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Theorem itgsubst 21480
Description: Integration by u-substitution. If A ( x ) is a continuous, differentiable function from [ X , Y ] to ( Z , W ), whose derivative is continuous and integrable, and C ( u ) is a continuous function on ( Z , W ), then the integral of C ( u ) from K = A ( X ) to L = A ( Y ) is equal to the integral of C ( A ( x ) ) _D A ( x ) from X to Y. In this part of the proof we discharge the assumptions in itgsubstlem 21479, which use the fact that ( Z , W ) is open to shrink the interval a little to ( M , N ) where Z < M < N < W- this is possible because A ( x ) is a continuous function on a closed interval, so its range is in fact a closed interval, and we have some wiggle room on the edges. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsubst.x |- ( ph -> X e. RR )
itgsubst.y |- ( ph -> Y e. RR )
itgsubst.le |- ( ph -> X <_ Y )
itgsubst.z |- ( ph -> Z e. RR* )
itgsubst.w |- ( ph -> W e. RR* )
itgsubst.a |- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> ( Z (,) W ) ) )
itgsubst.b |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) e. ( ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) i^i L^1 ) )
itgsubst.c |- ( ph -> ( u e. ( Z (,) W ) |-> C ) e. ( ( Z (,) W ) -cn-> CC ) )
itgsubst.da |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) )
itgsubst.e |- ( u = A -> C = E )
itgsubst.k |- ( x = X -> A = K )
itgsubst.l |- ( x = Y -> A = L )
Assertion
Ref Expression
itgsubst |- ( ph -> S__ [ K -> L ] C _d u = S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x )
Distinct variable groups:   u, E   x, u, K   ph, u, x   u, X, x   u, Y, x   u, A   x, C   u, W, x   u, L, x   u, Z, x
Allowed substitution hints:   A( x)   B( x, u)   C( u)   E( x)
Proof of Theorem itgsubst
Dummy variables m n y z v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgsubst.x . . 3 |- ( ph -> X e. RR )
2 itgsubst.y . . 3 |- ( ph -> Y e. RR )
3 itgsubst.le . . 3 |- ( ph -> X <_ Y )
4 ioossre 11353 . . . . 5 |- ( Z (,) W ) C_ RR
5 ax-resscn 9335 . . . . 5 |- RR C_ CC
6 cncfss 20434 . . . . 5 |- ( ( ( Z (,) W ) C_ RR /\ RR C_ CC ) -> ( ( X [,] Y ) -cn-> ( Z (,) W ) ) C_ ( ( X [,] Y ) -cn-> RR ) )
74, 5, 6mp2an 667 . . . 4 |- ( ( X [,] Y ) -cn-> ( Z (,) W ) ) C_ ( ( X [,] Y ) -cn-> RR )
8 itgsubst.a . . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> ( Z (,) W ) ) )
97, 8sseldi 3351 . . 3 |- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> RR ) )
101, 2, 3, 9evthicc 20902 . 2 |- ( ph -> ( E. y e. ( X [,] Y ) A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) /\ E. y e. ( X [,] Y ) A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) )
11 ressxr 9423 . . . . . . . 8 |- RR C_ RR*
124, 11sstri 3362 . . . . . . 7 |- ( Z (,) W ) C_ RR*
13 cncff 20428 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> ( Z (,) W ) ) -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W ) )
148, 13syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W ) )
1514adantr 462 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W ) )
16 simprl 750 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) -> y e. ( X [,] Y ) )
1715, 16ffvelrnd 5841 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. ( Z (,) W ) )
1812, 17sseldi 3351 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. RR* )
19 itgsubst.w . . . . . . 7 |- ( ph -> W e. RR* )
2019adantr 462 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) -> W e. RR* )
21 eliooord 11351 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. ( Z (,) W ) -> ( Z < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < W ) )
2217, 21syl 16 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) -> ( Z < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < W ) )
2322simprd 460 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < W )
24 qbtwnxr 11166 . . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. RR* /\ W e. RR* /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < W ) -> E. n e. QQ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) )
2518, 20, 23, 24syl3anc 1213 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) -> E. n e. QQ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) )
26 qre 10954 . . . . . . . . . 10 |- ( n e. QQ -> n e. RR )
2726ad2antrl 722 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> n e. RR )
28 itgsubst.z . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Z e. RR* )
2928ad2antrr 720 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> Z e. RR* )
3018adantr 462 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. RR* )
3127rexrd 9429 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> n e. RR* )
3222simpld 456 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) -> Z < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) )
3332adantr 462 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> Z < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) )
34 simprrl 758 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n )
3529, 30, 31, 33, 34xrlttrd 11129 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> Z < n )
36 simprrr 759 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> n < W )
