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Theorem iunconlem2 36747
Description: The indexed union of connected overlapping subspaces sharing a common point is connected. This proof was automatically derived by completeusersproof from its Virtual Deduction proof counterpart http://us.metamath.org/other/completeusersproof/iunconlem2vd.html. As it is verified by the Metamath program, iunconlem2 36747 verifies http://us.metamath.org/other/completeusersproof/iunconlem2vd.html. (Contributed by Alan Sare, 22-Apr-2018.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
iunconlem2.1  |-  ( ps  <->  ( ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J )  /\  (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B
) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) ) )
iunconlem2.2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
iunconlem2.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  C_  X )
iunconlem2.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  P  e.  B )
iunconlem2.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( Jt  B )  e.  Con )
Assertion
Ref Expression
iunconlem2  |-  ( ph  ->  ( Jt  U_ k  e.  A  B )  e.  Con )
Distinct variable groups:    u, k,
v, ph    A, k, u, v    u, B, v   
k, J, u, v    P, k    k, X, u, v
Allowed substitution hints:    ps( v, u, k)    B( k)    P( v, u)

Proof of Theorem iunconlem2
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iunconlem2.2 . 2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 iunconlem2.3 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  C_  X )
32ex 432 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  B  C_  X )
)
43ralrimiv 2815 . . 3  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  C_  X )
5 iunss 4311 . . . 4  |-  ( U_ k  e.  A  B  C_  X  <->  A. k  e.  A  B  C_  X )
65biimpri 206 . . 3  |-  ( A. k  e.  A  B  C_  X  ->  U_ k  e.  A  B  C_  X
)
74, 6syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  A  B  C_  X )
8 iunconlem2.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ps  <->  ( ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J )  /\  (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B
) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) ) )
98biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ps 
->  ( ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J
)  /\  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  ( v  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/) )  /\  ( u  i^i  v
)  C_  ( X  \ 
U_ k  e.  A  B ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) ) )
109simprd 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ps 
->  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v ) )
11 simp-4r 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J )  /\  (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B
) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) )  ->  (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )
129, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ps 
->  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/) )
13 n0 3747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  <->  E. w  w  e.  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B
) )
1413biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  ->  E. w  w  e.  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B ) )
1512, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ps 
->  E. w  w  e.  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B
) )
16 inss2 3659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  C_  U_ k  e.  A  B
17 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  e.  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  ->  w  e.  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B
) )
1816, 17sseldi 3439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  ->  w  e.  U_ k  e.  A  B )
19 eliun 4275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  e.  U_ k  e.  A  B  <->  E. k  e.  A  w  e.  B )
2019biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  U_ k  e.  A  B  ->  E. k  e.  A  w  e.  B )
2118, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  ->  E. k  e.  A  w  e.  B )
22 rexn0 3875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E. k  e.  A  w  e.  B  ->  A  =/=  (/) )
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  ->  A  =/=  (/) )
2423exlimiv 1743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. w  w  e.  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  ->  A  =/=  (/) )
2515, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ps 
->  A  =/=  (/) )
26 nfv 1728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/ k ( ph  /\  u  e.  J )
27 nfv 1728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/ k  v  e.  J
2826, 27nfan 1956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/ k ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J
)
29 nfcv 2564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F/_ k
u
30 nfiu1 4300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F/_ k U_ k  e.  A  B
3129, 30nfin 3645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/_ k
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)
32 nfcv 2564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/_ k (/)
3331, 32nfne 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/ k ( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)
3428, 33nfan 1956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ k ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J
)  /\  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )
35 nfcv 2564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/_ k
v
3635, 30nfin 3645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/_ k
( v  i^i  U_ k  e.  A  B
)
3736, 32nfne 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ k ( v  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)
3834, 37nfan 1956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ k ( ( ( (
ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J )  /\  (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )
39 nfcv 2564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ k
( u  i^i  v
)
40 nfcv 2564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/_ k X
4140, 30nfdif 3563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ k
( X  \  U_ k  e.  A  B
)
4239, 41nfss 3434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ k ( u  i^i  v
)  C_  ( X  \ 
U_ k  e.  A  B )
4338, 42nfan 1956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ k ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J )  /\  (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B
) )
44 nfcv 2564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ k
( u  u.  v
)
4530, 44nfss 3434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ k
U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v )
4643, 45nfan 1956 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ k ( ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J
)  /\  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  ( v  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/) )  /\  ( u  i^i  v
)  C_  ( X  \ 
U_ k  e.  A  B ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) )
478nfbii 1665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F/ k ps  <->  F/ k
( ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J
)  /\  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  ( v  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/) )  /\  ( u  i^i  v
)  C_  ( X  \ 
U_ k  e.  A  B ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) ) )
4846, 47mpbir 209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ k ps
49 simp-6l 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J )  /\  (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B
) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) )  ->  ph )
509, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ps 
->  ph )
51 iunconlem2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  P  e.  B )
5250, 51sylan 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ps  /\  k  e.  A )  ->  P  e.  B )
5352ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ps 
->  ( k  e.  A  ->  P  e.  B ) )
5448, 53ralrimi 2803 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ps 
->  A. k  e.  A  P  e.  B )
55 r19.2z 3861 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. k  e.  A  P  e.  B )  ->  E. k  e.  A  P  e.  B )
5655ancoms 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. k  e.  A  P  e.  B  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. k  e.  A  P  e.  B )
5756ancoms 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. k  e.  A  P  e.  B )  ->  E. k  e.  A  P  e.  B )
5825, 54, 57syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ps 
->  E. k  e.  A  P  e.  B )
59 eliun 4275 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P  e.  U_ k  e.  A  B  <->  E. k  e.  A  P  e.  B )
6059biimpri 206 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. k  e.  A  P  e.  B  ->  P  e. 
