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Theorem iundjiun 38083
Description: Given a sequence  E of sets, a sequence  F of disjoint sets is built, such that the indexed union stays the same. As in the proof of Property 112C (d) of [Fremlin1] p. 16 (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iundjiun.nph  |-  F/ n ph
iundjiun.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  N )
iundjiun.e  |-  ( ph  ->  E : Z --> V )
iundjiun.f  |-  F  =  ( n  e.  Z  |->  ( ( E `  n )  \  U_ i  e.  ( N..^ n ) ( E `
 i ) ) )
Assertion
Ref Expression
iundjiun  |-  ( ph  ->  ( ( A. m  e.  Z  U_ n  e.  ( N ... m
) ( F `  n )  =  U_ n  e.  ( N ... m ) ( E `
 n )  /\  U_ n  e.  Z  ( F `  n )  =  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  /\ Disj  n  e.  Z  ( F `
 n ) ) )
Distinct variable groups:    i, E, m, n    m, F    i, N, m, n    m, Z, n    ph, i, m
Allowed substitution hints:    ph( n)    F( i, n)    V( i, m, n)    Z( i)

Proof of Theorem iundjiun
Dummy variables  x  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eliun 4302 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  U_ n  e.  ( N ... m
) ( F `  n )  <->  E. n  e.  ( N ... m
) x  e.  ( F `  n ) )
21biimpi 198 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  U_ n  e.  ( N ... m
) ( F `  n )  ->  E. n  e.  ( N ... m
) x  e.  ( F `  n ) )
32adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U_ n  e.  ( N ... m ) ( F `  n ) )  ->  E. n  e.  ( N ... m
) x  e.  ( F `  n ) )
4 iundjiun.nph . . . . . . . . 9  |-  F/ n ph
5 nfcv 2585 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n x
6 nfiu1 4327 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n U_ n  e.  ( N ... m ) ( E `  n )
75, 6nfel 2598 . . . . . . . . 9  |-  F/ n  x  e.  U_ n  e.  ( N ... m
) ( E `  n )
8 simp2 1007 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( N ... m )  /\  x  e.  ( F `  n ) )  ->  n  e.  ( N ... m ) )
9 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( N ... m ) )  ->  ph )
10 elfzuz 11798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( N ... m )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)
11 iundjiun.z . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  Z  =  ( ZZ>= `  N )
1211eqcomi 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ZZ>= `  N )  =  Z
1310, 12syl6eleq 2521 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( N ... m )  ->  n  e.  Z )
1413adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( N ... m ) )  ->  n  e.  Z )
15 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  n  e.  Z )
16 iundjiun.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  E : Z --> V )
1716ffvelrnda 6035 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( E `  n )  e.  V )
18 difexg 4570 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( E `  n )  e.  V  ->  (
( E `  n
)  \  U_ i  e.  ( N..^ n ) ( E `  i
) )  e.  _V )
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
( E `  n
)  \  U_ i  e.  ( N..^ n ) ( E `  i
) )  e.  _V )
20 iundjiun.f . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F  =  ( n  e.  Z  |->  ( ( E `  n )  \  U_ i  e.  ( N..^ n ) ( E `
 i ) ) )
2120fvmpt2 5971 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  Z  /\  ( ( E `  n )  \  U_ i  e.  ( N..^ n ) ( E `
 i ) )  e.  _V )  -> 
( F `  n
)  =  ( ( E `  n ) 
\  U_ i  e.  ( N..^ n ) ( E `  i ) ) )
2215, 19, 21syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( F `  n )  =  ( ( E `
 n )  \  U_ i  e.  ( N..^ n ) ( E `
 i ) ) )
