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Theorem iuncon 20219
Description: The indexed union of connected overlapping subspaces sharing a common point is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iuncon.2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
iuncon.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  C_  X )
iuncon.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  P  e.  B )
iuncon.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( Jt  B )  e.  Con )
Assertion
Ref Expression
iuncon  |-  ( ph  ->  ( Jt  U_ k  e.  A  B )  e.  Con )
Distinct variable groups:    A, k    k, J    P, k    k, X    ph, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem iuncon
Dummy variables  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )
2 simplr1 1039 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )
3 n0 3747 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  <->  E. v  v  e.  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B
) )
4 inss2 3659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  C_  U_ k  e.  A  B
54sseli 3437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  ->  v  e.  U_ k  e.  A  B )
6 eliun 4275 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  U_ k  e.  A  B  <->  E. k  e.  A  v  e.  B )
7 rexn0 3875 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. k  e.  A  v  e.  B  ->  A  =/=  (/) )
86, 7sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  U_ k  e.  A  B  ->  A  =/=  (/) )
95, 8syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  ->  A  =/=  (/) )
109exlimiv 1743 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. v  v  e.  ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  ->  A  =/=  (/) )
113, 10sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  ->  A  =/=  (/) )
122, 11syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  A  =/=  (/) )
13 simplll 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  ph )
14 iuncon.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  P  e.  B )
1514ralrimiva 2817 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  P  e.  B )
1613, 15syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  A. k  e.  A  P  e.  B )
17 r19.2z 3861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. k  e.  A  P  e.  B )  ->  E. k  e.  A  P  e.  B )
1812, 16, 17syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  E. k  e.  A  P  e.  B )
19 eliun 4275 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  U_ k  e.  A  B  <->  E. k  e.  A  P  e.  B )
2018, 19sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  P  e.  U_ k  e.  A  B
)
211, 20sseldd 3442 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  P  e.  ( u  u.  v
) )
22 elun 3583 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ( u  u.  v )  <->  ( P  e.  u  \/  P  e.  v ) )
2321, 22sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  ( P  e.  u  \/  P  e.  v ) )
24 iuncon.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2513, 24syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
26 iuncon.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  C_  X )
2713, 26sylan 469 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  /\  k  e.  A )  ->  B  C_  X )
2813, 14sylan 469 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  /\  k  e.  A )  ->  P  e.  B )
29 iuncon.5 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( Jt  B )  e.  Con )
3013, 29sylan 469 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  /\  k  e.  A )  ->  ( Jt  B )  e.  Con )
31 simpllr 761 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  ( u  e.  J  /\  v  e.  J ) )
3231simpld 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  u  e.  J )
3331simprd 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  v  e.  J )
34 simplr2 1040 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  ( v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/) )
35 simplr3 1041 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) )
36 nfv 1728 . . . . . . . . 9  |-  F/ k ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  v  e.  J )
)
37 nfcv 2564 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
u
38 nfiu1 4300 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k U_ k  e.  A  B
3937, 38nfin 3645 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)
40 nfcv 2564 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k (/)
4139, 40nfne 2734 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k ( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)
42 nfcv 2564 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
v
4342, 38nfin 3645 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
( v  i^i  U_ k  e.  A  B
)
4443, 40nfne 2734 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k ( v  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)
45 nfcv 2564 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
( u  i^i  v
)
46 nfcv 2564 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k X
4746, 38nfdif 3563 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
( X  \  U_ k  e.  A  B
)
4845, 47nfss 3434 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k ( u  i^i  v
)  C_  ( X  \ 
U_ k  e.  A  B )
4941, 44, 48nf3an 1958 . . . . . . . . 9  |-  F/ k ( ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) )
5036, 49nfan 1956 . . . . . . . 8  |-  F/ k ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )
5137, 42nfun 3598 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
( u  u.  v
)
5238, 51nfss 3434 . . . . . . . 8  |-  F/ k
U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v )
5350, 52nfan 1956 . . . . . . 7  |-  F/ k ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )
5425, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 1, 53iunconlem 20218 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  -.  P  e.  u )
55 incom 3631 . . . . . . . 8  |-  ( v  i^i  u )  =  ( u  i^i  v
)
5655, 35syl5eqss 3485 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  ( v  i^i  u )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) )
57 uncom 3586 . . . . . . . 8  |-  ( u  u.  v )  =  ( v  u.  u
)
581, 57syl6sseq 3487 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  U_ k  e.  A  B  C_  (
v  u.  u ) )
5925, 27, 28, 30, 33, 32, 2, 56, 58, 53iunconlem 20218 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  -.  P  e.  v )
60 ioran 488 . . . . . 6  |-  ( -.  ( P  e.  u  \/  P  e.  v
)  <->  ( -.  P  e.  u  /\  -.  P  e.  v ) )
6154, 59, 60sylanbrc 662 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
( u  i^i  U_ k  e.  A  B
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) ) )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) )  ->  -.  ( P  e.  u  \/  P  e.  v )
)
6223, 61pm2.65da 574 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  v  e.  J )
)  /\  ( (
u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B
) ) )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  ( u  u.  v ) )
6362ex 432 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J ) )  -> 
( ( ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) ) )
6463ralrimivva 2824 . 2  |-  ( ph  ->  A. u  e.  J  A. v  e.  J  ( ( ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) ) )
6526ralrimiva 2817 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  C_  X )
66 iunss 4311 . . . 4  |-  ( U_ k  e.  A  B  C_  X  <->  A. k  e.  A  B  C_  X )
6765, 66sylibr 212 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  A  B  C_  X )
68 connsub 20212 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  U_ k  e.  A  B  C_  X )  ->  (
( Jt  U_ k  e.  A  B )  e.  Con  <->  A. u  e.  J  A. v  e.  J  (
( ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) ) ) )
6924, 67, 68syl2anc 659 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Jt  U_ k  e.  A  B )  e.  Con  <->  A. u  e.  J  A. v  e.  J  ( ( ( u  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  U_ k  e.  A  B )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( X  \  U_ k  e.  A  B ) )  ->  -.  U_ k  e.  A  B  C_  (
u  u.  v ) ) ) )
7064, 69mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( Jt  U_ k  e.  A  B )  e.  Con )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 974   E.wex 1633    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2753   E.wrex 2754    \ cdif 3410    u. cun 3411    i^i cin 3412    C_ wss 3413   (/)c0 3737   U_ciun 4270   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   ↾t crest 15033  TopOnctopon 19685   Conccon 20202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-oadd 7170  df-er 7347  df-en 7554  df-fin 7557  df-fi 7904  df-rest 15035  df-topgen 15056  df-top 19689  df-bases 19691  df-topon 19692  df-cld 19810  df-con 20203
This theorem is referenced by:  uncon  20220  concompcon  20223
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