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Theorem itgsubst 22994
Description: Integration by u-substitution. If A ( x ) is a continuous, differentiable function from [ X , Y ] to ( Z , W ), whose derivative is continuous and integrable, and C ( u ) is a continuous function on ( Z , W ), then the integral of C ( u ) from K = A ( X ) to L = A ( Y ) is equal to the integral of C ( A ( x ) ) _D A ( x ) from X to Y. In this part of the proof we discharge the assumptions in itgsubstlem 22993, which use the fact that ( Z , W ) is open to shrink the interval a little to ( M , N ) where Z < M < N < W- this is possible because A ( x ) is a continuous function on a closed interval, so its range is in fact a closed interval, and we have some wiggle room on the edges. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsubst.x |- ( ph -> X e. RR )
itgsubst.y |- ( ph -> Y e. RR )
itgsubst.le |- ( ph -> X <_ Y )
itgsubst.z |- ( ph -> Z e. RR* )
itgsubst.w |- ( ph -> W e. RR* )
itgsubst.a |- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> ( Z (,) W ) ) )
itgsubst.b |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) e. ( ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) i^i L^1 ) )
itgsubst.c |- ( ph -> ( u e. ( Z (,) W ) |-> C ) e. ( ( Z (,) W ) -cn-> CC ) )
itgsubst.da |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) )
itgsubst.e |- ( u = A -> C = E )
itgsubst.k |- ( x = X -> A = K )
itgsubst.l |- ( x = Y -> A = L )
Assertion
Ref Expression
itgsubst |- ( ph -> S__ [ K -> L ] C _d u = S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x )
Distinct variable groups:   u, E   x, u, K   ph, u, x   u, X, x   u, Y, x   u, A   x, C   u, W, x   u, L, x   u, Z, x
Allowed substitution hints:   A( x)   B( x, u)   C( u)   E( x)
Proof of Theorem itgsubst
Dummy variables m n y z v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgsubst.x . . 3 |- ( ph -> X e. RR )
2 itgsubst.y . . 3 |- ( ph -> Y e. RR )
3 itgsubst.le . . 3 |- ( ph -> X <_ Y )
4 ioossre 11693 . . . . 5 |- ( Z (,) W ) C_ RR
5 ax-resscn 9593 . . . . 5 |- RR C_ CC
6 cncfss 21924 . . . . 5 |- ( ( ( Z (,) W ) C_ RR /\ RR C_ CC ) -> ( ( X [,] Y ) -cn-> ( Z (,) W ) ) C_ ( ( X [,] Y ) -cn-> RR ) )
74, 5, 6mp2an 677 . . . 4 |- ( ( X [,] Y ) -cn-> ( Z (,) W ) ) C_ ( ( X [,] Y ) -cn-> RR )
8 itgsubst.a . . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> ( Z (,) W ) ) )
97, 8sseldi 3429 . . 3 |- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> RR ) )
101, 2, 3, 9evthicc 22403 . 2 |- ( ph -> ( E. y e. ( X [,] Y ) A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) /\ E. y e. ( X [,] Y ) A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) )
11 ressxr 9681 . . . . . . . 8 |- RR C_ RR*
124, 11sstri 3440 . . . . . . 7 |- ( Z (,) W ) C_ RR*
13 cncff 21918 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> ( Z (,) W ) ) -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W ) )
148, 13syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W ) )
1514adantr 467 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W ) )
16 simprl 763 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) -> y e. ( X [,] Y ) )
1715, 16ffvelrnd 6021 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. ( Z (,) W ) )
1812, 17sseldi 3429 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. RR* )
19 itgsubst.w . . . . . . 7 |- ( ph -> W e. RR* )
2019adantr 467 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) -> W e. RR* )
21 eliooord 11691 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. ( Z (,) W ) -> ( Z < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < W ) )
2217, 21syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) -> ( Z < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < W ) )
2322simprd 465 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < W )
24 qbtwnxr 11490 . . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. RR* /\ W e. RR* /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < W ) -> E. n e. QQ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) )
2518, 20, 23, 24syl3anc 1267 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) -> E. n e. QQ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) )
26 qre 11266 . . . . . . . . . 10 |- ( n e. QQ -> n e. RR )
2726ad2antrl 733 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> n e. RR )
28 itgsubst.z . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Z e. RR* )
2928ad2antrr 731 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> Z e. RR* )
3018adantr 467 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. RR* )
3127rexrd 9687 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> n e. RR* )
3222simpld 461 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) -> Z < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) )
3332adantr 467 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> Z < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) )
34 simprrl 773 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n )
3529, 30, 31, 33, 34xrlttrd 11453 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> Z < n )
36 simprrr 774 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> n < W )
