Theorem iundisj 21709

Description: Rewrite a countable union as a disjoint union. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
iundisj.1	|- ( n = k -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
iundisj	|- U_ n e. NN A = U_ n e. NN ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B )

Distinct variable groups:   k, n   A, k   B, n

Allowed substitution hints:   A( n)   B( k)

Proof of Theorem iundisj

Dummy variables x m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3585	. . . . . . . . . 10 |- { n e. NN | x e. A } C_ NN
2		nnuz 11116	. . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
3	1, 2	sseqtri 3536	. . . . . . . . 9 |- { n e. NN | x e. A } C_ ( ZZ>= ` 1 )
4		rabn0 3805	. . . . . . . . . 10 |- ( { n e. NN | x e. A } =/= (/) <-> E. n e. NN x e. A )
5	4	biimpri 206	. . . . . . . . 9 |- ( E. n e. NN x e. A -> { n e. NN | x e. A } =/= (/) )
6		infmssuzcl 11164	. . . . . . . . 9 |- ( ( { n e. NN | x e. A } C_ ( ZZ>= ` 1 ) /\ { n e. NN | x e. A } =/= (/) ) -> sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) e. { n e. NN | x e. A } )
7	3, 5, 6	sylancr 663	. . . . . . . 8 |- ( E. n e. NN x e. A -> sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) e. { n e. NN | x e. A } )
8		nfrab1 3042	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n { n e. NN | x e. A }
9		nfcv 2629	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n RR
10		nfcv 2629	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n `' <
11	8, 9, 10	nfsup 7910	. . . . . . . . 9 |- F/_ n sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < )
12		nfcv 2629	. . . . . . . . 9 |- F/_ n NN
13	11	nfcsb1 3450	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n [_ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) / n ]_ A
14	13	nfcri 2622	. . . . . . . . 9 |- F/ n x e. [_ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) / n ]_ A
15		csbeq1a 3444	. . . . . . . . . 10 |- ( n = sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) -> A = [_ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) / n ]_ A )
16	15	eleq2d 2537	. . . . . . . . 9 |- ( n = sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) -> ( x e. A <-> x e. [_ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) / n ]_ A ) )
17	11, 12, 14, 16	elrabf 3259	. . . . . . . 8 |- ( sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) e. { n e. NN | x e. A } <-> ( sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) e. NN /\ x e. [_ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) / n ]_ A ) )
18	7, 17	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( E. n e. NN x e. A -> ( sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) e. NN /\ x e. [_ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) / n ]_ A ) )
19	18	simpld 459	. . . . . 6 |- ( E. n e. NN x e. A -> sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) e. NN )
20	18	simprd 463	. . . . . . 7 |- ( E. n e. NN x e. A -> x e. [_ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) / n ]_ A )
21	19	nnred 10550	. . . . . . . . 9 |- ( E. n e. NN x e. A -> sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) e. RR )
22	21	ltnrd 9717	. . . . . . . 8 |- ( E. n e. NN x e. A -> -. sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) < sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) )
23		eliun 4330	. . . . . . . . 9 |- ( x e. U_ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) B <-> E. k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) x e. B )
24	21	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( E. n e. NN x e. A /\ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) ) /\ x e. B ) -> sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) e. RR )
25		elfzouz 11800	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
26	25, 2	syl6eleqr 2566	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) -> k e. NN )
27	26	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( E. n e. NN x e. A /\ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) ) /\ x e. B ) -> k e. NN )
28	27	nnred 10550	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( E. n e. NN x e. A /\ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) ) /\ x e. B ) -> k e. RR )
29		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( E. n e. NN x e. A /\ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) ) /\ x e. B ) -> x e. B )
30		iundisj.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = k -> A = B )
31	30	eleq2d 2537	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = k -> ( x e. A <-> x e. B ) )
32	31	elrab 3261	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. { n e. NN | x e. A } <-> ( k e. NN /\ x e. B ) )
33	27, 29, 32	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( E. n e. NN x e. A /\ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) ) /\ x e. B ) -> k e. { n e. NN | x e. A } )
34		infmssuzle 11163	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { n e. NN | x e. A } C_ ( ZZ>= ` 1 ) /\ k e. { n e. NN | x e. A } ) -> sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) <_ k )
35	3, 33, 34	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( E. n e. NN x e. A /\ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) ) /\ x e. B ) -> sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) <_ k )
36		elfzolt2 11804	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) -> k < sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) )
37	36	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( E. n e. NN x e. A /\ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) ) /\ x e. B ) -> k < sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) )
