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Theorem itgsubst 22576
Description: Integration by u-substitution. If A ( x ) is a continuous, differentiable function from [ X , Y ] to ( Z , W ), whose derivative is continuous and integrable, and C ( u ) is a continuous function on ( Z , W ), then the integral of C ( u ) from K = A ( X ) to L = A ( Y ) is equal to the integral of C ( A ( x ) ) _D A ( x ) from X to Y. In this part of the proof we discharge the assumptions in itgsubstlem 22575, which use the fact that ( Z , W ) is open to shrink the interval a little to ( M , N ) where Z < M < N < W- this is possible because A ( x ) is a continuous function on a closed interval, so its range is in fact a closed interval, and we have some wiggle room on the edges. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsubst.x |- ( ph -> X e. RR )
itgsubst.y |- ( ph -> Y e. RR )
itgsubst.le |- ( ph -> X <_ Y )
itgsubst.z |- ( ph -> Z e. RR* )
itgsubst.w |- ( ph -> W e. RR* )
itgsubst.a |- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> ( Z (,) W ) ) )
itgsubst.b |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) e. ( ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) i^i L^1 ) )
itgsubst.c |- ( ph -> ( u e. ( Z (,) W ) |-> C ) e. ( ( Z (,) W ) -cn-> CC ) )
itgsubst.da |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) )
itgsubst.e |- ( u = A -> C = E )
itgsubst.k |- ( x = X -> A = K )
itgsubst.l |- ( x = Y -> A = L )
Assertion
Ref Expression
itgsubst |- ( ph -> S__ [ K -> L ] C _d u = S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x )
Distinct variable groups:   u, E   x, u, K   ph, u, x   u, X, x   u, Y, x   u, A   x, C   u, W, x   u, L, x   u, Z, x
Allowed substitution hints:   A( x)   B( x, u)   C( u)   E( x)
Proof of Theorem itgsubst
Dummy variables m n y z v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgsubst.x . . 3 |- ( ph -> X e. RR )
2 itgsubst.y . . 3 |- ( ph -> Y e. RR )
3 itgsubst.le . . 3 |- ( ph -> X <_ Y )
4 ioossre 11611 . . . . 5 |- ( Z (,) W ) C_ RR
5 ax-resscn 9566 . . . . 5 |- RR C_ CC
6 cncfss 21529 . . . . 5 |- ( ( ( Z (,) W ) C_ RR /\ RR C_ CC ) -> ( ( X [,] Y ) -cn-> ( Z (,) W ) ) C_ ( ( X [,] Y ) -cn-> RR ) )
74, 5, 6mp2an 672 . . . 4 |- ( ( X [,] Y ) -cn-> ( Z (,) W ) ) C_ ( ( X [,] Y ) -cn-> RR )
8 itgsubst.a . . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> ( Z (,) W ) ) )
97, 8sseldi 3497 . . 3 |- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> RR ) )
101, 2, 3, 9evthicc 21997 . 2 |- ( ph -> ( E. y e. ( X [,] Y ) A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) /\ E. y e. ( X [,] Y ) A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) )
11 ressxr 9654 . . . . . . . 8 |- RR C_ RR*
124, 11sstri 3508 . . . . . . 7 |- ( Z (,) W ) C_ RR*
13 cncff 21523 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> ( Z (,) W ) ) -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W ) )
148, 13syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W ) )
1514adantr 465 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W ) )
16 simprl 756 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) -> y e. ( X [,] Y ) )
1715, 16ffvelrnd 6033 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. ( Z (,) W ) )
1812, 17sseldi 3497 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. RR* )
19 itgsubst.w . . . . . . 7 |- ( ph -> W e. RR* )
2019adantr 465 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) -> W e. RR* )
21 eliooord 11609 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. ( Z (,) W ) -> ( Z < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < W ) )
2217, 21syl 16 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) -> ( Z < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < W ) )
2322simprd 463 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < W )
24 qbtwnxr 11424 . . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. RR* /\ W e. RR* /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < W ) -> E. n e. QQ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) )
2518, 20, 23, 24syl3anc 1228 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) -> E. n e. QQ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) )
26 qre 11212 . . . . . . . . . 10 |- ( n e. QQ -> n e. RR )
2726ad2antrl 727 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> n e. RR )
28 itgsubst.z . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Z e. RR* )
2928ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> Z e. RR* )
3018adantr 465 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. RR* )
3127rexrd 9660 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> n e. RR* )
3222simpld 459 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) -> Z < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) )
3332adantr 465 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> Z < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) )
34 simprrl 765 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n )
3529, 30, 31, 33, 34xrlttrd 11387 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> Z < n )
36 simprrr 766 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> n < W )
