MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgulm2 Structured version   Unicode version

Theorem itgulm2 22002
Description: A uniform limit of integrals of integrable functions converges to the integral of the limit function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
itgulm2.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
itgulm2.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
itgulm2.c  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
x  e.  S  |->  A )  e.  ( S
-cn-> CC ) )
itgulm2.l  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
x  e.  S  |->  A )  e.  L^1 )
itgulm2.u  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) ( ~~> u `  S ) ( x  e.  S  |->  B ) )
itgulm2.s  |-  ( ph  ->  ( vol `  S
)  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
itgulm2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  S  |->  B )  e.  L^1  /\  (
k  e.  Z  |->  S. S A  _d x )  ~~>  S. S B  _d x ) )
Distinct variable groups:    x, k, ph    S, k, x    k, Z, x
Allowed substitution hints:    A( x, k)    B( x, k)    M( x, k)

Proof of Theorem itgulm2
Dummy variables  n  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgulm2.z . . 3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 itgulm2.m . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 itgulm2.l . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
x  e.  S  |->  A )  e.  L^1 )
4 eqid 2452 . . . 4  |-  ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) )  =  ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) )
53, 4fmptd 5971 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) : Z --> L^1 )
6 itgulm2.u . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) ( ~~> u `  S ) ( x  e.  S  |->  B ) )
7 itgulm2.s . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol `  S
)  e.  RR )
81, 2, 5, 6, 7iblulm 22000 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  |->  B )  e.  L^1 )
91, 2, 5, 6, 7itgulm 22001 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  Z  |->  S. S ( ( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `  n ) `  z
)  _d z )  ~~>  S. S ( ( x  e.  S  |->  B ) `  z )  _d z )
10 nfcv 2614 . . . . . 6  |-  F/_ k S
11 nffvmpt1 5802 . . . . . . 7  |-  F/_ k
( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `
 n )
12 nfcv 2614 . . . . . . 7  |-  F/_ k
z
1311, 12nffv 5801 . . . . . 6  |-  F/_ k
( ( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `  n ) `
 z )
1410, 13nfitg 21380 . . . . 5  |-  F/_ k S. S ( ( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `  n
) `  z )  _d z
15 nfcv 2614 . . . . 5  |-  F/_ n S. S ( ( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `  k
) `  x )  _d x
16 fveq2 5794 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  (
( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `
 n ) `  z )  =  ( ( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `
 n ) `  x ) )
17 nfcv 2614 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x Z
18 nfmpt1 4484 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( x  e.  S  |->  A )
1917, 18nfmpt 4483 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) )
20 nfcv 2614 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x n
2119, 20nffv 5801 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `
 n )
22 nfcv 2614 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
z
2321, 22nffv 5801 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( ( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `  n ) `
 z )
24 nfcv 2614 . . . . . . 7  |-  F/_ z
( ( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `  n ) `
 x )
2516, 23, 24cbvitg 21381 . . . . . 6  |-  S. S
( ( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `  n ) `
 z )  _d z  =  S. S
( ( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `  n ) `
 x )  _d x
26 fveq2 5794 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `  n )  =  ( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `  k ) )
2726fveq1d 5796 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `
 n ) `  x )  =  ( ( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `
 k ) `  x ) )
2827adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( n  =  k  /\  x  e.  S )  ->  ( ( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `  n ) `
 x )  =  ( ( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `  k ) `
 x ) )
