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Theorem iundisj2fi 27270
Description: A disjoint union is disjoint, finite version. Cf. iundisj2 21694 (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iundisj2fi.0  |-  F/_ n B
iundisj2fi.1  |-  ( n  =  k  ->  A  =  B )
Assertion
Ref Expression
iundisj2fi  |- Disj  n  e.  ( 1..^ N ) ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )
Distinct variable groups:    k, n, N    A, k
Allowed substitution hints:    A( n)    B( k, n)

Proof of Theorem iundisj2fi
Dummy variables  a 
b  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tru 1383 . . . 4  |- T.
2 eqeq12 2486 . . . . . 6  |-  ( ( a  =  x  /\  b  =  y )  ->  ( a  =  b  <-> 
x  =  y ) )
3 csbeq1 3438 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  x  ->  [_ a  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  =  [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )
4 csbeq1 3438 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  y  ->  [_ b  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  =  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )
53, 4ineqan12d 3702 . . . . . . 7  |-  ( ( a  =  x  /\  b  =  y )  ->  ( [_ a  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )  i^i  [_ b  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (
[_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) ) )
65eqeq1d 2469 . . . . . 6  |-  ( ( a  =  x  /\  b  =  y )  ->  ( ( [_ a  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ b  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/)  <->  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
72, 6orbi12d 709 . . . . 5  |-  ( ( a  =  x  /\  b  =  y )  ->  ( ( a  =  b  \/  ( [_ a  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ b  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) 
<->  ( x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) ) )
8 eqeq12 2486 . . . . . . 7  |-  ( ( a  =  y  /\  b  =  x )  ->  ( a  =  b  <-> 
y  =  x ) )
9 equcom 1743 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  <->  x  =  y )
108, 9syl6bb 261 . . . . . 6  |-  ( ( a  =  y  /\  b  =  x )  ->  ( a  =  b  <-> 
x  =  y ) )
11 csbeq1 3438 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  y  ->  [_ a  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  =  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )
12 csbeq1 3438 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  x  ->  [_ b  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  =  [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )
1311, 12ineqan12d 3702 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  =  y  /\  b  =  x )  ->  ( [_ a  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )  i^i  [_ b  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (
[_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) ) )
14 incom 3691 . . . . . . . 8  |-  ( [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (
[_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )
1513, 14syl6eq 2524 . . . . . . 7  |-  ( ( a  =  y  /\  b  =  x )  ->  ( [_ a  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )  i^i  [_ b  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (
[_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) ) )
1615eqeq1d 2469 . . . . . 6  |-  ( ( a  =  y  /\  b  =  x )  ->  ( ( [_ a  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ b  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/)  <->  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
1710, 16orbi12d 709 . . . . 5  |-  ( ( a  =  y  /\  b  =  x )  ->  ( ( a  =  b  \/  ( [_ a  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ b  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) 
<->  ( x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) ) )
18 fzossnn 11834 . . . . . . 7  |-  ( 1..^ N )  C_  NN
19 nnssre 10536 . . . . . . 7  |-  NN  C_  RR
2018, 19sstri 3513 . . . . . 6  |-  ( 1..^ N )  C_  RR
2120a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( 1..^ N ) 
C_  RR )
22 biidd 237 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N ) ) )  ->  (
( x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) 
<->  ( x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) ) )
23 necom 2736 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =/=  x  <->  x  =/=  y )
24 df-ne 2664 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =/=  y  <->  -.  x  =  y )
2523, 24bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( y  =/=  x  <->  -.  x  =  y )
2620sseli 3500 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1..^ N )  ->  x  e.  RR )
2720sseli 3500 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( 1..^ N )  ->  y  e.  RR )
28 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  <_  y  ->  x  <_  y )
29 leltne 9670 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <_  y )  ->  (
x  <  y  <->  y  =/=  x ) )
3026, 27, 28, 29syl3an 1270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N )  /\  x  <_  y
)  ->  ( x  <  y  <->  y  =/=  x
) )
31 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  x  e. 
_V
32 nfcsb1v 3451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n [_ x  /  n ]_ A
33 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ n
( 1..^ x )
34 iundisj2fi.0 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ n B
3533, 34nfiun 4353 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n U_ k  e.  (
1..^ x ) B
3632, 35nfdif 3625 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n
( [_ x  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ x ) B )
37 csbeq1a 3444 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  x  ->  A  =  [_ x  /  n ]_ A )
38 oveq2 6290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  x  ->  (
1..^ n )  =  ( 1..^ x ) )
3938iuneq1d 4350 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  x  ->  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B  =  U_ k  e.  ( 1..^ x ) B )
4037, 39difeq12d 3623 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  x  ->  ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  =  (
[_ x  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ x ) B ) )
4131, 36, 40csbief 3460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  =  ( [_ x  /  n ]_ A  \ 
U_ k  e.  ( 1..^ x ) B )
42 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  y  e. 