23 difssd 3594 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
( E `  n
)  \  U_ i  e.  ( N..^ n ) ( E `  i
) )  C_  ( E `  n )
)
2422, 23eqsstrd 3499 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( F `  n )  C_  ( E `  n
) )
259, 14, 24syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( N ... m ) )  ->  ( F `  n )  C_  ( E `  n )
)
26253adant3 1026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( N ... m )  /\  x  e.  ( F `  n ) )  ->  ( F `  n )  C_  ( E `  n )
)
27 simp3 1008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( N ... m )  /\  x  e.  ( F `  n ) )  ->  x  e.  ( F `  n ) )
2826, 27sseldd 3466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( N ... m )  /\  x  e.  ( F `  n ) )  ->  x  e.  ( E `  n ) )
29 rspe 2884 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  ( N ... m )  /\  x  e.  ( E `  n ) )  ->  E. n  e.  ( N ... m ) x  e.  ( E `  n ) )
308, 28, 29syl2anc 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( N ... m )  /\  x  e.  ( F `  n ) )  ->  E. n  e.  ( N ... m
) x  e.  ( E `  n ) )
31 eliun 4302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  U_ n  e.  ( N ... m
) ( E `  n )  <->  E. n  e.  ( N ... m
) x  e.  ( E `  n ) )
3230, 31sylibr 216 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( N ... m )  /\  x  e.  ( F `  n ) )  ->  x  e.  U_ n  e.  ( N ... m ) ( E `  n ) )
33323exp 1205 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( n  e.  ( N ... m )  ->  ( x  e.  ( F `  n
)  ->  x  e.  U_ n  e.  ( N ... m ) ( E `  n ) ) ) )
344, 7, 33rexlimd 2910 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  ( N ... m
) x  e.  ( F `  n )  ->  x  e.  U_ n  e.  ( N ... m ) ( E `
 n ) ) )
3534adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U_ n  e.  ( N ... m ) ( F `  n ) )  ->  ( E. n  e.  ( N ... m ) x  e.  ( F `  n
)  ->  x  e.  U_ n  e.  ( N ... m ) ( E `  n ) ) )
363, 35mpd 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U_ n  e.  ( N ... m ) ( F `  n ) )  ->  x  e.  U_ n  e.  ( N ... m ) ( E `  n ) )
3736ralrimiva 2840 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  U_  n  e.  ( N ... m ) ( F `
 n ) x  e.  U_ n  e.  ( N ... m
) ( E `  n ) )
38 dfss3 3455 . . . . 5  |-  ( U_ n  e.  ( N ... m ) ( F `
 n )  C_  U_ n  e.  ( N ... m ) ( E `  n )  <->  A. x  e.  U_  n  e.  ( N ... m
) ( F `  n ) x  e. 
U_ n  e.  ( N ... m ) ( E `  n
) )
3937, 38sylibr 216 . . . 4  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  ( N ... m ) ( F `  n
)  C_  U_ n  e.  ( N ... m
) ( E `  n ) )
40 fzssuz 11841 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N ... m )  C_  ( ZZ>= `  N )
4140a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  U_ n  e.  ( N ... m
) ( E `  n )  ->  ( N ... m )  C_  ( ZZ>= `  N )
)
4231biimpi 198 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  U_ n  e.  ( N ... m
) ( E `  n )  ->  E. n  e.  ( N ... m
) x  e.  ( E `  n ) )
43 nfv 1752 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ n  x  e.  ( E `  i )
44 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  i  ->  ( E `  n )  =  ( E `  i ) )
4544eleq2d 2493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  i  ->  (
x  e.  ( E `
 n )  <->  x  e.  ( E `  i ) ) )
4643, 45uzwo4 37260 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N ... m
)  C_  ( ZZ>= `  N )  /\  E. n  e.  ( N ... m ) x  e.  ( E `  n
) )  ->  E. n  e.  ( N ... m
) ( x  e.  ( E `  n
)  /\  A. i  e.  ( N ... m
) ( i  < 
n  ->  -.  x  e.  ( E `  i
) ) ) )
4741, 42, 46syl2anc 666 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  U_ n  e.  ( N ... m
