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Theorem iundisj2fi 26096
Description: A disjoint union is disjoint, finite version. Cf. iundisj2 21045 (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iundisj2fi.0  |-  F/_ n B
iundisj2fi.1  |-  ( n  =  k  ->  A  =  B )
Assertion
Ref Expression
iundisj2fi  |- Disj  n  e.  ( 1..^ N ) ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )
Distinct variable groups:    k, n, N    A, k
Allowed substitution hints:    A( n)    B( k, n)

Proof of Theorem iundisj2fi
Dummy variables  a 
b  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tru 1373 . . . 4  |- T.
2 eqeq12 2455 . . . . . 6  |-  ( ( a  =  x  /\  b  =  y )  ->  ( a  =  b  <-> 
x  =  y ) )
3 csbeq1 3306 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  x  ->  [_ a  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  =  [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )
4 csbeq1 3306 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  y  ->  [_ b  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  =  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )
53, 4ineqan12d 3569 . . . . . . 7  |-  ( ( a  =  x  /\  b  =  y )  ->  ( [_ a  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )  i^i  [_ b  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (
[_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) ) )
65eqeq1d 2451 . . . . . 6  |-  ( ( a  =  x  /\  b  =  y )  ->  ( ( [_ a  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ b  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/)  <->  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
72, 6orbi12d 709 . . . . 5  |-  ( ( a  =  x  /\  b  =  y )  ->  ( ( a  =  b  \/  ( [_ a  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ b  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) 
<->  ( x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) ) )
8 eqeq12 2455 . . . . . . 7  |-  ( ( a  =  y  /\  b  =  x )  ->  ( a  =  b  <-> 
y  =  x ) )
9 equcom 1732 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  <->  x  =  y )
108, 9syl6bb 261 . . . . . 6  |-  ( ( a  =  y  /\  b  =  x )  ->  ( a  =  b  <-> 
x  =  y ) )
11 csbeq1 3306 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  y  ->  [_ a  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  =  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )
12 csbeq1 3306 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  x  ->  [_ b  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  =  [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )
1311, 12ineqan12d 3569 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  =  y  /\  b  =  x )  ->  ( [_ a  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )  i^i  [_ b  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (
[_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) ) )
14 incom 3558 . . . . . . . 8  |-  ( [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (
[_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )
1513, 14syl6eq 2491 . . . . . . 7  |-  ( ( a  =  y  /\  b  =  x )  ->  ( [_ a  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )  i^i  [_ b  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (
[_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) ) )
1615eqeq1d 2451 . . . . . 6  |-  ( ( a  =  y  /\  b  =  x )  ->  ( ( [_ a  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ b  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/)  <->  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
1710, 16orbi12d 709 . . . . 5  |-  ( ( a  =  y  /\  b  =  x )  ->  ( ( a  =  b  \/  ( [_ a  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ b  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) 
<->  ( x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) ) )
18 fzossnn 11609 . . . . . . 7  |-  ( 1..^ N )  C_  NN
19 nnssre 10341 . . . . . . 7  |-  NN  C_  RR
2018, 19sstri 3380 . . . . . 6  |-  ( 1..^ N )  C_  RR
2120a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( 1..^ N ) 
C_  RR )
22 biidd 237 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N ) ) )  ->  (
( x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) 
<->  ( x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) ) )
23 necom 2708 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =/=  x  <->  x  =/=  y )
24 df-ne 2622 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =/=  y  <->  -.  x  =  y )
2523, 24bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( y  =/=  x  <->  -.  x  =  y )
2620sseli 3367 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1..^ N )  ->  x  e.  RR )
2720sseli 3367 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( 1..^ N )  ->  y  e.  RR )
28 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  <_  y  ->  x  <_  y )
29 leltne 9479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <_  y )  ->  (
x  <  y  <->  y  =/=  x ) )
3026, 27, 28, 29syl3an 1260 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N )  /\  x  <_  y
)  ->  ( x  <  y  <->  y  =/=  x
) )
31 vex 2990 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  x  e. 
_V
32 nfcsb1v 3319 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n [_ x  /  n ]_ A
33 nfcv 2589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ n
( 1..^ x )
34 iundisj2fi.0 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ n B
3533, 34nfiun 4213 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n U_ k  e.  (
1..^ x ) B
3632, 35nfdif 3492 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n
( [_ x  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ x ) B )
37 csbeq1a 3312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  x  ->  A  =  [_ x  /  n ]_ A )
38 oveq2 6114 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  x  ->  (
1..^ n )  =  ( 1..^ x ) )
3938iuneq1d 4210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  x  ->  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B  =  U_ k  e.  ( 1..^ x ) B )
4037, 39difeq12d 3490 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  x  ->  ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  =  (
[_ x  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ x ) B ) )
4131, 36, 40csbief 3328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  =  ( [_ x  /  n ]_ A  \ 
U_ k  e.  ( 1..^ x ) B )
42 vex 2990 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  y  e. 
