MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgss3 Structured version   Unicode version

Theorem itgss3 21297
Description: Expand the set of an integral by a nullset. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgss3.1  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
itgss3.2  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
itgss3.3  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( B  \  A ) )  =  0 )
itgss3.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
itgss3  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1  <->  ( x  e.  B  |->  C )  e.  L^1 )  /\  S. A C  _d x  =  S. B C  _d x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    ph, x
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem itgss3
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2584 . . . . . 6  |-  F/_ y if ( x  e.  A ,  C ,  0 )
2 nfv 1673 . . . . . . 7  |-  F/ x  y  e.  A
3 nfcsb1v 3309 . . . . . . 7  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ C
4 nfcv 2584 . . . . . . 7  |-  F/_ x
0
52, 3, 4nfif 3823 . . . . . 6  |-  F/_ x if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 )
6 eleq1 2503 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
7 csbeq1a 3302 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  C  =  [_ y  /  x ]_ C )
86, 7ifbieq1d 3817 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  =  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )
91, 5, 8cbvmpt 4387 . . . . 5  |-  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )
10 itgss3.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
1110adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )  ->  A  C_  B
)
12 nfcv 2584 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ y C
1312, 3, 7cbvmpt 4387 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ C )
14 iftrue 3802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  A  ->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 )  =  [_ y  /  x ]_ C )
1514mpteq2ia 4379 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  =  ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ C )
1613, 15eqtr4i 2466 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )
17 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )
1816, 17syl5eqelr 2528 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )  ->  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  e.  L^1 )
19 iblmbf 21250 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  e.  L^1 
->  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C , 
0 ) )  e. MblFn
)
2018, 19syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )  ->  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  e. MblFn )
2110sselda 3361 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  B )
22 itgss3.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  CC )
2321, 22syldan 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
24 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  C )
2523, 24fmptd 5872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C ) : A --> CC )
2625adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )  ->  ( x  e.  A  |->  C ) : A --> CC )
2716feq1i 5556 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  |->  C ) : A --> CC  <->  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) ) : A --> CC )
2826, 27sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )  ->  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) ) : A --> CC )
29 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )
3029fmpt 5869 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  A  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 )  e.  CC  <->  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) ) : A --> CC )
3128, 30sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )  ->  A. y  e.  A  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 )  e.  CC )
3231r19.21bi 2819 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )  /\  y  e.  A )  ->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 )  e.  CC )
3320, 32mbfdm2 21121 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )  ->  A  e.  dom  vol )
34 undif 3764 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  B  <->  ( A  u.  ( B  \  A
) )  =  B )
3510, 34sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  u.  ( B  \  A ) )  =  B )
3635adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( A  u.  ( B  \  A ) )  =  B )
37 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A  e.  dom  vol )
38 itgss3.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
3938ssdifssd 3499 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  \  A
)  C_  RR )
40 itgss3.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( B  \  A ) )  =  0 )
41 nulmbl 21022 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  \  A
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( B 
\  A ) )  =  0 )  -> 
( B  \  A
)  e.  dom  vol )
4239, 40, 41syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  \  A
)  e.  dom  vol )
43 unmbl 21024 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( B  \  A
)  e.  dom  vol )  ->  ( A  u.  ( B  \  A ) )  e.  dom  vol )
4437, 42, 43syl2anr 478 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( A  u.  ( B  \  A ) )  e. 
