Theorem itgulm 22969

Description: A uniform limit of integrals of integrable functions converges to the integral of the limit function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgulm.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
itgulm.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
itgulm.f	|- ( ph -> F : Z --> L^1 )
itgulm.u	|- ( ph -> F ( ~~> u ` S ) G )
itgulm.s	|- ( ph -> ( vol ` S ) e. RR )

Assertion

Ref	Expression
itgulm	|- ( ph -> ( k e. Z |-> S. S ( ( F ` k ) ` x ) _d x ) ~~> S. S ( G ` x ) _d x )

Distinct variable groups:   x, k, F   k, G, x   ph, k, x   k, M, x   S, k, x   k, Z, x

Proof of Theorem itgulm

Dummy variables j n r z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgulm.z	. . . . 5 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		itgulm.m	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
3	2	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> M e. ZZ )
4		itgulm.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : Z --> L^1 )
5		ffn 5713	. . . . . . . 8 |- ( F : Z --> L^1 -> F Fn Z )
6	4, 5	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> F Fn Z )
7		itgulm.u	. . . . . . 7 |- ( ph -> F ( ~~> u ` S ) G )
8		ulmf2 22945	. . . . . . 7 |- ( ( F Fn Z /\ F ( ~~> u ` S ) G ) -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
9	6, 7, 8	syl2anc 659	. . . . . 6 |- ( ph -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
10	9	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
11		eqidd 2455	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ z e. S ) ) -> ( ( F ` n ) ` z ) = ( ( F ` n ) ` z ) )
12		eqidd 2455	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ z e. S ) -> ( G ` z ) = ( G ` z ) )
13	7	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> F ( ~~> u ` S ) G )
14		simpr 459	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> r e. RR+ )
15		itgulm.s	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( vol ` S ) e. RR )
16	15	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( vol ` S ) e. RR )
17		ulmcl 22942	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F ( ~~> u ` S ) G -> G : S --> CC )
18		fdm 5717	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G : S --> CC -> dom G = S )
19	7, 17, 18	3syl 20	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom G = S )
20	1, 2, 4, 7, 15	iblulm 22968	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> G e. L^1 )
21		iblmbf 22340	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G e. L^1 -> G e. MblFn )
22		mbfdm 22201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G e. MblFn -> dom G e. dom vol )
23	20, 21, 22	3syl 20	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom G e. dom vol )
24	19, 23	eqeltrrd 2543	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S e. dom vol )
25		mblss 22108	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. dom vol -> S C_ RR )
26		ovolge0 22058	. . . . . . . . . 10 |- ( S C_ RR -> 0 <_ ( vol* ` S ) )
27	24, 25, 26	3syl 20	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ ( vol* ` S ) )
28		mblvol 22107	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. dom vol -> ( vol ` S ) = ( vol* ` S ) )
29	24, 28	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( vol ` S ) = ( vol* ` S ) )
30	27, 29	breqtrrd 4465	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ ( vol ` S ) )
31	30	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> 0 <_ ( vol ` S ) )
32	16, 31	ge0p1rpd 11285	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( ( vol ` S ) + 1 ) e. RR+ )
33	14, 32	rpdivcld 11276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) e. RR+ )
34	1, 3, 10, 11, 12, 13, 33	ulmi 22947	. . . 4 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) )
35	1	uztrn2 11099	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) -> n e. Z )
36	9	ffvelrnda 6007	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) e. ( CC ^m S ) )
37		elmapi 7433	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` n ) e. ( CC ^m S ) -> ( F ` n ) : S --> CC )
38	36, 37	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) : S --> CC )
39	38	ffvelrnda 6007	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ x e. S ) -> ( ( F ` n ) ` x ) e. CC )
40	39	adantllr 716	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ n e. Z ) /\ x e. S ) -> ( ( F ` n ) ` x ) e. CC )
41	40	adantlrr 718	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) /\ x e. S ) -> ( ( F ` n ) ` x ) e. CC )
42	38	feqmptd 5901	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) = ( x e. S |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) )
43	4	ffvelrnda 6007	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) e. L^1 )
44	42, 43	eqeltrrd 2543	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( x e. S |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) e. L^1 )
45	44	ad2ant2r 744	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( x e. S |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) e. L^1 )
46	7, 17	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> G : S --> CC )
47	46	ffvelrnda 6007	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( G ` x ) e. CC )
48	47	adantlr 712	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. S ) -> ( G ` x ) e. CC )
49	48	adantlr 712	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) /\ x e. S ) -> ( G ` x ) e. CC )
50	46	feqmptd 5901	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> G = ( x e. S |-> ( G ` x ) ) )
51	50, 20	eqeltrrd 2543	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( x e. S |-> ( G ` x ) ) e. L^1 )
52	51	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( x e. S |-> ( G ` x ) ) e. L^1 )
53	41, 45, 49, 52	itgsub 22398	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> S. S ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) _d x = ( S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x - S. S ( G ` x ) _d x ) )
54	53	fveq2d 5852	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` S. S ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) _d x ) = ( abs ` ( S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x - S. S ( G ` x ) _d x ) ) )
55	41, 49	subcld 9922	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) /\ x e. S ) -> ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) e. CC )
56	41, 45, 49, 52	iblsub 22394	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( x e. S |-> ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) e. L^1 )
57	55, 56	itgcl 22356	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> S. S ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) _d x e. CC )
58	57	abscld 13349	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` S. S ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) _d x ) e. RR )
59	55	abscld 13349	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) /\ x e. S ) -> ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) e. RR )
60	55, 56	iblabs 22401	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( x e. S |-> ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) ) e. L^1 )
61	59, 60	itgrecl 22370	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> S. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) _d x e. RR )
62		rpre 11227	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r e. RR+ -> r e. RR )
63	62	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> r e. RR )
64	55, 56	itgabs 22407	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` S. S ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) _d x ) <_ S. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) _d x )
65	33	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) e. RR+ )
66	65	rpred 11259	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) e. RR )
67	15	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( vol ` S ) e. RR )
68	66, 67	remulcld 9613	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) x. ( vol ` S ) ) e. RR )
69		fconstmpt 5032	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( S X. { ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) } ) = ( x e. S |-> ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) )
70	24	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> S e. dom vol )
71	65	rpcnd 11261	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) e. CC )
72		iblconst 22390	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( S e. dom vol /\ ( vol ` S ) e. RR /\ ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) e. CC ) -> ( S X. { ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) } ) e. L^1 )
73	70, 67, 71, 72	syl3anc 1226	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( S X. { ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) } ) e. L^1 )
74	69, 73	syl5eqelr 2547	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( x e. S |-> ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) e. L^1 )
75	66	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) /\ x e. S ) -> ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) e. RR )
76		simprr 755	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) )
77		fveq2 5848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = x -> ( ( F ` n ) ` z ) = ( ( F ` n ) ` x ) )
78		fveq2 5848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = x -> ( G ` z ) = ( G ` x ) )
79	77, 78	oveq12d 6288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = x -> ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) = ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) )
80	79	fveq2d 5852	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = x -> ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) )
81	80	breq1d 4449	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = x -> ( ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) <-> ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) )
82	81	rspccva 3206	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) /\ x e. S ) -> ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) )
83	76, 82	sylan 469	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) /\ x e. S ) -> ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) )
84	59, 75, 83	ltled 9722	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) /\ x e. S ) -> ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) <_ ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) )
85	60, 74, 59, 75, 84	itgle 22382	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> S. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) _d x <_ S. S ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) _d x )
86		itgconst 22391	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S e. dom vol /\ ( vol ` S ) e. RR /\ ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) e. CC ) -> S. S ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) _d x = ( ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) x. ( vol ` S ) ) )
87	70, 67, 71, 86	syl3anc 1226	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> S. S ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) _d x = ( ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) x. ( vol ` S ) ) )
88	85, 87	breqtrd 4463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> S. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) _d x <_ ( ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) x. ( vol ` S ) ) )
89	63	recnd 9611	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> r e. CC )
90	67	recnd 9611	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( vol ` S ) e. CC )
91	32	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( vol ` S ) + 1 ) e. RR+ )
92	91	rpcnd 11261	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( vol ` S ) + 1 ) e. CC )
93	91	rpne0d 11264	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( vol ` S ) + 1 ) =/= 0 )
94	89, 90, 92, 93	div23d 10353	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( r x. ( vol ` S ) ) / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) = ( ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) x. ( vol ` S ) ) )
95	67	ltp1d 10471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( vol ` S ) < ( ( vol ` S ) + 1 ) )
96		peano2re 9742	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( vol ` S ) e. RR -> ( ( vol ` S ) + 1 ) e. RR )
97	67, 96	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( vol ` S ) + 1 ) e. RR )
98		rpgt0 11232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( r e. RR+ -> 0 < r )
99	98	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> 0 < r )
100		ltmul2 10389	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( vol ` S ) e. RR /\ ( ( vol ` S ) + 1 ) e. RR /\ ( r e. RR /\ 0 < r ) ) -> ( ( vol ` S ) < ( ( vol ` S ) + 1 ) <-> ( r x. ( vol ` S ) ) < ( r x. ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) )
101	67, 97, 63, 99, 100	syl112anc 1230	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( vol ` S ) < ( ( vol ` S ) + 1 ) <-> ( r x. ( vol ` S ) ) < ( r x. ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) )
102	95, 101	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( r x. ( vol ` S ) ) < ( r x. ( ( vol ` S ) + 1 ) ) )
103	63, 67	remulcld 9613	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( r x. ( vol ` S ) ) e. RR )
104	103, 63, 91	ltdivmul2d 11307	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( r x. ( vol ` S ) ) / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) < r <-> ( r x. ( vol ` S ) ) < ( r x. ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) )
105	102, 104	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( r x. ( vol ` S ) ) / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) < r )
106	94, 105	eqbrtrrd 4461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) x. ( vol ` S ) ) < r )
107	61, 68, 63, 88, 106	lelttrd 9729	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> S. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) _d x < r )
108	58, 61, 63, 64, 107	lelttrd 9729	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` S. S ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) _d x ) < r )
109	54, 108	eqbrtrrd 4461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x - S. S ( G ` x ) _d x ) ) < r )
110	109	expr 613	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ n e. Z ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) -> ( abs ` ( S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x - S. S ( G ` x ) _d x ) ) < r ) )
111	35, 110	sylan2 472	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) -> ( abs ` ( S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x - S. S ( G ` x ) _d x ) ) < r ) )
112	111	anassrs 646	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) -> ( abs ` ( S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x - S. S ( G ` x ) _d x ) ) < r ) )
113	112	ralimdva 2862	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) -> A. n e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x - S. S ( G ` x ) _d x ) ) < r ) )
114	113	reximdva 2929	. . . 4 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) -> E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x - S. S ( G ` x ) _d x ) ) < r ) )
115	34, 114	mpd 15	. . 3 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x - S. S ( G ` x ) _d x ) ) < r )
116	115	ralrimiva 2868	. 2 |- ( ph -> A. r e. RR+ E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x - S. S ( G ` x ) _d x ) ) < r )
117		fvex 5858	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` M ) e. _V
118	1, 117	eqeltri 2538	. . . . 5 |- Z e. _V
119	118	mptex 6118	. . . 4 |- ( k e. Z |-> S. S ( ( F ` k ) ` x ) _d x ) e. _V
120	119	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( k e. Z |-> S. S ( ( F ` k ) ` x ) _d x ) e. _V )
121		fveq2 5848	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> ( F ` k ) = ( F ` n ) )
122	121	fveq1d 5850	. . . . . . 7 |- ( k = n -> ( ( F ` k ) ` x ) = ( ( F ` n ) ` x ) )
123	122	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( k = n /\ x e. S ) -> ( ( F ` k ) ` x ) = ( ( F ` n ) ` x ) )
124	123	itgeq2dv 22354	. . . . 5 |- ( k = n -> S. S ( ( F ` k ) ` x ) _d x = S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x )
125		eqid 2454	. . . . 5 |- ( k e. Z |-> S. S ( ( F ` k ) ` x ) _d x ) = ( k e. Z |-> S. S ( ( F ` k ) ` x ) _d x )
126		itgex 22343	. . . . 5 |- S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x e. _V
127	124, 125, 126	fvmpt 5931	. . . 4 |- ( n e. Z -> ( ( k e. Z |-> S. S ( ( F ` k ) ` x ) _d x ) ` n ) = S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x )
128	127	adantl 464	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> S. S ( ( F ` k ) ` x ) _d x ) ` n ) = S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x )
129	47, 51	itgcl 22356	. . 3 |- ( ph -> S. S ( G ` x ) _d x e. CC )
130	39, 44	itgcl 22356	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x e. CC )
131	1, 2, 120, 128, 129, 130	clim2c 13410	. 2 |- ( ph -> ( ( k e. Z |-> S. S ( ( F ` k ) ` x ) _d x ) ~~> S. S ( G ` x ) _d x <-> A. r e. RR+ E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x - S. S ( G ` x ) _d x ) ) < r ) )
132	116, 131	mpbird 232	1 |- ( ph -> ( k e. Z |-> S. S ( ( F ` k ) ` x ) _d x ) ~~> S. S ( G ` x ) _d x )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1398   e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805   _Vcvv 3106   C_ wss 3461   {csn 4016   class class class wbr 4439   |-> cmpt 4497   X. cxp 4986   dom cdm 4988   Fn wfn 5565   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   ^m cmap 7412   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482   + caddc 9484   x. cmul 9486   < clt 9617   <_ cle 9618   - cmin 9796   / cdiv 10202   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082   RR+crp 11221   abscabs 13149   ~~> cli 13389   vol*covol 22040   volcvol 22041  MblFncmbf 22189   L^1cibl 22192   S.citg 22193   ~~> uculm 22937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cc 8806  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-disj 4411  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-ofr 6514  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-omul 7127  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-acn 8314  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-limsup 13376  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-xrs 14991  df-qtop 14996  df-imas 14997  df-xps 14999  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-mulg 16259  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-cmp 20054  df-tx 20229  df-hmeo 20422  df-xms 20989  df-ms 20990  df-tms 20991  df-cncf 21548  df-ovol 22042  df-vol 22043  df-mbf 22194  df-itg1 22195  df-itg2 22196  df-ibl 22197  df-itg 22198  df-0p 22243  df-ulm 22938

This theorem is referenced by:  itgulm2  22970