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Theorem iunconlem2 37305
Description: The indexed union of connected overlapping subspaces sharing a common point is connected. This proof was automatically derived by completeusersproof from its Virtual Deduction proof counterpart http://us.metamath.org/other/completeusersproof/iunconlem2vd.html. As it is verified by the Metamath program, iunconlem2 37305 verifies http://us.metamath.org/other/completeusersproof/iunconlem2vd.html. (Contributed by Alan Sare, 22-Apr-2018.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
iunconlem2.1  |-  ( ps  <->  ( ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J )  /\  (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B
) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) ) )
iunconlem2.2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
iunconlem2.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  C_  X )
iunconlem2.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  P  e.  B )
iunconlem2.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( Jt  B )  e.  Con )
Assertion
Ref Expression
iunconlem2  |-  ( ph  ->  ( Jt  U_ k  e.  A  B )  e.  Con )
Distinct variable groups:    u, k,
v, ph    A, k, u, v    u, B, v   
k, J, u, v    P, k    k, X, u, v
Allowed substitution hints:    ps( v, u, k)    B( k)    P( v, u)

Proof of Theorem iunconlem2
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iunconlem2.2 . 2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 iunconlem2.3 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  C_  X )
32ex 435 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  B  C_  X )
)
43ralrimiv 2834 . . 3  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  C_  X )
5 iunss 4340 . . . 4  |-  ( U_ k  e.  A  B  C_  X  <->  A. k  e.  A  B  C_  X )
65biimpri 209 . . 3  |-  ( A. k  e.  A  B  C_  X  ->  U_ k  e.  A  B  C_  X
)
74, 6syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  A  B  C_  X )
8 iunconlem2.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ps  <->  ( ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J )  /\  (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B
) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) ) )
98biimpi 197 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ps 
->  ( ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J
)  /\  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  ( v  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/) )  /\  ( u  i^i  v
)  C_  ( X  \ 
U_ k  e.  A  B ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) ) )
109simprd 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ps 
->  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v ) )
11 simp-4r 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J )  /\  (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B
) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) )  ->  (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )
129, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ps 
->  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/) )
13 n0 3771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  <->  E. w  w  e.  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B
) )
1413biimpi 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  ->  E. w  w  e.  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B ) )
1512, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ps 
->  E. w  w  e.  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B
) )
16 inss2 3683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  C_  U_ k  e.  A  B
17 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  e.  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  ->  w  e.  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B
) )
1816, 17sseldi 3462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  ->  w  e.  U_ k  e.  A  B )
19 eliun 4304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  e.  U_ k  e.  A  B  <->  E. k  e.  A  w  e.  B )
2019biimpi 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  U_ k  e.  A  B  ->  E. k  e.  A  w  e.  B )
2118, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  ->  E. k  e.  A  w  e.  B )
22 rexn0 3902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E. k  e.  A  w  e.  B  ->  A  =/=  (/) )
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  ->  A  =/=  (/) )
2423exlimiv 1770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. w  w  e.  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  ->  A  =/=  (/) )
2515, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ps 
->  A  =/=  (/) )
26 nfv 1755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/ k ( ph  /\  u  e.  J )
27 nfv 1755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/ k  v  e.  J
2826, 27nfan 1988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/ k ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J
)
29 nfcv 2580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F/_ k
u
30 nfiu1 4329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F/_ k U_ k  e.  A  B
3129, 30nfin 3669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/_ k
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)
32 nfcv 2580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/_ k (/)
3331, 32nfne 2752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/ k ( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)
3428, 33nfan 1988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ k ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J
)  /\  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )
35 nfcv 2580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/_ k
v
3635, 30nfin 3669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/_ k
( v  i^i  U_ k  e.  A  B
)
3736, 32nfne 2752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ k ( v  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)
3834, 37nfan 1988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ k ( ( ( (
ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J )  /\  (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )
39 nfcv 2580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ k
( u  i^i  v
)
40 nfcv 2580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/_ k X
4140, 30nfdif 3586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ k
( X  \  U_ k  e.  A  B
)
4239, 41nfss 3457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ k ( u  i^i  v
)  C_  ( X  \ 
U_ k  e.  A  B )
4338, 42nfan 1988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ k ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J )  /\  (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B
) )
44 nfcv 2580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ k
( u  u.  v
)
4530, 44nfss 3457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ k
U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v )
4643, 45nfan 1988 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ k ( ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J
)  /\  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  ( v  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/) )  /\  ( u  i^i  v
)  C_  ( X  \ 
U_ k  e.  A  B ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) )
478nfbii 1689 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F/ k ps  <->  F/ k
( ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J
)  /\  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  ( v  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/) )  /\  ( u  i^i  v
)  C_  ( X  \ 
U_ k  e.  A  B ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) ) )
4846, 47mpbir 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ k ps
49 simp-6l 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J )  /\  (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B
) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) )  ->  ph )
509, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ps 
->  ph )
51 iunconlem2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  P  e.  B )
5250, 51sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ps  /\  k  e.  A )  ->  P  e.  B )
5352ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ps 
->  ( k  e.  A  ->  P  e.  B ) )
5448, 53ralrimi 2822 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ps 
->  A. k  e.  A  P  e.  B )
55 r19.2z 3888 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. k  e.  A  P  e.  B )  ->  E. k  e.  A  P  e.  B )
5655ancoms 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. k  e.  A  P  e.  B  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. k  e.  A  P  e.  B )
5756ancoms 454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. k  e.  A  P  e.  B )  ->  E. k  e.  A  P  e.  B )
5825, 54, 57syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ps 
->  E. k  e.  A  P  e.  B )
59 eliun 4304 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P  e.  U_ k  e.  A  B  <->  E. k  e.  A  P  e.  B )
6059biimpri 209 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. k  e.  A  P  e.  B  ->  P  e. 
