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Theorem itgulm 23442
Description: A uniform limit of integrals of integrable functions converges to the integral of the limit function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
itgulm.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
itgulm.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
itgulm.f  |-  ( ph  ->  F : Z --> L^1 )
itgulm.u  |-  ( ph  ->  F ( ~~> u `  S ) G )
itgulm.s  |-  ( ph  ->  ( vol `  S
)  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
itgulm  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  S. S ( ( F `  k ) `
 x )  _d x )  ~~>  S. S
( G `  x
)  _d x )
Distinct variable groups:    x, k, F    k, G, x    ph, k, x    k, M, x    S, k, x    k, Z, x

Proof of Theorem itgulm
Dummy variables  j  n  r  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgulm.z . . . . 5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 itgulm.m . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
32adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  M  e.  ZZ )
4 itgulm.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : Z --> L^1 )
5 ffn 5739 . . . . . . . 8  |-  ( F : Z --> L^1 
->  F  Fn  Z
)
64, 5syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  Fn  Z )
7 itgulm.u . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F ( ~~> u `  S ) G )
8 ulmf2 23418 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  Z  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  ->  F : Z --> ( CC  ^m  S ) )
96, 7, 8syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
109adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  F : Z
--> ( CC  ^m  S
) )
11 eqidd 2472 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  z  e.  S )
)  ->  ( ( F `  n ) `  z )  =  ( ( F `  n
) `  z )
)
12 eqidd 2472 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  z  e.  S )  ->  ( G `  z )  =  ( G `  z ) )
137adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  F ( ~~> u `  S ) G )
14 simpr 468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  r  e.  RR+ )
15 itgulm.s . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( vol `  S
)  e.  RR )
1615adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( vol `  S )  e.  RR )
17 ulmcl 23415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F ( ~~> u `  S
) G  ->  G : S --> CC )
18 fdm 5745 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G : S --> CC  ->  dom 
G  =  S )
197, 17, 183syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  G  =  S )
201, 2, 4, 7, 15iblulm 23441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  e.  L^1 )
21 iblmbf 22804 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  e.  L^1  ->  G  e. MblFn )
22 mbfdm 22663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  e. MblFn  ->  dom  G  e.  dom  vol )
2320, 21, 223syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  G  e.  dom  vol )
2419, 23eqeltrrd 2550 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  dom  vol )
25 mblss 22563 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  dom  vol  ->  S 
C_  RR )
26 ovolge0 22512 . . . . . . . . . 10  |-  ( S 
C_  RR  ->  0  <_ 
( vol* `  S ) )
2724, 25, 263syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( vol* `  S ) )
28 mblvol 22562 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  dom  vol  ->  ( vol `  S )  =  ( vol* `  S ) )
2924, 28syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( vol `  S
)  =  ( vol* `  S )
)
3027, 29breqtrrd 4422 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  ( vol `  S ) )
3130adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  0  <_  ( vol `  S ) )
3216, 31ge0p1rpd 11391 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( vol `  S )  +  1 )  e.  RR+ )
3314, 32rpdivcld 11381 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( r  /  ( ( vol `  S )  +  1 ) )  e.  RR+ )
341, 3, 10, 11, 12, 13, 33ulmi 23420 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) )
351uztrn2 11200 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) )  ->  n  e.  Z )
369ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( F `  n )  e.  ( CC  ^m  S
) )
37 elmapi 7511 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  n )  e.  ( CC  ^m  S )  ->  ( F `  n ) : S --> CC )
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( F `  n ) : S --> CC )
3938ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  x  e.  S )  ->  (
( F `  n
) `  x )  e.  CC )
4039adantllr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  n  e.  Z )  /\  x  e.  S
)  ->  ( ( F `  n ) `  x )  e.  CC )
4140adantlrr 735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( ( F `  n ) `  x
