MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iundisj Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem iundisj 22513
Description: Rewrite a countable union as a disjoint union. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
iundisj.1  |-  ( n  =  k  ->  A  =  B )
Assertion
Ref Expression
iundisj  |-  U_ n  e.  NN  A  =  U_ n  e.  NN  ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )
Distinct variable groups:    k, n    A, k    B, n
Allowed substitution hints:    A( n)    B( k)

Proof of Theorem iundisj
Dummy variables  x  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3516 . . . . . . . . . 10  |-  { n  e.  NN  |  x  e.  A }  C_  NN
2 nnuz 11201 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
31, 2sseqtri 3466 . . . . . . . . 9  |-  { n  e.  NN  |  x  e.  A }  C_  ( ZZ>=
`  1 )
4 rabn0 3754 . . . . . . . . . 10  |-  ( { n  e.  NN  |  x  e.  A }  =/=  (/)  <->  E. n  e.  NN  x  e.  A )
54biimpri 210 . . . . . . . . 9  |-  ( E. n  e.  NN  x  e.  A  ->  { n  e.  NN  |  x  e.  A }  =/=  (/) )
6 infssuzcl 11252 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { n  e.  NN  |  x  e.  A }  C_  ( ZZ>= `  1
)  /\  { n  e.  NN  |  x  e.  A }  =/=  (/) )  -> inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  )  e.  { n  e.  NN  |  x  e.  A } )
73, 5, 6sylancr 670 . . . . . . . 8  |-  ( E. n  e.  NN  x  e.  A  -> inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  )  e.  { n  e.  NN  |  x  e.  A } )
8 nfrab1 2973 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n { n  e.  NN  |  x  e.  A }
9 nfcv 2594 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n RR
10 nfcv 2594 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n  <
118, 9, 10nfinf 8003 . . . . . . . . 9  |-  F/_ ninf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  )
12 nfcv 2594 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n NN
1311nfcsb1 3380 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n [_inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  )  /  n ]_ A
1413nfcri 2588 . . . . . . . . 9  |-  F/ n  x  e.  [_inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  )  /  n ]_ A
15 csbeq1a 3374 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  = inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  )  ->  A  =  [_inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  )  /  n ]_ A )
1615eleq2d 2516 . . . . . . . . 9  |-  ( n  = inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  )  ->  (
x  e.  A  <->  x  e.  [_inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  )  /  n ]_ A ) )
1711, 12, 14, 16elrabf 3196 . . . . . . . 8  |-  (inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  )  e.  { n  e.  NN  |  x  e.  A }  <->  (inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  )  e.  NN  /\  x  e.  [_inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  )  /  n ]_ A ) )
187, 17sylib 200 . . . . . . 7  |-  ( E. n  e.  NN  x  e.  A  ->  (inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  )  e.  NN  /\  x  e.  [_inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  )  /  n ]_ A ) )
1918simpld 461 . . . . . 6  |-  ( E. n  e.  NN  x  e.  A  -> inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  )  e.  NN )
2018simprd 465 . . . . . . 7  |-  ( E. n  e.  NN  x  e.  A  ->  x  e. 
