Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgsubsticclem Structured version   Unicode version

Theorem itgsubsticclem 31616
 Description: lemma for itgsubsticc 31617 (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsubsticclem.1
itgsubsticclem.2
itgsubsticclem.3
itgsubsticclem.4
itgsubsticclem.5
itgsubsticclem.6
itgsubsticclem.7
itgsubsticclem.8
itgsubsticclem.9
itgsubsticclem.10
itgsubsticclem.11
itgsubsticclem.12
itgsubsticclem.13
itgsubsticclem.14
itgsubsticclem.15
Assertion
Ref Expression
itgsubsticclem _ _
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,)   ()   (,)   ()

Proof of Theorem itgsubsticclem
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5872 . . . 4
2 nfcv 2629 . . . 4
3 itgsubsticclem.2 . . . . . 6
4 nfmpt1 4542 . . . . . 6
53, 4nfcxfr 2627 . . . . 5
6 nfcv 2629 . . . . 5
75, 6nffv 5879 . . . 4
81, 2, 7cbvditg 22126 . . 3 _ _
9 itgsubsticclem.11 . . . 4
10 ioossicc 11622 . . . . . . . . . 10
1110sseli 3505 . . . . . . . . 9
1211adantl 466 . . . . . . . 8
13 itgsubsticclem.9 . . . . . . . . . . . 12
14 itgsubsticclem.10 . . . . . . . . . . . 12
1513, 14jca 532 . . . . . . . . . . 11
16 iccssre 11618 . . . . . . . . . . 11
1715, 16syl 16 . . . . . . . . . 10
1817adantr 465 . . . . . . . . 9
1918sseld 3508 . . . . . . . 8
2012, 19mpd 15 . . . . . . 7
21 iftrue 3951 . . . . . . . . 9
2212, 21syl 16 . . . . . . . 8
23 itgsubsticclem.8 . . . . . . . . . . . . . . 15
24 cncff 21265 . . . . . . . . . . . . . . 15
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
26 itgsubsticclem.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
2827feq1d 5723 . . . . . . . . . . . . . 14
2925, 28mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13
3029mptex2 31346 . . . . . . . . . . . 12
3112, 30syldan 470 . . . . . . . . . . 11
3212, 31jca 532 . . . . . . . . . 10
3326fvmpt2 5964 . . . . . . . . . 10
3432, 33syl 16 . . . . . . . . 9
3534, 31eqeltrd 2555 . . . . . . . 8
3622, 35eqeltrd 2555 . . . . . . 7
3720, 36jca 532 . . . . . 6
383fvmpt2 5964 . . . . . 6
3937, 38syl 16 . . . . 5
4039, 22, 343eqtrd 2512 . . . 4
419, 40ditgeq3d 31605 . . 3 _ _
42 itgsubsticclem.3 . . . 4
43 itgsubsticclem.4 . . . 4
44 itgsubsticclem.5 . . . 4
45 mnfxr 11335 . . . . 5
4645a1i 11 . . . 4
47 pnfxr 11333 . . . . 5
4847a1i 11 . . . 4
49 itgsubsticclem.6 . . . . 5
50 ioomax 11611 . . . . . . . . . . 11
5150eqcomi 2480 . . . . . . . . . 10
5251a1i 11 . . . . . . . . 9
5317, 52sseqtrd 3545 . . . . . . . 8
54 ax-resscn 9561 . . . . . . . . . 10
5554a1i 11 . . . . . . . . 9
5652, 55eqsstr3d 3544 . . . . . . . 8
5753, 56jca 532 . . . . . . 7
58 cncfss 21271 . . . . . . 7
5957, 58syl 16 . . . . . 6
6059sseld 3508 . . . . 5
6149, 60mpd 15 . . . 4
62 itgsubsticclem.7 . . . 4
63 nfmpt1 4542 . . . . . . . . . . . . 13
6426, 63nfcxfr 2627 . . . . . . . . . . . 12
65 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12
66 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12 fld fld
67 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15 fld fld
6867cnfldtopon 21158 . . . . . . . . . . . . . 14 fld TopOn
6968topontopi 19301 . . . . . . . . . . . . 13 fld
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 fld
7117, 55sstrd 3519 . . . . . . . . . . . . . . . 16
72 ssid 3528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7471, 73jca 532 . . . . . . . . . . . . . . 15
75 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 fldt fldt
