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Theorem itgss 22091
Description: Expand the set of an integral by adding zeroes outside the domain. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgss.1  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
itgss.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  = 
0 )
Assertion
Ref Expression
itgss  |-  ( ph  ->  S. A C  _d x  =  S. B C  _d x )
Distinct variable group:    ph, x
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    C( x)

Proof of Theorem itgss
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzelz 11697 . . . 4  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  k  e.  ZZ )
2 iffalse 3935 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
32ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  (
x  e.  B  /\  -.  x  e.  A
) )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
4 eldif 3471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( B  \  A )  <->  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  A ) )
5 itgss.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  = 
0 )
65adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  x  e.  ( B  \  A
) )  ->  C  =  0 )
76oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  x  e.  ( B  \  A
) )  ->  ( C  /  ( _i ^
k ) )  =  ( 0  /  (
_i ^ k ) ) )
8 ax-icn 9554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  _i  e.  CC
9 ine0 9998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  _i  =/=  0
10 expclz 12170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
118, 9, 10mp3an12 1315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
12 expne0i 12177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
138, 9, 12mp3an12 1315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
1411, 13div0d 10325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
0  /  ( _i
^ k ) )  =  0 )
1514ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  x  e.  ( B  \  A
) )  ->  (
0  /  ( _i
^ k ) )  =  0 )
167, 15eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  x  e.  ( B  \  A
) )  ->  ( C  /  ( _i ^
k ) )  =  0 )
1716fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  x  e.  ( B  \  A
) )  ->  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re ` 
0 ) )
18 re0 12964 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Re
`  0 )  =  0
1917, 18syl6eq 2500 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  x  e.  ( B  \  A
) )  ->  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  =  0 )
2019ifeq1d 3944 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  x  e.  ( B  \  A
) )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ,  0 ) )
21 ifid 3963 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ,  0 )  =  0
2220, 21syl6eq 2500 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  x  e.  ( B  \  A
) )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  0 )
234, 22sylan2br 476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  (
x  e.  B  /\  -.  x  e.  A
) )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  0 )
243, 23eqtr4d 2487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  (
x  e.  B  /\  -.  x  e.  A
) )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
2524expr 615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  x  e.  B )  ->  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )
26 iftrue 3932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
2725, 26pm2.61d2 160 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  x  e.  B )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
28 iftrue 3932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  B  ->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
2928adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  x  e.  B )  ->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
3027, 29eqtr4d 2487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  x  e.  B )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) )
31 itgss.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
3231adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  A  C_  B )
3332sseld 3488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  A  ->  x  e.  B ) )
3433con3dimp 441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  -.  x  e.  B )  ->  -.  x  e.  A
)
3534, 2syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  -.  x  e.  B )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
36 iffalse 3935 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  x  e.  B  ->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
3736adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  -.  x  e.  B )  ->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
3835, 37eqtr4d 2487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  -.  x  e.  B )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) )
3930, 38pm2.61dan 791 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 ) )
40 ifan 3972 . . . . . . . 8  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )
41 ifan 3972 . . . . . . . 8  |-  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )
4239, 40, 413eqtr4g 2509 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )
4342mpteq2dv 4524 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
4443fveq2d 5860 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
4544oveq2d 6297 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( _i ^ k )  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( _i ^ k )  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) ) )
461, 45sylan2 474 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( _i ^ k )  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) ) )
4746sumeq2dv 13504 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^
k )  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) ) )
48 eqid 2443 . . 3  |-  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )
4948dfitg 22049 . 2  |-  S. A C  _d x  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
5048dfitg 22049 . 2  |-  S. B C  _d x  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
5147, 49, 503eqtr4g 2509 1  |-  ( ph  ->  S. A C  _d x  =  S. B C  _d x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638    \ cdif 3458    C_ wss 3461   ifcif 3926   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   CCcc 9493   RRcr 9494   0cc0 9495   _ici 9497    x. cmul 9500    <_ cle 9632    / cdiv 10212   3c3 10592   ZZcz 10870   ...cfz 11681   ^cexp 12145   Recre 12909   sum_csu 13487   S.2citg2 21898   S.citg 21900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-fz 11682  df-seq 12087  df-exp 12146  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sum 13488  df-itg 21905
This theorem is referenced by:  itgss2  22092  areacirc  30087
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