)  e.  CC )
4238feqmptd 5932 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( F `  n )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) )
434ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( F `  n )  e.  L^1 )
4442, 43eqeltrrd 2550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  S  |->  ( ( F `  n
) `  x )
)  e.  L^1 )
4544ad2ant2r 761 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( x  e.  S  |->  ( ( F `  n ) `  x
) )  e.  L^1 )
467, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  G : S --> CC )
4746ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  x )  e.  CC )
4847adantlr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  x )  e.  CC )
4948adantlr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  x
)  e.  CC )
5046feqmptd 5932 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  S  |->  ( G `
 x ) ) )
5150, 20eqeltrrd 2550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  |->  ( G `  x
) )  e.  L^1 )
5251ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( x  e.  S  |->  ( G `  x
) )  e.  L^1 )
5341, 45, 49, 52itgsub 22862 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  ->  S. S ( ( ( F `  n ) `
 x )  -  ( G `  x ) )  _d x  =  ( S. S ( ( F `  n
) `  x )  _d x  -  S. S ( G `  x )  _d x ) )
5453fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( abs `  S. S ( ( ( F `  n ) `
 x )  -  ( G `  x ) )  _d x )  =  ( abs `  ( S. S ( ( F `
 n ) `  x )  _d x  -  S. S ( G `  x )  _d x ) ) )
5541, 49subcld 10005 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( ( ( F `
 n ) `  x )  -  ( G `  x )
)  e.  CC )
5641, 45, 49, 52iblsub 22858 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( x  e.  S  |->  ( ( ( F `
 n ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  e.  L^1 )
5755, 56itgcl 22820 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  ->  S. S ( ( ( F `  n ) `
 x )  -  ( G `  x ) )  _d x  e.  CC )
5857abscld 13575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( abs `  S. S ( ( ( F `  n ) `
 x )  -  ( G `  x ) )  _d x )  e.  RR )
5955abscld 13575 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( abs `  (
( ( F `  n ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  e.  RR )
6055, 56iblabs 22865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( x  e.  S  |->  ( abs `  (
( ( F `  n ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) ) )  e.  L^1 )
6159, 60itgrecl 22834 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  ->  S. S ( abs `  (
( ( F `  n ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  _d x  e.  RR )
62 rpre 11331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e.  RR )
6362ad2antlr 741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
r  e.  RR )
6455, 56itgabs 22871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( abs `  S. S ( ( ( F `  n ) `
 x )  -  ( G `  x ) )  _d x )  <_  S. S ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  x )  -  ( G `  x ) ) )  _d x )
6533adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( r  /  (
( vol `  S
)  +  1 ) )  e.  RR+ )
6665rpred 11364 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( r  /  (
( vol `  S
)  +  1 ) )  e.  RR )
6715ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( vol `  S
)  e.  RR )
6866, 67remulcld 9689 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) )  x.  ( vol `  S ) )  e.  RR )
69 fconstmpt 4883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  X.  { ( r  /  ( ( vol `  S )  +  1 ) ) } )  =  ( x  e.  S  |->  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) )
7024ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  ->  S  e.  dom  vol )
7165rpcnd 11366 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( r  /  (
( vol `  S
)  +  1 ) )  e.  CC )
72 iblconst 22854 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S  e.  dom  vol  /\  ( vol `  S
)  e.  RR  /\  ( r  /  (
( vol `  S
)  +  1 ) )  e.  CC )  ->  ( S  X.  { ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) } )  e.  L^1 )
7370, 67, 71, 72syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( S  X.  {
( r  /  (
( vol `  S
)  +  1 ) ) } )  e.  L^1 )
7469, 73syl5eqelr 2554 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( x  e.  S  |->  ( r  /  (
( vol `  S
)  +  1 ) ) )  e.  L^1 )
7566adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( r  /  (
( vol `  S
)  +  1 ) )  e.  RR )
76 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  ->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) )
77 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  x  ->  (
( F `  n
) `  z )  =  ( ( F `
 n ) `  x ) )
