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Theorem itgsinexplem1 29644
Description: Integration by parts is applied to integrate sin^(N+1). (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsinexplem1.1  |-  F  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )
itgsinexplem1.2  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )
itgsinexplem1.3  |-  H  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )
itgsinexplem1.4  |-  I  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( sin `  x ) ^ N
)  x.  ( sin `  x ) ) )
itgsinexplem1.5  |-  L  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )
itgsinexplem1.6  |-  M  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )
itgsinexplem1.7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
itgsinexplem1  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin `  x
) ^ N )  x.  ( sin `  x
) )  _d x  =  ( N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x ) )
Distinct variable groups:    x, N    ph, x
Allowed substitution hints:    F( x)    G( x)    H( x)    I( x)    L( x)    M( x)

Proof of Theorem itgsinexplem1
StepHypRef Expression
1 0m0e0 10423 . . . . 5  |-  ( 0  -  0 )  =  0
21oveq1i 6094 . . . 4  |-  ( ( 0  -  0 )  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  _d x )  =  ( 0  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  _d x )
3 0re 9378 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
43a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
5 pire 21810 . . . . . 6  |-  pi  e.  RR
65a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR )
7 pipos 21812 . . . . . . 7  |-  0  <  pi
83, 5, 7ltleii 9489 . . . . . 6  |-  0  <_  pi
98a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  pi )
103, 5pm3.2i 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR )
11 iccssre 11369 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( 0 [,] pi )  C_  RR )
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 [,] pi )  C_  RR
13 ax-resscn 9331 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  C_  CC
1412, 13sstri 3357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,] pi )  C_  CC
1514sseli 3344 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  x  e.  CC )
1615adantl 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  x  e.  CC )
1715sincld 13401 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
1817adantl 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
19 itgsinexplem1.7 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
2019nnnn0d 10628 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2120adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  N  e.  NN0 )
2218, 21expcld 11996 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ N )  e.  CC )
23 itgsinexplem1.1 . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )
2423fvmpt2 5773 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( sin `  x
) ^ N )  e.  CC )  -> 
( F `  x
)  =  ( ( sin `  x ) ^ N ) )
2516, 22, 24syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( F `  x )  =  ( ( sin `  x ) ^ N
) )
2625eqcomd 2442 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ N )  =  ( F `  x ) )
2726mpteq2dva 4370 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( F `
 x ) ) )
28 nfmpt1 4373 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )
2923, 28nfcxfr 2570 . . . . . . 7  |-  F/_ x F
30 nfcv 2573 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x sin
31 sincn 21798 . . . . . . . . . 10  |-  sin  e.  ( CC -cn-> CC )
3231a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  sin  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
3330, 32, 20expcnfg 29623 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
3423, 33syl5eqel 2521 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
3514a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 [,] pi )  C_  CC )
3629, 34, 35cncfmptss 29617 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( F `  x
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
3727, 36eqeltrd 2511 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  e.  ( ( 0 [,] pi )
-cn-> CC ) )
3815coscld 13402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
3938negcld 9698 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
40 itgsinexplem1.2 . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )
4140fvmpt2 5773 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  -u ( cos `  x
)  e.  CC )  ->  ( G `  x )  =  -u ( cos `  x ) )
4215, 39, 41syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( G `  x )  =  -u ( cos `  x
) )
4342eqcomd 2442 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  -u ( cos `  x )  =  ( G `  x
) )
4443adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  -u ( cos `  x )  =  ( G `  x
) )
4544mpteq2dva 4370 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  -u ( cos `  x
) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( G `  x ) ) )
46 nfmpt1 4373 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )
4740, 46nfcxfr 2570 . . . . . . 7  |-  F/_ x G
48 coscn 21799 . . . . . . . . 9  |-  cos  e.  ( CC -cn-> CC )
4948a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  cos  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
5040negfcncf 20341 . . . . . . . 8  |-  ( cos 
e.  ( CC -cn-> CC )  ->  G  e.  ( CC -cn-> CC ) )
5149, 50syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
5247, 51, 35cncfmptss 29617 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( G `  x
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
5345, 52eqeltrd 2511 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  -u ( cos `  x
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
54 ioossre 11349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 (,) pi )  C_  RR
5554, 13sstri 3357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 (,) pi )  C_  CC
5655sseli 3344 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  x  e.  CC )
5756adantl 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  x  e.  CC )
5819nncnd 10330 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
5958adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  N  e.  CC )
6056sincld 13401 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
6160adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
62 nnm1nn0 10613 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
6319, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
6463adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
6561, 64expcld 11996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) )  e.  CC )
6659, 65mulcld 9398 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^
( N  -  1 ) ) )  e.  CC )
6756coscld 13402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
6867adantl 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
6966, 68mulcld 9398 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  e.  CC )
70 itgsinexplem1.3 . . . . . . . . . 10  |-  H  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )
7170fvmpt2 5773 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  e.  CC )  ->  ( H `  x )  =  ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )
7257, 69, 71syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( H `  x )  =  ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )
7372eqcomd 2442 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  =  ( H `  x
) )
7473mpteq2dva 4370 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  ( H `  x ) ) )
75 nfmpt1 4373 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( x  e.  CC  |->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )
7670, 75nfcxfr 2570 . . . . . . 7  |-  F/_ x H
77 ssid 3367 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  C_  CC
7877a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
79 cncfmptc 20333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  CC  /\  CC  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
x  e.  CC  |->  N )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
8058, 78, 78, 79syl3anc 1213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  N )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
8130, 32, 63expcnfg 29623 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
8280, 81mulcncf 20777 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
83 cosf 13396 . . . . . . . . . . . 12  |-  cos : CC
--> CC
8483a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  cos : CC --> CC )
8584feqmptd 5736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  cos  =  ( x  e.  CC  |->  ( cos `  x ) ) )
8685, 48syl6eqelr 2526 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( cos `  x ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
8782, 86mulcncf 20777 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
8870, 87syl5eqel 2521 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
8955a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) pi )  C_  CC )
9076, 88, 89cncfmptss 29617 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( H `  x
) )  e.  ( ( 0 (,) pi ) -cn-> CC ) )
9174, 90eqeltrd 2511 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )  e.  ( ( 0 (,) pi ) -cn-> CC ) )
9230, 32, 89cncfmptss 29617 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( sin `  x
) )  e.  ( ( 0 (,) pi ) -cn-> CC ) )
93 ioossicc 11373 . . . . . . 7  |-  ( 0 (,) pi )  C_  ( 0 [,] pi )
9493a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) pi )  C_  ( 0 [,] pi ) )
95 ioombl 20892 . . . . . . 7  |-  ( 0 (,) pi )  e. 
dom  vol
9695a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) pi )  e.  dom  vol )
9722, 18mulcld 9398 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( ( sin `  x
) ^ N )  x.  ( sin `  x
) )  e.  CC )
98 itgsinexplem1.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  I  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( sin `  x ) ^ N
)  x.  ( sin `  x ) ) )
9998fvmpt2 5773 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( ( sin `  x ) ^ N
)  x.  ( sin `  x ) )  e.  CC )  ->  (
I `  x )  =  ( ( ( sin `  x ) ^ N )  x.  ( sin `  x
) ) )
10016, 97, 99syl2anc 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
I `  x )  =  ( ( ( sin `  x ) ^ N )  x.  ( sin `  x
) ) )
101100eqcomd 2442 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( ( sin `  x
) ^ N )  x.  ( sin `  x
) )  =  ( I `  x ) )
102101mpteq2dva 4370 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( ( sin `  x ) ^ N
)  x.  ( sin `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( I `  x ) ) )
103 nfmpt1 4373 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( x  e.  CC  |->  ( ( ( sin `  x ) ^ N
)  x.  ( sin `  x ) ) )
10498, 103nfcxfr 2570 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x I
105 sinf 13395 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  sin : CC
--> CC
106105a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  sin : CC --> CC )
107106feqmptd 5736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  sin  =  ( x  e.  CC  |->  ( sin `  x ) ) )
108107, 31syl6eqelr 2526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( sin `  x ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
10933, 108mulcncf 20777 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( sin `  x ) ^ N
)  x.  ( sin `  x ) ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
11098, 109syl5eqel 2521 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  I  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