_V
43 nfcsb1v 3451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n [_ y  /  n ]_ A
44 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ n
( 1..^ y )
4544, 34nfiun 4353 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n U_ k  e.  (
1..^ y ) B
4643, 45nfdif 3625 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n
( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B )
47 csbeq1a 3444 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  y  ->  A  =  [_ y  /  n ]_ A )
48 oveq2 6290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  y  ->  (
1..^ n )  =  ( 1..^ y ) )
4948iuneq1d 4350 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  y  ->  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B  =  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B )
5047, 49difeq12d 3623 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  y  ->  ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  =  (
[_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B ) )
5142, 46, 50csbief 3460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  =  ( [_ y  /  n ]_ A  \ 
U_ k  e.  ( 1..^ y ) B )
5241, 51ineq12i 3698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  ( ( [_ x  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ x ) B )  i^i  ( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  (
1..^ y ) B ) )
53 simp1 996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N )  /\  x  <  y
)  ->  x  e.  ( 1..^ N ) )
5418, 53sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N )  /\  x  <  y
)  ->  x  e.  NN )
55 nnuz 11113 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5654, 55syl6eleq 2565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N )  /\  x  <  y
)  ->  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
57 simp2 997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N )  /\  x  <  y
)  ->  y  e.  ( 1..^ N ) )
5818, 57sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N )  /\  x  <  y
)  ->  y  e.  NN )
5958nnzd 10961 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N )  /\  x  <  y
)  ->  y  e.  ZZ )
60 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N )  /\  x  <  y
)  ->  x  <  y )
61 elfzo2 11796 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 1..^ y )  <->  ( x  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  y  e.  ZZ  /\  x  <  y ) )
6256, 59, 60, 61syl3anbrc 1180 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N )  /\  x  <  y
)  ->  x  e.  ( 1..^ y ) )
63 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ n
k
64 iundisj2fi.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  k  ->  A  =  B )
6563, 34, 64csbhypf 3454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  k  ->  [_ x  /  n ]_ A  =  B )
6665equcoms 1744 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  x  ->  [_ x  /  n ]_ A  =  B )
6766eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  x  ->  B  =  [_ x  /  n ]_ A )
6867ssiun2s 4369 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1..^ y )  ->  [_ x  /  n ]_ A  C_  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B )
6962, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N )  /\  x  <  y
)  ->  [_ x  /  n ]_ A  C_  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B )
7069ssdifssd 3642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N )  /\  x  <  y
)  ->  ( [_ x  /  n ]_ A  \ 
U_ k  e.  ( 1..^ x ) B )  C_  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B )
71 ssrin 3723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
[_ x  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ x ) B )  C_  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B  ->  ( ( [_ x  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ x ) B )  i^i  ( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B ) )  C_  ( U_ k  e.  ( 1..^ y ) B  i^i  ( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  (
1..^ y ) B ) ) )
7270, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N )  /\  x  <  y
)  ->  ( ( [_ x  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ x ) B )  i^i  ( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B ) )  C_  ( U_ k  e.  ( 1..^ y ) B  i^i  ( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  (
1..^ y ) B ) ) )
7352, 72syl5eqss 3548 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N )  /\  x  <  y
)  ->  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  C_  ( U_ k  e.  (
1..^ y ) B  i^i  ( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  (
1..^ y ) B ) ) )
74 disjdif 3899 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U_ k  e.  ( 1..^ y ) B  i^i  ( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B ) )  =  (/)
75 sseq0 3817 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  C_  ( U_ k  e.  (
1..^ y ) B  i^i  ( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  (
1..^ y ) B ) )  /\  ( U_ k  e.  (
1..^ y ) B  i^i  ( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  (
1..^ y ) B ) )  =  (/) )  ->  ( [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) )
7673, 74, 75sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N )  /\  x  <  y
)  ->  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) )
77763expia 1198 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( x  <  y  ->  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
78773adant3 1016 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N )  /\  x  <_  y
)  ->  ( x  <  y  ->  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
7930, 78sylbird 235 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N )  /\  x  <_  y
)  ->  ( y  =/=  x  ->  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
8025, 79syl5bir 218 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N )  /\  x  <_  y
)  ->  ( -.  x  =  y  ->  (
[_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
8180orrd 378 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N )  /\  x  <_  y
)  ->  ( x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
8281adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N )  /\  x  <_  y
) )  ->  (
x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
837, 17, 21, 22, 82wlogle 10082 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N ) ) )  ->  (
x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
841, 83mpan 670 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( 1..^ N )  /\  y  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
8584rgen2a 2891 . 2  |-  A. x  e.  ( 1..^ N ) A. y  e.  ( 1..^ N ) ( x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) )
86 disjors 4433 . 2  |-  (Disj  n  e.  ( 1..^ N ) ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  <->  A. x  e.  (
1..^ N ) A. y  e.  ( 1..^ N ) ( x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
8785, 86mpbir 209 1  |- Disj  n  e.  ( 1..^ N ) ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   T. wtru 1380    e. wcel 1767   F/_wnfc 2615    =/= wne 2662   A.wral 2814   [_csb 3435    \ cdif 3473    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   U_ciun 4325  Disj wdisj 4417   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   RRcr 9487   1c1 9489    < clt 9624    <_ cle 9625   NNcn 10532   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078  ..^cfzo 11788
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789
This theorem is referenced by:  iundisj2cnt  27272
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