2928itgeq2dv 21387 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  S. S ( ( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `  n
) `  x )  _d x  =  S. S ( ( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `  k
) `  x )  _d x )
3025, 29syl5eq 2505 . . . . 5  |-  ( n  =  k  ->  S. S ( ( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `  n
) `  z )  _d z  =  S. S ( ( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `  k
) `  x )  _d x )
3114, 15, 30cbvmpt 4485 . . . 4  |-  ( n  e.  Z  |->  S. S
( ( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `  n ) `
 z )  _d z )  =  ( k  e.  Z  |->  S. S ( ( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `  k
) `  x )  _d x )
32 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  S )  ->  k  e.  Z )
33 ulmscl 21972 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) ( ~~> u `  S ) ( x  e.  S  |->  B )  ->  S  e.  _V )
34 mptexg 6051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  _V  ->  (
x  e.  S  |->  A )  e.  _V )
356, 33, 343syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  |->  A )  e.  _V )
3635ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  S )  ->  (
x  e.  S  |->  A )  e.  _V )
374fvmpt2 5885 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  Z  /\  ( x  e.  S  |->  A )  e.  _V )  ->  ( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `  k )  =  ( x  e.  S  |->  A ) )
3832, 36, 37syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  S )  ->  (
( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `  k )  =  ( x  e.  S  |->  A ) )
3938fveq1d 5796 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `
 k ) `  x )  =  ( ( x  e.  S  |->  A ) `  x
) )
40 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  S )
4135ralrimivw 2828 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  ( x  e.  S  |->  A )  e.  _V )
424fnmpt 5640 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. k  e.  Z  (
x  e.  S  |->  A )  e.  _V  ->  ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) )  Fn  Z
)
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) )  Fn  Z )
44 ulmf2 21977 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) )  Fn  Z  /\  ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) ( ~~> u `  S ) ( x  e.  S  |->  B ) )  ->  ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) : Z --> ( CC 
^m  S ) )
4543, 6, 44syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) : Z --> ( CC  ^m  S ) )
464fmpt 5968 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. k  e.  Z  (
x  e.  S  |->  A )  e.  ( CC 
^m  S )  <->  ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) : Z --> ( CC 
^m  S ) )
4745, 46sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  ( x  e.  S  |->  A )  e.  ( CC  ^m  S ) )
4847r19.21bi 2914 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
x  e.  S  |->  A )  e.  ( CC 
^m  S ) )
49 elmapi 7339 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  S  |->  A )  e.  ( CC 
^m  S )  -> 
( x  e.  S  |->  A ) : S --> CC )
5048, 49syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
x  e.  S  |->  A ) : S --> CC )
51 eqid 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  S  |->  A )  =  ( x  e.  S  |->  A )
5251fmpt 5968 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  S  A  e.  CC  <->  ( x  e.  S  |->  A ) : S --> CC )
5350, 52sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A. x  e.  S  A  e.  CC )
5453r19.21bi 2914 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  CC )
5551fvmpt2 5885 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  S  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  S  |->  A ) `  x )  =  A )
5640, 54, 55syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  e.  S  |->  A ) `  x
)  =  A )
5739, 56eqtrd 2493 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `
 k ) `  x )  =  A )
5857itgeq2dv 21387 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  S. S ( ( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `  k
) `  x )  _d x  =  S. S A  _d x
)
5958mpteq2dva 4481 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  S. S ( ( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `  k ) `  x
)  _d x )  =  ( k  e.  Z  |->  S. S A  _d x ) )
6031, 59syl5eq 2505 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  Z  |->  S. S ( ( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) `  n ) `  z
)  _d z )  =  ( k  e.  Z  |->  S. S A  _d x ) )
61 fveq2 5794 . . . . 5  |-  ( z  =  x  ->  (
