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Theorem itgss3 22346
Description: Expand the set of an integral by a nullset. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgss3.1  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
itgss3.2  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
itgss3.3  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( B  \  A ) )  =  0 )
itgss3.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
itgss3  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1  <->  ( x  e.  B  |->  C )  e.  L^1 )  /\  S. A C  _d x  =  S. B C  _d x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    ph, x
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem itgss3
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2619 . . . . . 6  |-  F/_ y if ( x  e.  A ,  C ,  0 )
2 nfv 1708 . . . . . . 7  |-  F/ x  y  e.  A
3 nfcsb1v 3446 . . . . . . 7  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ C
4 nfcv 2619 . . . . . . 7  |-  F/_ x
0
52, 3, 4nfif 3973 . . . . . 6  |-  F/_ x if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 )
6 eleq1 2529 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
7 csbeq1a 3439 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  C  =  [_ y  /  x ]_ C )
86, 7ifbieq1d 3967 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  =  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )
91, 5, 8cbvmpt 4547 . . . . 5  |-  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )
10 itgss3.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
1110adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )  ->  A  C_  B
)
12 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ y C
1312, 3, 7cbvmpt 4547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ C )
14 iftrue 3950 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  A  ->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 )  =  [_ y  /  x ]_ C )
1514mpteq2ia 4539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  =  ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ C )
1613, 15eqtr4i 2489 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )
17 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )
1816, 17syl5eqelr 2550 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )  ->  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  e.  L^1 )
19 iblmbf 22299 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  e.  L^1 
->  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C , 
0 ) )  e. MblFn
)
2018, 19syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )  ->  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  e. MblFn )
2110sselda 3499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  B )
22 itgss3.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  CC )
2321, 22syldan 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
24 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  C )
2523, 24fmptd 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C ) : A --> CC )
2625adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )  ->  ( x  e.  A  |->  C ) : A --> CC )
2716feq1i 5729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  |->  C ) : A --> CC  <->  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) ) : A --> CC )
2826, 27sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )  ->  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) ) : A --> CC )
29 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )
3029fmpt 6053 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  A  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 )  e.  CC  <->  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) ) : A --> CC )
3128, 30sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )  ->  A. y  e.  A  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 )  e.  CC )
3231r19.21bi 2826 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )  /\  y  e.  A )  ->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 )  e.  CC )
3320, 32mbfdm2 22170 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )  ->  A  e.  dom  vol )
34 undif 3911 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  B  <->  ( A  u.  ( B  \  A
) )  =  B )
3510, 34sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  u.  ( B  \  A ) )  =  B )
3635adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( A  u.  ( B  \  A ) )  =  B )
37 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A  e.  dom  vol )
38 itgss3.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
3938ssdifssd 3638 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  \  A
)  C_  RR )
40 itgss3.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( B  \  A ) )  =  0 )
41 nulmbl 22071 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  \  A
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( B 
\  A ) )  =  0 )  -> 
( B  \  A
)  e.  dom  vol )
4239, 40, 41syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  \  A
)  e.  dom  vol )
43 unmbl 22073 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( B  \  A
)  e.  dom  vol )  ->  ( A  u.  ( B  \  A ) )  e.  dom  vol )
4437, 42, 43syl2anr 478 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( A  u.  ( B  \  A ) )  e. 
