MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgsubstlem Structured version   Unicode version

Theorem itgsubstlem 21361
Description: Lemma for itgsubst 21362. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsubst.x  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
itgsubst.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
itgsubst.le  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
itgsubst.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR* )
itgsubst.w  |-  ( ph  ->  W  e.  RR* )
itgsubst.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> ( Z (,) W ) ) )
itgsubst.b  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  B )  e.  ( ( ( X (,) Y ) -cn-> CC )  i^i  L^1 ) )
itgsubst.c  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( Z (,) W ) 
|->  C )  e.  ( ( Z (,) W
) -cn-> CC ) )
itgsubst.da  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B ) )
itgsubst.e  |-  ( u  =  A  ->  C  =  E )
itgsubst.k  |-  ( x  =  X  ->  A  =  K )
itgsubst.l  |-  ( x  =  Y  ->  A  =  L )
itgsubst.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ( Z (,) W ) )
itgsubst.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ( Z (,) W ) )
itgsubst.cl2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  A  e.  ( M (,) N ) )
Assertion
Ref Expression
itgsubstlem  |-  ( ph  ->  S__ [ K  ->  L ] C  _d u  =  S__ [ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x )
Distinct variable groups:    u, E    x, u, K    u, M, x    ph, u, x    u, X, x    u, Y, x   
u, A    x, C    u, W, x    u, L, x    u, N, x   
u, Z, x
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x, u)    C( u)    E( x)

Proof of Theorem itgsubstlem
Dummy variables  y 
z  t  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgsubst.le . . 3  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
21ditgpos 21172 . 2  |-  ( ph  ->  S__ [ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x  =  S. ( X (,) Y ) ( E  x.  B )  _d x )
3 itgsubst.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
4 itgsubst.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
5 ax-resscn 9326 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
65a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
7 iccssre 11364 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( X [,] Y
)  C_  RR )
83, 4, 7syl2anc 654 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X [,] Y
)  C_  RR )
9 itgsubst.cl2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  A  e.  ( M (,) N ) )
10 eqidd 2434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A )  =  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) )
11 eqidd 2434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( M (,) N ) 
|->  S. ( M (,) v ) C  _d u )  =  ( v  e.  ( M (,) N )  |->  S. ( M (,) v
) C  _d u ) )
12 oveq2 6088 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  A  ->  ( M (,) v )  =  ( M (,) A
) )
13 itgeq1 21091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M (,) v )  =  ( M (,) A )  ->  S. ( M (,) v ) C  _d u  =  S. ( M (,) A ) C  _d u )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  A  ->  S. ( M (,) v ) C  _d u  =  S. ( M (,) A ) C  _d u )
159, 10, 11, 14fmptco 5863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( v  e.  ( M (,) N
)  |->  S. ( M (,) v ) C  _d u )  o.  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) )  =  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) )
16 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A )  =  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A )
179, 16fmptd 5855 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) : ( X [,] Y ) --> ( M (,) N
) )
18 ioossicc 11368 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M (,) N )  C_  ( M [,] N )
19 itgsubst.z . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR* )
20 itgsubst.w . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  W  e.  RR* )
21 itgsubst.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  M  e.  ( Z (,) W ) )
22 eliooord 11342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( M  e.  ( Z (,) W )  ->  ( Z  <  M  /\  M  <  W ) )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( Z  <  M  /\  M  <  W ) )
2423simpld 456 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  Z  <  M )
25 itgsubst.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  N  e.  ( Z (,) W ) )
26 eliooord 11342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  ( Z (,) W )  ->  ( Z  <  N  /\  N  <  W ) )
2725, 26syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( Z  <  N  /\  N  <  W ) )
2827simprd 460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  N  <  W )
29 iccssioo 11351 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( Z  e.  RR*  /\  W  e.  RR* )  /\  ( Z  <  M  /\  N  <  W ) )  ->  ( M [,] N )  C_  ( Z (,) W ) )
3019, 20, 24, 28, 29syl22anc 1212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( M [,] N
)  C_  ( Z (,) W ) )
3118, 30syl5ss 3355 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M (,) N
)  C_  ( Z (,) W ) )
32 ioossre 11344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Z (,) W )  C_  RR
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( Z (,) W
)  C_  RR )
3433, 5syl6ss 3356 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Z (,) W
)  C_  CC )
3531, 34sstrd 3354 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M (,) N
)  C_  CC )
36 itgsubst.a . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> ( Z (,) W ) ) )
37 cncffvrn 20315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M (,) N
