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Theorem iunconlem 19053
Description: Lemma for iuncon 19054. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iuncon.2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
iuncon.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  C_  X )
iuncon.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  P  e.  B )
iuncon.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( Jt  B )  e.  Con )
iuncon.6  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
iuncon.7  |-  ( ph  ->  V  e.  J )
iuncon.8  |-  ( ph  ->  ( V  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/) )
iuncon.9  |-  ( ph  ->  ( U  i^i  V
)  C_  ( X  \ 
U_ k  e.  A  B ) )
iuncon.10  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  A  B  C_  ( U  u.  V ) )
iuncon.11  |-  F/ k
ph
Assertion
Ref Expression
iunconlem  |-  ( ph  ->  -.  P  e.  U
)
Distinct variable groups:    A, k    k, J    P, k    k, X    U, k    k, V
Allowed substitution hints:    ph( k)    B( k)

Proof of Theorem iunconlem
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iuncon.8 . . 3  |-  ( ph  ->  ( V  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/) )
2 n0 3667 . . 3  |-  ( ( V  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  ( V  i^i  U_ k  e.  A  B
) )
31, 2sylib 196 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  x  e.  ( V  i^i  U_ k  e.  A  B
) )
4 elin 3560 . . . 4  |-  ( x  e.  ( V  i^i  U_ k  e.  A  B
)  <->  ( x  e.  V  /\  x  e. 
U_ k  e.  A  B ) )
5 eliun 4196 . . . . . 6  |-  ( x  e.  U_ k  e.  A  B  <->  E. k  e.  A  x  e.  B )
6 iuncon.11 . . . . . . . 8  |-  F/ k
ph
7 nfv 1673 . . . . . . . 8  |-  F/ k  x  e.  V
86, 7nfan 1861 . . . . . . 7  |-  F/ k ( ph  /\  x  e.  V )
9 nfv 1673 . . . . . . 7  |-  F/ k  -.  P  e.  U
10 iuncon.5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( Jt  B )  e.  Con )
1110adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
x  e.  V  /\  x  e.  B )
)  ->  ( Jt  B
)  e.  Con )
12 iuncon.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
1312ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
( x  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  P  e.  U ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
14 iuncon.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  C_  X )
1514adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
( x  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  P  e.  U ) )  ->  B  C_  X )
16 iuncon.6 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
1716ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
( x  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  P  e.  U ) )  ->  U  e.  J )
18 iuncon.7 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  V  e.  J )
1918ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
( x  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  P  e.  U ) )  ->  V  e.  J )
20 simprr 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
( x  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  P  e.  U ) )  ->  P  e.  U )
21 iuncon.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  P  e.  B )
2221adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
( x  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  P  e.  U ) )  ->  P  e.  B )
23 inelcm 3754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  U  /\  P  e.  B )  ->  ( U  i^i  B
)  =/=  (/) )
2420, 22, 23syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
( x  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  P  e.  U ) )  -> 
( U  i^i  B
)  =/=  (/) )
25 inelcm 3754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  ( V  i^i  B
)  =/=  (/) )
2625ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
( x  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  P  e.  U ) )  -> 
( V  i^i  B
)  =/=  (/) )
27 iuncon.9 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( U  i^i  V
)  C_  ( X  \ 
U_ k  e.  A  B ) )
2827ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
( x  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  P  e.  U ) )  -> 
( U  i^i  V
)  C_  ( X  \ 
U_ k  e.  A  B ) )
29 ssiun2 4234 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  A  ->  B  C_ 
U_ k  e.  A  B )
3029ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
( x  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  P  e.  U ) )  ->  B  C_  U_ k  e.  A  B )
3130sscond 3514 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
( x  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  P  e.  U ) )  -> 
( X  \  U_ k  e.  A  B
)  C_  ( X  \  B ) )
3228, 31sstrd 3387 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
( x  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  P  e.  U ) )  -> 
( U  i^i  V
)  C_  ( X  \  B ) )
33 inss1 3591 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U  i^i  V )  C_  U
34 toponss 18556 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  U  e.  J )  ->  U  C_  X )
3513, 17, 34syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
( x  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  P  e.  U ) )  ->  U  C_  X )
3633, 35syl5ss 3388 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
( x  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  P  e.  U ) )  -> 
( U  i^i  V
)  C_  X )
37 reldisj 3743 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  i^i  V ) 
C_  X  ->  (
( ( U  i^i  V )  i^i  B )  =  (/)  <->  ( U  i^i  V )  C_  ( X  \  B ) ) )
3836, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
( x  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  P  e.  U ) )  -> 
( ( ( U  i^i  V )  i^i 
B )  =  (/)  <->  ( U  i^i  V )  C_  ( X  \  B ) ) )
3932, 38mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
( x  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  P  e.  U ) )  -> 
( ( U  i^i  V )  i^i  B )  =  (/) )
40 iuncon.10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  A  B  C_  ( U  u.  V ) )
4140ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
( x  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  P  e.  U ) )  ->  U_ k  e.  A  B  C_  ( U  u.  V ) )
4230, 41sstrd 3387 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
( x  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  P  e.  U ) )  ->  B  C_  ( U  u.  V ) )
4313, 15, 17, 19, 24, 26, 39, 42nconsubb 19049 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
( x  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  P  e.  U ) )  ->  -.  ( Jt  B )  e.  Con )
4443expr 615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
x  e.  V  /\  x  e.  B )
)  ->  ( P  e.  U  ->  -.  ( Jt  B )  e.  Con ) )
4511, 44mt2d 117 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  (
x  e.  V  /\  x  e.  B )
)  ->  -.  P  e.  U )
4645an4s 822 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  V )  /\  (
k  e.  A  /\  x  e.  B )
)  ->  -.  P  e.  U )
4746exp32 605 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
k  e.  A  -> 
( x  e.  B  ->  -.  P  e.  U
) ) )
488, 9, 47rexlimd 2859 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( E. k  e.  A  x  e.  B  ->  -.  P  e.  U ) )
495, 48syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
x  e.  U_ k  e.  A  B  ->  -.  P  e.  U ) )
5049expimpd 603 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  V  /\  x  e. 
U_ k  e.  A  B )  ->  -.  P  e.  U )
)
514, 50syl5bi 217 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( V  i^i  U_ k  e.  A  B )  ->  -.  P  e.  U
) )
5251exlimdv 1690 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x  x  e.  ( V  i^i  U_ k  e.  A  B
)  ->  -.  P  e.  U ) )
533, 52mpd 15 1  |-  ( ph  ->  -.  P  e.  U
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586   F/wnf 1589    e. wcel 1756    =/= wne 2620   E.wrex 2737    \ cdif 3346    u. cun 3347    i^i cin 3348    C_ wss 3349   (/)c0 3658   U_ciun 4192   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   ↾t crest 14380  TopOnctopon 18521   Conccon 19037
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-oadd 6945  df-er 7122  df-en 7332  df-fin 7335  df-fi 7682  df-rest 14382  df-topgen 14403  df-top 18525  df-bases 18527  df-topon 18528  df-cld 18645  df-con 19038
This theorem is referenced by:  iuncon  19054  iunconlem2  31767
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