Theorem iundisj 22513

Description: Rewrite a countable union as a disjoint union. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
iundisj.1	|- ( n = k -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
iundisj	|- U_ n e. NN A = U_ n e. NN ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B )

Distinct variable groups:   k, n   A, k   B, n

Allowed substitution hints:   A( n)   B( k)

Proof of Theorem iundisj

Dummy variables x m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3516	. . . . . . . . . 10 |- { n e. NN | x e. A } C_ NN
2		nnuz 11201	. . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
3	1, 2	sseqtri 3466	. . . . . . . . 9 |- { n e. NN | x e. A } C_ ( ZZ>= ` 1 )
4		rabn0 3754	. . . . . . . . . 10 |- ( { n e. NN | x e. A } =/= (/) <-> E. n e. NN x e. A )
5	4	biimpri 210	. . . . . . . . 9 |- ( E. n e. NN x e. A -> { n e. NN | x e. A } =/= (/) )
6		infssuzcl 11252	. . . . . . . . 9 |- ( ( { n e. NN | x e. A } C_ ( ZZ>= ` 1 ) /\ { n e. NN | x e. A } =/= (/) ) -> inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) e. { n e. NN | x e. A } )
7	3, 5, 6	sylancr 670	. . . . . . . 8 |- ( E. n e. NN x e. A -> inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) e. { n e. NN | x e. A } )
8		nfrab1 2973	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n { n e. NN | x e. A }
9		nfcv 2594	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n RR
10		nfcv 2594	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n <
11	8, 9, 10	nfinf 8003	. . . . . . . . 9 |- F/_ ninf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < )
12		nfcv 2594	. . . . . . . . 9 |- F/_ n NN
13	11	nfcsb1 3380	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n [_inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) / n ]_ A
14	13	nfcri 2588	. . . . . . . . 9 |- F/ n x e. [_inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) / n ]_ A
15		csbeq1a 3374	. . . . . . . . . 10 |- ( n = inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) -> A = [_inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) / n ]_ A )
16	15	eleq2d 2516	. . . . . . . . 9 |- ( n = inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) -> ( x e. A <-> x e. [_inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) / n ]_ A ) )
17	11, 12, 14, 16	elrabf 3196	. . . . . . . 8 |- (inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) e. { n e. NN | x e. A } <-> (inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) e. NN /\ x e. [_inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) / n ]_ A ) )
18	7, 17	sylib 200	. . . . . . 7 |- ( E. n e. NN x e. A -> (inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) e. NN /\ x e. [_inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) / n ]_ A ) )
19	18	simpld 461	. . . . . 6 |- ( E. n e. NN x e. A -> inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) e. NN )
20	18	simprd 465	. . . . . . 7 |- ( E. n e. NN x e. A -> x e. [_inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) / n ]_ A )
21	19	nnred 10631	. . . . . . . . 9 |- ( E. n e. NN x e. A -> inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) e. RR )
22	21	ltnrd 9774	. . . . . . . 8 |- ( E. n e. NN x e. A -> -. inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) < inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) )
23		eliun 4286	. . . . . . . . 9 |- ( x e. U_ k e. ( 1..^inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) ) B <-> E. k e. ( 1..^inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) ) x e. B )
24	21	ad2antrr 733	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( E. n e. NN x e. A /\ k e. ( 1..^inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) ) ) /\ x e. B ) -> inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) e. RR )
25		elfzouz 11931	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( 1..^inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
26	25, 2	syl6eleqr 2542	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 1..^inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) ) -> k e. NN )
27	26	ad2antlr 734	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( E. n e. NN x e. A /\ k e. ( 1..^inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) ) ) /\ x e. B ) -> k e. NN )
28	27	nnred 10631	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( E. n e. NN x e. A /\ k e. ( 1..^inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) ) ) /\ x e. B ) -> k e. RR )
29		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( E. n e. NN x e. A /\ k e. ( 1..^inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) ) ) /\ x e. B ) -> x e. B )
30		iundisj.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = k -> A = B )
31	30	eleq2d 2516	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = k -> ( x e. A <-> x e. B ) )
32	31	elrab 3198	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. { n e. NN | x e. A } <-> ( k e. NN /\ x e. B ) )
33	27, 29, 32	sylanbrc 671	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( E. n e. NN x e. A /\ k e. ( 1..^inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) ) ) /\ x e. B ) -> k e. { n e. NN | x e. A } )
34		infssuzle 11251	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { n e. NN | x e. A } C_ ( ZZ>= ` 1 ) /\ k e. { n e. NN | x e. A } ) -> inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) <_ k )
35	3, 33, 34	sylancr 670	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( E. n e. NN x e. A /\ k e. ( 1..^inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) ) ) /\ x e. B ) -> inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) <_ k )
36		elfzolt2 11936	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 1..^inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) ) -> k < inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) )
