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Theorem itgulm 21832
Description: A uniform limit of integrals of integrable functions converges to the integral of the limit function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
itgulm.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
itgulm.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
itgulm.f  |-  ( ph  ->  F : Z --> L^1 )
itgulm.u  |-  ( ph  ->  F ( ~~> u `  S ) G )
itgulm.s  |-  ( ph  ->  ( vol `  S
)  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
itgulm  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  S. S ( ( F `  k ) `
 x )  _d x )  ~~>  S. S
( G `  x
)  _d x )
Distinct variable groups:    x, k, F    k, G, x    ph, k, x    k, M, x    S, k, x    k, Z, x

Proof of Theorem itgulm
Dummy variables  j  n  r  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgulm.z . . . . 5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 itgulm.m . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
32adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  M  e.  ZZ )
4 itgulm.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : Z --> L^1 )
5 ffn 5556 . . . . . . . 8  |-  ( F : Z --> L^1 
->  F  Fn  Z
)
64, 5syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  Fn  Z )
7 itgulm.u . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F ( ~~> u `  S ) G )
8 ulmf2 21808 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  Z  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  ->  F : Z --> ( CC  ^m  S ) )
96, 7, 8syl2anc 656 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
109adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  F : Z
--> ( CC  ^m  S
) )
11 eqidd 2442 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  z  e.  S )
)  ->  ( ( F `  n ) `  z )  =  ( ( F `  n
) `  z )
)
12 eqidd 2442 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  z  e.  S )  ->  ( G `  z )  =  ( G `  z ) )
137adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  F ( ~~> u `  S ) G )
14 simpr 458 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  r  e.  RR+ )
15 itgulm.s . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( vol `  S
)  e.  RR )
1615adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( vol `  S )  e.  RR )
17 ulmcl 21805 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F ( ~~> u `  S
) G  ->  G : S --> CC )
18 fdm 5560 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G : S --> CC  ->  dom 
G  =  S )
197, 17, 183syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  G  =  S )
201, 2, 4, 7, 15iblulm 21831 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  e.  L^1 )
21 iblmbf 21204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  e.  L^1  ->  G  e. MblFn )
22 mbfdm 21065 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  e. MblFn  ->  dom  G  e.  dom  vol )
2320, 21, 223syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  G  e.  dom  vol )
2419, 23eqeltrrd 2516 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  dom  vol )
25 mblss 20973 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  dom  vol  ->  S 
C_  RR )
26 ovolge0 20923 . . . . . . . . . 10  |-  ( S 
C_  RR  ->  0  <_ 
( vol* `  S ) )
2724, 25, 263syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( vol* `  S ) )
28 mblvol 20972 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  dom  vol  ->  ( vol `  S )  =  ( vol* `  S ) )
2924, 28syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( vol `  S
)  =  ( vol* `  S )
)
3027, 29breqtrrd 4315 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  ( vol `  S ) )
3130adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  0  <_  ( vol `  S ) )
3216, 31ge0p1rpd 11049 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( vol `  S )  +  1 )  e.  RR+ )
3314, 32rpdivcld 11040 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( r  /  ( ( vol `  S )  +  1 ) )  e.  RR+ )
341, 3, 10, 11, 12, 13, 33ulmi 21810 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) )
351uztrn2 10874 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) )  ->  n  e.  Z )
369ffvelrnda 5840 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( F `  n )  e.  ( CC  ^m  S
) )
37 elmapi 7230 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  n )  e.  ( CC  ^m  S )  ->  ( F `  n ) : S --> CC )
3836, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( F `  n ) : S --> CC )
3938ffvelrnda 5840 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  x  e.  S )  ->  (
( F `  n
) `  x )  e.  CC )
4039adantllr 713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  n  e.  Z )  /\  x  e.  S
)  ->  ( ( F `  n ) `  x )  e.  CC )
4140adantlrr 715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( ( F `  n ) `  x
)  e.  CC )
4238feqmptd 5741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( F `  n )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) )
434ffvelrnda 5840 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( F `  n )  e.  L^1 )
4442, 43eqeltrrd 2516 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  S  |->  ( ( F `  n
) `  x )
)  e.  L^1 )
4544ad2ant2r 741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( x  e.  S  |->  ( ( F `  n ) `  x
) )  e.  L^1 )
467, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  G : S --> CC )
4746ffvelrnda 5840 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  x )  e.  CC )
4847adantlr 709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  x )  e.  CC )
