Theorem itgulm 21876

Description: A uniform limit of integrals of integrable functions converges to the integral of the limit function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgulm.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
itgulm.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
itgulm.f	|- ( ph -> F : Z --> L^1 )
itgulm.u	|- ( ph -> F ( ~~> u ` S ) G )
itgulm.s	|- ( ph -> ( vol ` S ) e. RR )

Assertion

Ref	Expression
itgulm	|- ( ph -> ( k e. Z |-> S. S ( ( F ` k ) ` x ) _d x ) ~~> S. S ( G ` x ) _d x )

Distinct variable groups:   x, k, F   k, G, x   ph, k, x   k, M, x   S, k, x   k, Z, x

Proof of Theorem itgulm

Dummy variables j n r z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgulm.z	. . . . 5 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		itgulm.m	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
3	2	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> M e. ZZ )
4		itgulm.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : Z --> L^1 )
5		ffn 5562	. . . . . . . 8 |- ( F : Z --> L^1 -> F Fn Z )
6	4, 5	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> F Fn Z )
7		itgulm.u	. . . . . . 7 |- ( ph -> F ( ~~> u ` S ) G )
8		ulmf2 21852	. . . . . . 7 |- ( ( F Fn Z /\ F ( ~~> u ` S ) G ) -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
9	6, 7, 8	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ph -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
10	9	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
11		eqidd 2444	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ z e. S ) ) -> ( ( F ` n ) ` z ) = ( ( F ` n ) ` z ) )
12		eqidd 2444	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ z e. S ) -> ( G ` z ) = ( G ` z ) )
13	7	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> F ( ~~> u ` S ) G )
14		simpr 461	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> r e. RR+ )
15		itgulm.s	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( vol ` S ) e. RR )
16	15	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( vol ` S ) e. RR )
17		ulmcl 21849	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F ( ~~> u ` S ) G -> G : S --> CC )
18		fdm 5566	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G : S --> CC -> dom G = S )
19	7, 17, 18	3syl 20	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom G = S )
20	1, 2, 4, 7, 15	iblulm 21875	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> G e. L^1 )
21		iblmbf 21248	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G e. L^1 -> G e. MblFn )
22		mbfdm 21109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G e. MblFn -> dom G e. dom vol )
23	20, 21, 22	3syl 20	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom G e. dom vol )
24	19, 23	eqeltrrd 2518	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S e. dom vol )
25		mblss 21017	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. dom vol -> S C_ RR )
26		ovolge0 20967	. . . . . . . . . 10 |- ( S C_ RR -> 0 <_ ( vol* ` S ) )
27	24, 25, 26	3syl 20	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ ( vol* ` S ) )
28		mblvol 21016	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. dom vol -> ( vol ` S ) = ( vol* ` S ) )
29	24, 28	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( vol ` S ) = ( vol* ` S ) )
30	27, 29	breqtrrd 4321	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ ( vol ` S ) )
31	30	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> 0 <_ ( vol ` S ) )
32	16, 31	ge0p1rpd 11056	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( ( vol ` S ) + 1 ) e. RR+ )
33	14, 32	rpdivcld 11047	. . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) e. RR+ )
34	1, 3, 10, 11, 12, 13, 33	ulmi 21854	. . . 4 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) )
35	1	uztrn2 10881	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) -> n e. Z )
36	9	ffvelrnda 5846	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) e. ( CC ^m S ) )
37		elmapi 7237	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` n ) e. ( CC ^m S ) -> ( F ` n ) : S --> CC )
38	36, 37	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) : S --> CC )
39	38	ffvelrnda 5846	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ x e. S ) -> ( ( F ` n ) ` x ) e. CC )
40	39	adantllr 718	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ n e. Z ) /\ x e. S ) -> ( ( F ` n ) ` x ) e. CC )
41	40	adantlrr 720	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) /\ x e. S ) -> ( ( F ` n ) ` x ) e. CC )
42	38	feqmptd 5747	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) = ( x e. S |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) )
43	4	ffvelrnda 5846	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) e. L^1 )
44	42, 43	eqeltrrd 2518	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( x e. S |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) e. L^1 )
45	44	ad2ant2r 746	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( x e. S |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) e. L^1 )
46	7, 17	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> G : S --> CC )
47	46	ffvelrnda 5846	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( G ` x ) e. CC )
48	47	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. S ) -> ( G ` x ) e. CC )
49	48	adantlr 714	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) /\ x e. S ) -> ( G ` x ) e. CC )
50	46	feqmptd 5747	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> G = ( x e. S |-> ( G ` x ) ) )
51	50, 20	eqeltrrd 2518	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( x e. S |-> ( G ` x ) ) e. L^1 )
52	51	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( x e. S |-> ( G ` x ) ) e. L^1 )
53	41, 45, 49, 52	itgsub 21306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> S. S ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) _d x = ( S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x - S. S ( G ` x ) _d x ) )