111104, 110, 35cncfmptss 29617 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( I `  x
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
112102, 111eqeltrd 2511 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( ( sin `  x ) ^ N
)  x.  ( sin `  x ) ) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
113 cniccibl 21164 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( ( sin `  x
) ^ N )  x.  ( sin `  x
) ) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( ( sin `  x ) ^ N )  x.  ( sin `  x
) ) )  e.  L^1 )
1144, 6, 112, 113syl3anc 1213 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( ( sin `  x ) ^ N
)  x.  ( sin `  x ) ) )  e.  L^1 )
11594, 96, 97, 114iblss 21128 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( ( ( sin `  x ) ^ N
)  x.  ( sin `  x ) ) )  e.  L^1 )
11658adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  N  e.  CC )
11763adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
11818, 117expcld 11996 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) )  e.  CC )
119116, 118mulcld 9398 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^
( N  -  1 ) ) )  e.  CC )
12038adantl 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
121119, 120mulcld 9398 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  e.  CC )
12239adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
123121, 122mulcld 9398 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  e.  CC )
124 itgsinexplem1.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  L  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )
125124fvmpt2 5773 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  e.  CC )  ->  ( L `  x )  =  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )
12616, 123, 125syl2anc 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( L `  x )  =  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  x.  ( cos `  x
) )  x.  -u ( cos `  x ) ) )
127126eqcomd 2442 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  =  ( L `  x ) )
128127mpteq2dva 4370 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( L `  x
) ) )
129 nfmpt1 4373 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( x  e.  CC  |->  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )
130124, 129nfcxfr 2570 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x L
131 eqid 2437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )
132131negfcncf 20341 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( cos 
e.  ( CC -cn-> CC )  ->  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
13349, 132syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
13487, 133mulcncf 20777 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
135124, 134syl5eqel 2521 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  L  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
136130, 135, 35cncfmptss 29617 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( L `  x
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
137128, 136eqeltrd 2511 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
138 cniccibl 21164 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  x.  ( cos `  x
) )  x.  -u ( cos `  x ) ) )  e.  L^1 )
1394, 6, 137, 138syl3anc 1213 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )  e.  L^1 )
14094, 96, 123, 139iblss 21128 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )  e.  L^1 )
141 reelprrecn 9366 . . . . . . 7  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
142141a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
143 recn 9364 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
144143sincld 13401 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
145144adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
14620adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  N  e. 
NN0 )
147145, 146expcld 11996 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( sin `  x ) ^ N )  e.  CC )
14858adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  N  e.  CC )
14963adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( N  -  1 )  e. 
NN0 )
150145, 149expcld 11996 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) )  e.  CC )
151148, 150mulcld 9398 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  e.  CC )
152143coscld 13402 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
153152adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
154151, 153mulcld 9398 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  x.  ( cos `  x
) )  e.  CC )
155 sincl 13397 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  CC  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
156155adantl 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
15720adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  N  e. 
NN0 )
158156, 157expcld 11996 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( sin `  x ) ^ N )  e.  CC )
159158, 23fmptd 5859 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : CC --> CC )
160143adantl 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  CC )
161 elex 2975 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  e.  CC  ->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^
( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x
) )  e.  _V )
162154, 161syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  x.  ( cos `  x
) )  e.  _V )
163 rabid 2891 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  { x  e.  CC  |  ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  x.  ( cos `  x
) )  e.  _V } 
<->  ( x  e.  CC  /\  ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  e. 
_V ) )
164160, 162, 163sylanbrc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  x  e. 
{ x  e.  CC  |  ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  e.  _V } )
16570dmmpt 5325 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  H  =  { x  e.  CC  |  ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  e.  _V }
166164, 165syl6eleqr 2528 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  x  e. 
dom  H )
167166ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  ->  x  e.  dom  H
) )
168167alrimiv 1686 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x ( x  e.  RR  ->  x  e.  dom  H ) )
169 nfcv 2573 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x RR
17076nfdm 5072 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x dom  H
171169, 170dfss2f 3339 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR  C_  dom  H  <->  A. x
( x  e.  RR  ->  x  e.  dom  H
) )
172168, 171sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  RR  C_  dom  H )
17319dvsinexp 29637 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) ) )
17423oveq2i 6095 . . . . . . . . . . 11  |-  ( CC 
_D  F )  =  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) ) )
175173, 174, 703eqtr4g 2494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  F
)  =  H )
176175dmeqd 5033 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  ( CC  _D  F )  =  dom  H )
177172, 176sseqtr4d 3385 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  RR  C_  dom  ( CC 
_D  F ) )
178 dvres3 21234 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( RR  e.  { RR ,  CC }  /\  F : CC --> CC )  /\  ( CC  C_  CC  /\  RR  C_  dom  ( CC  _D  F
) ) )  -> 
( RR  _D  ( F  |`  RR ) )  =  ( ( CC 
_D  F )  |`  RR ) )
179142, 159, 78, 177, 178syl22anc 1214 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( F  |`  RR ) )  =  ( ( CC 
_D  F )  |`  RR ) )
18023reseq1i 5097 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  |`  RR )  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  |`  RR )
181 resmpt 5148 . . . . . . . . . . 11  |-  ( RR  C_  CC  ->  ( (
x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  |`  RR )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( sin `  x ) ^ N
) ) )
18213, 181ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  |`  RR )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( sin `  x ) ^ N
) )
183180, 182eqtri 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( F  |`  RR )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )
184183oveq2i 6095 . . . . . . . 8  |-  ( RR 
_D  ( F  |`  RR ) )  =  ( RR  _D  ( x  e.  RR  |->  ( ( sin `  x ) ^ N ) ) )
185184a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( F  |`  RR ) )  =  ( RR  _D  ( x  e.  RR  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) ) ) )
186175reseq1d 5100 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( CC  _D  F )  |`  RR )  =  ( H  |`  RR ) )
18770reseq1i 5097 . . . . . . . . 9  |-  ( H  |`  RR )  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )  |`  RR )
188 resmpt 5148 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR  C_  CC  ->  ( (
x  e.  CC  |->  ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )  |`  RR )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) ) )
18913, 188ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )  |`  RR )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )
190187, 189eqtri 2457 . . . . . . . 8  |-  ( H  |`  RR )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )
191186, 190syl6eq 2485 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( CC  _D  F )  |`  RR )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) ) )
192179, 185, 1913eqtr3d 2477 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) ) )
19312a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 [,] pi )  C_  RR )
194 eqid 2437 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
195194tgioo2 20226 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
19610a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR ) )
197 iccntr 20244 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( 0 [,] pi ) )  =  ( 0 (,) pi ) )
198196, 197syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( 0 [,] pi ) )  =  ( 0 (,) pi ) )
199142, 147, 154, 192, 193, 195, 194, 198dvmptres2 21282 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) ) )
200152negcld 9698 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
201200adantl 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
202144negcld 9698 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  -u ( sin `  x )  e.  CC )
203202adantl 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  -u ( sin `  x )  e.  CC )
204 dvcosre 29638 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
_D  ( x  e.  RR  |->  ( cos `  x
) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  -u ( sin `  x
) )
205204a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  ( cos `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  -u ( sin `  x ) ) )
206142, 153, 203, 205dvmptneg 21286 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  -u ( cos `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  -u -u ( sin `  x
) ) )
207144negnegd 9702 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  -u -u ( sin `  x )  =  ( sin `  x
) )
208207adantl 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  -u -u ( sin `  x )  =  ( sin `  x
) )
209208mpteq2dva 4370 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  -u -u ( sin `  x
) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( sin `  x ) ) )
210206, 209eqtrd 2469 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  -u ( cos `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( sin `  x ) ) )