) ( E `  n )  ->  E. n  e.  ( N ... m
) ( x  e.  ( E `  n
)  /\  A. i  e.  ( N ... m
) ( i  < 
n  ->  -.  x  e.  ( E `  i
) ) ) )
4847adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U_ n  e.  ( N ... m ) ( E `  n ) )  ->  E. n  e.  ( N ... m
) ( x  e.  ( E `  n
)  /\  A. i  e.  ( N ... m
) ( i  < 
n  ->  -.  x  e.  ( E `  i
) ) ) )
49 simprl 763 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( N ... m
) )  /\  (
x  e.  ( E `
 n )  /\  A. i  e.  ( N ... m ) ( i  <  n  ->  -.  x  e.  ( E `  i )
) ) )  ->  x  e.  ( E `  n ) )
50 nfv 1752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ i ( ph  /\  n  e.  ( N ... m
) )
51 nfra1 2807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ i A. i  e.  ( N ... m ) ( i  <  n  ->  -.  x  e.  ( E `  i ) )
5250, 51nfan 1985 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ i ( ( ph  /\  n  e.  ( N ... m ) )  /\  A. i  e.  ( N ... m ) ( i  <  n  ->  -.  x  e.  ( E `  i )
) )
53 elfzoelz 11922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( i  e.  ( N..^ n
)  ->  i  e.  ZZ )
5453zred 11042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( i  e.  ( N..^ n
)  ->  i  e.  RR )
5554adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( n  e.  ( N ... m )  /\  i  e.  ( N..^ n ) )  -> 
i  e.  RR )
56 elfzelz 11802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  e.  ( N ... m )  ->  n  e.  ZZ )
5756zred 11042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  ( N ... m )  ->  n  e.  RR )
5857adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( n  e.  ( N ... m )  /\  i  e.  ( N..^ n ) )  ->  n  e.  RR )
59 1red 9660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( n  e.  ( N ... m )  /\  i  e.  ( N..^ n ) )  -> 
1  e.  RR )
6058, 59resubcld 10049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( n  e.  ( N ... m )  /\  i  e.  ( N..^ n ) )  -> 
( n  -  1 )  e.  RR )
61 elfzolem1 37392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( i  e.  ( N..^ n
)  ->  i  <_  ( n  -  1 ) )
6261adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( n  e.  ( N ... m )  /\  i  e.  ( N..^ n ) )  -> 
i  <_  ( n  -  1 ) )
6358ltm1d 10541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( n  e.  ( N ... m )  /\  i  e.  ( N..^ n ) )  -> 
( n  -  1 )  <  n )
6455, 60, 58, 62, 63lelttrd 9795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( n  e.  ( N ... m )  /\  i  e.  ( N..^ n ) )  -> 
i  <  n )
6564ad4ant24 1237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  ( N ... m ) )  /\  A. i  e.  ( N ... m ) ( i  <  n  ->  -.  x  e.  ( E `  i )
) )  /\  i  e.  ( N..^ n ) )  ->  i  <  n )
66 simplr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( n  e.  ( N ... m )  /\  A. i  e.  ( N ... m
) ( i  < 
n  ->  -.  x  e.  ( E `  i
) ) )  /\  i  e.  ( N..^ n ) )  ->  A. i  e.  ( N ... m ) ( i  <  n  ->  -.  x  e.  ( E `  i )
) )
67 elfzel1 11801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( n  e.  ( N ... m )  ->  N  e.  ZZ )
6867adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( n  e.  ( N ... m )  /\  i  e.  ( N..^ n ) )  ->  N  e.  ZZ )
69 elfzel2 11800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( n  e.  ( N ... m )  ->  m  e.  ZZ )
7069adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( n  e.  ( N ... m )  /\  i  e.  ( N..^ n ) )  ->  m  e.  ZZ )
7153adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( n  e.  ( N ... m )  /\  i  e.  ( N..^ n ) )  -> 
i  e.  ZZ )