)  C_  CC  /\  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A )  e.  ( ( X [,] Y )
-cn-> ( Z (,) W
) ) )  -> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A )  e.  ( ( X [,] Y ) -cn-> ( M (,) N ) )  <-> 
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) : ( X [,] Y ) --> ( M (,) N
) ) )
3835, 36, 37syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A )  e.  ( ( X [,] Y ) -cn-> ( M (,) N ) )  <-> 
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) : ( X [,] Y ) --> ( M (,) N
) ) )
3917, 38mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> ( M (,) N ) ) )
4018sseli 3340 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  ( M (,) N )  ->  v  e.  ( M [,] N
) )
4132, 25sseldi 3342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
4241rexrd 9420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  N  e.  RR* )
4342adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( M [,] N ) )  ->  N  e.  RR* )
4432, 21sseldi 3342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
45 elicc2 11347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( v  e.  ( M [,] N )  <-> 
( v  e.  RR  /\  M  <_  v  /\  v  <_  N ) ) )
4644, 41, 45syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( M [,] N )  <-> 
( v  e.  RR  /\  M  <_  v  /\  v  <_  N ) ) )
4746biimpa 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( v  e.  RR  /\  M  <_ 
v  /\  v  <_  N ) )
4847simp3d 995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( M [,] N ) )  ->  v  <_  N )
49 iooss2 11323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  RR*  /\  v  <_  N )  ->  ( M (,) v )  C_  ( M (,) N ) )
5043, 48, 49syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( M (,) v )  C_  ( M (,) N ) )
5150sselda 3344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( M [,] N
) )  /\  u  e.  ( M (,) v
) )  ->  u  e.  ( M (,) N
) )
5231sselda 3344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( M (,) N ) )  ->  u  e.  ( Z (,) W ) )
53 itgsubst.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( Z (,) W ) 
|->  C )  e.  ( ( Z (,) W
) -cn-> CC ) )
54 cncff 20310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( u  e.  ( Z (,) W )  |->  C )  e.  ( ( Z (,) W )
-cn-> CC )  ->  (
u  e.  ( Z (,) W )  |->  C ) : ( Z (,) W ) --> CC )
5553, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( Z (,) W ) 
|->  C ) : ( Z (,) W ) --> CC )
56 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( u  e.  ( Z (,) W )  |->  C )  =  ( u  e.  ( Z (,) W
)  |->  C )
5756fmpt 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. u  e.  ( Z (,) W ) C  e.  CC  <->  ( u  e.  ( Z (,) W
)  |->  C ) : ( Z (,) W
) --> CC )
5855, 57sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  A. u  e.  ( Z (,) W ) C  e.  CC )
5958r19.21bi 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( Z (,) W ) )  ->  C  e.  CC )
6052, 59syldan 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( M (,) N ) )  ->  C  e.  CC )
6160adantlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( M [,] N
) )  /\  u  e.  ( M (,) N
) )  ->  C  e.  CC )
6251, 61syldan 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( M [,] N
) )  /\  u  e.  ( M (,) v
) )  ->  C  e.  CC )
63 ioombl 20887 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M (,) v )  e. 
dom  vol
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( M (,) v )  e.  dom  vol )
6518a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( M (,) N
)  C_  ( M [,] N ) )
66 ioombl 20887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M (,) N )  e. 
dom  vol
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( M (,) N
)  e.  dom  vol )
6830sselda 3344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( M [,] N ) )  ->  u  e.  ( Z (,) W ) )
6968, 59syldan 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( M [,] N ) )  ->  C  e.  CC )
70 resmpt 5144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M [,] N ) 
C_  ( Z (,) W )  ->  (
( u  e.  ( Z (,) W ) 
|->  C )  |`  ( M [,] N ) )  =  ( u  e.  ( M [,] N
)  |->  C ) )
7130, 70syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  ( Z (,) W
)  |->  C )  |`  ( M [,] N ) )  =  ( u  e.  ( M [,] N )  |->  C ) )
72 rescncf 20314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M [,] N ) 
C_  ( Z (,) W )  ->  (
( u  e.  ( Z (,) W ) 
|->  C )  e.  ( ( Z (,) W
) -cn-> CC )  ->  (
( u  e.  ( Z (,) W ) 
|->  C )  |`  ( M [,] N ) )  e.  ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) ) )
7330, 53, 72sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  ( Z (,) W
)  |->  C )  |`  ( M [,] N ) )  e.  ( ( M [,] N )
-cn-> CC ) )
7471, 73eqeltrrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( M [,] N ) 
|->  C )  e.  ( ( M [,] N
) -cn-> CC ) )
75 cniccibl 21159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
u  e.  ( M [,] N )  |->  C )  e.  ( ( M [,] N )
-cn-> CC ) )  -> 
( u  e.  ( M [,] N ) 
|->  C )  e.  L^1 )
7644, 41, 74, 75syl3anc 1211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( M [,] N ) 
|->  C )  e.  L^1 )
7765, 67, 69, 76iblss 21123 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( M (,) N ) 
|->  C )  e.  L^1 )
7877adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( u  e.  ( M (,) N
)  |->  C )  e.  L^1 )
7950, 64, 61, 78iblss 21123 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( u  e.  ( M (,) v
)  |->  C )  e.  L^1 )
8062, 79itgcl 21102 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( M [,] N ) )  ->  S. ( M (,) v ) C  _d u  e.  CC )
8140, 80sylan2 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( M (,) N ) )  ->  S. ( M (,) v ) C  _d u  e.  CC )