3719ad2antrr 720 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> W e. RR* )
38 elioo2 11337 . . . . . . . . . 10 |- ( ( Z e. RR* /\ W e. RR* ) -> ( n e. ( Z (,) W ) <-> ( n e. RR /\ Z < n /\ n < W ) ) )
3929, 37, 38syl2anc 656 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> ( n e. ( Z (,) W ) <-> ( n e. RR /\ Z < n /\ n < W ) ) )
4027, 35, 36, 39mpbir3and 1166 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> n e. ( Z (,) W ) )
41 anass 644 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) <-> ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) )
42 simprrl 758 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n )
4342adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n )
4414ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W ) )
4544ffvelrnda 5840 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. ( Z (,) W ) )
4612, 45sseldi 3351 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. RR* )
47 simplr 749 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> y e. ( X [,] Y ) )
4844, 47ffvelrnd 5841 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. ( Z (,) W ) )
4912, 48sseldi 3351 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. RR* )
5049adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. RR* )
5126ad2antrl 722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> n e. RR )
5251adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> n e. RR )
5352rexrd 9429 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> n e. RR* )
54 xrlelttr 11126 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. RR* /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. RR* /\ n e. RR* ) -> ( ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) )
5546, 50, 53, 54syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) )
5643, 55mpan2d 669 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) )
5756ralimdva 2792 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> ( A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) -> A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) )
5857imp 429 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) -> A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n )
5958an32s 797 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n )
6041, 59sylanbr 470 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n )
6140, 60jca 529 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> ( n e. ( Z (,) W ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) )
6261ex 434 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) -> ( ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) -> ( n e. ( Z (,) W ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) ) )
6362reximdv2 2823 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) -> ( E. n e. QQ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) -> E. n e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) )
6425, 63mpd 15 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) -> E. n e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n )
6564rexlimdvaa 2840 . . 3 |- ( ph -> ( E. y e. ( X [,] Y ) A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) -> E. n e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) )
6628adantr 462 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) -> Z e. RR* )
6714adantr 462 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W ) )
68 simprl 750 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) -> y e. ( X [,] Y ) )
6967, 68ffvelrnd 5841 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. ( Z (,) W ) )
7012, 69sseldi 3351 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. RR* )
7169, 21syl 16 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) -> ( Z < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < W ) )
7271simpld 456 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) -> Z < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) )
73 qbtwnxr 11166 . . . . . 6 |- ( ( Z e. RR* /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. RR* /\ Z < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) -> E. m e. QQ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) )
7466, 70, 72, 73syl3anc 1213 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) -> E. m e. QQ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) )
75 qre 10954 . . . . . . . . . 10 |- ( m e. QQ -> m e. RR )
7675ad2antrl 722 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> m e. RR )
77 simprrl 758 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> Z < m )
7876rexrd 9429 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> m e. RR* )
7970adantr 462 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. RR* )
8019ad2antrr 720 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> W e. RR* )
81 simprrr 759 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) )
8271simprd 460 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < W )
8382adantr 462 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < W )
8478, 79, 80, 81, 83xrlttrd 11129 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> m < W )
8528ad2antrr 720 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> Z e. RR* )