7268, 70, 713jca 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( n  e.  ( N ... m )  /\  i  e.  ( N..^ n ) )  -> 
( N  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )
)
73 elfzole1 11930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( i  e.  ( N..^ n
)  ->  N  <_  i )
7473adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( n  e.  ( N ... m )  /\  i  e.  ( N..^ n ) )  ->  N  <_  i )
7570zred 11042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( n  e.  ( N ... m )  /\  i  e.  ( N..^ n ) )  ->  m  e.  RR )
76 1red 9660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( n  e.  ( N ... m )  ->  1  e.  RR )
7757, 76resubcld 10049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( n  e.  ( N ... m )  ->  (
n  -  1 )  e.  RR )
7869zred 11042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( n  e.  ( N ... m )  ->  m  e.  RR )
7957ltm1d 10541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( n  e.  ( N ... m )  ->  (
n  -  1 )  <  n )
80 elfzle2 11805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( n  e.  ( N ... m )  ->  n  <_  m )
8177, 57, 78, 79, 80ltletrd 9797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( n  e.  ( N ... m )  ->  (
n  -  1 )  <  m )
8281adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( n  e.  ( N ... m )  /\  i  e.  ( N..^ n ) )  -> 
( n  -  1 )  <  m )
8355, 60, 75, 62, 82lelttrd 9795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( n  e.  ( N ... m )  /\  i  e.  ( N..^ n ) )  -> 
i  <  m )
8455, 75, 83ltled 9785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( n  e.  ( N ... m )  /\  i  e.  ( N..^ n ) )  -> 
i  <_  m )
8572, 74, 84jca32 538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( n  e.  ( N ... m )  /\  i  e.  ( N..^ n ) )  -> 
( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  /\  ( N  <_  i  /\  i  <_  m ) ) )
86 elfz2 11793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( i  e.  ( N ... m )  <->  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  /\  ( N  <_  i  /\  i  <_  m ) ) )
8785, 86sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( n  e.  ( N ... m )  /\  i  e.  ( N..^ n ) )  -> 
i  e.  ( N ... m ) )
8887adantlr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( n  e.  ( N ... m )  /\  A. i  e.  ( N ... m
) ( i  < 
n  ->  -.  x  e.  ( E `  i
) ) )  /\  i  e.  ( N..^ n ) )  -> 
i  e.  ( N ... m ) )
89 rspa 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A. i  e.  ( N ... m ) ( i  <  n  ->  -.  x  e.  ( E `  i ) )  /\  i  e.  ( N ... m
) )  ->  (
i  <  n  ->  -.  x  e.  ( E `
 i ) ) )
9066, 88, 89syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( n  e.  ( N ... m )  /\  A. i  e.  ( N ... m
) ( i  < 
n  ->  -.  x  e.  ( E `  i
) ) )  /\  i  e.  ( N..^ n ) )  -> 
( i  <  n  ->  -.  x  e.  ( E `  i ) ) )
9190adantlll 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  ( N ... m ) )  /\  A. i  e.  ( N ... m ) ( i  <  n  ->  -.  x  e.  ( E `  i )
) )  /\  i  e.  ( N..^ n ) )  ->  ( i  <  n  ->  -.  x  e.  ( E `  i
) ) )
9265, 91mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  ( N ... m ) )  /\  A. i  e.  ( N ... m ) ( i  <  n  ->  -.  x  e.  ( E `  i )
) )  /\  i  e.  ( N..^ n ) )  ->  -.  x  e.  ( E `  i
) )
9392ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( N ... m
) )  /\  A. i  e.  ( N ... m ) ( i  <  n  ->  -.  x  e.  ( E `  i ) ) )  ->  ( i  e.  ( N..^ n )  ->  -.  x  e.  ( E `  i ) ) )
9452, 93ralrimi 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( N ... m
) )  /\  A. i  e.  ( N ... m ) ( i  <  n  ->  -.  x  e.  ( E `  i ) ) )  ->  A. i  e.  ( N..^ n )  -.  x  e.  ( E `