78 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  x  ->  ( G `  z )  =  ( G `  x ) )
7977, 78oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  x  ->  (
( ( F `  n ) `  z
)  -  ( G `
 z ) )  =  ( ( ( F `  n ) `
 x )  -  ( G `  x ) ) )
8079fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  x  ->  ( abs `  ( ( ( F `  n ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  x )  -  ( G `  x ) ) ) )
8180breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  x  ->  (
( abs `  (
( ( F `  n ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  ( r  /  ( ( vol `  S )  +  1 ) )  <->  ( abs `  ( ( ( F `
 n ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  (
r  /  ( ( vol `  S )  +  1 ) ) ) )
8281rspccva 3135 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( ( F `  n ) `
 x )  -  ( G `  x ) ) )  <  (
r  /  ( ( vol `  S )  +  1 ) ) )
8376, 82sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( abs `  (
( ( F `  n ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  ( r  /  ( ( vol `  S )  +  1 ) ) )
8459, 75, 83ltled 9800 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( abs `  (
( ( F `  n ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  <_  ( r  /  ( ( vol `  S )  +  1 ) ) )
8560, 74, 59, 75, 84itgle 22846 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  ->  S. S ( abs `  (
( ( F `  n ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  _d x  <_  S. S ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) )  _d x )
86 itgconst 22855 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  dom  vol  /\  ( vol `  S
)  e.  RR  /\  ( r  /  (
( vol `  S
)  +  1 ) )  e.  CC )  ->  S. S ( r  /  ( ( vol `  S )  +  1 ) )  _d x  =  ( ( r  /  (
( vol `  S
)  +  1 ) )  x.  ( vol `  S ) ) )
8770, 67, 71, 86syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  ->  S. S ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) )  _d x  =  ( ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) )  x.  ( vol `  S ) ) )
8885, 87breqtrd 4420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  ->  S. S ( abs `  (
( ( F `  n ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  _d x  <_ 
( ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) )  x.  ( vol `  S ) ) )
8963recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
r  e.  CC )
9067recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( vol `  S
)  e.  CC )
9132adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( vol `  S
)  +  1 )  e.  RR+ )
9291rpcnd 11366 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( vol `  S
)  +  1 )  e.  CC )
9391rpne0d 11369 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( vol `  S
)  +  1 )  =/=  0 )
9489, 90, 92, 93div23d 10442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( r  x.  ( vol `  S
) )  /  (
( vol `  S
)  +  1 ) )  =  ( ( r  /  ( ( vol `  S )  +  1 ) )  x.  ( vol `  S
) ) )
9567ltp1d 10559 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( vol `  S
)  <  ( ( vol `  S )  +  1 ) )
96 peano2re 9824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( vol `  S )  e.  RR  ->  (
( vol `  S
)  +  1 )  e.  RR )
9767, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( vol `  S
)  +  1 )  e.  RR )
98 rpgt0 11336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  e.  RR+  ->  0  < 
r )
9998ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
0  <  r )
100 ltmul2 10478 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( vol `  S
)  e.  RR  /\  ( ( vol `  S
)  +  1 )  e.  RR  /\  (
r  e.  RR  /\  0  <  r ) )  ->  ( ( vol `  S )  <  (
( vol `  S
)  +  1 )  <-> 
( r  x.  ( vol `  S ) )  <  ( r  x.  ( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )
10167, 97, 63, 99, 100syl112anc 1296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( vol `  S
)  <  ( ( vol `  S )  +  1 )  <->  ( r  x.  ( vol `  S
) )  <  (
r  x.  ( ( vol `  S )  +  1 ) ) ) )
10295, 101mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( r  x.  ( vol `  S ) )  <  ( r  x.  ( ( vol `  S
)  +  1 ) ) )
10363, 67remulcld 9689 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( r  x.  ( vol `  S ) )  e.  RR )
104103, 63, 91ltdivmul2d 11413 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( ( r  x.  ( vol `  S
) )  /  (
( vol `  S
)  +  1 ) )  <  r  <->  ( r  x.  ( vol `  S
) )  <  (
r  x.  ( ( vol `  S )  +  1 ) ) ) )
105102, 104mpbird 240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( r  x.  ( vol `  S
) )  /  (
( vol `  S
)  +  1 ) )  <  r )
10694, 105eqbrtrrd 4418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) )  x.  ( vol `  S ) )  < 
r )
10761, 68, 63, 88, 106lelttrd 9810 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  ->  S. S ( abs `  (
