MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgsplitioo Structured version   Unicode version

Theorem itgsplitioo 22110
Description: The  S. integral splits on open intervals with matching endpoints. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsplitioo.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
itgsplitioo.2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
itgsplitioo.3  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A [,] C ) )
itgsplitioo.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) C ) )  ->  D  e.  CC )
itgsplitioo.5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  D )  e.  L^1 )
itgsplitioo.6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B (,) C ) 
|->  D )  e.  L^1 )
Assertion
Ref Expression
itgsplitioo  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) C ) D  _d x  =  ( S. ( A (,) B
) D  _d x  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C    ph, x
Allowed substitution hint:    D( x)

Proof of Theorem itgsplitioo
StepHypRef Expression
1 itgsplitioo.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A [,] C ) )
2 itgsplitioo.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 itgsplitioo.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
4 elicc2 11593 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  e.  ( A [,] C )  <-> 
( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  <_  C ) ) )
52, 3, 4syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( A [,] C )  <-> 
( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  <_  C ) ) )
61, 5mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  <_  C ) )
76simp2d 1008 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
86simp1d 1007 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
92, 8leloed 9726 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B )
) )
107, 9mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  \/  A  =  B
) )
1110ord 377 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  A  < 
B  ->  A  =  B ) )
122rexrd 9641 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
13 iooss1 11568 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  ( B (,) C )  C_  ( A (,) C ) )
1412, 7, 13syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  C_  ( A (,) C ) )
1514sselda 3486 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  x  e.  ( A (,) C ) )
16 itgsplitioo.4 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) C ) )  ->  D  e.  CC )
1715, 16syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  D  e.  CC )
18 itgsplitioo.6 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B (,) C ) 
|->  D )  e.  L^1 )
1917, 18itgcl 22056 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. ( B (,) C ) D  _d x  e.  CC )
2019addid2d 9779 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0  +  S. ( B (,) C ) D  _d x )  =  S. ( B (,) C ) D  _d x )
2120eqcomd 2449 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( B (,) C ) D  _d x  =  ( 0  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) )
22 oveq1 6284 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  ( A (,) C )  =  ( B (,) C
) )
23 itgeq1 22045 . . . . . 6  |-  ( ( A (,) C )  =  ( B (,) C )  ->  S. ( A (,) C ) D  _d x  =  S. ( B (,) C ) D  _d x )
2422, 23syl 16 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  S. ( A (,) C ) D  _d x  =  S. ( B (,) C ) D  _d x )
25 oveq1 6284 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  B  ->  ( A (,) B )  =  ( B (,) B
) )
26 iooid 11561 . . . . . . . . 9  |-  ( B (,) B )  =  (/)
2725, 26syl6eq 2498 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  B  ->  ( A (,) B )  =  (/) )
28 itgeq1 22045 . . . . . . . 8  |-  ( ( A (,) B )  =  (/)  ->  S. ( A (,) B ) D  _d x  =  S. (/) D  _d x )
2927, 28syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  S. ( A (,) B ) D  _d x  =  S. (/) D  _d x )
30 itg0 22052 . . . . . . 7  |-  S. (/) D  _d x  =  0
3129, 30syl6eq 2498 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  S. ( A (,) B ) D  _d x  =  0 )
3231oveq1d 6292 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  ( S. ( A (,) B
) D  _d x  +  S. ( B (,) C ) D  _d x )  =  ( 0  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) )
3324, 32eqeq12d 2463 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  ( S. ( A (,) C
) D  _d x  =  ( S. ( A (,) B ) D  _d x  +  S. ( B (,) C
) D  _d x )  <->  S. ( B (,) C ) D  _d x  =  ( 0  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) ) )
3421, 33syl5ibrcom 222 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  =  B  ->  S. ( A (,) C ) D  _d x  =  ( S. ( A (,) B ) D  _d x  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) ) )
3511, 34syld 44 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  A  < 
B  ->  S. ( A (,) C ) D  _d x  =  ( S. ( A (,) B ) D  _d x  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) ) )
366simp3d 1009 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
378, 3leloed 9726 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  <_  C  <->  ( B  <  C  \/  B  =  C )
