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Theorem itgsinexplem1 37133
Description: Integration by parts is applied to integrate sin^(N+1). (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsinexplem1.1  |-  F  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )
itgsinexplem1.2  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )
itgsinexplem1.3  |-  H  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )
itgsinexplem1.4  |-  I  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( sin `  x ) ^ N
)  x.  ( sin `  x ) ) )
itgsinexplem1.5  |-  L  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )
itgsinexplem1.6  |-  M  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )
itgsinexplem1.7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
itgsinexplem1  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin `  x
) ^ N )  x.  ( sin `  x
) )  _d x  =  ( N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x ) )
Distinct variable groups:    x, N    ph, x
Allowed substitution hints:    F( x)    G( x)    H( x)    I( x)    L( x)    M( x)

Proof of Theorem itgsinexplem1
StepHypRef Expression
1 0m0e0 10688 . . . . 5  |-  ( 0  -  0 )  =  0
21oveq1i 6290 . . . 4  |-  ( ( 0  -  0 )  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  _d x )  =  ( 0  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  _d x )
3 0re 9628 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
43a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
5 pire 23145 . . . . . 6  |-  pi  e.  RR
65a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR )
7 pipos 23147 . . . . . . 7  |-  0  <  pi
83, 5, 7ltleii 9741 . . . . . 6  |-  0  <_  pi
98a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  pi )
103, 5pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR )
11 iccssre 11662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( 0 [,] pi )  C_  RR )
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 [,] pi )  C_  RR
13 ax-resscn 9581 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  C_  CC
1412, 13sstri 3453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,] pi )  C_  CC
1514sseli 3440 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  x  e.  CC )
1615adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  x  e.  CC )
1715sincld 14076 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
1817adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
19 itgsinexplem1.7 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
2019nnnn0d 10895 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2120adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  N  e.  NN0 )
2218, 21expcld 12356 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ N )  e.  CC )
23 itgsinexplem1.1 . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )
2423fvmpt2 5943 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( sin `  x
) ^ N )  e.  CC )  -> 
( F `  x
)  =  ( ( sin `  x ) ^ N ) )
2516, 22, 24syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( F `  x )  =  ( ( sin `  x ) ^ N
) )
2625eqcomd 2412 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ N )  =  ( F `  x ) )
2726mpteq2dva 4483 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( F `
 x ) ) )
28 nfmpt1 4486 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )
2923, 28nfcxfr 2564 . . . . . . 7  |-  F/_ x F
30 nfcv 2566 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x sin
31 sincn 23133 . . . . . . . . . 10  |-  sin  e.  ( CC -cn-> CC )
3231a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  sin  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
3330, 32, 20expcnfg 36967 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
3423, 33syl5eqel 2496 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
3514a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 [,] pi )  C_  CC )
3629, 34, 35cncfmptss 36962 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( F `  x
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
3727, 36eqeltrd 2492 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  e.  ( ( 0 [,] pi )
-cn-> CC ) )
3815coscld 14077 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
3938negcld 9956 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
40 itgsinexplem1.2 . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )
4140fvmpt2 5943 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  -u ( cos `  x
)  e.  CC )  ->  ( G `  x )  =  -u ( cos `  x ) )
4215, 39, 41syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( G `  x )  =  -u ( cos `  x
) )
4342eqcomd 2412 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  -u ( cos `  x )  =  ( G `  x
) )
4443adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  -u ( cos `  x )  =  ( G `  x
) )
4544mpteq2dva 4483 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  -u ( cos `  x
) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( G `  x ) ) )
46 nfmpt1 4486 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )
4740, 46nfcxfr 2564 . . . . . . 7  |-  F/_ x G
48 coscn 23134 . . . . . . . . 9  |-  cos  e.  ( CC -cn-> CC )
4948a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  cos  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
5040negfcncf 21717 . . . . . . . 8  |-  ( cos 
e.  ( CC -cn-> CC )  ->  G  e.  ( CC -cn-> CC ) )
5149, 50syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
5247, 51, 35cncfmptss 36962 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( G `  x
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
5345, 52eqeltrd 2492 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  -u ( cos `  x
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
54 itgsinexplem1.3 . . . . . 6  |-  H  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )
55 ssid 3463 . . . . . . . . . . 11  |-  CC  C_  CC
5655a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
5719nncnd 10594 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
5856, 57, 56constcncfg 37054 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  N )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
59 nnm1nn0 10880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
6019, 59syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
6130, 32, 60expcnfg 36967 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
6258, 61mulcncf 22153 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
63 cosf 14071 . . . . . . . . . . 11  |-  cos : CC
--> CC
6463a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  cos : CC --> CC )
6564feqmptd 5904 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  cos  =  ( x  e.  CC  |->  ( cos `  x ) ) )
6665, 48syl6eqelr 2501 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( cos `  x ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
6762, 66mulcncf 22153 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
6854, 67syl5eqel 2496 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  H  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
69 ioosscn 36909 . . . . . . 7  |-  ( 0 (,) pi )  C_  CC
7069a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) pi )  C_  CC )
7157adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  N  e.  CC )
7269sseli 3440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  x  e.  CC )
7372sincld 14076 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
7473adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
7560adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
7674, 75expcld 12356 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) )  e.  CC )
7771, 76mulcld 9648 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^
( N  -  1 ) ) )  e.  CC )
7872coscld 14077 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
7978adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
8077, 79mulcld 9648 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  e.  CC )
8154, 68, 70, 56, 80cncfmptssg 37053 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )  e.  ( ( 0 (,) pi ) -cn-> CC ) )
8230, 32, 70cncfmptss 36962 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( sin `  x
) )  e.  ( ( 0 (,) pi ) -cn-> CC ) )
83 ioossicc 11666 . . . . . . 7  |-  ( 0 (,) pi )  C_  ( 0 [,] pi )
8483a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) pi )  C_  ( 0 [,] pi ) )
85 ioombl 22269 . . . . . . 7  |-  ( 0 (,) pi )  e. 
dom  vol
8685a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) pi )  e.  dom  vol )
8722, 18mulcld 9648 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( ( sin `  x
) ^ N )  x.  ( sin `  x
) )  e.  CC )
88 itgsinexplem1.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  I  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( sin `  x ) ^ N
)  x.  ( sin `  x ) ) )
8988fvmpt2 5943 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( ( sin `  x ) ^ N
)  x.  ( sin `  x ) )  e.  CC )  ->  (
I `  x )  =  ( ( ( sin `  x ) ^ N )  x.  ( sin `  x
) ) )
9016, 87, 89syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
I `  x )  =  ( ( ( sin `  x ) ^ N )  x.  ( sin `  x
) ) )
9190eqcomd 2412 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( ( sin `  x
) ^ N )  x.  ( sin `  x
) )  =  ( I `  x ) )
9291mpteq2dva 4483 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( ( sin `  x ) ^ N
)  x.  ( sin `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( I `  x ) ) )
93 nfmpt1 4486 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( x  e.  CC  |->  ( ( ( sin `  x ) ^ N
)  x.  ( sin `  x ) ) )
9488, 93nfcxfr 2564 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x I
95 sinf 14070 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  sin : CC
--> CC
9695a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  sin : CC --> CC )
9796feqmptd 5904 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  sin  =  ( x  e.  CC  |->  ( sin `  x ) ) )
9897, 31syl6eqelr 2501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( sin `  x ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
9933, 98mulcncf 22153 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( sin `  x ) ^ N
)  x.  ( sin `  x ) ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
10088, 99syl5eqel 2496 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  I  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