( ( F `  n ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  _d x  < 
r )
10858, 61, 63, 64, 107lelttrd 9810 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( abs `  S. S ( ( ( F `  n ) `
 x )  -  ( G `  x ) )  _d x )  <  r )
10954, 108eqbrtrrd 4418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( abs `  ( S. S ( ( F `
 n ) `  x )  _d x  -  S. S ( G `  x )  _d x ) )  <  r )
110109expr 626 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  n  e.  Z )  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) )  ->  ( abs `  ( S. S ( ( F `  n
) `  x )  _d x  -  S. S ( G `  x )  _d x ) )  <  r
) )
11135, 110sylan2 482 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 n ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  (
r  /  ( ( vol `  S )  +  1 ) )  ->  ( abs `  ( S. S ( ( F `
 n ) `  x )  _d x  -  S. S ( G `  x )  _d x ) )  <  r ) )
112111anassrs 660 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 n ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  (
r  /  ( ( vol `  S )  +  1 ) )  ->  ( abs `  ( S. S ( ( F `
 n ) `  x )  _d x  -  S. S ( G `  x )  _d x ) )  <  r ) )
113112ralimdva 2805 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  (
r  /  ( ( vol `  S )  +  1 ) )  ->  A. n  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  ( S. S ( ( F `
 n ) `  x )  _d x  -  S. S ( G `  x )  _d x ) )  <  r ) )
114113reximdva 2858 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 n ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  (
r  /  ( ( vol `  S )  +  1 ) )  ->  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( S. S ( ( F `
 n ) `  x )  _d x  -  S. S ( G `  x )  _d x ) )  <  r ) )
11534, 114mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  ( S. S ( ( F `
 n ) `  x )  _d x  -  S. S ( G `  x )  _d x ) )  <  r )
116115ralrimiva 2809 . 2  |-  ( ph  ->  A. r  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( S. S ( ( F `  n
) `  x )  _d x  -  S. S ( G `  x )  _d x ) )  <  r
)
117 fvex 5889 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  M )  e.  _V
1181, 117eqeltri 2545 . . . . 5  |-  Z  e. 
_V
119118mptex 6152 . . . 4  |-  ( k  e.  Z  |->  S. S
( ( F `  k ) `  x
)  _d x )  e.  _V
120119a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  S. S ( ( F `  k ) `
 x )  _d x )  e.  _V )
121 fveq2 5879 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )
122121fveq1d 5881 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
( F `  k
) `  x )  =  ( ( F `
 n ) `  x ) )
123122adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( k  =  n  /\  x  e.  S )  ->  ( ( F `  k ) `  x
)  =  ( ( F `  n ) `
 x ) )
124123itgeq2dv 22818 . . . . 5  |-  ( k  =  n  ->  S. S ( ( F `
 k ) `  x )  _d x  =  S. S ( ( F `  n
) `  x )  _d x )
125 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( k  e.  Z  |->  S. S
( ( F `  k ) `  x
)  _d x )  =  ( k  e.  Z  |->  S. S ( ( F `  k
) `  x )  _d x )
126 itgex 22807 . . . . 5  |-  S. S
( ( F `  n ) `  x
)  _d x  e. 
_V
127124, 125, 126fvmpt 5963 . . . 4  |-  ( n  e.  Z  ->  (
( k  e.  Z  |->  S. S ( ( F `  k ) `
 x )  _d x ) `  n
)  =  S. S
( ( F `  n ) `  x
)  _d x )
128127adantl 473 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  S. S ( ( F `  k ) `
 x )  _d x ) `  n
)  =  S. S
( ( F `  n ) `  x
)  _d x )
12947, 51itgcl 22820 . . 3  |-  ( ph  ->  S. S ( G `
 x )  _d x  e.  CC )
13039, 44itgcl 22820 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  S. S ( ( F `
 n ) `  x )  _d x  e.  CC )
1311, 2, 120, 128, 129, 130clim2c 13646 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  Z  |->  S. S ( ( F `  k
) `  x )  _d x )  ~~>  S. S
( G `  x
)  _d x  <->  A. r  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  ( S. S ( ( F `
 n ) `  x )  _d x  -  S. S ( G `  x )  _d x ) )  <  r ) )
132116, 131mpbird 240 1  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  S. S ( ( F `  k ) `
 x )  _d x )  ~~>  S. S
( G `  x
)  _d x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   {csn 3959   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    X. cxp 4837   dom cdm 4839    Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    ^m cmap 7490   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880    / cdiv 10291   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325   abscabs 13374    ~~> cli 13625   vol*covol 22491   volcvol 22493  MblFncmbf 22651   L^1cibl 22654   S.citg 22655   ~~> uculm 23410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-mbf 22656  df-itg1 22657  df-itg2 22658  df-ibl 22659  df-itg 22660  df-0p 22707  df-ulm 23411
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