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Theorem itgsubstlem 22184
Description: Lemma for itgsubst 22185. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsubst.x  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
itgsubst.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
itgsubst.le  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
itgsubst.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR* )
itgsubst.w  |-  ( ph  ->  W  e.  RR* )
itgsubst.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> ( Z (,) W ) ) )
itgsubst.b  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  B )  e.  ( ( ( X (,) Y ) -cn-> CC )  i^i  L^1 ) )
itgsubst.c  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( Z (,) W ) 
|->  C )  e.  ( ( Z (,) W
) -cn-> CC ) )
itgsubst.da  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B ) )
itgsubst.e  |-  ( u  =  A  ->  C  =  E )
itgsubst.k  |-  ( x  =  X  ->  A  =  K )
itgsubst.l  |-  ( x  =  Y  ->  A  =  L )
itgsubst.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ( Z (,) W ) )
itgsubst.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ( Z (,) W ) )
itgsubst.cl2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  A  e.  ( M (,) N ) )
Assertion
Ref Expression
itgsubstlem  |-  ( ph  ->  S__ [ K  ->  L ] C  _d u  =  S__ [ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x )
Distinct variable groups:    u, E    x, u, K    u, M, x    ph, u, x    u, X, x    u, Y, x   
u, A    x, C    u, W, x    u, L, x    u, N, x   
u, Z, x
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x, u)    C( u)    E( x)

Proof of Theorem itgsubstlem
Dummy variables  y 
z  t  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgsubst.le . . 3  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
21ditgpos 21995 . 2  |-  ( ph  ->  S__ [ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x  =  S. ( X (,) Y ) ( E  x.  B )  _d x )
3 itgsubst.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
4 itgsubst.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
5 ax-resscn 9545 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
65a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
7 iccssre 11602 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( X [,] Y
)  C_  RR )
83, 4, 7syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X [,] Y
)  C_  RR )
9 itgsubst.cl2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  A  e.  ( M (,) N ) )
10 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A )  =  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) )
11 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( M (,) N ) 
|->  S. ( M (,) v ) C  _d u )  =  ( v  e.  ( M (,) N )  |->  S. ( M (,) v
) C  _d u ) )
12 oveq2 6290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  A  ->  ( M (,) v )  =  ( M (,) A
) )
13 itgeq1 21914 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M (,) v )  =  ( M (,) A )  ->  S. ( M (,) v ) C  _d u  =  S. ( M (,) A ) C  _d u )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  A  ->  S. ( M (,) v ) C  _d u  =  S. ( M (,) A ) C  _d u )
159, 10, 11, 14fmptco 6052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( v  e.  ( M (,) N
)  |->  S. ( M (,) v ) C  _d u )  o.  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) )  =  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) )
16 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A )  =  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A )
179, 16fmptd 6043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) : ( X [,] Y ) --> ( M (,) N
) )
18 ioossicc 11606 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M (,) N )  C_  ( M [,] N )
19 itgsubst.z . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR* )
20 itgsubst.w . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  W  e.  RR* )
21 itgsubst.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  M  e.  ( Z (,) W ) )
22 eliooord 11580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( M  e.  ( Z (,) W )  ->  ( Z  <  M  /\  M  <  W ) )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( Z  <  M  /\  M  <  W ) )
2423simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  Z  <  M )
25 itgsubst.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  N  e.  ( Z (,) W ) )
26 eliooord 11580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  ( Z (,) W )  ->  ( Z  <  N  /\  N  <  W ) )
2725, 26syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( Z  <  N  /\  N  <  W ) )
2827simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  N  <  W )
29 iccssioo 11589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( Z  e.  RR*  /\  W  e.  RR* )  /\  ( Z  <  M  /\  N  <  W ) )  ->  ( M [,] N )  C_  ( Z (,) W ) )
3019, 20, 24, 28, 29syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( M [,] N
)  C_  ( Z (,) W ) )
3118, 30syl5ss 3515 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M (,) N
)  C_  ( Z (,) W ) )
32 ioossre 11582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Z (,) W )  C_  RR
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( Z (,) W
)  C_  RR )
3433, 5syl6ss 3516 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Z (,) W
)  C_  CC )
3531, 34sstrd 3514 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M (,) N
)  C_  CC )
36 itgsubst.a . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> ( Z (,) W ) ) )
37 cncffvrn 21137 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M (,) N
)  C_  CC  /\  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A )  e.  ( ( X [,] Y )
