Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iundisjf Structured version   Unicode version

Theorem iundisjf 27137
Description: Rewrite a countable union as a disjoint union. Cf. iundisj 21709 (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
iundisjf.1  |-  F/_ k A
iundisjf.2  |-  F/_ n B
iundisjf.3  |-  ( n  =  k  ->  A  =  B )
Assertion
Ref Expression
iundisjf  |-  U_ n  e.  NN  A  =  U_ n  e.  NN  ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )
Distinct variable group:    k, n
Allowed substitution hints:    A( k, n)    B( k, n)

Proof of Theorem iundisjf
Dummy variables  m  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3585 . . . . . . . . . 10  |-  { n  e.  NN  |  x  e.  A }  C_  NN
2 nnuz 11116 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
31, 2sseqtri 3536 . . . . . . . . 9  |-  { n  e.  NN  |  x  e.  A }  C_  ( ZZ>=
`  1 )
4 rabn0 3805 . . . . . . . . . 10  |-  ( { n  e.  NN  |  x  e.  A }  =/=  (/)  <->  E. n  e.  NN  x  e.  A )
54biimpri 206 . . . . . . . . 9  |-  ( E. n  e.  NN  x  e.  A  ->  { n  e.  NN  |  x  e.  A }  =/=  (/) )
6 infmssuzcl 11164 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { n  e.  NN  |  x  e.  A }  C_  ( ZZ>= `  1
)  /\  { n  e.  NN  |  x  e.  A }  =/=  (/) )  ->  sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e. 
{ n  e.  NN  |  x  e.  A } )
73, 5, 6sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( E. n  e.  NN  x  e.  A  ->  sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  {
n  e.  NN  |  x  e.  A }
)
8 nfrab1 3042 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n { n  e.  NN  |  x  e.  A }
9 nfcv 2629 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n RR
10 nfcv 2629 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n `'  <
118, 9, 10nfsup 7910 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )
12 nfcv 2629 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n NN
1311nfcsb1 3450 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n [_ sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  /  n ]_ A
1413nfcri 2622 . . . . . . . . 9  |-  F/ n  x  e.  [_ sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  /  n ]_ A
15 csbeq1a 3444 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  A  =  [_ sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  /  n ]_ A )
1615eleq2d 2537 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( x  e.  A  <->  x  e.  [_ sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  /  n ]_ A ) )
1711, 12, 14, 16elrabf 3259 . . . . . . . 8  |-  ( sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e. 
{ n  e.  NN  |  x  e.  A } 
<->  ( sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  NN  /\  x  e.  [_ sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  /  n ]_ A
) )
187, 17sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( E. n  e.  NN  x  e.  A  ->  ( sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  NN  /\  x  e. 
[_ sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  /  n ]_ A ) )
1918simpld 459 . . . . . 6  |-  ( E. n  e.  NN  x  e.  A  ->  sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  NN )
2018simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( E. n  e.  NN  x  e.  A  ->  x  e. 
