MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgz Structured version   Unicode version

Theorem itgz 21917
Description: The integral of zero on any set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itgz  |-  S. A
0  _d x  =  0

Proof of Theorem itgz
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2462 . . 3  |-  ( Re
`  ( 0  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) )
21dfitg 21906 . 2  |-  S. A
0  _d x  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^
k )  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( 0  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 ) ) ) )
3 ax-icn 9542 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  _i  e.  CC
4 elfznn0 11761 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  k  e.  NN0 )
5 expcl 12142 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( _i ^ k
)  e.  CC )
63, 4, 5sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
7 elfzelz 11679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  k  e.  ZZ )
8 ine0 9983 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  _i  =/=  0
9 expne0i 12155 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
103, 8, 9mp3an12 1309 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
117, 10syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
126, 11div0d 10310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
0  /  ( _i
^ k ) )  =  0 )
1312fveq2d 5863 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re ` 
0 ) )
14 re0 12937 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Re
`  0 )  =  0
1513, 14syl6eq 2519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) )  =  0 )
1615ifeq1d 3952 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  0 ,  0 ) )
17 ifid 3971 . . . . . . . . . 10  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( 0  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  0 ,  0 )  =  0
1816, 17syl6eq 2519 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  =  0 )
1918mpteq2dv 4529 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  0 ) )
20 fconstmpt 5037 . . . . . . . 8  |-  ( RR 
X.  { 0 } )  =  ( x  e.  RR  |->  0 )
2119, 20syl6eqr 2521 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( RR  X.  { 0 } ) )
2221fveq2d 5863 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( 0  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( RR 
X.  { 0 } ) ) )
23 itg20 21874 . . . . . 6  |-  ( S.2 `  ( RR  X.  {
0 } ) )  =  0
2422, 23syl6eq 2519 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( 0  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  =  0 )
2524oveq2d 6293 . . . 4  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( _i ^ k
)  x.  0 ) )
266mul01d 9769 . . . 4  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
( _i ^ k
)  x.  0 )  =  0 )
2725, 26eqtrd 2503 . . 3  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  0 )
2827sumeq2i 13472 . 2  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... 3
) ( ( _i
^ k )  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) 0
29 fzfi 12040 . . . 4  |-  ( 0 ... 3 )  e. 
Fin
3029olci 391 . . 3  |-  ( ( 0 ... 3 ) 
C_  ( ZZ>= `  0
)  \/  ( 0 ... 3 )  e. 
Fin )
31 sumz 13495 . . 3  |-  ( ( ( 0 ... 3
)  C_  ( ZZ>= ` 
0 )  \/  (
0 ... 3 )  e. 
Fin )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... 3
) 0  =  0 )
3230, 31ax-mp 5 . 2  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... 3
) 0  =  0
332, 28, 323eqtri 2495 1  |-  S. A
0  _d x  =  0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2657    C_ wss 3471   ifcif 3934   {csn 4022   class class class wbr 4442    |-> cmpt 4500    X. cxp 4992   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   Fincfn 7508   CCcc 9481   RRcr 9482   0cc0 9483   _ici 9485    x. cmul 9488    <_ cle 9620    / cdiv 10197   3c3 10577   NN0cn0 10786   ZZcz 10855   ZZ>=cuz 11073   ...cfz 11663   ^cexp 12124   Recre 12882   sum_csu 13459   S.2citg2 21755   S.citg 21757
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561  ax-addf 9562
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-disj 4413  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6517  df-ofr 6518  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-sup 7892  df-oi 7926  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-q 11174  df-rp 11212  df-xadd 11310  df-ioo 11524  df-ico 11526  df-icc 11527  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-fl 11888  df-seq 12066  df-exp 12125  df-hash 12363  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-clim 13262  df-sum 13460  df-xmet 18178  df-met 18179  df-ovol 21606  df-vol 21607  df-mbf 21758  df-itg1 21759  df-itg2 21760  df-itg 21762  df-0p 21807
This theorem is referenced by:  itgge0  21947  itgfsum  21963
  Copyright terms: Public domain W3C validator