10194, 100, 35cncfmptss 36962 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( I `  x
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
10292, 101eqeltrd 2492 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( ( sin `  x ) ^ N
)  x.  ( sin `  x ) ) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
103 cniccibl 22541 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( ( sin `  x
) ^ N )  x.  ( sin `  x
) ) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( ( sin `  x ) ^ N )  x.  ( sin `  x
) ) )  e.  L^1 )
1044, 6, 102, 103syl3anc 1232 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( ( sin `  x ) ^ N
)  x.  ( sin `  x ) ) )  e.  L^1 )
10584, 86, 87, 104iblss 22505 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( ( ( sin `  x ) ^ N
)  x.  ( sin `  x ) ) )  e.  L^1 )
10657adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  N  e.  CC )
10760adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
10818, 107expcld 12356 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) )  e.  CC )
109106, 108mulcld 9648 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^
( N  -  1 ) ) )  e.  CC )
11038adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
111109, 110mulcld 9648 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  e.  CC )
11239adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
113111, 112mulcld 9648 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  e.  CC )
114 itgsinexplem1.5 . . . . . . . 8  |-  L  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )
115 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )
116115negfcncf 21717 . . . . . . . . . . 11  |-  ( cos 
e.  ( CC -cn-> CC )  ->  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
11749, 116syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
11867, 117mulcncf 22153 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
119114, 118syl5eqel 2496 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  L  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
120114, 119, 35, 56, 113cncfmptssg 37053 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
121 cniccibl 22541 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  x.  ( cos `  x
) )  x.  -u ( cos `  x ) ) )  e.  L^1 )
1224, 6, 120, 121syl3anc 1232 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )  e.  L^1 )
12384, 86, 113, 122iblss 22505 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )  e.  L^1 )
124 reelprrecn 9616 . . . . . . 7  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
125124a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
126 recn 9614 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
127126sincld 14076 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
128127adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
12920adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  N  e. 
NN0 )
130128, 129expcld 12356 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( sin `  x ) ^ N )  e.  CC )
13157adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  N  e.  CC )
13260adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( N  -  1 )  e. 
NN0 )
133128, 132expcld 12356 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) )  e.  CC )
134131, 133mulcld 9648 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  e.  CC )
135126coscld 14077 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
136135adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
137134, 136mulcld 9648 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  x.  ( cos `  x
) )  e.  CC )
138 sincl 14072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  CC  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
139138adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
14020adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  N  e. 
NN0 )
141139, 140expcld 12356 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( sin `  x ) ^ N )  e.  CC )
142141, 23fmptd 6035 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : CC --> CC )
143126adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  CC )
144 elex 3070 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  e.  CC  ->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^
( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x
) )  e.  _V )
145137, 144syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  x.  ( cos `  x
) )  e.  _V )
146 rabid 2986 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  { x  e.  CC  |  ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  x.  ( cos `  x
) )  e.  _V } 
<->  ( x  e.  CC  /\  ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  e. 
_V ) )
147143, 145, 146sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  x  e. 
{ x  e.  CC  |  ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  e.  _V } )
14854dmmpt 5320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  H  =  { x  e.  CC  |  ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  e.  _V }
149147, 148syl6eleqr 2503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  x  e. 