[_ sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  /  n ]_ A )
2119nnred 10550 . . . . . . . . 9  |-  ( E. n  e.  NN  x  e.  A  ->  sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
2221ltnrd 9717 . . . . . . . 8  |-  ( E. n  e.  NN  x  e.  A  ->  -.  sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <  sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) )
23 eliun 4330 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  U_ k  e.  ( 1..^ sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) B  <->  E. k  e.  (
1..^ sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) x  e.  B )
24 nfcv 2629 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k NN
25 iundisjf.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k A
2625nfcri 2622 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k  x  e.  A
2724, 26nfrex 2927 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k E. n  e.  NN  x  e.  A
2826, 24nfrab 3043 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k { n  e.  NN  |  x  e.  A }
29 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k RR
30 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k `'  <
3128, 29, 30nfsup 7910 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )
32 nfcv 2629 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k  <
3331, 32, 31nfbr 4491 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <  sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )
3421ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( E. n  e.  NN  x  e.  A  /\  k  e.  (
1..^ sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )  /\  x  e.  B )  ->  sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
35 elfzouz 11800 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 1..^ sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) )  -> 
k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
3635, 2syl6eleqr 2566 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 1..^ sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) )  -> 
k  e.  NN )
3736ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( E. n  e.  NN  x  e.  A  /\  k  e.  (
1..^ sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )  /\  x  e.  B )  ->  k  e.  NN )
3837nnred 10550 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( E. n  e.  NN  x  e.  A  /\  k  e.  (
1..^ sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )  /\  x  e.  B )  ->  k  e.  RR )
39 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( E. n  e.  NN  x  e.  A  /\  k  e.  (
1..^ sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
40 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n
k
41 iundisjf.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n B
4241nfcri 2622 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ n  x  e.  B
43 iundisjf.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  k  ->  A  =  B )
4443eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  k  ->  (
x  e.  A  <->  x  e.  B ) )
4540, 12, 42, 44elrabf 3259 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  { n  e.  NN  |  x  e.  A }  <->  ( k  e.  NN  /\  x  e.  B ) )
4637, 39, 45sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( E. n  e.  NN  x  e.  A  /\  k  e.  (
1..^ sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )  /\  x  e.  B )  ->  k  e.  { n  e.  NN  |  x  e.  A } )
47 infmssuzle 11163 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { n  e.  NN  |  x  e.  A }  C_  ( ZZ>= `  1
)  /\  k  e.  { n  e.  NN  |  x  e.  A }
)  ->  sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <_  k
)
483, 46, 47sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( E. n  e.  NN  x  e.  A  /\  k  e.  (
1..^ sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )  /\  x  e.  B )  ->  sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <_  k
)
49 elfzolt2 11804 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1..^ sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) )  -> 
k  <  sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) )
5049ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( E. n  e.  NN  x  e.  A  /\  k  e.  (
1..^ sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )  /\  x  e.  B )  ->  k  <  sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) )
5134, 38, 34, 48, 50lelttrd 9738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( E. n  e.  NN  x  e.  A  /\  k  e.  (
1..^ sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )  /\  x  e.  B )  ->  sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <  sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) )
5251exp31 604 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. n  e.  NN  x  e.  A  ->  ( k  e.  ( 1..^ sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) )  -> 
( x  e.  B  ->  sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <  sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )
5327, 33, 52rexlimd 2947 . . . . . . . . 9  |-  ( E. n  e.  NN  x  e.  A  ->  ( E. k  e.  ( 1..^
sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) x  e.  B  ->  sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <  sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )
5423, 53syl5bi 217 . . . . . . . 8  |-  ( E. n  e.  NN  x  e.  A  ->  ( x  e.  U_ k  e.  ( 1..^ sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) B  ->  sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  <  sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )
5522, 54mtod 177 . . . . . . 7  |-  ( E. n  e.  NN  x  e.  A  ->  -.  x  e.  U_ k  e.  ( 1..^ sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) B )
5620, 55eldifd 3487 . . . . . 6  |-  ( E. n  e.  NN  x  e.  A  ->  x  e.  ( [_ sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) B ) )
57 csbeq1 3438 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  [_ m  /  n ]_ A  =  [_ sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  /  n ]_ A )
5831nfeq2 2646 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k  m  =  sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )
59 nfcv 2629 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k
( 1..^ m )
60 nfcv 2629 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
1
61 nfcv 2629 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k..^
6260, 61, 31nfov 6306 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k
( 1..^ sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) )
63 oveq2 6291 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( 1..^ m )  =  ( 1..^
sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) )
64 eqidd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  B  =  B )
6558, 59, 62, 63, 64iuneq12df 4349 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  U_ k  e.  ( 1..^ m ) B  =  U_ k  e.  ( 1..^ sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) B )
6657, 65difeq12d 3623 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( [_ m  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  (
1..^ m ) B )  =  ( [_ sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^
sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) B ) )
6766eleq2d 2537 . . . . . . 7  |-  ( m  =  sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( x  e.  ( [_ m  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ m ) B )  <-> 
x  e.  ( [_ sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^
sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) B ) ) )
6867rspcev 3214 . . . . . 6  |-  ( ( sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  e.  NN  /\  x  e.  ( [_ sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  )  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ sup ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  `'  <  ) ) B ) )  ->  E. m  e.  NN  x  e.  (
[_ m  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ m ) B ) )
6919, 56, 68syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( E. n  e.  NN  x  e.  A  ->  E. m  e.  NN  x  e.  (
[_ m  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ m ) B ) )
70 nfv 1683 . . . . . 6  |-  F/ m  x  e.  ( A  \ 
U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )
71 nfcsb1v 3451 . . . . . . . 8  |-  F/_ n [_ m  /  n ]_ A
72 nfcv 2629 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( 1..^ m )
7372, 41nfiun 4353 . . . . . . . 8  |-  F/_ n U_ k  e.  (
1..^ m ) B
7471, 73nfdif 3625 . . . . . . 7  |-  F/_ n
( [_ m  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ m ) B )
7574nfcri 2622 . . . . . 6  |-  F/ n  x  e.  ( [_ m  /  n ]_ A  \ 
U_ k  e.  ( 1..^ m ) B )
76 csbeq1a 3444 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  A  =  [_ m  /  n ]_ A )
77 oveq2 6291 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  m  ->  (
1..^ n )  =  ( 1..^ m ) )
7877iuneq1d 4350 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B  =  U_ k  e.  ( 1..^ m ) B )
7976, 78difeq12d 3623 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  =  (
[_ m  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ m ) B ) )
8079eleq2d 2537 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  (
x  e.  ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  <->  x  e.  ( [_ m  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ m ) B ) ) )
8170, 75, 80cbvrex 3085 . . . . 5  |-  ( E. n  e.  NN  x  e.  ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  <->  E. m  e.  NN  x  e.  ( [_ m  /  n ]_ A  \ 
U_ k  e.  ( 1..^ m ) B ) )
8269, 81sylibr 212 . . . 4  |-  ( E. n  e.  NN  x  e.  A  ->  E. n  e.  NN  x  e.  ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )
83 eldifi 3626 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )  ->  x  e.  A )
8483reximi 2932 . . . 4  |-  ( E. n  e.  NN  x  e.  ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  ->  E. n  e.  NN  x  e.  A )
8582, 84impbii 188 . . 3  |-  ( E. n  e.  NN  x  e.  A  <->  E. n  e.  NN  x  e.  ( A  \ 
U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )
86 eliun 4330 . . 3  |-  ( x  e.  U_ n  e.  NN  A  <->  E. n  e.  NN  x  e.  A
)
87 eliun 4330 . . 3  |-  ( x  e.  U_ n  e.  NN  ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )  <->  E. n  e.  NN  x  e.  ( A  \ 
U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )
8885, 86, 873bitr4i 277 . 2  |-  ( x  e.  U_ n  e.  NN  A  <->  x  e.  U_ n  e.  NN  ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )
8988eqriv 2463 1  |-  U_ n  e.  NN  A  =  U_ n  e.  NN  ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   F/_wnfc 2615    =/= wne 2662   E.wrex 2815   {crab 2818   [_csb 3435    \ cdif 3473    C_ wss 3476   (/)c0 3785   U_ciun 4325   class class class wbr 4447   `'ccnv 4998   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   supcsup 7899   RRcr 9490   1c1 9492    < clt 9627    <_ cle 9628   NNcn 10535   ZZ>=cuz 11081  ..^cfzo 11791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-sup 7900  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-fz 11672  df-fzo 11792
This theorem is referenced by:  iundisjcnt  27287
  Copyright terms: Public domain W3C validator