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Theorem itgsubst 21533
Description: Integration by  u-substitution. If  A ( x ) is a continuous, differentiable function from  [ X ,  Y ] to  ( Z ,  W ), whose derivative is continuous and integrable, and  C ( u ) is a continuous function on  ( Z ,  W ), then the integral of  C ( u ) from  K  =  A ( X ) to  L  =  A ( Y ) is equal to the integral of  C ( A ( x ) )  _D  A ( x ) from  X to  Y. In this part of the proof we discharge the assumptions in itgsubstlem 21532, which use the fact that  ( Z ,  W ) is open to shrink the interval a little to  ( M ,  N ) where  Z  <  M  <  N  <  W- this is possible because  A ( x ) is a continuous function on a closed interval, so its range is in fact a closed interval, and we have some wiggle room on the edges. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsubst.x  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
itgsubst.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
itgsubst.le  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
itgsubst.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR* )
itgsubst.w  |-  ( ph  ->  W  e.  RR* )
itgsubst.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> ( Z (,) W ) ) )
itgsubst.b  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  B )  e.  ( ( ( X (,) Y ) -cn-> CC )  i^i  L^1 ) )
itgsubst.c  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( Z (,) W ) 
|->  C )  e.  ( ( Z (,) W
) -cn-> CC ) )
itgsubst.da  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B ) )
itgsubst.e  |-  ( u  =  A  ->  C  =  E )
itgsubst.k  |-  ( x  =  X  ->  A  =  K )
itgsubst.l  |-  ( x  =  Y  ->  A  =  L )
Assertion
Ref Expression
itgsubst  |-  ( ph  ->  S__ [ K  ->  L ] C  _d u  =  S__ [ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x )
Distinct variable groups:    u, E    x, u, K    ph, u, x   
u, X, x    u, Y, x    u, A    x, C    u, W, x    u, L, x    u, Z, x
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x, u)    C( u)    E( x)

Proof of Theorem itgsubst
Dummy variables  m  n  y  z  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgsubst.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
2 itgsubst.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
3 itgsubst.le . . 3  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
4 ioossre 11369 . . . . 5  |-  ( Z (,) W )  C_  RR
5 ax-resscn 9351 . . . . 5  |-  RR  C_  CC
6 cncfss 20487 . . . . 5  |-  ( ( ( Z (,) W
)  C_  RR  /\  RR  C_  CC )  ->  (
( X [,] Y
) -cn-> ( Z (,) W ) )  C_  ( ( X [,] Y ) -cn-> RR ) )
74, 5, 6mp2an 672 . . . 4  |-  ( ( X [,] Y )
-cn-> ( Z (,) W
) )  C_  (
( X [,] Y
) -cn-> RR )
8 itgsubst.a . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> ( Z (,) W ) ) )
97, 8sseldi 3366 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> RR ) )
101, 2, 3, 9evthicc 20955 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ( X [,] Y
) A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  /\  E. y  e.  ( X [,] Y ) A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) ) )
11 ressxr 9439 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  RR*
124, 11sstri 3377 . . . . . . 7  |-  ( Z (,) W )  C_  RR*
13 cncff 20481 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A )  e.  ( ( X [,] Y )
-cn-> ( Z (,) W
) )  ->  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W ) )
148, 13syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W
) )
1514adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) ) )  ->  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) : ( X [,] Y
) --> ( Z (,) W ) )
16 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) ) )  ->  y  e.  ( X [,] Y ) )
1715, 16ffvelrnd 5856 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) ) )  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  e.  ( Z (,) W
) )
1812, 17sseldi 3366 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) ) )  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  e. 