86 elioo2 11337 . . . . . . . . . 10 |- ( ( Z e. RR* /\ W e. RR* ) -> ( m e. ( Z (,) W ) <-> ( m e. RR /\ Z < m /\ m < W ) ) )
8785, 80, 86syl2anc 656 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> ( m e. ( Z (,) W ) <-> ( m e. RR /\ Z < m /\ m < W ) ) )
8876, 77, 84, 87mpbir3and 1166 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> m e. ( Z (,) W ) )
89 anass 644 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) <-> ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) )
90 simprrr 759 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) )
9190adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) )
9275ad2antrl 722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> m e. RR )
9392adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> m e. RR )
9493rexrd 9429 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> m e. RR* )
9514ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W ) )
96 simplr 749 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> y e. ( X [,] Y ) )
9795, 96ffvelrnd 5841 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. ( Z (,) W ) )
9812, 97sseldi 3351 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. RR* )
9998adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. RR* )
10095ffvelrnda 5840 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. ( Z (,) W ) )
10112, 100sseldi 3351 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. RR* )
102 xrltletr 11127 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m e. RR* /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. RR* /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. RR* ) -> ( ( m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) -> m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) )
10394, 99, 101, 102syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) -> m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) )
10491, 103mpand 670 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) -> m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) )
105104ralimdva 2792 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> ( A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) -> A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) )
106105imp 429 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) -> A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) )
107106an32s 797 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) )
10889, 107sylanbr 470 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) )
10988, 108jca 529 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> ( m e. ( Z (,) W ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) )
110109ex 434 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) -> ( ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) -> ( m e. ( Z (,) W ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) )
111110reximdv2 2823 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) -> ( E. m e. QQ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) -> E. m e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) )
11274, 111mpd 15 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) -> E. m e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) )
113112rexlimdvaa 2840 . . 3 |- ( ph -> ( E. y e. ( X [,] Y ) A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) -> E. m e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) )
114 ancom 448 . . . . 5 |- ( ( E. n e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n /\ E. m e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) <-> ( E. m e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ E. n e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) )
115 reeanv 2886 . . . . 5 |- ( E. m e. ( Z (,) W ) E. n e. ( Z (,) W ) ( A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) <-> ( E. m e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ E. n e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) )
116114, 115bitr4i 252 . . . 4 |- ( ( E. n e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n /\ E. m e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) <-> E. m e. ( Z (,) W ) E. n e. ( Z (,) W ) ( A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) )
117 r19.26 2847 . . . . . 6 |- ( A. z e. ( X [,] Y ) ( m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) <-> ( A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) )
11814adantr 462 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W ) )
119118ffvelrnda 5840 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. ( Z (,) W ) )
1204, 119sseldi 3351 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. RR )
1211203biant1d 1322 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) <-> ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. RR /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) ) )
122 simplrl 754 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> m e. ( Z (,) W ) )
12312, 122sseldi 3351 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> m e. RR* )
124 simplrr 755 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> n e. ( Z (,) W ) )
12512, 124sseldi 3351 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> n e. RR* )