82 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  ( M (,) N )  |->  S. ( M (,) v ) C  _d u )  =  ( v  e.  ( M (,) N
)  |->  S. ( M (,) v ) C  _d u )
8381, 82fmptd 5855 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( M (,) N ) 
|->  S. ( M (,) v ) C  _d u ) : ( M (,) N ) --> CC )
8431, 32syl6ss 3356 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( M (,) N
)  C_  RR )
85 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( t  =  u  ->  (
( u  e.  ( M (,) N ) 
|->  C ) `  t
)  =  ( ( u  e.  ( M (,) N )  |->  C ) `  u ) )
86 nffvmpt1 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ u
( ( u  e.  ( M (,) N
)  |->  C ) `  t )
87 nfcv 2569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ t
( ( u  e.  ( M (,) N
)  |->  C ) `  u )
8885, 86, 87cbvitg 21094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  S. ( M (,) v ) ( ( u  e.  ( M (,) N
)  |->  C ) `  t )  _d t  =  S. ( M (,) v ) ( ( u  e.  ( M (,) N ) 
|->  C ) `  u
)  _d u
89 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( u  e.  ( M (,) N )  |->  C )  =  ( u  e.  ( M (,) N
)  |->  C )
9089fvmpt2 5769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( u  e.  ( M (,) N )  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( u  e.  ( M (,) N
)  |->  C ) `  u )  =  C )
9151, 62, 90syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( M [,] N
) )  /\  u  e.  ( M (,) v
) )  ->  (
( u  e.  ( M (,) N ) 
|->  C ) `  u
)  =  C )
9291itgeq2dv 21100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( M [,] N ) )  ->  S. ( M (,) v ) ( ( u  e.  ( M (,) N ) 
|->  C ) `  u
)  _d u  =  S. ( M (,) v ) C  _d u )
9388, 92syl5eq 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( M [,] N ) )  ->  S. ( M (,) v ) ( ( u  e.  ( M (,) N ) 
|->  C ) `  t
)  _d t  =  S. ( M (,) v ) C  _d u )
9493mpteq2dva 4366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( M [,] N ) 
|->  S. ( M (,) v ) ( ( u  e.  ( M (,) N )  |->  C ) `  t )  _d t )  =  ( v  e.  ( M [,] N ) 
|->  S. ( M (,) v ) C  _d u ) )
9594oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
v  e.  ( M [,] N )  |->  S. ( M (,) v
) ( ( u  e.  ( M (,) N )  |->  C ) `
 t )  _d t ) )  =  ( RR  _D  (
v  e.  ( M [,] N )  |->  S. ( M (,) v
) C  _d u ) ) )
96 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  e.  ( M [,] N )  |->  S. ( M (,) v ) ( ( u  e.  ( M (,) N
)  |->  C ) `  t )  _d t )  =  ( v  e.  ( M [,] N )  |->  S. ( M (,) v ) ( ( u  e.  ( M (,) N
)  |->  C ) `  t )  _d t )
973rexrd 9420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  X  e.  RR* )
984rexrd 9420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR* )
99 lbicc2 11387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  Y  e.  RR*  /\  X  <_  Y )  ->  X  e.  ( X [,] Y
) )
10097, 98, 1, 99syl3anc 1211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  X  e.  ( X [,] Y ) )
101 n0i 3630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( X  e.  ( X [,] Y )  ->  -.  ( X [,] Y )  =  (/) )
102100, 101syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  -.  ( X [,] Y )  =  (/) )
103 feq3 5532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M (,) N )  =  (/)  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) : ( X [,] Y ) --> ( M (,) N )  <-> 
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) : ( X [,] Y ) -->
(/) ) )
10417, 103syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( M (,) N )  =  (/)  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) : ( X [,] Y ) -->
(/) ) )
105 f00 5581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) : ( X [,] Y ) --> (/)  <->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A )  =  (/)  /\  ( X [,] Y
)  =  (/) ) )
106105simprbi 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) : ( X [,] Y ) --> (/)  ->  ( X [,] Y
)  =  (/) )
107104, 106syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( M (,) N )  =  (/)  ->  ( X [,] Y
)  =  (/) ) )
108102, 107mtod 177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  -.  ( M (,) N )  =  (/) )
10944rexrd 9420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  M  e.  RR* )
110 ioo0 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  e.  RR*  /\  N  e.  RR* )  ->  (
( M (,) N
)  =  (/)  <->  N  <_  M ) )
111109, 42, 110syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( M (,) N )  =  (/)  <->  N  <_  M ) )
112108, 111mtbid 300 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  -.  N  <_  M
)
11341, 44letrid 9511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( N  <_  M  \/  M  <_  N ) )
114113ord 377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( -.  N  <_  M  ->  M  <_  N
) )
115112, 114mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  M  <_  N )
116 resmpt 5144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M (,) N ) 
C_  ( M [,] N )  ->  (
( u  e.  ( M [,] N ) 
|->  C )  |`  ( M (,) N ) )  =  ( u  e.  ( M (,) N
)  |->  C ) )
11718, 116ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( u  e.  ( M [,] N )  |->  C )  |`  ( M (,) N ) )  =  ( u  e.  ( M (,) N ) 
|->  C )
118 rescncf 20314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M (,) N ) 
C_  ( M [,] N )  ->  (
( u  e.  ( M [,] N ) 
|->  C )  e.  ( ( M [,] N
) -cn-> CC )  ->  (
( u  e.  ( M [,] N ) 
|->  C )  |`  ( M (,) N ) )  e.  ( ( M (,) N ) -cn-> CC ) ) )
11918, 74, 118mpsyl 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  ( M [,] N
)  |->  C )  |`  ( M (,) N ) )  e.  ( ( M (,) N )
-cn-> CC ) )
120117, 119syl5eqelr 2518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( M (,) N ) 
|->  C )  e.  ( ( M (,) N
) -cn-> CC ) )
