MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgsplitioo Structured version   Unicode version

Theorem itgsplitioo 22007
Description: The  S. integral splits on open intervals with matching endpoints. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsplitioo.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
itgsplitioo.2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
itgsplitioo.3  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A [,] C ) )
itgsplitioo.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) C ) )  ->  D  e.  CC )
itgsplitioo.5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  D )  e.  L^1 )
itgsplitioo.6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B (,) C ) 
|->  D )  e.  L^1 )
Assertion
Ref Expression
itgsplitioo  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) C ) D  _d x  =  ( S. ( A (,) B
) D  _d x  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C    ph, x
Allowed substitution hint:    D( x)

Proof of Theorem itgsplitioo
StepHypRef Expression
1 itgsplitioo.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A [,] C ) )
2 itgsplitioo.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 itgsplitioo.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
4 elicc2 11589 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  e.  ( A [,] C )  <-> 
( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  <_  C ) ) )
52, 3, 4syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( A [,] C )  <-> 
( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  <_  C ) ) )
61, 5mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  <_  C ) )
76simp2d 1009 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
86simp1d 1008 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
92, 8leloed 9727 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B )
) )
107, 9mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  \/  A  =  B
) )
1110ord 377 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  A  < 
B  ->  A  =  B ) )
122rexrd 9643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
13 iooss1 11564 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  ( B (,) C )  C_  ( A (,) C ) )
1412, 7, 13syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  C_  ( A (,) C ) )
1514sselda 3504 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  x  e.  ( A (,) C ) )
16 itgsplitioo.4 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) C ) )  ->  D  e.  CC )
1715, 16syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  D  e.  CC )
18 itgsplitioo.6 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B (,) C ) 
|->  D )  e.  L^1 )
1917, 18itgcl 21953 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. ( B (,) C ) D  _d x  e.  CC )
2019addid2d 9780 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0  +  S. ( B (,) C ) D  _d x )  =  S. ( B (,) C ) D  _d x )
2120eqcomd 2475 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( B (,) C ) D  _d x  =  ( 0  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) )
22 oveq1 6291 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  ( A (,) C )  =  ( B (,) C
) )
23 itgeq1 21942 . . . . . 6  |-  ( ( A (,) C )  =  ( B (,) C )  ->  S. ( A (,) C ) D  _d x  =  S. ( B (,) C ) D  _d x )
2422, 23syl 16 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  S. ( A (,) C ) D  _d x  =  S. ( B (,) C ) D  _d x )
25 oveq1 6291 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  B  ->  ( A (,) B )  =  ( B (,) B
) )
26 iooid 11557 . . . . . . . . 9  |-  ( B (,) B )  =  (/)
2725, 26syl6eq 2524 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  B  ->  ( A (,) B )  =  (/) )
28 itgeq1 21942 . . . . . . . 8  |-  ( ( A (,) B )  =  (/)  ->  S. ( A (,) B ) D  _d x  =  S. (/) D  _d x )
2927, 28syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  S. ( A (,) B ) D  _d x  =  S. (/) D  _d x )
30 itg0 21949 . . . . . . 7  |-  S. (/) D  _d x  =  0
3129, 30syl6eq 2524 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  S. ( A (,) B ) D  _d x  =  0 )
3231oveq1d 6299 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  ( S. ( A (,) B
) D  _d x  +  S. ( B (,) C ) D  _d x )  =  ( 0  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) )
3324, 32eqeq12d 2489 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  ( S. ( A (,) C
) D  _d x  =  ( S. ( A (,) B ) D  _d x  +  S. ( B (,) C
) D  _d x )  <->  S. ( B (,) C ) D  _d x  =  ( 0  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) ) )
3421, 33syl5ibrcom 222 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  =  B  ->  S. ( A (,) C ) D  _d x  =  ( S. ( A (,) B ) D  _d x  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) ) )
3511, 34syld 44 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  A  < 
B  ->  S. ( A (,) C ) D  _d x  =  ( S. ( A (,) B ) D  _d x  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) ) )
366simp3d 1010 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
378, 3leloed 9727 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  <_  C  <->  ( B  <  C  \/  B  =  C )
