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Theorem itgss3 22776
Description: Expand the set of an integral by a nullset. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgss3.1  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
itgss3.2  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
itgss3.3  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( B  \  A ) )  =  0 )
itgss3.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
itgss3  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1  <->  ( x  e.  B  |->  C )  e.  L^1 )  /\  S. A C  _d x  =  S. B C  _d x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    ph, x
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem itgss3
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2585 . . . . . 6  |-  F/_ y if ( x  e.  A ,  C ,  0 )
2 nfv 1756 . . . . . . 7  |-  F/ x  y  e.  A
3 nfcsb1v 3417 . . . . . . 7  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ C
4 nfcv 2585 . . . . . . 7  |-  F/_ x
0
52, 3, 4nfif 3946 . . . . . 6  |-  F/_ x if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 )
6 eleq1 2496 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
7 csbeq1a 3410 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  C  =  [_ y  /  x ]_ C )
86, 7ifbieq1d 3940 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  =  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )
91, 5, 8cbvmpt 4521 . . . . 5  |-  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )
10 itgss3.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
1110adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )  ->  A  C_  B
)
12 nfcv 2585 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ y C
1312, 3, 7cbvmpt 4521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ C )
14 iftrue 3923 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  A  ->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 )  =  [_ y  /  x ]_ C )
1514mpteq2ia 4512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  =  ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ C )
1613, 15eqtr4i 2455 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )
17 simpr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )
1816, 17syl5eqelr 2517 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )  ->  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  e.  L^1 )
19 iblmbf 22729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  e.  L^1 
->  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C , 
0 ) )  e. MblFn
)
2018, 19syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )  ->  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  e. MblFn )
2110sselda 3470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  B )
22 itgss3.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  CC )
2321, 22syldan 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
24 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  C )
2523, 24fmptd 6067 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C ) : A --> CC )
2625adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )  ->  ( x  e.  A  |->  C ) : A --> CC )
2716feq1i 5744 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  |->  C ) : A --> CC  <->  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) ) : A --> CC )
2826, 27sylib 200 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )  ->  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) ) : A --> CC )
29 eqid 2423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )
3029fmpt 6064 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  A  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 )  e.  CC  <->  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) ) : A --> CC )
3128, 30sylibr 216 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )  ->  A. y  e.  A  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 )  e.  CC )
3231r19.21bi 2796 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )  /\  y  e.  A )  ->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 )  e.  CC )
3320, 32mbfdm2 22598 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )  ->  A  e.  dom  vol )
34 undif 3884 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  B  <->  ( A  u.  ( B  \  A
) )  =  B )
3510, 34sylib 200 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  u.  ( B  \  A ) )  =  B )
3635adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( A  u.  ( B  \  A ) )  =  B )
37 id 23 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A  e.  dom  vol )
38 itgss3.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
3938ssdifssd 3609 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  \  A
)  C_  RR )
40 itgss3.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( B  \  A ) )  =  0 )
41 nulmbl 22493 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  \  A
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( B 
\  A ) )  =  0 )  -> 
( B  \  A
)  e.  dom  vol )
4239, 40, 41syl2anc 666 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  \  A
)  e.  dom  vol )
43 unmbl 22495 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( B  \  A
)  e.  dom  vol )  ->  ( A  u.  ( B  \  A ) )  e.  dom  vol )
4437, 42, 43syl2anr 481 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( A  u.  ( B  \  A ) )  e. 
