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Theorem iunconlem2 31676
Description: The indexed union of connected overlapping subspaces sharing a common point is connected. This proof was automatically derived by completeusersproof from its Virtual Deduction proof counterpart http://us.metamath.org/other/completeusersproof/iunconlem2vd.html. As it is verified by the Metamath program, iunconlem2 31676 verifies http://us.metamath.org/other/completeusersproof/iunconlem2vd.html. (Contributed by Alan Sare, 22-Apr-2018.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
iunconlem2.1  |-  ( ps  <->  ( ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J )  /\  (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B
) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) ) )
iunconlem2.2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
iunconlem2.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  C_  X )
iunconlem2.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  P  e.  B )
iunconlem2.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( Jt  B )  e.  Con )
Assertion
Ref Expression
iunconlem2  |-  ( ph  ->  ( Jt  U_ k  e.  A  B )  e.  Con )
Distinct variable groups:    u, k,
v, ph    A, k, u, v    u, B, v   
k, J, u, v    P, k    k, X, u, v
Allowed substitution hints:    ps( v, u, k)    B( k)    P( v, u)

Proof of Theorem iunconlem2
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iunconlem2.2 . 2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 iunconlem2.3 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  C_  X )
32ex 434 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  B  C_  X )
)
43ralrimiv 2803 . . 3  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  C_  X )
5 iunss 4216 . . . 4  |-  ( U_ k  e.  A  B  C_  X  <->  A. k  e.  A  B  C_  X )
65biimpri 206 . . 3  |-  ( A. k  e.  A  B  C_  X  ->  U_ k  e.  A  B  C_  X
)
74, 6syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  A  B  C_  X )
8 iunconlem2.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ps  <->  ( ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J )  /\  (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B
) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) ) )
98biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ps 
->  ( ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J
)  /\  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  ( v  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/) )  /\  ( u  i^i  v
)  C_  ( X  \ 
U_ k  e.  A  B ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) ) )
109simprd 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ps 
->  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v ) )
11 simp-4r 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J )  /\  (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B
) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) )  ->  (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )
129, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ps 
->  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/) )
13 n0 3651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  <->  E. w  w  e.  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B
) )
1413biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  ->  E. w  w  e.  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B ) )
1512, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ps 
->  E. w  w  e.  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B
) )
16 inss2 3576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  C_  U_ k  e.  A  B
17 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  e.  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  ->  w  e.  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B
) )
1816, 17sseldi 3359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  ->  w  e.  U_ k  e.  A  B )
19 eliun 4180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  e.  U_ k  e.  A  B  <->  E. k  e.  A  w  e.  B )
2019biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  U_ k  e.  A  B  ->  E. k  e.  A  w  e.  B )
2118, 20syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  ->  E. k  e.  A  w  e.  B )
22 rexn0 3787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E. k  e.  A  w  e.  B  ->  A  =/=  (/) )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  ->  A  =/=  (/) )
2423exlimiv 1688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. w  w  e.  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  ->  A  =/=  (/) )
2515, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ps 
->  A  =/=  (/) )
26 nfv 1673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/ k ( ph  /\  u  e.  J )
27 nfv 1673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/ k  v  e.  J
2826, 27nfan 1861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/ k ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J
)
29 nfcv 2584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F/_ k
u
30 nfiu1 4205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F/_ k U_ k  e.  A  B
3129, 30nfin 3562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/_ k
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)
32 nfcv 2584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/_ k (/)
3331, 32nfne 2708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/ k ( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)
3428, 33nfan 1861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ k ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J
)  /\  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )
35 nfcv 2584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/_ k
v
3635, 30nfin 3562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/_ k
( v  i^i  U_ k  e.  A  B
)
3736, 32nfne 2708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ k ( v  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)
3834, 37nfan 1861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ k ( ( ( (
ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J )  /\  (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )
39 nfcv 2584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ k
( u  i^i  v
)
40 nfcv 2584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/_ k X
4140, 30nfdif 3482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ k
( X  \  U_ k  e.  A  B
)
4239, 41nfss 3354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ k ( u  i^i  v
)  C_  ( X  \ 
U_ k  e.  A  B )
4338, 42nfan 1861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ k ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J )  /\  (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B
) )
44 nfcv 2584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ k
( u  u.  v
)
4530, 44nfss 3354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ k
U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v )
4643, 45nfan 1861 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ k ( ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J
)  /\  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  ( v  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/) )  /\  ( u  i^i  v
)  C_  ( X  \ 
U_ k  e.  A  B ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) )
478nfbii 1614 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F/ k ps  <->  F/ k
( ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J
)  /\  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  ( v  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/) )  /\  ( u  i^i  v
)  C_  ( X  \ 
U_ k  e.  A  B ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) ) )
4846, 47mpbir 209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ k ps
49 simp-6l 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J )  /\  (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B
) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) )  ->  ph )
509, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ps 
->  ph )
51 iunconlem2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  P  e.  B )
5250, 51sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ps  /\  k  e.  A )  ->  P  e.  B )
5352ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ps 
->  ( k  e.  A  ->  P  e.  B ) )
5448, 53ralrimi 2802 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ps 
->  A. k  e.  A  P  e.  B )
55 r19.2z 3774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. k  e.  A  P  e.  B )  ->  E. k  e.  A  P  e.  B )
5655ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. k  e.  A  P  e.  B  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. k  e.  A  P  e.  B )
5756ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. k  e.  A  P  e.  B )  ->  E. k  e.  A  P  e.  B )
5825, 54, 57syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ps 
->  E. k  e.  A  P  e.  B )
59 eliun 4180 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P  e.  U_ k  e.  A  B  <->  E. k  e.  A  P  e.  B )
6059biimpri 206 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. k  e.  A  P  e.  B  ->  P  e. 