3719ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> W e. RR* )
38 elioo2 11595 . . . . . . . . . 10 |- ( ( Z e. RR* /\ W e. RR* ) -> ( n e. ( Z (,) W ) <-> ( n e. RR /\ Z < n /\ n < W ) ) )
3929, 37, 38syl2anc 661 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> ( n e. ( Z (,) W ) <-> ( n e. RR /\ Z < n /\ n < W ) ) )
4027, 35, 36, 39mpbir3and 1179 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> n e. ( Z (,) W ) )
41 anass 649 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) <-> ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) )
42 simprrl 765 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n )
4342adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n )
4414ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W ) )
4544ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. ( Z (,) W ) )
4612, 45sseldi 3497 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. RR* )
47 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> y e. ( X [,] Y ) )
4844, 47ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. ( Z (,) W ) )
4912, 48sseldi 3497 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. RR* )
5049adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. RR* )
5126ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> n e. RR )
5251adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> n e. RR )
5352rexrd 9660 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> n e. RR* )
54 xrlelttr 11384 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. RR* /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. RR* /\ n e. RR* ) -> ( ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) )
5546, 50, 53, 54syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) )
5643, 55mpan2d 674 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) )
5756ralimdva 2865 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> ( A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) -> A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) )
5857imp 429 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) -> A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n )
5958an32s 804 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n )
6041, 59sylanbr 473 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n )
6140, 60jca 532 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> ( n e. ( Z (,) W ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) )
6261ex 434 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) -> ( ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) -> ( n e. ( Z (,) W ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) ) )
6362reximdv2 2928 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) -> ( E. n e. QQ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) -> E. n e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) )
6425, 63mpd 15 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) -> E. n e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n )
6564rexlimdvaa 2950 . . 3 |- ( ph -> ( E. y e. ( X [,] Y ) A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) -> E. n e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) )
6628adantr 465 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) -> Z e. RR* )
6714adantr 465 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W ) )
68 simprl 756 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) -> y e. ( X [,] Y ) )
6967, 68ffvelrnd 6033 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. ( Z (,) W ) )
7012, 69sseldi 3497 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. RR* )
7169, 21syl 16 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) -> ( Z < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < W ) )
7271simpld 459 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) -> Z < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) )
73 qbtwnxr 11424 . . . . . 6 |- ( ( Z e. RR* /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. RR* /\ Z < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) -> E. m e. QQ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) )
7466, 70, 72, 73syl3anc 1228 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) -> E. m e. QQ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) )
75 qre 11212 . . . . . . . . . 10 |- ( m e. QQ -> m e. RR )
7675ad2antrl 727 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> m e. RR )
77 simprrl 765 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> Z < m )
7876rexrd 9660 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> m e. RR* )
7970adantr 465 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. RR* )
8019ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> W e. RR* )
81 simprrr 766 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) )
8271simprd 463 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < W )
8382adantr 465 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < W )
8478, 79, 80, 81, 83xrlttrd 11387 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> m < W )
8528ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> Z e. RR* )