-cn-> ( Z (,) W
) ) )  -> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A )  e.  ( ( X [,] Y ) -cn-> ( M (,) N ) )  <-> 
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) : ( X [,] Y ) --> ( M (,) N
) ) )
3835, 36, 37syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A )  e.  ( ( X [,] Y ) -cn-> ( M (,) N ) )  <-> 
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) : ( X [,] Y ) --> ( M (,) N
) ) )
3917, 38mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> ( M (,) N ) ) )
4018sseli 3500 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  ( M (,) N )  ->  v  e.  ( M [,] N
) )
4132, 25sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
4241rexrd 9639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  N  e.  RR* )
4342adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( M [,] N ) )  ->  N  e.  RR* )
4432, 21sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
45 elicc2 11585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( v  e.  ( M [,] N )  <-> 
( v  e.  RR  /\  M  <_  v  /\  v  <_  N ) ) )
4644, 41, 45syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( M [,] N )  <-> 
( v  e.  RR  /\  M  <_  v  /\  v  <_  N ) ) )
4746biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( v  e.  RR  /\  M  <_ 
v  /\  v  <_  N ) )
4847simp3d 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( M [,] N ) )  ->  v  <_  N )
49 iooss2 11561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  RR*  /\  v  <_  N )  ->  ( M (,) v )  C_  ( M (,) N ) )
5043, 48, 49syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( M (,) v )  C_  ( M (,) N ) )
5150sselda 3504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( M [,] N
) )  /\  u  e.  ( M (,) v
) )  ->  u  e.  ( M (,) N
) )
5231sselda 3504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( M (,) N ) )  ->  u  e.  ( Z (,) W ) )
53 itgsubst.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( Z (,) W ) 
|->  C )  e.  ( ( Z (,) W
) -cn-> CC ) )
54 cncff 21132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( u  e.  ( Z (,) W )  |->  C )  e.  ( ( Z (,) W )
-cn-> CC )  ->  (
u  e.  ( Z (,) W )  |->  C ) : ( Z (,) W ) --> CC )
5553, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( Z (,) W ) 
|->  C ) : ( Z (,) W ) --> CC )
56 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( u  e.  ( Z (,) W )  |->  C )  =  ( u  e.  ( Z (,) W
)  |->  C )
5756fmpt 6040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. u  e.  ( Z (,) W ) C  e.  CC  <->  ( u  e.  ( Z (,) W
)  |->  C ) : ( Z (,) W
) --> CC )
5855, 57sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  A. u  e.  ( Z (,) W ) C  e.  CC )
5958r19.21bi 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( Z (,) W ) )  ->  C  e.  CC )
6052, 59syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( M (,) N ) )  ->  C  e.  CC )
6160adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( M [,] N
) )  /\  u  e.  ( M (,) N
) )  ->  C  e.  CC )
6251, 61syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( M [,] N
) )  /\  u  e.  ( M (,) v
) )  ->  C  e.  CC )
63 ioombl 21710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M (,) v )  e. 
dom  vol
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( M (,) v )  e.  dom  vol )
6518a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( M (,) N
)  C_  ( M [,] N ) )
66 ioombl 21710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M (,) N )  e. 
dom  vol
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( M (,) N
)  e.  dom  vol )
6830sselda 3504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( M [,] N ) )  ->  u  e.  ( Z (,) W ) )
6968, 59syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( M [,] N ) )  ->  C  e.  CC )
70 resmpt 5321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M [,] N ) 
C_  ( Z (,) W )  ->  (
( u  e.  ( Z (,) W ) 
|->  C )  |`  ( M [,] N ) )  =  ( u  e.  ( M [,] N
)  |->  C ) )
7130, 70syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  ( Z (,) W
)  |->  C )  |`  ( M [,] N ) )  =  ( u  e.  ( M [,] N )  |->  C ) )
72 rescncf 21136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M [,] N ) 
C_  ( Z (,) W )  ->  (
( u  e.  ( Z (,) W ) 
|->  C )  e.  ( ( Z (,) W
) -cn-> CC )  ->  (
( u  e.  ( Z (,) W ) 
|->  C )  |`  ( M [,] N ) )  e.  ( ( M [,] N ) -cn-> CC ) ) )
7330, 53, 72sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  ( Z (,) W
)  |->  C )  |`  ( M [,] N ) )  e.  ( ( M [,] N )
-cn-> CC ) )
7471, 73eqeltrrd 2556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( M [,] N ) 
|->  C )  e.  ( ( M [,] N
) -cn-> CC ) )
75 cniccibl 21982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
u  e.  ( M [,] N )  |->  C )  e.  ( ( M [,] N )
-cn-> CC ) )  -> 
( u  e.  ( M [,] N ) 
|->  C )  e.  L^1 )
7644, 41, 74, 75syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( M [,] N ) 
|->  C )  e.  L^1 )
7765, 67, 69, 76iblss 21946 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( M (,) N ) 
|->  C )  e.  L^1 )
7877adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( u  e.  ( M (,) N
)  |->  C )  e.  L^1 )
7950, 64, 61, 78iblss 21946 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( M [,] N ) )  ->  ( u  e.  ( M (,) v
)  |->  C )  e.  L^1 )
8062, 79itgcl 21925 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( M [,] N ) )  ->  S. ( M (,) v ) C  _d u  e.  CC )
8140, 80sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( M (,) N ) )  ->  S. ( M (,) v ) C  _d u  e.  CC )
82 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  ( M (,) N )  |->  S. ( M (,) v ) C  _d u )  =  ( v  e.  ( M (,) N
)  |->  S. ( M (,) v ) C  _d u )
8381, 82fmptd 6043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( M (,) N ) 
|->  S. ( M (,) v ) C  _d u ) : ( M (,) N ) --> CC )
8431, 32syl6ss 3516 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( M (,) N
)  C_  RR )
85 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( t  =  u  ->  (
( u  e.  ( M (,) N ) 
|->  C ) `  t
)  =  ( ( u  e.  ( M (,) N )  |->  C ) `  u ) )
86 nffvmpt1 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ u
( ( u  e.  ( M (,) N
)  |->  C ) `  t )
87 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ t
( ( u  e.  ( M (,) N
)  |->  C ) `  u )
8885, 86, 87cbvitg 21917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  S. ( M (,) v ) ( ( u  e.  ( M (,) N
)  |->  C ) `  t )  _d t  =  S. ( M (,) v ) ( ( u  e.  ( M (,) N ) 
|->  C ) `  u
)  _d u
89 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( u  e.  ( M (,) N )  |->  C )  =  ( u  e.  ( M (,) N
)  |->  C )
9089fvmpt2 5955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( u  e.  ( M (,) N )  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( u  e.  ( M (,) N
)  |->  C ) `  u )  =  C )
9151, 62, 90syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  ( M [,] N
) )  /\  u  e.  ( M (,) v
) )  ->  (
( u  e.  ( M (,) N ) 
|->  C ) `  u
)  =  C )
9291itgeq2dv 21923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( M [,] N ) )  ->  S. ( M (,) v ) ( ( u  e.  ( M (,) N ) 
|->  C ) `  u
)  _d u  =  S. ( M (,) v ) C  _d u )
9388, 92syl5eq 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( M [,] N ) )  ->  S. ( M (,) v ) ( ( u  e.  ( M (,) N ) 
|->  C ) `  t
)  _d t  =  S. ( M (,) v ) C  _d u )
9493mpteq2dva 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( M [,] N ) 
|->  S. ( M (,) v ) ( ( u  e.  ( M (,) N )  |->  C ) `  t )  _d t )  =  ( v  e.  ( M [,] N ) 
|->  S. ( M (,) v ) C  _d u ) )
9594oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
v  e.  ( M [,] N )  |->  S. ( M (,) v
) ( ( u  e.  ( M (,) N )  |->  C ) `
 t )  _d t ) )  =  ( RR  _D  (
v  e.  ( M [,] N )  |->  S. ( M (,) v
) C  _d u ) ) )
96 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  e.  ( M [,] N )  |->  S. ( M (,) v ) ( ( u  e.  ( M (,) N
)  |->  C ) `  t )  _d t )  =  ( v  e.  ( M [,] N )  |->  S. ( M (,) v ) ( ( u  e.  ( M (,) N
)  |->  C ) `  t )  _d t )
973rexrd 9639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  X  e.  RR* )
984rexrd 9639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR* )
99 lbicc2 11632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  Y  e.  RR*  /\  X  <_  Y )  ->  X  e.  ( X [,] Y
) )
10097, 98, 1, 99syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  X  e.  ( X [,] Y ) )
101 n0i 3790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( X  e.  ( X [,] Y )  ->  -.  ( X [,] Y )  =  (/) )
102100, 101syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  -.  ( X [,] Y )  =  (/) )
103 feq3 5713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M (,) N )  =  (/)  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) : ( X [,] Y ) --> ( M (,) N )  <-> 
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) : ( X [,] Y ) -->
(/) ) )
10417, 103syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( M (,) N )  =  (/)  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) : ( X [,] Y ) -->
(/) ) )
105 f00 5765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) : ( X [,] Y ) --> (/)  <->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A )  =  (/)  /\  ( X [,] Y
)  =  (/) ) )
106105simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) : ( X [,] Y ) --> (/)  ->  ( X [,] Y
)  =  (/) )
107104, 106syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( M (,) N )  =  (/)  ->  ( X [,] Y
)  =  (/) ) )
108102, 107mtod 177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  -.  ( M (,) N )  =  (/) )
10944rexrd 9639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  M  e.  RR* )
110 ioo0 11550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  e.  RR*  /\  N  e.  RR* )  ->  (
( M (,) N
)  =  (/)  <->  N  <_  M ) )
111109, 42, 110syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( M (,) N )  =  (/)  <->  N  <_  M ) )
112108, 111mtbid 300 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  -.  N  <_  M
)
11341, 44letrid 9730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( N  <_  M  \/  M  <_  N ) )
114113ord 377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( -.  N  <_  M  ->  M  <_  N
) )
115112, 114mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  M  <_  N )
116 resmpt 5321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M (,) N ) 
C_  ( M [,] N )  ->  (
( u  e.  ( M [,] N ) 
|->  C )  |`  ( M (,) N ) )  =  ( u  e.  ( M (,) N
)  |->  C ) )
11718, 116ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( u  e.  ( M [,] N )  |->  C )  |`  ( M (,) N ) )  =  ( u  e.  ( M (,) N ) 
|->  C )
118 rescncf 21136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M (,) N ) 
C_  ( M [,] N )  ->  (
( u  e.  ( M [,] N ) 
|->  C )  e.  ( ( M [,] N
) -cn-> CC )  ->  (
( u  e.  ( M [,] N ) 
|->  C )  |`  ( M (,) N ) )  e.  ( ( M (,) N ) -cn-> CC ) ) )
11918, 74, 118mpsyl 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  ( M [,] N
)  |->  C )  |`  ( M (,) N ) )  e.  ( ( M (,) N )
-cn-> CC ) )
120117, 119syl5eqelr 2560 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( M (,) N ) 
|->  C )  e.  ( ( M (,) N
) -cn-> CC ) )
12196, 44, 41, 115, 120, 77ftc1cn 22179 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
