Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iundisjfi Structured version   Unicode version

Theorem iundisjfi 27392
Description: Rewrite a countable union as a disjoint union, finite version. Cf. iundisj 21803 (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iundisj3.0  |-  F/_ n B
iundisj3.1  |-  ( n  =  k  ->  A  =  B )
Assertion
Ref Expression
iundisjfi  |-  U_ n  e.  ( 1..^ N ) A  =  U_ n  e.  ( 1..^ N ) ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )
Distinct variable groups:    k, n, N    A, k
Allowed substitution hints:    A( n)    B( k, n)

Proof of Theorem iundisjfi
Dummy variables  m  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3590 . . . . . . 7  |-  { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A }  C_  ( 1..^ N )
2 fzossnn 11848 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1..^ N )  C_  NN
3 nnuz 11127 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
42, 3sseqtri 3541 . . . . . . . . 9  |-  ( 1..^ N )  C_  ( ZZ>=
`  1 )
51, 4sstri 3518 . . . . . . . 8  |-  { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A }  C_  ( ZZ>= `  1
)
6 rabn0 3810 . . . . . . . . 9  |-  ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A }  =/=  (/)  <->  E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A )
76biimpri 206 . . . . . . . 8  |-  ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  ->  { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A }  =/=  (/) )
8 infmssuzcl 11175 . . . . . . . 8  |-  ( ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A }  C_  ( ZZ>= `  1 )  /\  { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A }  =/=  (/) )  ->  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } )
95, 7, 8sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  ->  sup ( { n  e.  (
1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } )
101, 9sseldi 3507 . . . . . 6  |-  ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  ->  sup ( { n  e.  (
1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( 1..^ N ) )
11 nfrab1 3047 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n { n  e.  (
1..^ N )  |  x  e.  A }
12 nfcv 2629 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n RR
13 nfcv 2629 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n `'  <
1411, 12, 13nfsup 7921 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )
15 nfcv 2629 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( 1..^ N )
1614nfcsb1 3455 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n [_ sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  /  n ]_ A
1716nfcri 2622 . . . . . . . . . 10  |-  F/ n  x  e.  [_ sup ( { n  e.  (
1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  /  n ]_ A
18 csbeq1a 3449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  A  =  [_ sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  /  n ]_ A )
1918eleq2d 2537 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( x  e.  A  <->  x  e.  [_ sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  /  n ]_ A
) )
2014, 15, 17, 19elrabf 3264 . . . . . . . . 9  |-  ( sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  {
n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A }  <->  ( sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( 1..^ N )  /\  x  e. 
[_ sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  /  n ]_ A ) )
219, 20sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  ->  ( sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( 1..^ N )  /\  x  e. 
[_ sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  /  n ]_ A ) )
2221simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  ->  x  e.  [_
sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  /  n ]_ A )
231, 2sstri 3518 . . . . . . . . . . 11  |-  { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A }  C_  NN
24 nnssre 10550 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  C_  RR
2523, 24sstri 3518 . . . . . . . . . 10  |-  { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A }  C_  RR
2625, 9sseldi 3507 . . . . . . . . 9  |-  ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  ->  sup ( { n  e.  (
1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
2726ltnrd 9728 . . . . . . . 8  |-  ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  ->  -.  sup ( { n  e.  (
1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) )
28 eliun 4335 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  U_ k  e.  ( 1..^ sup ( { n  e.  (
1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) B  <->  E. k  e.  ( 1..^ sup ( { n  e.  (
1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) x  e.  B
)
2926ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  /\  k  e.  ( 1..^
sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )  /\  x  e.  B
)  ->  sup ( { n  e.  (
1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
30 elfzouz2 11820 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( 1..^ N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )
31 fzoss2 11831 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  ( 1..^
sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) )  C_  ( 1..^ N ) )
3210, 30, 313syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  ->  ( 1..^
sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) )  C_  ( 1..^ N ) )
3332sselda 3509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  /\  k  e.  ( 1..^ sup ( { n  e.  (
1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )  ->  k  e.  ( 1..^ N ) )
3433adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  /\  k  e.  ( 1..^
sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )  /\  x  e.  B
)  ->  k  e.  ( 1..^ N ) )
352, 34sseldi 3507 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  /\  k  e.  ( 1..^
sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )  /\  x  e.  B
)  ->  k  e.  NN )
3635nnred 10561 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  /\  k  e.  ( 1..^
sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )  /\  x  e.  B
)  ->  k  e.  RR )
37 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  /\  k  e.  ( 1..^
sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )  /\  x  e.  B
)  ->  x  e.  B )
38 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n
k
39 iundisj3.0 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n B
4039nfcri 2622 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ n  x  e.  B
41 iundisj3.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  k  ->  A  =  B )
4241eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  k  ->  (
x  e.  A  <->  x  e.  B ) )
4338, 15, 40, 42elrabf 3264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } 
<->  ( k  e.  ( 1..^ N )  /\  x  e.  B )
)
4434, 37, 43sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  /\  k  e.  ( 1..^
sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )  /\  x  e.  B
)  ->  k  e.  { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } )
45 infmssuzle 11174 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A }  C_  ( ZZ>= `  1 )  /\  k  e.  { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } )  ->  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <_  k )
465, 44, 45sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  /\  k  e.  ( 1..^
sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )  /\  x  e.  B
)  ->  sup ( { n  e.  (
1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <_  k )
47 elfzolt2 11815 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1..^ sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  k  <  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) )
4847ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  /\  k  e.  ( 1..^
sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )  /\  x  e.  B
)  ->  k  <  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) )
4929, 36, 29, 46, 48lelttrd 9749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  /\  k  e.  ( 1..^
sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )  /\  x  e.  B
)  ->  sup ( { n  e.  (
1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) )
5049ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  /\  k  e.  ( 1..^ sup ( { n  e.  (
1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )  ->  (
x  e.  B  ->  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )
5150rexlimdva 2959 . . . . . . . . 9  |-  ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  ->  ( E. k  e.  ( 1..^
sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) x  e.  B  ->  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )
5228, 51syl5bi 217 . . . . . . . 8  |-  ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  ->  ( x  e.  U_ k  e.  ( 1..^ sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) B  ->  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )
5327, 52mtod 177 . . . . . . 7  |-  ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  ->  -.  x  e.  U_ k  e.  ( 1..^ sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) B )
5422, 53eldifd 3492 . . . . . 6  |-  ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  ->  x  e.  ( [_ sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  /  n ]_ A  \ 
U_ k  e.  ( 1..^ sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) B ) )
55 csbeq1 3443 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  [_ m  /  n ]_ A  =  [_ sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  /  n ]_ A
)
56 oveq2 6302 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( 1..^ m )  =  ( 1..^
sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )
5756iuneq1d 4355 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  U_ k  e.  ( 1..^ m ) B  =  U_ k  e.  ( 1..^ sup ( { n  e.  (
1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) B )
5855, 57difeq12d 3628 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( [_ m  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  (
1..^ m ) B )  =  ( [_ sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ sup ( { n  e.  (
1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) B ) )
5958eleq2d 2537 . . . . . . 7  |-  ( m  =  sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( x  e.  ( [_ m  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ m ) B )  <-> 
x  e.  ( [_ sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ sup ( { n  e.  (
1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) B ) ) )
6059rspcev 3219 . . . . . 6  |-  ( ( sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( 1..^ N )  /\  x  e.  ( [_ sup ( { n  e.  ( 1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ sup ( { n  e.  (
1..^ N )  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) B ) )  ->  E. m  e.  ( 1..^ N ) x  e.  ( [_ m  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  (
1..^ m ) B ) )
6110, 54, 60syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  ->  E. m  e.  ( 1..^ N ) x  e.  ( [_ m  /  n ]_ A  \ 
U_ k  e.  ( 1..^ m ) B ) )
62 nfv 1683 . . . . . 6  |-  F/ m  x  e.  ( A  \ 
U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )
63 nfcsb1v 3456 . . . . . . . 8  |-  F/_ n [_ m  /  n ]_ A
64 nfcv 2629 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( 1..^ m )
6564, 39nfiun 4358 . . . . . . . 8  |-  F/_ n U_ k  e.  (
1..^ m ) B
6663, 65nfdif 3630 . . . . . . 7  |-  F/_ n
( [_ m  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ m ) B )
6766nfcri 2622 . . . . . 6  |-  F/ n  x  e.  ( [_ m  /  n ]_ A  \ 
U_ k  e.  ( 1..^ m ) B )
68 csbeq1a 3449 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  A  =  [_ m  /  n ]_ A )
69 oveq2 6302 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  m  ->  (
1..^ n )  =  ( 1..^ m ) )
7069iuneq1d 4355 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B  =  U_ k  e.  ( 1..^ m ) B )
7168, 70difeq12d 3628 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  =  (
[_ m  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ m ) B ) )
7271eleq2d 2537 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  (
x  e.  ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  <->  x  e.  ( [_ m  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ m ) B ) ) )
7362, 67, 72cbvrex 3090 . . . . 5  |-  ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  <->  E. m  e.  (
1..^ N ) x  e.  ( [_ m  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  (
1..^ m ) B ) )
7461, 73sylibr 212 . . . 4  |-  ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  ->  E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )
75 eldifi 3631 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )  ->  x  e.  A )
7675reximi 2935 . . . 4  |-  ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  ->  E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A )
7774, 76impbii 188 . . 3  |-  ( E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A  <->  E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B ) )
78 eliun 4335 . . 3  |-  ( x  e.  U_ n  e.  ( 1..^ N ) A  <->  E. n  e.  ( 1..^ N ) x  e.  A )
79 eliun 4335 . . 3  |-  ( x  e.  U_ n  e.  ( 1..^ N ) ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  <->  E. n  e.  (
1..^ N ) x  e.  ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B ) )
8077, 78, 793bitr4i 277 . 2  |-  ( x  e.  U_ n  e.  ( 1..^ N ) A  <->  x  e.  U_ n  e.  ( 1..^ N ) ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )
8180eqriv 2463 1  |-  U_ n  e.  ( 1..^ N ) A  =  U_ n  e.  ( 1..^ N ) ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   F/_wnfc 2615    =/= wne 2662   E.wrex 2818   {crab 2821   [_csb 3440    \ cdif 3478    C_ wss 3481   (/)c0 3790   U_ciun 4330   class class class wbr 4452   `'ccnv 5003   ` cfv 5593  (class class class)co 6294   supcsup 7910   RRcr 9501   1c1 9503    < clt 9638    <_ cle 9639   NNcn 10546   ZZ>=cuz 11092  ..^cfzo 11802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-er 7321  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-sup 7911  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-nn 10547  df-n0 10806  df-z 10875  df-uz 11093  df-fz 11683  df-fzo 11803
This theorem is referenced by:  iundisjcnt  27394
  Copyright terms: Public domain W3C validator