38	24, 28, 24, 35, 37	lelttrd 9738	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( E. n e. NN x e. A /\ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) ) /\ x e. B ) -> sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) < sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) )
39	38	ex 434	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E. n e. NN x e. A /\ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) ) -> ( x e. B -> sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) < sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) )
40	39	rexlimdva 2955	. . . . . . . . 9 |- ( E. n e. NN x e. A -> ( E. k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) x e. B -> sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) < sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) )
41	23, 40	syl5bi 217	. . . . . . . 8 |- ( E. n e. NN x e. A -> ( x e. U_ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) B -> sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) < sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) )
42	22, 41	mtod 177	. . . . . . 7 |- ( E. n e. NN x e. A -> -. x e. U_ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) B )
43	20, 42	eldifd 3487	. . . . . 6 |- ( E. n e. NN x e. A -> x e. ( [_ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) B ) )
44		csbeq1 3438	. . . . . . . . 9 |- ( m = sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) -> [_ m / n ]_ A = [_ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) / n ]_ A )
45		oveq2 6291	. . . . . . . . . 10 |- ( m = sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) -> ( 1..^ m ) = ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) )
46	45	iuneq1d 4350	. . . . . . . . 9 |- ( m = sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) -> U_ k e. ( 1..^ m ) B = U_ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) B )
47	44, 46	difeq12d 3623	. . . . . . . 8 |- ( m = sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) -> ( [_ m / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ m ) B ) = ( [_ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) B ) )
48	47	eleq2d 2537	. . . . . . 7 |- ( m = sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) -> ( x e. ( [_ m / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ m ) B ) <-> x e. ( [_ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) B ) ) )
49	48	rspcev 3214	. . . . . 6 |- ( ( sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) e. NN /\ x e. ( [_ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) B ) ) -> E. m e. NN x e. ( [_ m / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ m ) B ) )
50	19, 43, 49	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( E. n e. NN x e. A -> E. m e. NN x e. ( [_ m / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ m ) B ) )
51		nfv 1683	. . . . . 6 |- F/ m x e. ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B )
52		nfcsb1v 3451	. . . . . . . 8 |- F/_ n [_ m / n ]_ A
53		nfcv 2629	. . . . . . . 8 |- F/_ n U_ k e. ( 1..^ m ) B
54	52, 53	nfdif 3625	. . . . . . 7 |- F/_ n ( [_ m / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ m ) B )
55	54	nfcri 2622	. . . . . 6 |- F/ n x e. ( [_ m / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ m ) B )
56		csbeq1a 3444	. . . . . . . 8 |- ( n = m -> A = [_ m / n ]_ A )
57		oveq2 6291	. . . . . . . . 9 |- ( n = m -> ( 1..^ n ) = ( 1..^ m ) )
58	57	iuneq1d 4350	. . . . . . . 8 |- ( n = m -> U_ k e. ( 1..^ n ) B = U_ k e. ( 1..^ m ) B )
59	56, 58	difeq12d 3623	. . . . . . 7 |- ( n = m -> ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) = ( [_ m / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ m ) B ) )
60	59	eleq2d 2537	. . . . . 6 |- ( n = m -> ( x e. ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) <-> x e. ( [_ m / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ m ) B ) ) )
61	51, 55, 60	cbvrex 3085	. . . . 5 |- ( E. n e. NN x e. ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) <-> E. m e. NN x e. ( [_ m / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ m ) B ) )
62	50, 61	sylibr 212	. . . 4 |- ( E. n e. NN x e. A -> E. n e. NN x e. ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) )
63		eldifi 3626	. . . . 5 |- ( x e. ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) -> x e. A )
64	63	reximi 2932	. . . 4 |- ( E. n e. NN x e. ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) -> E. n e. NN x e. A )
65	62, 64	impbii 188	. . 3 |- ( E. n e. NN x e. A <-> E. n e. NN x e. ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) )
66		eliun 4330	. . 3 |- ( x e. U_ n e. NN A <-> E. n e. NN x e. A )
67		eliun 4330	. . 3 |- ( x e. U_ n e. NN ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) <-> E. n e. NN x e. ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) )
68	65, 66, 67	3bitr4i 277	. 2 |- ( x e. U_ n e. NN A <-> x e. U_ n e. NN ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) )
69	68	eqriv 2463	1 |- U_ n e. NN A = U_ n e. NN ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   E.wrex 2815   {crab 2818   [_csb 3435   \ cdif 3473   C_ wss 3476   (/)c0 3785   U_ciun 4325   class class class wbr 4447   `'ccnv 4998   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   supcsup 7899   RRcr 9490   1c1 9492   < clt 9627   <_ cle 9628   NNcn 10535   ZZ>=cuz 11081  ..^cfzo 11791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-sup 7900  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-fz 11672  df-fzo 11792

This theorem is referenced by:  iunmbl  21714  volsup  21717  voliunnfl  29651