) )
3836, 37mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  <  C  \/  B  =  C
) )
3938ord 377 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  B  < 
C  ->  B  =  C ) )
403rexrd 9643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
41 iooss2 11565 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  B  <_  C )  ->  ( A (,) B )  C_  ( A (,) C ) )
4240, 36, 41syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( A (,) C ) )
4342sselda 3504 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  x  e.  ( A (,) C ) )
4443, 16syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  D  e.  CC )
45 itgsplitioo.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  D )  e.  L^1 )
4644, 45itgcl 21953 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) D  _d x  e.  CC )
4746addid1d 9779 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S. ( A (,) B ) D  _d x  +  0 )  =  S. ( A (,) B ) D  _d x )
4847eqcomd 2475 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) D  _d x  =  ( S. ( A (,) B
) D  _d x  +  0 ) )
49 oveq2 6292 . . . . . 6  |-  ( B  =  C  ->  ( A (,) B )  =  ( A (,) C
) )
50 itgeq1 21942 . . . . . 6  |-  ( ( A (,) B )  =  ( A (,) C )  ->  S. ( A (,) B ) D  _d x  =  S. ( A (,) C ) D  _d x )
5149, 50syl 16 . . . . 5  |-  ( B  =  C  ->  S. ( A (,) B ) D  _d x  =  S. ( A (,) C ) D  _d x )
52 oveq2 6292 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =  C  ->  ( B (,) B )  =  ( B (,) C
) )
5326, 52syl5eqr 2522 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  C  ->  (/)  =  ( B (,) C ) )
54 itgeq1 21942 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  =  ( B (,) C )  ->  S. (/) D  _d x  =  S. ( B (,) C ) D  _d x )
5553, 54syl 16 . . . . . . 7  |-  ( B  =  C  ->  S. (/) D  _d x  =  S. ( B (,) C ) D  _d x )
5630, 55syl5eqr 2522 . . . . . 6  |-  ( B  =  C  ->  0  =  S. ( B (,) C ) D  _d x )
5756oveq2d 6300 . . . . 5  |-  ( B  =  C  ->  ( S. ( A (,) B
) D  _d x  +  0 )  =  ( S. ( A (,) B ) D  _d x  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) )
5851, 57eqeq12d 2489 . . . 4  |-  ( B  =  C  ->  ( S. ( A (,) B
) D  _d x  =  ( S. ( A (,) B ) D  _d x  + 
0 )  <->  S. ( A (,) C ) D  _d x  =  ( S. ( A (,) B ) D  _d x  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) ) )
5948, 58syl5ibcom 220 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  =  C  ->  S. ( A (,) C ) D  _d x  =  ( S. ( A (,) B ) D  _d x  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) ) )
6039, 59syld 44 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  B  < 
C  ->  S. ( A (,) C ) D  _d x  =  ( S. ( A (,) B ) D  _d x  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) ) )
61 indir 3746 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A (,) B
)  u.  { B } )  i^i  ( B (,) C ) )  =  ( ( ( A (,) B )  i^i  ( B (,) C ) )  u.  ( { B }  i^i  ( B (,) C
) ) )
628rexrd 9643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
6312, 62jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )
)
6463adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )
)
6562, 40jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )
)
6665adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )
)
678adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  ->  B  e.  RR )
6867leidd 10119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  ->  B  <_  B )
69 ioodisj 11650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* ) )  /\  B  <_  B )  -> 
( ( A (,) B )  i^i  ( B (,) C ) )  =  (/) )
7064, 66, 68, 69syl21anc 1227 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( ( A (,) B )  i^i  ( B (,) C ) )  =  (/) )
71 incom 3691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { B }  i^i  ( B (,) C ) )  =  ( ( B (,) C )  i^i 
{ B } )
7267ltnrd 9718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  ->  -.  B  <  B )
73 eliooord 11584 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  ( B (,) C )  ->  ( B  <  B  /\  B  <  C ) )
7473simpld 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  ( B (,) C )  ->  B  <  B )
7572, 74nsyl 121 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  ->  -.  B  e.  ( B (,) C ) )
76 disjsn 4088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B (,) C
)  i^i  { B } )  =  (/)  <->  -.  B  e.  ( B (,) C ) )
7775, 76sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( ( B (,) C )  i^i  { B } )  =  (/) )
7871, 77syl5eq 2520 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( { B }  i^i  ( B (,) C
) )  =  (/) )
7970, 78uneq12d 3659 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( ( ( A (,) B )  i^i  ( B (,) C
) )  u.  ( { B }  i^i  ( B (,) C ) ) )  =  ( (/)  u.  (/) ) )
80 un0 3810 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  u.  (/) )  =  (/)
8179, 80syl6eq 2524 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( ( ( A (,) B )  i^i  ( B (,) C
) )  u.  ( { B }  i^i  ( B (,) C ) ) )  =  (/) )
8261, 81syl5eq 2520 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( ( ( A (,) B )  u. 