86 elioo2 11595 . . . . . . . . . 10 |- ( ( Z e. RR* /\ W e. RR* ) -> ( m e. ( Z (,) W ) <-> ( m e. RR /\ Z < m /\ m < W ) ) )
8785, 80, 86syl2anc 661 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> ( m e. ( Z (,) W ) <-> ( m e. RR /\ Z < m /\ m < W ) ) )
8876, 77, 84, 87mpbir3and 1179 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> m e. ( Z (,) W ) )
89 anass 649 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) <-> ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) )
90 simprrr 766 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) )
9190adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) )
9275ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> m e. RR )
9392adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> m e. RR )
9493rexrd 9660 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> m e. RR* )
9514ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W ) )
96 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> y e. ( X [,] Y ) )
9795, 96ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. ( Z (,) W ) )
9812, 97sseldi 3497 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. RR* )
9998adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. RR* )
10095ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. ( Z (,) W ) )
10112, 100sseldi 3497 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. RR* )
102 xrltletr 11385 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m e. RR* /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. RR* /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. RR* ) -> ( ( m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) -> m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) )
10394, 99, 101, 102syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) -> m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) )
10491, 103mpand 675 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) -> m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) )
105104ralimdva 2865 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> ( A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) -> A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) )
106105imp 429 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) -> A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) )
107106an32s 804 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) )
10889, 107sylanbr 473 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) )
10988, 108jca 532 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> ( m e. ( Z (,) W ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) )
110109ex 434 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) -> ( ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) -> ( m e. ( Z (,) W ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) )
111110reximdv2 2928 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) -> ( E. m e. QQ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) -> E. m e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) )
11274, 111mpd 15 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) -> E. m e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) )
113112rexlimdvaa 2950 . . 3 |- ( ph -> ( E. y e. ( X [,] Y ) A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) -> E. m e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) )
114 ancom 450 . . . . 5 |- ( ( E. n e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n /\ E. m e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) <-> ( E. m e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ E. n e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) )
115 reeanv 3025 . . . . 5 |- ( E. m e. ( Z (,) W ) E. n e. ( Z (,) W ) ( A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) <-> ( E. m e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ E. n e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) )
116114, 115bitr4i 252 . . . 4 |- ( ( E. n e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n /\ E. m e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) <-> E. m e. ( Z (,) W ) E. n e. ( Z (,) W ) ( A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) )
117 r19.26 2984 . . . . . 6 |- ( A. z e. ( X [,] Y ) ( m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) <-> ( A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) )
11814adantr 465 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W ) )
119118ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. ( Z (,) W ) )
1204, 119sseldi 3497 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. RR )
1211203biant1d 1337 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) <-> ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. RR /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) ) )
122 simplrl 761 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> m e. ( Z (,) W ) )
12312, 122sseldi 3497 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> m e. RR* )
124 simplrr 762 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> n e. ( Z (,) W ) )
12512, 124sseldi 3497 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> n e. RR* )