12196, 44, 41, 115, 120, 77ftc1cn 21356 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
v  e.  ( M [,] N )  |->  S. ( M (,) v
) ( ( u  e.  ( M (,) N )  |->  C ) `
 t )  _d t ) )  =  ( u  e.  ( M (,) N ) 
|->  C ) )
12230, 32syl6ss 3356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( M [,] N
)  C_  RR )
123 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
124123tgioo2 20221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
125 iccntr 20239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( M [,] N ) )  =  ( M (,) N
) )
12644, 41, 125syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( M [,] N ) )  =  ( M (,) N
) )
1276, 122, 80, 124, 123, 126dvmptntr 21286 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
v  e.  ( M [,] N )  |->  S. ( M (,) v
) C  _d u ) )  =  ( RR  _D  ( v  e.  ( M (,) N )  |->  S. ( M (,) v ) C  _d u ) ) )
12895, 121, 1273eqtr3rd 2474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
v  e.  ( M (,) N )  |->  S. ( M (,) v
) C  _d u ) )  =  ( u  e.  ( M (,) N )  |->  C ) )
129128dmeqd 5029 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  ( v  e.  ( M (,) N ) 
|->  S. ( M (,) v ) C  _d u ) )  =  dom  ( u  e.  ( M (,) N
)  |->  C ) )
13060, 89fmptd 5855 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( M (,) N ) 
|->  C ) : ( M (,) N ) --> CC )
131 fdm 5551 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  e.  ( M (,) N )  |->  C ) : ( M (,) N ) --> CC 
->  dom  ( u  e.  ( M (,) N
)  |->  C )  =  ( M (,) N
) )
132130, 131syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  ( u  e.  ( M (,) N
)  |->  C )  =  ( M (,) N
) )
133129, 132eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  ( v  e.  ( M (,) N ) 
|->  S. ( M (,) v ) C  _d u ) )  =  ( M (,) N
) )
134 dvcn 21236 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( RR  C_  CC  /\  ( v  e.  ( M (,) N ) 
|->  S. ( M (,) v ) C  _d u ) : ( M (,) N ) --> CC  /\  ( M (,) N )  C_  RR )  /\  dom  ( RR  _D  ( v  e.  ( M (,) N
)  |->  S. ( M (,) v ) C  _d u ) )  =  ( M (,) N ) )  -> 
( v  e.  ( M (,) N ) 
|->  S. ( M (,) v ) C  _d u )  e.  ( ( M (,) N
) -cn-> CC ) )
1356, 83, 84, 133, 134syl31anc 1214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( M (,) N ) 
|->  S. ( M (,) v ) C  _d u )  e.  ( ( M (,) N
) -cn-> CC ) )
13639, 135cncfco 20324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( v  e.  ( M (,) N
)  |->  S. ( M (,) v ) C  _d u )  o.  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) )  e.  ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) )
13715, 136eqeltrrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  S. ( M (,) A ) C  _d u )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> CC ) )
138 cncff 20310 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A
) C  _d u )  e.  ( ( X [,] Y )
-cn-> CC )  ->  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A
) C  _d u ) : ( X [,] Y ) --> CC )
139137, 138syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) : ( X [,] Y ) --> CC )
140 eqid 2433 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u )  =  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u )
141140fmpt 5852 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  ( X [,] Y ) S. ( M (,) A ) C  _d u  e.  CC  <->  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) : ( X [,] Y
) --> CC )
142139, 141sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( X [,] Y ) S. ( M (,) A ) C  _d u  e.  CC )
143142r19.21bi 2804 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  S. ( M (,) A ) C  _d u  e.  CC )
144 iccntr 20239 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( X [,] Y ) )  =  ( X (,) Y
) )
1453, 4, 144syl2anc 654 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( X [,] Y ) )  =  ( X (,) Y
) )
1466, 8, 143, 124, 123, 145dvmptntr 21286 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A
) C  _d u ) )  =  ( RR  _D  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) ) )
147 reelprrecn 9361 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
148147a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
149 ioossicc 11368 . . . . . . . . 9  |-  ( X (,) Y )  C_  ( X [,] Y )
150149sseli 3340 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( X (,) Y )  ->  x  e.  ( X [,] Y
) )
151150, 9sylan2 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  A  e.  ( M (,) N ) )
152 itgsubst.b . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  B )  e.  ( ( ( X (,) Y ) -cn-> CC )  i^i  L^1 ) )
153 elin 3527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B )  e.  ( ( ( X (,) Y
) -cn-> CC )  i^i  L^1 )  <->  ( ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B )  e.  ( ( X (,) Y ) -cn-> CC )  /\  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B )  e.  L^1 ) )
154152, 153sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  B )  e.  ( ( X (,) Y ) -cn-> CC )  /\  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  B )  e.  L^1 ) )
155154simpld 456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  B )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
156 cncff 20310 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B )  e.  ( ( X (,) Y )
-cn-> CC )  ->  (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  B ) : ( X (,) Y ) --> CC )
157155, 156syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  B ) : ( X (,) Y ) --> CC )
158 eqid 2433 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B )  =  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  B )
159158fmpt 5852 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  ( X (,) Y ) B  e.  CC  <->  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  B ) : ( X (,) Y
