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Theorem itunisuc 8867
Description: Successor iterated union. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ituni.u  |-  U  =  ( x  e.  _V  |->  ( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y
) ,  x )  |`  om ) )
Assertion
Ref Expression
itunisuc  |-  ( ( U `  A ) `
 suc  B )  =  U. ( ( U `
 A ) `  B )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y
Allowed substitution hints:    U( x, y)

Proof of Theorem itunisuc
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frsuc 7172 . . . . . 6  |-  ( B  e.  om  ->  (
( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) `  suc  B )  =  ( ( y  e.  _V  |->  U. y ) `  (
( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) `  B ) ) )
2 fvex 5889 . . . . . . 7  |-  ( ( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y
) ,  A )  |`  om ) `  B
)  e.  _V
3 unieq 4198 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  U. y ) ,  A )  |`  om ) `  B )  ->  U. a  =  U. ( ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  U. y ) ,  A )  |`  om ) `  B ) )
4 unieq 4198 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  a  ->  U. y  =  U. a )
54cbvmptv 4488 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  _V  |->  U. y
)  =  ( a  e.  _V  |->  U. a
)
62uniex 6606 . . . . . . . 8  |-  U. (
( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) `  B )  e.  _V
73, 5, 6fvmpt 5963 . . . . . . 7  |-  ( ( ( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) `  B )  e.  _V  ->  ( ( y  e. 
_V  |->  U. y ) `  ( ( rec (
( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) `  B ) )  = 
U. ( ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  U. y ) ,  A )  |`  om ) `  B ) )
82, 7ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  _V  |->  U. y ) `  (
( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) `  B ) )  = 
U. ( ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  U. y ) ,  A )  |`  om ) `  B )
91, 8syl6eq 2521 . . . . 5  |-  ( B  e.  om  ->  (
( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) `  suc  B )  =  U. ( ( rec (
( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) `  B ) )
109adantl 473 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  om )  ->  ( ( rec (
( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) `  suc  B )  =  U. ( ( rec (
( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) `  B ) )
11 ituni.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( x  e.  _V  |->  ( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y
) ,  x )  |`  om ) )
1211itunifval 8864 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( U `  A )  =  ( rec (
( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) )
1312fveq1d 5881 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( U `  A
) `  suc  B )  =  ( ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  U. y ) ,  A )  |`  om ) `  suc  B ) )
1413adantr 472 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  om )  ->  ( ( U `  A ) `  suc  B )  =  ( ( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y
) ,  A )  |`  om ) `  suc  B ) )
1512fveq1d 5881 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( U `  A
) `  B )  =  ( ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  U. y ) ,  A )  |`  om ) `  B ) )
1615adantr 472 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  om )  ->  ( ( U `  A ) `  B
)  =  ( ( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y
) ,  A )  |`  om ) `  B
) )
1716unieqd 4200 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  om )  ->  U. ( ( U `
 A ) `  B )  =  U. ( ( rec (
( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) `  B ) )
1810, 14, 173eqtr4d 2515 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  om )  ->  ( ( U `  A ) `  suc  B )  =  U. (
( U `  A
) `  B )
)
19 uni0 4217 . . . . 5  |-  U. (/)  =  (/)
2019eqcomi 2480 . . . 4  |-  (/)  =  U. (/)
2111itunifn 8865 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  _V  ->  ( U `  A )  Fn  om )
22 fndm 5685 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U `  A )  Fn  om  ->  dom  ( U `  A )  =  om )
2321, 22syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  _V  ->  dom  ( U `  A )  =  om )
2423eleq2d 2534 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  _V  ->  ( suc  B  e.  dom  ( U `  A )  <->  suc 
B  e.  om )
)
25 peano2b 6727 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  om  <->  suc  B  e. 
om )
2624, 25syl6bbr 271 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  ( suc  B  e.  dom  ( U `  A )  <->  B  e.  om ) )
2726notbid 301 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( -.  suc  B  e.  dom  ( U `  A )  <->  -.  B  e.  om ) )
2827biimpar 493 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  -.  B  e.  om )  ->  -.  suc  B  e. 
dom  ( U `  A ) )
29 ndmfv 5903 . . . . 5  |-  ( -. 
suc  B  e.  dom  ( U `  A )  ->  ( ( U `
 A ) `  suc  B )  =  (/) )
3028, 29syl 17 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  -.  B  e.  om )  ->  ( ( U `
 A ) `  suc  B )  =  (/) )
3123eleq2d 2534 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  _V  ->  ( B  e.  dom  ( U `
 A )  <->  B  e.  om ) )
3231notbid 301 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  ( -.  B  e.  dom  ( U `  A )  <->  -.  B  e.  om ) )
3332biimpar 493 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  -.  B  e.  om )  ->  -.  B  e.  dom  ( U `  A
) )
34 ndmfv 5903 . . . . . 6  |-  ( -.  B  e.  dom  ( U `  A )  ->  ( ( U `  A ) `  B
)  =  (/) )
3533, 34syl 17 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  -.  B  e.  om )  ->  ( ( U `
 A ) `  B )  =  (/) )
3635unieqd 4200 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  -.  B  e.  om )  ->  U. ( ( U `
 A ) `  B )  =  U. (/) )
3720, 30, 363eqtr4a 2531 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  -.  B  e.  om )  ->  ( ( U `
 A ) `  suc  B )  =  U. ( ( U `  A ) `  B
) )
3818, 37pm2.61dan 808 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( U `  A
) `  suc  B )  =  U. ( ( U `  A ) `
 B ) )
39 0fv 5912 . . . . 5  |-  ( (/) `  B )  =  (/)
4039unieqi 4199 . . . 4  |-  U. ( (/) `  B )  =  U. (/)
41 0fv 5912 . . . 4  |-  ( (/) ` 
suc  B )  =  (/)
4219, 40, 413eqtr4ri 2504 . . 3  |-  ( (/) ` 
suc  B )  = 
U. ( (/) `  B
)
43 fvprc 5873 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( U `  A )  =  (/) )
4443fveq1d 5881 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( U `  A
) `  suc  B )  =  ( (/) `  suc  B ) )
4543fveq1d 5881 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( U `  A
) `  B )  =  ( (/) `  B
) )
4645unieqd 4200 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  U. ( ( U `  A ) `  B
)  =  U. ( (/) `  B ) )
4742, 44, 463eqtr4a 2531 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( U `  A
) `  suc  B )  =  U. ( ( U `  A ) `
 B ) )
4838, 47pm2.61i 169 1  |-  ( ( U `  A ) `
 suc  B )  =  U. ( ( U `
 A ) `  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   _Vcvv 3031   (/)c0 3722   U.cuni 4190    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839    |` cres 4841   suc csuc 5432    Fn wfn 5584   ` cfv 5589   omcom 6711   reccrdg 7145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146
This theorem is referenced by:  itunitc1  8868  itunitc  8869  ituniiun  8870
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