RR* )
19 itgsubst.w . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  RR* )
2019adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) ) )  ->  W  e.  RR* )
21 eliooord 11367 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  e.  ( Z (,) W )  -> 
( Z  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  /\  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y )  <  W ) )
2217, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) ) )  ->  ( Z  < 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  /\  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <  W )
)
2322simprd 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) ) )  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
W )
24 qbtwnxr 11182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  e.  RR*  /\  W  e.  RR*  /\  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <  W )  ->  E. n  e.  QQ  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) )
2518, 20, 23, 24syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) ) )  ->  E. n  e.  QQ  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) )
26 qre 10970 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  QQ  ->  n  e.  RR )
2726ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  ->  n  e.  RR )
28 itgsubst.z . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR* )
2928ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  ->  Z  e.  RR* )
3018adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  -> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  e.  RR* )
3127rexrd 9445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  ->  n  e.  RR* )
3222simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) ) )  ->  Z  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
) )
3332adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  ->  Z  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) )
34 simprrl 763 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  -> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  <  n
)
3529, 30, 31, 33, 34xrlttrd 11145 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  ->  Z  <  n )
36 simprrr 764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  ->  n  <  W )
3719ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  ->  W  e.  RR* )
38 elioo2 11353 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Z  e.  RR*  /\  W  e.  RR* )  ->  (
n  e.  ( Z (,) W )  <->  ( n  e.  RR  /\  Z  < 
n  /\  n  <  W ) ) )
3929, 37, 38syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  -> 
( n  e.  ( Z (,) W )  <-> 
( n  e.  RR  /\  Z  <  n  /\  n  <  W ) ) )
4027, 35, 36, 39mpbir3and 1171 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  ->  n  e.  ( Z (,) W ) )
41 anass 649 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  <_  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) )  <-> 
( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) ) )
42 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  -> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  <  n
)
4342adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  -> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  <  n
)
4414ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  -> 
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W
) )
4544ffvelrnda 5855 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  -> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  e.  ( Z (,) W ) )
4612, 45sseldi 3366 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  -> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  e.  RR* )
47 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  -> 
y  e.  ( X [,] Y ) )
4844, 47ffvelrnd 5856 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  -> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  e.  ( Z (,) W ) )
4912, 48sseldi 3366 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  -> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  e.  RR* )
5049adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  -> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  e.  RR* )
5126ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  ->  n  e.  RR )
5251adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  ->  n  e.  RR )
5352rexrd 9445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  ->  n  e.  RR* )
54 xrlelttr 11142 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  e.  RR*  /\  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  e.  RR*  /\  n  e.  RR* )  ->  ( ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  <_  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  /\  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  <  n
)  ->  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  <  n ) )
5546, 50, 53, 54syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  -> 
( ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  <_  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  /\  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  <  n
)  ->  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  <  n ) )
5643, 55mpan2d 674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  -> 
( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <  n )
)
5756ralimdva 2806 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  -> 
( A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  ->  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n ) )
5857imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) )  ->  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n )
5958an32s 802 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) )  /\  ( n  e.  QQ  /\  (
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  <  n  /\  n  <  W ) ) )  ->  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n )
6041, 59sylanbr 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  ->  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <  n )
6140, 60jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  -> 
( n  e.  ( Z (,) W )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n ) )
6261ex 434 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) ) )  ->  ( ( n  e.  QQ  /\  (
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  <  n  /\  n  <  W ) )  ->  ( n  e.  ( Z (,) W
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n ) ) )
6362reximdv2 2837 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) ) )  ->  ( E. n  e.  QQ  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y )  <  n  /\  n  <  W )  ->  E. n  e.  ( Z (,) W
) A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n ) )
6425, 63mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) ) )  ->  E. n  e.  ( Z (,) W ) A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  <  n
)
6564rexlimdvaa 2854 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ( X [,] Y
) A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  ->  E. n  e.  ( Z (,) W
) A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n ) )
6628adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) ) )  ->  Z  e.  RR* )
6714adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) ) )  ->  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) : ( X [,] Y
) --> ( Z (,) W ) )
68 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) ) )  ->  y  e.  ( X [,] Y ) )
6967, 68ffvelrnd 5856 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) ) )  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  e.  ( Z (,) W
) )
7012, 69sseldi 3366 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) ) )  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  e. 
