Mathbox for Alan Sare < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iunconlem2 Structured version   Unicode version

Theorem iunconlem2 37305
 Description: The indexed union of connected overlapping subspaces sharing a common point is connected. This proof was automatically derived by completeusersproof from its Virtual Deduction proof counterpart http://us.metamath.org/other/completeusersproof/iunconlem2vd.html. As it is verified by the Metamath program, iunconlem2 37305 verifies http://us.metamath.org/other/completeusersproof/iunconlem2vd.html. (Contributed by Alan Sare, 22-Apr-2018.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
iunconlem2.1
iunconlem2.2 TopOn
iunconlem2.3
iunconlem2.4
iunconlem2.5 t
Assertion
Ref Expression
iunconlem2 t
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,   ,,,   ,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   ()   (,)

Proof of Theorem iunconlem2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iunconlem2.2 . 2 TopOn
2 iunconlem2.3 . . . . 5
32ex 435 . . . 4
43ralrimiv 2834 . . 3
5 iunss 4340 . . . 4
65biimpri 209 . . 3
74, 6syl 17 . 2
8 iunconlem2.1 . . . . . . . . . . . 12
98biimpi 197 . . . . . . . . . . . . . . 15
109simprd 464 . . . . . . . . . . . . . 14
11 simp-4r 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
129, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
13 n0 3771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1413biimpi 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1512, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
16 inss2 3683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
17 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1816, 17sseldi 3462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
19 eliun 4304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2019biimpi 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2118, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
22 rexn0 3902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2423exlimiv 1770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2515, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16
26 nfv 1755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
27 nfv 1755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2826, 27nfan 1988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
29 nfcv 2580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
30 nfiu1 4329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3129, 30nfin 3669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
32 nfcv 2580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3331, 32nfne 2752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3428, 33nfan 1988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
35 nfcv 2580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3635, 30nfin 3669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3736, 32nfne 2752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3834, 37nfan 1988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
39 nfcv 2580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
40 nfcv 2580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4140, 30nfdif 3586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4239, 41nfss 3457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4338, 42nfan 1988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
44 nfcv 2580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4530, 44nfss 3457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4643, 45nfan 1988 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
478nfbii 1689 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4846, 47mpbir 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
49 simp-6l 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
509, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
51 iunconlem2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5250, 51sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5352ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5448, 53ralrimi 2822 . . . . . . . . . . . . . . . 16
55 r19.2z 3888 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5655ancoms 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5756ancoms 454 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5825, 54, 57syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15
59 eliun 4304 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6059biimpri 209 . . . . . . . . . . . . . . 15
6158, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
6210, 61sseldd 3465 . . . . . . . . . . . . 13
63 elun 3606 . . . . . . . . . . . . . 14
6463biimpi 197 . . . . . . . . . . . . 13
6562, 64syl 17 . . . . . . . . . . . 12
668, 65sylbir 216 . . . . . . . . . . 11
6750, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn
6850, 2sylan 473 . . . . . . . . . . . . . 14
69 iunconlem2.5 . . . . . . . . . . . . . . 15 t
7050, 69sylan 473 . . . . . . . . . . . . . 14 t
71 simp-6r 779 . . . . . . . . . . . . . . 15
729, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
73 simp-5r 777 . . . . . . . . . . . . . . 15
749, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
75 simpllr 767 . . . . . . . . . . . . . . 15
769, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
77 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . . 15
789, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
7967, 68, 52, 70, 72, 74, 76, 78, 10, 48iunconlem 20440 . . . . . . . . . . . . 13
80 incom 3655 . . . . . . . . . . . . . . 15
8180, 78syl5eqss 3508 . . . . . . . . . . . . . 14
82 uncom 3610 . . . . . . . . . . . . . . 15
8310, 82syl6sseqr 3511 . . . . . . . . . . . . . 14
8467, 68, 52, 70, 74, 72, 12, 81, 83, 48iunconlem 20440 . . . . . . . . . . . . 13
85 pm4.56 497 . . . . . . . . . . . . . . 15
8685biimpi 197 . . . . . . . . . . . . . 14
8786idiALT 36802 . . . . . . . . . . . . 13
8879, 84, 87syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12
898, 88sylbir 216 . . . . . . . . . . 11
9066, 89pm2.65da 578 . . . . . . . . . 10
9190ex 435 . . . . . . . . 9
9291ex 435 . . . . . . . 8
9392ex3 36908 . . . . . . 7
94933impd 1219 . . . . . 6
95943expia 1207 . . . . 5
9695ex 435 . . . 4
9796impd 432 . . 3
9897ralrimivv 2842 . 2
99 connsub 20434 . . 3 TopOn t
10099biimp3ar 1365 . 2 TopOn t
1011, 7, 98, 100syl3anc 1264 1 t
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 187   wo 369   wa 370   w3a 982  wex 1657  wnf 1661   wcel 1872   wne 2614  wral 2771  wrex 2772   cdif 3433   cun 3434   cin 3435   wss 3436  c0 3761  ciun 4299  cfv 5601  (class class class)co 6305   ↾t crest 15318  TopOnctopon 19916  ccon 20424 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-oadd 7197  df-er 7374  df-en 7581  df-fin 7584  df-fi 7934  df-rest 15320  df-topgen 15341  df-top 19919  df-bases 19920  df-topon 19921  df-cld 20032  df-con 20425 This theorem is referenced by:  iunconALT  37306
 Copyright terms: Public domain W3C validator