MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgspliticc Structured version   Unicode version

Theorem itgspliticc 22409
Description: The  S. integral splits on closed intervals with matching endpoints. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgspliticc.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
itgspliticc.2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
itgspliticc.3  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A [,] C ) )
itgspliticc.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] C ) )  ->  D  e.  V )
itgspliticc.5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  D )  e.  L^1 )
itgspliticc.6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B [,] C ) 
|->  D )  e.  L^1 )
Assertion
Ref Expression
itgspliticc  |-  ( ph  ->  S. ( A [,] C ) D  _d x  =  ( S. ( A [,] B
) D  _d x  +  S. ( B [,] C ) D  _d x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C    x, V    ph, x
Allowed substitution hint:    D( x)

Proof of Theorem itgspliticc
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgspliticc.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
21rexrd 9632 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
3 itgspliticc.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A [,] C ) )
4 itgspliticc.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
5 elicc2 11592 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  e.  ( A [,] C )  <-> 
( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  <_  C ) ) )
61, 4, 5syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( A [,] C )  <-> 
( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  <_  C ) ) )
73, 6mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  <_  C ) )
87simp1d 1006 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
98rexrd 9632 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
104rexrd 9632 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
11 df-icc 11539 . . . . . . 7  |-  [,]  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <_  y ) } )
12 xrmaxle 11387 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* )  ->  ( if ( A  <_  B ,  B ,  A )  <_  z  <->  ( A  <_  z  /\  B  <_ 
z ) ) )
13 xrlemin 11388 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
z  <_  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  <->  ( z  <_  B  /\  z  <_  C ) ) )
1411, 12, 13ixxin 11549 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )
)  ->  ( ( A [,] B )  i^i  ( B [,] C
) )  =  ( if ( A  <_  B ,  B ,  A ) [,] if ( B  <_  C ,  B ,  C )
) )
152, 9, 9, 10, 14syl22anc 1227 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B )  i^i  ( B [,] C ) )  =  ( if ( A  <_  B ,  B ,  A ) [,] if ( B  <_  C ,  B ,  C ) ) )
167simp2d 1007 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
1716iftrued 3937 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  =  B )
187simp3d 1008 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
1918iftrued 3937 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  =  B )
2017, 19oveq12d 6288 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( if ( A  <_  B ,  B ,  A ) [,] if ( B  <_  C ,  B ,  C )
)  =  ( B [,] B ) )
21 iccid 11577 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR*  ->  ( B [,] B )  =  { B } )
229, 21syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B [,] B
)  =  { B } )
2315, 20, 223eqtrd 2499 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B )  i^i  ( B [,] C ) )  =  { B }
)
2423fveq2d 5852 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( ( A [,] B )  i^i  ( B [,] C ) ) )  =  ( vol* `  { B } ) )
25 ovolsn 22072 . . . 4  |-  ( B  e.  RR  ->  ( vol* `  { B } )  =  0 )
268, 25syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol* `  { B } )  =  0 )
2724, 26eqtrd 2495 . 2  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( ( A [,] B )  i^i  ( B [,] C ) ) )  =  0 )
28 iccsplit 11656 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR  /\  B  e.  ( A [,] C
) )  ->  ( A [,] C )  =  ( ( A [,] B )  u.  ( B [,] C ) ) )
291, 4, 3, 28syl3anc 1226 . 2  |-  ( ph  ->  ( A [,] C
)  =  ( ( A [,] B )  u.  ( B [,] C ) ) )
30 itgspliticc.4 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] C ) )  ->  D  e.  V )
31 itgspliticc.5 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  D )  e.  L^1 )
32 itgspliticc.6 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B [,] C ) 
|->  D )  e.  L^1 )
3327, 29, 30, 31, 32itgsplit 22408 1  |-  ( ph  ->  S. ( A [,] C ) D  _d x  =  ( S. ( A [,] B
) D  _d x  +  S. ( B [,] C ) D  _d x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    u. cun 3459    i^i cin 3460   ifcif 3929   {csn 4016   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   RRcr 9480   0cc0 9481    + caddc 9484   RR*cxr 9616    <_ cle 9618   [,]cicc 11535   vol*covol 22040   L^1cibl 22192   S.citg 22193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-disj 4411  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-ofr 6514  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-clim 13393  df-sum 13591  df-rest 14912  df-topgen 14933  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-cmp 20054  df-ovol 22042  df-vol 22043  df-mbf 22194  df-itg1 22195  df-itg2 22196  df-ibl 22197  df-itg 22198
This theorem is referenced by:  itgspltprt  32017  fourierdlem107  32235
  Copyright terms: Public domain W3C validator