MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ituni0 Structured version   Unicode version

Theorem ituni0 8733
Description: A zero-fold iterated union. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ituni.u  |-  U  =  ( x  e.  _V  |->  ( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y
) ,  x )  |`  om ) )
Assertion
Ref Expression
ituni0  |-  ( A  e.  V  ->  (
( U `  A
) `  (/) )  =  A )
Distinct variable group:    x, A, y
Allowed substitution hints:    U( x, y)    V( x, y)

Proof of Theorem ituni0
StepHypRef Expression
1 ituni.u . . . 4  |-  U  =  ( x  e.  _V  |->  ( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y
) ,  x )  |`  om ) )
21itunifval 8731 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( U `  A )  =  ( rec (
( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) )
32fveq1d 5793 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (
( U `  A
) `  (/) )  =  ( ( rec (
( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) `  (/) ) )
4 fr0g 7041 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (
( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) `  (/) )  =  A )
53, 4eqtrd 2437 1  |-  ( A  e.  V  ->  (
( U `  A
) `  (/) )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1399    e. wcel 1836   _Vcvv 3051   (/)c0 3728   U.cuni 4180    |-> cmpt 4442    |` cres 4932   ` cfv 5513   omcom 6621   reccrdg 7015
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-rep 4495  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513  ax-inf2 7994
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4181  df-iun 4262  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-tr 4478  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-fr 4769  df-we 4771  df-ord 4812  df-on 4813  df-lim 4814  df-suc 4815  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-om 6622  df-recs 6982  df-rdg 7016
This theorem is referenced by:  itunitc1  8735  itunitc  8736  ituniiun  8737  hsmexlem4  8744
  Copyright terms: Public domain W3C validator