MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgspliticc Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem itgspliticc 22806
Description: The  S. integral splits on closed intervals with matching endpoints. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgspliticc.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
itgspliticc.2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
itgspliticc.3  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A [,] C ) )
itgspliticc.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] C ) )  ->  D  e.  V )
itgspliticc.5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  D )  e.  L^1 )
itgspliticc.6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B [,] C ) 
|->  D )  e.  L^1 )
Assertion
Ref Expression
itgspliticc  |-  ( ph  ->  S. ( A [,] C ) D  _d x  =  ( S. ( A [,] B
) D  _d x  +  S. ( B [,] C ) D  _d x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C    x, V    ph, x
Allowed substitution hint:    D( x)

Proof of Theorem itgspliticc
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgspliticc.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
21rexrd 9677 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
3 itgspliticc.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A [,] C ) )
4 itgspliticc.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
5 elicc2 11689 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  e.  ( A [,] C )  <-> 
( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  <_  C ) ) )
61, 4, 5syl2anc 671 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( A [,] C )  <-> 
( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  <_  C ) ) )
73, 6mpbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  <_  C ) )
87simp1d 1021 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
98rexrd 9677 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
104rexrd 9677 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
11 df-icc 11632 . . . . . . 7  |-  [,]  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <_  y ) } )
12 xrmaxle 11468 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* )  ->  ( if ( A  <_  B ,  B ,  A )  <_  z  <->  ( A  <_  z  /\  B  <_ 
z ) ) )
13 xrlemin 11469 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
z  <_  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  <->  ( z  <_  B  /\  z  <_  C ) ) )
1411, 12, 13ixxin 11642 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )
)  ->  ( ( A [,] B )  i^i  ( B [,] C
) )  =  ( if ( A  <_  B ,  B ,  A ) [,] if ( B  <_  C ,  B ,  C )
) )
152, 9, 9, 10, 14syl22anc 1272 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B )  i^i  ( B [,] C ) )  =  ( if ( A  <_  B ,  B ,  A ) [,] if ( B  <_  C ,  B ,  C ) ) )
167simp2d 1022 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
1716iftrued 3857 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  =  B )
187simp3d 1023 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
1918iftrued 3857 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  =  B )
2017, 19oveq12d 6294 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( if ( A  <_  B ,  B ,  A ) [,] if ( B  <_  C ,  B ,  C )
)  =  ( B [,] B ) )
21 iccid 11671 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR*  ->  ( B [,] B )  =  { B } )
229, 21syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B [,] B
)  =  { B } )
2315, 20, 223eqtrd 2490 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B )  i^i  ( B [,] C ) )  =  { B }
)
2423fveq2d 5852 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( ( A [,] B )  i^i  ( B [,] C ) ) )  =  ( vol* `  { B } ) )
25 ovolsn 22459 . . . 4  |-  ( B  e.  RR  ->  ( vol* `  { B } )  =  0 )
268, 25syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol* `  { B } )  =  0 )
2724, 26eqtrd 2486 . 2  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( ( A [,] B )  i^i  ( B [,] C ) ) )  =  0 )
