MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgsub Unicode version

Theorem itgsub 19670
Description: Subtract two integrals over the same domain. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgadd.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
itgadd.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
itgadd.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
itgadd.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )
Assertion
Ref Expression
itgsub  |-  ( ph  ->  S. A ( B  -  C )  _d x  =  ( S. A B  _d x  -  S. A C  _d x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, V    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)

Proof of Theorem itgsub
StepHypRef Expression
1 itgadd.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
2 iblmbf 19612 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
4 itgadd.1 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
53, 4mbfmptcl 19482 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
6 itgadd.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )
7 iblmbf 19612 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 
->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
86, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
9 itgadd.3 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
108, 9mbfmptcl 19482 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
1110negcld 9354 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u C  e.  CC )
129, 6iblneg 19647 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u C )  e.  L ^1 )
135, 1, 11, 12itgadd 19669 . . 3  |-  ( ph  ->  S. A ( B  +  -u C )  _d x  =  ( S. A B  _d x  +  S. A -u C  _d x ) )
149, 6itgneg 19648 . . . 4  |-  ( ph  -> 
-u S. A C  _d x  =  S. A -u C  _d x )
1514oveq2d 6056 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S. A B  _d x  +  -u S. A C  _d x )  =  ( S. A B  _d x  +  S. A -u C  _d x ) )
1613, 15eqtr4d 2439 . 2  |-  ( ph  ->  S. A ( B  +  -u C )  _d x  =  ( S. A B  _d x  +  -u S. A C  _d x ) )
175, 10negsubd 9373 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  +  -u C )  =  ( B  -  C ) )
1817itgeq2dv 19626 . 2  |-  ( ph  ->  S. A ( B  +  -u C )  _d x  =  S. A
( B  -  C
)  _d x )
194, 1itgcl 19628 . . 3  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  e.  CC )
209, 6itgcl 19628 . . 3  |-  ( ph  ->  S. A C  _d x  e.  CC )
2119, 20negsubd 9373 . 2  |-  ( ph  ->  ( S. A B  _d x  +  -u S. A C  _d x )  =  ( S. A B  _d x  -  S. A C  _d x ) )
2216, 18, 213eqtr3d 2444 1  |-  ( ph  ->  S. A ( B  -  C )  _d x  =  ( S. A B  _d x  -  S. A C  _d x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    e. cmpt 4226  (class class class)co 6040   CCcc 8944    + caddc 8949    - cmin 9247   -ucneg 9248  MblFncmbf 19459   L ^1cibl 19462   S.citg 19463
This theorem is referenced by:  itgmulc2lem2  19677  ftc1lem4  19876  itgulm  20277  itgsinexp  27616
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cc 8271  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-disj 4143  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-ofr 6265  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-rest 13605  df-topgen 13622  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cmp 17404  df-ovol 19314  df-vol 19315  df-mbf 19465  df-itg1 19466  df-itg2 19467  df-ibl 19468  df-itg 19469  df-0p 19515
  Copyright terms: Public domain W3C validator