RR* )
7169, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) ) )  ->  ( Z  < 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  /\  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <  W )
)
7271simpld 459 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) ) )  ->  Z  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
) )
73 qbtwnxr 11182 . . . . . 6  |-  ( ( Z  e.  RR*  /\  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  e.  RR*  /\  Z  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) )  ->  E. m  e.  QQ  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) )
7466, 70, 72, 73syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) ) )  ->  E. m  e.  QQ  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) )
75 qre 10970 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  QQ  ->  m  e.  RR )
7675ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  m  e.  RR )
77 simprrl 763 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  Z  <  m )
7876rexrd 9445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  m  e.  RR* )
7970adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  e.  RR* )
8019ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  W  e.  RR* )
81 simprrr 764 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) )
8271simprd 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) ) )  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
W )
8382adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <  W )
8478, 79, 80, 81, 83xrlttrd 11145 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  m  <  W )
8528ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  Z  e.  RR* )
86 elioo2 11353 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Z  e.  RR*  /\  W  e.  RR* )  ->  (
m  e.  ( Z (,) W )  <->  ( m  e.  RR  /\  Z  < 
m  /\  m  <  W ) ) )
8785, 80, 86syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  (
m  e.  ( Z (,) W )  <->  ( m  e.  RR  /\  Z  < 
m  /\  m  <  W ) ) )
8876, 77, 84, 87mpbir3and 1171 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  m  e.  ( Z (,) W
) )
89 anass 649 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y )  <_  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z ) )  <-> 
( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) ) )
90 simprrr 764 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) )
9190adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  ->  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) )
9275ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  m  e.  RR )
9392adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  ->  m  e.  RR )
9493rexrd 9445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  ->  m  e.  RR* )
9514ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W ) )
96 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  y  e.  ( X [,] Y
) )
9795, 96ffvelrnd 5856 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  e.  ( Z (,) W ) )
9812, 97sseldi 3366 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  e.  RR* )
9998adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  -> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  e.  RR* )
10095ffvelrnda 5855 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  -> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  e.  ( Z (,) W ) )
10112, 100sseldi 3366 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  -> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  e.  RR* )
102 xrltletr 11143 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  RR*  /\  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  e.  RR*  /\  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  e.  RR* )  ->  ( ( m  < 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  /\  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) )  ->  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
) ) )
10394, 99, 101, 102syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  -> 
( ( m  < 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  /\  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) )  ->  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
) ) )
10491, 103mpand 675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  -> 
( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  ->  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) ) )
105104ralimdva 2806 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  ( A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  ->  A. z  e.  ( X [,] Y ) m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) )
106105imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) ) )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) )  ->  A. z  e.  ( X [,] Y
) m  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
) )
107106an32s 802 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) )  /\  ( m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) ) ) )  ->  A. z  e.  ( X [,] Y
) m  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
) )
10889, 107sylanbr 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  A. z  e.  ( X [,] Y
) m  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
) )
10988, 108jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z ) ) )
110109ex 434 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) ) )  ->  ( ( m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) ) )  ->  ( m  e.  ( Z (,) W
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) m  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
) ) ) )
111110reximdv2 2837 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) ) )  ->  ( E. m  e.  QQ  ( Z  < 