) --> CC )
160157, 159sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( X (,) Y ) B  e.  CC )
161160r19.21bi 2804 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  B  e.  CC )
162 nfcv 2569 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ v C
163 nfcsb1v 3292 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ u [_ v  /  u ]_ C
164 csbeq1a 3285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  v  ->  C  =  [_ v  /  u ]_ C )
165162, 163, 164cbvmpt 4370 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( M (,) N )  |->  C )  =  ( v  e.  ( M (,) N
)  |->  [_ v  /  u ]_ C )
166165fmpt 5852 . . . . . . . . 9  |-  ( A. v  e.  ( M (,) N ) [_ v  /  u ]_ C  e.  CC  <->  ( u  e.  ( M (,) N
)  |->  C ) : ( M (,) N
) --> CC )
167130, 166sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. v  e.  ( M (,) N )
[_ v  /  u ]_ C  e.  CC )
168167r19.21bi 2804 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( M (,) N ) )  ->  [_ v  /  u ]_ C  e.  CC )
16932, 5sstri 3353 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z (,) W )  C_  CC
170 cncff 20310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A )  e.  ( ( X [,] Y )
-cn-> ( Z (,) W
) )  ->  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W ) )
17136, 170syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W
) )
17216fmpt 5852 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( Z (,) W
)  <->  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) : ( X [,] Y
) --> ( Z (,) W ) )
173171, 172sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( Z (,) W ) )
174173r19.21bi 2804 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  A  e.  ( Z (,) W ) )
175169, 174sseldi 3342 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  A  e.  CC )
1766, 8, 175, 124, 123, 145dvmptntr 21286 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) )  =  ( RR  _D  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  A ) ) )
177 itgsubst.da . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B ) )
178176, 177eqtr3d 2467 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B ) )
179128, 165syl6eq 2481 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
v  e.  ( M (,) N )  |->  S. ( M (,) v
) C  _d u ) )  =  ( v  e.  ( M (,) N )  |->  [_ v  /  u ]_ C
) )
180 csbeq1 3279 . . . . . . 7  |-  ( v  =  A  ->  [_ v  /  u ]_ C  = 
[_ A  /  u ]_ C )
181148, 148, 151, 161, 81, 168, 178, 179, 14, 180dvmptco 21287 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  S. ( M (,) A
) C  _d u ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  (
[_ A  /  u ]_ C  x.  B
) ) )
182 nfcvd 2570 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( M (,) N )  ->  F/_ u E )
183 itgsubst.e . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  A  ->  C  =  E )
184182, 183csbiegf 3300 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( M (,) N )  ->  [_ A  /  u ]_ C  =  E )
185151, 184syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  [_ A  /  u ]_ C  =  E )
186185oveq1d 6095 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( [_ A  /  u ]_ C  x.  B )  =  ( E  x.  B ) )
187186mpteq2dva 4366 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( [_ A  /  u ]_ C  x.  B
) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  ( E  x.  B ) ) )
188146, 181, 1873eqtrd 2469 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A
) C  _d u ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  ( E  x.  B ) ) )
189123mulcn 20284 . . . . . . 7  |-  x.  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
190189a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  x.  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
191 resmpt 5144 . . . . . . . 8  |-  ( ( X (,) Y ) 
C_  ( X [,] Y )  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E )  |`  ( X (,) Y ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  E ) )
192149, 191ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  E )  |`  ( X (,) Y ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E )
193 eqidd 2434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( Z (,) W ) 
|->  C )  =  ( u  e.  ( Z (,) W )  |->  C ) )
194174, 10, 193, 183fmptco 5863 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  ( Z (,) W
)  |->  C )  o.  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) )  =  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E ) )
19536, 53cncfco 20324 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  ( Z (,) W
)  |->  C )  o.  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) )  e.  ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) )
196194, 195eqeltrrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> CC ) )
197 rescncf 20314 . . . . . . . 8  |-  ( ( X (,) Y ) 
C_  ( X [,] Y )  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> CC )  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E )  |`  ( X (,) Y ) )  e.  ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) ) )
198149, 196, 197mpsyl 63 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  E )  |`  ( X (,) Y ) )  e.  ( ( X (,) Y )
-cn-> CC ) )
199192, 198syl5eqelr 2518 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
200123, 190, 199, 155cncfmpt2f 20331 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( E  x.  B
) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
201188, 200eqeltrd 2507 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A
) C  _d u ) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
202 ioombl 20887 . . . . . . . 8  |-  ( X (,) Y )  e. 
dom  vol
203202a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  e.  dom  vol )
204 fco 5556 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( u  e.  ( Z (,) W ) 
|->  C ) : ( Z (,) W ) --> CC  /\  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W ) )  ->  ( ( u  e.  ( Z (,) W )  |->  C )  o.  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) ) : ( X [,] Y ) --> CC )
20555, 171, 204syl2anc 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  ( Z (,) W
)  |->  C )  o.  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) ) : ( X [,] Y
) --> CC )
206194feq1d 5534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( u  e.  ( Z (,) W )  |->  C )  o.  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) ) : ( X [,] Y ) --> CC  <->  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  E ) : ( X [,] Y
) --> CC ) )
207205, 206mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E ) : ( X [,] Y ) --> CC )
208 eqid 2433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  E )  =  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  E )
209208fmpt 5852 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  ( X [,] Y ) E  e.  CC  <->  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  E ) : ( X [,] Y
) --> CC )
210207, 209sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( X [,] Y ) E  e.  CC )
211210r19.21bi 2804 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  E  e.  CC )
212150, 211sylan2 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  E  e.  CC )
213 eqidd 2434 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  E ) )
214 eqidd 2434 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  B )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B ) )
215203, 212, 161, 213, 214offval2 6325 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  E )  oF  x.  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  ( E  x.  B ) ) )
216188, 215eqtr4d 2468 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A
) C  _d u ) )  =  ( ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E )  oF  x.  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  B ) ) )
217149a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  C_  ( X [,] Y ) )
218 cniccibl 21159 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR  /\  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  E )  e.  ( ( X [,] Y )
-cn-> CC ) )  -> 
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E )  e.  L^1 )
2193, 4, 196, 218syl3anc 1211 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E )  e.  L^1 )
220217, 203, 211, 219iblss 21123 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E )  e.  L^1 )
221 iblmbf 21086 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  E )  e.  L^1 
->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E )  e. MblFn )
222220, 221syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E )  e. MblFn )
223154simprd 460 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  B )  e.  L^1 )
224 cniccbdd 20786 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR  /\  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  E )  e.  ( ( X [,] Y )
-cn-> CC ) )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( abs `  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  E ) `  z ) )  <_  y )
2253, 4, 196, 224syl3anc 1211 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( abs `  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  E ) `  z ) )  <_  y )
226 ssralv 3404 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X (,) Y ) 
C_  ( X [,] Y )  ->  ( A. z  e.  ( X [,] Y ) ( abs `  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  E ) `  z ) )  <_  y  ->  A. z  e.  ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  E ) `  z ) )  <_  y )
)
227149, 226ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  ( X [,] Y ) ( abs `  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  E ) `  z ) )  <_ 
y  ->  A. z  e.  ( X (,) Y
) ( abs `  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E ) `  z
) )  <_  y
)
228 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  E )  =  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  E )
229212, 228fmptd 5855 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E ) : ( X (,) Y ) --> CC )
230 fdm 5551 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  E ) : ( X (,) Y ) --> CC 
->  dom  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  E )  =  ( X (,) Y
) )
231229, 230syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  E )  =  ( X (,) Y
) )
232231raleqdv 2913 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
dom  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  E ) ( abs `  ( ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  E ) `  z ) )  <_  y  <->  A. z  e.  ( X (,) Y
) ( abs `  (
( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E ) `  z
) )  <_  y
) )
233192fveq1i 5680 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E )  |`  ( X (,) Y ) ) `
 z )  =  ( ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  E ) `  z )
234 fvres 5692 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( X (,) Y )  ->  (
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  E )  |`  ( X (,) Y ) ) `  z )  =  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  E ) `
 z ) )
235233, 234syl5eqr 2479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( X (,) Y )  ->  (
( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E ) `  z
)  =  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  E ) `  z ) )
236235fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( X (,) Y )  ->  ( abs `  ( ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  E ) `
 z ) )  =  ( abs `  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E ) `  z
) ) )
237236breq1d 4290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( X (,) Y )  ->  (
( abs `  (
( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E ) `  z
) )  <_  y  <->  ( abs `  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  E ) `  z ) )  <_  y )
)
238237ralbiia 2737 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  E ) `  z ) )  <_ 
y  <->  A. z  e.  ( X (,) Y ) ( abs `  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E ) `  z
) )  <_  y
)
239232, 238syl6rbb 262 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  ( X (,) Y
) ( abs `  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E ) `  z
) )  <_  y  <->  A. z  e.  dom  (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  E ) ( abs `  (
( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E ) `  z
) )  <_  y
) )
240227, 239syl5ib 219 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  ( X [,] Y
) ( abs `  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E ) `  z
) )  <_  y  ->  A. z  e.  dom  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  E ) ( abs `  (
( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E ) `  z
) )  <_  y
) )
241240reximdv 2817 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( abs `  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E ) `  z
) )  <_  y  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  dom  (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  E ) ( abs `  (
( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E ) `  z
) )  <_  y
) )
242225, 241mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  dom  (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  E ) ( abs `  (
( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E ) `  z
) )  <_  y
)
243 bddmulibl 21157 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E )  e. MblFn  /\  (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  B )  e.  L^1 
/\  E. y  e.  RR  A. z  e.  dom  (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  E ) ( abs `  (
( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E ) `  z
) )  <_  y
)  ->  ( (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  E )  oF  x.  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  B ) )  e.  L^1 )
244222, 223, 242, 243syl3anc 1211 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  E )  oF  x.  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B ) )  e.  L^1 )
245216, 244eqeltrd 2507 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A
) C  _d u ) )  e.  L^1 )
2463, 4, 1, 201, 245, 137ftc2 21357 . . 3  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) ) `  t )  _d t  =  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) `  Y )  -  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) `  X
) ) )
247 fveq2 5679 . . . . 5  |-  ( t  =  x  ->  (
( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A
) C  _d u ) ) `  t
)  =  ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) ) `  x ) )
248 nfcv 2569 . . . . . . 7  |-  F/_ x RR
249 nfcv 2569 . . . . . . 7  |-  F/_ x  _D
250 nfmpt1 4369 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  S. ( M (,) A ) C  _d u )
251248, 249, 250nfov 6103 . . . . . 6  |-  F/_ x
( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A
) C  _d u ) )
252 nfcv 2569 . . . . . 6  |-  F/_ x
t
253251, 252nffv 5686 . . . . 5  |-  F/_ x
( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A
) C  _d u ) ) `  t
)
254 nfcv 2569 . . . . 5  |-  F/_ t
( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A
) C  _d u ) ) `  x
)
255247, 253, 254cbvitg 21094 . . . 4  |-  S. ( X (,) Y ) ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A
) C  _d u ) ) `  t
)  _d t  =  S. ( X (,) Y ) ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) ) `  x )  _d x
256188fveq1d 5681 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A
) C  _d u ) ) `  x
)  =  ( ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  ( E  x.  B ) ) `  x ) )
257 ovex 6105 . . . . . . 7  |-  ( E  x.  B )  e. 
