Theorem iundisj 21041

Description: Rewrite a countable union as a disjoint union. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
iundisj.1	|- ( n = k -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
iundisj	|- U_ n e. NN A = U_ n e. NN ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B )

Distinct variable groups:   k, n   A, k   B, n

Allowed substitution hints:   A( n)   B( k)

Proof of Theorem iundisj

Dummy variables x m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3449	. . . . . . . . . 10 |- { n e. NN | x e. A } C_ NN
2		nnuz 10908	. . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
3	1, 2	sseqtri 3400	. . . . . . . . 9 |- { n e. NN | x e. A } C_ ( ZZ>= ` 1 )
4		rabn0 3669	. . . . . . . . . 10 |- ( { n e. NN | x e. A } =/= (/) <-> E. n e. NN x e. A )
5	4	biimpri 206	. . . . . . . . 9 |- ( E. n e. NN x e. A -> { n e. NN | x e. A } =/= (/) )
6		infmssuzcl 10950	. . . . . . . . 9 |- ( ( { n e. NN | x e. A } C_ ( ZZ>= ` 1 ) /\ { n e. NN | x e. A } =/= (/) ) -> sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) e. { n e. NN | x e. A } )
7	3, 5, 6	sylancr 663	. . . . . . . 8 |- ( E. n e. NN x e. A -> sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) e. { n e. NN | x e. A } )
8		nfrab1 2913	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n { n e. NN | x e. A }
9		nfcv 2589	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n RR
10		nfcv 2589	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n `' <
11	8, 9, 10	nfsup 7713	. . . . . . . . 9 |- F/_ n sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < )
12		nfcv 2589	. . . . . . . . 9 |- F/_ n NN
13	11	nfcsb1 3315	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n [_ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) / n ]_ A
14	13	nfcri 2582	. . . . . . . . 9 |- F/ n x e. [_ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) / n ]_ A
15		csbeq1a 3309	. . . . . . . . . 10 |- ( n = sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) -> A = [_ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) / n ]_ A )
16	15	eleq2d 2510	. . . . . . . . 9 |- ( n = sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) -> ( x e. A <-> x e. [_ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) / n ]_ A ) )
17	11, 12, 14, 16	elrabf 3127	. . . . . . . 8 |- ( sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) e. { n e. NN | x e. A } <-> ( sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) e. NN /\ x e. [_ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) / n ]_ A ) )
18	7, 17	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( E. n e. NN x e. A -> ( sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) e. NN /\ x e. [_ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) / n ]_ A ) )
19	18	simpld 459	. . . . . 6 |- ( E. n e. NN x e. A -> sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) e. NN )
20	18	simprd 463	. . . . . . 7 |- ( E. n e. NN x e. A -> x e. [_ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) / n ]_ A )
21	19	nnred 10349	. . . . . . . . 9 |- ( E. n e. NN x e. A -> sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) e. RR )
22	21	ltnrd 9520	. . . . . . . 8 |- ( E. n e. NN x e. A -> -. sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) < sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) )
23		eliun 4187	. . . . . . . . 9 |- ( x e. U_ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) B <-> E. k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) x e. B )
24	21	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( E. n e. NN x e. A /\ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) ) /\ x e. B ) -> sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) e. RR )
25		elfzouz 11569	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
26	25, 2	syl6eleqr 2534	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) -> k e. NN )
27	26	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( E. n e. NN x e. A /\ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) ) /\ x e. B ) -> k e. NN )
28	27	nnred 10349	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( E. n e. NN x e. A /\ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) ) /\ x e. B ) -> k e. RR )
29		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( E. n e. NN x e. A /\ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) ) /\ x e. B ) -> x e. B )
30		iundisj.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = k -> A = B )
31	30	eleq2d 2510	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = k -> ( x e. A <-> x e. B ) )
32	31	elrab 3129	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. { n e. NN | x e. A } <-> ( k e. NN /\ x e. B ) )
33	27, 29, 32	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( E. n e. NN x e. A /\ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) ) /\ x e. B ) -> k e. { n e. NN | x e. A } )
34		infmssuzle 10949	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { n e. NN | x e. A } C_ ( ZZ>= ` 1 ) /\ k e. { n e. NN | x e. A } ) -> sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) <_ k )
35	3, 33, 34	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( E. n e. NN x e. A /\ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) ) /\ x e. B ) -> sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) <_ k )
36		elfzolt2 11573	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) -> k < sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) )
37	36	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( E. n e. NN x e. A /\ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) ) /\ x e. B ) -> k < sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) )