4948adantlr 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  x
)  e.  CC )
5046feqmptd 5741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  S  |->  ( G `
 x ) ) )
5150, 20eqeltrrd 2516 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  |->  ( G `  x
) )  e.  L^1 )
5251ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( x  e.  S  |->  ( G `  x
) )  e.  L^1 )
5341, 45, 49, 52itgsub 21262 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  ->  S. S ( ( ( F `  n ) `
 x )  -  ( G `  x ) )  _d x  =  ( S. S ( ( F `  n
) `  x )  _d x  -  S. S ( G `  x )  _d x ) )
5453fveq2d 5692 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( abs `  S. S ( ( ( F `  n ) `
 x )  -  ( G `  x ) )  _d x )  =  ( abs `  ( S. S ( ( F `
 n ) `  x )  _d x  -  S. S ( G `  x )  _d x ) ) )
5541, 49subcld 9715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( ( ( F `
 n ) `  x )  -  ( G `  x )
)  e.  CC )
5641, 45, 49, 52iblsub 21258 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( x  e.  S  |->  ( ( ( F `
 n ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  e.  L^1 )
5755, 56itgcl 21220 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  ->  S. S ( ( ( F `  n ) `
 x )  -  ( G `  x ) )  _d x  e.  CC )
5857abscld 12918 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( abs `  S. S ( ( ( F `  n ) `
 x )  -  ( G `  x ) )  _d x )  e.  RR )
5955abscld 12918 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( abs `  (
( ( F `  n ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  e.  RR )
6055, 56iblabs 21265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( x  e.  S  |->  ( abs `  (
( ( F `  n ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) ) )  e.  L^1 )
6159, 60itgrecl 21234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  ->  S. S ( abs `  (
( ( F `  n ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  _d x  e.  RR )
62 rpre 10993 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e.  RR )
6362ad2antlr 721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
r  e.  RR )
6455, 56itgabs 21271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( abs `  S. S ( ( ( F `  n ) `
 x )  -  ( G `  x ) )  _d x )  <_  S. S ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  x )  -  ( G `  x ) ) )  _d x )
6533adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( r  /  (
( vol `  S
)  +  1 ) )  e.  RR+ )
6665rpred 11023 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( r  /  (
( vol `  S
)  +  1 ) )  e.  RR )
6715ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( vol `  S
)  e.  RR )
6866, 67remulcld 9410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) )  x.  ( vol `  S ) )  e.  RR )
69 fconstmpt 4878 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  X.  { ( r  /  ( ( vol `  S )  +  1 ) ) } )  =  ( x  e.  S  |->  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) )
7024ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  ->  S  e.  dom  vol )
7165rpcnd 11025 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( r  /  (
( vol `  S
)  +  1 ) )  e.  CC )
72 iblconst 21254 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S  e.  dom  vol  /\  ( vol `  S
)  e.  RR  /\  ( r  /  (
( vol `  S
)  +  1 ) )  e.  CC )  ->  ( S  X.  { ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) } )  e.  L^1 )
7370, 67, 71, 72syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( S  X.  {
( r  /  (
( vol `  S
)  +  1 ) ) } )  e.  L^1 )
7469, 73syl5eqelr 2526 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( x  e.  S  |->  ( r  /  (
( vol `  S
)  +  1 ) ) )  e.  L^1 )
7566adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( r  /  (
( vol `  S
)  +  1 ) )  e.  RR )
76 simprr 751 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  ->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) )
77 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  x  ->  (
( F `  n
) `  z )  =  ( ( F `
 n ) `  x ) )
78 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  x  ->  ( G `  z )  =  ( G `  x ) )
7977, 78oveq12d 6108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  x  ->  (
( ( F `  n ) `  z
)  -  ( G `
 z ) )  =  ( ( ( F `  n ) `
 x )  -  ( G `  x ) ) )
8079fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  x  ->  ( abs `  ( ( ( F `  n ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  x )  -  ( G `  x ) ) ) )
8180breq1d 4299 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  x  ->  (
( abs `  (
( ( F `  n ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  ( r  /  ( ( vol `  S )  +  1 ) )  <->  ( abs `  ( ( ( F `
 n ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  (
r  /  ( ( vol `  S )  +  1 ) ) ) )
8281rspccva 3069 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( ( F `  n ) `
 x )  -  ( G `  x ) ) )  <  (
r  /  ( ( vol `  S )  +  1 ) ) )
8376, 82sylan 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( abs `  (
( ( F `  n ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  ( r  /  ( ( vol `  S )  +  1 ) ) )
8459, 75, 83ltled 9518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( abs `  (
( ( F `  n ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  <_  ( r  /  ( ( vol `  S )  +  1 ) ) )
8560, 74, 59, 75, 84itgle 21246 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  ->  S. S ( abs `  (
( ( F `  n ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  _d x  <_  S. S ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) )  _d x )
86 itgconst 21255 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  dom  vol  /\  ( vol `  S
)  e.  RR  /\  ( r  /  (
( vol `  S
)  +  1 ) )  e.  CC )  ->  S. S ( r  /  ( ( vol `  S )  +  1 ) )  _d x  =  ( ( r  /  (
( vol `  S
)  +  1 ) )  x.  ( vol `  S ) ) )
8770, 67, 71, 86syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  ->  S. S ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) )  _d x  =  ( ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) )  x.  ( vol `  S ) ) )
8885, 87breqtrd 4313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  ->  S. S ( abs `  (
( ( F `  n ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  _d x  <_ 
( ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) )  x.  ( vol `  S ) ) )
8963recnd 9408 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
r  e.  CC )
9067recnd 9408 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( vol `  S
)  e.  CC )
9132adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( vol `  S
)  +  1 )  e.  RR+ )
9291rpcnd 11025 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( vol `  S
)  +  1 )  e.  CC )
9391rpne0d 11028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( vol `  S
)  +  1 )  =/=  0 )
9489, 90, 92, 93div23d 10140 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( r  x.  ( vol `  S
) )  /  (
( vol `  S
)  +  1 ) )  =  ( ( r  /  ( ( vol `  S )  +  1 ) )  x.  ( vol `  S
) ) )
9567ltp1d 10259 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( vol `  S
)  <  ( ( vol `  S )  +  1 ) )
96 peano2re 9538 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( vol `  S )  e.  RR  ->  (
( vol `  S
)  +  1 )  e.  RR )
9767, 96syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( vol `  S
)  +  1 )  e.  RR )
98 rpgt0 10998 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  e.  RR+  ->  0  < 
r )
9998ad2antlr 721 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
0  <  r )
100 ltmul2 10176 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( vol `  S
)  e.  RR  /\  ( ( vol `  S
)  +  1 )  e.  RR  /\  (
r  e.  RR  /\  0  <  r ) )  ->  ( ( vol `  S )  <  (
( vol `  S
)  +  1 )  <-> 
( r  x.  ( vol `  S ) )  <  ( r  x.  ( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )
10167, 97, 63, 99, 100syl112anc 1217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( vol `  S
)  <  ( ( vol `  S )  +  1 )  <->  ( r  x.  ( vol `  S
) )  <  (
r  x.  ( ( vol `  S )  +  1 ) ) ) )
10295, 101mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( r  x.  ( vol `  S ) )  <  ( r  x.  ( ( vol `  S
)  +  1 ) ) )
10363, 67remulcld 9410 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( r  x.  ( vol `  S ) )  e.  RR )
104103, 63, 91ltdivmul2d 11071 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( ( r  x.  ( vol `  S
) )  /  (
( vol `  S
)  +  1 ) )  <  r  <->  ( r  x.  ( vol `  S
) )  <  (
r  x.  ( ( vol `  S )  +  1 ) ) ) )
105102, 104mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( r  x.  ( vol `  S
) )  /  (
( vol `  S
)  +  1 ) )  <  r )
10694, 105eqbrtrrd 4311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) )  x.  ( vol `  S ) )  < 
r )
10761, 68, 63, 88, 106lelttrd 9525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  ->  S. S ( abs `  (
( ( F `  n ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  _d x  < 
r )
10858, 61, 63, 64, 107lelttrd 9525 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( abs `  S. S ( ( ( F `  n ) `
 x )  -  ( G `  x ) )  _d x )  <  r )
10954, 108eqbrtrrd 4311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
n  e.  Z  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( abs `  ( S. S ( ( F `
 n ) `  x )  _d x  -  S. S ( G `  x )  _d x ) )  <  r )
110109expr 612 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  n  e.  Z )  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  ( r  / 
( ( vol `  S
)  +  1 ) )  ->  ( abs `  ( S. S ( ( F `  n
) `  x )  _d x  -  S. S ( G `  x )  _d x ) )  <  r
) )
11135, 110sylan2 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 n ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  (
r  /  ( ( vol `  S )  +  1 ) )  ->  ( abs `  ( S. S ( ( F `
 n ) `  x )  _d x  -  S. S ( G `  x )  _d x ) )  <  r ) )
112111anassrs 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 n ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  (
r  /  ( ( vol `  S )  +  1 ) )  ->  ( abs `  ( S. S ( ( F `
 n ) `  x )  _d x  -  S. S ( G `  x )  _d x ) )  <  r ) )
113112ralimdva 2792 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  n ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  (
r  /  ( ( vol `  S )  +  1 ) )  ->  A. n  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  ( S. S ( ( F `
 n ) `  x )  _d x  -  S. S ( G `  x )  _d x ) )  <  r ) )
114113reximdva 2826 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 n ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  (
r  /  ( ( vol `  S )  +  1 ) )  ->  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( S. S ( ( F `
 n ) `  x )  _d x  -  S. S ( G `  x )  _d x ) )  <  r ) )
11534, 114mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  ( S. S ( ( F `
 n ) `  x )  _d x  -  S. S ( G `  x )  _d x ) )  <  r )
116115ralrimiva 2797 . 2  |-  ( ph  ->  A. r  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( S. S ( ( F `  n
) `  x )  _d x  -  S. S ( G `  x )  _d x ) )  <  r
)
117 fvex 5698 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  M )  e.  _V
1181, 117eqeltri 2511 . . . . 5  |-  Z  e. 
_V
119118mptex 5945 . . . 4  |-  ( k  e.  Z  |->  S. S
( ( F `  k ) `  x
)  _d x )  e.  _V
120119a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  S. S ( ( F `  k ) `
 x )  _d x )  e.  _V )
121 fveq2 5688 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )
122121fveq1d 5690 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
( F `  k
) `  x )  =  ( ( F `
 n ) `  x ) )
123122adantr 462 . . . . . 6  |-  ( ( k  =  n  /\  x  e.  S )  ->  ( ( F `  k ) `  x
)  =  ( ( F `  n ) `
 x ) )
124123itgeq2dv 21218 . . . . 5  |-  ( k  =  n  ->  S. S ( ( F `
 k ) `  x )  _d x  =  S. S ( ( F `  n
) `  x )  _d x )
125 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( k  e.  Z  |->  S. S
( ( F `  k ) `  x
)  _d x )  =  ( k  e.  Z  |->  S. S ( ( F `  k
) `  x )  _d x )
126 itgex 21207 . . . . 5  |-  S. S
( ( F `  n ) `  x
)  _d x  e. 
_V
127124, 125, 126fvmpt 5771 . . . 4  |-  ( n  e.  Z  ->  (
( k  e.  Z  |->  S. S ( ( F `  k ) `
 x )  _d x ) `  n
)  =  S. S
( ( F `  n ) `  x
)  _d x )
128127adantl 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  S. S ( ( F `  k ) `
 x )  _d x ) `  n
)  =  S. S
( ( F `  n ) `  x
)  _d x )
12947, 51itgcl 21220 . . 3  |-  ( ph  ->  S. S ( G `
 x )  _d x  e.  CC )
13039, 44itgcl 21220 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  S. S ( ( F `
 n ) `  x )  _d x  e.  CC )
1311, 2, 120, 128, 129, 130clim2c 12979 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  Z  |->  S. S ( ( F `  k
) `  x )  _d x )  ~~>  S. S
( G `  x
)  _d x  <->  A. r  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. n  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  ( S. S ( ( F `
 n ) `  x )  _d x  -  S. S ( G `  x )  _d x ) )  <  r ) )
132116, 131mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  S. S ( ( F `  k ) `
 x )  _d x )  ~~>  S. S
( G `  x
)  _d x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   E.wrex 2714   _Vcvv 2970    C_ wss 3325   {csn 3874   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347    X. cxp 4834   dom cdm 4836    Fn wfn 5410   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    ^m cmap 7210   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    x. cmul 9283    < clt 9414    <_ cle 9415    - cmin 9591    / cdiv 9989   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857   RR+crp 10987   abscabs 12719    ~~> cli 12958   vol*covol 20905   volcvol 20906  MblFncmbf 21053   L^1cibl 21056   S.citg 21057   ~~> uculm 21800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cc 8600  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-disj 4260  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-ofr 6320  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-omul 6921  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-acn 8108  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-cnfld 17778  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-cmp 18949  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856  df-cncf 20413  df-ovol 20907  df-vol 20908  df-mbf 21058  df-itg1 21059  df-itg2 21060  df-ibl 21061  df-itg 21062  df-0p 21107  df-ulm 21801
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