dom  vol )
4536, 44eqeltrrd 2518 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  e.  dom  vol )  ->  B  e.  dom  vol )
4633, 45syldan 470 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )  ->  B  e.  dom  vol )
47 eldifn 3484 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( B  \  A )  ->  -.  y  e.  A )
4847adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )  /\  y  e.  ( B  \  A
) )  ->  -.  y  e.  A )
49 iffalse 3804 . . . . . . 7  |-  ( -.  y  e.  A  ->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 )  =  0 )
5048, 49syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )  /\  y  e.  ( B  \  A
) )  ->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 )  =  0 )
5111, 46, 32, 50, 18iblss2 21288 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )  ->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  e.  L^1 )
529, 51syl5eqel 2527 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )  ->  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L^1 )
53 iftrue 3802 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  =  C )
5453mpteq2ia 4379 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  C )
551, 5, 8cbvmpt 4387 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )
5654, 55eqtr3i 2465 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )
5710adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L^1 )  ->  A  C_  B
)
58 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L^1 )  ->  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L^1 )
599, 58syl5eqelr 2528 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L^1 )  ->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  e.  L^1 )
60 iblmbf 21250 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  e.  L^1 
->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C , 
0 ) )  e. MblFn
)
6159, 60syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L^1 )  ->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  e. MblFn )
62 0cn 9383 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  CC
63 ifcl 3836 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  if ( x  e.  A ,  C , 
0 )  e.  CC )
6422, 62, 63sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  e.  CC )
65 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )
6664, 65fmptd 5872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C , 
0 ) ) : B --> CC )
679feq1i 5556 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) : B --> CC  <->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) ) : B --> CC )
6866, 67sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C , 
0 ) ) : B --> CC )
6968adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L^1 )  ->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) ) : B --> CC )
70 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  =  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )
7170fmpt 5869 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  B  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 )  e.  CC  <->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) ) : B --> CC )
7269, 71sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L^1 )  ->  A. y  e.  B  if (
y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 )  e.  CC )
7372r19.21bi 2819 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L^1 )  /\  y  e.  B )  ->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 )  e.  CC )
7461, 73mbfdm2 21121 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L^1 )  ->  B  e.  dom  vol )
75 dfss4 3589 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  B  <->  ( B  \  ( B  \  A
) )  =  A )
7610, 75sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  \  ( B  \  A ) )  =  A )
7776adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( B  \  ( B  \  A ) )  =  A )
78 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  dom  vol  ->  B  e.  dom  vol )
79 difmbl 21029 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  dom  vol  /\  ( B  \  A
)  e.  dom  vol )  ->  ( B  \ 
( B  \  A
) )  e.  dom  vol )
8078, 42, 79syl2anr 478 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( B  \  ( B  \  A ) )  e. 
dom  vol )
8177, 80eqeltrrd 2518 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  e.  dom  vol )  ->  A  e.  dom  vol )
8274, 81syldan 470 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L^1 )  ->  A  e.  dom  vol )
8357, 82, 73, 59iblss 21287 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L^1 )  ->  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  e.  L^1 )
8456, 83syl5eqel 2527 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L^1 )  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )
8552, 84impbida 828 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1  <->  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L^1 ) )
8676eleq2d 2510 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B  \  ( B 
\  A ) )  <-> 
x  e.  A ) )
8786biimpa 484 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ( B  \  A ) ) )  ->  x  e.  A )
8887, 53syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ( B  \  A ) ) )  ->  if (
x  e.  A ,  C ,  0 )  =  C )
8964, 22, 39, 40, 88itgeqa 21296 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L^1  <-> 
( x  e.  B  |->  C )  e.  L^1 )  /\  S. B if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  _d x  =  S. B C  _d x ) )
9089simpld 459 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L^1  <->  ( x  e.  B  |->  C )  e.  L^1 ) )
9185, 90bitrd 253 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1  <->  ( x  e.  B  |->  C )  e.  L^1 ) )
92 itgss2 21295 . . . 4  |-  ( A 
C_  B  ->  S. A C  _d x  =  S. B if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  _d x )
9310, 92syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  S. A C  _d x  =  S. B if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  _d x )
9489simprd 463 . . 3  |-  ( ph  ->  S. B if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  _d x  =  S. B C  _d x )
9593, 94eqtrd 2475 . 2  |-  ( ph  ->  S. A C  _d x  =  S. B C  _d x )
9691, 95jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1  <->  ( x  e.  B  |->  C )  e.  L^1 )  /\  S. A C  _d x  =  S. B C  _d x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2720   [_csb 3293    \ cdif 3330    u. cun 3331    C_ wss 3333   ifcif 3796    e. cmpt 4355   dom cdm 4845   -->wf 5419   ` cfv 5423   CCcc 9285   RRcr 9286   0cc0 9287   vol*covol 20951   volcvol 20952  MblFncmbf 21099   L^1cibl 21102   S.citg 21103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-disj 4268  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-ofr 6326  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fi 7666  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-ioo 11309  df-ico 11311  df-icc 11312  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-mod 11714  df-seq 11812  df-exp 11871  df-hash 12109  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-clim 12971  df-sum 13169  df-rest 14366  df-topgen 14387  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-met 17816  df-bl 17817  df-mopn 17818  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-cmp 18995  df-ovol 20953  df-vol 20954  df-mbf 21104  df-itg1 21105  df-itg2 21106  df-ibl 21107  df-itg 21108
This theorem is referenced by:  itgioo  21298  itgsplitioo  21320
  Copyright terms: Public domain W3C validator