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Theorem iuncon 19159
Description: The indexed union of connected overlapping subspaces sharing a common point is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iuncon.2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
iuncon.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  C_  X )
iuncon.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  P  e.  B )
iuncon.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( Jt  B )  e.  Con )
Assertion
Ref Expression
iuncon  |-  ( ph  ->  ( Jt  U_ k  e.  A  B )  e.  Con )
Distinct variable groups:    A, k    k, J    P, k    k, X    ph, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem iuncon
Dummy variables  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )
2 simplr1 1030 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )
3 n0 3749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  <->  E. v  v  e.  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B
) )
4 inss2 3674 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  C_  U_ k  e.  A  B
54sseli 3455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  ->  v  e.  U_ k  e.  A  B )
6 eliun 4278 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  U_ k  e.  A  B  <->  E. k  e.  A  v  e.  B )
7 rexn0 3885 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. k  e.  A  v  e.  B  ->  A  =/=  (/) )
86, 7sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  U_ k  e.  A  B  ->  A  =/=  (/) )
95, 8syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  ->  A  =/=  (/) )
109exlimiv 1689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. v  v  e.  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  ->  A  =/=  (/) )
113, 10sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  ->  A  =/=  (/) )
122, 11syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  A  =/=  (/) )
13 simplll 757 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  ph )
14 iuncon.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  P  e.  B )
1514ralrimiva 2827 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  P  e.  B )
1613, 15syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  A. k  e.  A  P  e.  B )
17 r19.2z 3872 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. k  e.  A  P  e.  B )  ->  E. k  e.  A  P  e.  B )
1812, 16, 17syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  E. k  e.  A  P  e.  B )
19 eliun 4278 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  U_ k  e.  A  B  <->  E. k  e.  A  P  e.  B )
2018, 19sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  P  e.  U_ k  e.  A  B
)
211, 20sseldd 3460 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  P  e.  ( u  u.  v
) )
22 elun 3600 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ( u  u.  v )  <->  ( P  e.  u  \/  P  e.  v ) )
2321, 22sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  ( P  e.  u  \/  P  e.  v ) )
24 iuncon.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2513, 24syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
26 iuncon.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  C_  X )
2713, 26sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  /\  k  e.  A )  ->  B  C_  X )
2813, 14sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  /\  k  e.  A )  ->  P  e.  B )
29 iuncon.5 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( Jt  B )  e.  Con )
3013, 29sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  /\  k  e.  A )  ->  ( Jt  B )  e.  Con )
31 simpllr 758 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  ( u  e.  J  /\  v  e.  J ) )
3231simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  u  e.  J )
3331simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  v  e.  J )
34 simplr2 1031 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  ( v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )
35 simplr3 1032 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) )
36 nfv 1674 . . . . . . . . 9  |-  F/ k ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  v  e.  J )
)
37 nfcv 2614 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
u
38 nfiu1 4303 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k U_ k  e.  A  B
3937, 38nfin 3660 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)
40 nfcv 2614 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k (/)
4139, 40nfne 2780 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k ( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)
42 nfcv 2614 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
v
4342, 38nfin 3660 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
( v  i^i  U_ k  e.  A  B
)
4443, 40nfne 2780 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k ( v  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)
45 nfcv 2614 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
( u  i^i  v
)
46 nfcv 2614 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k X
4746, 38nfdif 3580 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
( X  \  U_ k  e.  A  B
)
4845, 47nfss 3452 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k ( u  i^i  v
)  C_  ( X  \ 
U_ k  e.  A  B )
4941, 44, 48nf3an 1867 . . . . . . . . 9  |-  F/ k ( ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) )
5036, 49nfan 1865 . . . . . . . 8  |-  F/ k ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )
5137, 42nfun 3615 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
( u  u.  v
)
5238, 51nfss 3452 . . . . . . . 8  |-  F/ k
U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v )
5350, 52nfan 1865 . . . . . . 7  |-  F/ k ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )
5425, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 1, 53iunconlem 19158 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  -.  P  e.  u )
55 incom 3646 . . . . . . . 8  |-  ( v  i^i  u )  =  ( u  i^i  v
)
5655, 35syl5eqss 3503 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  ( v  i^i  u )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) )
57 uncom 3603 . . . . . . . 8  |-  ( u  u.  v )  =  ( v  u.  u
)
581, 57syl6sseq 3505 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  U_ k  e.  A  B  C_  (
v  u.  u ) )
5925, 27, 28, 30, 33, 32, 2, 56, 58, 53iunconlem 19158 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  -.  P  e.  v )
60 ioran 490 . . . . . 6  |-  ( -.  ( P  e.  u  \/  P  e.  v
)  <->  ( -.  P  e.  u  /\  -.  P  e.  v ) )
6154, 59, 60sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  -.  ( P  e.  u  \/  P  e.  v )
)
6223, 61pm2.65da 576 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  v  e.  J )
)  /\  ( (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B
) ) )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v ) )
6362ex 434 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J ) )  -> 
( ( ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) ) )
6463ralrimivva 2908 . 2  |-  ( ph  ->  A. u  e.  J  A. v  e.  J  ( ( ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) ) )
6526ralrimiva 2827 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  C_  X )
66 iunss 4314 . . . 4  |-  ( U_ k  e.  A  B  C_  X  <->  A. k  e.  A  B  C_  X )
6765, 66sylibr 212 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  A  B  C_  X )
68 connsub 19152 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  X )  ->  (
( Jt  U_ k  e.  A  B )  e.  Con  <->  A. u  e.  J  A. v  e.  J  (
( ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) ) ) )
6924, 67, 68syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Jt  U_ k  e.  A  B )  e.  Con  <->  A. u  e.  J  A. v  e.  J  ( ( ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) ) ) )
7064, 69mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( Jt  U_ k  e.  A  B )  e.  Con )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965   E.wex 1587    e. wcel 1758    =/= wne 2645   A.wral 2796   E.wrex 2797    \ cdif 3428    u. cun 3429    i^i cin 3430    C_ wss 3431   (/)c0 3740   U_ciun 4274   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   ↾t crest 14473  TopOnctopon 18626   Conccon 19142
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-oadd 7029  df-er 7206  df-en 7416  df-fin 7419  df-fi 7767  df-rest 14475  df-topgen 14496  df-top 18630  df-bases 18632  df-topon 18633  df-cld 18750  df-con 19143
This theorem is referenced by:  uncon  19160  concompcon  19163
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