v  e.  ( M [,] N )  |->  S. ( M (,) v
) ( ( u  e.  ( M (,) N )  |->  C ) `
 t )  _d t ) )  =  ( u  e.  ( M (,) N ) 
|->  C ) )
12230, 32syl6ss 3516 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( M [,] N
)  C_  RR )
123 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
124123tgioo2 21043 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
125 iccntr 21061 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( M [,] N ) )  =  ( M (,) N
) )
12644, 41, 125syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( M [,] N ) )  =  ( M (,) N
) )
1276, 122, 80, 124, 123, 126dvmptntr 22109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
v  e.  ( M [,] N )  |->  S. ( M (,) v
) C  _d u ) )  =  ( RR  _D  ( v  e.  ( M (,) N )  |->  S. ( M (,) v ) C  _d u ) ) )
12895, 121, 1273eqtr3rd 2517 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
v  e.  ( M (,) N )  |->  S. ( M (,) v
) C  _d u ) )  =  ( u  e.  ( M (,) N )  |->  C ) )
129128dmeqd 5203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  ( v  e.  ( M (,) N ) 
|->  S. ( M (,) v ) C  _d u ) )  =  dom  ( u  e.  ( M (,) N
)  |->  C ) )
13060, 89fmptd 6043 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( M (,) N ) 
|->  C ) : ( M (,) N ) --> CC )
131 fdm 5733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  e.  ( M (,) N )  |->  C ) : ( M (,) N ) --> CC 
->  dom  ( u  e.  ( M (,) N
)  |->  C )  =  ( M (,) N
) )
132130, 131syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  ( u  e.  ( M (,) N
)  |->  C )  =  ( M (,) N
) )
133129, 132eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  ( v  e.  ( M (,) N ) 
|->  S. ( M (,) v ) C  _d u ) )  =  ( M (,) N
) )
134 dvcn 22059 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( RR  C_  CC  /\  ( v  e.  ( M (,) N ) 
|->  S. ( M (,) v ) C  _d u ) : ( M (,) N ) --> CC  /\  ( M (,) N )  C_  RR )  /\  dom  ( RR  _D  ( v  e.  ( M (,) N
)  |->  S. ( M (,) v ) C  _d u ) )  =  ( M (,) N ) )  -> 
( v  e.  ( M (,) N ) 
|->  S. ( M (,) v ) C  _d u )  e.  ( ( M (,) N
) -cn-> CC ) )
1356, 83, 84, 133, 134syl31anc 1231 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( M (,) N ) 
|->  S. ( M (,) v ) C  _d u )  e.  ( ( M (,) N
) -cn-> CC ) )
13639, 135cncfco 21146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( v  e.  ( M (,) N
)  |->  S. ( M (,) v ) C  _d u )  o.  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) )  e.  ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) )
13715, 136eqeltrrd 2556 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  S. ( M (,) A ) C  _d u )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> CC ) )
138 cncff 21132 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A
) C  _d u )  e.  ( ( X [,] Y )
-cn-> CC )  ->  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A
) C  _d u ) : ( X [,] Y ) --> CC )
139137, 138syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) : ( X [,] Y ) --> CC )
140 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u )  =  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u )
141140fmpt 6040 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  ( X [,] Y ) S. ( M (,) A ) C  _d u  e.  CC  <->  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) : ( X [,] Y
) --> CC )
142139, 141sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( X [,] Y ) S. ( M (,) A ) C  _d u  e.  CC )
143142r19.21bi 2833 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  S. ( M (,) A ) C  _d u  e.  CC )
144 iccntr 21061 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( X [,] Y ) )  =  ( X (,) Y
) )
1453, 4, 144syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( X [,] Y ) )  =  ( X (,) Y
) )
1466, 8, 143, 124, 123, 145dvmptntr 22109 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A
) C  _d u ) )  =  ( RR  _D  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) ) )
147 reelprrecn 9580 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
148147a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
149 ioossicc 11606 . . . . . . . . 9  |-  ( X (,) Y )  C_  ( X [,] Y )
150149sseli 3500 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( X (,) Y )  ->  x  e.  ( X [,] Y
) )
151150, 9sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  A  e.  ( M (,) N ) )
152 itgsubst.b . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  B )  e.  ( ( ( X (,) Y ) -cn-> CC )  i^i  L^1 ) )
153 elin 3687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B )  e.  ( ( ( X (,) Y
) -cn-> CC )  i^i  L^1 )  <->  ( ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B )  e.  ( ( X (,) Y ) -cn-> CC )  /\  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B )  e.  L^1 ) )
154152, 153sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  B )  e.  ( ( X (,) Y ) -cn-> CC )  /\  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  B )  e.  L^1 ) )
155154simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  B )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
156 cncff 21132 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B )  e.  ( ( X (,) Y )
-cn-> CC )  ->  (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  B ) : ( X (,) Y ) --> CC )
157155, 156syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  B ) : ( X (,) Y ) --> CC )
158 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B )  =  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  B )
159158fmpt 6040 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  ( X (,) Y ) B  e.  CC  <->  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  B ) : ( X (,) Y
) --> CC )
160157, 159sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( X (,) Y ) B  e.  CC )
161160r19.21bi 2833 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  B  e.  CC )
162 nfcv 2629 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ v C
163 nfcsb1v 3451 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ u [_ v  /  u ]_ C
164 csbeq1a 3444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  v  ->  C  =  [_ v  /  u ]_ C )
165162, 163, 164cbvmpt 4537 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( M (,) N )  |->  C )  =  ( v  e.  ( M (,) N
)  |->  [_ v  /  u ]_ C )
166165fmpt 6040 . . . . . . . . 9  |-  ( A. v  e.  ( M (,) N ) [_ v  /  u ]_ C  e.  CC  <->  ( u  e.  ( M (,) N
)  |->  C ) : ( M (,) N
) --> CC )
167130, 166sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. v  e.  ( M (,) N )
[_ v  /  u ]_ C  e.  CC )
168167r19.21bi 2833 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( M (,) N ) )  ->  [_ v  /  u ]_ C  e.  CC )
16932, 5sstri 3513 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z (,) W )  C_  CC
170 cncff 21132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A )  e.  ( ( X [,] Y )
-cn-> ( Z (,) W
) )  ->  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W ) )
17136, 170syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W
) )
17216fmpt 6040 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( Z (,) W
)  <->  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) : ( X [,] Y
) --> ( Z (,) W ) )
173171, 172sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( Z (,) W ) )
174173r19.21bi 2833 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  A  e.  ( Z (,) W ) )
175169, 174sseldi 3502 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  A  e.  CC )
1766, 8, 175, 124, 123, 145dvmptntr 22109 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) )  =  ( RR  _D  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  A ) ) )
177 itgsubst.da . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B ) )
178176, 177eqtr3d 2510 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B ) )
179128, 165syl6eq 2524 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
v  e.  ( M (,) N )  |->  S. ( M (,) v
) C  _d u ) )  =  ( v  e.  ( M (,) N )  |->  [_ v  /  u ]_ C
) )
180 csbeq1 3438 . . . . . . 7  |-  ( v  =  A  ->  [_ v  /  u ]_ C  = 
[_ A  /  u ]_ C )
181148, 148, 151, 161, 81, 168, 178, 179, 14, 180dvmptco 22110 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  S. ( M (,) A
) C  _d u ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  (
[_ A  /  u ]_ C  x.  B
) ) )
182 nfcvd 2630 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( M (,) N )  ->  F/_ u E )
183 itgsubst.e . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  A  ->  C  =  E )
184182, 183csbiegf 3459 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( M (,) N )  ->  [_ A  /  u ]_ C  =  E )
185151, 184syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  [_ A  /  u ]_ C  =  E )
186185oveq1d 6297 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( [_ A  /  u ]_ C  x.  B )  =  ( E  x.  B ) )
187186mpteq2dva 4533 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( [_ A  /  u ]_ C  x.  B
) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  ( E  x.  B ) ) )
188146, 181, 1873eqtrd 2512 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A
) C  _d u ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  ( E  x.  B ) ) )
189123mulcn 21106 . . . . . . 7  |-  x.  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
190189a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  x.  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
191 resmpt 5321 . . . . . . . 8  |-  ( ( X (,) Y ) 
C_  ( X [,] Y )  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E )  |`  ( X (,) Y ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  E ) )
192149, 191ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  E )  |`  ( X (,) Y ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E )
193 eqidd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( Z (,) W ) 
|->  C )  =  ( u  e.  ( Z (,) W )  |->  C ) )
194174, 10, 193, 183fmptco 6052 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  ( Z (,) W
)  |->  C )  o.  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) )  =  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E ) )
19536, 53cncfco 21146 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  ( Z (,) W
)  |->  C )  o.  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) )  e.  ( ( X [,] Y ) -cn-> CC ) )
196194, 195eqeltrrd 2556 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> CC ) )
197 rescncf 21136 . . . . . . . 8  |-  ( ( X (,) Y ) 
C_  ( X [,] Y )  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> CC )  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E )  |`  ( X (,) Y ) )  e.  ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) ) )
198149, 196, 197mpsyl 63 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  E )  |`  ( X (,) Y ) )  e.  ( ( X (,) Y )
-cn-> CC ) )
199192, 198syl5eqelr 2560 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
200123, 190, 199, 155cncfmpt2f 21153 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( E  x.  B
) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
201188, 200eqeltrd 2555 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A
) C  _d u ) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
202 ioombl 21710 . . . . . . . 8  |-  ( X (,) Y )  e. 
dom  vol
203202a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  e.  dom  vol )
204 fco 5739 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( u  e.  ( Z (,) W ) 
|->  C ) : ( Z (,) W ) --> CC  /\  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W ) )  ->  ( ( u  e.  ( Z (,) W )  |->  C )  o.  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) ) : ( X [,] Y ) --> CC )
20555, 171, 204syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  ( Z (,) W
)  |->  C )  o.  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) ) : ( X [,] Y
) --> CC )
206194feq1d 5715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( u  e.  ( Z (,) W )  |->  C )  o.  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) ) : ( X [,] Y ) --> CC  <->  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  E ) : ( X [,] Y
) --> CC ) )
207205, 206mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E ) : ( X [,] Y ) --> CC )
208 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  E )  =  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  E )
209208fmpt 6040 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  ( X [,] Y ) E  e.  CC  <->  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  E ) : ( X [,] Y
) --> CC )
210207, 209sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( X [,] Y ) E  e.  CC )
211210r19.21bi 2833 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  E  e.  CC )
212150, 211sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  E  e.  CC )
213 eqidd 2468 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  E ) )
214 eqidd 2468 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  B )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B ) )
215203, 212, 161, 213, 214offval2 6538 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  E )  oF  x.  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  ( E  x.  B ) ) )
216188, 215eqtr4d 2511 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A
) C  _d u ) )  =  ( ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E )  oF  x.  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  B ) ) )
217149a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  C_  ( X [,] Y ) )
218 cniccibl 21982 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR  /\  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  E )  e.  ( ( X [,] Y )
-cn-> CC ) )  -> 
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E )  e.  L^1 )
2193, 4, 196, 218syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E )  e.  L^1 )
220217, 203, 211, 219iblss 21946 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E )  e.  L^1 )
221 iblmbf 21909 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  E )  e.  L^1 
->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E )  e. MblFn )
222220, 221syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E )  e. MblFn )
223154simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  B )  e.  L^1 )
224 cniccbdd 21608 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR  /\  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  E )  e.  ( ( X [,] Y )
-cn-> CC ) )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( abs `  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  E ) `  z ) )  <_  y )
2253, 4, 196, 224syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( abs `  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  E ) `  z ) )  <_  y )
226 ssralv 3564 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X (,) Y ) 
C_  ( X [,] Y )  ->  ( A. z  e.  ( X [,] Y ) ( abs `  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  E ) `  z ) )  <_  y  ->  A. z  e.  ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  E ) `  z ) )  <_  y )
)
227149, 226ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  ( X [,] Y ) ( abs `  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  E ) `  z ) )  <_ 
y  ->  A. z  e.  ( X (,) Y
) ( abs `  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E ) `  z
) )  <_  y
)
228 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  E )  =  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  E )
229212, 228fmptd 6043 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E ) : ( X (,) Y ) --> CC )
230 fdm 5733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  E ) : ( X (,) Y ) --> CC 
->  dom  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  E )  =  ( X (,) Y
) )
231229, 230syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  E )  =  ( X (,) Y
) )
232231raleqdv 3064 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
dom  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  E ) ( abs `  ( ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  E ) `  z ) )  <_  y  <->  A. z  e.  ( X (,) Y
) ( abs `  (
( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E ) `  z
) )  <_  y
) )
233192fveq1i 5865 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E )  |`  ( X (,) Y ) ) `
 z )  =  ( ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  E ) `  z )
234 fvres 5878 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( X (,) Y )  ->  (
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  E )  |`  ( X (,) Y ) ) `  z )  =  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  E ) `
 z ) )
235233, 234syl5eqr 2522 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( X (,) Y )  ->  (
( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E ) `  z
)  =  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  E ) `  z ) )
236235fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( X (,) Y )  ->  ( abs `  ( ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  E ) `
 z ) )  =  ( abs `  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E ) `  z
) ) )
237236breq1d 4457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( X (,) Y )  ->  (
( abs `  (
( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E ) `  z
) )  <_  y  <->  ( abs `  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  E ) `  z ) )  <_  y )
)
238237ralbiia 2894 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  E ) `  z ) )  <_ 
y  <->  A. z  e.  ( X (,) Y ) ( abs `  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E ) `  z
) )  <_  y
)
239232, 238syl6rbb 262 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  ( X (,) Y