) )
3836, 37mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  <  C  \/  B  =  C
) )
3938ord 377 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  B  < 
C  ->  B  =  C ) )
403rexrd 9641 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
41 iooss2 11569 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  B  <_  C )  ->  ( A (,) B )  C_  ( A (,) C ) )
4240, 36, 41syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( A (,) C ) )
4342sselda 3486 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  x  e.  ( A (,) C ) )
4443, 16syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  D  e.  CC )
45 itgsplitioo.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  D )  e.  L^1 )
4644, 45itgcl 22056 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) D  _d x  e.  CC )
4746addid1d 9778 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S. ( A (,) B ) D  _d x  +  0 )  =  S. ( A (,) B ) D  _d x )
4847eqcomd 2449 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) D  _d x  =  ( S. ( A (,) B
) D  _d x  +  0 ) )
49 oveq2 6285 . . . . . 6  |-  ( B  =  C  ->  ( A (,) B )  =  ( A (,) C
) )
50 itgeq1 22045 . . . . . 6  |-  ( ( A (,) B )  =  ( A (,) C )  ->  S. ( A (,) B ) D  _d x  =  S. ( A (,) C ) D  _d x )
5149, 50syl 16 . . . . 5  |-  ( B  =  C  ->  S. ( A (,) B ) D  _d x  =  S. ( A (,) C ) D  _d x )
52 oveq2 6285 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =  C  ->  ( B (,) B )  =  ( B (,) C
) )
5326, 52syl5eqr 2496 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  C  ->  (/)  =  ( B (,) C ) )
54 itgeq1 22045 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  =  ( B (,) C )  ->  S. (/) D  _d x  =  S. ( B (,) C ) D  _d x )
5553, 54syl 16 . . . . . . 7  |-  ( B  =  C  ->  S. (/) D  _d x  =  S. ( B (,) C ) D  _d x )
5630, 55syl5eqr 2496 . . . . . 6  |-  ( B  =  C  ->  0  =  S. ( B (,) C ) D  _d x )
5756oveq2d 6293 . . . . 5  |-  ( B  =  C  ->  ( S. ( A (,) B
) D  _d x  +  0 )  =  ( S. ( A (,) B ) D  _d x  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) )
5851, 57eqeq12d 2463 . . . 4  |-  ( B  =  C  ->  ( S. ( A (,) B
) D  _d x  =  ( S. ( A (,) B ) D  _d x  + 
0 )  <->  S. ( A (,) C ) D  _d x  =  ( S. ( A (,) B ) D  _d x  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) ) )
5948, 58syl5ibcom 220 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  =  C  ->  S. ( A (,) C ) D  _d x  =  ( S. ( A (,) B ) D  _d x  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) ) )
6039, 59syld 44 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  B  < 
C  ->  S. ( A (,) C ) D  _d x  =  ( S. ( A (,) B ) D  _d x  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) ) )
61 indir 3728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A (,) B
)  u.  { B } )  i^i  ( B (,) C ) )  =  ( ( ( A (,) B )  i^i  ( B (,) C ) )  u.  ( { B }  i^i  ( B (,) C
) ) )
628rexrd 9641 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
6312, 62jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )
)
6463adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )
)
6562, 40jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )
)
6665adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )
)
678adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  ->  B  e.  RR )
6867leidd 10120 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  ->  B  <_  B )
69 ioodisj 11654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* ) )  /\  B  <_  B )  -> 
( ( A (,) B )  i^i  ( B (,) C ) )  =  (/) )
7064, 66, 68, 69syl21anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( ( A (,) B )  i^i  ( B (,) C ) )  =  (/) )
71 incom 3673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { B }  i^i  ( B (,) C ) )  =  ( ( B (,) C )  i^i 
{ B } )
7267ltnrd 9717 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  ->  -.  B  <  B )
73 eliooord 11588 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  ( B (,) C )  ->  ( B  <  B  /\  B  <  C ) )
7473simpld 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  ( B (,) C )  ->  B  <  B )
7572, 74nsyl 121 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  ->  -.  B  e.  ( B (,) C ) )
76 disjsn 4071 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B (,) C
)  i^i  { B } )  =  (/)  <->  -.  B  e.  ( B (,) C ) )
7775, 76sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( ( B (,) C )  i^i  { B } )  =  (/) )
7871, 77syl5eq 2494 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( { B }  i^i  ( B (,) C
) )  =  (/) )
7970, 78uneq12d 3641 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( ( ( A (,) B )  i^i  ( B (,) C
) )  u.  ( { B }  i^i  ( B (,) C ) ) )  =  ( (/)  u.  (/) ) )
80 un0 3792 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  u.  (/) )  =  (/)
8179, 80syl6eq 2498 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( ( ( A (,) B )  i^i  ( B (,) C
) )  u.  ( { B }  i^i  ( B (,) C ) ) )  =  (/) )
8261, 81syl5eq 2494 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( ( ( A (,) B )  u. 
{ B } )  i^i  ( B (,) C ) )  =  (/) )
8382fveq2d 5856 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( vol* `  ( ( ( A (,) B )  u. 
{ B } )  i^i  ( B (,) C ) ) )  =  ( vol* `  (/) ) )
84 ovol0 21770 . . . . . 6  |-  ( vol* `  (/) )  =  0
8583, 84syl6eq 2498 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( vol* `  ( ( ( A (,) B )  u. 
{ B } )  i^i  ( B (,) C ) ) )  =  0 )
8612, 62, 403jca 1175 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* ) )
87 ioojoin 11655 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  ( A  <  B  /\  B  <  C ) )  -> 
( ( ( A (,) B )  u. 
{ B } )  u.  ( B (,) C ) )  =  ( A (,) C
) )
8886, 87sylan 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( ( ( A (,) B )  u. 
{ B } )  u.  ( B (,) C ) )  =  ( A (,) C
) )
8988eqcomd 2449 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( A (,) C
)  =  ( ( ( A (,) B
)  u.  { B } )  u.  ( B (,) C ) ) )
9016adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( A  <  B  /\  B  <  C ) )  /\  x  e.  ( A (,) C ) )  ->  D  e.  CC )
9145adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( x  e.  ( A (,) B ) 
|->  D )  e.  L^1 )
92 ssun1 3649 . . . . . . . . 9  |-  ( A (,) B )  C_  ( ( A (,) B )  u.  { B } )
9392a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( A (,) B
)  C_  ( ( A (,) B )  u. 
{ B } ) )
94 ioossre 11590 . . . . . . . . . 10  |-  ( A (,) B )  C_  RR
9594a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( A (,) B
)  C_  RR )
9667snssd 4156 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  ->  { B }  C_  RR )
9795, 96unssd 3662 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( ( A (,) B )  u.  { B } )  C_  RR )
98 uncom 3630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A (,) B )  u.  { B }
)  =  ( { B }  u.  ( A (,) B ) )
9998difeq1i 3600 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A (,) B
)  u.  { B } )  \  ( A (,) B ) )  =  ( ( { B }  u.  ( A (,) B ) ) 
\  ( A (,) B ) )
100 difun2 3889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { B }  u.  ( A (,) B ) )  \  ( A (,) B ) )  =  ( { B }  \  ( A (,) B ) )
10199, 100eqtri 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A (,) B
)  u.  { B } )  \  ( A (,) B ) )  =  ( { B }  \  ( A (,) B ) )
102 difss 3613 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { B }  \  ( A (,) B ) ) 
C_  { B }
103101, 102eqsstri 3516 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A (,) B
)  u.  { B } )  \  ( A (,) B ) ) 
C_  { B }
104103a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( ( ( A (,) B )  u. 
{ B } ) 
\  ( A (,) B ) )  C_  { B } )
105 ovolsn 21772 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  RR  ->  ( vol* `  { B } )  =  0 )
10667, 105syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( vol* `  { B } )  =  0 )
107 ovolssnul 21764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A (,) B )  u. 
{ B } ) 
\  ( A (,) B ) )  C_  { B }  /\  { B }  C_  RR  /\  ( vol* `  { B } )  =  0 )  ->  ( vol* `  ( ( ( A (,) B )  u.  { B }
)  \  ( A (,) B ) ) )  =  0 )
108104, 96, 106, 107syl3anc 1227 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( vol* `  ( ( ( A (,) B )  u. 
{ B } ) 
\  ( A (,) B ) ) )  =  0 )
109 ssun1 3649 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A (,) B )  u.  { B }
)  C_  ( (
( A (,) B
)  u.  { B } )  u.  ( B (,) C ) )
110109, 88syl5sseq 3534 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( ( A (,) B )  u.  { B } )  C_  ( A (,) C ) )
111110sselda 3486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( A  <  B  /\  B  <  C ) )  /\  x  e.  ( ( A (,) B )  u. 
{ B } ) )  ->  x  e.  ( A (,) C ) )
112111, 90syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( A  <  B  /\  B  <  C ) )  /\  x  e.  ( ( A (,) B )  u. 
{ B } ) )  ->  D  e.  CC )
11393, 97, 108, 112itgss3 22087 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( ( ( x  e.  ( A (,) B )  |->  D )  e.  L^1  <->  ( x  e.  ( ( A (,) B )  u.  { B } )  |->  D )  e.  L^1 )  /\  S. ( A (,) B ) D  _d x  =  S. ( ( A (,) B )  u.  { B } ) D  _d x ) )
114113simpld 459 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( ( x  e.  ( A (,) B
)  |->  D )  e.  L^1  <->  ( x  e.  ( ( A (,) B )  u.  { B } )  |->  D )  e.  L^1 ) )
11591, 114mpbid 210 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( x  e.  ( ( A (,) B
)  u.  { B } )  |->  D )  e.  L^1 )
11618adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( x  e.  ( B (,) C ) 
|->  D )  e.  L^1 )
11785, 89, 90, 115, 116itgsplit 22108 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  ->  S. ( A (,) C
) D  _d x  =  ( S. ( ( A (,) B
)  u.  { B } ) D  _d x  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) )
118113simprd 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  ->  S. ( A (,) B
) D  _d x  =  S. ( ( A (,) B )  u.  { B }
) D  _d x )
119118oveq1d 6292 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  -> 
( S. ( A (,) B ) D  _d x  +  S. ( B (,) C ) D  _d x )  =  ( S. ( ( A (,) B
)  u.  { B } ) D  _d x  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) )
120117, 119eqtr4d 2485 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( A  <  B  /\  B  < 
C ) )  ->  S. ( A (,) C
) D  _d x  =  ( S. ( A (,) B ) D  _d x  +  S. ( B (,) C
) D  _d x ) )
121120ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  < 
B  /\  B  <  C )  ->  S. ( A (,) C ) D  _d x  =  ( S. ( A (,) B ) D  _d x  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) ) )
12235, 60, 121ecased 942 1  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) C ) D  _d x  =  ( S. ( A (,) B
) D  _d x  +  S. ( B (,) C ) D  _d x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802    \ cdif 3455    u. cun 3456    i^i cin 3457    C_ wss 3458   (/)c0 3767   {csn 4010   class class class wbr 4433    |-> cmpt 4491   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   CCcc 9488   RRcr 9489   0cc0 9490    + caddc 9493   RR*cxr 9625    < clt 9626    <_ cle 9627   (,)cioo 11533   [,]cicc 11536   vol*covol 21740   L^1cibl 21892   S.citg 21893
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-inf2 8056  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-addf 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-fal 1387  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-disj 4404  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6521  df-ofr 6522  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-2o 7129  df-oadd 7132  df-er 7309  df-map 7420  df-pm 7421  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-fi 7869  df-sup 7899  df-oi 7933  df-card 8318  df-cda 8546  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-q 11187  df-rp 11225  df-xneg 11322  df-xadd 11323  df-xmul 11324  df-ioo 11537  df-ico 11539  df-icc 11540  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-fl 11903  df-mod 11971  df-seq 12082  df-exp 12141  df-hash 12380  df-cj 12906  df-re 12907  df-im 12908  df-sqrt 13042  df-abs 13043  df-clim 13285  df-sum 13483  df-rest 14692  df-topgen 14713  df-psmet 18279  df-xmet 18280  df-met 18281  df-bl 18282  df-mopn 18283  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-cmp 19753  df-ovol 21742  df-vol 21743  df-mbf 21894  df-itg1 21895  df-itg2 21896  df-ibl 21897  df-itg 21898  df-0p 21943
This theorem is referenced by:  ditgsplitlem  22130  ftc1lem1  22302  ftc1anc  30066  fourierdlem103  31877  fourierdlem104  31878  fourierdlem111  31885  sqwvfoura  31896  sqwvfourb  31897
  Copyright terms: Public domain W3C validator