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Theorem itgsubstlem 21525
Description: Lemma for itgsubst 21526. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsubst.x  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
itgsubst.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
itgsubst.le  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
itgsubst.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR* )
itgsubst.w  |-  ( ph  ->  W  e.  RR* )
itgsubst.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> ( Z (,) W ) ) )
itgsubst.b  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  B )  e.  ( ( ( X (,) Y ) -cn-> CC )  i^i  L^1 ) )
itgsubst.c  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( Z (,) W ) 
|->  C )  e.  ( ( Z (,) W
) -cn-> CC ) )
itgsubst.da  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B ) )
itgsubst.e  |-  ( u  =  A  ->  C  =  E )
itgsubst.k  |-  ( x  =  X  ->  A  =  K )
itgsubst.l  |-  ( x  =  Y  ->  A  =  L )
itgsubst.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ( Z (,) W ) )
itgsubst.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ( Z (,) W ) )
itgsubst.cl2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  A  e.  ( M (,) N ) )
Assertion
Ref Expression
itgsubstlem  |-  ( ph  ->  S__ [ K  ->  L ] C  _d u  =  S__ [ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x )
Distinct variable groups:    u, E    x, u, K    u, M, x    ph, u, x    u, X, x    u, Y, x   
u, A    x, C    u, W, x    u, L, x    u, N, x   
u, Z, x
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x, u)    C( u)    E( x)

Proof of Theorem itgsubstlem
Dummy variables  y 
z  t  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgsubst.le . . 3  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
21ditgpos 21336 . 2  |-  ( ph  ->  S__ [ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x  =  S. ( X (,) Y ) ( E  x.  B )  _d x )
3 itgsubst.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
4 itgsubst.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
5 ax-resscn 9344 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
65a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
7 iccssre 11382 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( X [,] Y
)  C_  RR )
83, 4, 7syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X [,] Y
)  C_  RR )
9 itgsubst.cl2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  A  e.  ( M (,) N ) )
10 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A )  =  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) )
11 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( M (,) N ) 
|->  S. ( M (,) v ) C  _d u )  =  ( v  e.  ( M (,) N )  |->  S. ( M (,) v
) C  _d u ) )
12 oveq2 6104 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  A  ->  ( M (,) v )  =  ( M (,) A
) )
13 itgeq1 21255 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M (,) v )  =  ( M (,) A )  ->  S. ( M (,) v ) C  _d u  =  S. ( M (,) A ) C  _d u )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  A  ->  S. ( M (,) v ) C  _d u  =  S. ( M (,) A ) C  _d u )
159, 10, 11, 14fmptco 5881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( v  e.  ( M (,) N
)  |->  S. ( M (,) v ) C  _d u )  o.  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) )  =  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) )
16 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A )  =  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A )
179, 16fmptd 5872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) : ( X [,] Y ) --> ( M (,) N
) )
18 ioossicc 11386 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M (,) N )  C_  ( M [,] N )
19 itgsubst.z . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR* )
20 itgsubst.w . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  W  e.  RR* )
21 itgsubst.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  M  e.  ( Z (,) W ) )
22 eliooord 11360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( M  e.  ( Z (,) W )  ->  ( Z  <  M  /\  M  <  W ) )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( Z  <  M  /\  M  <  W ) )
2423simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  Z  <  M )
25 itgsubst.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  N  e.  ( Z (,) W ) )
26 eliooord 11360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  ( Z (,) W )  ->  ( Z  <  N  /\  N  <  W ) )
2725, 26syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( Z  <  N  /\  N  <  W ) )
2827simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  N  <  W )
29 iccssioo 11369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( Z  e.  RR*  /\  W  e.  RR* )  /\  ( Z  <  M  /\  N  <  W ) )  ->  ( M [,] N )  C_  ( Z (,) W ) )
3019, 20, 24, 28, 29syl22anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( M [,] N
)  C_  ( Z (,) W ) )
3118, 30syl5ss 3372 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M (,) N
)  C_  ( Z (,) W ) )
32 ioossre 11362 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Z (,) W )  C_  RR
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( Z (,) W
)  C_  RR )
3433, 5syl6ss 3373 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Z (,) W
)  C_  CC )
3531, 34sstrd 3371 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M (,) N
)  C_  CC )
36 itgsubst.a . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> ( Z (,) W ) ) )
37 cncffvrn 20479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M (,) N
)  C_  CC  /\  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A )  e.  ( ( X [,] Y )
-cn-> ( Z (,) W