54	53	fveq2d 5698	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` S. S ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) _d x ) = ( abs ` ( S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x - S. S ( G ` x ) _d x ) ) )
55	41, 49	subcld 9722	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) /\ x e. S ) -> ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) e. CC )
56	41, 45, 49, 52	iblsub 21302	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( x e. S |-> ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) e. L^1 )
57	55, 56	itgcl 21264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> S. S ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) _d x e. CC )
58	57	abscld 12925	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` S. S ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) _d x ) e. RR )
59	55	abscld 12925	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) /\ x e. S ) -> ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) e. RR )
60	55, 56	iblabs 21309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( x e. S |-> ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) ) e. L^1 )
61	59, 60	itgrecl 21278	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> S. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) _d x e. RR )
62		rpre 11000	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r e. RR+ -> r e. RR )
63	62	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> r e. RR )
64	55, 56	itgabs 21315	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` S. S ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) _d x ) <_ S. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) _d x )
65	33	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) e. RR+ )
66	65	rpred 11030	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) e. RR )
67	15	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( vol ` S ) e. RR )
68	66, 67	remulcld 9417	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) x. ( vol ` S ) ) e. RR )
69		fconstmpt 4885	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( S X. { ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) } ) = ( x e. S |-> ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) )
70	24	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> S e. dom vol )
71	65	rpcnd 11032	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) e. CC )
72		iblconst 21298	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( S e. dom vol /\ ( vol ` S ) e. RR /\ ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) e. CC ) -> ( S X. { ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) } ) e. L^1 )
73	70, 67, 71, 72	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( S X. { ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) } ) e. L^1 )
74	69, 73	syl5eqelr 2528	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( x e. S |-> ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) e. L^1 )
75	66	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) /\ x e. S ) -> ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) e. RR )
76		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) )
77		fveq2 5694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = x -> ( ( F ` n ) ` z ) = ( ( F ` n ) ` x ) )
78		fveq2 5694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = x -> ( G ` z ) = ( G ` x ) )
79	77, 78	oveq12d 6112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = x -> ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) = ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) )
80	79	fveq2d 5698	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = x -> ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) )
81	80	breq1d 4305	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = x -> ( ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) <-> ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) )
82	81	rspccva 3075	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) /\ x e. S ) -> ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) )
83	76, 82	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) /\ x e. S ) -> ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) )
84	59, 75, 83	ltled 9525	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) /\ x e. S ) -> ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) <_ ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) )
85	60, 74, 59, 75, 84	itgle 21290	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> S. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) _d x <_ S. S ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) _d x )
86		itgconst 21299	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S e. dom vol /\ ( vol ` S ) e. RR /\ ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) e. CC ) -> S. S ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) _d x = ( ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) x. ( vol ` S ) ) )
87	70, 67, 71, 86	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> S. S ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) _d x = ( ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) x. ( vol ` S ) ) )
88	85, 87	breqtrd 4319	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> S. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) _d x <_ ( ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) x. ( vol ` S ) ) )
89	63	recnd 9415	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> r e. CC )
90	67	recnd 9415	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( vol ` S ) e. CC )
91	32	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( vol ` S ) + 1 ) e. RR+ )
92	91	rpcnd 11032	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( vol ` S ) + 1 ) e. CC )
93	91	rpne0d 11035	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( vol ` S ) + 1 ) =/= 0 )
94	89, 90, 92, 93	div23d 10147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( r x. ( vol ` S ) ) / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) = ( ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) x. ( vol ` S ) ) )
95	67	ltp1d 10266	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( vol ` S ) < ( ( vol ` S ) + 1 ) )
96		peano2re 9545	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( vol ` S ) e. RR -> ( ( vol ` S ) + 1 ) e. RR )
97	67, 96	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( vol ` S ) + 1 ) e. RR )
98		rpgt0 11005	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( r e. RR+ -> 0 < r )
99	98	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> 0 < r )
100		ltmul2 10183	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( vol ` S ) e. RR /\ ( ( vol ` S ) + 1 ) e. RR /\ ( r e. RR /\ 0 < r ) ) -> ( ( vol ` S ) < ( ( vol ` S ) + 1 ) <-> ( r x. ( vol ` S ) ) < ( r x. ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) )
101	67, 97, 63, 99, 100	syl112anc 1222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( vol ` S ) < ( ( vol ` S ) + 1 ) <-> ( r x. ( vol ` S ) ) < ( r x. ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) )
102	95, 101	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( r x. ( vol ` S ) ) < ( r x. ( ( vol ` S ) + 1 ) ) )
103	63, 67	remulcld 9417	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( r x. ( vol ` S ) ) e. RR )
104	103, 63, 91	ltdivmul2d 11078	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( r x. ( vol ` S ) ) / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) < r <-> ( r x. ( vol ` S ) ) < ( r x. ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) )
105	102, 104	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( r x. ( vol ` S ) ) / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) < r )
106	94, 105	eqbrtrrd 4317	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) x. ( vol ` S ) ) < r )
107	61, 68, 63, 88, 106	lelttrd 9532	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> S. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) _d x < r )
108	58, 61, 63, 64, 107	lelttrd 9532	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` S. S ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) _d x ) < r )
109	54, 108	eqbrtrrd 4317	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x - S. S ( G ` x ) _d x ) ) < r )
110	109	expr 615	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ n e. Z ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) -> ( abs ` ( S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x - S. S ( G ` x ) _d x ) ) < r ) )
111	35, 110	sylan2 474	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) -> ( abs ` ( S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x - S. S ( G ` x ) _d x ) ) < r ) )
112	111	anassrs 648	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) -> ( abs ` ( S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x - S. S ( G ` x ) _d x ) ) < r ) )
113	112	ralimdva 2797	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) -> A. n e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x - S. S ( G ` x ) _d x ) ) < r ) )
114	113	reximdva 2831	. . . 4 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) -> E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x - S. S ( G ` x ) _d x ) ) < r ) )
115	34, 114	mpd 15	. . 3 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x - S. S ( G ` x ) _d x ) ) < r )
116	115	ralrimiva 2802	. 2 |- ( ph -> A. r e. RR+ E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x - S. S ( G ` x ) _d x ) ) < r )
117		fvex 5704	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` M ) e. _V
118	1, 117	eqeltri 2513	. . . . 5 |- Z e. _V
119	118	mptex 5951	. . . 4 |- ( k e. Z |-> S. S ( ( F ` k ) ` x ) _d x ) e. _V
120	119	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( k e. Z |-> S. S ( ( F ` k ) ` x ) _d x ) e. _V )
121		fveq2 5694	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> ( F ` k ) = ( F ` n ) )
122	121	fveq1d 5696	. . . . . . 7 |- ( k = n -> ( ( F ` k ) ` x ) = ( ( F ` n ) ` x ) )
123	122	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( k = n /\ x e. S ) -> ( ( F ` k ) ` x ) = ( ( F ` n ) ` x ) )
124	123	itgeq2dv 21262	. . . . 5 |- ( k = n -> S. S ( ( F ` k ) ` x ) _d x = S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x )
125		eqid 2443	. . . . 5 |- ( k e. Z |-> S. S ( ( F ` k ) ` x ) _d x ) = ( k e. Z |-> S. S ( ( F ` k ) ` x ) _d x )
126		itgex 21251	. . . . 5 |- S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x e. _V
127	124, 125, 126	fvmpt 5777	. . . 4 |- ( n e. Z -> ( ( k e. Z |-> S. S ( ( F ` k ) ` x ) _d x ) ` n ) = S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x )
128	127	adantl 466	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> S. S ( ( F ` k ) ` x ) _d x ) ` n ) = S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x )
129	47, 51	itgcl 21264	. . 3 |- ( ph -> S. S ( G ` x ) _d x e. CC )
130	39, 44	itgcl 21264	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x e. CC )
131	1, 2, 120, 128, 129, 130	clim2c 12986	. 2 |- ( ph -> ( ( k e. Z |-> S. S ( ( F ` k ) ` x ) _d x ) ~~> S. S ( G ` x ) _d x <-> A. r e. RR+ E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x - S. S ( G ` x ) _d x ) ) < r ) )
132	116, 131	mpbird 232	1 |- ( ph -> ( k e. Z |-> S. S ( ( F ` k ) ` x ) _d x ) ~~> S. S ( G ` x ) _d x )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2718   E.wrex 2719   _Vcvv 2975   C_ wss 3331   {csn 3880   class class class wbr 4295   e. cmpt 4353   X. cxp 4841   dom cdm 4843   Fn wfn 5416   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   ^m cmap 7217   CCcc 9283   RRcr 9284   0cc0 9285   1c1 9286   + caddc 9288   x. cmul 9290   < clt 9421   <_ cle 9422   - cmin 9598   / cdiv 9996   ZZcz 10649   ZZ>=cuz 10864   RR+crp 10994   abscabs 12726   ~~> cli 12965   vol*covol 20949   volcvol 20950  MblFncmbf 21097   L^1cibl 21100   S.citg 21101   ~~> uculm 21844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-inf2 7850  ax-cc 8607  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362  ax-pre-sup 9363  ax-addf 9364  ax-mulf 9365

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-iin 4177  df-disj 4266  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-se 4683  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-of 6323  df-ofr 6324  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-supp 6694  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-2o 6924  df-oadd 6927  df-omul 6928  df-er 7104  df-map 7219  df-pm 7220  df-ixp 7267  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-fsupp 7624  df-fi 7664  df-sup 7694  df-oi 7727  df-card 8112  df-acn 8115  df-cda 8340  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-div 9997  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-4 10385  df-5 10386  df-6 10387  df-7 10388  df-8 10389  df-9 10390  df-10 10391  df-n0 10583  df-z 10650  df-dec 10759  df-uz 10865  df-q 10957  df-rp 10995  df-xneg 11092  df-xadd 11093  df-xmul 11094  df-ioo 11307  df-ioc 11308  df-ico 11309  df-icc 11310  df-fz 11441  df-fzo 11552  df-fl 11645  df-mod 11712  df-seq 11810  df-exp 11869  df-hash 12107  df-cj 12591  df-re 12592  df-im 12593  df-sqr 12727  df-abs 12728  df-limsup 12952  df-clim 12969  df-rlim 12970  df-sum 13167  df-struct 14179  df-ndx 14180  df-slot 14181  df-base 14182  df-sets 14183  df-ress 14184  df-plusg 14254  df-mulr 14255  df-starv 14256  df-sca 14257  df-vsca 14258  df-ip 14259  df-tset 14260  df-ple 14261  df-ds 14263  df-unif 14264  df-hom 14265  df-cco 14266  df-rest 14364  df-topn 14365  df-0g 14383  df-gsum 14384  df-topgen 14385  df-pt 14386  df-prds 14389  df-xrs 14443  df-qtop 14448  df-imas 14449  df-xps 14451  df-mre 14527  df-mrc 14528  df-acs 14530  df-mnd 15418  df-submnd 15468  df-mulg 15551  df-cntz 15838  df-cmn 16282  df-psmet 17812  df-xmet 17813  df-met 17814  df-bl 17815  df-mopn 17816  df-cnfld 17822  df-top 18506  df-bases 18508  df-topon 18509  df-topsp 18510  df-cn 18834  df-cnp 18835  df-cmp 18993  df-tx 19138  df-hmeo 19331  df-xms 19898  df-ms 19899  df-tms 19900  df-cncf 20457  df-ovol 20951  df-vol 20952  df-mbf 21102  df-itg1 21103  df-itg2 21104  df-ibl 21105  df-itg 21106  df-0p 21151  df-ulm 21845

This theorem is referenced by:  itgulm2  21877