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Theorem iundisj2fi 26014
Description: A disjoint union is disjoint, finite version. Cf. iundisj2 20989 (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iundisj2fi.0  |-  F/_ n B
iundisj2fi.1  |-  ( n  =  k  ->  A  =  B )
Assertion
Ref Expression
iundisj2fi  |- Disj  n  e.  ( 1..^ N ) ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )
Distinct variable groups:    k, n, N    A, k
Allowed substitution hints:    A( n)    B( k, n)

Proof of Theorem iundisj2fi
Dummy variables  a 
b  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tru 1368 . . . 4  |- T.
2 eqeq12 2453 . . . . . 6  |-  ( ( a  =  x  /\  b  =  y )  ->  ( a  =  b  <-> 
x  =  y ) )
3 csbeq1 3288 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  x  ->  [_ a  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  =  [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )
4 csbeq1 3288 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  y  ->  [_ b  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  =  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )
53, 4ineqan12d 3551 . . . . . . 7  |-  ( ( a  =  x  /\  b  =  y )  ->  ( [_ a  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )  i^i  [_ b  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (
[_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) ) )
65eqeq1d 2449 . . . . . 6  |-  ( ( a  =  x  /\  b  =  y )  ->  ( ( [_ a  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ b  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/)  <->  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
72, 6orbi12d 704 . . . . 5  |-  ( ( a  =  x  /\  b  =  y )  ->  ( ( a  =  b  \/  ( [_ a  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ b  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) 
<->  ( x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) ) )
8 eqeq12 2453 . . . . . . 7  |-  ( ( a  =  y  /\  b  =  x )  ->  ( a  =  b  <-> 
y  =  x ) )
9 equcom 1737 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  <->  x  =  y )
108, 9syl6bb 261 . . . . . 6  |-  ( ( a  =  y  /\  b  =  x )  ->  ( a  =  b  <-> 
x  =  y ) )
11 csbeq1 3288 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  y  ->  [_ a  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  =  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )
12 csbeq1 3288 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  x  ->  [_ b  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  =  [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )
1311, 12ineqan12d 3551 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  =  y  /\  b  =  x )  ->  ( [_ a  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )  i^i  [_ b  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (
[_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) ) )
14 incom 3540 . . . . . . . 8  |-  ( [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (
[_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )
1513, 14syl6eq 2489 . . . . . . 7  |-  ( ( a  =  y  /\  b  =  x )  ->  ( [_ a  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )  i^i  [_ b  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (
[_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) ) )
1615eqeq1d 2449 . . . . . 6  |-  ( ( a  =  y  /\  b  =  x )  ->  ( ( [_ a  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ b  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/)  <->  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
1710, 16orbi12d 704 . . . . 5  |-  ( ( a  =  y  /\  b  =  x )  ->  ( ( a  =  b  \/  ( [_ a  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ b  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) 
<->  ( x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) ) )
18 fzossnn 11590 . . . . . . 7  |-  ( 1..^ N )  C_  NN
19 nnssre 10322 . . . . . . 7  |-  NN  C_  RR
2018, 19sstri 3362 . . . . . 6  |-  ( 1..^ N )  C_  RR
2120a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( 1..^ N ) 
C_  RR )
22 biidd 237 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N ) ) )  ->  (
( x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) 
<->  ( x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) ) )
23 necom 2691 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =/=  x  <->  x  =/=  y )
24 df-ne 2606 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =/=  y  <->  -.  x  =  y )
2523, 24bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( y  =/=  x  <->  -.  x  =  y )
2620sseli 3349 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1..^ N )  ->  x  e.  RR )
2720sseli 3349 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( 1..^ N )  ->  y  e.  RR )
28 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  <_  y  ->  x  <_  y )
29 leltne 9460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <_  y )  ->  (
x  <  y  <->  y  =/=  x ) )
3026, 27, 28, 29syl3an 1255 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N )  /\  x  <_  y
)  ->  ( x  <  y  <->  y  =/=  x
) )
31 vex 2973 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  x  e. 
_V
32 nfcsb1v 3301 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n [_ x  /  n ]_ A
33 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ n
( 1..^ x )
34 iundisj2fi.0 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ n B
3533, 34nfiun 4195 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n U_ k  e.  (
1..^ x ) B
3632, 35nfdif 3474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n
( [_ x  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ x ) B )
37 csbeq1a 3294 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  x  ->  A  =  [_ x  /  n ]_ A )
38 oveq2 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  x  ->  (
1..^ n )  =  ( 1..^ x ) )
3938iuneq1d 4192 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  x  ->  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B  =  U_ k  e.  ( 1..^ x ) B )
4037, 39difeq12d 3472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  x  ->  ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  =  (
[_ x  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ x ) B ) )
4131, 36, 40csbief 3310 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  =  ( [_ x  /  n ]_ A  \ 
U_ k  e.  ( 1..^ x ) B )
42 vex 2973 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  y  e. 