3719ad2antrr 731 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> W e. RR* )
38 elioo2 11674 . . . . . . . . . 10 |- ( ( Z e. RR* /\ W e. RR* ) -> ( n e. ( Z (,) W ) <-> ( n e. RR /\ Z < n /\ n < W ) ) )
3929, 37, 38syl2anc 666 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> ( n e. ( Z (,) W ) <-> ( n e. RR /\ Z < n /\ n < W ) ) )
4027, 35, 36, 39mpbir3and 1190 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> n e. ( Z (,) W ) )
41 anass 654 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) <-> ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) )
42 simprrl 773 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n )
4342adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n )
4414ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W ) )
4544ffvelrnda 6020 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. ( Z (,) W ) )
4612, 45sseldi 3429 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. RR* )
47 simplr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> y e. ( X [,] Y ) )
4844, 47ffvelrnd 6021 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. ( Z (,) W ) )
4912, 48sseldi 3429 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. RR* )
5049adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. RR* )
5126ad2antrl 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> n e. RR )
5251adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> n e. RR )
5352rexrd 9687 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> n e. RR* )
54 xrlelttr 11450 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. RR* /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. RR* /\ n e. RR* ) -> ( ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) )
5546, 50, 53, 54syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) )
5643, 55mpan2d 679 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) )
5756ralimdva 2795 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> ( A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) -> A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) )
5857imp 431 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) -> A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n )
5958an32s 812 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n )
6041, 59sylanbr 476 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n )
6140, 60jca 535 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> ( n e. ( Z (,) W ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) )
6261ex 436 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) -> ( ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) -> ( n e. ( Z (,) W ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) ) )
6362reximdv2 2857 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) -> ( E. n e. QQ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) -> E. n e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) )
6425, 63mpd 15 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) -> E. n e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n )
6564rexlimdvaa 2879 . . 3 |- ( ph -> ( E. y e. ( X [,] Y ) A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) -> E. n e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) )
6628adantr 467 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) -> Z e. RR* )
6714adantr 467 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W ) )
68 simprl 763 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) -> y e. ( X [,] Y ) )
6967, 68ffvelrnd 6021 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. ( Z (,) W ) )
7012, 69sseldi 3429 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. RR* )
7169, 21syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) -> ( Z < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < W ) )
7271simpld 461 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) -> Z < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) )
73 qbtwnxr 11490 . . . . . 6 |- ( ( Z e. RR* /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. RR* /\ Z < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) -> E. m e. QQ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) )
7466, 70, 72, 73syl3anc 1267 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) -> E. m e. QQ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) )
75 qre 11266 . . . . . . . . . 10 |- ( m e. QQ -> m e. RR )
7675ad2antrl 733 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> m e. RR )
77 simprrl 773 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> Z < m )
7876rexrd 9687 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> m e. RR* )
7970adantr 467 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. RR* )
8019ad2antrr 731 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> W e. RR* )
81 simprrr 774 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) )
8271simprd 465 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < W )
8382adantr 467 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < W )
8478, 79, 80, 81, 83xrlttrd 11453 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> m < W )
8528ad2antrr 731 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> Z e. RR* )