) ) )  -> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A )  e.  ( ( X [,] Y ) -cn-> ( M (,) N ) )  <-> 
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) : ( X [,] Y ) --> ( M (,) N
) ) )
3835, 36, 37syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A )  e.  ( ( X [,] Y ) -cn-> ( M (,) N ) )  <-> 
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) : ( X [,] Y ) --> ( M (,) N
) ) )
3917, 38mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> ( M (,) N ) ) )
4018sseli 3357 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  ( M (,) N )  ->  v  e.  ( M [,] N
) )
4132, 25sseldi 3359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
4241rexrd 9438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  N  e.  RR* )
4342adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( M [,] N ) )  ->  N  e.  RR* )
4432, 21sseldi 3359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
45 elicc2 11365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( v  e.  ( M [,] N )  <-> 
( v  e.  RR  /\  M  <_  v  /\  v  <_  N ) ) )
4644, 41, 45syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( M [,] N )  <-> 
( v  e.  RR  /\  M  <_  v  /\  v  <_  N ) ) )
4746biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( v  e.  RR  /\  M  <_ 
v  /\  v  <_  N ) )
4847simp3d 1002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( M [,] N ) )  ->  v  <_  N )
49 iooss2 11341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  RR*  /\  v  <_  N )  ->  ( M (,) v )  C_  ( M (,) N ) )
5043, 48, 49syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( M (,) v )  C_  ( M (,) N ) )
5150sselda 3361 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( M [,] N
) )  /\  u  e.  ( M (,) v
) )  ->  u  e.  ( M (,) N
) )
5231sselda 3361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( M (,) N ) )  ->  u  e.  ( Z (,) W ) )
53 itgsubst.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( Z (,) W ) 
|->  C )  e.  ( ( Z (,) W
) -cn-> CC ) )
54 cncff 20474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( u  e.  ( Z (,) W )  |->  C )  e.  ( ( Z (,) W )
-cn-> CC )  ->  (
u  e.  ( Z (,) W )  |->  C ) : ( Z (,) W ) --> CC )
5553, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( Z (,) W ) 
|->  C ) : ( Z (,) W ) --> CC )
56 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( u  e.  ( Z (,) W )  |->  C )  =  ( u  e.  ( Z (,) W
)  |->  C )
5756fmpt 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. u  e.  ( Z (,) W ) C  e.  CC  <->  ( u  e.  ( Z (,) W
)  |->  C ) : ( Z (,) W
) --> CC )
5855, 57sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  A. u  e.  ( Z (,) W ) C  e.  CC )
5958r19.21bi 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( Z (,) W ) )  ->  C  e.  CC )
6052, 59syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( M (,) N ) )  ->  C  e.  CC )
6160adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( M [,] N
) )  /\  u  e.  ( M (,) N
) )  ->  C  e.  CC )
6251, 61syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( M [,] N
) )  /\  u  e.  ( M (,) v
) )  ->  C  e.  CC )
63 ioombl 21051 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M (,) v )  e. 
dom  vol
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( M (,) v )  e.  dom  vol )
6518a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( M (,) N
)  C_  ( M [,] N ) )
66 ioombl 21051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M (,) N )  e. 
dom  vol
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( M (,) N
)  e.  dom  vol )
6830sselda 3361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( M [,] N ) )  ->  u  e.  ( Z (,) W ) )
6968, 59syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( M [,] N ) )  ->  C  e.  CC )
70 resmpt 5161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M [,] N ) 
C_  ( Z (,) W )  ->  (
( u  e.  ( Z (,) W ) 
|->  C )  |`  ( M [,] N ) )  =  ( u  e.  ( M [,] N
)  |->  C ) )
7130, 70syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  ( Z (,) W
)  |->  C )  |`  ( M [,] N ) )  =  ( u  e.  ( M [,] N )  |->  C ) )
72 rescncf 20478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M [,] N ) 
C_  ( Z (,) W )  ->  (
( u  e.  ( Z (,) W ) 
|->  C )  e.  ( ( Z (,) W
) -cn-> CC )  ->  (
( u  e.  ( Z (,) W ) 
|->  C )  |`  ( M [,] N ) )  e.  ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) ) )
7330, 53, 72sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  ( Z (,) W
)  |->  C )  |`  ( M [,] N ) )  e.  ( ( M [,] N )
-cn-> CC ) )
7471, 73eqeltrrd 2518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( M [,] N ) 
|->  C )  e.  ( ( M [,] N
) -cn-> CC ) )
75 cniccibl 21323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
u  e.  ( M [,] N )  |->  C )  e.  ( ( M [,] N )
-cn-> CC ) )  -> 
( u  e.  ( M [,] N ) 
|->  C )  e.  L^1 )
7644, 41, 74, 75syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( M [,] N ) 
|->  C )  e.  L^1 )
7765, 67, 69, 76iblss 21287 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( M (,) N ) 
|->  C )  e.  L^1 )
7877adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( u  e.  ( M (,) N
)  |->  C )  e.  L^1 )
7950, 64, 61, 78iblss 21287 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( u  e.  ( M (,) v
)  |->  C )  e.  L^1 )
8062, 79itgcl 21266 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( M [,] N ) )  ->  S. ( M (,) v ) C  _d u  e.  CC )
8140, 80sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( M (,) N ) )  ->  S. ( M (,) v ) C  _d u  e.  CC )
82 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  ( M (,) N )  |->  S. ( M (,) v ) C  _d u )  =  ( v  e.  ( M (,) N