_V
43 nfcsb1v 3319 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n [_ y  /  n ]_ A
44 nfcv 2589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ n
( 1..^ y )
4544, 34nfiun 4213 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n U_ k  e.  (
1..^ y ) B
4643, 45nfdif 3492 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n
( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B )
47 csbeq1a 3312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  y  ->  A  =  [_ y  /  n ]_ A )
48 oveq2 6114 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  y  ->  (
1..^ n )  =  ( 1..^ y ) )
4948iuneq1d 4210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  y  ->  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B  =  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B )
5047, 49difeq12d 3490 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  y  ->  ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  =  (
[_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B ) )
5142, 46, 50csbief 3328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  =  ( [_ y  /  n ]_ A  \ 
U_ k  e.  ( 1..^ y ) B )
5241, 51ineq12i 3565 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  ( ( [_ x  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ x ) B )  i^i  ( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  (
1..^ y ) B ) )
53 simp1 988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N )  /\  x  <  y
)  ->  x  e.  ( 1..^ N ) )
5418, 53sseldi 3369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N )  /\  x  <  y
)  ->  x  e.  NN )
55 nnuz 10911 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5654, 55syl6eleq 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N )  /\  x  <  y
)  ->  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
57 simp2 989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N )  /\  x  <  y
)  ->  y  e.  ( 1..^ N ) )
5818, 57sseldi 3369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N )  /\  x  <  y
)  ->  y  e.  NN )
5958nnzd 10761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N )  /\  x  <  y
)  ->  y  e.  ZZ )
60 simp3 990 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N )  /\  x  <  y
)  ->  x  <  y )
61 elfzo2 11571 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 1..^ y )  <->  ( x  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  y  e.  ZZ  /\  x  <  y ) )
6256, 59, 60, 61syl3anbrc 1172 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N )  /\  x  <  y
)  ->  x  e.  ( 1..^ y ) )
63 nfcv 2589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ n
k
64 iundisj2fi.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  k  ->  A  =  B )
6563, 34, 64csbhypf 3322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  k  ->  [_ x  /  n ]_ A  =  B )
6665equcoms 1733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  x  ->  [_ x  /  n ]_ A  =  B )
6766eqcomd 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  x  ->  B  =  [_ x  /  n ]_ A )
6867ssiun2s 4229 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1..^ y )  ->  [_ x  /  n ]_ A  C_  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B )
6962, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N )  /\  x  <  y
)  ->  [_ x  /  n ]_ A  C_  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B )
7069ssdifssd 3509 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N )  /\  x  <  y
)  ->  ( [_ x  /  n ]_ A  \ 
U_ k  e.  ( 1..^ x ) B )  C_  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B )
71 ssrin 3590 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
[_ x  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ x ) B )  C_  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B  ->  ( ( [_ x  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ x ) B )  i^i  ( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B ) )  C_  ( U_ k  e.  ( 1..^ y ) B  i^i  ( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  (
1..^ y ) B ) ) )
7270, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N )  /\  x  <  y
)  ->  ( ( [_ x  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ x ) B )  i^i  ( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B ) )  C_  ( U_ k  e.  ( 1..^ y ) B  i^i  ( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  (
1..^ y ) B ) ) )
7352, 72syl5eqss 3415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N )  /\  x  <  y
)  ->  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  C_  ( U_ k  e.  (
1..^ y ) B  i^i  ( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  (
1..^ y ) B ) ) )
74 disjdif 3766 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U_ k  e.  ( 1..^ y ) B  i^i  ( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B ) )  =  (/)
75 sseq0 3684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  C_  ( U_ k  e.  (
1..^ y ) B  i^i  ( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  (
1..^ y ) B ) )  /\  ( U_ k  e.  (
1..^ y ) B  i^i  ( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  (
1..^ y ) B ) )  =  (/) )  ->  ( [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) )
7673, 74, 75sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N )  /\  x  <  y
)  ->  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) )
77763expia 1189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( x  <  y  ->  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
78773adant3 1008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N )  /\  x  <_  y
)  ->  ( x  <  y  ->  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
7930, 78sylbird 235 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N )  /\  x  <_  y
)  ->  ( y  =/=  x  ->  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
8025, 79syl5bir 218 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N )  /\  x  <_  y
)  ->  ( -.  x  =  y  ->  (
[_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
8180orrd 378 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N )  /\  x  <_  y
)  ->  ( x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
8281adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N )  /\  x  <_  y
) )  ->  (
x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
837, 17, 21, 22, 82wlogle 9888 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N ) ) )  ->  (
x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
841, 83mpan 670 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
8584rgen2a 2797 . 2  |-  A. x  e.  ( 1..^ N ) A. y  e.  ( 1..^ N ) ( x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) )
86 disjors 4293 . 2  |-  (Disj  n  e.  ( 1..^ N ) ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  <->  A. x  e.  (
1..^ N ) A. y  e.  ( 1..^ N ) ( x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
8785, 86mpbir 209 1  |- Disj  n  e.  ( 1..^ N ) ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   T. wtru 1370    e. wcel 1756   F/_wnfc 2575    =/= wne 2620   A.wral 2730   [_csb 3303    \ cdif 3340    i^i cin 3342    C_ wss 3343   (/)c0 3652   U_ciun 4186  Disj wdisj 4277   class class class wbr 4307   ` cfv 5433  (class class class)co 6106   RRcr 9296   1c1 9298    < clt 9433    <_ cle 9434   NNcn 10337   ZZcz 10661   ZZ>=cuz 10876  ..^cfzo 11563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rmo 2738  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-iun 4188  df-disj 4278  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-om 6492  df-1st 6592  df-2nd 6593  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-er 7116  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-nn 10338  df-n0 10595  df-z 10662  df-uz 10877  df-fz 11453  df-fzo 11564
This theorem is referenced by:  iundisj2cnt  26098
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