 i ) )
95 ralnex 2872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. i  e.  ( N..^ n )  -.  x  e.  ( E `  i
)  <->  -.  E. i  e.  ( N..^ n ) x  e.  ( E `
 i ) )
9694, 95sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( N ... m
) )  /\  A. i  e.  ( N ... m ) ( i  <  n  ->  -.  x  e.  ( E `  i ) ) )  ->  -.  E. i  e.  ( N..^ n ) x  e.  ( E `
 i ) )
97 eliun 4302 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  U_ i  e.  ( N..^ n ) ( E `  i
)  <->  E. i  e.  ( N..^ n ) x  e.  ( E `  i ) )
9896, 97sylnibr 307 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( N ... m
) )  /\  A. i  e.  ( N ... m ) ( i  <  n  ->  -.  x  e.  ( E `  i ) ) )  ->  -.  x  e.  U_ i  e.  ( N..^ n ) ( E `
 i ) )
9998adantrl 721 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( N ... m
) )  /\  (
x  e.  ( E `
 n )  /\  A. i  e.  ( N ... m ) ( i  <  n  ->  -.  x  e.  ( E `  i )
) ) )  ->  -.  x  e.  U_ i  e.  ( N..^ n ) ( E `  i
) )
10049, 99eldifd 3448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( N ... m
) )  /\  (
x  e.  ( E `
 n )  /\  A. i  e.  ( N ... m ) ( i  <  n  ->  -.  x  e.  ( E `  i )
) ) )  ->  x  e.  ( ( E `  n )  \  U_ i  e.  ( N..^ n ) ( E `  i ) ) )
10114, 22syldan 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( N ... m ) )  ->  ( F `  n )  =  ( ( E `  n
)  \  U_ i  e.  ( N..^ n ) ( E `  i
) ) )
102101eqcomd 2431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( N ... m ) )  ->  ( ( E `  n )  \  U_ i  e.  ( N..^ n ) ( E `  i ) )  =  ( F `
 n ) )
103102adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( N ... m
) )  /\  (
x  e.  ( E `
 n )  /\  A. i  e.  ( N ... m ) ( i  <  n  ->  -.  x  e.  ( E `  i )
) ) )  -> 
( ( E `  n )  \  U_ i  e.  ( N..^ n ) ( E `
 i ) )  =  ( F `  n ) )
104100, 103eleqtrd 2513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( N ... m
) )  /\  (
x  e.  ( E `
 n )  /\  A. i  e.  ( N ... m ) ( i  <  n  ->  -.  x  e.  ( E `  i )
) ) )  ->  x  e.  ( F `  n ) )
105104ex 436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( N ... m ) )  ->  ( (
x  e.  ( E `
 n )  /\  A. i  e.  ( N ... m ) ( i  <  n  ->  -.  x  e.  ( E `  i )
) )  ->  x  e.  ( F `  n
) ) )
106105ex 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( n  e.  ( N ... m )  ->  ( ( x  e.  ( E `  n )  /\  A. i  e.  ( N ... m ) ( i  <  n  ->  -.  x  e.  ( E `  i ) ) )  ->  x  e.  ( F `  n ) ) ) )
1074, 106reximdai 2895 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  ( N ... m
) ( x  e.  ( E `  n
)  /\  A. i  e.  ( N ... m
) ( i  < 
n  ->  -.  x  e.  ( E `  i
) ) )  ->  E. n  e.  ( N ... m ) x  e.  ( F `  n ) ) )
108107adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U_ n  e.  ( N ... m ) ( E `  n ) )  ->  ( E. n  e.  ( N ... m ) ( x  e.  ( E `  n )  /\  A. i  e.  ( N ... m ) ( i  <  n  ->  -.  x  e.  ( E `  i ) ) )  ->  E. n  e.  ( N ... m ) x  e.  ( F `
 n ) ) )
10948, 108mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U_ n  e.  ( N ... m ) ( E `  n ) )  ->  E. n  e.  ( N ... m
) x  e.  ( F `  n ) )
110109, 1sylibr 216 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U_ n  e.  ( N ... m ) ( E `  n ) )  ->  x  e.  U_ n  e.  ( N ... m ) ( F `  n ) )
111110ralrimiva 2840 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  U_  n  e.  ( N ... m ) ( E `
 n ) x  e.  U_ n  e.  ( N ... m
) ( F `  n ) )
112 dfss3 3455 . . . . 5  |-  ( U_ n  e.  ( N ... m ) ( E `
 n )  C_  U_ n  e.  ( N ... m ) ( F `  n )  <->  A. x  e.  U_  n  e.  ( N ... m
) ( E `  n ) x  e. 
