MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgz Structured version   Unicode version

Theorem itgz 21257
Description: The integral of zero on any set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itgz  |-  S. A
0  _d x  =  0

Proof of Theorem itgz
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2442 . . 3  |-  ( Re
`  ( 0  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) )
21dfitg 21246 . 2  |-  S. A
0  _d x  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^
k )  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( 0  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 ) ) ) )
3 ax-icn 9340 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  _i  e.  CC
4 elfznn0 11480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  k  e.  NN0 )
5 expcl 11882 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( _i ^ k
)  e.  CC )
63, 4, 5sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
7 elfzelz 11452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  k  e.  ZZ )
8 ine0 9779 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  _i  =/=  0
9 expne0i 11895 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
103, 8, 9mp3an12 1304 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
117, 10syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
126, 11div0d 10105 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
0  /  ( _i
^ k ) )  =  0 )
1312fveq2d 5694 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re ` 
0 ) )
14 re0 12640 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Re
`  0 )  =  0
1513, 14syl6eq 2490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) )  =  0 )
1615ifeq1d 3806 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  0 ,  0 ) )
17 ifid 3825 . . . . . . . . . 10  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( 0  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  0 ,  0 )  =  0
1816, 17syl6eq 2490 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  =  0 )
1918mpteq2dv 4378 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  0 ) )
20 fconstmpt 4881 . . . . . . . 8  |-  ( RR 
X.  { 0 } )  =  ( x  e.  RR  |->  0 )
2119, 20syl6eqr 2492 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( RR  X.  { 0 } ) )
2221fveq2d 5694 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( 0  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( RR 
X.  { 0 } ) ) )
23 itg20 21214 . . . . . 6  |-  ( S.2 `  ( RR  X.  {
0 } ) )  =  0
2422, 23syl6eq 2490 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( 0  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  =  0 )
2524oveq2d 6106 . . . 4  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( _i ^ k
)  x.  0 ) )
266mul01d 9567 . . . 4  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
( _i ^ k
)  x.  0 )  =  0 )
2725, 26eqtrd 2474 . . 3  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  0 )
2827sumeq2i 13175 . 2  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... 3
) ( ( _i
^ k )  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) 0
29 fzfi 11793 . . . 4  |-  ( 0 ... 3 )  e. 
Fin
3029olci 391 . . 3  |-  ( ( 0 ... 3 ) 
C_  ( ZZ>= `  0
)  \/  ( 0 ... 3 )  e. 
Fin )
31 sumz 13198 . . 3  |-  ( ( ( 0 ... 3
)  C_  ( ZZ>= ` 
0 )  \/  (
0 ... 3 )  e. 
Fin )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... 3
) 0  =  0 )
3230, 31ax-mp 5 . 2  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... 3
) 0  =  0
332, 28, 323eqtri 2466 1  |-  S. A
0  _d x  =  0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2605    C_ wss 3327   ifcif 3790   {csn 3876   class class class wbr 4291    e. cmpt 4349    X. cxp 4837   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   Fincfn 7309   CCcc 9279   RRcr 9280   0cc0 9281   _ici 9283    x. cmul 9286    <_ cle 9418    / cdiv 9992   3c3 10371   NN0cn0 10578   ZZcz 10645   ZZ>=cuz 10860   ...cfz 11436   ^cexp 11864   Recre 12585   sum_csu 13162   S.2citg2 21095   S.citg 21097
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-inf2 7846  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358  ax-pre-sup 9359  ax-addf 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-disj 4262  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-se 4679  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-ofr 6320  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-2o 6920  df-oadd 6923  df-er 7100  df-map 7215  df-pm 7216  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-sup 7690  df-oi 7723  df-card 8108  df-cda 8336  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-div 9993  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-n0 10579  df-z 10646  df-uz 10861  df-q 10953  df-rp 10991  df-xadd 11089  df-ioo 11303  df-ico 11305  df-icc 11306  df-fz 11437  df-fzo 11548  df-fl 11641  df-seq 11806  df-exp 11865  df-hash 12103  df-cj 12587  df-re 12588  df-im 12589  df-sqr 12723  df-abs 12724  df-clim 12965  df-sum 13163  df-xmet 17809  df-met 17810  df-ovol 20947  df-vol 20948  df-mbf 21098  df-itg1 21099  df-itg2 21100  df-itg 21102  df-0p 21147
This theorem is referenced by:  itgge0  21287  itgfsum  21303
  Copyright terms: Public domain W3C validator