{ B } )  i^i  ( B (,) C ) )  =  (/) )
8382fveq2d 5870 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( vol* `  ( ( ( A (,) B )  u. 
{ B } )  i^i  ( B (,) C ) ) )  =  ( vol* `  (/) ) )
84 ovol0 21667 . . . . . 6  |-  ( vol* `  (/) )  =  0
8583, 84syl6eq 2524 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( vol* `  ( ( ( A (,) B )  u. 
{ B } )  i^i  ( B (,) C ) ) )  =  0 )
8612, 62, 403jca 1176 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* ) )
87 ioojoin 11651 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  ( A  <  B  /\  B  <  C ) )  -> 
( ( ( A (,) B )  u. 
{ B } )  u.  ( B (,) C ) )  =  ( A (,) C
) )
8886, 87sylan 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( ( ( A (,) B )  u. 
{ B } )  u.  ( B (,) C ) )  =  ( A (,) C
) )
8988eqcomd 2475 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( A (,) C
)  =  ( ( ( A (,) B
)  u.  { B } )  u.  ( B (,) C ) ) )
9016adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( A  <  B  /\  B  <  C ) )  /\  x  e.  ( A (,) C ) )  ->  D  e.  CC )
9145adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  D )  e.  L^1 )
92 ssun1 3667 . . . . . . . . 9  |-  ( A (,) B )  C_  ( ( A (,) B )  u.  { B } )
9392a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( A (,) B
)  C_  ( ( A (,) B )  u. 
{ B } ) )
94 ioossre 11586 . . . . . . . . . 10  |-  ( A (,) B )  C_  RR
9594a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( A (,) B
)  C_  RR )
9667snssd 4172 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  ->  { B }  C_  RR )
9795, 96unssd 3680 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( ( A (,) B )  u.  { B } )  C_  RR )
98 uncom 3648 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A (,) B )  u.  { B }
)  =  ( { B }  u.  ( A (,) B ) )
9998difeq1i 3618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A (,) B
)  u.  { B } )  \  ( A (,) B ) )  =  ( ( { B }  u.  ( A (,) B ) ) 
\  ( A (,) B ) )
100 difun2 3906 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { B }  u.  ( A (,) B ) )  \  ( A (,) B ) )  =  ( { B }  \  ( A (,) B ) )
10199, 100eqtri 2496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A (,) B
)  u.  { B } )  \  ( A (,) B ) )  =  ( { B }  \  ( A (,) B ) )
102 difss 3631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { B }  \  ( A (,) B ) ) 
C_  { B }
103101, 102eqsstri 3534 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A (,) B
)  u.  { B } )  \  ( A (,) B ) ) 
C_  { B }
104103a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( ( ( A (,) B )  u. 
{ B } ) 
\  ( A (,) B ) )  C_  { B } )
105 ovolsn 21669 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  RR  ->  ( vol* `  { B } )  =  0 )
10667, 105syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( vol* `  { B } )  =  0 )
107 ovolssnul 21661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A (,) B )  u. 
{ B } ) 
\  ( A (,) B ) )  C_  { B }  /\  { B }  C_  RR  /\  ( vol* `  { B } )  =  0 )  ->  ( vol* `  ( ( ( A (,) B )  u.  { B }
)  \  ( A (,) B ) ) )  =  0 )
108104, 96, 106, 107syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( vol* `  ( ( ( A (,) B )  u. 
{ B } ) 
\  ( A (,) B ) ) )  =  0 )
109 ssun1 3667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A (,) B )  u.  { B }
)  C_  ( (
( A (,) B
)  u.  { B } )  u.  ( B (,) C ) )
110109, 88syl5sseq 3552 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( ( A (,) B )  u.  { B } )  C_  ( A (,) C ) )
111110sselda 3504 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( A  <  B  /\  B  <  C ) )  /\  x  e.  ( ( A (,) B )  u. 
{ B } ) )  ->  x  e.  ( A (,) C ) )
112111, 90syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( A  <  B  /\  B  <  C ) )  /\  x  e.  ( ( A (,) B )  u. 
{ B } ) )  ->  D  e.  CC )
11393, 97, 108, 112itgss3 21984 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( ( ( x  e.  ( A (,) B )  |->  D )  e.  L^1  <->  ( x  e.  ( ( A (,) B )  u.  { B } )  |->  D )  e.  L^1 )  /\  S. ( A (,) B ) D  _d x  =  S. ( ( A (,) B )  u.  { B } ) D  _d x ) )
114113simpld 459 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( ( x  e.  ( A (,) B
)  |->  D )  e.  L^1  <->  ( x  e.  ( ( A (,) B )  u.  { B } )  |->  D )  e.  L^1 ) )
11591, 114mpbid 210 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( x  e.  ( ( A (,) B
)  u.  { B } )  |->  D )  e.  L^1 )
11618adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( x  e.  ( B (,) C ) 
|->  D )  e.  L^1 )
11785, 89, 90, 115, 116itgsplit 22005 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  ->  S. ( A (,) C
) D  _d x  =  ( S. ( ( A (,) B
)  u.  { B } ) D  _d x  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) )
118113simprd 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  ->  S. ( A (,) B
) D  _d x  =  S. ( ( A (,) B )  u.  { B }
) D  _d x )
119118oveq1d 6299 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( S. ( A (,) B ) D  _d x  +  S. ( B (,) C ) D  _d x )  =  ( S. ( ( A (,) B
)  u.  { B } ) D  _d x  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) )
120117, 119eqtr4d 2511 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  ->  S. ( A (,) C
) D  _d x  =  ( S. ( A (,) B ) D  _d x  +  S. ( B (,) C
) D  _d x ) )
121120ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  < 
B  /\  B  <  C )  ->  S. ( A (,) C ) D  _d x  =  ( S. ( A (,) B ) D  _d x  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) ) )
12235, 60, 121ecased 942 1  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) C ) D  _d x  =  ( S. ( A (,) B
) D  _d x  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    \ cdif 3473    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492    + caddc 9495   RR*cxr 9627    < clt 9628    <_ cle 9629   (,)cioo 11529   [,]cicc 11532   vol*covol 21637   L^1cibl 21789   S.citg 21790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-ofr 6525  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ioo 11533  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-mod 11965  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-clim 13274  df-sum 13472  df-rest 14678  df-topgen 14699  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-cmp 19681  df-ovol 21639  df-vol 21640  df-mbf 21791  df-itg1 21792  df-itg2 21793  df-ibl 21794  df-itg 21795  df-0p 21840
This theorem is referenced by:  ditgsplitlem  22027  ftc1lem1  22199  ftc1anc  29703  fourierdlem103  31538  fourierdlem104  31539  fourierdlem111  31546  sqwvfoura  31557  sqwvfourb  31558
  Copyright terms: Public domain W3C validator