126 elioo2 11595 . . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. RR* /\ n e. RR* ) -> ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. ( m (,) n ) <-> ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. RR /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) ) )
127123, 125, 126syl2anc 661 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. ( m (,) n ) <-> ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. RR /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) ) )
128121, 127bitr4d 256 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) <-> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. ( m (,) n ) ) )
129128ralbidva 2893 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) -> ( A. z e. ( X [,] Y ) ( m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) <-> A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. ( m (,) n ) ) )
130 nffvmpt1 5880 . . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z )
131130nfel1 2635 . . . . . . . . . . 11 |- F/ x ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. ( m (,) n )
132 nfv 1708 . . . . . . . . . . 11 |- F/ z ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` x ) e. ( m (,) n )
133 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = x -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) = ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` x ) )
134133eleq1d 2526 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = x -> ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. ( m (,) n ) <-> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` x ) e. ( m (,) n ) ) )
135131, 132, 134cbvral 3080 . . . . . . . . . 10 |- ( A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. ( m (,) n ) <-> A. x e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` x ) e. ( m (,) n ) )
136 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( X [,] Y ) ) -> x e. ( X [,] Y ) )
137 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) = ( x e. ( X [,] Y ) |-> A )
138137fmpt 6053 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( Z (,) W ) <-> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W ) )
13914, 138sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( Z (,) W ) )
140139r19.21bi 2826 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( X [,] Y ) ) -> A e. ( Z (,) W ) )
141137fvmpt2 5964 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ( X [,] Y ) /\ A e. ( Z (,) W ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` x ) = A )
142136, 140, 141syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` x ) = A )
143142eleq1d 2526 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` x ) e. ( m (,) n ) <-> A e. ( m (,) n ) ) )
144143ralbidva 2893 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A. x e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` x ) e. ( m (,) n ) <-> A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) )
145135, 144syl5bb 257 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. ( m (,) n ) <-> A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) )
146145adantr 465 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) -> ( A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. ( m (,) n ) <-> A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) )
1471adantr 465 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> X e. RR )
1482adantr 465 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> Y e. RR )
1493adantr 465 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> X <_ Y )
15028adantr 465 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> Z e. RR* )
15119adantr 465 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> W e. RR* )
152 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ y A
153 nfcsb1v 3446 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x [_ y / x ]_ A
154 csbeq1a 3439 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> A = [_ y / x ]_ A )
155152, 153, 154cbvmpt 4547 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) = ( y e. ( X [,] Y ) |-> [_ y / x ]_ A )
156155, 8syl5eqelr 2550 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( y e. ( X [,] Y ) |-> [_ y / x ]_ A ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> ( Z (,) W ) ) )
157156adantr 465 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> ( y e. ( X [,] Y ) |-> [_ y / x ]_ A ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> ( Z (,) W ) ) )
158 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ y B
159 nfcsb1v 3446 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x [_ y / x ]_ B
160 csbeq1a 3439 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> B = [_ y / x ]_ B )
161158, 159, 160cbvmpt 4547 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) = ( y e. ( X (,) Y ) |-> [_ y / x ]_ B )
162 itgsubst.b . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) e. ( ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) i^i L^1 ) )
163161, 162syl5eqelr 2550 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( y e. ( X (,) Y ) |-> [_ y / x ]_ B ) e. ( ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) i^i L^1 ) )
164163adantr 465 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> ( y e. ( X (,) Y ) |-> [_ y / x ]_ B ) e. ( ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) i^i L^1 ) )
