Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgsubst Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem itgsubst 23080
 Description: Integration by -substitution. If is a continuous, differentiable function from to , whose derivative is continuous and integrable, and is a continuous function on , then the integral of from to is equal to the integral of from to . In this part of the proof we discharge the assumptions in itgsubstlem 23079, which use the fact that is open to shrink the interval a little to where - this is possible because is a continuous function on a closed interval, so its range is in fact a closed interval, and we have some wiggle room on the edges. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsubst.x
itgsubst.y
itgsubst.le
itgsubst.z
itgsubst.w
itgsubst.a
itgsubst.b
itgsubst.c
itgsubst.da
itgsubst.e
itgsubst.k
itgsubst.l
Assertion
Ref Expression
itgsubst _ _
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,   ,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   ()   ()

Proof of Theorem itgsubst
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgsubst.x . . 3
2 itgsubst.y . . 3
3 itgsubst.le . . 3
4 ioossre 11721 . . . . 5
5 ax-resscn 9614 . . . . 5
6 cncfss 22009 . . . . 5
74, 5, 6mp2an 686 . . . 4
8 itgsubst.a . . . 4
97, 8sseldi 3416 . . 3
101, 2, 3, 9evthicc 22488 . 2
11 ressxr 9702 . . . . . . . 8
124, 11sstri 3427 . . . . . . 7
13 cncff 22003 . . . . . . . . . 10
148, 13syl 17 . . . . . . . . 9
1514adantr 472 . . . . . . . 8
16 simprl 772 . . . . . . . 8
1715, 16ffvelrnd 6038 . . . . . . 7
1812, 17sseldi 3416 . . . . . 6
19 itgsubst.w . . . . . . 7
2019adantr 472 . . . . . 6
21 eliooord 11719 . . . . . . . 8
2217, 21syl 17 . . . . . . 7
2322simprd 470 . . . . . 6
24 qbtwnxr 11516 . . . . . 6
2518, 20, 23, 24syl3anc 1292 . . . . 5
26 qre 11292 . . . . . . . . . 10
2726ad2antrl 742 . . . . . . . . 9
28 itgsubst.z . . . . . . . . . . 11
2928ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10
3018adantr 472 . . . . . . . . . 10
3127rexrd 9708 . . . . . . . . . 10
3222simpld 466 . . . . . . . . . . 11
3332adantr 472 . . . . . . . . . 10
34 simprrl 782 . . . . . . . . . 10
3529, 30, 31, 33, 34xrlttrd 11479 . . . . . . . . 9
36 simprrr 783 . . . . . . . . 9
3719ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10
38 elioo2 11702 . . . . . . . . . 10
3929, 37, 38syl2anc 673 . . . . . . . . 9
4027, 35, 36, 39mpbir3and 1213 . . . . . . . 8
41 anass 661 . . . . . . . . 9
42 simprrl 782 . . . . . . . . . . . . . 14
4342adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
4414ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4544ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . 15
4612, 45sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . 14
47 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4844, 47ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4912, 48sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . 15
5049adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
5126ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5251adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
5352rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . 14
54 xrlelttr 11476 . . . . . . . . . . . . . 14
5546, 50, 53, 54syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13
5643, 55mpan2d 688 . . . . . . . . . . . 12
5756ralimdva 2805 . . . . . . . . . . 11
5857imp 436 . . . . . . . . . 10
5958an32s 821 . . . . . . . . 9
6041, 59sylanbr 481 . . . . . . . 8
6140, 60jca 541 . . . . . . 7
6261ex 441 . . . . . 6
6362reximdv2 2855 . . . . 5
6425, 63mpd 15 . . . 4
6564rexlimdvaa 2872 . . 3
6628adantr 472 . . . . . 6
6714adantr 472 . . . . . . . 8
68 simprl 772 . . . . . . . 8
6967, 68ffvelrnd 6038 . . . . . . 7
7012, 69sseldi 3416 . . . . . 6
7169, 21syl 17 . . . . . . 7
7271simpld 466 . . . . . 6
73 qbtwnxr 11516 . . . . . 6
7466, 70, 72, 73syl3anc 1292 . . . . 5
75 qre 11292 . . . . . . . . . 10
7675ad2antrl 742 . . . . . . . . 9
77 simprrl 782 . . . . . . . . 9
7876rexrd 9708 . . . . . . . . . 10
7970adantr 472 . . . . . . . . . 10