_V
258 eqid 2433 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  ( E  x.  B ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  ( E  x.  B ) )
259258fvmpt2 5769 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( X (,) Y )  /\  ( E  x.  B
)  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  ( E  x.  B ) ) `  x )  =  ( E  x.  B ) )
260257, 259mpan2 664 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( X (,) Y )  ->  (
( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( E  x.  B
) ) `  x
)  =  ( E  x.  B ) )
261256, 260sylan9eq 2485 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) ) `
 x )  =  ( E  x.  B
) )
262261itgeq2dv 21100 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) ) `  x )  _d x  =  S. ( X (,) Y
) ( E  x.  B )  _d x )
263255, 262syl5eq 2477 . . 3  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) ) `  t )  _d t  =  S. ( X (,) Y
) ( E  x.  B )  _d x )
26418, 9sseldi 3342 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  A  e.  ( M [,] N ) )
265 elicc2 11347 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( A  e.  ( M [,] N )  <-> 
( A  e.  RR  /\  M  <_  A  /\  A  <_  N ) ) )
26644, 41, 265syl2anc 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  e.  ( M [,] N )  <-> 
( A  e.  RR  /\  M  <_  A  /\  A  <_  N ) ) )
267266adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  ( A  e.  ( M [,] N
)  <->  ( A  e.  RR  /\  M  <_  A  /\  A  <_  N
) ) )
268264, 267mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  ( A  e.  RR  /\  M  <_  A  /\  A  <_  N
) )
269268simp2d 994 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  M  <_  A )
270269ditgpos 21172 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  S__ [ M  ->  A ] C  _d u  =  S. ( M (,) A ) C  _d u )
271270mpteq2dva 4366 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  S__ [ M  ->  A ] C  _d u )  =  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) )
272271fveq1d 5681 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  S__ [ M  ->  A ] C  _d u ) `  Y )  =  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) `
 Y ) )
273 ubicc2 11388 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  Y  e.  RR*  /\  X  <_  Y )  ->  Y  e.  ( X [,] Y
) )
27497, 98, 1, 273syl3anc 1211 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( X [,] Y ) )
275 itgsubst.l . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  Y  ->  A  =  L )
276 ditgeq2 21165 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  L  ->  S__ [ M  ->  A ] C  _d u  =  S__
[ M  ->  L ] C  _d u
)
277275, 276syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  Y  ->  S__ [ M  ->  A ] C  _d u  =  S__
[ M  ->  L ] C  _d u
)
278 eqid 2433 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S__ [ M  ->  A ] C  _d u )  =  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S__
[ M  ->  A ] C  _d u
)
279 ditgex 21168 . . . . . . . 8  |-  S__ [ M  ->  L ] C  _d u  e.  _V
280277, 278, 279fvmpt 5762 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  ( X [,] Y )  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  S__ [ M  ->  A ] C  _d u ) `  Y )  =  S__ [ M  ->  L ] C  _d u )
281274, 280syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  S__ [ M  ->  A ] C  _d u ) `  Y )  =  S__ [ M  ->  L ] C  _d u )
282272, 281eqtr3d 2467 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) `  Y )  =  S__
[ M  ->  L ] C  _d u
)
283271fveq1d 5681 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  S__ [ M  ->  A ] C  _d u ) `  X )  =  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) `
 X ) )
284 itgsubst.k . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  A  =  K )
285 ditgeq2 21165 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  K  ->  S__ [ M  ->  A ] C  _d u  =  S__
[ M  ->  K ] C  _d u
)
286284, 285syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  S__ [ M  ->  A ] C  _d u  =  S__
[ M  ->  K ] C  _d u
)
287 ditgex 21168 . . . . . . . 8  |-  S__ [ M  ->  K ] C  _d u  e.  _V
288286, 278, 287fvmpt 5762 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  ( X [,] Y )  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  S__ [ M  ->  A ] C  _d u ) `  X )  =  S__ [ M  ->  K ] C  _d u )
289100, 288syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  S__ [ M  ->  A ] C  _d u ) `  X )  =  S__ [ M  ->  K ] C  _d u )
290283, 289eqtr3d 2467 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) `  X )  =  S__
[ M  ->  K ] C  _d u
)
291282, 290oveq12d 6098 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) `
 Y )  -  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) `  X ) )  =  ( S__ [ M  ->  L ] C  _d u  -  S__ [ M  ->  K ] C  _d u ) )
292 lbicc2 11387 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  RR*  /\  N  e.  RR*  /\  M  <_  N )  ->  M  e.  ( M [,] N
) )
293109, 42, 115, 292syl3anc 1211 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M [,] N ) )
294264ralrimiva 2789 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( M [,] N ) )
295284eleq1d 2499 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  ( A  e.  ( M [,] N )  <->  K  e.  ( M [,] N ) ) )
