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Theorem iuncon 19159
Description: The indexed union of connected overlapping subspaces sharing a common point is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iuncon.2 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
iuncon.3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B C_ X )
iuncon.4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> P e. B )
iuncon.5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( J ↾t B ) e. Con )
Assertion
Ref Expression
iuncon |- ( ph -> ( J ↾t U_ k e. A B ) e. Con )
Distinct variable groups:   A, k   k, J   P, k   k, X   ph, k
Allowed substitution hint:   B( k)
Proof of Theorem iuncon
Dummy variables u v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> U_ k e. A B C_ ( u u. v ) )
2 simplr1 1030 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) )
3 n0 3749 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) <-> E. v v e. ( u i^i U_ k e. A B ) )
4 inss2 3674 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u i^i U_ k e. A B ) C_ U_ k e. A B
54sseli 3455 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( v e. ( u i^i U_ k e. A B ) -> v e. U_ k e. A B )
6 eliun 4278 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v e. U_ k e. A B <-> E. k e. A v e. B )
7 rexn0 3885 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. k e. A v e. B -> A =/= (/) )
86, 7sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( v e. U_ k e. A B -> A =/= (/) )
95, 8syl 16 . . . . . . . . . . . 12 |- ( v e. ( u i^i U_ k e. A B ) -> A =/= (/) )
109exlimiv 1689 . . . . . . . . . . 11 |- ( E. v v e. ( u i^i U_ k e. A B ) -> A =/= (/) )
113, 10sylbi 195 . . . . . . . . . 10 |- ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) -> A =/= (/) )
122, 11syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> A =/= (/) )
13 simplll 757 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> ph )
14 iuncon.4 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> P e. B )
1514ralrimiva 2827 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. k e. A P e. B )
1613, 15syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> A. k e. A P e. B )
17 r19.2z 3872 . . . . . . . . 9 |- ( ( A =/= (/) /\ A. k e. A P e. B ) -> E. k e. A P e. B )
1812, 16, 17syl2anc 661 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> E. k e. A P e. B )
19 eliun 4278 . . . . . . . 8 |- ( P e. U_ k e. A B <-> E. k e. A P e. B )
2018, 19sylibr 212 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> P e. U_ k e. A B )
211, 20sseldd 3460 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> P e. ( u u. v ) )
22 elun 3600 . . . . . 6 |- ( P e. ( u u. v ) <-> ( P e. u \/ P e. v ) )
2321, 22sylib 196 . . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> ( P e. u \/ P e. v ) )
24 iuncon.2 . . . . . . . 8 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2513, 24syl 16 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
26 iuncon.3 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B C_ X )
2713, 26sylan 471 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) /\ k e. A ) -> B C_ X )
2813, 14sylan 471 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) /\ k e. A ) -> P e. B )
29 iuncon.5 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( J ↾t B ) e. Con )
3013, 29sylan 471 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) /\ k e. A ) -> ( J ↾t B ) e. Con )
31 simpllr 758 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> ( u e. J /\ v e. J ) )
3231simpld 459 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> u e. J )
3331simprd 463 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> v e. J )
34 simplr2 1031 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) )
35 simplr3 1032 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) )
36 nfv 1674 . . . . . . . . 9 |- F/ k ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) )
37 nfcv 2614 . . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k u
38 nfiu1 4303 . . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k U_ k e. A B
3937, 38nfin 3660 . . . . . . . . . . 11 |- F/_ k ( u i^i U_ k e. A B )
40 nfcv 2614 . . . . . . . . . . 11 |- F/_ k (/)
4139, 40nfne 2780 . . . . . . . . . 10 |- F/ k ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/)
42 nfcv 2614 . . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k v
4342, 38nfin 3660 . . . . . . . . . . 11 |- F/_ k ( v i^i U_ k e. A B )
4443, 40nfne 2780 . . . . . . . . . 10 |- F/ k ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/)
45 nfcv 2614 . . . . . . . . . . 11 |- F/_ k ( u i^i v )
46 nfcv 2614 . . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k X
4746, 38nfdif 3580 . . . . . . . . . . 11 |- F/_ k ( X \ U_ k e. A B )
4845, 47nfss 3452 . . . . . . . . . 10 |- F/ k ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B )
4941, 44, 48nf3an 1867 . . . . . . . . 9 |- F/ k ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) )
5036, 49nfan 1865 . . . . . . . 8 |- F/ k ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) )
5137, 42nfun 3615 . . . . . . . . 9 |- F/_ k ( u u. v )
5238, 51nfss 3452 . . . . . . . 8 |- F/ k U_ k e. A B C_ ( u u. v )
5350, 52nfan 1865 . . . . . . 7 |- F/ k ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) )
5425, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 1, 53iunconlem 19158 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> -. P e. u )
55 incom 3646 . . . . . . . 8 |- ( v i^i u ) = ( u i^i v )
5655, 35syl5eqss 3503 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> ( v i^i u ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) )
57 uncom 3603 . . . . . . . 8 |- ( u u. v ) = ( v u. u )
581, 57syl6sseq 3505 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> U_ k e. A B C_ ( v u. u ) )
5925, 27, 28, 30, 33, 32, 2, 56, 58, 53iunconlem 19158 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> -. P e. v )
60 ioran 490 . . . . . 6 |- ( -. ( P e. u \/ P e. v ) <-> ( -. P e. u /\ -. P e. v ) )
6154, 59, 60sylanbrc 664 . . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> -. ( P e. u \/ P e. v ) )
6223, 61pm2.65da 576 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) -> -. U_ k e. A B C_ ( u u. v ) )
6362ex 434 . . 3 |- ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) -> ( ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) -> -. U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) )
6463ralrimivva 2908 . 2 |- ( ph -> A. u e. J A. v e. J ( ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) -> -. U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) )
6526ralrimiva 2827 . . . 4 |- ( ph -> A. k e. A B C_ X )
66 iunss 4314 . . . 4 |- ( U_ k e. A B C_ X <-> A. k e. A B C_ X )
6765, 66sylibr 212 . . 3 |- ( ph -> U_ k e. A B C_ X )
68 connsub 19152 . . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ U_ k e. A B C_ X ) -> ( ( J ↾t U_ k e. A B ) e. Con <-> A. u e. J A. v e. J ( ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) -> -. U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) ) )
6924, 67, 68syl2anc 661 . 2 |- ( ph -> ( ( J ↾t U_ k e. A B ) e. Con <-> A. u e. J A. v e. J ( ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) -> -. U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) ) )
7064, 69mpbird 232 1 |- ( ph -> ( J ↾t U_ k e. A B ) e. Con )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 965   E.wex 1587   e. wcel 1758   =/= wne 2645   A.wral 2796   E.wrex 2797   \ cdif 3428   u. cun 3429   i^i cin 3430   C_ wss 3431   (/)c0 3740   U_ciun 4274   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   ↾t crest 14473  TopOnctopon 18626   Conccon 19142
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-oadd 7029  df-er 7206  df-en 7416  df-fin 7419  df-fi 7767  df-rest 14475  df-topgen 14496  df-top 18630  df-bases 18632  df-topon 18633  df-cld 18750  df-con 19143
This theorem is referenced by:  uncon  19160  concompcon  19163
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