MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgulm2 Structured version   Unicode version

Theorem itgulm2 23094
Description: A uniform limit of integrals of integrable functions converges to the integral of the limit function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
itgulm2.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
itgulm2.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
itgulm2.c  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
x  e.  S  |->  A )  e.  ( S
-cn-> CC ) )
itgulm2.l  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
x  e.  S  |->  A )  e.  L^1 )
itgulm2.u  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) ( ~~> u `  S ) ( x  e.  S  |->  B ) )
itgulm2.s  |-  ( ph  ->  ( vol `  S
)  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
itgulm2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  S  |->  B )  e.  L^1  /\  (
k  e.  Z  |->  S. S A  _d x )  ~~>  S. S B  _d x ) )
Distinct variable groups:    x, k, ph    S, k, x    k, Z, x
Allowed substitution hints:    A( x, k)    B( x, k)    M( x, k)

Proof of Theorem itgulm2
Dummy variables  n  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgulm2.z . . 3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 itgulm2.m . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 itgulm2.l . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
x  e.  S  |->  A )  e.  L^1 )
4 eqid 2402 . . . 4  |-  ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) )  =  ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) )
53, 4fmptd 6032 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) : Z --> L^1 )
6 itgulm2.u . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) ( ~~> u `  S ) ( x  e.  S  |->  B ) )
7 itgulm2.s . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol `  S
)  e.  RR )
81, 2, 5, 6, 7iblulm 23092 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  |->  B )  e.  L^1 )
91, 2, 5, 6, 7itgulm 23093 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  Z  |->  S. S ( ( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `  n ) `  z
)  _d z )  ~~>  S. S ( ( x  e.  S  |->  B ) `  z )  _d z )
10 nfcv 2564 . . . . . 6  |-  F/_ k S
11 nffvmpt1 5856 . . . . . . 7  |-  F/_ k
( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `
 n )
12 nfcv 2564 . . . . . . 7  |-  F/_ k
z
1311, 12nffv 5855 . . . . . 6  |-  F/_ k
( ( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `  n ) `
 z )
1410, 13nfitg 22471 . . . . 5  |-  F/_ k S. S ( ( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `  n
) `  z )  _d z
15 nfcv 2564 . . . . 5  |-  F/_ n S. S ( ( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `  k
) `  x )  _d x
16 fveq2 5848 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  (
( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `
 n ) `  z )  =  ( ( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `
 n ) `  x ) )
17 nfcv 2564 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x Z
18 nfmpt1 4483 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( x  e.  S  |->  A )
1917, 18nfmpt 4482 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) )
20 nfcv 2564 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x n
2119, 20nffv 5855 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `
 n )
22 nfcv 2564 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
z
2321, 22nffv 5855 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( ( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `  n ) `
 z )
24 nfcv 2564 . . . . . . 7  |-  F/_ z
( ( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `  n ) `
 x )
2516, 23, 24cbvitg 22472 . . . . . 6  |-  S. S
( ( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `  n ) `
 z )  _d z  =  S. S
( ( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `  n ) `
 x )  _d x
26 fveq2 5848 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `  n )  =  ( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `  k ) )
2726fveq1d 5850 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `
 n ) `  x )  =  ( ( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `
 k ) `  x ) )
2827adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( n  =  k  /\  x  e.  S )  ->  ( ( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `  n ) `
 x )  =  ( ( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `  k ) `
 x ) )
2928itgeq2dv 22478 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  S. S ( ( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `  n
) `  x )  _d x  =  S. S ( ( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `  k
) `  x )  _d x )
3025, 29syl5eq 2455 . . . . 5  |-  ( n  =  k  ->  S. S ( ( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `  n
) `  z )  _d z  =  S. S ( ( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `  k
) `  x )  _d x )
3114, 15, 30cbvmpt 4485 . . . 4  |-  ( n  e.  Z  |->  S. S
( ( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `  n ) `
 z )  _d z )  =  ( k  e.  Z  |->  S. S ( ( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `  k
) `  x )  _d x )
32 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  S )  ->  k  e.  Z )
33 ulmscl 23064 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) ( ~~> u `  S ) ( x  e.  S  |->  B )  ->  S  e.  _V )
34 mptexg 6122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  _V  ->  (
x  e.  S  |->  A )  e.  _V )
356, 33, 343syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  |->  A )  e.  _V )
3635ad2antrr 724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  S )  ->  (
x  e.  S  |->  A )  e.  _V )
374fvmpt2 5940 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  Z  /\  ( x  e.  S  |->  A )  e.  _V )  ->  ( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `  k )  =  ( x  e.  S  |->  A ) )
3832, 36, 37syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  S )  ->  (
( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `  k )  =  ( x  e.  S  |->  A ) )
3938fveq1d 5850 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `
 k ) `  x )  =  ( ( x  e.  S  |->  A ) `  x
) )
40 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  S )
4135ralrimivw 2818 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  ( x  e.  S  |->  A )  e.  _V )
424fnmpt 5689 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. k  e.  Z  (
x  e.  S  |->  A )  e.  _V  ->  ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) )  Fn  Z
)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) )  Fn  Z )
