MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgz Structured version   Unicode version

Theorem itgz 22060
Description: The integral of zero on any set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itgz  |-  S. A
0  _d x  =  0

Proof of Theorem itgz
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . 3  |-  ( Re
`  ( 0  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) )
21dfitg 22049 . 2  |-  S. A
0  _d x  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^
k )  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( 0  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 ) ) ) )
3 ax-icn 9554 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  _i  e.  CC
4 elfznn0 11779 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  k  e.  NN0 )
5 expcl 12163 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( _i ^ k
)  e.  CC )
63, 4, 5sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
7 elfzelz 11697 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  k  e.  ZZ )
8 ine0 9998 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  _i  =/=  0
9 expne0i 12177 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
103, 8, 9mp3an12 1315 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
117, 10syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
126, 11div0d 10325 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
0  /  ( _i
^ k ) )  =  0 )
1312fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re ` 
0 ) )
14 re0 12964 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Re
`  0 )  =  0
1513, 14syl6eq 2500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) )  =  0 )
1615ifeq1d 3944 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  0 ,  0 ) )
17 ifid 3963 . . . . . . . . . 10  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( 0  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  0 ,  0 )  =  0
1816, 17syl6eq 2500 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  =  0 )
1918mpteq2dv 4524 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  0 ) )
20 fconstmpt 5033 . . . . . . . 8  |-  ( RR 
X.  { 0 } )  =  ( x  e.  RR  |->  0 )
2119, 20syl6eqr 2502 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( RR  X.  { 0 } ) )
2221fveq2d 5860 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( 0  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( RR 
X.  { 0 } ) ) )
23 itg20 22017 . . . . . 6  |-  ( S.2 `  ( RR  X.  {
0 } ) )  =  0
2422, 23syl6eq 2500 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( 0  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  =  0 )
2524oveq2d 6297 . . . 4  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( _i ^ k
)  x.  0 ) )
266mul01d 9782 . . . 4  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
( _i ^ k
)  x.  0 )  =  0 )
2725, 26eqtrd 2484 . . 3  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  0 )
2827sumeq2i 13500 . 2  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... 3
) ( ( _i
^ k )  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
0  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( 0  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) 0
29 fzfi 12061 . . . 4  |-  ( 0 ... 3 )  e. 
Fin
3029olci 391 . . 3  |-  ( ( 0 ... 3 ) 
C_  ( ZZ>= `  0
)  \/  ( 0 ... 3 )  e. 
Fin )
31 sumz 13523 . . 3  |-  ( ( ( 0 ... 3
)  C_  ( ZZ>= ` 
0 )  \/  (
0 ... 3 )  e. 
Fin )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... 3
) 0  =  0 )
3230, 31ax-mp 5 . 2  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... 3
) 0  =  0
332, 28, 323eqtri 2476 1  |-  S. A
0  _d x  =  0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638    C_ wss 3461   ifcif 3926   {csn 4014   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495    X. cxp 4987   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Fincfn 7518   CCcc 9493   RRcr 9494   0cc0 9495   _ici 9497    x. cmul 9500    <_ cle 9632    / cdiv 10212   3c3 10592   NN0cn0 10801   ZZcz 10870   ZZ>=cuz 11090   ...cfz 11681   ^cexp 12145   Recre 12909   sum_csu 13487   S.2citg2 21898   S.citg 21900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-disj 4408  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-ofr 6526  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-q 11192  df-rp 11230  df-xadd 11328  df-ioo 11542  df-ico 11544  df-icc 11545  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-fl 11908  df-seq 12087  df-exp 12146  df-hash 12385  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-clim 13290  df-sum 13488  df-xmet 18286  df-met 18287  df-ovol 21749  df-vol 21750  df-mbf 21901  df-itg1 21902  df-itg2 21903  df-itg 21905  df-0p 21950
This theorem is referenced by:  itgge0  22090  itgfsum  22106
  Copyright terms: Public domain W3C validator