U_ k  e.  A  B )
6158, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ps 
->  P  e.  U_ k  e.  A  B )
6210, 61sseldd 3442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ps 
->  P  e.  (
u  u.  v ) )
63 elun 3583 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  ( u  u.  v )  <->  ( P  e.  u  \/  P  e.  v ) )
6463biimpi 194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  ( u  u.  v )  ->  ( P  e.  u  \/  P  e.  v )
)
6562, 64syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ps 
->  ( P  e.  u  \/  P  e.  v
) )
668, 65sylbir 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J )  /\  (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B
) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) )  ->  ( P  e.  u  \/  P  e.  v )
)
6750, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ps 
->  J  e.  (TopOn `  X ) )
6850, 2sylan 469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ps  /\  k  e.  A )  ->  B  C_  X )
69 iunconlem2.5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( Jt  B )  e.  Con )
7050, 69sylan 469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ps  /\  k  e.  A )  ->  ( Jt  B )  e.  Con )
71 simp-6r 773 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J )  /\  (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B
) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) )  ->  u  e.  J )
729, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ps 
->  u  e.  J
)
73 simp-5r 771 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J )  /\  (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B
) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) )  ->  v  e.  J )
749, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ps 
->  v  e.  J
)
75 simpllr 761 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J )  /\  (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B
) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) )  ->  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )
769, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ps 
->  ( v  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/) )
77 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J )  /\  (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B
) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) )  ->  (
u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B
) )
789, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ps 
->  ( u  i^i  v
)  C_  ( X  \ 
U_ k  e.  A  B ) )
7967, 68, 52, 70, 72, 74, 76, 78, 10, 48iunconlem 20112 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ps 
->  -.  P  e.  u
)
80 incom 3631 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  i^i  u )  =  ( u  i^i  v
)
8180, 78syl5eqss 3485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ps 
->  ( v  i^i  u
)  C_  ( X  \ 
U_ k  e.  A  B ) )
82 uncom 3586 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  u.  u )  =  ( u  u.  v
)
8310, 82syl6sseqr 3488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ps 
->  U_ k  e.  A  B  C_  ( v  u.  u ) )
8467, 68, 52, 70, 74, 72, 12, 81, 83, 48iunconlem 20112 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ps 
->  -.  P  e.  v )
85 pm4.56 493 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -.  P  e.  u  /\  -.  P  e.  v )  <->  -.  ( P  e.  u  \/  P  e.  v ) )
8685biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  P  e.  u  /\  -.  P  e.  v )  ->  -.  ( P  e.  u  \/  P  e.  v )
)
8786idiALT 36217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  P  e.  u  /\  -.  P  e.  v )  ->  -.  ( P  e.  u  \/  P  e.  v )
)
8879, 84, 87syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ps 
->  -.  ( P  e.  u  \/  P  e.  v ) )
898, 88sylbir 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J )  /\  (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B
) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) )  ->  -.  ( P  e.  u  \/  P  e.  v
) )
9066, 89pm2.65da 574 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J )  /\  (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B
) )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) )
9190ex 432 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J
)  /\  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  ( v  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/) )  -> 
( ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v ) ) )
9291ex 432 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J
)  /\  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  -> 
( ( v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  ->  (
( u  i^i  v
)  C_  ( X  \ 
U_ k  e.  A  B )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) ) ) )
9392ex3 36349 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J  /\  v  e.  J
)  ->  ( (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  ->  ( ( v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  ->  (
( u  i^i  v
)  C_  ( X  \ 
U_ k  e.  A  B )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) ) ) ) )
94933impd 1211 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J  /\  v  e.  J
)  ->  ( (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) ) )
95943expia 1199 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  (
v  e.  J  -> 
( ( ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) ) ) )
9695ex 432 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( u  e.  J  ->  ( v  e.  J  ->  ( ( ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) ) ) ) )
9796impd 429 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  J  /\  v  e.  J )  ->  (
( ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) ) ) )
9897ralrimivv 2823 . 2  |-  ( ph  ->  A. u  e.  J  A. v  e.  J  ( ( ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) ) )
99 connsub 20106 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  X )  ->  (
( Jt  U_ k  e.  A  B )  e.  Con  <->  A. u  e.  J  A. v  e.  J  (
( ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) ) ) )
10099biimp3ar 1331 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  X  /\  A. u  e.  J  A. v  e.  J  ( (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) ) )  ->  ( Jt  U_ k  e.  A  B
)  e.  Con )
1011, 7, 98, 100syl3anc 1230 1  |-  ( ph  ->  ( Jt  U_ k  e.  A  B )  e.  Con )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 974   E.wex 1633   F/wnf 1637    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2753   E.wrex 2754    \ cdif 3410    u. cun 3411    i^i cin 3412    C_ wss 3413   (/)c0 3737   U_ciun 4270   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   ↾t crest 14927  TopOnctopon 19579   Conccon 20096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-oadd 7091  df-er 7268  df-en 7475  df-fin 7478  df-fi 7825  df-rest 14929  df-topgen 14950  df-top 19583  df-bases 19585  df-topon 19586  df-cld 19704  df-con 20097
This theorem is referenced by:  iunconALT  36748
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