) ( abs `  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E ) `  z
) )  <_  y  <->  A. z  e.  dom  (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  E ) ( abs `  (
( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E ) `  z
) )  <_  y
) )
240227, 239syl5ib 219 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  ( X [,] Y
) ( abs `  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E ) `  z
) )  <_  y  ->  A. z  e.  dom  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  E ) ( abs `  (
( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E ) `  z
) )  <_  y
) )
241240reximdv 2937 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( abs `  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  E ) `  z
) )  <_  y  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  dom  (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  E ) ( abs `  (
( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E ) `  z
) )  <_  y
) )
242225, 241mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  dom  (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  E ) ( abs `  (
( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E ) `  z
) )  <_  y
)
243 bddmulibl 21980 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E )  e. MblFn  /\  (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  B )  e.  L^1 
/\  E. y  e.  RR  A. z  e.  dom  (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  E ) ( abs `  (
( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E ) `  z
) )  <_  y
)  ->  ( (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  E )  oF  x.  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  B ) )  e.  L^1 )
244222, 223, 242, 243syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  E )  oF  x.  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B ) )  e.  L^1 )
245216, 244eqeltrd 2555 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A
) C  _d u ) )  e.  L^1 )
2463, 4, 1, 201, 245, 137ftc2 22180 . . 3  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) ) `  t )  _d t  =  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) `  Y )  -  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) `  X
) ) )
247 fveq2 5864 . . . . 5  |-  ( t  =  x  ->  (
( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A
) C  _d u ) ) `  t
)  =  ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) ) `  x ) )
248 nfcv 2629 . . . . . . 7  |-  F/_ x RR
249 nfcv 2629 . . . . . . 7  |-  F/_ x  _D
250 nfmpt1 4536 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  S. ( M (,) A ) C  _d u )
251248, 249, 250nfov 6305 . . . . . 6  |-  F/_ x
( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A
) C  _d u ) )
252 nfcv 2629 . . . . . 6  |-  F/_ x
t
253251, 252nffv 5871 . . . . 5  |-  F/_ x
( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A
) C  _d u ) ) `  t
)
254 nfcv 2629 . . . . 5  |-  F/_ t
( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A
) C  _d u ) ) `  x
)
255247, 253, 254cbvitg 21917 . . . 4  |-  S. ( X (,) Y ) ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A
) C  _d u ) ) `  t
)  _d t  =  S. ( X (,) Y ) ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) ) `  x )  _d x
256188fveq1d 5866 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A
) C  _d u ) ) `  x
)  =  ( ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  ( E  x.  B ) ) `  x ) )
257 ovex 6307 . . . . . . 7  |-  ( E  x.  B )  e. 
_V
258 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  ( E  x.  B ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  ( E  x.  B ) )
259258fvmpt2 5955 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( X (,) Y )  /\  ( E  x.  B
)  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  ( E  x.  B ) ) `  x )  =  ( E  x.  B ) )
260257, 259mpan2 671 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( X (,) Y )  ->  (
( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( E  x.  B
) ) `  x
)  =  ( E  x.  B ) )
261256, 260sylan9eq 2528 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) ) `
 x )  =  ( E  x.  B
) )
262261itgeq2dv 21923 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) ) `  x )  _d x  =  S. ( X (,) Y
) ( E  x.  B )  _d x )
263255, 262syl5eq 2520 . . 3  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) ) `  t )  _d t  =  S. ( X (,) Y
) ( E  x.  B )  _d x )
26418, 9sseldi 3502 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  A  e.  ( M [,] N ) )
265 elicc2 11585 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( A  e.  ( M [,] N )  <-> 
( A  e.  RR  /\  M  <_  A  /\  A  <_  N ) ) )
26644, 41, 265syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  e.  ( M [,] N )  <-> 
( A  e.  RR  /\  M  <_  A  /\  A  <_  N ) ) )
267266adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  ( A  e.  ( M [,] N
)  <->  ( A  e.  RR  /\  M  <_  A  /\  A  <_  N
) ) )
268264, 267mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  ( A  e.  RR  /\  M  <_  A  /\  A  <_  N
) )
269268simp2d 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  M  <_  A )
270269ditgpos 21995 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  S__ [ M  ->  A ] C  _d u  =  S. ( M (,) A ) C  _d u )
271270mpteq2dva 4533 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  S__ [ M  ->  A ] C  _d u )  =  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) )
272271fveq1d 5866 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  S__ [ M  ->  A ] C  _d u ) `  Y )  =  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) `
 Y ) )
273 ubicc2 11633 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  Y  e.  RR*  /\  X  <_  Y )  ->  Y  e.  ( X [,] Y
) )
27497, 98, 1, 273syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( X [,] Y ) )
275 itgsubst.l . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  Y  ->  A  =  L )
276 ditgeq2 21988 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  L  ->  S__ [ M  ->  A ] C  _d u  =  S__
[ M  ->  L ] C  _d u
)
277275, 276syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  Y  ->  S__ [ M  ->  A ] C  _d u  =  S__
[ M  ->  L ] C  _d u
)
278 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S__ [ M  ->  A ] C  _d u )  =  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S__
[ M  ->  A ] C  _d u
)
279 ditgex 21991 . . . . . . . 8  |-  S__ [ M  ->  L ] C  _d u  e.  _V
280277, 278, 279fvmpt 5948 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  ( X [,] Y )  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  S__ [ M  ->  A ] C  _d u ) `  Y )  =  S__ [ M  ->  L ] C  _d u )
281274, 280syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  S__ [ M  ->  A ] C  _d u ) `  Y )  =  S__ [ M  ->  L ] C  _d u )
282272, 281eqtr3d 2510 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) `  Y )  =  S__
[ M  ->  L ] C  _d u
)
283271fveq1d 5866 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  S__ [ M  ->  A ] C  _d u ) `  X )  =  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) `
 X ) )
284 itgsubst.k . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  A  =  K )
285 ditgeq2 21988 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  K  ->  S__ [ M  ->  A ] C  _d u  =  S__
[ M  ->  K ] C  _d u
)
286284, 285syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  S__ [ M  ->  A ] C  _d u  =  S__
[ M  ->  K ] C  _d u
)
287 ditgex 21991 . . . . . . . 8  |-  S__ [ M  ->  K ] C  _d u  e.  _V
288286, 278, 287fvmpt 5948 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  ( X [,] Y )  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  S__ [ M  ->  A ] C  _d u ) `  X )  =  S__ [ M  ->  K ] C  _d u )
289100, 288syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  S__ [ M  ->  A ] C  _d u ) `  X )  =  S__ [ M  ->  K ] C  _d u )
290283, 289eqtr3d 2510 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) `  X )  =  S__
[ M  ->  K ] C  _d u
)
291282, 290oveq12d 6300 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) `
 Y )  -  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) `  X ) )  =  ( S__ [ M  ->  L ] C  _d u  -  S__ [ M  ->  K ] C  _d u ) )
292 lbicc2 11632 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  RR*  /\  N  e.  RR*  /\  M  <_  N )  ->  M  e.  ( M [,] N
) )
293109, 42, 115, 292syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M [,] N ) )
294264ralrimiva 2878 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( M [,] N ) )
295284eleq1d 2536 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  ( A  e.  ( M [,] N )  <->  K  e.  ( M [,] N ) ) )
296295rspcv 3210 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  ( X [,] Y )  ->  ( A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( M [,] N )  ->  K  e.  ( M [,] N
) ) )
297100, 294, 296sylc 60 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  ( M [,] N ) )
298275eleq1d 2536 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  Y  ->  ( A  e.  ( M [,] N )  <->  L  e.  ( M [,] N ) ) )
299298rspcv 3210 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  ( X [,] Y )  ->  ( A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( M [,] N )  ->  L  e.  ( M [,] N
) ) )
300274, 294, 299sylc 60 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L  e.  ( M [,] N ) )
30144, 41, 293, 297, 300, 60, 77ditgsplit 22000 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S__ [ M  ->  L ] C  _d u  =  ( S__ [ M  ->  K ] C  _d u  +  S__ [ K  ->  L ] C  _d u ) )
302301oveq1d 6297 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S__ [ M  ->  L ] C  _d u  -  S__ [ M  ->  K ] C  _d u )  =  ( ( S__ [ M  ->  K ] C  _d u  +  S__ [ K  ->  L ] C  _d u )  -  S__ [ M  ->  K ] C  _d u ) )
30344, 41, 293, 297, 60, 77ditgcl 21997 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S__ [ M  ->  K ] C  _d u  e.  CC )
30444, 41, 297, 300, 60, 77ditgcl 21997 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S__ [ K  ->  L ] C  _d u  e.  CC )
305303, 304pncan2d 9928 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S__ [ M  ->  K ] C  _d u  +  S__ [ K  ->  L ] C  _d u )  -  S__ [ M  ->  K ] C  _d u
)  =  S__ [ K  ->  L ] C  _d u )
306291, 302, 3053eqtrd 2512 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) `
 Y )  -  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  S. ( M (,) A ) C  _d u ) `  X ) )  =  S__ [ K  ->  L ] C  _d u )
307246, 263, 3063eqtr3d 2516 . 2  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( E  x.  B )  _d x  =  S__ [ K  ->  L ] C  _d u )
3082, 307eqtr2d 2509 1  |-  ( ph  ->  S__ [ K  ->  L ] C  _d u  =  S__ [ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   [_csb 3435    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {cpr 4029   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   ran crn 5000    |` cres 5001    o. ccom 5003   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    oFcof 6520   CCcc 9486   RRcr 9487    + caddc 9491    x. cmul 9493   RR*cxr 9623    < clt 9624    <_ cle 9625    - cmin 9801   (,)cioo 11525   [,]cicc 11528   abscabs 13026   TopOpenctopn 14673   topGenctg 14689  ℂfldccnfld 18191   intcnt 19284    Cn ccn 19491    tX ctx 19796   -cn->ccncf 21115   volcvol 21610  MblFncmbf 21758   L^1cibl 21761   S.citg 21762   S__cdit 21985    _D cdv 22002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cc 8811  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-ofr 6523  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-omul 7132  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-acn 8319  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11961  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-limsup 13253  df-clim 13270  df-rlim 13271  df-sum 13468  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-rest 14674  df-topn 14675  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-prds 14699  df-xrs 14753  df-qtop 14758  df-imas 14759  df-xps 14761  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-mulg 15861  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-fbas 18187  df-fg 18188  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cld 19286  df-ntr 19287  df-cls 19288  df-nei 19365  df-lp 19403  df-perf 19404  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-haus 19582  df-cmp 19653  df-tx 19798  df-hmeo 19991  df-fil 20082  df-fm 20174  df-flim 20175  df-flf 20176  df-xms 20558  df-ms 20559  df-tms 20560  df-cncf 21117  df-ovol 21611  df-vol 21612  df-mbf 21763  df-itg1 21764  df-itg2 21765  df-ibl 21766  df-itg 21767  df-0p 21812  df-ditg 21986  df-limc 22005  df-dv 22006
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