MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgspliticc Structured version   Unicode version

Theorem itgspliticc 21333
Description: The  S. integral splits on closed intervals with matching endpoints. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgspliticc.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
itgspliticc.2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
itgspliticc.3  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A [,] C ) )
itgspliticc.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] C ) )  ->  D  e.  V )
itgspliticc.5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  D )  e.  L^1 )
itgspliticc.6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B [,] C ) 
|->  D )  e.  L^1 )
Assertion
Ref Expression
itgspliticc  |-  ( ph  ->  S. ( A [,] C ) D  _d x  =  ( S. ( A [,] B
) D  _d x  +  S. ( B [,] C ) D  _d x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C    x, V    ph, x
Allowed substitution hint:    D( x)

Proof of Theorem itgspliticc
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgspliticc.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
21rexrd 9452 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
3 itgspliticc.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A [,] C ) )
4 itgspliticc.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
5 elicc2 11379 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  e.  ( A [,] C )  <-> 
( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  <_  C ) ) )
61, 4, 5syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( A [,] C )  <-> 
( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  <_  C ) ) )
73, 6mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  e.  RR  /\  A  <_  B  /\  B  <_  C ) )
87simp1d 1000 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
98rexrd 9452 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
104rexrd 9452 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
11 df-icc 11326 . . . . . . 7  |-  [,]  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <_  y ) } )
12 xrmaxle 11174 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* )  ->  ( if ( A  <_  B ,  B ,  A )  <_  z  <->  ( A  <_  z  /\  B  <_ 
z ) ) )
13 xrlemin 11175 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
z  <_  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  <->  ( z  <_  B  /\  z  <_  C ) ) )
1411, 12, 13ixxin 11336 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )
)  ->  ( ( A [,] B )  i^i  ( B [,] C
) )  =  ( if ( A  <_  B ,  B ,  A ) [,] if ( B  <_  C ,  B ,  C )
) )
152, 9, 9, 10, 14syl22anc 1219 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B )  i^i  ( B [,] C ) )  =  ( if ( A  <_  B ,  B ,  A ) [,] if ( B  <_  C ,  B ,  C ) ) )
167simp2d 1001 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
17 iftrue 3816 . . . . . . 7  |-  ( A  <_  B  ->  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  =  B )
1816, 17syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  =  B )
197simp3d 1002 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
20 iftrue 3816 . . . . . . 7  |-  ( B  <_  C  ->  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  =  B )
2119, 20syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( B  <_  C ,  B ,  C )  =  B )
2218, 21oveq12d 6128 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( if ( A  <_  B ,  B ,  A ) [,] if ( B  <_  C ,  B ,  C )
)  =  ( B [,] B ) )
23 iccid 11364 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR*  ->  ( B [,] B )  =  { B } )
249, 23syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B [,] B
)  =  { B } )
2515, 22, 243eqtrd 2479 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B )  i^i  ( B [,] C ) )  =  { B }
)
2625fveq2d 5714 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( ( A [,] B )  i^i  ( B [,] C ) ) )  =  ( vol* `  { B } ) )
27 ovolsn 20997 . . . 4  |-  ( B  e.  RR  ->  ( vol* `  { B } )  =  0 )
288, 27syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol* `  { B } )  =  0 )
2926, 28eqtrd 2475 . 2  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( ( A [,] B )  i^i  ( B [,] C ) ) )  =  0 )
30 iccsplit 11437 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR  /\  B  e.  ( A [,] C
) )  ->  ( A [,] C )  =  ( ( A [,] B )  u.  ( B [,] C ) ) )
311, 4, 3, 30syl3anc 1218 . 2  |-  ( ph  ->  ( A [,] C
)  =  ( ( A [,] B )  u.  ( B [,] C ) ) )
32 itgspliticc.4 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] C ) )  ->  D  e.  V )
33 itgspliticc.5 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  D )  e.  L^1 )
34 itgspliticc.6 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B [,] C ) 
|->  D )  e.  L^1 )
3529, 31, 32, 33, 34itgsplit 21332 1  |-  ( ph  ->  S. ( A [,] C ) D  _d x  =  ( S. ( A [,] B
) D  _d x  +  S. ( B [,] C ) D  _d x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    u. cun 3345    i^i cin 3346   ifcif 3810   {csn 3896   class class class wbr 4311    e. cmpt 4369   ` cfv 5437  (class class class)co 6110   RRcr 9300   0cc0 9301    + caddc 9304   RR*cxr 9436    <_ cle 9438   [,]cicc 11322   vol*covol 20965   L^1cibl 21116   S.citg 21117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-inf2 7866  ax-cnex 9357  ax-resscn 9358  ax-1cn 9359  ax-icn 9360  ax-addcl 9361  ax-addrcl 9362  ax-mulcl 9363  ax-mulrcl 9364  ax-mulcom 9365  ax-addass 9366  ax-mulass 9367  ax-distr 9368  ax-i2m1 9369  ax-1ne0 9370  ax-1rid 9371  ax-rnegex 9372  ax-rrecex 9373  ax-cnre 9374  ax-pre-lttri 9375  ax-pre-lttrn 9376  ax-pre-ltadd 9377  ax-pre-mulgt0 9378  ax-pre-sup 9379  ax-addf 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rmo 2742  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-uni 4111  df-int 4148  df-iun 4192  df-disj 4282  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-se 4699  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-isom 5446  df-riota 6071  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6339  df-ofr 6340  df-om 6496  df-1st 6596  df-2nd 6597  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-1o 6939  df-2o 6940  df-oadd 6943  df-er 7120  df-map 7235  df-pm 7236  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-fin 7333  df-fi 7680  df-sup 7710  df-oi 7743  df-card 8128  df-cda 8356  df-pnf 9439  df-mnf 9440  df-xr 9441  df-ltxr 9442  df-le 9443  df-sub 9616  df-neg 9617  df-div 10013  df-nn 10342  df-2 10399  df-3 10400  df-4 10401  df-n0 10599  df-z 10666  df-uz 10881  df-q 10973  df-rp 11011  df-xneg 11108  df-xadd 11109  df-xmul 11110  df-ioo 11323  df-ico 11325  df-icc 11326  df-fz 11457  df-fzo 11568  df-fl 11661  df-mod 11728  df-seq 11826  df-exp 11885  df-hash 12123  df-cj 12607  df-re 12608  df-im 12609  df-sqr 12743  df-abs 12744  df-clim 12985  df-sum 13183  df-rest 14380  df-topgen 14401  df-psmet 17828  df-xmet 17829  df-met 17830  df-bl 17831  df-mopn 17832  df-top 18522  df-bases 18524  df-topon 18525  df-cmp 19009  df-ovol 20967  df-vol 20968  df-mbf 21118  df-itg1 21119  df-itg2 21120  df-ibl 21121  df-itg 21122
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator