Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itunitc1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem itunitc1 8868
 Description: Each union iterate is a member of the transitive closure. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ituni.u
Assertion
Ref Expression
itunitc1
Distinct variable groups:   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem itunitc1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5879 . . . . 5
21fveq1d 5881 . . . 4
3 fveq2 5879 . . . 4
42, 3sseq12d 3447 . . 3
5 fveq2 5879 . . . . . 6
65sseq1d 3445 . . . . 5
7 fveq2 5879 . . . . . 6
87sseq1d 3445 . . . . 5
9 fveq2 5879 . . . . . 6
109sseq1d 3445 . . . . 5
11 fveq2 5879 . . . . . 6
1211sseq1d 3445 . . . . 5
13 vex 3034 . . . . . 6
14 ituni.u . . . . . . . 8
1514ituni0 8866 . . . . . . 7
16 tcid 8241 . . . . . . 7
1715, 16eqsstrd 3452 . . . . . 6
1813, 17ax-mp 5 . . . . 5
1914itunisuc 8867 . . . . . . 7
20 tctr 8242 . . . . . . . . . 10
21 pwtr 4653 . . . . . . . . . 10
2220, 21mpbi 213 . . . . . . . . 9
23 trss 4499 . . . . . . . . 9
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . 8
25 fvex 5889 . . . . . . . . 9
2625elpw 3948 . . . . . . . 8
27 sspwuni 4360 . . . . . . . 8
2824, 26, 273imtr3i 273 . . . . . . 7
2919, 28syl5eqss 3462 . . . . . 6
3029a1i 11 . . . . 5
316, 8, 10, 12, 18, 30finds 6738 . . . 4
3214itunifn 8865 . . . . . . . 8
33 fndm 5685 . . . . . . . 8
3413, 32, 33mp2b 10 . . . . . . 7
3534eleq2i 2541 . . . . . 6
36 ndmfv 5903 . . . . . 6
3735, 36sylnbir 314 . . . . 5
38 0ss 3766 . . . . 5
3937, 38syl6eqss 3468 . . . 4
4031, 39pm2.61i 169 . . 3
414, 40vtoclg 3093 . 2
42 fvprc 5873 . . . . 5
4342fveq1d 5881 . . . 4
44 0fv 5912 . . . 4
4543, 44syl6eq 2521 . . 3
46 0ss 3766 . . 3
4745, 46syl6eqss 3468 . 2
4841, 47pm2.61i 169 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wceq 1452   wcel 1904  cvv 3031   wss 3390  c0 3722  cpw 3942  cuni 4190   cmpt 4454   wtr 4490   cdm 4839   cres 4841   csuc 5432   wfn 5584  cfv 5589  com 6711  crdg 7145  ctc 8238 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-tc 8239 This theorem is referenced by:  itunitc  8869
 Copyright terms: Public domain W3C validator