m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
) )  ->  E. m  e.  ( Z (,) W
) A. z  e.  ( X [,] Y
) m  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
) ) )
11274, 111mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) ) )  ->  E. m  e.  ( Z (,) W ) A. z  e.  ( X [,] Y ) m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) )
113112rexlimdvaa 2854 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ( X [,] Y
) A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  ->  E. m  e.  ( Z (,) W
) A. z  e.  ( X [,] Y
) m  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
) ) )
114 ancom 450 . . . . 5  |-  ( ( E. n  e.  ( Z (,) W ) A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  <  n  /\  E. m  e.  ( Z (,) W ) A. z  e.  ( X [,] Y ) m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) )  <->  ( E. m  e.  ( Z (,) W
) A. z  e.  ( X [,] Y
) m  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  /\  E. n  e.  ( Z (,) W
) A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n ) )
115 reeanv 2900 . . . . 5  |-  ( E. m  e.  ( Z (,) W ) E. n  e.  ( Z (,) W ) ( A. z  e.  ( X [,] Y ) m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n )  <->  ( E. m  e.  ( Z (,) W ) A. z  e.  ( X [,] Y
) m  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  /\  E. n  e.  ( Z (,) W
) A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n ) )
116114, 115bitr4i 252 . . . 4  |-  ( ( E. n  e.  ( Z (,) W ) A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  <  n  /\  E. m  e.  ( Z (,) W ) A. z  e.  ( X [,] Y ) m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) )  <->  E. m  e.  ( Z (,) W ) E. n  e.  ( Z (,) W ) ( A. z  e.  ( X [,] Y
) m  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n ) )
117 r19.26 2861 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  ( X [,] Y ) ( m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  /\  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  <  n
)  <->  ( A. z  e.  ( X [,] Y
) m  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n ) )
11814adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( Z (,) W
)  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  ->  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W ) )
119118ffvelrnda 5855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  ->  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  e.  ( Z (,) W ) )
1204, 119sseldi 3366 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  ->  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  e.  RR )
1211203biant1d 1327 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  ->  ( (
m  <  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  /\  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n )  <->  ( (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  e.  RR  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  /\  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  <  n
) ) )
122 simplrl 759 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  ->  m  e.  ( Z (,) W ) )
12312, 122sseldi 3366 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  ->  m  e.  RR* )
124 simplrr 760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  ->  n  e.  ( Z (,) W ) )
12512, 124sseldi 3366 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  ->  n  e.  RR* )
126 elioo2 11353 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  RR*  /\  n  e.  RR* )  ->  (
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  e.  ( m (,) n )  <-> 
( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  e.  RR  /\  m  < 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  /\  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <  n )
) )
127123, 125, 126syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  ->  ( (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  e.  ( m (,) n )  <->  ( (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  e.  RR  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  /\  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  <  n
) ) )
128121, 127bitr4d 256 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  ->  ( (
m  <  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  /\  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n )  <->  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  e.  ( m (,) n ) ) )
129128ralbidva 2743 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( Z (,) W
)  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  ->  ( A. z  e.  ( X [,] Y ) ( m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  /\  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n )  <->  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  e.  ( m (,) n
) ) )
130 nffvmpt1 5711 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )
131130nfel1 2604 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  e.  ( m (,) n )
132 nfv 1673 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ z ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  x )  e.  ( m (,) n )
133 fveq2 5703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  x  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  =  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  x ) )
134133eleq1d 2509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  x  ->  (
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  e.  ( m (,) n )  <-> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  x )  e.  ( m (,) n ) ) )
135131, 132, 134cbvral 2955 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  e.  ( m (,) n )  <->  A. x  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 x )  e.  ( m (,) n
