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Theorem iuncon 20219
Description: The indexed union of connected overlapping subspaces sharing a common point is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iuncon.2 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
iuncon.3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B C_ X )
iuncon.4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> P e. B )
iuncon.5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( J ↾t B ) e. Con )
Assertion
Ref Expression
iuncon |- ( ph -> ( J ↾t U_ k e. A B ) e. Con )
Distinct variable groups:   A, k   k, J   P, k   k, X   ph, k
Allowed substitution hint:   B( k)
Proof of Theorem iuncon
Dummy variables u v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 459 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> U_ k e. A B C_ ( u u. v ) )
2 simplr1 1039 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) )
3 n0 3747 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) <-> E. v v e. ( u i^i U_ k e. A B ) )
4 inss2 3659 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u i^i U_ k e. A B ) C_ U_ k e. A B
54sseli 3437 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( v e. ( u i^i U_ k e. A B ) -> v e. U_ k e. A B )
6 eliun 4275 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v e. U_ k e. A B <-> E. k e. A v e. B )
7 rexn0 3875 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. k e. A v e. B -> A =/= (/) )
86, 7sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( v e. U_ k e. A B -> A =/= (/) )
95, 8syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( v e. ( u i^i U_ k e. A B ) -> A =/= (/) )
109exlimiv 1743 . . . . . . . . . . 11 |- ( E. v v e. ( u i^i U_ k e. A B ) -> A =/= (/) )
113, 10sylbi 195 . . . . . . . . . 10 |- ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) -> A =/= (/) )
122, 11syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> A =/= (/) )
13 simplll 760 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> ph )
14 iuncon.4 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> P e. B )
1514ralrimiva 2817 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. k e. A P e. B )
1613, 15syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> A. k e. A P e. B )
17 r19.2z 3861 . . . . . . . . 9 |- ( ( A =/= (/) /\ A. k e. A P e. B ) -> E. k e. A P e. B )
1812, 16, 17syl2anc 659 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> E. k e. A P e. B )
19 eliun 4275 . . . . . . . 8 |- ( P e. U_ k e. A B <-> E. k e. A P e. B )
2018, 19sylibr 212 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> P e. U_ k e. A B )
211, 20sseldd 3442 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> P e. ( u u. v ) )
22 elun 3583 . . . . . 6 |- ( P e. ( u u. v ) <-> ( P e. u \/ P e. v ) )
2321, 22sylib 196 . . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> ( P e. u \/ P e. v ) )
24 iuncon.2 . . . . . . . 8 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2513, 24syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
26 iuncon.3 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B C_ X )
2713, 26sylan 469 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) /\ k e. A ) -> B C_ X )
2813, 14sylan 469 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) /\ k e. A ) -> P e. B )
29 iuncon.5 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( J ↾t B ) e. Con )
3013, 29sylan 469 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) /\ k e. A ) -> ( J ↾t B ) e. Con )
31 simpllr 761 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> ( u e. J /\ v e. J ) )
3231simpld 457 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> u e. J )
3331simprd 461 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> v e. J )
34 simplr2 1040 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) )
35 simplr3 1041 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) )
36 nfv 1728 . . . . . . . . 9 |- F/ k ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) )
37 nfcv 2564 . . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k u
38 nfiu1 4300 . . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k U_ k e. A B
3937, 38nfin 3645 . . . . . . . . . . 11 |- F/_ k ( u i^i U_ k e. A B )
40 nfcv 2564 . . . . . . . . . . 11 |- F/_ k (/)
4139, 40nfne 2734 . . . . . . . . . 10 |- F/ k ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/)
42 nfcv 2564 . . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k v
4342, 38nfin 3645 . . . . . . . . . . 11 |- F/_ k ( v i^i U_ k e. A B )
4443, 40nfne 2734 . . . . . . . . . 10 |- F/ k ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/)
45 nfcv 2564 . . . . . . . . . . 11 |- F/_ k ( u i^i v )
46 nfcv 2564 . . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k X
4746, 38nfdif 3563 . . . . . . . . . . 11 |- F/_ k ( X \ U_ k e. A B )
4845, 47nfss 3434 . . . . . . . . . 10 |- F/ k ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B )
4941, 44, 48nf3an 1958 . . . . . . . . 9 |- F/ k ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) )
5036, 49nfan 1956 . . . . . . . 8 |- F/ k ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) )
5137, 42nfun 3598 . . . . . . . . 9 |- F/_ k ( u u. v )
5238, 51nfss 3434 . . . . . . . 8 |- F/ k U_ k e. A B C_ ( u u. v )
5350, 52nfan 1956 . . . . . . 7 |- F/ k ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) )
5425, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 1, 53iunconlem 20218 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> -. P e. u )
55 incom 3631 . . . . . . . 8 |- ( v i^i u ) = ( u i^i v )
5655, 35syl5eqss 3485 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> ( v i^i u ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) )
57 uncom 3586 . . . . . . . 8 |- ( u u. v ) = ( v u. u )
581, 57syl6sseq 3487 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> U_ k e. A B C_ ( v u. u ) )
5925, 27, 28, 30, 33, 32, 2, 56, 58, 53iunconlem 20218 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> -. P e. v )
60 ioran 488 . . . . . 6 |- ( -. ( P e. u \/ P e. v ) <-> ( -. P e. u /\ -. P e. v ) )
6154, 59, 60sylanbrc 662 . . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> -. ( P e. u \/ P e. v ) )
6223, 61pm2.65da 574 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) ) -> -. U_ k e. A B C_ ( u u. v ) )
6362ex 432 . . 3 |- ( ( ph /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) -> ( ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) -> -. U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) )
6463ralrimivva 2824 . 2 |- ( ph -> A. u e. J A. v e. J ( ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) -> -. U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) )
6526ralrimiva 2817 . . . 4 |- ( ph -> A. k e. A B C_ X )
66 iunss 4311 . . . 4 |- ( U_ k e. A B C_ X <-> A. k e. A B C_ X )
6765, 66sylibr 212 . . 3 |- ( ph -> U_ k e. A B C_ X )
68 connsub 20212 . . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ U_ k e. A B C_ X ) -> ( ( J ↾t U_ k e. A B ) e. Con <-> A. u e. J A. v e. J ( ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) -> -. U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) ) )
6924, 67, 68syl2anc 659 . 2 |- ( ph -> ( ( J ↾t U_ k e. A B ) e. Con <-> A. u e. J A. v e. J ( ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) -> -. U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) ) )
7064, 69mpbird 232 1 |- ( ph -> ( J ↾t U_ k e. A B ) e. Con )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 366   /\ wa 367   /\ w3a 974   E.wex 1633   e. wcel 1842   =/= wne 2598   A.wral 2753   E.wrex 2754   \ cdif 3410   u. cun 3411   i^i cin 3412   C_ wss 3413   (/)c0 3737   U_ciun 4270   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   ↾t crest 15033  TopOnctopon 19685   Conccon 20202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-oadd 7170  df-er 7347  df-en 7554  df-fin 7557  df-fi 7904  df-rest 15035  df-topgen 15056  df-top 19689  df-bases 19691  df-topon 19692  df-cld 19810  df-con 20203
This theorem is referenced by:  uncon  20220  concompcon  20223
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