U_ k  e.  A  B )
6158, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ps 
->  P  e.  U_ k  e.  A  B )
6210, 61sseldd 3362 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ps 
->  P  e.  (
u  u.  v ) )
63 elun 3502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  ( u  u.  v )  <->  ( P  e.  u  \/  P  e.  v ) )
6463biimpi 194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  ( u  u.  v )  ->  ( P  e.  u  \/  P  e.  v )
)
6562, 64syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ps 
->  ( P  e.  u  \/  P  e.  v
) )
668, 65sylbir 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J )  /\  (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B
) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) )  ->  ( P  e.  u  \/  P  e.  v )
)
6750, 1syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ps 
->  J  e.  (TopOn `  X ) )
6850, 2sylan 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ps  /\  k  e.  A )  ->  B  C_  X )
69 iunconlem2.5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( Jt  B )  e.  Con )
7050, 69sylan 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ps  /\  k  e.  A )  ->  ( Jt  B )  e.  Con )
71 simp-6r 770 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J )  /\  (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B
) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) )  ->  u  e.  J )
729, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ps 
->  u  e.  J
)
73 simp-5r 768 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J )  /\  (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B
) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) )  ->  v  e.  J )
749, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ps 
->  v  e.  J
)
75 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J )  /\  (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B
) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) )  ->  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )
769, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ps 
->  ( v  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/) )
77 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J )  /\  (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B
) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) )  ->  (
u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B
) )
789, 77syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ps 
->  ( u  i^i  v
)  C_  ( X  \ 
U_ k  e.  A  B ) )
7967, 68, 52, 70, 72, 74, 76, 78, 10, 48iunconlem 19036 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ps 
->  -.  P  e.  u
)
80 incom 3548 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  i^i  u )  =  ( u  i^i  v
)
8180, 78syl5eqss 3405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ps 
->  ( v  i^i  u
)  C_  ( X  \ 
U_ k  e.  A  B ) )
82 uncom 3505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  u.  u )  =  ( u  u.  v
)
8310, 82syl6sseqr 3408 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ps 
->  U_ k  e.  A  B  C_  ( v  u.  u ) )
8467, 68, 52, 70, 74, 72, 12, 81, 83, 48iunconlem 19036 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ps 
->  -.  P  e.  v )
85 pm4.56 495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -.  P  e.  u  /\  -.  P  e.  v )  <->  -.  ( P  e.  u  \/  P  e.  v ) )
8685biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  P  e.  u  /\  -.  P  e.  v )  ->  -.  ( P  e.  u  \/  P  e.  v )
)
8786idiALT 31158 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  P  e.  u  /\  -.  P  e.  v )  ->  -.  ( P  e.  u  \/  P  e.  v )
)
8879, 84, 87syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ps 
->  -.  ( P  e.  u  \/  P  e.  v ) )
898, 88sylbir 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J )  /\  (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B
) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) )  ->  -.  ( P  e.  u  \/  P  e.  v
) )
9066, 89pm2.65da 576 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J )  /\  (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B
) )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) )
9190ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J
)  /\  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  /\  ( v  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/) )  -> 
( ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v ) ) )
9291ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  v  e.  J
)  /\  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )  -> 
( ( v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  ->  (
( u  i^i  v
)  C_  ( X  \ 
U_ k  e.  A  B )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) ) ) )
9392ex3 31285 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J  /\  v  e.  J
)  ->  ( (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  ->  ( ( v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  ->  (
( u  i^i  v
)  C_  ( X  \ 
U_ k  e.  A  B )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v
) ) ) ) )
94933impd 1201 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J  /\  v  e.  J
)  ->  ( (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) ) )
95943expia 1189 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  (
v  e.  J  -> 
( ( ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) ) ) )
9695ex 434 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( u  e.  J  ->  ( v  e.  J  ->  ( ( ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) ) ) ) )
9796impd 431 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  J  /\  v  e.  J )  ->  (
( ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) ) ) )
9897ralrimivv 2812 . 2  |-  ( ph  ->  A. u  e.  J  A. v  e.  J  ( ( ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) ) )
99 connsub 19030 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  X )  ->  (
( Jt  U_ k  e.  A  B )  e.  Con  <->  A. u  e.  J  A. v  e.  J  (
( ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) ) ) )
10099biimp3ar 1319 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  X  /\  A. u  e.  J  A. v  e.  J  ( (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) ) )  ->  ( Jt  U_ k  e.  A  B
)  e.  Con )
1011, 7, 98, 100syl3anc 1218 1  |-  ( ph  ->  ( Jt  U_ k  e.  A  B )  e.  Con )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965   E.wex 1586   F/wnf 1589    e. wcel 1756    =/= wne 2611   A.wral 2720   E.wrex 2721    \ cdif 3330    u. cun 3331    i^i cin 3332    C_ wss 3333   (/)c0 3642   U_ciun 4176   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   ↾t crest 14364  TopOnctopon 18504   Conccon 19020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-oadd 6929  df-er 7106  df-en 7316  df-fin 7319  df-fi 7666  df-rest 14366  df-topgen 14387  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-cld 18628  df-con 19021
This theorem is referenced by:  iunconALT  31677
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