296295rspcv 3058 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  ( X [,] Y )  ->  ( A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( M [,] N )  ->  K  e.  ( M [,] N
) ) )
297100, 294, 296sylc 60 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  ( M [,] N ) )
298275eleq1d 2499 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  Y  ->  ( A  e.  ( M [,] N )  <->  L  e.  ( M [,] N ) ) )
299298rspcv 3058 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  ( X [,] Y )  ->  ( A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( M [,] N )  ->  L  e.  ( M [,] N
) ) )
300274, 294, 299sylc 60 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L  e.  ( M [,] N ) )
30144, 41, 293, 297, 300, 60, 77ditgsplit 21177 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S__ [ M  ->  L ] C  _d u  =  ( S__ [ M  ->  K ] C  _d u  +  S__ [ K  ->  L ] C  _d u ) )
302301oveq1d 6095 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S__ [ M  ->  L ] C  _d u  -  S__ [ M  ->  K ] C  _d u )  =  ( ( S__ [ M  ->  K ] C  _d u  +  S__ [ K  ->  L ] C  _d u )  -  S__ [ M  ->  K ] C  _d u ) )
30344, 41, 293, 297, 60, 77ditgcl 21174 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S__ [ M  ->  K ] C  _d u  e.  CC )
30444, 41, 297, 300, 60, 77ditgcl 21174 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S__ [ K  ->  L ] C  _d u  e.  CC )
305303, 304pncan2d 9708 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S__ [ M  ->  K ] C  _d u  +  S__ [ K  ->  L ] C  _d u )  -  S__ [ M  ->  K ] C  _d u
)  =  S__ [ K  ->  L ] C  _d u )
306291, 302, 3053eqtrd 2469 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) `
 Y )  -  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) `  X ) )  =  S__ [ K  ->  L ] C  _d u )
307246, 263, 3063eqtr3d 2473 . 2  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( E  x.  B )  _d x  =  S__ [ K  ->  L ] C  _d u )
3082, 307eqtr2d 2466 1  |-  ( ph  ->  S__ [ K  ->  L ] C  _d u  =  S__ [ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362    e. wcel 1755   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2962   [_csb 3276    i^i cin 3315    C_ wss 3316   (/)c0 3625   {cpr 3867   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338   dom cdm 4827   ran crn 4828    |` cres 4829    o. ccom 4831   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080    oFcof 6307   CCcc 9267   RRcr 9268    + caddc 9272    x. cmul 9274   RR*cxr 9404    < clt 9405    <_ cle 9406    - cmin 9582   (,)cioo 11287   [,]cicc 11290   abscabs 12706   TopOpenctopn 14342   topGenctg 14358  ℂfldccnfld 17661   intcnt 18462    Cn ccn 18669    tX ctx 18974   -cn->ccncf 20293   volcvol 20788  MblFncmbf 20935   L^1cibl 20938   S.citg 20939   S__cdit 21162    _D cdv 21179
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cc 8592  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346  ax-pre-sup 9347  ax-addf 9348  ax-mulf 9349
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-disj 4251  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-ofr 6310  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-omul 6913  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-acn 8100  df-cda 8325  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981  df-nn 10310  df-2 10367  df-3 10368  df-4 10369  df-5 10370  df-6 10371  df-7 10372  df-8 10373  df-9 10374  df-10 10375  df-n0 10567  df-z 10634  df-dec 10743  df-uz 10849  df-q 10941  df-rp 10979  df-xneg 11076  df-xadd 11077  df-xmul 11078  df-ioo 11291  df-ioc 11292  df-ico 11293  df-icc 11294  df-fz 11424  df-fzo 11532  df-fl 11625  df-mod 11692  df-seq 11790  df-exp 11849  df-hash 12087  df-cj 12571  df-re 12572  df-im 12573  df-sqr 12707  df-abs 12708  df-limsup 12932  df-clim 12949  df-rlim 12950  df-sum 13147  df-struct 14158  df-ndx 14159  df-slot 14160  df-base 14161  df-sets 14162  df-ress 14163  df-plusg 14233  df-mulr 14234  df-starv 14235  df-sca 14236  df-vsca 14237  df-ip 14238  df-tset 14239  df-ple 14240  df-ds 14242  df-unif 14243  df-hom 14244  df-cco 14245  df-rest 14343  df-topn 14344  df-0g 14362  df-gsum 14363  df-topgen 14364  df-pt 14365  df-prds 14368  df-xrs 14422  df-qtop 14427  df-imas 14428  df-xps 14430  df-mre 14506  df-mrc 14507  df-acs 14509  df-mnd 15397  df-submnd 15447  df-mulg 15527  df-cntz 15814  df-cmn 16258  df-psmet 17652  df-xmet 17653  df-met 17654  df-bl 17655  df-mopn 17656  df-fbas 17657  df-fg 17658  df-cnfld 17662  df-top 18344  df-bases 18346  df-topon 18347  df-topsp 18348  df-cld 18464  df-ntr 18465  df-cls 18466  df-nei 18543  df-lp 18581  df-perf 18582  df-cn 18672  df-cnp 18673  df-haus 18760  df-cmp 18831  df-tx 18976  df-hmeo 19169  df-fil 19260  df-fm 19352  df-flim 19353  df-flf 19354  df-xms 19736  df-ms 19737  df-tms 19738  df-cncf 20295  df-ovol 20789  df-vol 20790  df-mbf 20940  df-itg1 20941  df-itg2 20942  df-ibl 20943  df-itg 20944  df-0p 20989  df-ditg 21163  df-limc 21182  df-dv 21183
This theorem is referenced by:  itgsubst  21362
  Copyright terms: Public domain W3C validator