U_ n  e.  ( N ... m ) ( F `  n
) )
113111, 112sylibr 216 . . . 4  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  ( N ... m ) ( E `  n
)  C_  U_ n  e.  ( N ... m
) ( F `  n ) )
11439, 113eqssd 3482 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  ( N ... m ) ( F `  n
)  =  U_ n  e.  ( N ... m
) ( E `  n ) )
115114ralrimivw 2841 . 2  |-  ( ph  ->  A. m  e.  Z  U_ n  e.  ( N ... m ) ( F `  n )  =  U_ n  e.  ( N ... m
) ( E `  n ) )
11611iuneqfzuz 37406 . . 3  |-  ( A. m  e.  Z  U_ n  e.  ( N ... m
) ( F `  n )  =  U_ n  e.  ( N ... m ) ( E `
 n )  ->  U_ n  e.  Z  ( F `  n )  =  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )
117115, 116syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  Z  ( F `  n )  =  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )
118 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  m  ->  ( E `  n )  =  ( E `  m ) )
119 oveq2 6311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  ( N..^ n )  =  ( N..^ m ) )
120119iuneq1d 4322 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  m  ->  U_ i  e.  ( N..^ n ) ( E `  i
)  =  U_ i  e.  ( N..^ m ) ( E `  i
) )
121118, 120difeq12d 3585 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  (
( E `  n
)  \  U_ i  e.  ( N..^ n ) ( E `  i
) )  =  ( ( E `  m
)  \  U_ i  e.  ( N..^ m ) ( E `  i
) ) )
122121cbvmptv 4514 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  Z  |->  ( ( E `  n ) 
\  U_ i  e.  ( N..^ n ) ( E `  i ) ) )  =  ( m  e.  Z  |->  ( ( E `  m
)  \  U_ i  e.  ( N..^ m ) ( E `  i
) ) )
12320, 122eqtri 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( m  e.  Z  |->  ( ( E `  m )  \  U_ i  e.  ( N..^ m ) ( E `
 i ) ) )
124 simpllr 768 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  k  e.  Z
)  /\  n  <  k )  ->  n  e.  Z )
125 simplr 761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  k  e.  Z
)  /\  n  <  k )  ->  k  e.  Z )
126 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  k  e.  Z
)  /\  n  <  k )  ->  n  <  k )
12711, 123, 124, 125, 126iundjiunlem 38082 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  k  e.  Z
)  /\  n  <  k )  ->  ( ( F `  n )  i^i  ( F `  k
) )  =  (/) )
128127adantlr 720 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  k  e.  Z
)  /\  -.  n  =  k )  /\  n  <  k )  -> 
( ( F `  n )  i^i  ( F `  k )
)  =  (/) )
129 simpll 759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  k  e.  Z
)  /\  -.  n  =  k )  /\  -.  n  <  k )  ->  ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  k  e.  Z
) )
130 neqne 37241 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  n  =  k  ->  n  =/=  k )
131 id 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  Z )
132131, 11syl6eleq 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)
133 eluzelz 11170 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  k  e.  ZZ )
134132, 133syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  ZZ )
135134zred 11042 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  RR )
136135adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  Z  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  RR )
137136ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( n  e.  Z  /\  k  e.  Z )  /\  n  =/=  k )  /\  -.  n  <  k )  -> 
k  e.  RR )
138 id 23 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  Z  ->  n  e.  Z )
139138, 11syl6eleq 2521 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  Z  ->  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)
140 eluzelz 11170 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  n  e.  ZZ )
141139, 140syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  Z  ->  n  e.  ZZ )
142141zred 11042 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  Z  ->  n  e.  RR )
143142ad3antrrr 735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( n  e.  Z  /\  k  e.  Z )  /\  n  =/=  k )  /\  -.  n  <  k )  ->  n  e.  RR )
144 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( n  e.  Z  /\  k  e.  Z
)  /\  -.  n  <  k )  ->  -.  n  <  k )
145136adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  e.  Z  /\  k  e.  Z
)  /\  -.  n  <  k )  ->  k  e.  RR )
146142ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  e.  Z  /\  k  e.  Z
)  /\  -.  n  <  k )  ->  n  e.  RR )
147145, 146lenltd 9783 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( n  e.  Z  /\  k  e.  Z
)  /\  -.  n  <  k )  ->  (
k  <_  n  <->  -.  n  <  k ) )
148144, 147mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  e.  Z  /\  k  e.  Z
)  /\  -.  n  <  k )  ->  k  <_  n )
149148adantlr 720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( n  e.  Z  /\  k  e.  Z )  /\  n  =/=  k )  /\  -.  n  <  k )  -> 
k  <_  n )
150 simplr 761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( n  e.  Z  /\  k  e.  Z )  /\  n  =/=  k )  /\  -.  n  <  k )  ->  n  =/=  k )
151137, 143, 149, 150leneltd 9791 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( n  e.  Z  /\  k  e.  Z )  /\  n  =/=  k )  /\  -.  n  <  k )  -> 
k  <  n )
152130, 151sylanl2 656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( n  e.  Z  /\  k  e.  Z )  /\  -.  n  =  k )  /\  -.  n  <  k
)  ->  k  <  n )
153152ad5ant2345 1256 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  k  e.  Z
)  /\  -.  n  =  k )  /\  -.  n  <  k )  ->  k  <  n
)
154 anass 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  k  e.  Z )  <->  ( ph  /\  ( n  e.  Z  /\  k  e.  Z
) ) )
155 incom 3656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  n )  i^i  ( F `  k ) )  =  ( ( F `  k )  i^i  ( F `  n )
)
156155a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  Z  /\  k  e.  Z )
)  /\  k  <  n )  ->  ( ( F `  n )  i^i  ( F `  k
) )  =  ( ( F `  k
)  i^i  ( F `  n ) ) )
157 simplrr 770 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  Z  /\  k  e.  Z )
)  /\  k  <  n )  ->  k  e.  Z )
158 simplrl 769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  Z  /\  k  e.  Z )
)  /\  k  <  n )  ->  n  e.  Z )
159 simpr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  Z  /\  k  e.  Z )
)  /\  k  <  n )  ->  k  <  n )
16011, 123, 157, 158, 159iundjiunlem 38082 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  Z  /\  k  e.  Z )
)  /\  k  <  n )  ->  ( ( F `  k )  i^i  ( F `  n
) )  =  (/) )
161156, 160eqtrd 2464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  Z  /\  k  e.  Z )
)  /\  k  <  n )  ->  ( ( F `  n )  i^i  ( F `  k
) )  =  (/) )
162154, 161sylanb 475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  k  e.  Z
)  /\  k  <  n )  ->  ( ( F `  n )  i^i  ( F `  k
) )  =  (/) )
163129, 153, 162syl2anc 666 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  k  e.  Z
)  /\  -.  n  =  k )  /\  -.  n  <  k )  ->  ( ( F `
 n )  i^i  ( F `  k
) )  =  (/) )
164128, 163pm2.61dan 799 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  k  e.  Z
)  /\  -.  n  =  k )  -> 
( ( F `  n )  i^i  ( F `  k )
)  =  (/) )
165164ex 436 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  k  e.  Z )  ->  ( -.  n  =  k  ->  ( ( F `  n )  i^i  ( F `  k )
)  =  (/) ) )
166 df-or 372 . . . . . . 7  |-  ( ( n  =  k  \/  ( ( F `  n )  i^i  ( F `  k )
)  =  (/) )  <->  ( -.  n  =  k  ->  ( ( F `  n
)  i^i  ( F `  k ) )  =  (/) ) )
167165, 166sylibr 216 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  k  e.  Z )  ->  (
n  =  k  \/  ( ( F `  n )  i^i  ( F `  k )
)  =  (/) ) )
168167ralrimiva 2840 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  A. k  e.  Z  ( n  =  k  \/  (
( F `  n
)  i^i  ( F `  k ) )  =  (/) ) )
169168ex 436 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( n  e.  Z  ->  A. k  e.  Z  ( n  =  k  \/  ( ( F `  n )  i^i  ( F `  k )
)  =  (/) ) ) )
1704, 169ralrimi 2826 . . 3  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Z  A. k  e.  Z  ( n  =  k  \/  ( ( F `  n )  i^i  ( F `  k )