86 elioo2 11674 . . . . . . . . . 10 |- ( ( Z e. RR* /\ W e. RR* ) -> ( m e. ( Z (,) W ) <-> ( m e. RR /\ Z < m /\ m < W ) ) )
8785, 80, 86syl2anc 666 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> ( m e. ( Z (,) W ) <-> ( m e. RR /\ Z < m /\ m < W ) ) )
8876, 77, 84, 87mpbir3and 1190 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> m e. ( Z (,) W ) )
89 anass 654 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) <-> ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) )
90 simprrr 774 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) )
9190adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) )
9275ad2antrl 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> m e. RR )
9392adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> m e. RR )
9493rexrd 9687 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> m e. RR* )
9514ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W ) )
96 simplr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> y e. ( X [,] Y ) )
9795, 96ffvelrnd 6021 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. ( Z (,) W ) )
9812, 97sseldi 3429 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. RR* )
9998adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. RR* )
10095ffvelrnda 6020 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. ( Z (,) W ) )
10112, 100sseldi 3429 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. RR* )
102 xrltletr 11451 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m e. RR* /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. RR* /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. RR* ) -> ( ( m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) -> m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) )
10394, 99, 101, 102syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) -> m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) )
10491, 103mpand 680 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) -> m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) )
105104ralimdva 2795 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> ( A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) -> A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) )
106105imp 431 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) -> A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) )
107106an32s 812 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) )
10889, 107sylanbr 476 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) )
10988, 108jca 535 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> ( m e. ( Z (,) W ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) )
110109ex 436 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) -> ( ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) -> ( m e. ( Z (,) W ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) )
111110reximdv2 2857 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) -> ( E. m e. QQ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) -> E. m e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) )
11274, 111mpd 15 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) -> E. m e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) )
113112rexlimdvaa 2879 . . 3 |- ( ph -> ( E. y e. ( X [,] Y ) A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) -> E. m e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) )
114 ancom 452 . . . . 5 |- ( ( E. n e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n /\ E. m e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) <-> ( E. m e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ E. n e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) )
115 reeanv 2957 . . . . 5 |- ( E. m e. ( Z (,) W ) E. n e. ( Z (,) W ) ( A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) <-> ( E. m e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ E. n e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) )
116114, 115bitr4i 256 . . . 4 |- ( ( E. n e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n /\ E. m e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) <-> E. m e. ( Z (,) W ) E. n e. ( Z (,) W ) ( A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) )
117 r19.26 2916 . . . . . 6 |- ( A. z e. ( X [,] Y ) ( m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) <-> ( A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) )
11814adantr 467 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W ) )
119118ffvelrnda 6020 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. ( Z (,) W ) )
1204, 119sseldi 3429 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. RR )
1211203biant1d 1377 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) <-> ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. RR /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) ) )
122 simplrl 769 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> m e. ( Z (,) W ) )
12312, 122sseldi 3429 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> m e. RR* )
124 simplrr 770 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> n e. ( Z (,) W ) )
12512, 124sseldi 3429 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> n e. RR* )
126 elioo2 11674 . . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. RR* /\ n e. RR* ) -> ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. ( m (,) n ) <-> ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. RR /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) ) )
127123, 125, 126syl2anc 666 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. ( m (,) n ) <-> ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. RR /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) ) )
128121, 127bitr4d 260 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) <-> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. ( m (,) n ) ) )
129128ralbidva 2823 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) -> ( A. z e. ( X [,] Y ) ( m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) <-> A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. ( m (,) n ) ) )
130 nffvmpt1 5871 . . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z )
131130nfel1 2605 . . . . . . . . . . 11 |- F/ x ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. ( m (,) n )
132 nfv 1760 . . . . . . . . . . 11 |- F/ z ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` x ) e. ( m (,) n )
133 fveq2 5863 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = x -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) = ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` x ) )
134133eleq1d 2512 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = x -> ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. ( m (,) n ) <-> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` x ) e. ( m (,) n ) ) )
135131, 132, 134cbvral 3014 . . . . . . . . . 10 |- ( A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. ( m (,) n ) <-> A. x e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` x ) e. ( m (,) n ) )
136 simpr 463 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( X [,] Y ) ) -> x e. ( X [,] Y ) )
137 eqid 2450 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) = ( x e. ( X [,] Y ) |-> A )
138137fmpt 6041 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( Z (,) W ) <-> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W ) )
13914, 138sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( Z (,) W ) )
140139r19.21bi 2756 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( X [,] Y ) ) -> A e. ( Z (,) W ) )
141137fvmpt2 5955 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ( X [,] Y ) /\ A e. ( Z (,) W ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` x ) = A )
142136, 140, 141syl2anc 666 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` x ) = A )
143142eleq1d 2512 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` x ) e. ( m (,) n ) <-> A e. ( m (,) n ) ) )
144143ralbidva 2823 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A. x e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` x ) e. ( m (,) n ) <-> A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) )
145135, 144syl5bb 261 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. ( m (,) n ) <-> A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) )
146145adantr 467 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) -> ( A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. ( m (,) n ) <-> A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) )
1471adantr 467 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> X e. RR )
1482adantr 467 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> Y e. RR )
1493adantr 467 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> X <_ Y )
15028adantr 467 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> Z e. RR* )
15119adantr 467 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> W e. RR* )
152 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ y A
153 nfcsb1v 3378 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x [_ y / x ]_ A
154 csbeq1a 3371 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> A = [_ y / x ]_ A )
155152, 153, 154cbvmpt 4493 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) = ( y e. ( X [,] Y ) |-> [_ y / x ]_ A )
156155, 8syl5eqelr 2533 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( y e. ( X [,] Y ) |-> [_ y / x ]_ A ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> ( Z (,) W ) ) )
157156adantr 467 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> ( y e. ( X [,] Y ) |-> [_ y / x ]_ A ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> ( Z (,) W ) ) )
158 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ y B
159 nfcsb1v 3378 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x [_ y / x ]_ B
160 csbeq1a 3371 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> B = [_ y / x ]_ B )
161158, 159, 160cbvmpt 4493 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) = ( y e. ( X (,) Y ) |-> [_ y / x ]_ B )
162 itgsubst.b . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) e. ( ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) i^i L^1 ) )
163161, 162syl5eqelr 2533 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( y e. ( X (,) Y ) |-> [_ y / x ]_ B ) e. ( ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) i^i L^1 ) )
164163adantr 467 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> ( y e. ( X (,) Y ) |-> [_ y / x ]_ B ) e. ( ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) i^i L^1 ) )
