Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgvol0 Structured version   Unicode version

Theorem itgvol0 37786
Description: If the domani is negligible, the function is integrable and the integral is 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgvol0.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
itgvol0.2  |-  ( ph  ->  ( vol* `  A )  =  0 )
itgvol0.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
itgvol0  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1  /\  S. A B  _d x  =  0 ) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem itgvol0
StepHypRef Expression
1 mpt0 5723 . . . 4  |-  ( x  e.  (/)  |->  B )  =  (/)
2 iblempty 37783 . . . 4  |-  (/)  e.  L^1
31, 2eqeltri 2503 . . 3  |-  ( x  e.  (/)  |->  B )  e.  L^1
4 0ss 3793 . . . . . 6  |-  (/)  C_  A
54a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
(/)  C_  A )
6 itgvol0.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
7 difssd 3593 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  \  (/) )  C_  A )
8 itgvol0.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( vol* `  A )  =  0 )
9 ovolssnul 22439 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  \  (/) )  C_  A  /\  A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  =  0 )  ->  ( vol* `  ( A  \  (/) ) )  =  0 )
107, 6, 8, 9syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( A  \  (/) ) )  =  0 )
11 itgvol0.3 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
125, 6, 10, 11itgss3 22771 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  (/)  |->  B )  e.  L^1  <->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )  /\  S. (/) B  _d x  =  S. A B  _d x ) )
1312simpld 460 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  (/)  |->  B )  e.  L^1  <->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 ) )
143, 13mpbii 214 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
15 itg0 22736 . . 3  |-  S. (/) B  _d x  =  0
1612simprd 464 . . 3  |-  ( ph  ->  S. (/) B  _d x  =  S. A B  _d x )
1715, 16syl5reqr 2478 . 2  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  0 )
1814, 17jca 534 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1  /\  S. A B  _d x  =  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872    \ cdif 3433    C_ wss 3436   (/)c0 3761    |-> cmpt 4482   ` cfv 5601   CCcc 9545   RRcr 9546   0cc0 9547   vol*covol 22412   L^1cibl 22574   S.citg 22575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598  ax-inf2 8156  ax-cnex 9603  ax-resscn 9604  ax-1cn 9605  ax-icn 9606  ax-addcl 9607  ax-addrcl 9608  ax-mulcl 9609  ax-mulrcl 9610  ax-mulcom 9611  ax-addass 9612  ax-mulass 9613  ax-distr 9614  ax-i2m1 9615  ax-1ne0 9616  ax-1rid 9617  ax-rnegex 9618  ax-rrecex 9619  ax-cnre 9620  ax-pre-lttri 9621  ax-pre-lttrn 9622  ax-pre-ltadd 9623  ax-pre-mulgt0 9624  ax-pre-sup 9625  ax-addf 9626
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-disj 4395  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6268  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-of 6546  df-ofr 6547  df-om 6708  df-1st 6808  df-2nd 6809  df-wrecs 7040  df-recs 7102  df-rdg 7140  df-1o 7194  df-2o 7195  df-oadd 7198  df-er 7375  df-map 7486  df-pm 7487  df-en 7582  df-dom 7583  df-sdom 7584  df-fin 7585  df-fi 7935  df-sup 7966  df-inf 7967  df-oi 8035  df-card 8382  df-cda 8606  df-pnf 9685  df-mnf 9686  df-xr 9687  df-ltxr 9688  df-le 9689  df-sub 9870  df-neg 9871  df-div 10278  df-nn 10618  df-2 10676  df-3 10677  df-4 10678  df-n0 10878  df-z 10946  df-uz 11168  df-q 11273  df-rp 11311  df-xneg 11417  df-xadd 11418  df-xmul 11419  df-ioo 11647  df-ico 11649  df-icc 11650  df-fz 11793  df-fzo 11924  df-fl 12035  df-mod 12104  df-seq 12221  df-exp 12280  df-hash 12523  df-cj 13163  df-re 13164  df-im 13165  df-sqrt 13299  df-abs 13300  df-clim 13552  df-sum 13753  df-rest 15321  df-topgen 15342  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-top 19920  df-bases 19921  df-topon 19922  df-cmp 20401  df-ovol 22415  df-vol 22417  df-mbf 22576  df-itg1 22577  df-itg2 22578  df-ibl 22579  df-itg 22580  df-0p 22627
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator