Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgsubsticc Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem itgsubsticc 37853
Description: Integration by u-substitution. The main difference with respect to itgsubst 23001 is that here we consider the range of  A ( x ) to be in the closed interval  ( K [,] L
). If  A ( x ) is a continuous, differentiable function from  [ X ,  Y ] to  ( Z ,  W ), whose derivative is continuous and integrable, and  C ( u ) is a continuous function on  ( Z ,  W ), then the integral of  C ( u ) from  K  =  A ( X ) to  L  =  A ( Y ) is equal to the integral of  C ( A ( x ) )  _D  A ( x ) from  X to  Y. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsubsticc.1  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
itgsubsticc.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
itgsubsticc.3  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
itgsubsticc.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> ( K [,] L ) ) )
itgsubsticc.5  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( K [,] L ) 
|->  C )  e.  ( ( K [,] L
) -cn-> CC ) )
itgsubsticc.6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  B )  e.  ( ( ( X (,) Y ) -cn-> CC )  i^i  L^1 ) )
itgsubsticc.7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B ) )
itgsubsticc.8  |-  ( u  =  A  ->  C  =  E )
itgsubsticc.9  |-  ( x  =  X  ->  A  =  K )
itgsubsticc.10  |-  ( x  =  Y  ->  A  =  L )
itgsubsticc.11  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
itgsubsticc.12  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
itgsubsticc  |-  ( ph  ->  S__ [ K  ->  L ] C  _d u  =  S__ [ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x )
Distinct variable groups:    u, A    x, C    u, E    u, K, x    u, L, x   
u, X, x    u, Y, x    ph, u, x
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x, u)    C( u)    E( x)

Proof of Theorem itgsubsticc
StepHypRef Expression
1 eqid 2451 . 2  |-  ( u  e.  ( K [,] L )  |->  C )  =  ( u  e.  ( K [,] L
)  |->  C )
2 eqid 2451 . 2  |-  ( u  e.  RR  |->  if ( u  e.  ( K [,] L ) ,  ( ( u  e.  ( K [,] L
)  |->  C ) `  u ) ,  if ( u  <  K , 
( ( u  e.  ( K [,] L
)  |->  C ) `  K ) ,  ( ( u  e.  ( K [,] L ) 
|->  C ) `  L
) ) ) )  =  ( u  e.  RR  |->  if ( u  e.  ( K [,] L ) ,  ( ( u  e.  ( K [,] L ) 
|->  C ) `  u
) ,  if ( u  <  K , 
( ( u  e.  ( K [,] L
)  |->  C ) `  K ) ,  ( ( u  e.  ( K [,] L ) 
|->  C ) `  L
) ) ) )
3 itgsubsticc.1 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
4 itgsubsticc.2 . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
5 itgsubsticc.3 . 2  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
6 itgsubsticc.4 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> ( K [,] L ) ) )
7 itgsubsticc.6 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  B )  e.  ( ( ( X (,) Y ) -cn-> CC )  i^i  L^1 ) )
8 itgsubsticc.5 . 2  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( K [,] L ) 
|->  C )  e.  ( ( K [,] L
) -cn-> CC ) )
9 itgsubsticc.11 . 2  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
10 itgsubsticc.12 . 2  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
11 eqidd 2452 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A )  =  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) )
12 itgsubsticc.10 . . . . . . 7  |-  ( x  =  Y  ->  A  =  L )
1312adantl 468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  =  Y )  ->  A  =  L )
143rexrd 9690 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  RR* )
154rexrd 9690 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR* )
16 ubicc2 11749 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  Y  e.  RR*  /\  X  <_  Y )  ->  Y  e.  ( X [,] Y
) )
1714, 15, 5, 16syl3anc 1268 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( X [,] Y ) )
1811, 13, 17, 10fvmptd 5954 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  Y )  =  L )
19 cncff 21925 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A )  e.  ( ( X [,] Y )
-cn-> ( K [,] L
) )  ->  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) : ( X [,] Y ) --> ( K [,] L ) )
206, 19syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) : ( X [,] Y ) --> ( K [,] L
) )
2120, 17ffvelrnd 6023 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  Y )  e.  ( K [,] L ) )
2218, 21eqeltrrd 2530 . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  ( K [,] L ) )
23 elicc2 11699 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( L  e.  ( K [,] L )  <-> 
( L  e.  RR  /\  K  <_  L  /\  L  <_  L ) ) )
249, 10, 23syl2anc 667 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( L  e.  ( K [,] L )  <-> 
( L  e.  RR  /\  K  <_  L  /\  L  <_  L ) ) )
2522, 24mpbid 214 . . 3  |-  ( ph  ->  ( L  e.  RR  /\  K  <_  L  /\  L  <_  L ) )
2625simp2d 1021 . 2  |-  ( ph  ->  K  <_  L )
27 itgsubsticc.7 . 2  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B ) )
28 itgsubsticc.8 . 2  |-  ( u  =  A  ->  C  =  E )
29 itgsubsticc.9 . 2  |-  ( x  =  X  ->  A  =  K )
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 26, 27, 28, 29, 12itgsubsticclem 37852 1  |-  ( ph  ->  S__ [ K  ->  L ] C  _d u  =  S__ [ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    i^i cin 3403   ifcif 3881   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538    x. cmul 9544   RR*cxr 9674    < clt 9675    <_ cle 9676   (,)cioo 11635   [,]cicc 11638   -cn->ccncf 21908   L^1cibl 22575   S__cdit 22801    _D cdv 22818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cc 8865  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-disj 4374  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-ofr 6532  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-omul 7187  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-acn 8376  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-cmp 20402  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-ovol 22416  df-vol 22418  df-mbf 22577  df-itg1 22578  df-itg2 22579  df-ibl 22580  df-itg 22581  df-0p 22628  df-ditg 22802  df-limc 22821  df-dv 22822
This theorem is referenced by:  itgiccshift  37857  itgperiod  37858  itgsbtaddcnst  37859
  Copyright terms: Public domain W3C validator