44 ulmf2 23069 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) )  Fn  Z  /\  ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) ( ~~> u `  S ) ( x  e.  S  |->  B ) )  ->  ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) : Z --> ( CC 
^m  S ) )
4543, 6, 44syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) : Z --> ( CC  ^m  S ) )
464fmpt 6029 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. k  e.  Z  (
x  e.  S  |->  A )  e.  ( CC 
^m  S )  <->  ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) : Z --> ( CC 
^m  S ) )
4745, 46sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  ( x  e.  S  |->  A )  e.  ( CC  ^m  S ) )
4847r19.21bi 2772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
x  e.  S  |->  A )  e.  ( CC 
^m  S ) )
49 elmapi 7477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  S  |->  A )  e.  ( CC 
^m  S )  -> 
( x  e.  S  |->  A ) : S --> CC )
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
x  e.  S  |->  A ) : S --> CC )
51 eqid 2402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  S  |->  A )  =  ( x  e.  S  |->  A )
5251fmpt 6029 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  S  A  e.  CC  <->  ( x  e.  S  |->  A ) : S --> CC )
5350, 52sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A. x  e.  S  A  e.  CC )
5453r19.21bi 2772 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  CC )
5551fvmpt2 5940 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  S  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  S  |->  A ) `  x )  =  A )
5640, 54, 55syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  e.  S  |->  A ) `  x
)  =  A )
5739, 56eqtrd 2443 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `
 k ) `  x )  =  A )
5857itgeq2dv 22478 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  S. S ( ( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `  k
) `  x )  _d x  =  S. S A  _d x
)
5958mpteq2dva 4480 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  S. S ( ( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `  k ) `  x
)  _d x )  =  ( k  e.  Z  |->  S. S A  _d x ) )
6031, 59syl5eq 2455 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  Z  |->  S. S ( ( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `  n ) `  z
)  _d z )  =  ( k  e.  Z  |->  S. S A  _d x ) )
61 fveq2 5848 . . . . 5  |-  ( z  =  x  ->  (
( x  e.  S  |->  B ) `  z
)  =  ( ( x  e.  S  |->  B ) `  x ) )
62 nffvmpt1 5856 . . . . 5  |-  F/_ x
( ( x  e.  S  |->  B ) `  z )
63 nfcv 2564 . . . . 5  |-  F/_ z
( ( x  e.  S  |->  B ) `  x )
6461, 62, 63cbvitg 22472 . . . 4  |-  S. S
( ( x  e.  S  |->  B ) `  z )  _d z  =  S. S ( ( x  e.  S  |->  B ) `  x
)  _d x
65 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  S )
66 ulmcl 23066 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) ( ~~> u `  S ) ( x  e.  S  |->  B )  ->  ( x  e.  S  |->  B ) : S --> CC )
676, 66syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  |->  B ) : S --> CC )
68 eqid 2402 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  S  |->  B )  =  ( x  e.  S  |->  B )
6968fmpt 6029 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  S  B  e.  CC  <->  ( x  e.  S  |->  B ) : S --> CC )
7067, 69sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  B  e.  CC )
7170r19.21bi 2772 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  CC )
7268fvmpt2 5940 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  S  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  S  |->  B ) `  x )  =  B )
7365, 71, 72syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  e.  S  |->  B ) `  x
)  =  B )
7473itgeq2dv 22478 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. S ( ( x  e.  S  |->  B ) `  x )  _d x  =  S. S B  _d x )
7564, 74syl5eq 2455 . . 3  |-  ( ph  ->  S. S ( ( x  e.  S  |->  B ) `  z )  _d z  =  S. S B  _d x )
769, 60, 753brtr3d 4423 . 2  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  S. S A  _d x )  ~~>  S. S B  _d x )
778, 76jca 530 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  S  |->  B )  e.  L^1  /\  (
k  e.  Z  |->  S. S A  _d x )  ~~>  S. S B  _d x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2753   _Vcvv 3058   class class class wbr 4394    |-> cmpt 4452    Fn wfn 5563   -->wf 5564   ` cfv 5568  (class class class)co 6277    ^m cmap 7456   CCcc 9519   RRcr 9520   ZZcz 10904   ZZ>=cuz 11126    ~~> cli 13454   -cn->ccncf 21670   volcvol 22165   L^1cibl 22316   S.citg 22317   ~~> uculm 23061
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cc 8846  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599  ax-addf 9600  ax-mulf 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-disj 4366  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-ofr 6521  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-supp 6902  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-omul 7171  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-ixp 7507  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fsupp 7863  df-fi 7904  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-acn 8354  df-cda 8579  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-dec 11019  df-uz 11127  df-q 11227  df-rp 11265  df-xneg 11370  df-xadd 11371  df-xmul 11372  df-ioo 11585  df-ioc 11586  df-ico 11587  df-icc 11588  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-fl 11964  df-mod 12033  df-seq 12150  df-exp 12209  df-hash 12451  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-limsup 13441  df-clim 13458  df-rlim 13459  df-sum 13656  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-starv 14922  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-ip 14925  df-tset 14926  df-ple 14927  df-ds 14929  df-unif 14930  df-hom 14931  df-cco 14932  df-rest 15035  df-topn 15036  df-0g 15054  df-gsum 15055  df-topgen 15056  df-pt 15057  df-prds 15060  df-xrs 15114  df-qtop 15119  df-imas 15120  df-xps 15122  df-mre 15198  df-mrc 15199  df-acs 15201  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-submnd 16289  df-mulg 16382  df-cntz 16677  df-cmn 17122  df-psmet 18729  df-xmet 18730  df-met 18731  df-bl 18732  df-mopn 18733  df-cnfld 18739  df-top 19689  df-bases 19691  df-topon 19692  df-topsp 19693  df-cn 20019  df-cnp 20020  df-cmp 20178  df-tx 20353  df-hmeo 20546  df-xms 21113  df-ms 21114  df-tms 21115  df-cncf 21672  df-ovol 22166  df-vol 22167  df-mbf 22318  df-itg1 22319  df-itg2 22320  df-ibl 22321  df-itg 22322  df-0p 22367  df-ulm 23062
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator