Theorem itgulm 22530

Description: A uniform limit of integrals of integrable functions converges to the integral of the limit function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgulm.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
itgulm.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
itgulm.f	|- ( ph -> F : Z --> L^1 )
itgulm.u	|- ( ph -> F ( ~~> u ` S ) G )
itgulm.s	|- ( ph -> ( vol ` S ) e. RR )

Assertion

Ref	Expression
itgulm	|- ( ph -> ( k e. Z |-> S. S ( ( F ` k ) ` x ) _d x ) ~~> S. S ( G ` x ) _d x )

Distinct variable groups:   x, k, F   k, G, x   ph, k, x   k, M, x   S, k, x   k, Z, x

Proof of Theorem itgulm

Dummy variables j n r z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgulm.z	. . . . 5 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		itgulm.m	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
3	2	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> M e. ZZ )
4		itgulm.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : Z --> L^1 )
5		ffn 5722	. . . . . . . 8 |- ( F : Z --> L^1 -> F Fn Z )
6	4, 5	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> F Fn Z )
7		itgulm.u	. . . . . . 7 |- ( ph -> F ( ~~> u ` S ) G )
8		ulmf2 22506	. . . . . . 7 |- ( ( F Fn Z /\ F ( ~~> u ` S ) G ) -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
9	6, 7, 8	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ph -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
10	9	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
11		eqidd 2461	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ z e. S ) ) -> ( ( F ` n ) ` z ) = ( ( F ` n ) ` z ) )
12		eqidd 2461	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ z e. S ) -> ( G ` z ) = ( G ` z ) )
13	7	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> F ( ~~> u ` S ) G )
14		simpr 461	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> r e. RR+ )
15		itgulm.s	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( vol ` S ) e. RR )
16	15	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( vol ` S ) e. RR )
17		ulmcl 22503	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F ( ~~> u ` S ) G -> G : S --> CC )
18		fdm 5726	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G : S --> CC -> dom G = S )
19	7, 17, 18	3syl 20	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom G = S )
20	1, 2, 4, 7, 15	iblulm 22529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> G e. L^1 )
21		iblmbf 21902	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G e. L^1 -> G e. MblFn )
22		mbfdm 21763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G e. MblFn -> dom G e. dom vol )
23	20, 21, 22	3syl 20	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom G e. dom vol )
24	19, 23	eqeltrrd 2549	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S e. dom vol )
25		mblss 21670	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. dom vol -> S C_ RR )
26		ovolge0 21620	. . . . . . . . . 10 |- ( S C_ RR -> 0 <_ ( vol* ` S ) )
27	24, 25, 26	3syl 20	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ ( vol* ` S ) )
28		mblvol 21669	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. dom vol -> ( vol ` S ) = ( vol* ` S ) )
29	24, 28	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( vol ` S ) = ( vol* ` S ) )
30	27, 29	breqtrrd 4466	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ ( vol ` S ) )
31	30	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> 0 <_ ( vol ` S ) )
32	16, 31	ge0p1rpd 11271	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( ( vol ` S ) + 1 ) e. RR+ )
33	14, 32	rpdivcld 11262	. . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) e. RR+ )
34	1, 3, 10, 11, 12, 13, 33	ulmi 22508	. . . 4 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) )
35	1	uztrn2 11088	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) -> n e. Z )
36	9	ffvelrnda 6012	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) e. ( CC ^m S ) )
37		elmapi 7430	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` n ) e. ( CC ^m S ) -> ( F ` n ) : S --> CC )
38	36, 37	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) : S --> CC )
39	38	ffvelrnda 6012	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ x e. S ) -> ( ( F ` n ) ` x ) e. CC )
40	39	adantllr 718	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ n e. Z ) /\ x e. S ) -> ( ( F ` n ) ` x ) e. CC )
41	40	adantlrr 720	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) /\ x e. S ) -> ( ( F ` n ) ` x ) e. CC )
42	38	feqmptd 5911	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) = ( x e. S |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) )
43	4	ffvelrnda 6012	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) e. L^1 )
44	42, 43	eqeltrrd 2549	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( x e. S |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) e. L^1 )
45	44	ad2ant2r 746	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( x e. S |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) e. L^1 )
46	7, 17	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> G : S --> CC )
47	46	ffvelrnda 6012	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( G ` x ) e. CC )
48	47	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. S ) -> ( G ` x ) e. CC )
49	48	adantlr 714	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) /\ x e. S ) -> ( G ` x ) e. CC )
50	46	feqmptd 5911	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> G = ( x e. S |-> ( G ` x ) ) )
51	50, 20	eqeltrrd 2549	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( x e. S |-> ( G ` x ) ) e. L^1 )
52	51	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( x e. S |-> ( G ` x ) ) e. L^1 )
53	41, 45, 49, 52	itgsub 21960	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> S. S ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) _d x = ( S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x - S. S ( G ` x ) _d x ) )
54	53	fveq2d 5861	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` S. S ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) _d x ) = ( abs ` ( S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x - S. S ( G ` x ) _d x ) ) )
55	41, 49	subcld 9919	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) /\ x e. S ) -> ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) e. CC )
56	41, 45, 49, 52	iblsub 21956	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( x e. S |-> ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) e. L^1 )
57	55, 56	itgcl 21918	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> S. S ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) _d x e. CC )
58	57	abscld 13216	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` S. S ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) _d x ) e. RR )
59	55	abscld 13216	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) /\ x e. S ) -> ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) e. RR )
60	55, 56	iblabs 21963	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( x e. S |-> ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) ) e. L^1 )
61	59, 60	itgrecl 21932	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> S. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) _d x e. RR )
62		rpre 11215	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r e. RR+ -> r e. RR )
63	62	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> r e. RR )
64	55, 56	itgabs 21969	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` S. S ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) _d x ) <_ S. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) _d x )
65	33	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) e. RR+ )
66	65	rpred 11245	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) e. RR )
67	15	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( vol ` S ) e. RR )
68	66, 67	remulcld 9613	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) x. ( vol ` S ) ) e. RR )
69		fconstmpt 5035	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( S X. { ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) } ) = ( x e. S |-> ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) )
70	24	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> S e. dom vol )
71	65	rpcnd 11247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) e. CC )
72		iblconst 21952	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( S e. dom vol /\ ( vol ` S ) e. RR /\ ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) e. CC ) -> ( S X. { ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) } ) e. L^1 )
73	70, 67, 71, 72	syl3anc 1223	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( S X. { ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) } ) e. L^1 )
74	69, 73	syl5eqelr 2553	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( x e. S |-> ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) e. L^1 )
75	66	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) /\ x e. S ) -> ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) e. RR )
76		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) )
77		fveq2 5857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = x -> ( ( F ` n ) ` z ) = ( ( F ` n ) ` x ) )
78		fveq2 5857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = x -> ( G ` z ) = ( G ` x ) )
79	77, 78	oveq12d 6293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = x -> ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) = ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) )
80	79	fveq2d 5861	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = x -> ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) )
81	80	breq1d 4450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = x -> ( ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) <-> ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) )
82	81	rspccva 3206	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) /\ x e. S ) -> ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) )
83	76, 82	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) /\ x e. S ) -> ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) )
84	59, 75, 83	ltled 9721	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) /\ x e. S ) -> ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) <_ ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) )
85	60, 74, 59, 75, 84	itgle 21944	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> S. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) _d x <_ S. S ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) _d x )
86		itgconst 21953	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S e. dom vol /\ ( vol ` S ) e. RR /\ ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) e. CC ) -> S. S ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) _d x = ( ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) x. ( vol ` S ) ) )
87	70, 67, 71, 86	syl3anc 1223	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> S. S ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) _d x = ( ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) x. ( vol ` S ) ) )
88	85, 87	breqtrd 4464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> S. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) _d x <_ ( ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) x. ( vol ` S ) ) )
89	63	recnd 9611	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> r e. CC )
90	67	recnd 9611	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( vol ` S ) e. CC )
91	32	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( vol ` S ) + 1 ) e. RR+ )
92	91	rpcnd 11247	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( vol ` S ) + 1 ) e. CC )
93	91	rpne0d 11250	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( vol ` S ) + 1 ) =/= 0 )
94	89, 90, 92, 93	div23d 10346	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( r x. ( vol ` S ) ) / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) = ( ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) x. ( vol ` S ) ) )
95	67	ltp1d 10465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( vol ` S ) < ( ( vol ` S ) + 1 ) )
96		peano2re 9741	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( vol ` S ) e. RR -> ( ( vol ` S ) + 1 ) e. RR )
97	67, 96	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( vol ` S ) + 1 ) e. RR )
98		rpgt0 11220	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( r e. RR+ -> 0 < r )
99	98	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> 0 < r )
100		ltmul2 10382	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( vol ` S ) e. RR /\ ( ( vol ` S ) + 1 ) e. RR /\ ( r e. RR /\ 0 < r ) ) -> ( ( vol ` S ) < ( ( vol ` S ) + 1 ) <-> ( r x. ( vol ` S ) ) < ( r x. ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) )
101	67, 97, 63, 99, 100	syl112anc 1227	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( vol ` S ) < ( ( vol ` S ) + 1 ) <-> ( r x. ( vol ` S ) ) < ( r x. ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) )
102	95, 101	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( r x. ( vol ` S ) ) < ( r x. ( ( vol ` S ) + 1 ) ) )
103	63, 67	remulcld 9613	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( r x. ( vol ` S ) ) e. RR )
104	103, 63, 91	ltdivmul2d 11293	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( r x. ( vol ` S ) ) / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) < r <-> ( r x. ( vol ` S ) ) < ( r x. ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) )
105	102, 104	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( r x. ( vol ` S ) ) / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) < r )
106	94, 105	eqbrtrrd 4462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) x. ( vol ` S ) ) < r )
107	61, 68, 63, 88, 106	lelttrd 9728	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> S. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) _d x < r )
108	58, 61, 63, 64, 107	lelttrd 9728	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` S. S ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) _d x ) < r )
109	54, 108	eqbrtrrd 4462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x - S. S ( G ` x ) _d x ) ) < r )
110	109	expr 615	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ n e. Z ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) -> ( abs ` ( S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x - S. S ( G ` x ) _d x ) ) < r ) )
111	35, 110	sylan2 474	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) -> ( abs ` ( S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x - S. S ( G ` x ) _d x ) ) < r ) )
112	111	anassrs 648	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) -> ( abs ` ( S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x - S. S ( G ` x ) _d x ) ) < r ) )
113	112	ralimdva 2865	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) -> A. n e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x - S. S ( G ` x ) _d x ) ) < r ) )
114	113	reximdva 2931	. . . 4 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) -> E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x - S. S ( G ` x ) _d x ) ) < r ) )
115	34, 114	mpd 15	. . 3 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x - S. S ( G ` x ) _d x ) ) < r )
116	115	ralrimiva 2871	. 2 |- ( ph -> A. r e. RR+ E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x - S. S ( G ` x ) _d x ) ) < r )
117		fvex 5867	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` M ) e. _V
118	1, 117	eqeltri 2544	. . . . 5 |- Z e. _V
119	118	mptex 6122	. . . 4 |- ( k e. Z |-> S. S ( ( F ` k ) ` x ) _d x ) e. _V
120	119	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( k e. Z |-> S. S ( ( F ` k ) ` x ) _d x ) e. _V )
121		fveq2 5857	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> ( F ` k ) = ( F ` n ) )
122	121	fveq1d 5859	. . . . . . 7 |- ( k = n -> ( ( F ` k ) ` x ) = ( ( F ` n ) ` x ) )
123	122	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( k = n /\ x e. S ) -> ( ( F ` k ) ` x ) = ( ( F ` n ) ` x ) )
124	123	itgeq2dv 21916	. . . . 5 |- ( k = n -> S. S ( ( F ` k ) ` x ) _d x = S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x )
125		eqid 2460	. . . . 5 |- ( k e. Z |-> S. S ( ( F ` k ) ` x ) _d x ) = ( k e. Z |-> S. S ( ( F ` k ) ` x ) _d x )
126		itgex 21905	. . . . 5 |- S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x e. _V
127	124, 125, 126	fvmpt 5941	. . . 4 |- ( n e. Z -> ( ( k e. Z |-> S. S ( ( F ` k ) ` x ) _d x ) ` n ) = S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x )
128	127	adantl 466	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> S. S ( ( F ` k ) ` x ) _d x ) ` n ) = S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x )
129	47, 51	itgcl 21918	. . 3 |- ( ph -> S. S ( G ` x ) _d x e. CC )
130	39, 44	itgcl 21918	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x e. CC )
131	1, 2, 120, 128, 129, 130	clim2c 13277	. 2 |- ( ph -> ( ( k e. Z |-> S. S ( ( F ` k ) ` x ) _d x ) ~~> S. S ( G ` x ) _d x <-> A. r e. RR+ E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x - S. S ( G ` x ) _d x ) ) < r ) )
132	116, 131	mpbird 232	1 |- ( ph -> ( k e. Z |-> S. S ( ( F ` k ) ` x ) _d x ) ~~> S. S ( G ` x ) _d x )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1374   e. wcel 1762   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3106   C_ wss 3469   {csn 4020   class class class wbr 4440   |-> cmpt 4498   X. cxp 4990   dom cdm 4992   Fn wfn 5574   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   ^m cmap 7410   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482   + caddc 9484   x. cmul 9486   < clt 9617   <_ cle 9618   - cmin 9794   / cdiv 10195   ZZcz 10853   ZZ>=cuz 11071   RR+crp 11209   abscabs 13017   ~~> cli 13256   vol*covol 21602   volcvol 21603  MblFncmbf 21751   L^1cibl 21754   S.citg 21755   ~~> uculm 22498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cc 8804  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-disj 4411  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-ofr 6516  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-omul 7125  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-fi 7860  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-acn 8312  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xneg 11307  df-xadd 11308  df-xmul 11309  df-ioo 11522  df-ioc 11523  df-ico 11524  df-icc 11525  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-mod 11953  df-seq 12064  df-exp 12123  df-hash 12361  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-limsup 13243  df-clim 13260  df-rlim 13261  df-sum 13458  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-hom 14568  df-cco 14569  df-rest 14667  df-topn 14668  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-topgen 14688  df-pt 14689  df-prds 14692  df-xrs 14746  df-qtop 14751  df-imas 14752  df-xps 14754  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-mnd 15721  df-submnd 15771  df-mulg 15854  df-cntz 16143  df-cmn 16589  df-psmet 18175  df-xmet 18176  df-met 18177  df-bl 18178  df-mopn 18179  df-cnfld 18185  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-topsp 19163  df-cn 19487  df-cnp 19488  df-cmp 19646  df-tx 19791  df-hmeo 19984  df-xms 20551  df-ms 20552  df-tms 20553  df-cncf 21110  df-ovol 21604  df-vol 21605  df-mbf 21756  df-itg1 21757  df-itg2 21758  df-ibl 21759  df-itg 21760  df-0p 21805  df-ulm 22499

This theorem is referenced by:  itgulm2  22531