_V
43 nfcsb1v 3301 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n [_ y  /  n ]_ A
44 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ n
( 1..^ y )
4544, 34nfiun 4195 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n U_ k  e.  (
1..^ y ) B
4643, 45nfdif 3474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n
( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B )
47 csbeq1a 3294 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  y  ->  A  =  [_ y  /  n ]_ A )
48 oveq2 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  y  ->  (
1..^ n )  =  ( 1..^ y ) )
4948iuneq1d 4192 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  y  ->  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B  =  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B )
5047, 49difeq12d 3472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  y  ->  ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  =  (
[_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B ) )
5142, 46, 50csbief 3310 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  =  ( [_ y  /  n ]_ A  \ 
U_ k  e.  ( 1..^ y ) B )
5241, 51ineq12i 3547 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  ( ( [_ x  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ x ) B )  i^i  ( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  (
1..^ y ) B ) )
53 simp1 983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N )  /\  x  <  y
)  ->  x  e.  ( 1..^ N ) )
5418, 53sseldi 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N )  /\  x  <  y
)  ->  x  e.  NN )
55 nnuz 10892 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5654, 55syl6eleq 2531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N )  /\  x  <  y
)  ->  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
57 simp2 984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N )  /\  x  <  y
)  ->  y  e.  ( 1..^ N ) )
5818, 57sseldi 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N )  /\  x  <  y
)  ->  y  e.  NN )
5958nnzd 10742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N )  /\  x  <  y
)  ->  y  e.  ZZ )
60 simp3 985 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N )  /\  x  <  y
)  ->  x  <  y )
61 elfzo2 11552 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 1..^ y )  <->  ( x  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  y  e.  ZZ  /\  x  <  y ) )
6256, 59, 60, 61syl3anbrc 1167 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N )  /\  x  <  y
)  ->  x  e.  ( 1..^ y ) )
63 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ n
k
64 iundisj2fi.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  k  ->  A  =  B )
6563, 34, 64csbhypf 3304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  k  ->  [_ x  /  n ]_ A  =  B )
6665equcoms 1738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  x  ->  [_ x  /  n ]_ A  =  B )
6766eqcomd 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  x  ->  B  =  [_ x  /  n ]_ A )
6867ssiun2s 4211 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1..^ y )  ->  [_ x  /  n ]_ A  C_  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B )
6962, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N )  /\  x  <  y
)  ->  [_ x  /  n ]_ A  C_  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B )
7069ssdifssd 3491 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N )  /\  x  <  y
)  ->  ( [_ x  /  n ]_ A  \ 
U_ k  e.  ( 1..^ x ) B )  C_  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B )
71 ssrin 3572 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
[_ x  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ x ) B )  C_  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B  ->  ( ( [_ x  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ x ) B )  i^i  ( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B ) )  C_  ( U_ k  e.  ( 1..^ y ) B  i^i  ( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  (
1..^ y ) B ) ) )
7270, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N )  /\  x  <  y
)  ->  ( ( [_ x  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ x ) B )  i^i  ( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B ) )  C_  ( U_ k  e.  ( 1..^ y ) B  i^i  ( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  (
1..^ y ) B ) ) )
7352, 72syl5eqss 3397 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N )  /\  x  <  y
)  ->  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  C_  ( U_ k  e.  (
1..^ y ) B  i^i  ( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  (
1..^ y ) B ) ) )
74 disjdif 3748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U_ k  e.  ( 1..^ y ) B  i^i  ( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B ) )  =  (/)
75 sseq0 3666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  C_  ( U_ k  e.  (
1..^ y ) B  i^i  ( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  (
1..^ y ) B ) )  /\  ( U_ k  e.  (
1..^ y ) B  i^i  ( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  (
1..^ y ) B ) )  =  (/) )  ->  ( [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) )
7673, 74, 75sylancl 657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N )  /\  x  <  y
)  ->  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) )
77763expia 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( x  <  y  ->  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
78773adant3 1003 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N )  /\  x  <_  y
)  ->  ( x  <  y  ->  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
7930, 78sylbird 235 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N )  /\  x  <_  y
)  ->  ( y  =/=  x  ->  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
8025, 79syl5bir 218 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N )  /\  x  <_  y
)  ->  ( -.  x  =  y  ->  (
[_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
8180orrd 378 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N )  /\  x  <_  y
)  ->  ( x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
8281adantl 463 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N )  /\  x  <_  y
) )  ->  (
x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
837, 17, 21, 22, 82wlogle 9869 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N ) ) )  ->  (
x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
841, 83mpan 665 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
8584rgen2a 2780 . 2  |-  A. x  e.  ( 1..^ N ) A. y  e.  ( 1..^ N ) ( x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) )
86 disjors 4275 . 2  |-  (Disj  n  e.  ( 1..^ N ) ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  <->  A. x  e.  (
1..^ N ) A. y  e.  ( 1..^ N ) ( x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
8785, 86mpbir 209 1  |- Disj  n  e.  ( 1..^ N ) ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364   T. wtru 1365    e. wcel 1761   F/_wnfc 2564    =/= wne 2604   A.wral 2713   [_csb 3285    \ cdif 3322    i^i cin 3324    C_ wss 3325   (/)c0 3634   U_ciun 4168  Disj wdisj 4259   class class class wbr 4289   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   RRcr 9277   1c1 9279    < clt 9414    <_ cle 9415   NNcn 10318   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857  ..^cfzo 11544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-disj 4260  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-fzo 11545
This theorem is referenced by:  iundisj2cnt  26016
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