126 elioo2 11337 . . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. RR* /\ n e. RR* ) -> ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. ( m (,) n ) <-> ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. RR /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) ) )
127123, 125, 126syl2anc 656 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. ( m (,) n ) <-> ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. RR /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) ) )
128121, 127bitr4d 256 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) <-> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. ( m (,) n ) ) )
129128ralbidva 2729 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) -> ( A. z e. ( X [,] Y ) ( m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) <-> A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. ( m (,) n ) ) )
130 nffvmpt1 5696 . . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z )
131130nfel1 2587 . . . . . . . . . . 11 |- F/ x ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. ( m (,) n )
132 nfv 1678 . . . . . . . . . . 11 |- F/ z ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` x ) e. ( m (,) n )
133 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = x -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) = ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` x ) )
134133eleq1d 2507 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = x -> ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. ( m (,) n ) <-> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` x ) e. ( m (,) n ) ) )
135131, 132, 134cbvral 2941 . . . . . . . . . 10 |- ( A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. ( m (,) n ) <-> A. x e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` x ) e. ( m (,) n ) )
136 simpr 458 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( X [,] Y ) ) -> x e. ( X [,] Y ) )
137 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) = ( x e. ( X [,] Y ) |-> A )
138137fmpt 5861 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( Z (,) W ) <-> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W ) )
13914, 138sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( Z (,) W ) )
140139r19.21bi 2812 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( X [,] Y ) ) -> A e. ( Z (,) W ) )
141137fvmpt2 5778 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ( X [,] Y ) /\ A e. ( Z (,) W ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` x ) = A )
142136, 140, 141syl2anc 656 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` x ) = A )
143142eleq1d 2507 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` x ) e. ( m (,) n ) <-> A e. ( m (,) n ) ) )
144143ralbidva 2729 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A. x e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` x ) e. ( m (,) n ) <-> A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) )
145135, 144syl5bb 257 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. ( m (,) n ) <-> A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) )
146145adantr 462 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) -> ( A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. ( m (,) n ) <-> A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) )
1471adantr 462 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> X e. RR )
1482adantr 462 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> Y e. RR )
1493adantr 462 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> X <_ Y )
15028adantr 462 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> Z e. RR* )
15119adantr 462 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> W e. RR* )
152 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ y A
153 nfcsb1v 3301 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x [_ y / x ]_ A
154 csbeq1a 3294 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> A = [_ y / x ]_ A )
155152, 153, 154cbvmpt 4379 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) = ( y e. ( X [,] Y ) |-> [_ y / x ]_ A )
156155, 8syl5eqelr 2526 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( y e. ( X [,] Y ) |-> [_ y / x ]_ A ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> ( Z (,) W ) ) )
157156adantr 462 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> ( y e. ( X [,] Y ) |-> [_ y / x ]_ A ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> ( Z (,) W ) ) )
158 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ y B
159 nfcsb1v 3301 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x [_ y / x ]_ B
160 csbeq1a 3294 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> B = [_ y / x ]_ B )
161158, 159, 160cbvmpt 4379 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) = ( y e. ( X (,) Y ) |-> [_ y / x ]_ B )
162 itgsubst.b . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) e. ( ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) i^i L^1 ) )
163161, 162syl5eqelr 2526 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( y e. ( X (,) Y ) |-> [_ y / x ]_ B ) e. ( ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) i^i L^1 ) )
164163adantr 462 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> ( y e. ( X (,) Y ) |-> [_ y / x ]_ B ) e. ( ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) i^i L^1 ) )
165 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ v C
166 nfcsb1v 3301 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ u [_ v / u ]_ C
167 csbeq1a 3294 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = v -> C = [_ v / u ]_ C )
168165, 166, 167cbvmpt 4379 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. ( Z (,) W ) |-> C ) = ( v e. ( Z (,) W ) |-> [_ v / u ]_ C )
169 itgsubst.c . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( u e. ( Z (,) W ) |-> C ) e. ( ( Z (,) W ) -cn-> CC ) )
170168, 169syl5eqelr 2526 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( v e. ( Z (,) W ) |-> [_ v / u ]_ C ) e. ( ( Z (,) W ) -cn-> CC ) )
171170adantr 462 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> ( v e. ( Z (,) W ) |-> [_ v / u ]_ C ) e. ( ( Z (,) W ) -cn-> CC ) )
172 itgsubst.da . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) )
173155oveq2i 6101 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ) = ( RR _D ( y e. ( X [,] Y ) |-> [_ y / x ]_ A ) )
174172, 173, 1613eqtr3g 2496 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. ( X [,] Y ) |-> [_ y / x ]_ A ) ) = ( y e. ( X (,) Y ) |-> [_ y / x ]_ B ) )
175174adantr 462 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> ( RR _D ( y e. ( X [,] Y ) |-> [_ y / x ]_ A ) ) = ( y e. ( X (,) Y ) |-> [_ y / x ]_ B ) )
176 csbeq1 3288 . . . . . . . . . . 11 |- ( v = [_ y / x ]_ A -> [_ v / u ]_ C = [_ [_ y / x ]_ A / u ]_ C )
177 csbeq1 3288 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = X -> [_ y / x ]_ A = [_ X / x ]_ A )
178 csbeq1 3288 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = Y -> [_ y / x ]_ A = [_ Y / x ]_ A )
179 simprll 756 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> m e. ( Z (,) W ) )
180 simprlr 757 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> n e. ( Z (,) W ) )
181 simprr 751 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) )
182153nfel1 2587 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x [_ y / x ]_ A e. ( m (,) n )
183154eleq1d 2507 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( A e. ( m (,) n ) <-> [_ y / x ]_ A e. ( m (,) n ) ) )
184182, 183rspc 3064 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( X [,] Y ) -> ( A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) -> [_ y / x ]_ A e. ( m (,) n ) ) )
185181, 184mpan9 466 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) /\ y e. ( X [,] Y ) ) -> [_ y / x ]_ A e. ( m (,) n ) )
186147, 148, 149, 150, 151, 157, 164, 171, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 185itgsubstlem 21479 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> S__ [ [_ X / x ]_ A -> [_ Y / x ]_ A ] [_ v / u ]_ C _d v = S__ [ X -> Y ] ( [_ [_ y / x ]_ A / u ]_ C x. [_ y / x ]_ B ) _d y )
187167, 165, 166cbvditg 21288 . . . . . . . . . . . 12 |- S__ [ [_ X / x ]_ A -> [_ Y / x ]_ A ] C _d u = S__ [ [_ X / x ]_ A -> [_ Y / x ]_ A ] [_ v / u ]_ C _d v
188 nfcvd 2578 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. RR -> F/_ x K )
189 itgsubst.k . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = X -> A = K )
190188, 189csbiegf 3309 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. RR -> [_ X / x ]_ A = K )
191 ditgeq1 21282 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( [_ X / x ]_ A = K -> S__ [ [_ X / x ]_ A -> [_ Y / x ]_ A ] C _d u = S__ [ K -> [_ Y / x ]_ A ] C _d u )
1921, 190, 1913syl 20 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S__ [ [_ X / x ]_ A -> [_ Y / x ]_ A ] C _d u = S__ [ K -> [_ Y / x ]_ A ] C _d u )
193 nfcvd 2578 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Y e. RR -> F/_ x L )
194 itgsubst.l . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = Y -> A = L )
195193, 194csbiegf 3309 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Y e. RR -> [_ Y / x ]_ A = L )
196 ditgeq2 21283 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( [_ Y / x ]_ A = L -> S__ [ K -> [_ Y / x ]_ A ] C _d u = S__ [ K -> L ] C _d u )
1972, 195, 1963syl 20 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S__ [ K -> [_ Y / x ]_ A ] C _d u = S__ [ K -> L ] C _d u )
198192, 197eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> S__ [ [_ X / x ]_ A -> [_ Y / x ]_ A ] C _d u = S__ [ K -> L ] C _d u )
199187, 198syl5eqr 2487 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S__ [ [_ X / x ]_ A -> [_ Y / x ]_ A ] [_ v / u ]_ C _d v = S__ [ K -> L ] C _d u )
200199adantr 462 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> S__ [ [_ X / x ]_ A -> [_ Y / x ]_ A ] [_ v / u ]_ C _d v = S__ [ K -> L ] C _d u )
201154csbeq1d 3292 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> [_ A / u ]_ C = [_ [_ y / x ]_ A / u ]_ C )
202201, 160oveq12d 6108 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( [_ A / u ]_ C x. B ) = ( [_ [_ y / x ]_ A / u ]_ C x. [_ y / x ]_ B ) )
203 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ y ( [_ A / u ]_ C x. B )
204 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x C
205153, 204nfcsb 3303 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x [_ [_ y / x ]_ A / u ]_ C
206 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x x.