dom  vol )
4536, 44eqeltrrd 2513 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  e.  dom  vol )  ->  B  e.  dom  vol )
4633, 45syldan 473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )  ->  B  e.  dom  vol )
47 eldifn 3594 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( B  \  A )  ->  -.  y  e.  A )
4847adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )  /\  y  e.  ( B  \  A
) )  ->  -.  y  e.  A )
4948iffalsed 3928 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )  /\  y  e.  ( B  \  A
) )  ->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 )  =  0 )
5011, 46, 32, 49, 18iblss2 22767 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )  ->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  e.  L^1 )
519, 50syl5eqel 2516 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )  ->  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L^1 )
52 iftrue 3923 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  =  C )
5352mpteq2ia 4512 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  C )
541, 5, 8cbvmpt 4521 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )
5553, 54eqtr3i 2454 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )
5610adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L^1 )  ->  A  C_  B
)
57 simpr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L^1 )  ->  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L^1 )
589, 57syl5eqelr 2517 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L^1 )  ->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  e.  L^1 )
59 iblmbf 22729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  e.  L^1 
->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C , 
0 ) )  e. MblFn
)
6058, 59syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L^1 )  ->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  e. MblFn )
61 0cn 9648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  CC
62 ifcl 3959 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  if ( x  e.  A ,  C , 
0 )  e.  CC )
6322, 61, 62sylancl 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  e.  CC )
64 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )
6563, 64fmptd 6067 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C , 
0 ) ) : B --> CC )
669feq1i 5744 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) : B --> CC  <->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) ) : B --> CC )
6765, 66sylib 200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C , 
0 ) ) : B --> CC )
6867adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L^1 )  ->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) ) : B --> CC )
69 eqid 2423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  =  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )
7069fmpt 6064 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  B  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 )  e.  CC  <->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) ) : B --> CC )
7168, 70sylibr 216 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L^1 )  ->  A. y  e.  B  if (
y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 )  e.  CC )
7271r19.21bi 2796 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L^1 )  /\  y  e.  B )  ->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 )  e.  CC )
7360, 72mbfdm2 22598 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L^1 )  ->  B  e.  dom  vol )
74 dfss4 3713 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  B  <->  ( B  \  ( B  \  A
) )  =  A )
7510, 74sylib 200 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  \  ( B  \  A ) )  =  A )
7675adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( B  \  ( B  \  A ) )  =  A )
77 id 23 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  dom  vol  ->  B  e.  dom  vol )
78 difmbl 22500 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  dom  vol  /\  ( B  \  A
)  e.  dom  vol )  ->  ( B  \ 
( B  \  A
) )  e.  dom  vol )
7977, 42, 78syl2anr 481 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( B  \  ( B  \  A ) )  e. 
dom  vol )
8076, 79eqeltrrd 2513 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  e.  dom  vol )  ->  A  e.  dom  vol )
8173, 80syldan 473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L^1 )  ->  A  e.  dom  vol )
8256, 81, 72, 58iblss 22766 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L^1 )  ->  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  e.  L^1 )
8355, 82syl5eqel 2516 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L^1 )  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )
8451, 83impbida 841 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1  <->  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L^1 ) )
8575eleq2d 2493 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B  \  ( B 
\  A ) )  <-> 
x  e.  A ) )
8685biimpa 487 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ( B  \  A ) ) )  ->  x  e.  A )
8786, 52syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ( B  \  A ) ) )  ->  if (
x  e.  A ,  C ,  0 )  =  C )
8863, 22, 39, 40, 87itgeqa 22775 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L^1  <-> 
( x  e.  B  |->  C )  e.  L^1 )  /\  S. B if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  _d x  =  S. B C  _d x ) )
8988simpld 461 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L^1  <->  ( x  e.  B  |->  C )  e.  L^1 ) )
9084, 89bitrd 257 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1  <->  ( x  e.  B  |->  C )  e.  L^1 ) )
91 itgss2 22774 . . . 4  |-  ( A 
C_  B  ->  S. A C  _d x  =  S. B if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  _d x )
9210, 91syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  S. A C  _d x  =  S. B if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  _d x )
9388simprd 465 . . 3  |-  ( ph  ->  S. B if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  _d x  =  S. B C  _d x )
9492, 93eqtrd 2464 . 2  |-  ( ph  ->  S. A C  _d x  =  S. B C  _d x )
9590, 94jca 535 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1  <->  ( x  e.  B  |->  C )  e.  L^1 )  /\  S. A C  _d x  =  S. B C  _d x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1438    e. wcel 1873   A.wral 2776   [_csb 3401    \ cdif 3439    u. cun 3440    C_ wss 3442   ifcif 3917    |-> cmpt 4488   dom cdm 4859   -->wf 5603   ` cfv 5607   CCcc 9550   RRcr 9551   0cc0 9552   vol*covol 22417   volcvol 22419  MblFncmbf 22576   L^1cibl 22579   S.citg 22580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1664  ax-4 1677  ax-5 1753  ax-6 1799  ax-7 1844  ax-8 1875  ax-9 1877  ax-10 1892  ax-11 1897  ax-12 1910  ax-13 2058  ax-ext 2402  ax-rep 4542  ax-sep 4552  ax-nul 4561  ax-pow 4608  ax-pr 4666  ax-un 6603  ax-inf2 8161  ax-cnex 9608  ax-resscn 9609  ax-1cn 9610  ax-icn 9611  ax-addcl 9612  ax-addrcl 9613  ax-mulcl 9614  ax-mulrcl 9615  ax-mulcom 9616  ax-addass 9617  ax-mulass 9618  ax-distr 9619  ax-i2m1 9620  ax-1ne0 9621  ax-1rid 9622  ax-rnegex 9623  ax-rrecex 9624  ax-cnre 9625  ax-pre-lttri 9626  ax-pre-lttrn 9627  ax-pre-ltadd 9628  ax-pre-mulgt0 9629  ax-pre-sup 9630  ax-addf 9631
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-fal 1444  df-ex 1659  df-nf 1663  df-sb 1792  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3087  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3918  df-pw 3989  df-sn 4005  df-pr 4007  df-tp 4009  df-op 4011  df-uni 4226  df-int 4262  df-iun 4307  df-disj 4401  df-br 4430  df-opab 4489  df-mpt 4490  df-tr 4525  df-eprel 4770  df-id 4774  df-po 4780  df-so 4781  df-fr 4818  df-se 4819  df-we 4820  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-pred 5405  df-ord 5451  df-on 5452  df-lim 5453  df-suc 5454  df-iota 5571  df-fun 5609  df-fn 5610  df-f 5611  df-f1 5612  df-fo 5613  df-f1o 5614  df-fv 5615  df-isom 5616  df-riota 6273  df-ov 6314  df-oprab 6315  df-mpt2 6316  df-of 6551  df-ofr 6552  df-om 6713  df-1st 6813  df-2nd 6814  df-wrecs 7045  df-recs 7107  df-rdg 7145  df-1o 7199  df-2o 7200  df-oadd 7203  df-er 7380  df-map 7491  df-pm 7492  df-en 7587  df-dom 7588  df-sdom 7589  df-fin 7590  df-fi 7940  df-sup 7971  df-inf 7972  df-oi 8040  df-card 8387  df-cda 8611  df-pnf 9690  df-mnf 9691  df-xr 9692  df-ltxr 9693  df-le 9694  df-sub 9875  df-neg 9876  df-div 10283  df-nn 10623  df-2 10681  df-3 10682  df-4 10683  df-n0 10883  df-z 10951  df-uz 11173  df-q 11278  df-rp 11316  df-xneg 11422  df-xadd 11423  df-xmul 11424  df-ioo 11652  df-ico 11654  df-icc 11655  df-fz 11798  df-fzo 11929  df-fl 12040  df-mod 12109  df-seq 12226  df-exp 12285  df-hash 12528  df-cj 13168  df-re 13169  df-im 13170  df-sqrt 13304  df-abs 13305  df-clim 13557  df-sum 13758  df-rest 15326  df-topgen 15347  df-psmet 18967  df-xmet 18968  df-met 18969  df-bl 18970  df-mopn 18971  df-top 19925  df-bases 19926  df-topon 19927  df-cmp 20406  df-ovol 22420  df-vol 22422  df-mbf 22581  df-itg1 22582  df-itg2 22583  df-ibl 22584  df-itg 22585
This theorem is referenced by:  itgioo  22777  itgsplitioo  22799  itgvol0  37791  ibliooicc  37794
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