dom  H )
150149ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  ->  x  e.  dom  H
) )
151150alrimiv 1742 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x ( x  e.  RR  ->  x  e.  dom  H ) )
152 nfcv 2566 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x RR
153 nfmpt1 4486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( x  e.  CC  |->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )
15454, 153nfcxfr 2564 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x H
155154nfdm 5067 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x dom  H
156152, 155dfss2f 3435 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR  C_  dom  H  <->  A. x
( x  e.  RR  ->  x  e.  dom  H
) )
157151, 156sylibr 214 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  RR  C_  dom  H )
15819dvsinexp 37086 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) ) )
15923oveq2i 6291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( CC 
_D  F )  =  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) ) )
160158, 159, 543eqtr4g 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  F
)  =  H )
161160dmeqd 5028 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  ( CC  _D  F )  =  dom  H )
162157, 161sseqtr4d 3481 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  RR  C_  dom  ( CC 
_D  F ) )
163 dvres3 22611 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( RR  e.  { RR ,  CC }  /\  F : CC --> CC )  /\  ( CC  C_  CC  /\  RR  C_  dom  ( CC  _D  F
) ) )  -> 
( RR  _D  ( F  |`  RR ) )  =  ( ( CC 
_D  F )  |`  RR ) )
164125, 142, 56, 162, 163syl22anc 1233 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( F  |`  RR ) )  =  ( ( CC 
_D  F )  |`  RR ) )
16523reseq1i 5092 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  |`  RR )  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  |`  RR )
166 resmpt 5145 . . . . . . . . . . 11  |-  ( RR  C_  CC  ->  ( (
x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  |`  RR )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( sin `  x ) ^ N
) ) )
16713, 166ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  |`  RR )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( sin `  x ) ^ N
) )
168165, 167eqtri 2433 . . . . . . . . 9  |-  ( F  |`  RR )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )
169168oveq2i 6291 . . . . . . . 8  |-  ( RR 
_D  ( F  |`  RR ) )  =  ( RR  _D  ( x  e.  RR  |->  ( ( sin `  x ) ^ N ) ) )
170169a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( F  |`  RR ) )  =  ( RR  _D  ( x  e.  RR  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) ) ) )
171160reseq1d 5095 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( CC  _D  F )  |`  RR )  =  ( H  |`  RR ) )
17254reseq1i 5092 . . . . . . . . 9  |-  ( H  |`  RR )  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )  |`  RR )
173 resmpt 5145 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR  C_  CC  ->  ( (
x  e.  CC  |->  ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )  |`  RR )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) ) )
17413, 173ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )  |`  RR )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )
175172, 174eqtri 2433 . . . . . . . 8  |-  ( H  |`  RR )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )
176171, 175syl6eq 2461 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( CC  _D  F )  |`  RR )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) ) )
177164, 170, 1763eqtr3d 2453 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) ) )
17812a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 [,] pi )  C_  RR )
179 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
180179tgioo2 21602 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
18110a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR ) )
182 iccntr 21620 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( 0 [,] pi ) )  =  ( 0 (,) pi ) )
183181, 182syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( 0 [,] pi ) )  =  ( 0 (,) pi ) )
184125, 130, 137, 177, 178, 180, 179, 183dvmptres2 22659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) ) )
185135negcld 9956 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
186185adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
187127negcld 9956 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  -u ( sin `  x )  e.  CC )
188187adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  -u ( sin `  x )  e.  CC )
189 dvcosre 37087 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
_D  ( x  e.  RR  |->  ( cos `  x
) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  -u ( sin `  x
) )
190189a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  ( cos `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  -u ( sin `  x ) ) )
191125, 136, 188, 190dvmptneg 22663 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  -u ( cos `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  -u -u ( sin `  x
) ) )
192127negnegd 9960 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  -u -u ( sin `  x )  =  ( sin `  x
) )
193192adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  -u -u ( sin `  x )  =  ( sin `  x
) )
194193mpteq2dva 4483 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  -u -u ( sin `  x
) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( sin `  x ) ) )
195191, 194eqtrd 2445 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  -u ( cos `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( sin `  x ) ) )
196125, 186, 128, 195, 178, 180, 179, 183dvmptres2 22659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  -u ( cos `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  ( sin `  x ) ) )
197 fveq2 5851 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  0  ->  ( sin `  x )  =  ( sin `  0
) )
198 sin0 14095 . . . . . . . . . . 11  |-  ( sin `  0 )  =  0
199197, 198syl6eq 2461 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  ( sin `  x )  =  0 )
200199oveq1d 6295 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  (
( sin `  x
) ^ N )  =  ( 0 ^ N ) )
201200adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  = 
0 )  ->  (
( sin `  x
) ^ N )  =  ( 0 ^ N ) )
20219adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  = 
0 )  ->  N  e.  NN )
2032020expd 12372 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  = 
0 )  ->  (
0 ^ N )  =  0 )
204201, 203eqtrd 2445 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  = 
0 )  ->  (
( sin `  x
) ^ N )  =  0 )
205204oveq1d 6295 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  = 
0 )  ->  (
( ( sin `  x
) ^ N )  x.  -u ( cos `  x
) )  =  ( 0  x.  -u ( cos `  x ) ) )
206 id 23 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  x  =  0 )
207 0cn 9620 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  CC
208206, 207syl6eqel 2500 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  x  e.  CC )
209 coscl 14073 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
210209negcld 9956 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
211208, 210syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
212211adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  = 
0 )  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
213212mul02d 9814 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  = 
0 )  ->  (
0  x.  -u ( cos `  x ) )  =  0 )
214205, 213eqtrd 2445 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  = 
0 )  ->  (
( ( sin `  x
) ^ N )  x.  -u ( cos `  x
) )  =  0 )
215 fveq2 5851 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  pi  ->  ( sin `  x )  =  ( sin `  pi ) )
216 sinpi 23144 . . . . . . . . . . 11  |-  ( sin `  pi )  =  0
217215, 216syl6eq 2461 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  pi  ->  ( sin `  x )  =  0 )
218217oveq1d 6295 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  pi  ->  (
( sin `  x
) ^ N )  =  ( 0 ^ N ) )
219218adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  =  pi )  ->  ( ( sin `  x ) ^ N )  =  ( 0 ^ N
) )
22019adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  =  pi )  ->  N  e.  NN )
2212200expd 12372 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  =  pi )  ->  ( 0 ^ N )  =  0 )
222219, 221eqtrd 2445 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  =  pi )  ->  ( ( sin `  x ) ^ N )  =  0 )
223222oveq1d 6295 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  =  pi )  ->  ( ( ( sin `  x
) ^ N )  x.  -u ( cos `  x
) )  =  ( 0  x.  -u ( cos `  x ) ) )
224 id 23 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  pi  ->  x  =  pi )
225 picn 23146 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  CC
226224, 225syl6eqel 2500 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  pi  ->  x  e.  CC )
227226coscld 14077 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  pi  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
228227negcld 9956 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  pi  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
229228adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  =  pi )  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
230229mul02d 9814 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  =  pi )  ->  ( 0  x.  -u ( cos `  x
) )  =  0 )
231223, 230eqtrd 2445 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  =  pi )  ->  ( ( ( sin `  x
) ^ N )  x.  -u ( cos `  x
) )  =  0 )
2324, 6, 9, 37, 53, 81, 82, 105, 123, 184, 196, 214, 231itgparts 22742 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin `  x
) ^ N )  x.  ( sin `  x
) )  _d x  =  ( ( 0  -  0 )  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  x.  ( cos `  x
) )  x.  -u ( cos `  x ) )  _d x ) )
233 df-neg 9846 . . . . 5  |-  -u S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  x.  ( cos `  x
) )  x.  -u ( cos `  x ) )  _d x  =  ( 0  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  _d x )
234233a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  -> 
-u S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  _d x  =  ( 0  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  _d x ) )
2352, 232, 2343eqtr4a 2471 . . 3  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin `  x
) ^ N )  x.  ( sin `  x
) )  _d x  =  -u S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  _d x )