dom  vol )
4536, 44eqeltrrd 2546 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  e.  dom  vol )  ->  B  e.  dom  vol )
4633, 45syldan 470 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )  ->  B  e.  dom  vol )
47 eldifn 3623 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( B  \  A )  ->  -.  y  e.  A )
4847adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )  /\  y  e.  ( B  \  A
) )  ->  -.  y  e.  A )
4948iffalsed 3955 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )  /\  y  e.  ( B  \  A
) )  ->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 )  =  0 )
5011, 46, 32, 49, 18iblss2 22337 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )  ->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  e.  L^1 )
519, 50syl5eqel 2549 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )  ->  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L^1 )
52 iftrue 3950 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  =  C )
5352mpteq2ia 4539 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  C )
541, 5, 8cbvmpt 4547 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )
5553, 54eqtr3i 2488 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )
5610adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L^1 )  ->  A  C_  B
)
57 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L^1 )  ->  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L^1 )
589, 57syl5eqelr 2550 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L^1 )  ->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  e.  L^1 )
59 iblmbf 22299 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  e.  L^1 
->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C , 
0 ) )  e. MblFn
)
6058, 59syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L^1 )  ->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  e. MblFn )
61 0cn 9605 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  CC
62 ifcl 3986 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  if ( x  e.  A ,  C , 
0 )  e.  CC )
6322, 61, 62sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  e.  CC )
64 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )
6563, 64fmptd 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C , 
0 ) ) : B --> CC )
669feq1i 5729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) : B --> CC  <->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) ) : B --> CC )
6765, 66sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C , 
0 ) ) : B --> CC )
6867adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L^1 )  ->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) ) : B --> CC )
69 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  =  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )
7069fmpt 6053 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  B  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 )  e.  CC  <->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) ) : B --> CC )
7168, 70sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L^1 )  ->  A. y  e.  B  if (
y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 )  e.  CC )
7271r19.21bi 2826 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L^1 )  /\  y  e.  B )  ->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 )  e.  CC )
7360, 72mbfdm2 22170 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L^1 )  ->  B  e.  dom  vol )
74 dfss4 3739 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  B  <->  ( B  \  ( B  \  A
) )  =  A )
7510, 74sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  \  ( B  \  A ) )  =  A )
7675adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( B  \  ( B  \  A ) )  =  A )
77 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  dom  vol  ->  B  e.  dom  vol )
78 difmbl 22078 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  dom  vol  /\  ( B  \  A
)  e.  dom  vol )  ->  ( B  \ 
( B  \  A
) )  e.  dom  vol )
7977, 42, 78syl2anr 478 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( B  \  ( B  \  A ) )  e. 
dom  vol )
8076, 79eqeltrrd 2546 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  e.  dom  vol )  ->  A  e.  dom  vol )
8173, 80syldan 470 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L^1 )  ->  A  e.  dom  vol )
8256, 81, 72, 58iblss 22336 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L^1 )  ->  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  e.  L^1 )
8355, 82syl5eqel 2549 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L^1 )  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )
8451, 83impbida 832 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1  <->  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L^1 ) )
8575eleq2d 2527 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B  \  ( B 
\  A ) )  <-> 
x  e.  A ) )
8685biimpa 484 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ( B  \  A ) ) )  ->  x  e.  A )
8786, 52syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ( B  \  A ) ) )  ->  if (
x  e.  A ,  C ,  0 )  =  C )
8863, 22, 39, 40, 87itgeqa 22345 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L^1  <-> 
( x  e.  B  |->  C )  e.  L^1 )  /\  S. B if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  _d x  =  S. B C  _d x ) )
8988simpld 459 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L^1  <->  ( x  e.  B  |->  C )  e.  L^1 ) )
9084, 89bitrd 253 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1  <->  ( x  e.  B  |->  C )  e.  L^1 ) )
91 itgss2 22344 . . . 4  |-  ( A 
C_  B  ->  S. A C  _d x  =  S. B if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  _d x )
9210, 91syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  S. A C  _d x  =  S. B if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  _d x )
9388simprd 463 . . 3  |-  ( ph  ->  S. B if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  _d x  =  S. B C  _d x )
9492, 93eqtrd 2498 . 2  |-  ( ph  ->  S. A C  _d x  =  S. B C  _d x )
9590, 94jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1  <->  ( x  e.  B  |->  C )  e.  L^1 )  /\  S. A C  _d x  =  S. B C  _d x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   [_csb 3430    \ cdif 3468    u. cun 3469    C_ wss 3471   ifcif 3944    |-> cmpt 4515   dom cdm 5008   -->wf 5590   ` cfv 5594   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   vol*covol 21999   volcvol 22000  MblFncmbf 22148   L^1cibl 22151   S.citg 22152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-disj 4428  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-ofr 6540  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-fl 11931  df-mod 11999  df-seq 12110  df-exp 12169  df-hash 12408  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-clim 13322  df-sum 13520  df-rest 14839  df-topgen 14860  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-cmp 20013  df-ovol 22001  df-vol 22002  df-mbf 22153  df-itg1 22154  df-itg2 22155  df-ibl 22156  df-itg 22157
This theorem is referenced by:  itgioo  22347  itgsplitioo  22369  itgvol0  31928  ibliooicc  31931
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