Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgz Structured version   Unicode version

Theorem itgz 22060
 Description: The integral of zero on any set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itgz

Proof of Theorem itgz
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . 3
21dfitg 22049 . 2
3 ax-icn 9554 . . . . . . . . . . . . . . 15
4 elfznn0 11779 . . . . . . . . . . . . . . 15
5 expcl 12163 . . . . . . . . . . . . . . 15
63, 4, 5sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14
7 elfzelz 11697 . . . . . . . . . . . . . . 15
8 ine0 9998 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9 expne0i 12177 . . . . . . . . . . . . . . . 16
103, 8, 9mp3an12 1315 . . . . . . . . . . . . . . 15
117, 10syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
126, 11div0d 10325 . . . . . . . . . . . . 13
1312fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . 12
14 re0 12964 . . . . . . . . . . . 12
1513, 14syl6eq 2500 . . . . . . . . . . 11
1615ifeq1d 3944 . . . . . . . . . 10
17 ifid 3963 . . . . . . . . . 10
1816, 17syl6eq 2500 . . . . . . . . 9
1918mpteq2dv 4524 . . . . . . . 8
20 fconstmpt 5033 . . . . . . . 8
2119, 20syl6eqr 2502 . . . . . . 7
2221fveq2d 5860 . . . . . 6
23 itg20 22017 . . . . . 6
2422, 23syl6eq 2500 . . . . 5
2524oveq2d 6297 . . . 4
266mul01d 9782 . . . 4
2725, 26eqtrd 2484 . . 3
2827sumeq2i 13500 . 2
29 fzfi 12061 . . . 4
3029olci 391 . . 3
31 sumz 13523 . . 3
3230, 31ax-mp 5 . 2
332, 28, 323eqtri 2476 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wo 368   wa 369   wceq 1383   wcel 1804   wne 2638   wss 3461  cif 3926  csn 4014   class class class wbr 4437   cmpt 4495   cxp 4987  cfv 5578  (class class class)co 6281  cfn 7518  cc 9493  cr 9494  cc0 9495  ci 9497   cmul 9500   cle 9632   cdiv 10212  c3 10592  cn0 10801  cz 10870  cuz 11090  cfz 11681  cexp 12145  cre 12909  csu 13487  citg2 21898  citg 21900 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-disj 4408  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-ofr 6526  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-q 11192  df-rp 11230  df-xadd 11328  df-ioo 11542  df-ico 11544  df-icc 11545  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-fl 11908  df-seq 12087  df-exp 12146  df-hash 12385  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-clim 13290  df-sum 13488  df-xmet 18286  df-met 18287  df-ovol 21749  df-vol 21750  df-mbf 21901  df-itg1 21902  df-itg2 21903  df-itg 21905  df-0p 21950 This theorem is referenced by:  itgge0  22090  itgfsum  22106
 Copyright terms: Public domain W3C validator