Theorem iundisj 20929

Description: Rewrite a countable union as a disjoint union. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
iundisj.1	|- ( n = k -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
iundisj	|- U_ n e. NN A = U_ n e. NN ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B )

Distinct variable groups:   k, n   A, k   B, n

Allowed substitution hints:   A( n)   B( k)

Proof of Theorem iundisj

Dummy variables x m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3434	. . . . . . . . . 10 |- { n e. NN | x e. A } C_ NN
2		nnuz 10892	. . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
3	1, 2	sseqtri 3385	. . . . . . . . 9 |- { n e. NN | x e. A } C_ ( ZZ>= ` 1 )
4		rabn0 3654	. . . . . . . . . 10 |- ( { n e. NN | x e. A } =/= (/) <-> E. n e. NN x e. A )
5	4	biimpri 206	. . . . . . . . 9 |- ( E. n e. NN x e. A -> { n e. NN | x e. A } =/= (/) )
6		infmssuzcl 10934	. . . . . . . . 9 |- ( ( { n e. NN | x e. A } C_ ( ZZ>= ` 1 ) /\ { n e. NN | x e. A } =/= (/) ) -> sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) e. { n e. NN | x e. A } )
7	3, 5, 6	sylancr 658	. . . . . . . 8 |- ( E. n e. NN x e. A -> sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) e. { n e. NN | x e. A } )
8		nfrab1 2899	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n { n e. NN | x e. A }
9		nfcv 2577	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n RR
10		nfcv 2577	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n `' <
11	8, 9, 10	nfsup 7697	. . . . . . . . 9 |- F/_ n sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < )
12		nfcv 2577	. . . . . . . . 9 |- F/_ n NN
13	11	nfcsb1 3300	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n [_ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) / n ]_ A
14	13	nfcri 2571	. . . . . . . . 9 |- F/ n x e. [_ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) / n ]_ A
15		csbeq1a 3294	. . . . . . . . . 10 |- ( n = sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) -> A = [_ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) / n ]_ A )
16	15	eleq2d 2508	. . . . . . . . 9 |- ( n = sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) -> ( x e. A <-> x e. [_ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) / n ]_ A ) )
17	11, 12, 14, 16	elrabf 3112	. . . . . . . 8 |- ( sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) e. { n e. NN | x e. A } <-> ( sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) e. NN /\ x e. [_ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) / n ]_ A ) )
18	7, 17	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( E. n e. NN x e. A -> ( sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) e. NN /\ x e. [_ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) / n ]_ A ) )
19	18	simpld 456	. . . . . 6 |- ( E. n e. NN x e. A -> sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) e. NN )
20	18	simprd 460	. . . . . . 7 |- ( E. n e. NN x e. A -> x e. [_ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) / n ]_ A )
21	19	nnred 10333	. . . . . . . . 9 |- ( E. n e. NN x e. A -> sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) e. RR )
22	21	ltnrd 9504	. . . . . . . 8 |- ( E. n e. NN x e. A -> -. sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) < sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) )
23		eliun 4172	. . . . . . . . 9 |- ( x e. U_ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) B <-> E. k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) x e. B )
24	21	ad2antrr 720	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( E. n e. NN x e. A /\ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) ) /\ x e. B ) -> sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) e. RR )
25		elfzouz 11553	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
26	25, 2	syl6eleqr 2532	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) -> k e. NN )
27	26	ad2antlr 721	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( E. n e. NN x e. A /\ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) ) /\ x e. B ) -> k e. NN )
28	27	nnred 10333	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( E. n e. NN x e. A /\ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) ) /\ x e. B ) -> k e. RR )
29		simpr 458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( E. n e. NN x e. A /\ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) ) /\ x e. B ) -> x e. B )
30		iundisj.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = k -> A = B )
31	30	eleq2d 2508	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = k -> ( x e. A <-> x e. B ) )
32	31	elrab 3114	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. { n e. NN | x e. A } <-> ( k e. NN /\ x e. B ) )
33	27, 29, 32	sylanbrc 659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( E. n e. NN x e. A /\ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) ) /\ x e. B ) -> k e. { n e. NN | x e. A } )
34		infmssuzle 10933	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { n e. NN | x e. A } C_ ( ZZ>= ` 1 ) /\ k e. { n e. NN | x e. A } ) -> sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) <_ k )
35	3, 33, 34	sylancr 658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( E. n e. NN x e. A /\ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) ) /\ x e. B ) -> sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) <_ k )
36		elfzolt2 11557	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) -> k < sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) )
37	36	ad2antlr 721	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( E. n e. NN x e. A /\ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) ) /\ x e. B ) -> k < sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) )
