Theorem iundisj 22084

Description: Rewrite a countable union as a disjoint union. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
iundisj.1	|- ( n = k -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
iundisj	|- U_ n e. NN A = U_ n e. NN ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B )

Distinct variable groups:   k, n   A, k   B, n

Allowed substitution hints:   A( n)   B( k)

Proof of Theorem iundisj

Dummy variables x m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3581	. . . . . . . . . 10 |- { n e. NN | x e. A } C_ NN
2		nnuz 11141	. . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
3	1, 2	sseqtri 3531	. . . . . . . . 9 |- { n e. NN | x e. A } C_ ( ZZ>= ` 1 )
4		rabn0 3814	. . . . . . . . . 10 |- ( { n e. NN | x e. A } =/= (/) <-> E. n e. NN x e. A )
5	4	biimpri 206	. . . . . . . . 9 |- ( E. n e. NN x e. A -> { n e. NN | x e. A } =/= (/) )
6		infmssuzcl 11190	. . . . . . . . 9 |- ( ( { n e. NN | x e. A } C_ ( ZZ>= ` 1 ) /\ { n e. NN | x e. A } =/= (/) ) -> sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) e. { n e. NN | x e. A } )
7	3, 5, 6	sylancr 663	. . . . . . . 8 |- ( E. n e. NN x e. A -> sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) e. { n e. NN | x e. A } )
8		nfrab1 3038	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n { n e. NN | x e. A }
9		nfcv 2619	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n RR
10		nfcv 2619	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n `' <
11	8, 9, 10	nfsup 7928	. . . . . . . . 9 |- F/_ n sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < )
12		nfcv 2619	. . . . . . . . 9 |- F/_ n NN
13	11	nfcsb1 3445	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n [_ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) / n ]_ A
14	13	nfcri 2612	. . . . . . . . 9 |- F/ n x e. [_ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) / n ]_ A
15		csbeq1a 3439	. . . . . . . . . 10 |- ( n = sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) -> A = [_ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) / n ]_ A )
16	15	eleq2d 2527	. . . . . . . . 9 |- ( n = sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) -> ( x e. A <-> x e. [_ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) / n ]_ A ) )
17	11, 12, 14, 16	elrabf 3255	. . . . . . . 8 |- ( sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) e. { n e. NN | x e. A } <-> ( sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) e. NN /\ x e. [_ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) / n ]_ A ) )
18	7, 17	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( E. n e. NN x e. A -> ( sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) e. NN /\ x e. [_ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) / n ]_ A ) )
19	18	simpld 459	. . . . . 6 |- ( E. n e. NN x e. A -> sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) e. NN )
20	18	simprd 463	. . . . . . 7 |- ( E. n e. NN x e. A -> x e. [_ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) / n ]_ A )
21	19	nnred 10571	. . . . . . . . 9 |- ( E. n e. NN x e. A -> sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) e. RR )
22	21	ltnrd 9736	. . . . . . . 8 |- ( E. n e. NN x e. A -> -. sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) < sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) )
23		eliun 4337	. . . . . . . . 9 |- ( x e. U_ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) B <-> E. k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) x e. B )
24	21	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( E. n e. NN x e. A /\ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) ) /\ x e. B ) -> sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) e. RR )
25		elfzouz 11830	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
26	25, 2	syl6eleqr 2556	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) -> k e. NN )
27	26	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( E. n e. NN x e. A /\ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) ) /\ x e. B ) -> k e. NN )
28	27	nnred 10571	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( E. n e. NN x e. A /\ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) ) /\ x e. B ) -> k e. RR )
29		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( E. n e. NN x e. A /\ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) ) /\ x e. B ) -> x e. B )
30		iundisj.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = k -> A = B )
31	30	eleq2d 2527	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = k -> ( x e. A <-> x e. B ) )
32	31	elrab 3257	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. { n e. NN | x e. A } <-> ( k e. NN /\ x e. B ) )
33	27, 29, 32	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( E. n e. NN x e. A /\ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) ) /\ x e. B ) -> k e. { n e. NN | x e. A } )
34		infmssuzle 11189	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { n e. NN | x e. A } C_ ( ZZ>= ` 1 ) /\ k e. { n e. NN | x e. A } ) -> sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) <_ k )
35	3, 33, 34	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( E. n e. NN x e. A /\ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) ) /\ x e. B ) -> sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) <_ k )
36		elfzolt2 11835	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) -> k < sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) )
37	36	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( E. n e. NN x e. A /\ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) ) /\ x e. B ) -> k < sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) )
