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Theorem iuncon 19723
Description: The indexed union of connected overlapping subspaces sharing a common point is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iuncon.2 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
iuncon.3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B C_ X )
iuncon.4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> P e. B )
iuncon.5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( J ↾t B ) e. Con )
Assertion
Ref Expression
iuncon |- ( ph -> ( J ↾t U_ k e. A B ) e. Con )
Distinct variable groups:   A, k   k, J   P, k   k, X   ph, k
Allowed substitution hint:   B( k)
Proof of Theorem iuncon
Dummy variables u v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> U_ k e. A B C_ ( u u. v ) )
2 simplr1 1038 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) )
3 n0 3794 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) <-> E. v v e. ( u i^i U_ k e. A B ) )
4 inss2 3719 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u i^i U_ k e. A B ) C_ U_ k e. A B
54sseli 3500 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( v e. ( u i^i U_ k e. A B ) -> v e. U_ k e. A B )
6 eliun 4330 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v e. U_ k e. A B <-> E. k e. A v e. B )
7 rexn0 3930 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. k e. A v e. B -> A =/= (/) )
86, 7sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( v e. U_ k e. A B -> A =/= (/) )
95, 8syl 16 . . . . . . . . . . . 12 |- ( v e. ( u i^i U_ k e. A B ) -> A =/= (/) )
109exlimiv 1698 . . . . . . . . . . 11 |- ( E. v v e. ( u i^i U_ k e. A B ) -> A =/= (/) )
113, 10sylbi 195 . . . . . . . . . 10 |- ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) -> A =/= (/) )
122, 11syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> A =/= (/) )
13 simplll 757 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> ph )
14 iuncon.4 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> P e. B )
1514ralrimiva 2878 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. k e. A P e. B )
1613, 15syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> A. k e. A P e. B )
17 r19.2z 3917 . . . . . . . . 9 |- ( ( A =/= (/) /\ A. k e. A P e. B ) -> E. k e. A P e. B )
1812, 16, 17syl2anc 661 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> E. k e. A P e. B )
19 eliun 4330 . . . . . . . 8 |- ( P e. U_ k e. A B <-> E. k e. A P e. B )
2018, 19sylibr 212 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> P e. U_ k e. A B )
211, 20sseldd 3505 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> P e. ( u u. v ) )
22 elun 3645 . . . . . 6 |- ( P e. ( u u. v ) <-> ( P e. u \/ P e. v ) )
2321, 22sylib 196 . . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> ( P e. u \/ P e. v ) )
24 iuncon.2 . . . . . . . 8 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2513, 24syl 16 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
26 iuncon.3 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B C_ X )
2713, 26sylan 471 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) /\ k e. A ) -> B C_ X )
2813, 14sylan 471 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) /\ k e. A ) -> P e. B )
29 iuncon.5 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( J ↾t B ) e. Con )
3013, 29sylan 471 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) /\ k e. A ) -> ( J ↾t B ) e. Con )
31 simpllr 758 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> ( u e. J /\ v e. J ) )
3231simpld 459 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> u e. J )
3331simprd 463 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> v e. J )
34 simplr2 1039 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) )
35 simplr3 1040 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) )
36 nfv 1683 . . . . . . . . 9 |- F/ k ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) )
37 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k u
38 nfiu1 4355 . . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k U_ k e. A B
3937, 38nfin 3705 . . . . . . . . . . 11 |- F/_ k ( u i^i U_ k e. A B )
40 nfcv 2629 . . . . . . . . . . 11 |- F/_ k (/)
4139, 40nfne 2798 . . . . . . . . . 10 |- F/ k ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/)
42 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k v
4342, 38nfin 3705 . . . . . . . . . . 11 |- F/_ k ( v i^i U_ k e. A B )
4443, 40nfne 2798 . . . . . . . . . 10 |- F/ k ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/)
45 nfcv 2629 . . . . . . . . . . 11 |- F/_ k ( u i^i v )
46 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k X
4746, 38nfdif 3625 . . . . . . . . . . 11 |- F/_ k ( X \ U_ k e. A B )
4845, 47nfss 3497 . . . . . . . . . 10 |- F/ k ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B )
4941, 44, 48nf3an 1877 . . . . . . . . 9 |- F/ k ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) )
5036, 49nfan 1875 . . . . . . . 8 |- F/ k ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) )
5137, 42nfun 3660 . . . . . . . . 9 |- F/_ k ( u u. v )
5238, 51nfss 3497 . . . . . . . 8 |- F/ k U_ k e. A B C_ ( u u. v )
5350, 52nfan 1875 . . . . . . 7 |- F/ k ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) )
5425, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 1, 53iunconlem 19722 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> -. P e. u )
55 incom 3691 . . . . . . . 8 |- ( v i^i u ) = ( u i^i v )
5655, 35syl5eqss 3548 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> ( v i^i u ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) )
57 uncom 3648 . . . . . . . 8 |- ( u u. v ) = ( v u. u )
581, 57syl6sseq 3550 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> U_ k e. A B C_ ( v u. u ) )
5925, 27, 28, 30, 33, 32, 2, 56, 58, 53iunconlem 19722 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> -. P e. v )
60 ioran 490 . . . . . 6 |- ( -. ( P e. u \/ P e. v ) <-> ( -. P e. u /\ -. P e. v ) )
6154, 59, 60sylanbrc 664 . . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> -. ( P e. u \/ P e. v ) )
6223, 61pm2.65da 576 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) -> -. U_ k e. A B C_ ( u u. v ) )
6362ex 434 . . 3 |- ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) -> ( ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) -> -. U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) )
6463ralrimivva 2885 . 2 |- ( ph -> A. u e. J A. v e. J ( ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) -> -. U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) )
6526ralrimiva 2878 . . . 4 |- ( ph -> A. k e. A B C_ X )
66 iunss 4366 . . . 4 |- ( U_ k e. A B C_ X <-> A. k e. A B C_ X )
6765, 66sylibr 212 . . 3 |- ( ph -> U_ k e. A B C_ X )
68 connsub 19716 . . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ U_ k e. A B C_ X ) -> ( ( J ↾t U_ k e. A B ) e. Con <-> A. u e. J A. v e. J ( ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) -> -. U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) ) )
6924, 67, 68syl2anc 661 . 2 |- ( ph -> ( ( J ↾t U_ k e. A B ) e. Con <-> A. u e. J A. v e. J ( ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) -> -. U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) ) )
7064, 69mpbird 232 1 |- ( ph -> ( J ↾t U_ k e. A B ) e. Con )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 973   E.wex 1596   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   \ cdif 3473   u. cun 3474   i^i cin 3475   C_ wss 3476   (/)c0 3785   U_ciun 4325   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   ↾t crest 14676  TopOnctopon 19190   Conccon 19706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-fin 7520  df-fi 7871  df-rest 14678  df-topgen 14699  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-cld 19314  df-con 19707
This theorem is referenced by:  uncon  19724  concompcon  19727
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