38	24, 28, 24, 35, 37	lelttrd 9525	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( E. n e. NN x e. A /\ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) ) /\ x e. B ) -> sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) < sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) )
39	38	ex 434	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E. n e. NN x e. A /\ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) ) -> ( x e. B -> sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) < sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) )
40	39	rexlimdva 2839	. . . . . . . . 9 |- ( E. n e. NN x e. A -> ( E. k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) x e. B -> sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) < sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) )
41	23, 40	syl5bi 217	. . . . . . . 8 |- ( E. n e. NN x e. A -> ( x e. U_ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) B -> sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) < sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) )
42	22, 41	mtod 177	. . . . . . 7 |- ( E. n e. NN x e. A -> -. x e. U_ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) B )
43	20, 42	eldifd 3336	. . . . . 6 |- ( E. n e. NN x e. A -> x e. ( [_ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) B ) )
44		csbeq1 3288	. . . . . . . . 9 |- ( m = sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) -> [_ m / n ]_ A = [_ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) / n ]_ A )
45		oveq2 6098	. . . . . . . . . 10 |- ( m = sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) -> ( 1..^ m ) = ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) )
46	45	iuneq1d 4192	. . . . . . . . 9 |- ( m = sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) -> U_ k e. ( 1..^ m ) B = U_ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) B )
47	44, 46	difeq12d 3472	. . . . . . . 8 |- ( m = sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) -> ( [_ m / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ m ) B ) = ( [_ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) B ) )
48	47	eleq2d 2508	. . . . . . 7 |- ( m = sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) -> ( x e. ( [_ m / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ m ) B ) <-> x e. ( [_ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) B ) ) )
49	48	rspcev 3070	. . . . . 6 |- ( ( sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) e. NN /\ x e. ( [_ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) B ) ) -> E. m e. NN x e. ( [_ m / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ m ) B ) )
50	19, 43, 49	syl2anc 656	. . . . 5 |- ( E. n e. NN x e. A -> E. m e. NN x e. ( [_ m / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ m ) B ) )
51		nfv 1678	. . . . . 6 |- F/ m x e. ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B )
52		nfcsb1v 3301	. . . . . . . 8 |- F/_ n [_ m / n ]_ A
53		nfcv 2577	. . . . . . . 8 |- F/_ n U_ k e. ( 1..^ m ) B
54	52, 53	nfdif 3474	. . . . . . 7 |- F/_ n ( [_ m / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ m ) B )
55	54	nfcri 2571	. . . . . 6 |- F/ n x e. ( [_ m / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ m ) B )
56		csbeq1a 3294	. . . . . . . 8 |- ( n = m -> A = [_ m / n ]_ A )
57		oveq2 6098	. . . . . . . . 9 |- ( n = m -> ( 1..^ n ) = ( 1..^ m ) )
58	57	iuneq1d 4192	. . . . . . . 8 |- ( n = m -> U_ k e. ( 1..^ n ) B = U_ k e. ( 1..^ m ) B )
59	56, 58	difeq12d 3472	. . . . . . 7 |- ( n = m -> ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) = ( [_ m / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ m ) B ) )
60	59	eleq2d 2508	. . . . . 6 |- ( n = m -> ( x e. ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) <-> x e. ( [_ m / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ m ) B ) ) )
61	51, 55, 60	cbvrex 2942	. . . . 5 |- ( E. n e. NN x e. ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) <-> E. m e. NN x e. ( [_ m / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ m ) B ) )
62	50, 61	sylibr 212	. . . 4 |- ( E. n e. NN x e. A -> E. n e. NN x e. ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) )
63		eldifi 3475	. . . . 5 |- ( x e. ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) -> x e. A )
64	63	reximi 2821	. . . 4 |- ( E. n e. NN x e. ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) -> E. n e. NN x e. A )
65	62, 64	impbii 188	. . 3 |- ( E. n e. NN x e. A <-> E. n e. NN x e. ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) )
66		eliun 4172	. . 3 |- ( x e. U_ n e. NN A <-> E. n e. NN x e. A )
67		eliun 4172	. . 3 |- ( x e. U_ n e. NN ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) <-> E. n e. NN x e. ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) )
68	65, 66, 67	3bitr4i 277	. 2 |- ( x e. U_ n e. NN A <-> x e. U_ n e. NN ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) )
69	68	eqriv 2438	1 |- U_ n e. NN A = U_ n e. NN ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1364   e. wcel 1761   =/= wne 2604   E.wrex 2714   {crab 2717   [_csb 3285   \ cdif 3322   C_ wss 3325   (/)c0 3634   U_ciun 4168   class class class wbr 4289   `'ccnv 4835   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   supcsup 7686   RRcr 9277   1c1 9279   < clt 9414   <_ cle 9415   NNcn 10318   ZZ>=cuz 10857  ..^cfzo 11544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-sup 7687  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-fzo 11545

This theorem is referenced by:  iunmbl  20934  volsup  20937  voliunnfl  28344