23677, 79, 79mulassd 9651 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  ( cos `  x
) )  =  ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( ( cos `  x )  x.  ( cos `  x
) ) ) )
237 sqval 12274 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( cos `  x )  e.  CC  ->  (
( cos `  x
) ^ 2 )  =  ( ( cos `  x )  x.  ( cos `  x ) ) )
238237eqcomd 2412 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( cos `  x )  e.  CC  ->  (
( cos `  x
)  x.  ( cos `  x ) )  =  ( ( cos `  x
) ^ 2 ) )
23978, 238syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
( cos `  x
)  x.  ( cos `  x ) )  =  ( ( cos `  x
) ^ 2 ) )
240239adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( cos `  x
)  x.  ( cos `  x ) )  =  ( ( cos `  x
) ^ 2 ) )
241240oveq2d 6296 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( ( cos `  x )  x.  ( cos `  x
) ) )  =  ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( ( cos `  x ) ^ 2 ) ) )
24278sqcld 12354 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
( cos `  x
) ^ 2 )  e.  CC )
243242adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( cos `  x
) ^ 2 )  e.  CC )
24471, 76, 243mulassd 9651 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( ( cos `  x ) ^ 2 ) )  =  ( N  x.  ( ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) )  x.  ( ( cos `  x ) ^ 2 ) ) ) )
245241, 244eqtrd 2445 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( ( cos `  x )  x.  ( cos `  x
) ) )  =  ( N  x.  (
( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) )  x.  ( ( cos `  x ) ^ 2 ) ) ) )
24676, 243mulcomd 9649 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) )  x.  ( ( cos `  x ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) )
247246oveq2d 6296 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( N  x.  ( (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) )  x.  ( ( cos `  x ) ^ 2 ) ) )  =  ( N  x.  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
248236, 245, 2473eqtrd 2449 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  ( cos `  x
) )  =  ( N  x.  ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
249248negeqd 9852 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  -u (
( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  ( cos `  x
) )  =  -u ( N  x.  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
25080, 79mulneg2d 10053 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  =  -u ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  ( cos `  x
) ) )
251243, 76mulcld 9648 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  e.  CC )
25271, 251mulneg1d 10052 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( -u N  x.  ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) )  = 
-u ( N  x.  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) )
253249, 250, 2523eqtr4d 2455 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  =  (
-u N  x.  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
254253itgeq2dv 22482 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) (
-u N  x.  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) )  _d x )
25557negcld 9956 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u N  e.  CC )
25638sqcld 12354 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  (
( cos `  x
) ^ 2 )  e.  CC )
257256adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( cos `  x
) ^ 2 )  e.  CC )
258257, 108mulcld 9648 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  e.  CC )
259 itgsinexplem1.6 . . . . . . . . . . . . 13  |-  M  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )
260259fvmpt2 5943 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  e.  CC )  -> 
( M `  x
)  =  ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) )
26116, 258, 260syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( M `  x )  =  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) ) )
262261eqcomd 2412 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  =  ( M `  x ) )
263262mpteq2dva 4483 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( M `
 x ) ) )
264 nfmpt1 4486 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( x  e.  CC  |->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )
265259, 264nfcxfr 2564 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x M
266 nfcv 2566 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x cos
267 2nn0 10855 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN0
268267a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  2  e.  NN0 )
269266, 49, 268expcnfg 36967 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( cos `  x
) ^ 2 ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
270269, 61mulcncf 22153 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
271259, 270syl5eqel 2496 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
272265, 271, 35cncfmptss 36962 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( M `  x
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
273263, 272eqeltrd 2492 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  e.  ( ( 0 [,] pi )
-cn-> CC ) )
274 cniccibl 22541 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) ) )  e.  L^1 )