28 iccsplit 11756 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR  /\  B  e.  ( A [,] C
) )  ->  ( A [,] C )  =  ( ( A [,] B )  u.  ( B [,] C ) ) )
291, 4, 3, 28syl3anc 1271 . 2  |-  ( ph  ->  ( A [,] C
)  =  ( ( A [,] B )  u.  ( B [,] C ) ) )
30 itgspliticc.4 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] C ) )  ->  D  e.  V )
31 itgspliticc.5 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  D )  e.  L^1 )
32 itgspliticc.6 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B [,] C ) 
|->  D )  e.  L^1 )
3327, 29, 30, 31, 32itgsplit 22805 1  |-  ( ph  ->  S. ( A [,] C ) D  _d x  =  ( S. ( A [,] B
) D  _d x  +  S. ( B [,] C ) D  _d x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    /\ w3a 986    = wceq 1448    e. wcel 1891    u. cun 3370    i^i cin 3371   ifcif 3849   {csn 3936   class class class wbr 4374    |-> cmpt 4433   ` cfv 5561  (class class class)co 6276   RRcr 9525   0cc0 9526    + caddc 9529   RR*cxr 9661    <_ cle 9663   [,]cicc 11628   vol*covol 22424   L^1cibl 22587   S.citg 22588
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1673  ax-4 1686  ax-5 1762  ax-6 1809  ax-7 1855  ax-8 1893  ax-9 1900  ax-10 1919  ax-11 1924  ax-12 1937  ax-13 2092  ax-ext 2432  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4506  ax-pow 4554  ax-pr 4612  ax-un 6571  ax-inf2 8133  ax-cnex 9582  ax-resscn 9583  ax-1cn 9584  ax-icn 9585  ax-addcl 9586  ax-addrcl 9587  ax-mulcl 9588  ax-mulrcl 9589  ax-mulcom 9590  ax-addass 9591  ax-mulass 9592  ax-distr 9593  ax-i2m1 9594  ax-1ne0 9595  ax-1rid 9596  ax-rnegex 9597  ax-rrecex 9598  ax-cnre 9599  ax-pre-lttri 9600  ax-pre-lttrn 9601  ax-pre-ltadd 9602  ax-pre-mulgt0 9603  ax-pre-sup 9604  ax-addf 9605
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1451  df-fal 1454  df-ex 1668  df-nf 1672  df-sb 1802  df-eu 2304  df-mo 2305  df-clab 2439  df-cleq 2445  df-clel 2448  df-nfc 2582  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3015  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-pss 3388  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-tp 3941  df-op 3943  df-uni 4169  df-int 4205  df-iun 4250  df-disj 4346  df-br 4375  df-opab 4434  df-mpt 4435  df-tr 4470  df-eprel 4723  df-id 4727  df-po 4733  df-so 4734  df-fr 4771  df-se 4772  df-we 4773  df-xp 4818  df-rel 4819  df-cnv 4820  df-co 4821  df-dm 4822  df-rn 4823  df-res 4824  df-ima 4825  df-pred 5359  df-ord 5405  df-on 5406  df-lim 5407  df-suc 5408  df-iota 5525  df-fun 5563  df-fn 5564  df-f 5565  df-f1 5566  df-fo 5567  df-f1o 5568  df-fv 5569  df-isom 5570  df-riota 6238  df-ov 6279  df-oprab 6280  df-mpt2 6281  df-of 6519  df-ofr 6520  df-om 6681  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-2o 7170  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-pm 7462  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fi 7912  df-sup 7943  df-inf 7944  df-oi 8012  df-card 8360  df-cda 8585  df-pnf 9664  df-mnf 9665  df-xr 9666  df-ltxr 9667  df-le 9668  df-sub 9849  df-neg 9850  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-n0 10860  df-z 10928  df-uz 11150  df-q 11255  df-rp 11293  df-xneg 11399  df-xadd 11400  df-xmul 11401  df-ioo 11629  df-ico 11631  df-icc 11632  df-fz 11776  df-fzo 11909  df-fl 12022  df-mod 12091  df-seq 12208  df-exp 12267  df-hash 12510  df-cj 13173  df-re 13174  df-im 13175  df-sqrt 13309  df-abs 13310  df-clim 13563  df-sum 13764  df-rest 15332  df-topgen 15353  df-psmet 18973  df-xmet 18974  df-met 18975  df-bl 18976  df-mopn 18977  df-top 19932  df-bases 19933  df-topon 19934  df-cmp 20413  df-ovol 22427  df-vol 22429  df-mbf 22589  df-itg1 22590  df-itg2 22591  df-ibl 22592  df-itg 22593
This theorem is referenced by:  itgspltprt  37898  fourierdlem107  38134
  Copyright terms: Public domain W3C validator