Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgsubnc Structured version   Unicode version

Theorem itgsubnc 31711
Description: Choice-free analogue of itgsub 22660. (Contributed by Brendan Leahy, 11-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ibladdnc.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
ibladdnc.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
ibladdnc.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
ibladdnc.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )
iblsubnc.m  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C
) )  e. MblFn )
Assertion
Ref Expression
itgsubnc  |-  ( ph  ->  S. A ( B  -  C )  _d x  =  ( S. A B  _d x  -  S. A C  _d x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, V    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)

Proof of Theorem itgsubnc
StepHypRef Expression
1 ibladdnc.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
2 iblmbf 22602 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
31, 2syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
4 ibladdnc.1 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
53, 4mbfmptcl 22470 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
6 ibladdnc.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )
7 iblmbf 22602 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 
->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
86, 7syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
9 ibladdnc.3 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
108, 9mbfmptcl 22470 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
1110negcld 9972 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u C  e.  CC )
129, 6iblneg 22637 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u C )  e.  L^1 )
135, 10negsubd 9991 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  +  -u C )  =  ( B  -  C ) )
1413mpteq2dva 4512 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  -u C ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C
) ) )
15 iblsubnc.m . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  -  C
) )  e. MblFn )
1614, 15eqeltrd 2517 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  -u C ) )  e. MblFn
)
175, 1, 11, 12, 16itgaddnc 31709 . . 3  |-  ( ph  ->  S. A ( B  +  -u C )  _d x  =  ( S. A B  _d x  +  S. A -u C  _d x ) )
189, 6itgneg 22638 . . . 4  |-  ( ph  -> 
-u S. A C  _d x  =  S. A -u C  _d x )
1918oveq2d 6321 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S. A B  _d x  +  -u S. A C  _d x )  =  ( S. A B  _d x  +  S. A -u C  _d x ) )
2017, 19eqtr4d 2473 . 2  |-  ( ph  ->  S. A ( B  +  -u C )  _d x  =  ( S. A B  _d x  +  -u S. A C  _d x ) )
2113itgeq2dv 22616 . 2  |-  ( ph  ->  S. A ( B  +  -u C )  _d x  =  S. A
( B  -  C
)  _d x )
224, 1itgcl 22618 . . 3  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  e.  CC )
239, 6itgcl 22618 . . 3  |-  ( ph  ->  S. A C  _d x  e.  CC )
2422, 23negsubd 9991 . 2  |-  ( ph  ->  ( S. A B  _d x  +  -u S. A C  _d x )  =  ( S. A B  _d x  -  S. A C  _d x ) )
2520, 21, 243eqtr3d 2478 1  |-  ( ph  ->  S. A ( B  -  C )  _d x  =  ( S. A B  _d x  -  S. A C  _d x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870    |-> cmpt 4484  (class class class)co 6305   CCcc 9536    + caddc 9541    - cmin 9859   -ucneg 9860  MblFncmbf 22449   L^1cibl 22452   S.citg 22453
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-disj 4398  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-ofr 6546  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fi 7931  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-sum 13731  df-rest 15280  df-topgen 15301  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-cmp 20333  df-ovol 22296  df-vol 22297  df-mbf 22454  df-itg1 22455  df-itg2 22456  df-ibl 22457  df-itg 22458  df-0p 22505
This theorem is referenced by:  itgmulc2nclem2  31716  itgmulc2nc  31717  ftc1cnnclem  31722
  Copyright terms: Public domain W3C validator