)  |->  S. ( M (,) v ) C  _d u )
8381, 82fmptd 5872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( M (,) N ) 
|->  S. ( M (,) v ) C  _d u ) : ( M (,) N ) --> CC )
8431, 32syl6ss 3373 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( M (,) N
)  C_  RR )
85 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( t  =  u  ->  (
( u  e.  ( M (,) N ) 
|->  C ) `  t
)  =  ( ( u  e.  ( M (,) N )  |->  C ) `  u ) )
86 nffvmpt1 5704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ u
( ( u  e.  ( M (,) N
)  |->  C ) `  t )
87 nfcv 2584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ t
( ( u  e.  ( M (,) N
)  |->  C ) `  u )
8885, 86, 87cbvitg 21258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  S. ( M (,) v ) ( ( u  e.  ( M (,) N
)  |->  C ) `  t )  _d t  =  S. ( M (,) v ) ( ( u  e.  ( M (,) N ) 
|->  C ) `  u
)  _d u
89 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( u  e.  ( M (,) N )  |->  C )  =  ( u  e.  ( M (,) N
)  |->  C )
9089fvmpt2 5786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( u  e.  ( M (,) N )  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( u  e.  ( M (,) N
)  |->  C ) `  u )  =  C )
9151, 62, 90syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( M [,] N
) )  /\  u  e.  ( M (,) v
) )  ->  (
( u  e.  ( M (,) N ) 
|->  C ) `  u
)  =  C )
9291itgeq2dv 21264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( M [,] N ) )  ->  S. ( M (,) v ) ( ( u  e.  ( M (,) N ) 
|->  C ) `  u
)  _d u  =  S. ( M (,) v ) C  _d u )
9388, 92syl5eq 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( M [,] N ) )  ->  S. ( M (,) v ) ( ( u  e.  ( M (,) N ) 
|->  C ) `  t
)  _d t  =  S. ( M (,) v ) C  _d u )
9493mpteq2dva 4383 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( M [,] N ) 
|->  S. ( M (,) v ) ( ( u  e.  ( M (,) N )  |->  C ) `  t )  _d t )  =  ( v  e.  ( M [,] N ) 
|->  S. ( M (,) v ) C  _d u ) )
9594oveq2d 6112 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
v  e.  ( M [,] N )  |->  S. ( M (,) v
) ( ( u  e.  ( M (,) N )  |->  C ) `
 t )  _d t ) )  =  ( RR  _D  (
v  e.  ( M [,] N )  |->  S. ( M (,) v
) C  _d u ) ) )
96 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  e.  ( M [,] N )  |->  S. ( M (,) v ) ( ( u  e.  ( M (,) N
)  |->  C ) `  t )  _d t )  =  ( v  e.  ( M [,] N )  |->  S. ( M (,) v ) ( ( u  e.  ( M (,) N
)  |->  C ) `  t )  _d t )
973rexrd 9438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  X  e.  RR* )
984rexrd 9438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR* )
99 lbicc2 11406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  Y  e.  RR*  /\  X  <_  Y )  ->  X  e.  ( X [,] Y
) )
10097, 98, 1, 99syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  X  e.  ( X [,] Y ) )
101 n0i 3647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( X  e.  ( X [,] Y )  ->  -.  ( X [,] Y )  =  (/) )
102100, 101syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  -.  ( X [,] Y )  =  (/) )
103 feq3 5549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M (,) N )  =  (/)  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) : ( X [,] Y ) --> ( M (,) N )  <-> 
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) : ( X [,] Y ) -->
(/) ) )
10417, 103syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( M (,) N )  =  (/)  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) : ( X [,] Y ) -->
(/) ) )
105 f00 5598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) : ( X [,] Y ) --> (/)  <->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A )  =  (/)  /\  ( X [,] Y
)  =  (/) ) )
106105simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) : ( X [,] Y ) --> (/)  ->  ( X [,] Y
)  =  (/) )
107104, 106syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( M (,) N )  =  (/)  ->  ( X [,] Y
)  =  (/) ) )
108102, 107mtod 177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  -.  ( M (,) N )  =  (/) )
10944rexrd 9438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  M  e.  RR* )
110 ioo0 11330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  e.  RR*  /\  N  e.  RR* )  ->  (
( M (,) N
)  =  (/)  <->  N  <_  M ) )
111109, 42, 110syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( M (,) N )  =  (/)  <->  N  <_  M ) )
112108, 111mtbid 300 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  -.  N  <_  M
)
11341, 44letrid 9529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( N  <_  M  \/  M  <_  N ) )
114113ord 377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( -.  N  <_  M  ->  M  <_  N
) )
115112, 114mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  M  <_  N )
116 resmpt 5161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M (,) N ) 
C_  ( M [,] N )  ->  (
( u  e.  ( M [,] N ) 
|->  C )  |`  ( M (,) N ) )  =  ( u  e.  ( M (,) N
)  |->  C ) )
11718, 116ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( u  e.  ( M [,] N )  |->  C )  |`  ( M (,) N ) )  =  ( u  e.  ( M (,) N ) 
|->  C )
118 rescncf 20478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M (,) N ) 
C_  ( M [,] N )  ->  (
( u  e.  ( M [,] N ) 
|->  C )  e.  ( ( M [,] N
) -cn-> CC )  ->  (
( u  e.  ( M [,] N ) 
|->  C )  |`  ( M (,) N ) )  e.  ( ( M (,) N ) -cn-> CC ) ) )
11918, 74, 118mpsyl 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  ( M [,] N
)  |->  C )  |`  ( M (,) N ) )  e.  ( ( M (,) N )
-cn-> CC ) )
120117, 119syl5eqelr 2528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( M (,) N ) 
|->  C )  e.  ( ( M (,) N
) -cn-> CC ) )
