Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iundisjfi Structured version   Unicode version

Theorem iundisjfi 27577
Description: Rewrite a countable union as a disjoint union, finite version. Cf. iundisj 21935 (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iundisj3.0  |-  F/_ n B
iundisj3.1  |-  ( n  =  k  ->  A  =  B )
Assertion
Ref Expression
iundisjfi  |-  U_ n  e.  ( 1..^ N ) A  =  U_ n  e.  ( 1..^ N ) ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )
Distinct variable groups:    k, n, N    A, k
Allowed substitution hints:    A( n)    B( k, n)

Proof of Theorem iundisjfi
Dummy variables  m  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3570 . . . . . . 7  |-  { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A }  C_  ( 1..^ N )
2 fzossnn 11851 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1..^ N )  C_  NN
3 nnuz 11126 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
42, 3sseqtri 3521 . . . . . . . . 9  |-  ( 1..^ N )  C_  ( ZZ>=
`  1 )
51, 4sstri 3498 . . . . . . . 8  |-  { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A }  C_  ( ZZ>= `  1
)
6 rabn0 3791 . . . . . . . . 9  |-  ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A }  =/=  (/)  <->  E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A )
76biimpri 206 . . . . . . . 8  |-  ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  ->  { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A }  =/=  (/) )
8 infmssuzcl 11175 . . . . . . . 8  |-  ( ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A }  C_  ( ZZ>= `  1 )  /\  { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A }  =/=  (/) )  ->  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } )
95, 7, 8sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  ->  sup ( { n  e.  (
1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } )
101, 9sseldi 3487 . . . . . 6  |-  ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  ->  sup ( { n  e.  (
1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( 1..^ N ) )
11 nfrab1 3024 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n { n  e.  (
1..^ N )  |  x  e.  A }
12 nfcv 2605 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n RR
13 nfcv 2605 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n `'  <
1411, 12, 13nfsup 7913 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )
15 nfcv 2605 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( 1..^ N )
1614nfcsb1 3435 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n [_ sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  /  n ]_ A
1716nfcri 2598 . . . . . . . . . 10  |-  F/ n  x  e.  [_ sup ( { n  e.  (
1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  /  n ]_ A
18 csbeq1a 3429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  A  =  [_ sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  /  n ]_ A )
1918eleq2d 2513 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( x  e.  A  <->  x  e.  [_ sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  /  n ]_ A
) )
2014, 15, 17, 19elrabf 3241 . . . . . . . . 9  |-  ( sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  {
n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A }  <->  ( sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( 1..^ N )  /\  x  e. 
[_ sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  /  n ]_ A ) )
219, 20sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  ->  ( sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( 1..^ N )  /\  x  e. 
[_ sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  /  n ]_ A ) )
2221simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  ->  x  e.  [_
sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  /  n ]_ A )
231, 2sstri 3498 . . . . . . . . . . 11  |-  { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A }  C_  NN
24 nnssre 10547 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  C_  RR
2523, 24sstri 3498 . . . . . . . . . 10  |-  { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A }  C_  RR
2625, 9sseldi 3487 . . . . . . . . 9  |-  ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  ->  sup ( { n  e.  (
1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
2726ltnrd 9722 . . . . . . . 8  |-  ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  ->  -.  sup ( { n  e.  (
1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) )
28 eliun 4320 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  U_ k  e.  ( 1..^ sup ( { n  e.  (
1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) B  <->  E. k  e.  ( 1..^ sup ( { n  e.  (
1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) x  e.  B
)
2926ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  /\  k  e.  ( 1..^
sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )  /\  x  e.  B
)  ->  sup ( { n  e.  (
1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
30 elfzouz2 11823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( 1..^ N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )
31 fzoss2 11834 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  ( 1..^
sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) )  C_  ( 1..^ N ) )
3210, 30, 313syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  ->  ( 1..^
sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) )  C_  ( 1..^ N ) )
3332sselda 3489 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  /\  k  e.  ( 1..^ sup ( { n  e.  (
1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )  ->  k  e.  ( 1..^ N ) )
3433adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  /\  k  e.  ( 1..^
sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )  /\  x  e.  B
)  ->  k  e.  ( 1..^ N ) )
352, 34sseldi 3487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  /\  k  e.  ( 1..^
sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )  /\  x  e.  B
)  ->  k  e.  NN )
3635nnred 10558 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  /\  k  e.  ( 1..^
sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )  /\  x  e.  B
)  ->  k  e.  RR )
37 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  /\  k  e.  ( 1..^
sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )  /\  x  e.  B
)  ->  x  e.  B )
38 nfcv 2605 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n
k
39 iundisj3.0 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n B
4039nfcri 2598 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ n  x  e.  B
41 iundisj3.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  k  ->  A  =  B )
4241eleq2d 2513 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  k  ->  (
x  e.  A  <->  x  e.  B ) )
4338, 15, 40, 42elrabf 3241 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } 
<->  ( k  e.  ( 1..^ N )  /\  x  e.  B )
)
4434, 37, 43sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  /\  k  e.  ( 1..^
sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )  /\  x  e.  B
)  ->  k  e.  { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } )
45 infmssuzle 11174 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A }  C_  ( ZZ>= `  1 )  /\  k  e.  { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } )  ->  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <_  k )
465, 44, 45sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  /\  k  e.  ( 1..^
sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )  /\  x  e.  B
)  ->  sup ( { n  e.  (
1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <_  k )
47 elfzolt2 11818 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1..^ sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  k  <  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) )
4847ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  /\  k  e.  ( 1..^
sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )  /\  x  e.  B
)  ->  k  <  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) )
4929, 36, 29, 46, 48lelttrd 9743 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  /\  k  e.  ( 1..^
sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )  /\  x  e.  B
)  ->  sup ( { n  e.  (
1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) )
5049ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  /\  k  e.  ( 1..^ sup ( { n  e.  (
1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )  ->  (
x  e.  B  ->  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )
5150rexlimdva 2935 . . . . . . . . 9  |-  ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  ->  ( E. k  e.  ( 1..^
sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) x  e.  B  ->  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )
5228, 51syl5bi 217 . . . . . . . 8  |-  ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  ->  ( x  e.  U_ k  e.  ( 1..^ sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) B  ->  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )
5327, 52mtod 177 . . . . . . 7  |-  ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  ->  -.  x  e.  U_ k  e.  ( 1..^ sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) B )
5422, 53eldifd 3472 . . . . . 6  |-  ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  ->  x  e.  ( [_ sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  /  n ]_ A  \ 
U_ k  e.  ( 1..^ sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) B ) )
55 csbeq1 3423 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  [_ m  /  n ]_ A  =  [_ sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  /  n ]_ A
)
56 oveq2 6289 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( 1..^ m )  =  ( 1..^
sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )
5756iuneq1d 4340 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  U_ k  e.  ( 1..^ m ) B  =  U_ k  e.  ( 1..^ sup ( { n  e.  (
1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) B )
5855, 57difeq12d 3608 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( [_ m  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  (
1..^ m ) B )  =  ( [_ sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ sup ( { n  e.  (
1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) B ) )
5958eleq2d 2513 . . . . . . 7  |-  ( m  =  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( x  e.  ( [_ m  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ m ) B )  <-> 
x  e.  ( [_ sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ sup ( { n  e.  (
1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) B ) ) )
6059rspcev 3196 . . . . . 6  |-  ( ( sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( 1..^ N )  /\  x  e.  ( [_ sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ sup ( { n  e.  (
1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) B ) )  ->  E. m  e.  ( 1..^ N ) x  e.  ( [_ m  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  (
1..^ m ) B ) )
6110, 54, 60syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  ->  E. m  e.  ( 1..^ N ) x  e.  ( [_ m  /  n ]_ A  \ 
U_ k  e.  ( 1..^ m ) B ) )
62 nfv 1694 . . . . . 6  |-  F/ m  x  e.  ( A  \ 
U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )
63 nfcsb1v 3436 . . . . . . . 8  |-  F/_ n [_ m  /  n ]_ A
64 nfcv 2605 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( 1..^ m )
6564, 39nfiun 4343 . . . . . . . 8  |-  F/_ n U_ k  e.  (
1..^ m ) B
6663, 65nfdif 3610 . . . . . . 7  |-  F/_ n
( [_ m  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ m ) B )
6766nfcri 2598 . . . . . 6  |-  F/ n  x  e.  ( [_ m  /  n ]_ A  \ 
U_ k  e.  ( 1..^ m ) B )
68 csbeq1a 3429 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  A  =  [_ m  /  n ]_ A )
69 oveq2 6289 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  m  ->  (
1..^ n )  =  ( 1..^ m ) )
7069iuneq1d 4340 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B  =  U_ k  e.  ( 1..^ m ) B )
7168, 70difeq12d 3608 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  =  (
[_ m  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ m ) B ) )
7271eleq2d 2513 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  (
x  e.  ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  <->  x  e.  ( [_ m  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ m ) B ) ) )
7362, 67, 72cbvrex 3067 . . . . 5  |-  ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  <->  E. m  e.  (
1..^ N ) x  e.  ( [_ m  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  (
1..^ m ) B ) )
7461, 73sylibr 212 . . . 4  |-  ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  ->  E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )
75 eldifi 3611 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )  ->  x  e.  A )
7675reximi 2911 . . . 4  |-  ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  ->  E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A )
7774, 76impbii 188 . . 3  |-  ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  <->  E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B ) )
78 eliun 4320 . . 3  |-  ( x  e.  U_ n  e.  ( 1..^ N ) A  <->  E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A )
79 eliun 4320 . . 3  |-  ( x  e.  U_ n  e.  ( 1..^ N ) ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  <->  E. n  e.  (
1..^ N ) x  e.  ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B ) )
8077, 78, 793bitr4i 277 . 2  |-  ( x  e.  U_ n  e.  ( 1..^ N ) A  <->  x  e.  U_ n  e.  ( 1..^ N ) ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )
8180eqriv 2439 1  |-  U_ n  e.  ( 1..^ N ) A  =  U_ n  e.  ( 1..^ N ) ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   F/_wnfc 2591    =/= wne 2638   E.wrex 2794   {crab 2797   [_csb 3420    \ cdif 3458    C_ wss 3461   (/)c0 3770   U_ciun 4315   class class class wbr 4437   `'ccnv 4988   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   supcsup 7902   RRcr 9494   1c1 9496    < clt 9631    <_ cle 9632   NNcn 10543   ZZ>=cuz 11091  ..^cfzo 11805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11092  df-fz 11683  df-fzo 11806
This theorem is referenced by:  iundisjcnt  27579
  Copyright terms: Public domain W3C validator