76 toponuni 19297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 fld TopOn fld
7768, 76ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 fld
7877restid 14706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 fld fldt fld
7969, 78ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 fldt fld
8079eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 fld fldt
8167, 75, 80cncfcn 21281 . . . . . . . . . . . . . . 15 fldt fld
8274, 81syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 fldt fld
83 reex 9595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8570, 17, 843jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 fld
86 restabs 19534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 fld fldt t fldt
8785, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 fldt t fldt
8887eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 fldt fldt t
8967tgioo2 21176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 fldt
9089eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 fldt
9190a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 fldt
9291oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . . . 16 fldt t t
9388, 92eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . 15 fldt t
9493oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . 14 fldt fld t fld
9582, 94eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . 13 t fld
9623, 95eleqtrd 2557 . . . . . . . . . . . 12 t fld
9764, 65, 66, 3, 13, 14, 9, 70, 96icccncfext 31549 . . . . . . . . . . 11 fldt
9897simpld 459 . . . . . . . . . 10 fldt
99 uniretop 21137 . . . . . . . . . . 11
100 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11 fldt fldt
10199, 100cnf 19615 . . . . . . . . . 10 fldt fldt
10298, 101syl 16 . . . . . . . . 9 fldt
10352feq2d 5724 . . . . . . . . 9 fldt fldt
104102, 103mpbid 210 . . . . . . . 8 fldt
105 ffn 5737 . . . . . . . 8 fldt
106104, 105syl 16 . . . . . . 7
107 dffn5 5919 . . . . . . 7
108106, 107sylib 196 . . . . . 6
109108eqcomd 2475 . . . . 5
110 frn 5743 . . . . . . . . . 10
11125, 110syl 16 . . . . . . . . 9
11251oveq2i 6306 . . . . . . . . . . 11 fldt fldt
11389, 112eqtri 2496 . . . . . . . . . 10 fldt
114 eqid 2467 . . . . . . . . . 10 fldt fldt
11567, 113, 114cncfcn 21281 . . . . . . . . 9 fldt
11656, 111, 115syl2anc 661 . . . . . . . 8 fldt
117116eqcomd 2475 . . . . . . 7 fldt
11898, 117eleqtrd 2557 . . . . . 6
119111, 73jca 532 . . . . . . . 8
120 cncfss 21271 . . . . . . . 8
121119, 120syl 16 . . . . . . 7
122121sseld 3508 . . . . . 6
123118, 122mpd 15 . . . . 5
124109, 123eqeltrd 2555 . . . 4
125 itgsubsticclem.12 . . . 4
126 fveq2 5872 . . . 4
127 itgsubsticclem.14 . . . 4
128 itgsubsticclem.15 . . . 4
12942, 43, 44, 46, 48, 61, 62, 124, 125, 126, 127, 128itgsubst 22318 . . 3 _ _
1308, 41, 1293eqtr3a 2532 . 2 _ _
1313a1i 11 . . . . 5
132 simpr 461 . . . . . . . 8
13368a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 fld TopOn
13442, 43jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
135 iccssre 11618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
136134, 135syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
137136, 55sstrd 3519 . . . . . . . . . . . . . . . 16
138133, 137jca 532 . . . . . . . . . . . . . . 15 fld TopOn
139 resttopon 19530 . . . . . . . . . . . . . . 15 fld TopOn fldt TopOn
140138, 139syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 fldt TopOn
141133, 71jca 532 . . . . . . . . . . . . . . 15 fld TopOn
142 resttopon 19530 . . . . . . . . . . . . . . 15 fld TopOn fldt TopOn
143141, 142syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 fldt TopOn
144137, 71jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . 16
145 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 fldt fldt
14667, 145, 75cncfcn 21281 . . . . . . . . . . . . . . . 16 fldt fldt
147144, 146syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 fldt fldt
14849, 147eleqtrd 2557 . . . . . . . . . . . . . 14 fldt fldt
149140, 143, 1483jca 1176 . . . . . . . . . . . . 13 fldt TopOn fldt TopOn fldt fldt
150 cnf2 19618 . . . . . . . . . . . . 13 fldt TopOn fldt TopOn fldt fldt
151149, 150syl 16 . . . . . . . . . . . 12
152151adantr 465 . . . . . . . . . . 11
153 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12
154153fmpt 6053 . . . . . . . . . . 11
155152, 154sylibr 212 . . . . . . . . . 10
156 ioossicc 11622 . . . . . . . . . . . 12
157156sseli 3505 . . . . . . . . . . 11
158157adantl 466 . . . . . . . . . 10
159 rsp 2833 . . . . . . . . . 10
160155, 158, 159sylc 60 . . . . . . . . 9
161160adantr 465 . . . . . . . 8
162132, 161eqeltrd 2555 . . . . . . 7
163162, 21syl 16 . . . . . 6
164 simpll 753 . . . . . . . . . . 11
165164, 162jca 532 . . . . . . . . . 10
166165, 30syl 16 . . . . . . . . 9
167162, 166jca 532 . . . . . . . 8
168167, 33syl 16 . . . . . . 7
169 itgsubsticclem.13 . . . . . . . 8
170132, 169syl 16 . . . . . . 7
171168, 170eqtrd 2508 . . . . . 6
172163, 171eqtrd 2508 . . . . 5
17317adantr 465 . . . . . . 7
174173sseld 3508 . . . . . 6
175160, 174mpd 15 . . . . 5
176 elex 3127 . . . . . . . 8
177160, 176syl 16 . . . . . . 7
178 isset 3122 . . . . . . 7
179177, 178sylib 196 . . . . . 6
180171eqcomd 2475 . . . . . . . . 9
181168, 166eqeltrd 2555 . . . . . . . . 9
182180, 181eqeltrd 2555 . . . . . . . 8
183182ex 434 . . . . . . 7
184183exlimdv 1700 . . . . . 6
185179, 184mpd 15 . . . . 5
186131, 172, 175, 185fvmptd 5962 . . . 4
187186oveq1d 6310 . . 3
18844, 187ditgeq3d 31605 . 2 _ _
189130, 188eqtrd 2508 1 _ _
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 973   wceq 1379  wex 1596   wcel 1767  wral 2817  cvv 3118   cin 3480   wss 3481  cif 3945  cuni 4251   class class class wbr 4453   cmpt 4511   crn 5006   cres 5007   wfn 5589  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6295  cc 9502  cr 9503   cmul 9509   cpnf 9637   cmnf 9638  cxr 9639   clt 9640   cle 9641  cioo 11541  cicc 11544   ↾t crest 14693  ctopn 14694  ctg 14710  ℂfldccnfld 18290  ctop 19263  TopOnctopon 19264   ccn 19593  ccncf 21248  cibl 21894  _cdit 22118   cdv 22135 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cc 8827  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-disj 4424  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-ofr 6536  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-omul 7147  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-acn 8335  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-limsup 13274  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-lp 19505  df-perf 19506  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-haus 19684  df-cmp 19755  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cncf 21250  df-ovol 21744  df-vol 21745  df-mbf 21896  df-itg1 21897  df-itg2 21898  df-ibl 21899  df-itg 21900  df-0p 21945  df-ditg 22119  df-limc 22138  df-dv 22139 This theorem is referenced by:  itgsubsticc  31617
 Copyright terms: Public domain W3C validator