38	24, 28, 24, 35, 37	lelttrd 9757	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( E. n e. NN x e. A /\ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) ) /\ x e. B ) -> sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) < sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) )
39	38	ex 434	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E. n e. NN x e. A /\ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) ) -> ( x e. B -> sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) < sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) )
40	39	rexlimdva 2949	. . . . . . . . 9 |- ( E. n e. NN x e. A -> ( E. k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) x e. B -> sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) < sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) )
41	23, 40	syl5bi 217	. . . . . . . 8 |- ( E. n e. NN x e. A -> ( x e. U_ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) B -> sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) < sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) )
42	22, 41	mtod 177	. . . . . . 7 |- ( E. n e. NN x e. A -> -. x e. U_ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) B )
43	20, 42	eldifd 3482	. . . . . 6 |- ( E. n e. NN x e. A -> x e. ( [_ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) B ) )
44		csbeq1 3433	. . . . . . . . 9 |- ( m = sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) -> [_ m / n ]_ A = [_ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) / n ]_ A )
45		oveq2 6304	. . . . . . . . . 10 |- ( m = sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) -> ( 1..^ m ) = ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) )
46	45	iuneq1d 4357	. . . . . . . . 9 |- ( m = sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) -> U_ k e. ( 1..^ m ) B = U_ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) B )
47	44, 46	difeq12d 3619	. . . . . . . 8 |- ( m = sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) -> ( [_ m / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ m ) B ) = ( [_ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) B ) )
48	47	eleq2d 2527	. . . . . . 7 |- ( m = sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) -> ( x e. ( [_ m / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ m ) B ) <-> x e. ( [_ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) B ) ) )
49	48	rspcev 3210	. . . . . 6 |- ( ( sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) e. NN /\ x e. ( [_ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) B ) ) -> E. m e. NN x e. ( [_ m / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ m ) B ) )
50	19, 43, 49	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( E. n e. NN x e. A -> E. m e. NN x e. ( [_ m / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ m ) B ) )
51		nfv 1708	. . . . . 6 |- F/ m x e. ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B )
52		nfcsb1v 3446	. . . . . . . 8 |- F/_ n [_ m / n ]_ A
53		nfcv 2619	. . . . . . . 8 |- F/_ n U_ k e. ( 1..^ m ) B
54	52, 53	nfdif 3621	. . . . . . 7 |- F/_ n ( [_ m / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ m ) B )
55	54	nfcri 2612	. . . . . 6 |- F/ n x e. ( [_ m / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ m ) B )
56		csbeq1a 3439	. . . . . . . 8 |- ( n = m -> A = [_ m / n ]_ A )
57		oveq2 6304	. . . . . . . . 9 |- ( n = m -> ( 1..^ n ) = ( 1..^ m ) )
58	57	iuneq1d 4357	. . . . . . . 8 |- ( n = m -> U_ k e. ( 1..^ n ) B = U_ k e. ( 1..^ m ) B )
59	56, 58	difeq12d 3619	. . . . . . 7 |- ( n = m -> ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) = ( [_ m / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ m ) B ) )
60	59	eleq2d 2527	. . . . . 6 |- ( n = m -> ( x e. ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) <-> x e. ( [_ m / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ m ) B ) ) )
61	51, 55, 60	cbvrex 3081	. . . . 5 |- ( E. n e. NN x e. ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) <-> E. m e. NN x e. ( [_ m / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ m ) B ) )
62	50, 61	sylibr 212	. . . 4 |- ( E. n e. NN x e. A -> E. n e. NN x e. ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) )
63		eldifi 3622	. . . . 5 |- ( x e. ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) -> x e. A )
64	63	reximi 2925	. . . 4 |- ( E. n e. NN x e. ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) -> E. n e. NN x e. A )
65	62, 64	impbii 188	. . 3 |- ( E. n e. NN x e. A <-> E. n e. NN x e. ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) )
66		eliun 4337	. . 3 |- ( x e. U_ n e. NN A <-> E. n e. NN x e. A )
67		eliun 4337	. . 3 |- ( x e. U_ n e. NN ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) <-> E. n e. NN x e. ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) )
68	65, 66, 67	3bitr4i 277	. 2 |- ( x e. U_ n e. NN A <-> x e. U_ n e. NN ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) )
69	68	eqriv 2453	1 |- U_ n e. NN A = U_ n e. NN ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   E.wrex 2808   {crab 2811   [_csb 3430   \ cdif 3468   C_ wss 3471   (/)c0 3793   U_ciun 4332   class class class wbr 4456   `'ccnv 5007   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   supcsup 7918   RRcr 9508   1c1 9510   < clt 9645   <_ cle 9646   NNcn 10556   ZZ>=cuz 11106  ..^cfzo 11821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822

This theorem is referenced by:  iunmbl  22089  volsup  22092  carsgclctunlem3  28462  voliunnfl  30263