k ) ) = (/) ) )
198	170, 197	sylibr 216	. 2 |- ( ph -> Disj n e. Z ( F ` n ) )
199	115, 117, 198	jca31 537	1 |- ( ph -> ( ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) ( F ` n ) = U_ n e. ( N ... m ) ( E ` n ) /\ U_ n e. Z ( F ` n ) = U_ n e. Z ( E ` n ) ) /\ Disj n e. Z ( F ` n ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 370   /\ wa 371   /\ w3a 983   = wceq 1438   F/wnf 1664   e. wcel 1869   =/= wne 2619   A.wral 2776   E.wrex 2777   _Vcvv 3082   \ cdif 3434   i^i cin 3436   C_ wss 3437   (/)c0 3762   U_ciun 4297  Disj wdisj 4392   class class class wbr 4421   |-> cmpt 4480   -->wf 5595   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   RRcr 9540   1c1 9542   < clt 9677   <_ cle 9678   - cmin 9862   ZZcz 10939   ZZ>=cuz 11161   ...cfz 11786  ..^cfzo 11917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-disj 4393  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-nn 10612  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-fz 11787  df-fzo 11918

This theorem is referenced by:  meaiunlelem  38091  carageniuncllem2  38128