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Theorem iunconlem2 31505
Description: The indexed union of connected overlapping subspaces sharing a common point is connected. This proof was automatically derived by completeusersproof from its Virtual Deduction proof counterpart http://us.metamath.org/other/completeusersproof/iunconlem2vd.html. As it is verified by the Metamath program, iunconlem2 31505 verifies http://us.metamath.org/other/completeusersproof/iunconlem2vd.html. (Contributed by Alan Sare, 22-Apr-2018.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
iunconlem2.1  |-  ( ps  <->  ( ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J )  /\  (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B
) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) ) )
iunconlem2.2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
iunconlem2.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  C_  X )
iunconlem2.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  P  e.  B )
iunconlem2.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( Jt  B )  e.  Con )
Assertion
Ref Expression
iunconlem2  |-  ( ph  ->  ( Jt  U_ k  e.  A  B )  e.  Con )
Distinct variable groups:    u, k,
v, ph    A, k, u, v    u, B, v   
k, J, u, v    P, k    k, X, u, v
Allowed substitution hints:    ps( v, u, k)    B( k)    P( v, u)

Proof of Theorem iunconlem2
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iunconlem2.2 . 2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 iunconlem2.3 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  C_  X )
32ex 434 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  B  C_  X )
)
43ralrimiv 2796 . . 3  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  C_  X )
5 iunss 4208 . . . 4  |-  ( U_ k  e.  A  B  C_  X  <->  A. k  e.  A  B  C_  X )
65biimpri 206 . . 3  |-  ( A. k  e.  A  B  C_  X  ->  U_ k  e.  A  B  C_  X
)
74, 6syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  A  B  C_  X )
8 iunconlem2.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ps  <->  ( ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J )  /\  (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B
) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) ) )
98biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ps 
->  ( ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J
)  /\  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  ( v  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/) )  /\  ( u  i^i  v
)  C_  ( X  \ 
U_ k  e.  A  B ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) ) )
109simprd 460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ps 
->  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v ) )
11 simp-4r 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J )  /\  (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B
) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) )  ->  (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )
129, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ps 
->  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/) )
13 n0 3643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  <->  E. w  w  e.  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B
) )
1413biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  ->  E. w  w  e.  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B ) )
1512, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ps 
->  E. w  w  e.  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B
) )
16 inss2 3568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  C_  U_ k  e.  A  B
17 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  e.  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  ->  w  e.  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B
) )
1816, 17sseldi 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  ->  w  e.  U_ k  e.  A  B )
19 eliun 4172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  e.  U_ k  e.  A  B  <->  E. k  e.  A  w  e.  B )
2019biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  U_ k  e.  A  B  ->  E. k  e.  A  w  e.  B )
2118, 20syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  ->  E. k  e.  A  w  e.  B )
22 rexn0 3779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E. k  e.  A  w  e.  B  ->  A  =/=  (/) )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  ->  A  =/=  (/) )
2423exlimiv 1693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. w  w  e.  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  ->  A  =/=  (/) )
2515, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ps 
->  A  =/=  (/) )
26 nfv 1678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/ k ( ph  /\  u  e.  J )
27 nfv 1678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/ k  v  e.  J
2826, 27nfan 1865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/ k ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J
)
29 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F/_ k
u
30 nfiu1 4197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F/_ k U_ k  e.  A  B
3129, 30nfin 3554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/_ k
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)
32 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/_ k (/)
3331, 32nfne 2701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/ k ( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)
3428, 33nfan 1865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ k ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J
)  /\  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )
35 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/_ k
v
3635, 30nfin 3554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/_ k
( v  i^i  U_ k  e.  A  B
)
3736, 32nfne 2701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ k ( v  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)
3834, 37nfan 1865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ k ( ( ( (
ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J )  /\  (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )
39 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ k
( u  i^i  v
)
40 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/_ k X
4140, 30nfdif 3474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ k
( X  \  U_ k  e.  A  B
)
4239, 41nfss 3346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ k ( u  i^i  v
)  C_  ( X  \ 
U_ k  e.  A  B )
4338, 42nfan 1865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ k ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J )  /\  (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B
) )
44 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ k
( u  u.  v
)
4530, 44nfss 3346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ k
U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v )
4643, 45nfan 1865 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ k ( ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J
)  /\  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  ( v  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/) )  /\  ( u  i^i  v
)  C_  ( X  \ 
U_ k  e.  A  B ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) )
478nfbii 1619 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F/ k ps  <->  F/ k
( ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J
)  /\  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  ( v  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/) )  /\  ( u  i^i  v
)  C_  ( X  \ 
U_ k  e.  A  B ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) ) )
4846, 47mpbir 209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ k ps
49 simp-6l 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J )  /\  (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B
) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) )  ->  ph )
509, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ps 
->  ph )
51 iunconlem2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  P  e.  B )
5250, 51sylan 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ps  /\  k  e.  A )  ->  P  e.  B )
5352ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ps 
->  ( k  e.  A  ->  P  e.  B ) )
5448, 53ralrimi 2795 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ps 
->  A. k  e.  A  P  e.  B )
55 r19.2z 3766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. k  e.  A  P  e.  B )  ->  E. k  e.  A  P  e.  B )
5655ancoms 450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. k  e.  A  P  e.  B  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. k  e.  A  P  e.  B )
5756ancoms 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. k  e.  A  P  e.  B )  ->  E. k  e.  A  P  e.  B )
5825, 54, 57syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ps 
->  E. k  e.  A  P  e.  B )
59 eliun 4172 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P  e.  U_ k  e.  A  B  <->  E. k  e.  A  P  e.  B )
6059biimpri 206 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. k  e.  A  P  e.  B  ->  P  e. 
U_ k  e.  A  B )
6158, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ps 
->  P  e.  U_ k  e.  A  B )
6210, 61sseldd 3354 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ps 
->  P  e.  (
u  u.  v ) )
63 elun 3494 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  ( u  u.  v )  <->  ( P  e.  u  \/  P  e.  v ) )
6463biimpi 194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  ( u  u.  v )  ->  ( P  e.  u  \/  P  e.  v )
)
6562, 64syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ps 
->  ( P  e.  u  \/  P  e.  v
) )
668, 65sylbir 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J )  /\  (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B
) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) )  ->  ( P  e.  u  \/  P  e.  v )
)
6750, 1syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ps 
->  J  e.  (TopOn `  X ) )
6850, 2sylan 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ps  /\  k  e.  A )  ->  B  C_  X )
69 iunconlem2.5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( Jt  B )  e.  Con )
7050, 69sylan 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ps  /\  k  e.  A )  ->  ( Jt  B )  e.  Con )
71 simp-6r 765 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J )  /\  (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B
) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) )  ->  u  e.  J )
729, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ps 
->  u  e.  J
)
73 simp-5r 763 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J )  /\  (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B
) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) )  ->  v  e.  J )
749, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ps 
->  v  e.  J
)
75 simpllr 753 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J )  /\  (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B
) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) )  ->  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )
769, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ps 
->  ( v  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/) )
77 simplr 749 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J )  /\  (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B
) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) )  ->  (
u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B
) )
789, 77syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ps 
->  ( u  i^i  v
)  C_  ( X  \ 
U_ k  e.  A  B ) )
7967, 68, 52, 70, 72, 74, 76, 78, 10, 48iunconlem 18990 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ps 
->  -.  P  e.  u
)
80 incom 3540 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  i^i  u )  =  ( u  i^i  v
)
8180, 78syl5eqss 3397 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ps 
->  ( v  i^i  u
)  C_  ( X  \ 
U_ k  e.  A  B ) )
82 uncom 3497 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  u.  u )  =  ( u  u.  v
)
8310, 82syl6sseqr 3400 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ps 
->  U_ k  e.  A  B  C_  ( v  u.  u ) )
8467, 68, 52, 70, 74, 72, 12, 81, 83, 48iunconlem 18990 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ps 
->  -.  P  e.  v )
85 pm4.56 492 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -.  P  e.  u  /\  -.  P  e.  v )  <->  -.  ( P  e.  u  \/  P  e.  v ) )
8685biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  P  e.  u  /\  -.  P  e.  v )  ->  -.  ( P  e.  u  \/  P  e.  v )
)
8786idi 2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  P  e.  u  /\  -.  P  e.  v )  ->  -.  ( P  e.  u  \/  P  e.  v )
)
8879, 84, 87syl2anc 656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ps 
->  -.  ( P  e.  u  \/  P  e.  v ) )
898, 88sylbir 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J )  /\  (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B
) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) )  ->  -.  ( P  e.  u  \/  P  e.  v
) )
9066, 89pm2.65da 573 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J )  /\  (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B
) )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) )
9190ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J
)  /\  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  ( v  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/) )  -> 
( ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v ) ) )
9291ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J
)  /\  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  -> 
( ( v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  ->  (
( u  i^i  v
)  C_  ( X  \ 
U_ k  e.  A  B )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) ) ) )
9392ex3 31113 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J  /\  v  e.  J
)  ->  ( (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  ->  ( ( v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  ->  (
( u  i^i  v
)  C_  ( X  \ 
U_ k  e.  A  B )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) ) ) ) )
94933impd 1196 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J  /\  v  e.  J
)  ->  ( (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) ) )
95943expia 1184 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  (
v  e.  J  -> 
( ( ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) ) ) )
9695ex 434 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( u  e.  J  ->  ( v  e.  J  ->  ( ( ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) ) ) ) )
9796imp3a 431 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  J  /\  v  e.  J )  ->  (
( ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) ) ) )
9897ralrimivv 2805 . 2  |-  ( ph  ->  A. u  e.  J  A. v  e.  J  ( ( ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) ) )
99 connsub 18984 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  X )  ->  (
( Jt  U_ k  e.  A  B )  e.  Con  <->  A. u  e.  J  A. v  e.  J  (
( ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) ) ) )
10099biimp3ar 1314 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  X  /\  A. u  e.  J  A. v  e.  J  ( (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) ) )  ->  ( Jt  U_ k  e.  A  B
)  e.  Con )
1011, 7, 98, 100syl3anc 1213 1  |-  ( ph  ->  ( Jt  U_ k  e.  A  B )  e.  Con )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 960   E.wex 1591   F/wnf 1594    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714    \ cdif 3322    u. cun 3323    i^i cin 3324    C_ wss 3325   (/)c0 3634   U_ciun 4168   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   ↾t crest 14355  TopOnctopon 18458   Conccon 18974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-oadd 6920  df-er 7097  df-en 7307  df-fin 7310  df-fi 7657  df-rest 14357  df-topgen 14378  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-cld 18582  df-con 18975
This theorem is referenced by:  iunconALT  31506
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