) )
136 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  x  e.  ( X [,] Y ) )
137 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A )  =  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A )
138137fmpt 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( Z (,) W
)  <->  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) : ( X [,] Y
) --> ( Z (,) W ) )
13914, 138sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( Z (,) W ) )
140139r19.21bi 2826 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  A  e.  ( Z (,) W ) )
141137fvmpt2 5793 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  /\  A  e.  ( Z (,) W ) )  -> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  x )  =  A )
142136, 140, 141syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  x )  =  A )
143142eleq1d 2509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  ( (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  x
)  e.  ( m (,) n )  <->  A  e.  ( m (,) n
) ) )
144143ralbidva 2743 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 x )  e.  ( m (,) n
)  <->  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )
145135, 144syl5bb 257 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  e.  ( m (,) n
)  <->  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )
146145adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( Z (,) W
)  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  ->  ( A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  e.  ( m (,) n )  <->  A. x  e.  ( X [,] Y
) A  e.  ( m (,) n ) ) )
1471adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  X  e.  RR )
1482adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  Y  e.  RR )
1493adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  X  <_  Y
)
15028adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  Z  e.  RR* )
15119adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  W  e.  RR* )
152 nfcv 2589 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ y A
153 nfcsb1v 3316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ A
154 csbeq1a 3309 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  A  =  [_ y  /  x ]_ A )
155152, 153, 154cbvmpt 4394 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A )  =  ( y  e.  ( X [,] Y
)  |->  [_ y  /  x ]_ A )
156155, 8syl5eqelr 2528 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X [,] Y ) 
|->  [_ y  /  x ]_ A )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> ( Z (,) W ) ) )
157156adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  ( y  e.  ( X [,] Y
)  |->  [_ y  /  x ]_ A )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> ( Z (,) W ) ) )
158 nfcv 2589 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ y B
159 nfcsb1v 3316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ B
160 csbeq1a 3309 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  B  =  [_ y  /  x ]_ B )
161158, 159, 160cbvmpt 4394 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B )  =  ( y  e.  ( X (,) Y
)  |->  [_ y  /  x ]_ B )
162 itgsubst.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  B )  e.  ( ( ( X (,) Y ) -cn-> CC )  i^i  L^1 ) )
163161, 162syl5eqelr 2528 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X (,) Y ) 
|->  [_ y  /  x ]_ B )  e.  ( ( ( X (,) Y ) -cn-> CC )  i^i  L^1 ) )
164163adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  ( y  e.  ( X (,) Y
)  |->  [_ y  /  x ]_ B )  e.  ( ( ( X (,) Y ) -cn-> CC )  i^i  L^1 ) )
165 nfcv 2589 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ v C
166 nfcsb1v 3316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ u [_ v  /  u ]_ C
167 csbeq1a 3309 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  v  ->  C  =  [_ v  /  u ]_ C )
168165, 166, 167cbvmpt 4394 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  ( Z (,) W )  |->  C )  =  ( v  e.  ( Z (,) W
)  |->  [_ v  /  u ]_ C )
169 itgsubst.c . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( Z (,) W ) 
|->  C )  e.  ( ( Z (,) W
) -cn-> CC ) )
170168, 169syl5eqelr 2528 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( Z (,) W ) 
|->  [_ v  /  u ]_ C )  e.  ( ( Z (,) W
) -cn-> CC ) )
171170adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  ( v  e.  ( Z (,) W
)  |->  [_ v  /  u ]_ C )  e.  ( ( Z (,) W
) -cn-> CC ) )
172 itgsubst.da . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B ) )
173155oveq2i 6114 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( RR 
_D  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) )  =  ( RR  _D  ( y  e.  ( X [,] Y ) 
|->  [_ y  /  x ]_ A ) )
174172, 173, 1613eqtr3g 2498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( X [,] Y )  |->  [_ y  /  x ]_ A
) )  =  ( y  e.  ( X (,) Y )  |->  [_ y  /  x ]_ B
) )
175174adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  ( RR  _D  ( y  e.  ( X [,] Y ) 
|->  [_ y  /  x ]_ A ) )  =  ( y  e.  ( X (,) Y ) 
|->  [_ y  /  x ]_ B ) )
176 csbeq1 3303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  [_ y  /  x ]_ A  ->  [_ v  /  u ]_ C  = 
[_ [_ y  /  x ]_ A  /  u ]_ C )
177 csbeq1 3303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  X  ->  [_ y  /  x ]_ A  = 
[_ X  /  x ]_ A )
178 csbeq1 3303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  Y  ->  [_ y  /  x ]_ A  = 
[_ Y  /  x ]_ A )
179 simprll 761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  m  e.  ( Z (,) W ) )
180 simprlr 762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  n  e.  ( Z (,) W ) )
181 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) )