U_ k  e.  A  B )
6158, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ps 
->  P  e.  U_ k  e.  A  B )
6210, 61sseldd 3465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ps 
->  P  e.  (
u  u.  v ) )
63 elun 3606 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  ( u  u.  v )  <->  ( P  e.  u  \/  P  e.  v ) )
6463biimpi 197 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  ( u  u.  v )  ->  ( P  e.  u  \/  P  e.  v )
)
6562, 64syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ps 
->  ( P  e.  u  \/  P  e.  v
) )
668, 65sylbir 216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J )  /\  (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B
) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) )  ->  ( P  e.  u  \/  P  e.  v )
)
6750, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ps 
->  J  e.  (TopOn `  X ) )
6850, 2sylan 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ps  /\  k  e.  A )  ->  B  C_  X )
69 iunconlem2.5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( Jt  B )  e.  Con )
7050, 69sylan 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ps  /\  k  e.  A )  ->  ( Jt  B )  e.  Con )
71 simp-6r 779 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J )  /\  (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B
) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) )  ->  u  e.  J )
729, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ps 
->  u  e.  J
)
73 simp-5r 777 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J )  /\  (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B
) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) )  ->  v  e.  J )
749, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ps 
->  v  e.  J
)
75 simpllr 767 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J )  /\  (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B
) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) )  ->  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )
769, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ps 
->  ( v  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/) )
77 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J )  /\  (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B
) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) )  ->  (
u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B
) )
789, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ps 
->  ( u  i^i  v
)  C_  ( X  \ 
U_ k  e.  A  B ) )
7967, 68, 52, 70, 72, 74, 76, 78, 10, 48iunconlem 20440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ps 
->  -.  P  e.  u
)
80 incom 3655 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  i^i  u )  =  ( u  i^i  v
)
8180, 78syl5eqss 3508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ps 
->  ( v  i^i  u
)  C_  ( X  \ 
U_ k  e.  A  B ) )
82 uncom 3610 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  u.  u )  =  ( u  u.  v
)
8310, 82syl6sseqr 3511 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ps 
->  U_ k  e.  A  B  C_  ( v  u.  u ) )
8467, 68, 52, 70, 74, 72, 12, 81, 83, 48iunconlem 20440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ps 
->  -.  P  e.  v )
85 pm4.56 497 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -.  P  e.  u  /\  -.  P  e.  v )  <->  -.  ( P  e.  u  \/  P  e.  v ) )
8685biimpi 197 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  P  e.  u  /\  -.  P  e.  v )  ->  -.  ( P  e.  u  \/  P  e.  v )
)
8786idiALT 36802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  P  e.  u  /\  -.  P  e.  v )  ->  -.  ( P  e.  u  \/  P  e.  v )
)
8879, 84, 87syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ps 
->  -.  ( P  e.  u  \/  P  e.  v ) )
898, 88sylbir 216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J )  /\  (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B
) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) )  ->  -.  ( P  e.  u  \/  P  e.  v
) )
9066, 89pm2.65da 578 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J )  /\  (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B
) )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) )
9190ex 435 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J
)  /\  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  ( v  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/) )  -> 
( ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v ) ) )
9291ex 435 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J
)  /\  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  -> 
( ( v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  ->  (
( u  i^i  v
)  C_  ( X  \ 
U_ k  e.  A  B )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) ) ) )
9392ex3 36908 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J  /\  v  e.  J
)  ->  ( (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  ->  ( ( v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  ->  (
( u  i^i  v
)  C_  ( X  \ 
U_ k  e.  A  B )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) ) ) ) )
94933impd 1219 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J  /\  v  e.  J
)  ->  ( (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) ) )
95943expia 1207 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  (
v  e.  J  -> 
( ( ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) ) ) )
9695ex 435 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( u  e.  J  ->  ( v  e.  J  ->  ( ( ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) ) ) ) )
9796impd 432 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  J  /\  v  e.  J )  ->  (
( ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) ) ) )
9897ralrimivv 2842 . 2  |-  ( ph  ->  A. u  e.  J  A. v  e.  J  ( ( ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) ) )
99 connsub 20434 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  X )  ->  (
( Jt  U_ k  e.  A  B )  e.  Con  <->  A. u  e.  J  A. v  e.  J  (
( ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) ) ) )
10099biimp3ar 1365 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  X  /\  A. u  e.  J  A. v  e.  J  ( (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) ) )  ->  ( Jt  U_ k  e.  A  B
)  e.  Con )
1011, 7, 98, 100syl3anc 1264 1  |-  ( ph  ->  ( Jt  U_ k  e.  A  B )  e.  Con )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982   E.wex 1657   F/wnf 1661    e. wcel 1872    =/= wne 2614   A.wral 2771   E.wrex 2772    \ cdif 3433    u. cun 3434    i^i cin 3435    C_ wss 3436   (/)c0 3761   U_ciun 4299   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   ↾t crest 15318  TopOnctopon 19916   Conccon 20424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-oadd 7197  df-er 7374  df-en 7581  df-fin 7584  df-fi 7934  df-rest 15320  df-topgen 15341  df-top 19919  df-bases 19920  df-topon 19921  df-cld 20032  df-con 20425
This theorem is referenced by:  iunconALT  37306
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