38	24, 28, 24, 35, 37	lelttrd 9541	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( E. n e. NN x e. A /\ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) ) /\ x e. B ) -> sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) < sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) )
39	38	ex 434	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E. n e. NN x e. A /\ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) ) -> ( x e. B -> sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) < sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) )
40	39	rexlimdva 2853	. . . . . . . . 9 |- ( E. n e. NN x e. A -> ( E. k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) x e. B -> sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) < sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) )
41	23, 40	syl5bi 217	. . . . . . . 8 |- ( E. n e. NN x e. A -> ( x e. U_ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) B -> sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) < sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) )
42	22, 41	mtod 177	. . . . . . 7 |- ( E. n e. NN x e. A -> -. x e. U_ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) B )
43	20, 42	eldifd 3351	. . . . . 6 |- ( E. n e. NN x e. A -> x e. ( [_ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) B ) )
44		csbeq1 3303	. . . . . . . . 9 |- ( m = sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) -> [_ m / n ]_ A = [_ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) / n ]_ A )
45		oveq2 6111	. . . . . . . . . 10 |- ( m = sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) -> ( 1..^ m ) = ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) )
46	45	iuneq1d 4207	. . . . . . . . 9 |- ( m = sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) -> U_ k e. ( 1..^ m ) B = U_ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) B )
47	44, 46	difeq12d 3487	. . . . . . . 8 |- ( m = sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) -> ( [_ m / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ m ) B ) = ( [_ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) B ) )
48	47	eleq2d 2510	. . . . . . 7 |- ( m = sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) -> ( x e. ( [_ m / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ m ) B ) <-> x e. ( [_ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) B ) ) )
49	48	rspcev 3085	. . . . . 6 |- ( ( sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) e. NN /\ x e. ( [_ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ sup ( { n e. NN | x e. A } , RR , `' < ) ) B ) ) -> E. m e. NN x e. ( [_ m / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ m ) B ) )
50	19, 43, 49	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( E. n e. NN x e. A -> E. m e. NN x e. ( [_ m / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ m ) B ) )
51		nfv 1673	. . . . . 6 |- F/ m x e. ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B )
52		nfcsb1v 3316	. . . . . . . 8 |- F/_ n [_ m / n ]_ A
53		nfcv 2589	. . . . . . . 8 |- F/_ n U_ k e. ( 1..^ m ) B
54	52, 53	nfdif 3489	. . . . . . 7 |- F/_ n ( [_ m / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ m ) B )
55	54	nfcri 2582	. . . . . 6 |- F/ n x e. ( [_ m / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ m ) B )
56		csbeq1a 3309	. . . . . . . 8 |- ( n = m -> A = [_ m / n ]_ A )
57		oveq2 6111	. . . . . . . . 9 |- ( n = m -> ( 1..^ n ) = ( 1..^ m ) )
58	57	iuneq1d 4207	. . . . . . . 8 |- ( n = m -> U_ k e. ( 1..^ n ) B = U_ k e. ( 1..^ m ) B )
59	56, 58	difeq12d 3487	. . . . . . 7 |- ( n = m -> ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) = ( [_ m / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ m ) B ) )
60	59	eleq2d 2510	. . . . . 6 |- ( n = m -> ( x e. ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) <-> x e. ( [_ m / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ m ) B ) ) )
61	51, 55, 60	cbvrex 2956	. . . . 5 |- ( E. n e. NN x e. ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) <-> E. m e. NN x e. ( [_ m / n ]_ A \ U_ k e. ( 1..^ m ) B ) )
62	50, 61	sylibr 212	. . . 4 |- ( E. n e. NN x e. A -> E. n e. NN x e. ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) )
63		eldifi 3490	. . . . 5 |- ( x e. ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) -> x e. A )
64	63	reximi 2835	. . . 4 |- ( E. n e. NN x e. ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) -> E. n e. NN x e. A )
65	62, 64	impbii 188	. . 3 |- ( E. n e. NN x e. A <-> E. n e. NN x e. ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) )
66		eliun 4187	. . 3 |- ( x e. U_ n e. NN A <-> E. n e. NN x e. A )
67		eliun 4187	. . 3 |- ( x e. U_ n e. NN ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) <-> E. n e. NN x e. ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) )
68	65, 66, 67	3bitr4i 277	. 2 |- ( x e. U_ n e. NN A <-> x e. U_ n e. NN ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B ) )
69	68	eqriv 2440	1 |- U_ n e. NN A = U_ n e. NN ( A \ U_ k e. ( 1..^ n ) B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2618   E.wrex 2728   {crab 2731   [_csb 3300   \ cdif 3337   C_ wss 3340   (/)c0 3649   U_ciun 4183   class class class wbr 4304   `'ccnv 4851   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   supcsup 7702   RRcr 9293   1c1 9295   < clt 9430   <_ cle 9431   NNcn 10334   ZZ>=cuz 10873  ..^cfzo 11560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-sup 7703  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-fz 11450  df-fzo 11561

This theorem is referenced by:  iunmbl  21046  volsup  21049  voliunnfl  28447