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Theorem iunconlem 20013
Description: Lemma for iuncon 20014. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iuncon.2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
iuncon.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  C_  X )
iuncon.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  P  e.  B )
iuncon.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( Jt  B )  e.  Con )
iuncon.6  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
iuncon.7  |-  ( ph  ->  V  e.  J )
iuncon.8  |-  ( ph  ->  ( V  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/) )
iuncon.9  |-  ( ph  ->  ( U  i^i  V
)  C_  ( X  \ 
U_ k  e.  A  B ) )
iuncon.10  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  A  B  C_  ( U  u.  V ) )
iuncon.11  |-  F/ k
ph
Assertion
Ref Expression
iunconlem  |-  ( ph  ->  -.  P  e.  U
)
Distinct variable groups:    A, k    k, J    P, k    k, X    U, k    k, V
Allowed substitution hints:    ph( k)    B( k)

Proof of Theorem iunconlem
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iuncon.8 . . 3  |-  ( ph  ->  ( V  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/) )
2 n0 3721 . . 3  |-  ( ( V  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  ( V  i^i  U_ k  e.  A  B
) )
31, 2sylib 196 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  x  e.  ( V  i^i  U_ k  e.  A  B
) )
4 elin 3601 . . . 4  |-  ( x  e.  ( V  i^i  U_ k  e.  A  B
)  <->  ( x  e.  V  /\  x  e. 
U_ k  e.  A  B ) )
5 eliun 4248 . . . . . 6  |-  ( x  e.  U_ k  e.  A  B  <->  E. k  e.  A  x  e.  B )
6 iuncon.11 . . . . . . . 8  |-  F/ k
ph
7 nfv 1715 . . . . . . . 8  |-  F/ k  x  e.  V
86, 7nfan 1936 . . . . . . 7  |-  F/ k ( ph  /\  x  e.  V )
9 nfv 1715 . . . . . . 7  |-  F/ k  -.  P  e.  U
10 iuncon.5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( Jt  B )  e.  Con )
1110adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
x  e.  V  /\  x  e.  B )
)  ->  ( Jt  B
)  e.  Con )
12 iuncon.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
1312ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
( x  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  P  e.  U ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
14 iuncon.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  C_  X )
1514adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
( x  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  P  e.  U ) )  ->  B  C_  X )
16 iuncon.6 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
1716ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
( x  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  P  e.  U ) )  ->  U  e.  J )
18 iuncon.7 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  V  e.  J )
1918ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
( x  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  P  e.  U ) )  ->  V  e.  J )
20 simprr 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
( x  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  P  e.  U ) )  ->  P  e.  U )
21 iuncon.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  P  e.  B )
2221adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
( x  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  P  e.  U ) )  ->  P  e.  B )
23 inelcm 3797 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  U  /\  P  e.  B )  ->  ( U  i^i  B
)  =/=  (/) )
2420, 22, 23syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
( x  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  P  e.  U ) )  -> 
( U  i^i  B
)  =/=  (/) )
25 inelcm 3797 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  ( V  i^i  B
)  =/=  (/) )
2625ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
( x  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  P  e.  U ) )  -> 
( V  i^i  B
)  =/=  (/) )
27 iuncon.9 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( U  i^i  V
)  C_  ( X  \ 
U_ k  e.  A  B ) )
2827ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
( x  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  P  e.  U ) )  -> 
( U  i^i  V
)  C_  ( X  \ 
U_ k  e.  A  B ) )
29 ssiun2 4286 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  A  ->  B  C_ 
U_ k  e.  A  B )
3029ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
( x  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  P  e.  U ) )  ->  B  C_  U_ k  e.  A  B )
3130sscond 3555 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
( x  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  P  e.  U ) )  -> 
( X  \  U_ k  e.  A  B
)  C_  ( X  \  B ) )
3228, 31sstrd 3427 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
( x  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  P  e.  U ) )  -> 
( U  i^i  V
)  C_  ( X  \  B ) )
33 inss1 3632 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U  i^i  V )  C_  U
34 toponss 19515 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  U  e.  J )  ->  U  C_  X )
3513, 17, 34syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
( x  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  P  e.  U ) )  ->  U  C_  X )
3633, 35syl5ss 3428 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
( x  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  P  e.  U ) )  -> 
( U  i^i  V
)  C_  X )
37 reldisj 3786 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  i^i  V ) 
C_  X  ->  (
( ( U  i^i  V )  i^i  B )  =  (/)  <->  ( U  i^i  V )  C_  ( X  \  B ) ) )
3836, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
( x  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  P  e.  U ) )  -> 
( ( ( U  i^i  V )  i^i 
B )  =  (/)  <->  ( U  i^i  V )  C_  ( X  \  B ) ) )
3932, 38mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
( x  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  P  e.  U ) )  -> 
( ( U  i^i  V )  i^i  B )  =  (/) )
40 iuncon.10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  A  B  C_  ( U  u.  V ) )
4140ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
( x  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  P  e.  U ) )  ->  U_ k  e.  A  B  C_  ( U  u.  V ) )
4230, 41sstrd 3427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
( x  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  P  e.  U ) )  ->  B  C_  ( U  u.  V ) )
4313, 15, 17, 19, 24, 26, 39, 42nconsubb 20009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
( x  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  P  e.  U ) )  ->  -.  ( Jt  B )  e.  Con )
4443expr 613 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
x  e.  V  /\  x  e.  B )
)  ->  ( P  e.  U  ->  -.  ( Jt  B )  e.  Con ) )
4511, 44mt2d 117 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
x  e.  V  /\  x  e.  B )
)  ->  -.  P  e.  U )
4645an4s 824 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  V )  /\  (
k  e.  A  /\  x  e.  B )
)  ->  -.  P  e.  U )
4746exp32 603 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
k  e.  A  -> 
( x  e.  B  ->  -.  P  e.  U
) ) )
488, 9, 47rexlimd 2866 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( E. k  e.  A  x  e.  B  ->  -.  P  e.  U ) )
495, 48syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
x  e.  U_ k  e.  A  B  ->  -.  P  e.  U ) )
5049expimpd 601 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  V  /\  x  e. 
U_ k  e.  A  B )  ->  -.  P  e.  U )
)
514, 50syl5bi 217 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( V  i^i  U_ k  e.  A  B )  ->  -.  P  e.  U
) )
5251exlimdv 1732 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x  x  e.  ( V  i^i  U_ k  e.  A  B
)  ->  -.  P  e.  U ) )
533, 52mpd 15 1  |-  ( ph  ->  -.  P  e.  U
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399   E.wex 1620   F/wnf 1624    e. wcel 1826    =/= wne 2577   E.wrex 2733    \ cdif 3386    u. cun 3387    i^i cin 3388    C_ wss 3389   (/)c0 3711   U_ciun 4243   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   ↾t crest 14828  TopOnctopon 19480   Conccon 19997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-oadd 7052  df-er 7229  df-en 7436  df-fin 7439  df-fi 7786  df-rest 14830  df-topgen 14851  df-top 19484  df-bases 19486  df-topon 19487  df-cld 19605  df-con 19998
This theorem is referenced by:  iuncon  20014  iunconlem2  34082
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