207205, 206, 159nfov 6113 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x ( [_ [_ y / x ]_ A / u ]_ C x. [_ y / x ]_ B )
208202, 203, 207cbvditg 21288 . . . . . . . . . . . 12 |- S__ [ X -> Y ] ( [_ A / u ]_ C x. B ) _d x = S__ [ X -> Y ] ( [_ [_ y / x ]_ A / u ]_ C x. [_ y / x ]_ B ) _d y
209 ioossicc 11377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( X (,) Y ) C_ ( X [,] Y )
210209sseli 3349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( X (,) Y ) -> x e. ( X [,] Y ) )
211210, 140sylan2 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> A e. ( Z (,) W ) )
212 nfcvd 2578 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. ( Z (,) W ) -> F/_ u E )
213 itgsubst.e . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u = A -> C = E )
214212, 213csbiegf 3309 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ( Z (,) W ) -> [_ A / u ]_ C = E )
215211, 214syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> [_ A / u ]_ C = E )
216215oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> ( [_ A / u ]_ C x. B ) = ( E x. B ) )
217216itgeq2dv 21218 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( [_ A / u ]_ C x. B ) _d x = S. ( X (,) Y ) ( E x. B ) _d x )
2183ditgpos 21290 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S__ [ X -> Y ] ( [_ A / u ]_ C x. B ) _d x = S. ( X (,) Y ) ( [_ A / u ]_ C x. B ) _d x )
2193ditgpos 21290 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x = S. ( X (,) Y ) ( E x. B ) _d x )
220217, 218, 2193eqtr4d 2483 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> S__ [ X -> Y ] ( [_ A / u ]_ C x. B ) _d x = S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x )
221208, 220syl5eqr 2487 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S__ [ X -> Y ] ( [_ [_ y / x ]_ A / u ]_ C x. [_ y / x ]_ B ) _d y = S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x )
222221adantr 462 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> S__ [ X -> Y ] ( [_ [_ y / x ]_ A / u ]_ C x. [_ y / x ]_ B ) _d y = S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x )
223186, 200, 2223eqtr3d 2481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> S__ [ K -> L ] C _d u = S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x )
224223expr 612 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) -> ( A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) -> S__ [ K -> L ] C _d u = S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x ) )
225146, 224sylbid 215 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) -> ( A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. ( m (,) n ) -> S__ [ K -> L ] C _d u = S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x ) )
226129, 225sylbid 215 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) -> ( A. z e. ( X [,] Y ) ( m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) -> S__ [ K -> L ] C _d u = S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x ) )
227117, 226syl5bir 218 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) -> ( ( A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) -> S__ [ K -> L ] C _d u = S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x ) )
228227rexlimdvva 2846 . . . 4 |- ( ph -> ( E. m e. ( Z (,) W ) E. n e. ( Z (,) W ) ( A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) -> S__ [ K -> L ] C _d u = S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x ) )
229116, 228syl5bi 217 . . 3 |- ( ph -> ( ( E. n e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n /\ E. m e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) -> S__ [ K -> L ] C _d u = S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x ) )
23065, 113, 229syl2and 480 . 2 |- ( ph -> ( ( E. y e. ( X [,] Y ) A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) /\ E. y e. ( X [,] Y ) A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) -> S__ [ K -> L ] C _d u = S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x ) )
23110, 230mpd 15 1 |- ( ph -> S__ [ K -> L ] C _d u = S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 960   = wceq 1364   e. wcel 1761   A.wral 2713   E.wrex 2714   [_csb 3285   i^i cin 3324   C_ wss 3325   class class class wbr 4289   e. cmpt 4347   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   x. cmul 9283   RR*cxr 9413   < clt 9414   <_ cle 9415   QQcq 10949   (,)cioo 11296   [,]cicc 11299   -cn->ccncf 20411   L^1cibl 21056   S.citg 21057   S__cdit 21280   _D cdv 21297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cc 8600  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-disj 4260  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-ofr 6320  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-omul 6921  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-acn 8108  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-cnfld 17778  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-nei 18661  df-lp 18699  df-perf 18700  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-haus 18878  df-cmp 18949  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-fil 19378  df-fm 19470  df-flim 19471  df-flf 19472  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856  df-cncf 20413  df-ovol 20907  df-vol 20908  df-mbf 21058  df-itg1 21059  df-itg2 21060  df-ibl 21061  df-itg 21062  df-0p 21107  df-ditg 21281  df-limc 21300  df-dv 21301
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