12196, 44, 41, 115, 120, 77ftc1cn 21520 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
v  e.  ( M [,] N )  |->  S. ( M (,) v
) ( ( u  e.  ( M (,) N )  |->  C ) `
 t )  _d t ) )  =  ( u  e.  ( M (,) N ) 
|->  C ) )
12230, 32syl6ss 3373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( M [,] N
)  C_  RR )
123 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
124123tgioo2 20385 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
125 iccntr 20403 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( M [,] N ) )  =  ( M (,) N
) )
12644, 41, 125syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( M [,] N ) )  =  ( M (,) N
) )
1276, 122, 80, 124, 123, 126dvmptntr 21450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
v  e.  ( M [,] N )  |->  S. ( M (,) v
) C  _d u ) )  =  ( RR  _D  ( v  e.  ( M (,) N )  |->  S. ( M (,) v ) C  _d u ) ) )
12895, 121, 1273eqtr3rd 2484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
v  e.  ( M (,) N )  |->  S. ( M (,) v
) C  _d u ) )  =  ( u  e.  ( M (,) N )  |->  C ) )
129128dmeqd 5047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  ( v  e.  ( M (,) N ) 
|->  S. ( M (,) v ) C  _d u ) )  =  dom  ( u  e.  ( M (,) N
)  |->  C ) )
13060, 89fmptd 5872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( M (,) N ) 
|->  C ) : ( M (,) N ) --> CC )
131 fdm 5568 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  e.  ( M (,) N )  |->  C ) : ( M (,) N ) --> CC 
->  dom  ( u  e.  ( M (,) N
)  |->  C )  =  ( M (,) N
) )
132130, 131syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  ( u  e.  ( M (,) N
)  |->  C )  =  ( M (,) N
) )
133129, 132eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  ( v  e.  ( M (,) N ) 
|->  S. ( M (,) v ) C  _d u ) )  =  ( M (,) N
) )
134 dvcn 21400 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( RR  C_  CC  /\  ( v  e.  ( M (,) N ) 
|->  S. ( M (,) v ) C  _d u ) : ( M (,) N ) --> CC  /\  ( M (,) N )  C_  RR )  /\  dom  ( RR  _D  ( v  e.  ( M (,) N
)  |->  S. ( M (,) v ) C  _d u ) )  =  ( M (,) N ) )  -> 
( v  e.  ( M (,) N ) 
|->  S. ( M (,) v ) C  _d u )  e.  ( ( M (,) N
) -cn-> CC ) )
1356, 83, 84, 133, 134syl31anc 1221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( M (,) N ) 
|->  S. ( M (,) v ) C  _d u )  e.  ( ( M (,) N
) -cn-> CC ) )
13639, 135cncfco 20488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( v  e.  ( M (,) N
)  |->  S. ( M (,) v ) C  _d u )  o.  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) )  e.  ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) )
13715, 136eqeltrrd 2518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  S. ( M (,) A ) C  _d u )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> CC ) )
138 cncff 20474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A
) C  _d u )  e.  ( ( X [,] Y )
-cn-> CC )  ->  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A
) C  _d u ) : ( X [,] Y ) --> CC )
139137, 138syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) : ( X [,] Y ) --> CC )
140 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u )  =  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u )
141140fmpt 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  ( X [,] Y ) S. ( M (,) A ) C  _d u  e.  CC  <->  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) : ( X [,] Y
) --> CC )
142139, 141sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( X [,] Y ) S. ( M (,) A ) C  _d u  e.  CC )
143142r19.21bi 2819 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  S. ( M (,) A ) C  _d u  e.  CC )
144 iccntr 20403 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( X [,] Y ) )  =  ( X (,) Y
) )
1453, 4, 144syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( X [,] Y ) )  =  ( X (,) Y
) )
1466, 8, 143, 124, 123, 145dvmptntr 21450 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A
) C  _d u ) )  =  ( RR  _D  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) ) )
147 reelprrecn 9379 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
148147a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
149 ioossicc 11386 . . . . . . . . 9  |-  ( X (,) Y )  C_  ( X [,] Y )
150149sseli 3357 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( X (,) Y )  ->  x  e.  ( X [,] Y
) )
151150, 9sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  A  e.  ( M (,) N ) )
152 itgsubst.b . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  B )  e.  ( ( ( X (,) Y ) -cn-> CC )  i^i  L^1 ) )
153 elin 3544 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B )  e.  ( ( ( X (,) Y
) -cn-> CC )  i^i  L^1 )  <->  ( ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B )  e.  ( ( X (,) Y ) -cn-> CC )  /\  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B )  e.  L^1 ) )
154152, 153sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  B )  e.  ( ( X (,) Y ) -cn-> CC )  /\  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  B )  e.  L^1 ) )
155154simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  B )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
156 cncff 20474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B )  e.  ( ( X (,) Y )
-cn-> CC )  ->  (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  B ) : ( X (,) Y ) --> CC )
157155, 156syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  B ) : ( X (,) Y ) --> CC )
158 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B )  =  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  B )
159158fmpt 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  ( X (,) Y ) B  e.  CC  <->  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  B ) : ( X (,) Y