[_inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  )  /  n ]_ A )
2119nnred 10631 . . . . . . . . 9  |-  ( E. n  e.  NN  x  e.  A  -> inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
2221ltnrd 9774 . . . . . . . 8  |-  ( E. n  e.  NN  x  e.  A  ->  -. inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  )  < inf ( {
n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  )
)
23 eliun 4286 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  U_ k  e.  ( 1..^inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  )
) B  <->  E. k  e.  ( 1..^inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  )
) x  e.  B
)
2421ad2antrr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( E. n  e.  NN  x  e.  A  /\  k  e.  (
1..^inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  ) ) )  /\  x  e.  B
)  -> inf ( {
n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
25 elfzouz 11931 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 1..^inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2625, 2syl6eleqr 2542 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 1..^inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  ) )  ->  k  e.  NN )
2726ad2antlr 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( E. n  e.  NN  x  e.  A  /\  k  e.  (
1..^inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  ) ) )  /\  x  e.  B
)  ->  k  e.  NN )
2827nnred 10631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( E. n  e.  NN  x  e.  A  /\  k  e.  (
1..^inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  ) ) )  /\  x  e.  B
)  ->  k  e.  RR )
29 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( E. n  e.  NN  x  e.  A  /\  k  e.  (
1..^inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  ) ) )  /\  x  e.  B
)  ->  x  e.  B )
30 iundisj.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  k  ->  A  =  B )
3130eleq2d 2516 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  k  ->  (
x  e.  A  <->  x  e.  B ) )
3231elrab 3198 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  { n  e.  NN  |  x  e.  A }  <->  ( k  e.  NN  /\  x  e.  B ) )
3327, 29, 32sylanbrc 671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( E. n  e.  NN  x  e.  A  /\  k  e.  (
1..^inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  ) ) )  /\  x  e.  B
)  ->  k  e.  { n  e.  NN  |  x  e.  A }
)
34 infssuzle 11251 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { n  e.  NN  |  x  e.  A }  C_  ( ZZ>= `  1
)  /\  k  e.  { n  e.  NN  |  x  e.  A }
)  -> inf ( {
n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  )  <_  k )
353, 33, 34sylancr 670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( E. n  e.  NN  x  e.  A  /\  k  e.  (
1..^inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  ) ) )  /\  x  e.  B
)  -> inf ( {
n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  )  <_  k )
36 elfzolt2 11936 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1..^inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  ) )  ->  k  < inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  ) )
3736ad2antlr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( E. n  e.  NN  x  e.  A  /\  k  e.  (
1..^inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  ) ) )  /\  x  e.  B
)  ->  k  < inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  ) )
3824, 28, 24, 35, 37lelttrd 9798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( E. n  e.  NN  x  e.  A  /\  k  e.  (
1..^inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  ) ) )  /\  x  e.  B
)  -> inf ( {
n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  )  < inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  ) )
3938ex 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. n  e.  NN  x  e.  A  /\  k  e.  ( 1..^inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  ) ) )  ->  ( x  e.  B  -> inf ( {
n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  )  < inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  ) ) )
4039rexlimdva 2881 . . . . . . . . 9  |-  ( E. n  e.  NN  x  e.  A  ->  ( E. k  e.  ( 1..^inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  ) ) x  e.  B  -> inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  )  < inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  ) ) )
4123, 40syl5bi 221 . . . . . . . 8  |-  ( E. n  e.  NN  x  e.  A  ->  ( x  e.  U_ k  e.  ( 1..^inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  )
) B  -> inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  )  < inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  ) ) )
4222, 41mtod 181 . . . . . . 7  |-  ( E. n  e.  NN  x  e.  A  ->  -.  x  e.  U_ k  e.  ( 1..^inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  ) ) B )
4320, 42eldifd 3417 . . . . . 6  |-  ( E. n  e.  NN  x  e.  A  ->  x  e.  ( [_inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  )  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  )
) B ) )
44 csbeq1 3368 . . . . . . . . 9  |-  ( m  = inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  )  ->  [_ m  /  n ]_ A  = 
[_inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  )  /  n ]_ A )
45 oveq2 6303 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  = inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  )  ->  (
1..^ m )  =  ( 1..^inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  )
) )
4645iuneq1d 4306 . . . . . . . . 9  |-  ( m  = inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  )  ->  U_ k  e.  ( 1..^ m ) B  =  U_ k  e.  ( 1..^inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  )
) B )
4744, 46difeq12d 3554 . . . . . . . 8  |-  ( m  = inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  )  ->  ( [_ m  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ m ) B )  =  (
[_inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  )  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  )
) B ) )
4847eleq2d 2516 . . . . . . 7  |-  ( m  = inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  )  ->  (
x  e.  ( [_ m  /  n ]_ A  \ 
U_ k  e.  ( 1..^ m ) B )  <->  x  e.  ( [_inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  )  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  )
) B ) ) )
4948rspcev 3152 . . . . . 6  |-  ( (inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  )  e.  NN  /\  x  e.  ( [_inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  )  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^inf ( { n  e.  NN  |  x  e.  A } ,  RR ,  <  )
) B ) )  ->  E. m  e.  NN  x  e.  ( [_ m  /  n ]_ A  \ 
U_ k  e.  ( 1..^ m ) B ) )
5019, 43, 49syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( E. n  e.  NN  x  e.  A  ->  E. m  e.  NN  x  e.  (
[_ m  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ m ) B ) )
51 nfv 1763 . . . . . 6  |-  F/ m  x  e.  ( A  \ 
U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )
52 nfcsb1v 3381 . . . . . . . 8  |-  F/_ n [_ m  /  n ]_ A
53 nfcv 2594 . . . . . . . 8  |-  F/_ n U_ k  e.  (
1..^ m ) B
5452, 53nfdif 3556 . . . . . . 7  |-  F/_ n
( [_ m  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ m ) B )
5554nfcri 2588 . . . . . 6  |-  F/ n  x  e.  ( [_ m  /  n ]_ A  \ 
U_ k  e.  ( 1..^ m ) B )
56 csbeq1a 3374 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  A  =  [_ m  /  n ]_ A )
57 oveq2 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  m  ->  (
1..^ n )  =  ( 1..^ m ) )
5857iuneq1d 4306 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B  =  U_ k  e.  ( 1..^ m ) B )
5956, 58difeq12d 3554 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  =  (
[_ m  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ m ) B ) )
6059eleq2d 2516 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  (
x  e.  ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  <->  x  e.  ( [_ m  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ m ) B ) ) )
6151, 55, 60cbvrex 3018 . . . . 5  |-  ( E. n  e.  NN  x  e.  ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  <->  E. m  e.  NN  x  e.  ( [_ m  /  n ]_ A  \ 
U_ k  e.  ( 1..^ m ) B ) )
6250, 61sylibr 216 . . . 4  |-  ( E. n  e.  NN  x  e.  A  ->  E. n  e.  NN  x  e.  ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )
63 eldifi 3557 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )  ->  x  e.  A )
6463reximi 2857 . . . 4  |-  ( E. n  e.  NN  x  e.  ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  ->  E. n  e.  NN  x  e.  A )
6562, 64impbii 191 . . 3  |-  ( E. n  e.  NN  x  e.  A  <->  E. n  e.  NN  x  e.  ( A  \ 
U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )
66 eliun 4286 . . 3  |-  ( x  e.  U_ n  e.  NN  A  <->  E. n  e.  NN  x  e.  A
)
67 eliun 4286 . . 3  |-  ( x  e.  U_ n  e.  NN  ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )  <->  E. n  e.  NN  x  e.  ( A  \ 
U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )
6865, 66, 673bitr4i 281 . 2  |-  ( x  e.  U_ n  e.  NN  A  <->  x  e.  U_ n  e.  NN  ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )
6968eqriv 2450 1  |-  U_ n  e.  NN  A  =  U_ n  e.  NN  ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889    =/= wne 2624   E.wrex 2740   {crab 2743   [_csb 3365    \ cdif 3403    C_ wss 3406   (/)c0 3733   U_ciun 4281   class class class wbr 4405   ` cfv 5585  (class class class)co 6295  infcinf 7960   RRcr 9543   1c1 9545    < clt 9680    <_ cle 9681   NNcn 10616   ZZ>=cuz 11166  ..^cfzo 11922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-sup 7961  df-inf 7962  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-fzo 11923
This theorem is referenced by:  iunmbl  22518  volsup  22521  sigapildsys  28996  carsgclctunlem3  29164  voliunnfl  31996
  Copyright terms: Public domain W3C validator