Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iundisjcnt Structured version   Unicode version

Theorem iundisjcnt 27475
Description: Rewrite a countable union as a disjoint union. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iundisjcnt.0  |-  F/_ n B
iundisjcnt.1  |-  ( n  =  k  ->  A  =  B )
iundisjcnt.2  |-  ( ph  ->  ( N  =  NN  \/  N  =  ( 1..^ M ) ) )
Assertion
Ref Expression
iundisjcnt  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  N  A  =  U_ n  e.  N  ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B ) )
Distinct variable groups:    k, n    A, k    k, M, n   
k, N, n
Allowed substitution hints:    ph( k, n)    A( n)    B( k, n)

Proof of Theorem iundisjcnt
StepHypRef Expression
1 nfcv 2605 . . . 4  |-  F/_ k A
2 iundisjcnt.0 . . . 4  |-  F/_ n B
3 iundisjcnt.1 . . . 4  |-  ( n  =  k  ->  A  =  B )
41, 2, 3iundisjf 27320 . . 3  |-  U_ n  e.  NN  A  =  U_ n  e.  NN  ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )
5 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  =  NN )  ->  N  =  NN )
65iuneq1d 4340 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  =  NN )  ->  U_ n  e.  N  A  =  U_ n  e.  NN  A
)
75iuneq1d 4340 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  =  NN )  ->  U_ n  e.  N  ( A  \ 
U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  =  U_ n  e.  NN  ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B ) )
84, 6, 73eqtr4a 2510 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  =  NN )  ->  U_ n  e.  N  A  =  U_ n  e.  N  ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )
92, 3iundisjfi 27473 . . 3  |-  U_ n  e.  ( 1..^ M ) A  =  U_ n  e.  ( 1..^ M ) ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )
10 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  =  ( 1..^ M ) )  ->  N  =  ( 1..^ M ) )
1110iuneq1d 4340 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  =  ( 1..^ M ) )  ->  U_ n  e.  N  A  =  U_ n  e.  ( 1..^ M ) A )
1210iuneq1d 4340 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  =  ( 1..^ M ) )  ->  U_ n  e.  N  ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  =  U_ n  e.  ( 1..^ M ) ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )
139, 11, 123eqtr4a 2510 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  =  ( 1..^ M ) )  ->  U_ n  e.  N  A  =  U_ n  e.  N  ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B ) )
14 iundisjcnt.2 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  =  NN  \/  N  =  ( 1..^ M ) ) )
158, 13, 14mpjaodan 786 1  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  N  A  =  U_ n  e.  N  ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1383   F/_wnfc 2591    \ cdif 3458   U_ciun 4315  (class class class)co 6281   1c1 9496   NNcn 10542  ..^cfzo 11803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-fz 11682  df-fzo 11804
This theorem is referenced by:  measiuns  28061
  Copyright terms: Public domain W3C validator