) --> CC )
160157, 159sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( X (,) Y ) B  e.  CC )
161160r19.21bi 2819 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  B  e.  CC )
162 nfcv 2584 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ v C
163 nfcsb1v 3309 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ u [_ v  /  u ]_ C
164 csbeq1a 3302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  v  ->  C  =  [_ v  /  u ]_ C )
165162, 163, 164cbvmpt 4387 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( M (,) N )  |->  C )  =  ( v  e.  ( M (,) N
)  |->  [_ v  /  u ]_ C )
166165fmpt 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( A. v  e.  ( M (,) N ) [_ v  /  u ]_ C  e.  CC  <->  ( u  e.  ( M (,) N
)  |->  C ) : ( M (,) N
) --> CC )
167130, 166sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. v  e.  ( M (,) N )
[_ v  /  u ]_ C  e.  CC )
168167r19.21bi 2819 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( M (,) N ) )  ->  [_ v  /  u ]_ C  e.  CC )
16932, 5sstri 3370 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z (,) W )  C_  CC
170 cncff 20474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A )  e.  ( ( X [,] Y )
-cn-> ( Z (,) W
) )  ->  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W ) )
17136, 170syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W
) )
17216fmpt 5869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( Z (,) W
)  <->  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) : ( X [,] Y
) --> ( Z (,) W ) )
173171, 172sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( Z (,) W ) )
174173r19.21bi 2819 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  A  e.  ( Z (,) W ) )
175169, 174sseldi 3359 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  A  e.  CC )
1766, 8, 175, 124, 123, 145dvmptntr 21450 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) )  =  ( RR  _D  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  A ) ) )
177 itgsubst.da . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B ) )
178176, 177eqtr3d 2477 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B ) )
179128, 165syl6eq 2491 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
v  e.  ( M (,) N )  |->  S. ( M (,) v
) C  _d u ) )  =  ( v  e.  ( M (,) N )  |->  [_ v  /  u ]_ C
) )
180 csbeq1 3296 . . . . . . 7  |-  ( v  =  A  ->  [_ v  /  u ]_ C  = 
[_ A  /  u ]_ C )
181148, 148, 151, 161, 81, 168, 178, 179, 14, 180dvmptco 21451 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  S. ( M (,) A
) C  _d u ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  (
[_ A  /  u ]_ C  x.  B
) ) )
182 nfcvd 2585 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( M (,) N )  ->  F/_ u E )
183 itgsubst.e . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  A  ->  C  =  E )
184182, 183csbiegf 3317 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( M (,) N )  ->  [_ A  /  u ]_ C  =  E )
185151, 184syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  [_ A  /  u ]_ C  =  E )
186185oveq1d 6111 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( [_ A  /  u ]_ C  x.  B )  =  ( E  x.  B ) )
187186mpteq2dva 4383 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( [_ A  /  u ]_ C  x.  B
) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  ( E  x.  B ) ) )
188146, 181, 1873eqtrd 2479 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A
) C  _d u ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  ( E  x.  B ) ) )
189123mulcn 20448 . . . . . . 7  |-  x.  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
190189a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  x.  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
191 resmpt 5161 . . . . . . . 8  |-  ( ( X (,) Y ) 
C_  ( X [,] Y )  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E )  |`  ( X (,) Y ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  E ) )
192149, 191ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  E )  |`  ( X (,) Y ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E )
193 eqidd 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( Z (,) W ) 
|->  C )  =  ( u  e.  ( Z (,) W )  |->  C ) )
194174, 10, 193, 183fmptco 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  ( Z (,) W
)  |->  C )  o.  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) )  =  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E ) )
19536, 53cncfco 20488 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  ( Z (,) W
)  |->  C )  o.  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) )  e.  ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) )
196194, 195eqeltrrd 2518 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> CC ) )
197 rescncf 20478 . . . . . . . 8  |-  ( ( X (,) Y ) 
C_  ( X [,] Y )  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> CC )  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E )  |`  ( X (,) Y ) )  e.  ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) ) )
198149, 196, 197mpsyl 63 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  E )  |`  ( X (,) Y ) )  e.  ( ( X (,) Y )
-cn-> CC ) )
199192, 198syl5eqelr 2528 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
200123, 190, 199, 155cncfmpt2f 20495 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( E  x.  B
) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
201188, 200eqeltrd 2517 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A
) C  _d u ) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
202 ioombl 21051 . . . . . . . 8  |-  ( X (,) Y )  e. 
dom  vol
203202a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  e.  dom  vol )
204 fco 5573 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( u  e.  ( Z (,) W ) 
|->  C ) : ( Z (,) W ) --> CC  /\  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W ) )  ->  ( ( u  e.  ( Z (,) W )  |->  C )  o.  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) ) : ( X [,] Y ) --> CC )
20555, 171, 204syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  ( Z (,) W
)  |->  C )  o.  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) ) : ( X [,] Y
) --> CC )
206194feq1d 5551 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( u  e.  ( Z (,) W )  |->  C )  o.  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) ) : ( X [,] Y ) --> CC  <->  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  E ) : ( X [,] Y
) --> CC ) )
207205, 206mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E ) : ( X [,] Y ) --> CC )
208 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  E )  =  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  E )
209208fmpt 5869 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  ( X [,] Y ) E  e.  CC  <->  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  E ) : ( X [,] Y
) --> CC )
210207, 209sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( X [,] Y ) E  e.  CC )
211210r19.21bi 2819 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  E  e.  CC )
212150, 211sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  E  e.  CC )
213 eqidd 2444 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  E ) )
214 eqidd 2444 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  B )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B ) )
215203, 212, 161, 213, 214offval2 6341 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  E )  oF  x.  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  ( E  x.  B ) ) )
216188, 215eqtr4d 2478 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A
) C  _d u ) )  =  ( ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E )  oF  x.  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  B ) ) )
217149a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  C_  ( X [,] Y ) )
218 cniccibl 21323 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR  /\  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  E )  e.  ( ( X [,] Y )
-cn-> CC ) )  -> 
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E )  e.  L^1 )
2193, 4, 196, 218syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E )  e.  L^1 )
220217, 203, 211, 219iblss 21287 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E )  e.  L^1 )
221 iblmbf 21250 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  E )  e.  L^1 
->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E )  e. MblFn )
222220, 221syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E )  e. MblFn )
223154simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  B )  e.  L^1 )
224 cniccbdd 20950 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR  /\  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  E )  e.  ( ( X [,] Y )
-cn-> CC ) )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( abs `  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  E ) `  z ) )  <_  y )
2253, 4, 196, 224syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( abs `  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  E ) `  z ) )  <_  y )
226 ssralv 3421 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X (,) Y ) 
C_  ( X [,] Y )  ->  ( A. z  e.  ( X [,] Y ) ( abs `  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  E ) `  z ) )  <_  y  ->  A. z  e.  ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  E ) `  z ) )  <_  y )
)
227149, 226ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  ( X [,] Y ) ( abs `  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  E ) `  z ) )  <_ 
y  ->  A. z  e.  ( X (,) Y
) ( abs `  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E ) `  z
) )  <_  y
)
228 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  E )  =  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  E )
229212, 228fmptd 5872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E ) : ( X (,) Y ) --> CC )
230 fdm 5568 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  E ) : ( X (,) Y ) --> CC 
->  dom  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  E )  =  ( X (,) Y
) )
231229, 230syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  E )  =  ( X (,) Y
) )
232231raleqdv 2928 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
dom  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  E ) ( abs `  ( ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  E ) `  z ) )  <_  y  <->  A. z  e.  ( X (,) Y
) ( abs `  (
( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E ) `  z
) )  <_  y
) )
233192fveq1i 5697 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E )  |`  ( X (,) Y ) ) `
 z )  =  ( ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  E ) `  z )
234 fvres 5709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( X (,) Y )  ->  (
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  E )  |`  ( X (,) Y ) ) `  z )  =  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  E ) `
 z ) )
235233, 234syl5eqr 2489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( X (,) Y )  ->  (
( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E ) `  z
)  =  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  E ) `  z ) )
236235fveq2d 5700 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( X (,) Y )  ->  ( abs `  ( ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  E ) `
 z ) )  =  ( abs `  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E ) `  z
) ) )
237236breq1d 4307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( X (,) Y )  ->  (
( abs `  (
( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E ) `  z
) )  <_  y  <->  ( abs `  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  E ) `  z ) )  <_  y )
)
238237ralbiia 2752 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  E ) `  z ) )  <_ 
y  <->  A. z  e.  ( X (,) Y ) ( abs `  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E ) `  z
) )  <_  y
)
239232, 238syl6rbb 262 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  ( X (,) Y
) ( abs `  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E ) `  z
) )  <_  y  <->  A. z  e.  dom  (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  E ) ( abs `  (
( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E ) `  z
) )  <_  y
) )
240227, 239syl5ib 219 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  ( X [,] Y
) ( abs `  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E ) `  z
) )  <_  y  ->  A. z  e.  dom  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  E ) ( abs `  (
( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E ) `  z
) )  <_  y
) )
241240reximdv 2832 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( abs `  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E ) `  z
) )  <_  y  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  dom  (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  E ) ( abs `  (
( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E ) `  z
) )  <_  y
) )
242225, 241mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  dom  (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  E ) ( abs `  (
( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E ) `  z
) )  <_  y
)
243 bddmulibl 21321 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E )  e. MblFn  /\  (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  B )  e.  L^1 
/\  E. y  e.  RR  A. z  e.  dom  (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  E ) ( abs `  (
( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E ) `  z
) )  <_  y
)  ->  ( (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  E )  oF  x.  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  B ) )  e.  L^1 )
244222, 223, 242, 243syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  E )  oF  x.  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B ) )  e.  L^1 )
245216, 244eqeltrd 2517 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A
) C  _d u ) )  e.  L^1 )
2463, 4, 1, 201, 245, 137ftc2 21521 . . 3  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) ) `  t )  _d t  =  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) `  Y )  -  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) `  X
) ) )
247 fveq2 5696 . . . . 5  |-  ( t  =  x  ->  (
( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A
) C  _d u ) ) `  t
)  =  ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) ) `  x ) )
248 nfcv 2584 . . . . . . 7  |-  F/_ x RR
249 nfcv 2584 . . . . . . 7  |-  F/_ x  _D
250 nfmpt1 4386 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  S. ( M (,) A ) C  _d u )
251248, 249, 250nfov 6119 . . . . . 6  |-  F/_ x
( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A
) C  _d u ) )
252 nfcv 2584 . . . . . 6  |-  F/_ x
t
253251, 252nffv 5703 . . . . 5  |-  F/_ x
( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A
) C  _d u ) ) `  t
)
254 nfcv 2584 . . . . 5  |-  F/_ t
( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A
) C  _d u ) ) `  x
)
255247, 253, 254cbvitg 21258 . . . 4  |-  S. ( X (,) Y ) ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A
) C  _d u ) ) `  t
)  _d t  =  S. ( X (,) Y ) ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) ) `  x )  _d x
256188fveq1d 5698 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A
) C  _d u ) ) `  x
)  =  ( ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  ( E  x.  B ) ) `  x ) )
257 ovex 6121 . . . . . . 7  |-  ( E  x.  B )  e. 