37	36	ad2antlr 734	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( E. n e. NN x e. A /\ k e. ( 1..^inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) ) ) /\ x e. B ) -> k < inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) )
38	24, 28, 24, 35, 37	lelttrd 9798	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( E. n e. NN x e. A /\ k e. ( 1..^inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) ) ) /\ x e. B ) -> inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) < inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) )
39	38	ex 436	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E. n e. NN x e. A /\ k e. ( 1..^inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) ) ) -> ( x e. B -> inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) < inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) ) )
40	39	rexlimdva 2881	. . . . . . . . 9 |- ( E. n e. NN x e. A -> ( E. k e. ( 1..^inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) ) x e. B -> inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) < inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) ) )
41	23, 40	syl5bi 221	. . . . . . . 8 |- ( E. n e. NN x e. A -> ( x e. U_ k e. ( 1..^inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) ) B -> inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) < inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) ) )
42	22, 41	mtod 181	. . . . . . 7 |- ( E. n e. NN x e. A -> -. x e. U_ k e. ( 1..^inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) ) B )
43	20, 42	eldifd 3417	. . . . . 6 |- ( E. n e. NN x e. A -> x e. ( [_inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) ) B ) )
44		csbeq1 3368	. . . . . . . . 9 |- ( m = inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) -> [_ m / n ]_ A = [_inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) / n ]_ A )
45		oveq2 6303	. . . . . . . . . 10 |- ( m = inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) -> ( 1..^ m ) = ( 1..^inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) ) )
46	45	iuneq1d 4306	. . . . . . . . 9 |- ( m = inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) -> U_ k e. ( 1..^ m ) B = U_ k e. ( 1..^inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) ) B )
47	44, 46	difeq12d 3554	. . . . . . . 8 |- ( m = inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) -> ( [_ m / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ m ) B ) = ( [_inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) ) B ) )
48	47	eleq2d 2516	. . . . . . 7 |- ( m = inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) -> ( x e. ( [_ m / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ m ) B ) <-> x e. ( [_inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) ) B ) ) )
49	48	rspcev 3152	. . . . . 6 |- ( (inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) e. NN /\ x e. ( [_inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^inf ( { n e. NN | x e. A } , RR , < ) ) B ) ) -> E. m e. NN x e. ( [_ m / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ m ) B ) )
50	19, 43, 49	syl2anc 667	. . . . 5 |- ( E. n e. NN x e. A -> E. m e. NN x e. ( [_ m / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ m ) B ) )
51		nfv 1763	. . . . . 6 |- F/ m x e. ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B )
52		nfcsb1v 3381	. . . . . . . 8 |- F/_ n [_ m / n ]_ A
53		nfcv 2594	. . . . . . . 8 |- F/_ n U_ k e. ( 1..^ m ) B
54	52, 53	nfdif 3556	. . . . . . 7 |- F/_ n ( [_ m / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ m ) B )
55	54	nfcri 2588	. . . . . 6 |- F/ n x e. ( [_ m / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ m ) B )
56		csbeq1a 3374	. . . . . . . 8 |- ( n = m -> A = [_ m / n ]_ A )
57		oveq2 6303	. . . . . . . . 9 |- ( n = m -> ( 1..^ n ) = ( 1..^ m ) )
58	57	iuneq1d 4306	. . . . . . . 8 |- ( n = m -> U_ k e. ( 1..^ n ) B = U_ k e. ( 1..^ m ) B )
59	56, 58	difeq12d 3554	. . . . . . 7 |- ( n = m -> ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) = ( [_ m / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ m ) B ) )
60	59	eleq2d 2516	. . . . . 6 |- ( n = m -> ( x e. ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) <-> x e. ( [_ m / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ m ) B ) ) )
61	51, 55, 60	cbvrex 3018	. . . . 5 |- ( E. n e. NN x e. ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) <-> E. m e. NN x e. ( [_ m / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ m ) B ) )
62	50, 61	sylibr 216	. . . 4 |- ( E. n e. NN x e. A -> E. n e. NN x e. ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) )
63		eldifi 3557	. . . . 5 |- ( x e. ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) -> x e. A )
64	63	reximi 2857	. . . 4 |- ( E. n e. NN x e. ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) -> E. n e. NN x e. A )
65	62, 64	impbii 191	. . 3 |- ( E. n e. NN x e. A <-> E. n e. NN x e. ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) )
66		eliun 4286	. . 3 |- ( x e. U_ n e. NN A <-> E. n e. NN x e. A )
67		eliun 4286	. . 3 |- ( x e. U_ n e. NN ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) <-> E. n e. NN x e. ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) )
68	65, 66, 67	3bitr4i 281	. 2 |- ( x e. U_ n e. NN A <-> x e. U_ n e. NN ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) )
69	68	eqriv 2450	1 |- U_ n e. NN A = U_ n e. NN ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1446   e. wcel 1889   =/= wne 2624   E.wrex 2740   {crab 2743   [_csb 3365   \ cdif 3403   C_ wss 3406   (/)c0 3733   U_ciun 4281   class class class wbr 4405   ` cfv 5585  (class class class)co 6295  infcinf 7960   RRcr 9543   1c1 9545   < clt 9680   <_ cle 9681   NNcn 10616   ZZ>=cuz 11166  ..^cfzo 11922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-sup 7961  df-inf 7962  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-fzo 11923

This theorem is referenced by:  iunmbl  22518  volsup  22521  sigapildsys  28996  carsgclctunlem3  29164  voliunnfl  31996