165 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ v C
166 nfcsb1v 3378 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ u [_ v / u ]_ C
167 csbeq1a 3371 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = v -> C = [_ v / u ]_ C )
168165, 166, 167cbvmpt 4493 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. ( Z (,) W ) |-> C ) = ( v e. ( Z (,) W ) |-> [_ v / u ]_ C )
169 itgsubst.c . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( u e. ( Z (,) W ) |-> C ) e. ( ( Z (,) W ) -cn-> CC ) )
170168, 169syl5eqelr 2533 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( v e. ( Z (,) W ) |-> [_ v / u ]_ C ) e. ( ( Z (,) W ) -cn-> CC ) )
171170adantr 467 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> ( v e. ( Z (,) W ) |-> [_ v / u ]_ C ) e. ( ( Z (,) W ) -cn-> CC ) )
172 itgsubst.da . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) )
173155oveq2i 6299 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ) = ( RR _D ( y e. ( X [,] Y ) |-> [_ y / x ]_ A ) )
174172, 173, 1613eqtr3g 2507 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. ( X [,] Y ) |-> [_ y / x ]_ A ) ) = ( y e. ( X (,) Y ) |-> [_ y / x ]_ B ) )
175174adantr 467 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> ( RR _D ( y e. ( X [,] Y ) |-> [_ y / x ]_ A ) ) = ( y e. ( X (,) Y ) |-> [_ y / x ]_ B ) )
176 csbeq1 3365 . . . . . . . . . . 11 |- ( v = [_ y / x ]_ A -> [_ v / u ]_ C = [_ [_ y / x ]_ A / u ]_ C )
177 csbeq1 3365 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = X -> [_ y / x ]_ A = [_ X / x ]_ A )
178 csbeq1 3365 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = Y -> [_ y / x ]_ A = [_ Y / x ]_ A )
179 simprll 771 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> m e. ( Z (,) W ) )
180 simprlr 772 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> n e. ( Z (,) W ) )
181 simprr 765 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) )
182153nfel1 2605 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x [_ y / x ]_ A e. ( m (,) n )
183154eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( A e. ( m (,) n ) <-> [_ y / x ]_ A e. ( m (,) n ) ) )
184182, 183rspc 3143 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( X [,] Y ) -> ( A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) -> [_ y / x ]_ A e. ( m (,) n ) ) )
185181, 184mpan9 472 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) /\ y e. ( X [,] Y ) ) -> [_ y / x ]_ A e. ( m (,) n ) )
186147, 148, 149, 150, 151, 157, 164, 171, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 185itgsubstlem 22993 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> S__ [ [_ X / x ]_ A -> [_ Y / x ]_ A ] [_ v / u ]_ C _d v = S__ [ X -> Y ] ( [_ [_ y / x ]_ A / u ]_ C x. [_ y / x ]_ B ) _d y )
187167, 165, 166cbvditg 22802 . . . . . . . . . . . 12 |- S__ [ [_ X / x ]_ A -> [_ Y / x ]_ A ] C _d u = S__ [ [_ X / x ]_ A -> [_ Y / x ]_ A ] [_ v / u ]_ C _d v
188 nfcvd 2592 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. RR -> F/_ x K )
189 itgsubst.k . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = X -> A = K )
190188, 189csbiegf 3386 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. RR -> [_ X / x ]_ A = K )
191 ditgeq1 22796 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( [_ X / x ]_ A = K -> S__ [ [_ X / x ]_ A -> [_ Y / x ]_ A ] C _d u = S__ [ K -> [_ Y / x ]_ A ] C _d u )
1921, 190, 1913syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S__ [ [_ X / x ]_ A -> [_ Y / x ]_ A ] C _d u = S__ [ K -> [_ Y / x ]_ A ] C _d u )
193 nfcvd 2592 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Y e. RR -> F/_ x L )
194 itgsubst.l . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = Y -> A = L )
195193, 194csbiegf 3386 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Y e. RR -> [_ Y / x ]_ A = L )
196 ditgeq2 22797 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( [_ Y / x ]_ A = L -> S__ [ K -> [_ Y / x ]_ A ] C _d u = S__ [ K -> L ] C _d u )
1972, 195, 1963syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S__ [ K -> [_ Y / x ]_ A ] C _d u = S__ [ K -> L ] C _d u )
198192, 197eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> S__ [ [_ X / x ]_ A -> [_ Y / x ]_ A ] C _d u = S__ [ K -> L ] C _d u )
199187, 198syl5eqr 2498 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S__ [ [_ X / x ]_ A -> [_ Y / x ]_ A ] [_ v / u ]_ C _d v = S__ [ K -> L ] C _d u )
200199adantr 467 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> S__ [ [_ X / x ]_ A -> [_ Y / x ]_ A ] [_ v / u ]_ C _d v = S__ [ K -> L ] C _d u )
201154csbeq1d 3369 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> [_ A / u ]_ C = [_ [_ y / x ]_ A / u ]_ C )
202201, 160oveq12d 6306 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( [_ A / u ]_ C x. B ) = ( [_ [_ y / x ]_ A / u ]_ C x. [_ y / x ]_ B ) )
203 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ y ( [_ A / u ]_ C x. B )
204 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x C
205153, 204nfcsb 3380 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x [_ [_ y / x ]_ A / u ]_ C
206 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x x.
