Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iundisjcnt Structured version   Unicode version

Theorem iundisjcnt 26218
Description: Rewrite a countable union as a disjoint union. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iundisjcnt.0  |-  F/_ n B
iundisjcnt.1  |-  ( n  =  k  ->  A  =  B )
iundisjcnt.2  |-  ( ph  ->  ( N  =  NN  \/  N  =  ( 1..^ M ) ) )
Assertion
Ref Expression
iundisjcnt  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  N  A  =  U_ n  e.  N  ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B ) )
Distinct variable groups:    k, n    A, k    k, M, n   
k, N, n
Allowed substitution hints:    ph( k, n)    A( n)    B( k, n)

Proof of Theorem iundisjcnt
StepHypRef Expression
1 nfcv 2613 . . . 4  |-  F/_ k A
2 iundisjcnt.0 . . . 4  |-  F/_ n B
3 iundisjcnt.1 . . . 4  |-  ( n  =  k  ->  A  =  B )
41, 2, 3iundisjf 26067 . . 3  |-  U_ n  e.  NN  A  =  U_ n  e.  NN  ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )
5 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  =  NN )  ->  N  =  NN )
65iuneq1d 4295 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  =  NN )  ->  U_ n  e.  N  A  =  U_ n  e.  NN  A
)
75iuneq1d 4295 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  =  NN )  ->  U_ n  e.  N  ( A  \ 
U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  =  U_ n  e.  NN  ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B ) )
84, 6, 73eqtr4a 2518 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  =  NN )  ->  U_ n  e.  N  A  =  U_ n  e.  N  ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )
92, 3iundisjfi 26216 . . 3  |-  U_ n  e.  ( 1..^ M ) A  =  U_ n  e.  ( 1..^ M ) ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )
10 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  =  ( 1..^ M ) )  ->  N  =  ( 1..^ M ) )
1110iuneq1d 4295 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  =  ( 1..^ M ) )  ->  U_ n  e.  N  A  =  U_ n  e.  ( 1..^ M ) A )
1210iuneq1d 4295 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  =  ( 1..^ M ) )  ->  U_ n  e.  N  ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  =  U_ n  e.  ( 1..^ M ) ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )
139, 11, 123eqtr4a 2518 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  =  ( 1..^ M ) )  ->  U_ n  e.  N  A  =  U_ n  e.  N  ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B ) )
14 iundisjcnt.2 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  =  NN  \/  N  =  ( 1..^ M ) ) )
158, 13, 14mpjaodan 784 1  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  N  A  =  U_ n  e.  N  ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1370   F/_wnfc 2599    \ cdif 3425   U_ciun 4271  (class class class)co 6192   1c1 9386   NNcn 10425  ..^cfzo 11651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-sup 7794  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-fz 11541  df-fzo 11652
This theorem is referenced by:  measiuns  26767
  Copyright terms: Public domain W3C validator