Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iundisjfi Structured version   Unicode version

Theorem iundisjfi 26080
Description: Rewrite a countable union as a disjoint union, finite version. Cf. iundisj 21029 (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iundisj3.0  |-  F/_ n B
iundisj3.1  |-  ( n  =  k  ->  A  =  B )
Assertion
Ref Expression
iundisjfi  |-  U_ n  e.  ( 1..^ N ) A  =  U_ n  e.  ( 1..^ N ) ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )
Distinct variable groups:    k, n, N    A, k
Allowed substitution hints:    A( n)    B( k, n)

Proof of Theorem iundisjfi
Dummy variables  m  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3437 . . . . . . 7  |-  { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A }  C_  ( 1..^ N )
2 fzossnn 11594 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1..^ N )  C_  NN
3 nnuz 10896 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
42, 3sseqtri 3388 . . . . . . . . 9  |-  ( 1..^ N )  C_  ( ZZ>=
`  1 )
51, 4sstri 3365 . . . . . . . 8  |-  { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A }  C_  ( ZZ>= `  1
)
6 rabn0 3657 . . . . . . . . 9  |-  ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A }  =/=  (/)  <->  E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A )
76biimpri 206 . . . . . . . 8  |-  ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  ->  { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A }  =/=  (/) )
8 infmssuzcl 10938 . . . . . . . 8  |-  ( ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A }  C_  ( ZZ>= `  1 )  /\  { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A }  =/=  (/) )  ->  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } )
95, 7, 8sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  ->  sup ( { n  e.  (
1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } )
101, 9sseldi 3354 . . . . . 6  |-  ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  ->  sup ( { n  e.  (
1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( 1..^ N ) )
11 nfrab1 2901 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n { n  e.  (
1..^ N )  |  x  e.  A }
12 nfcv 2579 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n RR
13 nfcv 2579 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n `'  <
1411, 12, 13nfsup 7701 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )
15 nfcv 2579 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( 1..^ N )
1614nfcsb1 3303 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n [_ sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  /  n ]_ A
1716nfcri 2573 . . . . . . . . . 10  |-  F/ n  x  e.  [_ sup ( { n  e.  (
1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  /  n ]_ A
18 csbeq1a 3297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  A  =  [_ sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  /  n ]_ A )
1918eleq2d 2510 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( x  e.  A  <->  x  e.  [_ sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  /  n ]_ A
) )
2014, 15, 17, 19elrabf 3115 . . . . . . . . 9  |-  ( sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  {
n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A }  <->  ( sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( 1..^ N )  /\  x  e. 
[_ sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  /  n ]_ A ) )
219, 20sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  ->  ( sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( 1..^ N )  /\  x  e. 
[_ sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  /  n ]_ A ) )
2221simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  ->  x  e.  [_
sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  /  n ]_ A )
231, 2sstri 3365 . . . . . . . . . . 11  |-  { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A }  C_  NN
24 nnssre 10326 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  C_  RR
2523, 24sstri 3365 . . . . . . . . . 10  |-  { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A }  C_  RR
2625, 9sseldi 3354 . . . . . . . . 9  |-  ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  ->  sup ( { n  e.  (
1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
2726ltnrd 9508 . . . . . . . 8  |-  ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  ->  -.  sup ( { n  e.  (
1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) )
28 eliun 4175 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  U_ k  e.  ( 1..^ sup ( { n  e.  (
1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) B  <->  E. k  e.  ( 1..^ sup ( { n  e.  (
1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) x  e.  B
)
2926ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  /\  k  e.  ( 1..^
sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )  /\  x  e.  B
)  ->  sup ( { n  e.  (
1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
30 elfzouz2 11566 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( 1..^ N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )
31 fzoss2 11577 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  ( 1..^
sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) )  C_  ( 1..^ N ) )
3210, 30, 313syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  ->  ( 1..^
sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) )  C_  ( 1..^ N ) )
3332sselda 3356 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  /\  k  e.  ( 1..^ sup ( { n  e.  (
1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )  ->  k  e.  ( 1..^ N ) )
3433adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  /\  k  e.  ( 1..^
sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )  /\  x  e.  B
)  ->  k  e.  ( 1..^ N ) )
352, 34sseldi 3354 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  /\  k  e.  ( 1..^
sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )  /\  x  e.  B
)  ->  k  e.  NN )
3635nnred 10337 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  /\  k  e.  ( 1..^
sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )  /\  x  e.  B
)  ->  k  e.  RR )
37 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  /\  k  e.  ( 1..^
sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )  /\  x  e.  B
)  ->  x  e.  B )
38 nfcv 2579 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n
k
39 iundisj3.0 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n B
4039nfcri 2573 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ n  x  e.  B
41 iundisj3.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  k  ->  A  =  B )
4241eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  k  ->  (
x  e.  A  <->  x  e.  B ) )
4338, 15, 40, 42elrabf 3115 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } 
<->  ( k  e.  ( 1..^ N )  /\  x  e.  B )
)
4434, 37, 43sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  /\  k  e.  ( 1..^
sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )  /\  x  e.  B
)  ->  k  e.  { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } )
45 infmssuzle 10937 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A }  C_  ( ZZ>= `  1 )  /\  k  e.  { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } )  ->  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <_  k )
465, 44, 45sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  /\  k  e.  ( 1..^
sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )  /\  x  e.  B
)  ->  sup ( { n  e.  (
1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <_  k )
47 elfzolt2 11561 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1..^ sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  k  <  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) )
4847ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  /\  k  e.  ( 1..^
sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )  /\  x  e.  B
)  ->  k  <  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) )
4929, 36, 29, 46, 48lelttrd 9529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  /\  k  e.  ( 1..^
sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )  /\  x  e.  B
)  ->  sup ( { n  e.  (
1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) )
5049ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  /\  k  e.  ( 1..^ sup ( { n  e.  (
1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )  ->  (
x  e.  B  ->  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )
5150rexlimdva 2841 . . . . . . . . 9  |-  ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  ->  ( E. k  e.  ( 1..^
sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) x  e.  B  ->  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )
5228, 51syl5bi 217 . . . . . . . 8  |-  ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  ->  ( x  e.  U_ k  e.  ( 1..^ sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) B  ->  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )
5327, 52mtod 177 . . . . . . 7  |-  ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  ->  -.  x  e.  U_ k  e.  ( 1..^ sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) B )
5422, 53eldifd 3339 . . . . . 6  |-  ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  ->  x  e.  ( [_ sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  /  n ]_ A  \ 
U_ k  e.  ( 1..^ sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) B ) )
55 csbeq1 3291 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  [_ m  /  n ]_ A  =  [_ sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  /  n ]_ A
)
56 oveq2 6099 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( 1..^ m )  =  ( 1..^
sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )
5756iuneq1d 4195 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  U_ k  e.  ( 1..^ m ) B  =  U_ k  e.  ( 1..^ sup ( { n  e.  (
1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) B )
5855, 57difeq12d 3475 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( [_ m  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  (
1..^ m ) B )  =  ( [_ sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ sup ( { n  e.  (
1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) B ) )
5958eleq2d 2510 . . . . . . 7  |-  ( m  =  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( x  e.  ( [_ m  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ m ) B )  <-> 
x  e.  ( [_ sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ sup ( { n  e.  (
1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) B ) ) )
6059rspcev 3073 . . . . . 6  |-  ( ( sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( 1..^ N )  /\  x  e.  ( [_ sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ sup ( { n  e.  (
1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) B ) )  ->  E. m  e.  ( 1..^ N ) x  e.  ( [_ m  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  (
1..^ m ) B ) )
6110, 54, 60syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  ->  E. m  e.  ( 1..^ N ) x  e.  ( [_ m  /  n ]_ A  \ 
U_ k  e.  ( 1..^ m ) B ) )
62 nfv 1673 . . . . . 6  |-  F/ m  x  e.  ( A  \ 
U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )
63 nfcsb1v 3304 . . . . . . . 8  |-  F/_ n [_ m  /  n ]_ A
64 nfcv 2579 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( 1..^ m )
6564, 39nfiun 4198 . . . . . . . 8  |-  F/_ n U_ k  e.  (
1..^ m ) B
6663, 65nfdif 3477 . . . . . . 7  |-  F/_ n
( [_ m  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ m ) B )
6766nfcri 2573 . . . . . 6  |-  F/ n  x  e.  ( [_ m  /  n ]_ A  \ 
U_ k  e.  ( 1..^ m ) B )
68 csbeq1a 3297 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  A  =  [_ m  /  n ]_ A )
69 oveq2 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  m  ->  (
1..^ n )  =  ( 1..^ m ) )
7069iuneq1d 4195 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B  =  U_ k  e.  ( 1..^ m ) B )
7168, 70difeq12d 3475 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  =  (
[_ m  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ m ) B ) )
7271eleq2d 2510 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  (
x  e.  ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  <->  x  e.  ( [_ m  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ m ) B ) ) )
7362, 67, 72cbvrex 2944 . . . . 5  |-  ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  <->  E. m  e.  (
1..^ N ) x  e.  ( [_ m  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  (
1..^ m ) B ) )
7461, 73sylibr 212 . . . 4  |-  ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  ->  E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )
75 eldifi 3478 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )  ->  x  e.  A )
7675reximi 2823 . . . 4  |-  ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  ->  E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A )
7774, 76impbii 188 . . 3  |-  ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  <->  E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B ) )
78 eliun 4175 . . 3  |-  ( x  e.  U_ n  e.  ( 1..^ N ) A  <->  E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A )
79 eliun 4175 . . 3  |-  ( x  e.  U_ n  e.  ( 1..^ N ) ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  <->  E. n  e.  (
1..^ N ) x  e.  ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B ) )
8077, 78, 793bitr4i 277 . 2  |-  ( x  e.  U_ n  e.  ( 1..^ N ) A  <->  x  e.  U_ n  e.  ( 1..^ N ) ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )
8180eqriv 2440 1  |-  U_ n  e.  ( 1..^ N ) A  =  U_ n  e.  ( 1..^ N ) ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   F/_wnfc 2566    =/= wne 2606   E.wrex 2716   {crab 2719   [_csb 3288    \ cdif 3325    C_ wss 3328   (/)c0 3637   U_ciun 4171   class class class wbr 4292   `'ccnv 4839   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   supcsup 7690   RRcr 9281   1c1 9283    < clt 9418    <_ cle 9419   NNcn 10322   ZZ>=cuz 10861  ..^cfzo 11548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-sup 7691  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-fzo 11549
This theorem is referenced by:  iundisjcnt  26082
  Copyright terms: Public domain W3C validator