165 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ v C
166 nfcsb1v 3446 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ u [_ v / u ]_ C
167 csbeq1a 3439 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = v -> C = [_ v / u ]_ C )
168165, 166, 167cbvmpt 4547 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. ( Z (,) W ) |-> C ) = ( v e. ( Z (,) W ) |-> [_ v / u ]_ C )
169 itgsubst.c . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( u e. ( Z (,) W ) |-> C ) e. ( ( Z (,) W ) -cn-> CC ) )
170168, 169syl5eqelr 2550 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( v e. ( Z (,) W ) |-> [_ v / u ]_ C ) e. ( ( Z (,) W ) -cn-> CC ) )
171170adantr 465 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> ( v e. ( Z (,) W ) |-> [_ v / u ]_ C ) e. ( ( Z (,) W ) -cn-> CC ) )
172 itgsubst.da . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) )
173155oveq2i 6307 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ) = ( RR _D ( y e. ( X [,] Y ) |-> [_ y / x ]_ A ) )
174172, 173, 1613eqtr3g 2521 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. ( X [,] Y ) |-> [_ y / x ]_ A ) ) = ( y e. ( X (,) Y ) |-> [_ y / x ]_ B ) )
175174adantr 465 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> ( RR _D ( y e. ( X [,] Y ) |-> [_ y / x ]_ A ) ) = ( y e. ( X (,) Y ) |-> [_ y / x ]_ B ) )
176 csbeq1 3433 . . . . . . . . . . 11 |- ( v = [_ y / x ]_ A -> [_ v / u ]_ C = [_ [_ y / x ]_ A / u ]_ C )
177 csbeq1 3433 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = X -> [_ y / x ]_ A = [_ X / x ]_ A )
178 csbeq1 3433 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = Y -> [_ y / x ]_ A = [_ Y / x ]_ A )
179 simprll 763 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> m e. ( Z (,) W ) )
180 simprlr 764 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> n e. ( Z (,) W ) )
181 simprr 757 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) )
182153nfel1 2635 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x [_ y / x ]_ A e. ( m (,) n )
183154eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( A e. ( m (,) n ) <-> [_ y / x ]_ A e. ( m (,) n ) ) )
184182, 183rspc 3204 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( X [,] Y ) -> ( A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) -> [_ y / x ]_ A e. ( m (,) n ) ) )
185181, 184mpan9 469 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) /\ y e. ( X [,] Y ) ) -> [_ y / x ]_ A e. ( m (,) n ) )
186147, 148, 149, 150, 151, 157, 164, 171, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 185itgsubstlem 22575 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> S__ [ [_ X / x ]_ A -> [_ Y / x ]_ A ] [_ v / u ]_ C _d v = S__ [ X -> Y ] ( [_ [_ y / x ]_ A / u ]_ C x. [_ y / x ]_ B ) _d y )
187167, 165, 166cbvditg 22384 . . . . . . . . . . . 12 |- S__ [ [_ X / x ]_ A -> [_ Y / x ]_ A ] C _d u = S__ [ [_ X / x ]_ A -> [_ Y / x ]_ A ] [_ v / u ]_ C _d v
188 nfcvd 2620 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. RR -> F/_ x K )
189 itgsubst.k . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = X -> A = K )
190188, 189csbiegf 3454 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. RR -> [_ X / x ]_ A = K )
191 ditgeq1 22378 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( [_ X / x ]_ A = K -> S__ [ [_ X / x ]_ A -> [_ Y / x ]_ A ] C _d u = S__ [ K -> [_ Y / x ]_ A ] C _d u )
1921, 190, 1913syl 20 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S__ [ [_ X / x ]_ A -> [_ Y / x ]_ A ] C _d u = S__ [ K -> [_ Y / x ]_ A ] C _d u )
193 nfcvd 2620 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Y e. RR -> F/_ x L )
194 itgsubst.l . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = Y -> A = L )
195193, 194csbiegf 3454 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Y e. RR -> [_ Y / x ]_ A = L )
196 ditgeq2 22379 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( [_ Y / x ]_ A = L -> S__ [ K -> [_ Y / x ]_ A ] C _d u = S__ [ K -> L ] C _d u )
1972, 195, 1963syl 20 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S__ [ K -> [_ Y / x ]_ A ] C _d u = S__ [ K -> L ] C _d u )
198192, 197eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> S__ [ [_ X / x ]_ A -> [_ Y / x ]_ A ] C _d u = S__ [ K -> L ] C _d u )
199187, 198syl5eqr 2512 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S__ [ [_ X / x ]_ A -> [_ Y / x ]_ A ] [_ v / u ]_ C _d v = S__ [ K -> L ] C _d u )
200199adantr 465 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> S__ [ [_ X / x ]_ A -> [_ Y / x ]_ A ] [_ v / u ]_ C _d v = S__ [ K -> L ] C _d u )
201154csbeq1d 3437 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> [_ A / u ]_ C = [_ [_ y / x ]_ A / u ]_ C )
202201, 160oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( [_ A / u ]_ C x. B ) = ( [_ [_ y / x ]_ A / u ]_ C x. [_ y / x ]_ B ) )
203 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ y ( [_ A / u ]_ C x. B )
204 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x C
205153, 204nfcsb 3448 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x [_ [_ y / x ]_ A / u ]_ C
206 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x x.