_V
258 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  ( E  x.  B ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  ( E  x.  B ) )
259258fvmpt2 5786 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( X (,) Y )  /\  ( E  x.  B
)  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  ( E  x.  B ) ) `  x )  =  ( E  x.  B ) )
260257, 259mpan2 671 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( X (,) Y )  ->  (
( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( E  x.  B
) ) `  x
)  =  ( E  x.  B ) )
261256, 260sylan9eq 2495 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) ) `
 x )  =  ( E  x.  B
) )
262261itgeq2dv 21264 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) ) `  x )  _d x  =  S. ( X (,) Y
) ( E  x.  B )  _d x )
263255, 262syl5eq 2487 . . 3  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) ) `  t )  _d t  =  S. ( X (,) Y
) ( E  x.  B )  _d x )
26418, 9sseldi 3359 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  A  e.  ( M [,] N ) )
265 elicc2 11365 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( A  e.  ( M [,] N )  <-> 
( A  e.  RR  /\  M  <_  A  /\  A  <_  N ) ) )
26644, 41, 265syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  e.  ( M [,] N )  <-> 
( A  e.  RR  /\  M  <_  A  /\  A  <_  N ) ) )
267266adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  ( A  e.  ( M [,] N
)  <->  ( A  e.  RR  /\  M  <_  A  /\  A  <_  N
) ) )
268264, 267mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  ( A  e.  RR  /\  M  <_  A  /\  A  <_  N
) )
269268simp2d 1001 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  M  <_  A )
270269ditgpos 21336 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  S__ [ M  ->  A ] C  _d u  =  S. ( M (,) A ) C  _d u )
271270mpteq2dva 4383 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  S__ [ M  ->  A ] C  _d u )  =  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) )
272271fveq1d 5698 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  S__ [ M  ->  A ] C  _d u ) `  Y )  =  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) `
 Y ) )
273 ubicc2 11407 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  Y  e.  RR*  /\  X  <_  Y )  ->  Y  e.  ( X [,] Y
) )
27497, 98, 1, 273syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( X [,] Y ) )
275 itgsubst.l . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  Y  ->  A  =  L )
276 ditgeq2 21329 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  L  ->  S__ [ M  ->  A ] C  _d u  =  S__
[ M  ->  L ] C  _d u
)
277275, 276syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  Y  ->  S__ [ M  ->  A ] C  _d u  =  S__
[ M  ->  L ] C  _d u
)
278 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S__ [ M  ->  A ] C  _d u )  =  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S__
[ M  ->  A ] C  _d u
)
279 ditgex 21332 . . . . . . . 8  |-  S__ [ M  ->  L ] C  _d u  e.  _V
280277, 278, 279fvmpt 5779 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  ( X [,] Y )  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  S__ [ M  ->  A ] C  _d u ) `  Y )  =  S__ [ M  ->  L ] C  _d u )
281274, 280syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  S__ [ M  ->  A ] C  _d u ) `  Y )  =  S__ [ M  ->  L ] C  _d u )
282272, 281eqtr3d 2477 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) `  Y )  =  S__
[ M  ->  L ] C  _d u
)
283271fveq1d 5698 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  S__ [ M  ->  A ] C  _d u ) `  X )  =  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) `
 X ) )
284 itgsubst.k . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  A  =  K )
285 ditgeq2 21329 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  K  ->  S__ [ M  ->  A ] C  _d u  =  S__
[ M  ->  K ] C  _d u
)
286284, 285syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  S__ [ M  ->  A ] C  _d u  =  S__
[ M  ->  K ] C  _d u
)
287 ditgex 21332 . . . . . . . 8  |-  S__ [ M  ->  K ] C  _d u  e.  _V
288286, 278, 287fvmpt 5779 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  ( X [,] Y )  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  S__ [ M  ->  A ] C  _d u ) `  X )  =  S__ [ M  ->  K ] C  _d u )
289100, 288syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  S__ [ M  ->  A ] C  _d u ) `  X )  =  S__ [ M  ->  K ] C  _d u )
290283, 289eqtr3d 2477 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) `  X )  =  S__
[ M  ->  K ] C  _d u
)
291282, 290oveq12d 6114 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) `
 Y )  -  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) `  X ) )  =  ( S__ [ M  ->  L ] C  _d u  -  S__ [ M  ->  K ] C  _d u ) )
292 lbicc2 11406 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  RR*  /\  N  e.  RR*  /\  M  <_  N )  ->  M  e.  ( M [,] N
) )
293109, 42, 115, 292syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M [,] N ) )
294264ralrimiva 2804 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( M [,] N ) )
295284eleq1d 2509 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  ( A  e.  ( M [,] N )  <->  K  e.  ( M [,] N ) ) )
296295rspcv 3074 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  ( X [,] Y )  ->  ( A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( M [,] N )  ->  K  e.  ( M [,] N
) ) )
297100, 294, 296sylc 60 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  ( M [,] N ) )
298275eleq1d 2509 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  Y  ->  ( A  e.  ( M [,] N )  <->  L  e.  ( M [,] N ) ) )
299298rspcv 3074 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  ( X [,] Y )  ->  ( A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( M [,] N )  ->  L  e.  ( M [,] N
) ) )
300274, 294, 299sylc 60 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L  e.  ( M [,] N ) )
30144, 41, 293, 297, 300, 60, 77ditgsplit 21341 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S__ [ M  ->  L ] C  _d u  =  ( S__ [ M  ->  K ] C  _d u  +  S__ [ K  ->  L ] C  _d u ) )
302301oveq1d 6111 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S__ [ M  ->  L ] C  _d u  -  S__ [ M  ->  K ] C  _d u )  =  ( ( S__ [ M  ->  K ] C  _d u  +  S__ [ K  ->  L ] C  _d u )  -  S__ [ M  ->  K ] C  _d u ) )
30344, 41, 293, 297, 60, 77ditgcl 21338 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S__ [ M  ->  K ] C  _d u  e.  CC )
30444, 41, 297, 300, 60, 77ditgcl 21338 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S__ [ K  ->  L ] C  _d u  e.  CC )
305303, 304pncan2d 9726 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S__ [ M  ->  K ] C  _d u  +  S__ [ K  ->  L ] C  _d u )  -  S__ [ M  ->  K ] C  _d u
)  =  S__ [ K  ->  L ] C  _d u )
306291, 302, 3053eqtrd 2479 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) `
 Y )  -  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) `  X ) )  =  S__ [ K  ->  L ] C  _d u )
307246, 263, 3063eqtr3d 2483 . 2  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( E  x.  B )  _d x  =  S__ [ K  ->  L ] C  _d u )
3082, 307eqtr2d 2476 1  |-  ( ph  ->  S__ [ K  ->  L ] C  _d u  =  S__ [ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2720   E.wrex 2721   _Vcvv 2977   [_csb 3293    i^i cin 3332    C_ wss 3333   (/)c0 3642   {cpr 3884   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355   dom cdm 4845   ran crn 4846    |` cres 4847    o. ccom 4849   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096    oFcof 6323   CCcc 9285   RRcr 9286    + caddc 9290    x. cmul 9292   RR*cxr 9422    < clt 9423    <_ cle 9424    - cmin 9600   (,)cioo 11305   [,]cicc 11308   abscabs 12728   TopOpenctopn 14365   topGenctg 14381  ℂfldccnfld 17823   intcnt 18626    Cn ccn 18833    tX ctx 19138   -cn->ccncf 20457   volcvol 20952  MblFncmbf 21099   L^1cibl 21102   S.citg 21103   S__cdit 21326    _D cdv 21343
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cc 8609  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366  ax-mulf 9367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-disj 4268  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-ofr 6326  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-omul 6930  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-fi 7666  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-acn 8117  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-ioo 11309  df-ioc 11310  df-ico 11311  df-icc 11312  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-mod 11714  df-seq 11812  df-exp 11871  df-hash 12109  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-limsup 12954  df-clim 12971  df-rlim 12972  df-sum 13169  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-hom 14267  df-cco 14268  df-rest 14366  df-topn 14367  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-topgen 14387  df-pt 14388  df-prds 14391  df-xrs 14445  df-qtop 14450  df-imas 14451  df-xps 14453  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-mnd 15420  df-submnd 15470  df-mulg 15553  df-cntz 15840  df-cmn 16284  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-met 17816  df-bl 17817  df-mopn 17818  df-fbas 17819  df-fg 17820  df-cnfld 17824  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-topsp 18512  df-cld 18628  df-ntr 18629  df-cls 18630  df-nei 18707  df-lp 18745  df-perf 18746  df-cn 18836  df-cnp 18837  df-haus 18924  df-cmp 18995  df-tx 19140  df-hmeo 19333  df-fil 19424  df-fm 19516  df-flim 19517  df-flf 19518  df-xms 19900  df-ms 19901  df-tms 19902  df-cncf 20459  df-ovol 20953  df-vol 20954  df-mbf 21104  df-itg1 21105  df-itg2 21106  df-ibl 21107  df-itg 21108  df-0p 21153  df-ditg 21327  df-limc 21346  df-dv 21347
This theorem is referenced by:  itgsubst  21526
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