)  =  (/) ) )
171 nfcv 2585 . . . . 5  |-  F/_ m
( F `  n
)
172 nfmpt1 4511 . . . . . . 7  |-  F/_ n
( n  e.  Z  |->  ( ( E `  n )  \  U_ i  e.  ( N..^ n ) ( E `
 i ) ) )
17320, 172nfcxfr 2583 . . . . . 6  |-  F/_ n F
174 nfcv 2585 . . . . . 6  |-  F/_ n m
175173, 174nffv 5886 . . . . 5  |-  F/_ n
( F `  m
)
176 fveq2 5879 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  ( F `  n )  =  ( F `  m ) )
177171, 175, 176cbvdisj 4402 . . . 4  |-  (Disj  n  e.  Z  ( F `  n )  <-> Disj  m  e.  Z  ( F `  m ) )
178 fveq2 5879 . . . . 5  |-  ( m  =  k  ->  ( F `  m )  =  ( F `  k ) )
179178disjor 4406 . . . 4  |-  (Disj  m  e.  Z  ( F `  m )  <->  A. m  e.  Z  A. k  e.  Z  ( m  =  k  \/  (
( F `  m
)  i^i  ( F `  k ) )  =  (/) ) )
180 nfcv 2585 . . . . . 6  |-  F/_ n Z
181 nfv 1752 . . . . . . 7  |-  F/ n  m  =  k
182 nfcv 2585 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
k
183173, 182nffv 5886 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( F `  k
)
184175, 183nfin 3670 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
( ( F `  m )  i^i  ( F `  k )
)
185 nfcv 2585 . . . . . . . 8  |-  F/_ n (/)
186184, 185nfeq 2596 . . . . . . 7  |-  F/ n
( ( F `  m )  i^i  ( F `  k )
)  =  (/)
187181, 186nfor 1992 . . . . . 6  |-  F/ n
( m  =  k  \/  ( ( F `
 m )  i^i  ( F `  k
) )  =  (/) )
188180, 187nfral 2812 . . . . 5  |-  F/ n A. k  e.  Z  ( m  =  k  \/  ( ( F `  m )  i^i  ( F `  k )
)  =  (/) )
189 nfv 1752 . . . . 5  |-  F/ m A. k  e.  Z  ( n  =  k  \/  ( ( F `  n )  i^i  ( F `  k )
)  =  (/) )
190 equequ1 1849 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  (
m  =  k  <->  n  =  k ) )
191 fveq2 5879 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  ( F `  m )  =  ( F `  n ) )
192191ineq1d 3664 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  (
( F `  m
)  i^i  ( F `  k ) )  =  ( ( F `  n )  i^i  ( F `  k )
) )
193192eqeq1d 2425 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( F `  m )  i^i  ( F `  k )
)  =  (/)  <->  ( ( F `  n )  i^i  ( F `  k
) )  =  (/) ) )
194190, 193orbi12d 715 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  (
( m  =  k  \/  ( ( F `
 m )  i^i  ( F `  k
) )  =  (/) ) 
<->  ( n  =  k  \/  ( ( F `
 n )  i^i  ( F `  k
) )  =  (/) ) ) )
195194ralbidv 2865 . . . . 5  |-  ( m  =  n  ->  ( A. k  e.  Z  ( m  =  k  \/  ( ( F `  m )  i^i  ( F `  k )
)  =  (/) )  <->  A. k  e.  Z  ( n  =  k  \/  (
( F `  n
)  i^i  ( F `  k ) )  =  (/) ) ) )
196188, 189, 195cbvral 3052 . . . 4  |-  ( A. m  e.  Z  A. k  e.  Z  (
m  =  k  \/  ( ( F `  m )  i^i  ( F `  k )
)  =  (/) )  <->  A. n  e.  Z  A. k  e.  Z  ( n  =  k  \/  (
( F `  n
)  i^i  ( F `  k ) )  =  (/) ) )
197177, 179, 1963bitri 275 . . 3  |-  (Disj  n  e.  Z  ( F `  n )  <->  A. n  e.  Z  A. k  e.  Z  ( n  =  k  \/  (
( F `  n
)  i^i  ( F `  k ) )  =  (/) ) )
198170, 197sylibr 216 . 2  |-  ( ph  -> Disj  n  e.  Z  ( F `  n )
)
199115, 117, 198jca31 537 1  |-  ( ph  ->  ( ( A. m  e.  Z  U_ n  e.  ( N ... m
) ( F `  n )  =  U_ n  e.  ( N ... m ) ( E `
 n )  /\  U_ n  e.  Z  ( F `  n )  =  U_ n  e.  Z  ( E `  n ) )  /\ Disj  n  e.  Z  ( F `
 n ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438   F/wnf 1664    e. wcel 1869    =/= wne 2619   A.wral 2776   E.wrex 2777   _Vcvv 3082    \ cdif 3434    i^i cin 3436    C_ wss 3437   (/)c0 3762   U_ciun 4297  Disj wdisj 4392   class class class wbr 4421    |-> cmpt 4480   -->wf 5595   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   RRcr 9540   1c1 9542    < clt 9677    <_ cle 9678    - cmin 9862   ZZcz 10939   ZZ>=cuz 11161   ...cfz 11786  ..^cfzo 11917
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-disj 4393  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-nn 10612  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-fz 11787  df-fzo 11918
This theorem is referenced by:  meaiunlelem  38091  carageniuncllem2  38128
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