8019ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10
81 simprrr 783 . . . . . . . . . 10
8271simprd 470 . . . . . . . . . . 11
8382adantr 472 . . . . . . . . . 10
8478, 79, 80, 81, 83xrlttrd 11479 . . . . . . . . 9
8528ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10
86 elioo2 11702 . . . . . . . . . 10
8785, 80, 86syl2anc 673 . . . . . . . . 9
8876, 77, 84, 87mpbir3and 1213 . . . . . . . 8
89 anass 661 . . . . . . . . 9
90 simprrr 783 . . . . . . . . . . . . . 14
9190adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
9275ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9392adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
9493rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . 14
9514ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
96 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9795, 96ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9812, 97sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . 15
9998adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
10095ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . 15
10112, 100sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . 14
102 xrltletr 11477 . . . . . . . . . . . . . 14
10394, 99, 101, 102syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13
10491, 103mpand 689 . . . . . . . . . . . 12
105104ralimdva 2805 . . . . . . . . . . 11
106105imp 436 . . . . . . . . . 10
107106an32s 821 . . . . . . . . 9
10889, 107sylanbr 481 . . . . . . . 8
10988, 108jca 541 . . . . . . 7
110109ex 441 . . . . . 6
111110reximdv2 2855 . . . . 5
11274, 111mpd 15 . . . 4
113112rexlimdvaa 2872 . . 3
114 ancom 457 . . . . 5
115 reeanv 2944 . . . . 5
116114, 115bitr4i 260 . . . 4
117 r19.26 2904 . . . . . 6
11814adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
119118ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . 11
1204, 119sseldi 3416 . . . . . . . . . 10
1211203biant1d 1406 . . . . . . . . 9
122 simplrl 778 . . . . . . . . . . 11
12312, 122sseldi 3416 . . . . . . . . . 10
124 simplrr 779 . . . . . . . . . . 11
12512, 124sseldi 3416 . . . . . . . . . 10
126 elioo2 11702 . . . . . . . . . 10
127123, 125, 126syl2anc 673 . . . . . . . . 9
128121, 127bitr4d 264 . . . . . . . 8
129128ralbidva 2828 . . . . . . 7
130 nffvmpt1 5887 . . . . . . . . . . . 12
131130nfel1 2626 . . . . . . . . . . 11
132 nfv 1769 . . . . . . . . . . 11
133 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12
134133eleq1d 2533 . . . . . . . . . . 11
135131, 132, 134cbvral 3001 . . . . . . . . . 10
136 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13
137 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16
138137fmpt 6058 . . . . . . . . . . . . . . 15
13914, 138sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . 14
140139r19.21bi 2776 . . . . . . . . . . . . 13
141137fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . 13
142136, 140, 141syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12
143142eleq1d 2533 . . . . . . . . . . 11
144143ralbidva 2828 . . . . . . . . . 10
145135, 144syl5bb 265 . . . . . . . . 9
146145adantr 472 . . . . . . . 8
1471adantr 472 . . . . . . . . . . 11
1482adantr 472 . . . . . . . . . . 11
1493adantr 472 . . . . . . . . . . 11
15028adantr 472 . . . . . . . . . . 11
15119adantr 472 . . . . . . . . . . 11
152 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . 14
153 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . . . . . 14
154 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . . . . 14
155152, 153, 154cbvmpt 4487 . . . . . . . . . . . . 13
156155, 8syl5eqelr 2554 . . . . . . . . . . . 12
157156adantr 472 . . . . . . . . . . 11
158 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . 14
159 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . . . . . 14
160 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . . . . 14
161158, 159, 160cbvmpt 4487 . . . . . . . . . . . . 13
162 itgsubst.b . . . . . . . . . . . . 13
163161, 162syl5eqelr 2554 . . . . . . . . . . . 12
164163adantr 472 . . . . . . . . . . 11
165 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . 14