182153nfel1 2604 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x [_ y  /  x ]_ A  e.  (
m (,) n )
183154eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( A  e.  ( m (,) n )  <->  [_ y  /  x ]_ A  e.  ( m (,) n ) ) )
184182, 183rspc 3079 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( X [,] Y )  ->  ( A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n )  ->  [_ y  /  x ]_ A  e.  ( m (,) n
) ) )
185181, 184mpan9 469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y
) A  e.  ( m (,) n ) ) )  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  ->  [_ y  /  x ]_ A  e.  ( m (,) n
) )
186147, 148, 149, 150, 151, 157, 164, 171, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 185itgsubstlem 21532 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  S__ [ [_ X  /  x ]_ A  ->  [_ Y  /  x ]_ A ] [_ v  /  u ]_ C  _d v  =  S__ [ X  ->  Y ] (
[_ [_ y  /  x ]_ A  /  u ]_ C  x.  [_ y  /  x ]_ B )  _d y )
187167, 165, 166cbvditg 21341 . . . . . . . . . . . 12  |-  S__ [ [_ X  /  x ]_ A  ->  [_ Y  /  x ]_ A ] C  _d u  =  S__
[ [_ X  /  x ]_ A  ->  [_ Y  /  x ]_ A ] [_ v  /  u ]_ C  _d v
188 nfcvd 2590 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X  e.  RR  ->  F/_ x K )
189 itgsubst.k . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  X  ->  A  =  K )
190188, 189csbiegf 3324 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  RR  ->  [_ X  /  x ]_ A  =  K )
191 ditgeq1 21335 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( [_ X  /  x ]_ A  =  K  ->  S__ [ [_ X  /  x ]_ A  ->  [_ Y  /  x ]_ A ] C  _d u  =  S__
[ K  ->  [_ Y  /  x ]_ A ] C  _d u )
1921, 190, 1913syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S__ [ [_ X  /  x ]_ A  ->  [_ Y  /  x ]_ A ] C  _d u  =  S__ [ K  ->  [_ Y  /  x ]_ A ] C  _d u )
193 nfcvd 2590 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Y  e.  RR  ->  F/_ x L )
194 itgsubst.l . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  Y  ->  A  =  L )
195193, 194csbiegf 3324 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Y  e.  RR  ->  [_ Y  /  x ]_ A  =  L )
196 ditgeq2 21336 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( [_ Y  /  x ]_ A  =  L  ->  S__ [ K  ->  [_ Y  /  x ]_ A ] C  _d u  =  S__ [ K  ->  L ] C  _d u )
1972, 195, 1963syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S__ [ K  ->  [_ Y  /  x ]_ A ] C  _d u  =  S__ [ K  ->  L ] C  _d u )
198192, 197eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S__ [ [_ X  /  x ]_ A  ->  [_ Y  /  x ]_ A ] C  _d u  =  S__ [ K  ->  L ] C  _d u )
199187, 198syl5eqr 2489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S__ [ [_ X  /  x ]_ A  ->  [_ Y  /  x ]_ A ] [_ v  /  u ]_ C  _d v  =  S__ [ K  ->  L ] C  _d u )
200199adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  S__ [ [_ X  /  x ]_ A  ->  [_ Y  /  x ]_ A ] [_ v  /  u ]_ C  _d v  =  S__ [ K  ->  L ] C  _d u )
201154csbeq1d 3307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  [_ A  /  u ]_ C  = 
[_ [_ y  /  x ]_ A  /  u ]_ C )
202201, 160oveq12d 6121 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( [_ A  /  u ]_ C  x.  B
)  =  ( [_ [_ y  /  x ]_ A  /  u ]_ C  x.  [_ y  /  x ]_ B ) )
203 nfcv 2589 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ y
( [_ A  /  u ]_ C  x.  B
)
204 nfcv 2589 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x C
205153, 204nfcsb 3318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x [_ [_ y  /  x ]_ A  /  u ]_ C
206 nfcv 2589 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x  x.
207205, 206, 159nfov 6126 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( [_ [_ y  /  x ]_ A  /  u ]_ C  x.  [_ y  /  x ]_ B )
208202, 203, 207cbvditg 21341 . . . . . . . . . . . 12  |-  S__ [ X  ->  Y ] (
[_ A  /  u ]_ C  x.  B
)  _d x  =  S__ [ X  ->  Y ] ( [_ [_ y  /  x ]_ A  /  u ]_ C  x.  [_ y  /  x ]_ B
)  _d y
209 ioossicc 11393 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( X (,) Y )  C_  ( X [,] Y )
210209sseli 3364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( X (,) Y )  ->  x  e.  ( X [,] Y
) )
211210, 140sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  A  e.  ( Z (,) W ) )
212 nfcvd 2590 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  ( Z (,) W )  ->  F/_ u E )
213 itgsubst.e . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  A  ->  C  =  E )
214212, 213csbiegf 3324 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( Z (,) W )  ->  [_ A  /  u ]_ C  =  E )
215211, 214syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  [_ A  /  u ]_ C  =  E )
216215oveq1d 6118 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( [_ A  /  u ]_ C  x.  B )  =  ( E  x.  B ) )
217216itgeq2dv 21271 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( [_ A  /  u ]_ C  x.  B )  _d x  =  S. ( X (,) Y ) ( E  x.  B )  _d x )
2183ditgpos 21343 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S__ [ X  ->  Y ] ( [_ A  /  u ]_ C  x.  B )  _d x  =  S. ( X (,) Y ) (
[_ A  /  u ]_ C  x.  B
)  _d x )
2193ditgpos 21343 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S__ [ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x  =  S. ( X (,) Y ) ( E  x.  B )  _d x )
220217, 218, 2193eqtr4d 2485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S__ [ X  ->  Y ] ( [_ A  /  u ]_ C  x.  B )  _d x  =  S__ [ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x )
221208, 220syl5eqr 2489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S__ [ X  ->  Y ] ( [_ [_ y  /  x ]_ A  /  u ]_ C  x.  [_ y  /  x ]_ B
)  _d y  =  S__ [ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x )
222221adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  S__ [ X  ->  Y ] ( [_ [_ y  /  x ]_ A  /  u ]_ C  x.  [_ y  /  x ]_ B )  _d y  =  S__ [ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x )
223186, 200, 2223eqtr3d 2483 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  S__ [ K  ->  L ] C  _d u  =  S__ [ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x )
224223expr 615 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( Z (,) W
)  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  ->  ( A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n )  ->  S__ [ K  ->  L ] C  _d u  =  S__
[ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x ) )
225146, 224sylbid 215 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( Z (,) W
)  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  ->  ( A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  e.  ( m (,) n )  ->  S__ [ K  ->  L ] C  _d u  =  S__ [ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x ) )
226129, 225sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( Z (,) W
)  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  ->  ( A. z  e.  ( X [,] Y ) ( m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  /\  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n )  ->  S__ [ K  ->  L ] C  _d u  =  S__
[ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x ) )
227117, 226syl5bir 218 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( Z (,) W
)  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  ->  (
( A. z  e.  ( X [,] Y
) m  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n )  ->  S__ [ K  ->  L ] C  _d u  =  S__
[ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x ) )
228227rexlimdvva 2860 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  ( Z (,) W
) E. n  e.  ( Z (,) W
) ( A. z  e.  ( X [,] Y
) m  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n )  ->  S__ [ K  ->  L ] C  _d u  =  S__
[ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x ) )
229116, 228syl5bi 217 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( E. n  e.  ( Z (,) W
) A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n  /\  E. m  e.  ( Z (,) W
) A. z  e.  ( X [,] Y
) m  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
) )  ->  S__ [ K  ->  L ] C  _d u  =  S__
[ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x ) )
23065, 113, 229syl2and 483 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( E. y  e.  ( X [,] Y
) A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  /\  E. y  e.  ( X [,] Y ) A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) )  ->  S__ [ K  ->  L ] C  _d u  =  S__ [ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x ) )
23110, 230mpd 15 1  |-  ( ph  ->  S__ [ K  ->  L ] C  _d u  =  S__ [ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2727   E.wrex 2728   [_csb 3300    i^i cin 3339    C_ wss 3340   class class class wbr 4304    e. cmpt 4362   -->wf 5426   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   CCcc 9292   RRcr 9293    x. cmul 9299   RR*cxr 9429    < clt 9430    <_ cle 9431   QQcq 10965   (,)cioo 11312   [,]cicc 11315   -cn->ccncf 20464   L^1cibl 21109   S.citg 21110   S__cdit 21333    _D cdv 21350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-inf2 7859  ax-cc 8616  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372  ax-addf 9373  ax-mulf 9374
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-iin 4186  df-disj 4275  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-se 4692  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-isom 5439  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-of 6332  df-ofr 6333  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-supp 6703  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-2o 6933  df-oadd 6936  df-omul 6937  df-er 7113  df-map 7228  df-pm 7229  df-ixp 7276  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-fsupp 7633  df-fi 7673  df-sup 7703  df-oi 7736  df-card 8121  df-acn 8124  df-cda 8349  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-7 10397  df-8 10398  df-9 10399  df-10 10400  df-n0 10592  df-z 10659  df-dec 10768  df-uz 10874  df-q 10966  df-rp 11004  df-xneg 11101  df-xadd 11102  df-xmul 11103  df-ioo 11316  df-ioc 11317  df-ico 11318  df-icc 11319  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-fl 11654  df-mod 11721  df-seq 11819  df-exp 11878  df-hash 12116  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-limsup 12961  df-clim 12978  df-rlim 12979  df-sum 13176  df-struct 14188  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-starv 14265  df-sca 14266  df-vsca 14267  df-ip 14268  df-tset 14269  df-ple 14270  df-ds 14272  df-unif 14273  df-hom 14274  df-cco 14275  df-rest 14373  df-topn 14374  df-0g 14392  df-gsum 14393  df-topgen 14394  df-pt 14395  df-prds 14398  df-xrs 14452  df-qtop 14457  df-imas 14458  df-xps 14460  df-mre 14536  df-mrc 14537  df-acs 14539  df-mnd 15427  df-submnd 15477  df-mulg 15560  df-cntz 15847  df-cmn 16291  df-psmet 17821  df-xmet 17822  df-met 17823  df-bl 17824  df-mopn 17825  df-fbas 17826  df-fg 17827  df-cnfld 17831  df-top 18515  df-bases 18517  df-topon 18518  df-topsp 18519  df-cld 18635  df-ntr 18636  df-cls 18637  df-nei 18714  df-lp 18752  df-perf 18753  df-cn 18843  df-cnp 18844  df-haus 18931  df-cmp 19002  df-tx 19147  df-hmeo 19340  df-fil 19431  df-fm 19523  df-flim 19524  df-flf 19525  df-xms 19907  df-ms 19908  df-tms 19909  df-cncf 20466  df-ovol 20960  df-vol 20961  df-mbf 21111  df-itg1 21112  df-itg2 21113  df-ibl 21114  df-itg 21115  df-0p 21160  df-ditg 21334  df-limc 21353  df-dv 21354
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