207205, 206, 159nfov 6322 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x ( [_ [_ y / x ]_ A / u ]_ C x. [_ y / x ]_ B )
208202, 203, 207cbvditg 22384 . . . . . . . . . . . 12 |- S__ [ X -> Y ] ( [_ A / u ]_ C x. B ) _d x = S__ [ X -> Y ] ( [_ [_ y / x ]_ A / u ]_ C x. [_ y / x ]_ B ) _d y
209 ioossicc 11635 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( X (,) Y ) C_ ( X [,] Y )
210209sseli 3495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( X (,) Y ) -> x e. ( X [,] Y ) )
211210, 140sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> A e. ( Z (,) W ) )
212 nfcvd 2620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. ( Z (,) W ) -> F/_ u E )
213 itgsubst.e . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u = A -> C = E )
214212, 213csbiegf 3454 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ( Z (,) W ) -> [_ A / u ]_ C = E )
215211, 214syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> [_ A / u ]_ C = E )
216215oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> ( [_ A / u ]_ C x. B ) = ( E x. B ) )
217216itgeq2dv 22314 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( [_ A / u ]_ C x. B ) _d x = S. ( X (,) Y ) ( E x. B ) _d x )
2183ditgpos 22386 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S__ [ X -> Y ] ( [_ A / u ]_ C x. B ) _d x = S. ( X (,) Y ) ( [_ A / u ]_ C x. B ) _d x )
2193ditgpos 22386 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x = S. ( X (,) Y ) ( E x. B ) _d x )
220217, 218, 2193eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> S__ [ X -> Y ] ( [_ A / u ]_ C x. B ) _d x = S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x )
221208, 220syl5eqr 2512 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S__ [ X -> Y ] ( [_ [_ y / x ]_ A / u ]_ C x. [_ y / x ]_ B ) _d y = S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x )
222221adantr 465 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> S__ [ X -> Y ] ( [_ [_ y / x ]_ A / u ]_ C x. [_ y / x ]_ B ) _d y = S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x )
223186, 200, 2223eqtr3d 2506 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> S__ [ K -> L ] C _d u = S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x )
224223expr 615 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) -> ( A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) -> S__ [ K -> L ] C _d u = S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x ) )
225146, 224sylbid 215 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) -> ( A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. ( m (,) n ) -> S__ [ K -> L ] C _d u = S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x ) )
226129, 225sylbid 215 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) -> ( A. z e. ( X [,] Y ) ( m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) -> S__ [ K -> L ] C _d u = S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x ) )
227117, 226syl5bir 218 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) -> ( ( A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) -> S__ [ K -> L ] C _d u = S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x ) )
228227rexlimdvva 2956 . . . 4 |- ( ph -> ( E. m e. ( Z (,) W ) E. n e. ( Z (,) W ) ( A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) -> S__ [ K -> L ] C _d u = S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x ) )
229116, 228syl5bi 217 . . 3 |- ( ph -> ( ( E. n e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n /\ E. m e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) -> S__ [ K -> L ] C _d u = S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x ) )
23065, 113, 229syl2and 483 . 2 |- ( ph -> ( ( E. y e. ( X [,] Y ) A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) /\ E. y e. ( X [,] Y ) A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) -> S__ [ K -> L ] C _d u = S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x ) )
23110, 230mpd 15 1 |- ( ph -> S__ [ K -> L ] C _d u = S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   [_csb 3430   i^i cin 3470   C_ wss 3471   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   x. cmul 9514   RR*cxr 9644   < clt 9645   <_ cle 9646   QQcq 11207   (,)cioo 11554   [,]cicc 11557   -cn->ccncf 21506   L^1cibl 22152   S.citg 22153   S__cdit 22376   _D cdv 22393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cc 8832  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-disj 4428  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-ofr 6540  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-acn 8340  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-cmp 20014  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-ovol 22002  df-vol 22003  df-mbf 22154  df-itg1 22155  df-itg2 22156  df-ibl 22157  df-itg 22158  df-0p 22203  df-ditg 22377  df-limc 22396  df-dv 22397
This theorem is referenced by:  itgsubsticclem  31977
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