2754, 6, 273, 274syl3anc 1232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  e.  L^1 )
27684, 86, 258, 275iblss 22505 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  e.  L^1 )
277255, 251, 276itgmulc2 22534 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -u N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x )  =  S. ( 0 (,) pi ) (
-u N  x.  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) )  _d x )
278254, 277eqtr4d 2448 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  _d x  =  ( -u N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x ) )
279278negeqd 9852 . . 3  |-  ( ph  -> 
-u S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  _d x  =  -u ( -u N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x ) )
280235, 279eqtrd 2445 . 2  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin `  x
) ^ N )  x.  ( sin `  x
) )  _d x  =  -u ( -u N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x ) )
281251, 276itgcl 22484 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x  e.  CC )
28257, 281mulneg1d 10052 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -u N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x )  =  -u ( N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x ) )
283282negeqd 9852 . 2  |-  ( ph  -> 
-u ( -u N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x )  =  -u -u ( N  x.  S. (
0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  _d x ) )
28457, 281mulcld 9648 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x )  e.  CC )
285284negnegd 9960 . 2  |-  ( ph  -> 
-u -u ( N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x )  =  ( N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x ) )
286280, 283, 2853eqtrd 2449 1  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin `  x
) ^ N )  x.  ( sin `  x
) )  _d x  =  ( N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369   A.wal 1405    = wceq 1407    e. wcel 1844   {crab 2760   _Vcvv 3061    C_ wss 3416   {cpr 3976   class class class wbr 4397    |-> cmpt 4455   dom cdm 4825   ran crn 4826    |` cres 4827   -->wf 5567   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   CCcc 9522   RRcr 9523   0cc0 9524   1c1 9525    x. cmul 9529    <_ cle 9661    - cmin 9843   -ucneg 9844   NNcn 10578   2c2 10628   NN0cn0 10838   (,)cioo 11584   [,]cicc 11587   ^cexp 12212   sincsin 14010   cosccos 14011   picpi 14013   TopOpenctopn 15038   topGenctg 15054  ℂfldccnfld 18742   intcnt 19812   -cn->ccncf 21674   volcvol 22169   L^1cibl 22320   S.citg 22321    _D cdv 22561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-cc 8849  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602  ax-addf 9603  ax-mulf 9604
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-fal 1413  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-iin 4276  df-disj 4369  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-of 6523  df-ofr 6524  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-supp 6905  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-2o 7170  df-oadd 7173  df-omul 7174  df-er 7350  df-map 7461  df-pm 7462  df-ixp 7510  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fsupp 7866  df-fi 7907  df-sup 7937  df-oi 7971  df-card 8354  df-acn 8357  df-cda 8582  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-6 10641  df-7 10642  df-8 10643  df-9 10644  df-10 10645  df-n0 10839  df-z 10908  df-dec 11022  df-uz 11130  df-q 11230  df-rp 11268  df-xneg 11373  df-xadd 11374  df-xmul 11375  df-ioo 11588  df-ioc 11589  df-ico 11590  df-icc 11591  df-fz 11729  df-fzo 11857  df-fl 11968  df-mod 12037  df-seq 12154  df-exp 12213  df-fac 12400  df-bc 12427  df-hash 12455  df-shft 13051  df-cj 13083  df-re 13084  df-im 13085  df-sqrt 13219  df-abs 13220  df-limsup 13445  df-clim 13462  df-rlim 13463  df-sum 13660  df-ef 14014  df-sin 14016  df-cos 14017  df-pi 14019  df-struct 14845  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-ress 14850  df-plusg 14924  df-mulr 14925  df-starv 14926  df-sca 14927  df-vsca 14928  df-ip 14929  df-tset 14930  df-ple 14931  df-ds 14933  df-unif 14934  df-hom 14935  df-cco 14936  df-rest 15039  df-topn 15040  df-0g 15058  df-gsum 15059  df-topgen 15060  df-pt 15061  df-prds 15064  df-xrs 15118  df-qtop 15123  df-imas 15124  df-xps 15126  df-mre 15202  df-mrc 15203  df-acs 15205  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-submnd 16293  df-mulg 16386  df-cntz 16681  df-cmn 17126  df-psmet 18733  df-xmet 18734  df-met 18735  df-bl 18736  df-mopn 18737  df-fbas 18738  df-fg 18739  df-cnfld 18743  df-top 19693  df-bases 19695  df-topon 19696  df-topsp 19697  df-cld 19814  df-ntr 19815  df-cls 19816  df-nei 19894  df-lp 19932  df-perf 19933  df-cn 20023  df-cnp 20024  df-haus 20111  df-cmp 20182  df-tx 20357  df-hmeo 20550  df-fil 20641  df-fm 20733  df-flim 20734  df-flf 20735  df-xms 21117  df-ms 21118  df-tms 21119  df-cncf 21676  df-ovol 22170  df-vol 22171  df-mbf 22322  df-itg1 22323  df-itg2 22324  df-ibl 22325  df-itg 22326  df-0p 22371  df-limc 22564  df-dv 22565
This theorem is referenced by:  itgsinexp  37134
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