( x  e.  S  |->  B ) `  z
)  =  ( ( x  e.  S  |->  B ) `  x ) )
62 nffvmpt1 5802 . . . . 5  |-  F/_ x
( ( x  e.  S  |->  B ) `  z )
63 nfcv 2614 . . . . 5  |-  F/_ z
( ( x  e.  S  |->  B ) `  x )
6461, 62, 63cbvitg 21381 . . . 4  |-  S. S
( ( x  e.  S  |->  B ) `  z )  _d z  =  S. S ( ( x  e.  S  |->  B ) `  x
)  _d x
65 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  S )
66 ulmcl 21974 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  A ) ) ( ~~> u `  S ) ( x  e.  S  |->  B )  ->  ( x  e.  S  |->  B ) : S --> CC )
676, 66syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  |->  B ) : S --> CC )
68 eqid 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  S  |->  B )  =  ( x  e.  S  |->  B )
6968fmpt 5968 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  S  B  e.  CC  <->  ( x  e.  S  |->  B ) : S --> CC )
7067, 69sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  B  e.  CC )
7170r19.21bi 2914 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  CC )
7268fvmpt2 5885 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  S  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  S  |->  B ) `  x )  =  B )
7365, 71, 72syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  e.  S  |->  B ) `  x
)  =  B )
7473itgeq2dv 21387 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. S ( ( x  e.  S  |->  B ) `  x )  _d x  =  S. S B  _d x )
7564, 74syl5eq 2505 . . 3  |-  ( ph  ->  S. S ( ( x  e.  S  |->  B ) `  z )  _d z  =  S. S B  _d x )
769, 60, 753brtr3d 4424 . 2  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  S. S A  _d x )  ~~>  S. S B  _d x )
778, 76jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  S  |->  B )  e.  L^1  /\  (
k  e.  Z  |->  S. S A  _d x )  ~~>  S. S B  _d x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2796   _Vcvv 3072   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453    Fn wfn 5516   -->wf 5517   ` cfv 5521  (class class class)co 6195    ^m cmap 7319   CCcc 9386   RRcr 9387   ZZcz 10752   ZZ>=cuz 10967    ~~> cli 13075   -cn->ccncf 20579   volcvol 21074   L^1cibl 21225   S.citg 21226   ~~> uculm 21969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-inf2 7953  ax-cc 8710  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-pre-sup 9466  ax-addf 9467  ax-mulf 9468
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-iin 4277  df-disj 4366  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-isom 5530  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-of 6425  df-ofr 6426  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-supp 6796  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-2o 7026  df-oadd 7029  df-omul 7030  df-er 7206  df-map 7321  df-pm 7322  df-ixp 7369  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-fsupp 7727  df-fi 7767  df-sup 7797  df-oi 7830  df-card 8215  df-acn 8218  df-cda 8443  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-5 10489  df-6 10490  df-7 10491  df-8 10492  df-9 10493  df-10 10494  df-n0 10686  df-z 10753  df-dec 10862  df-uz 10968  df-q 11060  df-rp 11098  df-xneg 11195  df-xadd 11196  df-xmul 11197  df-ioo 11410  df-ioc 11411  df-ico 11412  df-icc 11413  df-fz 11550  df-fzo 11661  df-fl 11754  df-mod 11821  df-seq 11919  df-exp 11978  df-hash 12216  df-cj 12701  df-re 12702  df-im 12703  df-sqr 12837  df-abs 12838  df-limsup 13062  df-clim 13079  df-rlim 13080  df-sum 13277  df-struct 14289  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-sets 14293  df-ress 14294  df-plusg 14365  df-mulr 14366  df-starv 14367  df-sca 14368  df-vsca 14369  df-ip 14370  df-tset 14371  df-ple 14372  df-ds 14374  df-unif 14375  df-hom 14376  df-cco 14377  df-rest 14475  df-topn 14476  df-0g 14494  df-gsum 14495  df-topgen 14496  df-pt 14497  df-prds 14500  df-xrs 14554  df-qtop 14559  df-imas 14560  df-xps 14562  df-mre 14638  df-mrc 14639  df-acs 14641  df-mnd 15529  df-submnd 15579  df-mulg 15662  df-cntz 15949  df-cmn 16395  df-psmet 17929  df-xmet 17930  df-met 17931  df-bl 17932  df-mopn 17933  df-cnfld 17939  df-top 18630  df-bases 18632  df-topon 18633  df-topsp 18634  df-cn 18958  df-cnp 18959  df-cmp 19117  df-tx 19262  df-hmeo 19455  df-xms 20022  df-ms 20023  df-tms 20024  df-cncf 20581  df-ovol 21075  df-vol 21076  df-mbf 21227  df-itg1 21228  df-itg2 21229  df-ibl 21230  df-itg 21231  df-0p 21276  df-ulm 21970
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator