Theorem itgulm 21832

Description: A uniform limit of integrals of integrable functions converges to the integral of the limit function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgulm.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
itgulm.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
itgulm.f	|- ( ph -> F : Z --> L^1 )
itgulm.u	|- ( ph -> F ( ~~> u ` S ) G )
itgulm.s	|- ( ph -> ( vol ` S ) e. RR )

Assertion

Ref	Expression
itgulm	|- ( ph -> ( k e. Z |-> S. S ( ( F ` k ) ` x ) _d x ) ~~> S. S ( G ` x ) _d x )

Distinct variable groups:   x, k, F   k, G, x   ph, k, x   k, M, x   S, k, x   k, Z, x

Proof of Theorem itgulm

Dummy variables j n r z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgulm.z	. . . . 5 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		itgulm.m	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
3	2	adantr 462	. . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> M e. ZZ )
4		itgulm.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : Z --> L^1 )
5		ffn 5556	. . . . . . . 8 |- ( F : Z --> L^1 -> F Fn Z )
6	4, 5	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> F Fn Z )
7		itgulm.u	. . . . . . 7 |- ( ph -> F ( ~~> u ` S ) G )
8		ulmf2 21808	. . . . . . 7 |- ( ( F Fn Z /\ F ( ~~> u ` S ) G ) -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
9	6, 7, 8	syl2anc 656	. . . . . 6 |- ( ph -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
10	9	adantr 462	. . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
11		eqidd 2442	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ z e. S ) ) -> ( ( F ` n ) ` z ) = ( ( F ` n ) ` z ) )
12		eqidd 2442	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ z e. S ) -> ( G ` z ) = ( G ` z ) )
13	7	adantr 462	. . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> F ( ~~> u ` S ) G )
14		simpr 458	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> r e. RR+ )
15		itgulm.s	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( vol ` S ) e. RR )
16	15	adantr 462	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( vol ` S ) e. RR )
17		ulmcl 21805	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F ( ~~> u ` S ) G -> G : S --> CC )
18		fdm 5560	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G : S --> CC -> dom G = S )
19	7, 17, 18	3syl 20	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom G = S )
20	1, 2, 4, 7, 15	iblulm 21831	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> G e. L^1 )
21		iblmbf 21204	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G e. L^1 -> G e. MblFn )
22		mbfdm 21065	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G e. MblFn -> dom G e. dom vol )
23	20, 21, 22	3syl 20	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom G e. dom vol )
24	19, 23	eqeltrrd 2516	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S e. dom vol )
25		mblss 20973	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. dom vol -> S C_ RR )
26		ovolge0 20923	. . . . . . . . . 10 |- ( S C_ RR -> 0 <_ ( vol* ` S ) )
27	24, 25, 26	3syl 20	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ ( vol* ` S ) )
28		mblvol 20972	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. dom vol -> ( vol ` S ) = ( vol* ` S ) )
29	24, 28	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( vol ` S ) = ( vol* ` S ) )
30	27, 29	breqtrrd 4315	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ ( vol ` S ) )
31	30	adantr 462	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> 0 <_ ( vol ` S ) )
32	16, 31	ge0p1rpd 11049	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( ( vol ` S ) + 1 ) e. RR+ )
33	14, 32	rpdivcld 11040	. . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) e. RR+ )
34	1, 3, 10, 11, 12, 13, 33	ulmi 21810	. . . 4 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) )
35	1	uztrn2 10874	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) -> n e. Z )
36	9	ffvelrnda 5840	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) e. ( CC ^m S ) )
37		elmapi 7230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` n ) e. ( CC ^m S ) -> ( F ` n ) : S --> CC )
38	36, 37	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) : S --> CC )
39	38	ffvelrnda 5840	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ x e. S ) -> ( ( F ` n ) ` x ) e. CC )
40	39	adantllr 713	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ n e. Z ) /\ x e. S ) -> ( ( F ` n ) ` x ) e. CC )
41	40	adantlrr 715	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) /\ x e. S ) -> ( ( F ` n ) ` x ) e. CC )
42	38	feqmptd 5741	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) = ( x e. S |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) )
43	4	ffvelrnda 5840	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) e. L^1 )
44	42, 43	eqeltrrd 2516	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( x e. S |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) e. L^1 )
45	44	ad2ant2r 741	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( x e. S |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) e. L^1 )
46	7, 17	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> G : S --> CC )
47	46	ffvelrnda 5840	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( G ` x ) e. CC )
48	47	adantlr 709	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. S ) -> ( G ` x ) e. CC )
49	48	adantlr 709	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) /\ x e. S ) -> ( G ` x ) e. CC )
50	46	feqmptd 5741	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> G = ( x e. S |-> ( G ` x ) ) )
51	50, 20	eqeltrrd 2516	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( x e. S |-> ( G ` x ) ) e. L^1 )
52	51	ad2antrr 720	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( x e. S |-> ( G ` x ) ) e. L^1 )
53	41, 45, 49, 52	itgsub 21262	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> S. S ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) _d x = ( S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x - S. S ( G ` x ) _d x ) )
54	53	fveq2d 5692	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` S. S ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) _d x ) = ( abs ` ( S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x - S. S ( G ` x ) _d x ) ) )
55	41, 49	subcld 9715	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) /\ x e. S ) -> ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) e. CC )
56	41, 45, 49, 52	iblsub 21258	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( x e. S |-> ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) e. L^1 )
57	55, 56	itgcl 21220	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> S. S ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) _d x e. CC )
58	57	abscld 12918	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` S. S ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) _d x ) e. RR )
59	55	abscld 12918	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) /\ x e. S ) -> ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) e. RR )
60	55, 56	iblabs 21265	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( x e. S |-> ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) ) e. L^1 )
61	59, 60	itgrecl 21234	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> S. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) _d x e. RR )
62		rpre 10993	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r e. RR+ -> r e. RR )
63	62	ad2antlr 721	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> r e. RR )
64	55, 56	itgabs 21271	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` S. S ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) _d x ) <_ S. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) _d x )
65	33	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) e. RR+ )
66	65	rpred 11023	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) e. RR )
67	15	ad2antrr 720	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( vol ` S ) e. RR )
68	66, 67	remulcld 9410	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) x. ( vol ` S ) ) e. RR )
69		fconstmpt 4878	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( S X. { ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) } ) = ( x e. S |-> ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) )
70	24	ad2antrr 720	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> S e. dom vol )
71	65	rpcnd 11025	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) e. CC )
72		iblconst 21254	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( S e. dom vol /\ ( vol ` S ) e. RR /\ ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) e. CC ) -> ( S X. { ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) } ) e. L^1 )
73	70, 67, 71, 72	syl3anc 1213	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( S X. { ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) } ) e. L^1 )
74	69, 73	syl5eqelr 2526	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( x e. S |-> ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) e. L^1 )
75	66	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) /\ x e. S ) -> ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) e. RR )
76		simprr 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) )
77		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = x -> ( ( F ` n ) ` z ) = ( ( F ` n ) ` x ) )
78		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = x -> ( G ` z ) = ( G ` x ) )
79	77, 78	oveq12d 6108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = x -> ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) = ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) )
80	79	fveq2d 5692	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = x -> ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) )
81	80	breq1d 4299	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = x -> ( ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) <-> ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) )
82	81	rspccva 3069	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) /\ x e. S ) -> ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) )
83	76, 82	sylan 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) /\ x e. S ) -> ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) )
84	59, 75, 83	ltled 9518	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) /\ x e. S ) -> ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) <_ ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) )
85	60, 74, 59, 75, 84	itgle 21246	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> S. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) _d x <_ S. S ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) _d x )
86		itgconst 21255	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S e. dom vol /\ ( vol ` S ) e. RR /\ ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) e. CC ) -> S. S ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) _d x = ( ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) x. ( vol ` S ) ) )
87	70, 67, 71, 86	syl3anc 1213	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> S. S ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) _d x = ( ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) x. ( vol ` S ) ) )
88	85, 87	breqtrd 4313	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> S. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) _d x <_ ( ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) x. ( vol ` S ) ) )
89	63	recnd 9408	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> r e. CC )
90	67	recnd 9408	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( vol ` S ) e. CC )
91	32	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( vol ` S ) + 1 ) e. RR+ )
92	91	rpcnd 11025	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( vol ` S ) + 1 ) e. CC )
93	91	rpne0d 11028	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( vol ` S ) + 1 ) =/= 0 )
94	89, 90, 92, 93	div23d 10140	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( r x. ( vol ` S ) ) / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) = ( ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) x. ( vol ` S ) ) )
95	67	ltp1d 10259	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( vol ` S ) < ( ( vol ` S ) + 1 ) )
96		peano2re 9538	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( vol ` S ) e. RR -> ( ( vol ` S ) + 1 ) e. RR )
97	67, 96	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( vol ` S ) + 1 ) e. RR )
98		rpgt0 10998	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( r e. RR+ -> 0 < r )
99	98	ad2antlr 721	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> 0 < r )
100		ltmul2 10176	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( vol ` S ) e. RR /\ ( ( vol ` S ) + 1 ) e. RR /\ ( r e. RR /\ 0 < r ) ) -> ( ( vol ` S ) < ( ( vol ` S ) + 1 ) <-> ( r x. ( vol ` S ) ) < ( r x. ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) )
101	67, 97, 63, 99, 100	syl112anc 1217	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( vol ` S ) < ( ( vol ` S ) + 1 ) <-> ( r x. ( vol ` S ) ) < ( r x. ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) )
102	95, 101	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( r x. ( vol ` S ) ) < ( r x. ( ( vol ` S ) + 1 ) ) )
103	63, 67	remulcld 9410	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( r x. ( vol ` S ) ) e. RR )
104	103, 63, 91	ltdivmul2d 11071	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( r x. ( vol ` S ) ) / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) < r <-> ( r x. ( vol ` S ) ) < ( r x. ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) )
105	102, 104	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( r x. ( vol ` S ) ) / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) < r )
106	94, 105	eqbrtrrd 4311	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) x. ( vol ` S ) ) < r )
107	61, 68, 63, 88, 106	lelttrd 9525	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> S. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) _d x < r )
108	58, 61, 63, 64, 107	lelttrd 9525	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` S. S ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) _d x ) < r )
109	54, 108	eqbrtrrd 4311	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x - S. S ( G ` x ) _d x ) ) < r )
110	109	expr 612	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ n e. Z ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) -> ( abs ` ( S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x - S. S ( G ` x ) _d x ) ) < r ) )
111	35, 110	sylan2 471	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) -> ( abs ` ( S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x - S. S ( G ` x ) _d x ) ) < r ) )
112	111	anassrs 643	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) -> ( abs ` ( S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x - S. S ( G ` x ) _d x ) ) < r ) )
113	112	ralimdva 2792	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) -> A. n e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x - S. S ( G ` x ) _d x ) ) < r ) )
114	113	reximdva 2826	. . . 4 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) -> E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x - S. S ( G ` x ) _d x ) ) < r ) )
115	34, 114	mpd 15	. . 3 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x - S. S ( G ` x ) _d x ) ) < r )
116	115	ralrimiva 2797	. 2 |- ( ph -> A. r e. RR+ E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x - S. S ( G ` x ) _d x ) ) < r )
117		fvex 5698	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` M ) e. _V
118	1, 117	eqeltri 2511	. . . . 5 |- Z e. _V
119	118	mptex 5945	. . . 4 |- ( k e. Z |-> S. S ( ( F ` k ) ` x ) _d x ) e. _V
120	119	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( k e. Z |-> S. S ( ( F ` k ) ` x ) _d x ) e. _V )
121		fveq2 5688	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> ( F ` k ) = ( F ` n ) )
122	121	fveq1d 5690	. . . . . . 7 |- ( k = n -> ( ( F ` k ) ` x ) = ( ( F ` n ) ` x ) )
123	122	adantr 462	. . . . . 6 |- ( ( k = n /\ x e. S ) -> ( ( F ` k ) ` x ) = ( ( F ` n ) ` x ) )
124	123	itgeq2dv 21218	. . . . 5 |- ( k = n -> S. S ( ( F ` k ) ` x ) _d x = S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x )
125		eqid 2441	. . . . 5 |- ( k e. Z |-> S. S ( ( F ` k ) ` x ) _d x ) = ( k e. Z |-> S. S ( ( F ` k ) ` x ) _d x )
126		itgex 21207	. . . . 5 |- S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x e. _V
127	124, 125, 126	fvmpt 5771	. . . 4 |- ( n e. Z -> ( ( k e. Z |-> S. S ( ( F ` k ) ` x ) _d x ) ` n ) = S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x )
128	127	adantl 463	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> S. S ( ( F ` k ) ` x ) _d x ) ` n ) = S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x )
129	47, 51	itgcl 21220	. . 3 |- ( ph -> S. S ( G ` x ) _d x e. CC )
130	39, 44	itgcl 21220	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x e. CC )
131	1, 2, 120, 128, 129, 130	clim2c 12979	. 2 |- ( ph -> ( ( k e. Z |-> S. S ( ( F ` k ) ` x ) _d x ) ~~> S. S ( G ` x ) _d x <-> A. r e. RR+ E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x - S. S ( G ` x ) _d x ) ) < r ) )
132	116, 131	mpbird 232	1 |- ( ph -> ( k e. Z |-> S. S ( ( F ` k ) ` x ) _d x ) ~~> S. S ( G ` x ) _d x )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1364   e. wcel 1761   A.wral 2713   E.wrex 2714   _Vcvv 2970   C_ wss 3325   {csn 3874   class class class wbr 4289   e. cmpt 4347   X. cxp 4834   dom cdm 4836   Fn wfn 5410   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   ^m cmap 7210   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279   + caddc 9281   x. cmul 9283   < clt 9414   <_ cle 9415   - cmin 9591   / cdiv 9989   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857   RR+crp 10987   abscabs 12719   ~~> cli 12958   vol*covol 20905   volcvol 20906  MblFncmbf 21053   L^1cibl 21056   S.citg 21057   ~~> uculm 21800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cc 8600  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-disj 4260  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-ofr 6320  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-omul 6921  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-acn 8108  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-cnfld 17778  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-cmp 18949  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856  df-cncf 20413  df-ovol 20907  df-vol 20908  df-mbf 21058  df-itg1 21059  df-itg2 21060  df-ibl 21061  df-itg 21062  df-0p 21107  df-ulm 21801

This theorem is referenced by:  itgulm2  21833