166 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . . . . . 14
167 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . . . . 14
168165, 166, 167cbvmpt 4487 . . . . . . . . . . . . 13
169 itgsubst.c . . . . . . . . . . . . 13
170168, 169syl5eqelr 2554 . . . . . . . . . . . 12
171170adantr 472 . . . . . . . . . . 11
172 itgsubst.da . . . . . . . . . . . . 13
173155oveq2i 6319 . . . . . . . . . . . . 13
174172, 173, 1613eqtr3g 2528 . . . . . . . . . . . 12
175174adantr 472 . . . . . . . . . . 11
176 csbeq1 3352 . . . . . . . . . . 11
177 csbeq1 3352 . . . . . . . . . . 11
178 csbeq1 3352 . . . . . . . . . . 11
179 simprll 780 . . . . . . . . . . 11
180 simprlr 781 . . . . . . . . . . 11
181 simprr 774 . . . . . . . . . . . 12
182153nfel1 2626 . . . . . . . . . . . . 13
183154eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . 13
184182, 183rspc 3130 . . . . . . . . . . . 12
185181, 184mpan9 477 . . . . . . . . . . 11
186147, 148, 149, 150, 151, 157, 164, 171, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 185itgsubstlem 23079 . . . . . . . . . 10 _ _
187167, 165, 166cbvditg 22888 . . . . . . . . . . . 12 _ _
188 nfcvd 2613 . . . . . . . . . . . . . . 15
189 itgsubst.k . . . . . . . . . . . . . . 15
190188, 189csbiegf 3373 . . . . . . . . . . . . . 14
191 ditgeq1 22882 . . . . . . . . . . . . . 14 _ _
1921, 190, 1913syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 _ _
193 nfcvd 2613 . . . . . . . . . . . . . . 15
194 itgsubst.l . . . . . . . . . . . . . . 15
195193, 194csbiegf 3373 . . . . . . . . . . . . . 14
196 ditgeq2 22883 . . . . . . . . . . . . . 14 _ _
1972, 195, 1963syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 _ _
198192, 197eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . 12 _ _
199187, 198syl5eqr 2519 . . . . . . . . . . 11 _ _
200199adantr 472 . . . . . . . . . 10 _ _
201154csbeq1d 3356 . . . . . . . . . . . . . 14
202201, 160oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . 13
203 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . 13
204 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . 15
205153, 204nfcsb 3367 . . . . . . . . . . . . . 14
206 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . 14
207205, 206, 159nfov 6334 . . . . . . . . . . . . 13
208202, 203, 207cbvditg 22888 . . . . . . . . . . . 12 _ _
209 ioossicc 11745 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
210209sseli 3414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
211210, 140sylan2 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16
212 nfcvd 2613 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
213 itgsubst.e . . . . . . . . . . . . . . . . 17
214212, 213csbiegf 3373 . . . . . . . . . . . . . . . 16
215211, 214syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
216215oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . 14
217216itgeq2dv 22818 . . . . . . . . . . . . 13
2183ditgpos 22890 . . . . . . . . . . . . 13 _
2193ditgpos 22890 . . . . . . . . . . . . 13 _
220217, 218, 2193eqtr4d 2515 . . . . . . . . . . . 12 _ _
221208, 220syl5eqr 2519 . . . . . . . . . . 11 _ _
222221adantr 472 . . . . . . . . . 10 _ _
223186, 200, 2223eqtr3d 2513 . . . . . . . . 9 _ _
224223expr 626 . . . . . . . 8 _ _
225146, 224sylbid 223 . . . . . . 7 _ _
226129, 225sylbid 223 . . . . . 6 _ _
227117, 226syl5bir 226 . . . . 5 _ _
228227rexlimdvva 2878 . . . 4 _ _
229116, 228syl5bi 225 . . 3 _ _
23065, 113, 229syl2and 491 . 2 _ _
23110, 230mpd 15 1 _ _
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  wrex 2757  csb 3349   cin 3389   wss 3390   class class class wbr 4395   cmpt 4454  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cc 9555  cr 9556   cmul 9562  cxr 9692   clt 9693   cle 9694  cq 11287  cioo 11660  cicc 11663  ccncf 21986  cibl 22654  citg 22655  _cdit 22880   cdv 22897 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-mbf 22656  df-itg1 22657  df-itg2 22658  df-ibl 22659  df-itg 22660  df-0p 22707  df-ditg 22881  df-limc 22900  df-dv 22901 This theorem is referenced by:  itgsubsticclem  37949
 Copyright terms: Public domain W3C validator