207205, 206, 159nfov 6314 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x ( [_ [_ y / x ]_ A / u ]_ C x. [_ y / x ]_ B )
208202, 203, 207cbvditg 22802 . . . . . . . . . . . 12 |- S__ [ X -> Y ] ( [_ A / u ]_ C x. B ) _d x = S__ [ X -> Y ] ( [_ [_ y / x ]_ A / u ]_ C x. [_ y / x ]_ B ) _d y
209 ioossicc 11717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( X (,) Y ) C_ ( X [,] Y )
210209sseli 3427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( X (,) Y ) -> x e. ( X [,] Y ) )
211210, 140sylan2 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> A e. ( Z (,) W ) )
212 nfcvd 2592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. ( Z (,) W ) -> F/_ u E )
213 itgsubst.e . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u = A -> C = E )
214212, 213csbiegf 3386 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ( Z (,) W ) -> [_ A / u ]_ C = E )
215211, 214syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> [_ A / u ]_ C = E )
216215oveq1d 6303 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> ( [_ A / u ]_ C x. B ) = ( E x. B ) )
217216itgeq2dv 22732 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( [_ A / u ]_ C x. B ) _d x = S. ( X (,) Y ) ( E x. B ) _d x )
2183ditgpos 22804 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S__ [ X -> Y ] ( [_ A / u ]_ C x. B ) _d x = S. ( X (,) Y ) ( [_ A / u ]_ C x. B ) _d x )
2193ditgpos 22804 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x = S. ( X (,) Y ) ( E x. B ) _d x )
220217, 218, 2193eqtr4d 2494 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> S__ [ X -> Y ] ( [_ A / u ]_ C x. B ) _d x = S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x )
221208, 220syl5eqr 2498 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S__ [ X -> Y ] ( [_ [_ y / x ]_ A / u ]_ C x. [_ y / x ]_ B ) _d y = S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x )
222221adantr 467 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> S__ [ X -> Y ] ( [_ [_ y / x ]_ A / u ]_ C x. [_ y / x ]_ B ) _d y = S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x )
223186, 200, 2223eqtr3d 2492 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> S__ [ K -> L ] C _d u = S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x )
224223expr 619 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) -> ( A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) -> S__ [ K -> L ] C _d u = S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x ) )
225146, 224sylbid 219 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) -> ( A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. ( m (,) n ) -> S__ [ K -> L ] C _d u = S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x ) )
226129, 225sylbid 219 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) -> ( A. z e. ( X [,] Y ) ( m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) -> S__ [ K -> L ] C _d u = S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x ) )
227117, 226syl5bir 222 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) -> ( ( A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) -> S__ [ K -> L ] C _d u = S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x ) )
228227rexlimdvva 2885 . . . 4 |- ( ph -> ( E. m e. ( Z (,) W ) E. n e. ( Z (,) W ) ( A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) -> S__ [ K -> L ] C _d u = S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x ) )
229116, 228syl5bi 221 . . 3 |- ( ph -> ( ( E. n e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n /\ E. m e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) -> S__ [ K -> L ] C _d u = S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x ) )
23065, 113, 229syl2and 486 . 2 |- ( ph -> ( ( E. y e. ( X [,] Y ) A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) /\ E. y e. ( X [,] Y ) A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) -> S__ [ K -> L ] C _d u = S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x ) )
23110, 230mpd 15 1 |- ( ph -> S__ [ K -> L ] C _d u = S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 984   = wceq 1443   e. wcel 1886   A.wral 2736   E.wrex 2737   [_csb 3362   i^i cin 3402   C_ wss 3403   class class class wbr 4401   |-> cmpt 4460   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   CCcc 9534   RRcr 9535   x. cmul 9541   RR*cxr 9671   < clt 9672   <_ cle 9673   QQcq 11261   (,)cioo 11632   [,]cicc 11635   -cn->ccncf 21901   L^1cibl 22568   S.citg 22569   S__cdit 22794   _D cdv 22811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cc 8862  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-disj 4373  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-ofr 6529  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-omul 7184  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-acn 8373  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ioc 11637  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-limsup 13519  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029  df-nei 20107  df-lp 20145  df-perf 20146  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-haus 20324  df-cmp 20395  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-fil 20854  df-fm 20946  df-flim 20947  df-flf 20948  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330  df-cncf 21903  df-ovol 22409  df-vol 22411  df-mbf 22570  df-itg1 22571  df-itg2 22572  df-ibl 22573  df-itg 22574  df-0p 22621  df-ditg 22795  df-limc 22814  df-dv 22815
This theorem is referenced by:  itgsubsticclem  37846
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