211142, 201, 145, 210, 193, 195, 194, 198dvmptres2 21282 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  -u ( cos `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  ( sin `  x ) ) )
212 fveq2 5683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  0  ->  ( sin `  x )  =  ( sin `  0
) )
213 sin0 13420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( sin `  0 )  =  0
214212, 213syl6eq 2485 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  ( sin `  x )  =  0 )
215214oveq1d 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  (
( sin `  x
) ^ N )  =  ( 0 ^ N ) )
216215adantl 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  = 
0 )  ->  (
( sin `  x
) ^ N )  =  ( 0 ^ N ) )
21719adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  = 
0 )  ->  N  e.  NN )
2182170expd 12012 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  = 
0 )  ->  (
0 ^ N )  =  0 )
219216, 218eqtrd 2469 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  = 
0 )  ->  (
( sin `  x
) ^ N )  =  0 )
220219oveq1d 6099 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  = 
0 )  ->  (
( ( sin `  x
) ^ N )  x.  -u ( cos `  x
) )  =  ( 0  x.  -u ( cos `  x ) ) )
221 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  x  =  0 )
222 0cn 9370 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  CC
223221, 222syl6eqel 2525 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  x  e.  CC )
224 coscl 13398 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
225224negcld 9698 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
226223, 225syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
227226adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  = 
0 )  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
228227mul02d 9559 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  = 
0 )  ->  (
0  x.  -u ( cos `  x ) )  =  0 )
229220, 228eqtrd 2469 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  = 
0 )  ->  (
( ( sin `  x
) ^ N )  x.  -u ( cos `  x
) )  =  0 )
230 fveq2 5683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  pi  ->  ( sin `  x )  =  ( sin `  pi ) )
231 sinpi 21809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( sin `  pi )  =  0
232230, 231syl6eq 2485 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  pi  ->  ( sin `  x )  =  0 )
233232oveq1d 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  pi  ->  (
( sin `  x
) ^ N )  =  ( 0 ^ N ) )
234233adantl 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  =  pi )  ->  ( ( sin `  x ) ^ N )  =  ( 0 ^ N
) )
23519adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  =  pi )  ->  N  e.  NN )
2362350expd 12012 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  =  pi )  ->  ( 0 ^ N )  =  0 )
237234, 236eqtrd 2469 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  =  pi )  ->  ( ( sin `  x ) ^ N )  =  0 )
238237oveq1d 6099 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  =  pi )  ->  ( ( ( sin `  x
) ^ N )  x.  -u ( cos `  x
) )  =  ( 0  x.  -u ( cos `  x ) ) )
239 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  pi  ->  x  =  pi )
2405recni 9390 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  CC
241239, 240syl6eqel 2525 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  pi  ->  x  e.  CC )
242241coscld 13402 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  pi  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
243242negcld 9698 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  pi  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
244243adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  =  pi )  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
245244mul02d 9559 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  =  pi )  ->  ( 0  x.  -u ( cos `  x
) )  =  0 )
246238, 245eqtrd 2469 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  =  pi )  ->  ( ( ( sin `  x
) ^ N )  x.  -u ( cos `  x
) )  =  0 )
2474, 6, 9, 37, 53, 91, 92, 115, 140, 199, 211, 229, 246itgparts 21365 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin `  x
) ^ N )  x.  ( sin `  x
) )  _d x  =  ( ( 0  -  0 )  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  x.  ( cos `  x
) )  x.  -u ( cos `  x ) )  _d x ) )
248 df-neg 9590 . . . . 5  |-  -u S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  x.  ( cos `  x
) )  x.  -u ( cos `  x ) )  _d x  =  ( 0  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  _d x )
249248a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  -> 
-u S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  _d x  =  ( 0  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  _d x ) )
2502, 247, 2493eqtr4a 2495 . . 3  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin `  x
) ^ N )  x.  ( sin `  x
) )  _d x  =  -u S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  _d x )
25166, 68, 68mulassd 9401 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  ( cos `  x
) )  =  ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( ( cos `  x )  x.  ( cos `  x
) ) ) )
252 sqval 11913 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( cos `  x )  e.  CC  ->  (
( cos `  x
) ^ 2 )  =  ( ( cos `  x )  x.  ( cos `  x ) ) )
253252eqcomd 2442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( cos `  x )  e.  CC  ->  (
( cos `  x
)  x.  ( cos `  x ) )  =  ( ( cos `  x
) ^ 2 ) )
25467, 253syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
( cos `  x
)  x.  ( cos `  x ) )  =  ( ( cos `  x
) ^ 2 ) )
255254adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( cos `  x
)  x.  ( cos `  x ) )  =  ( ( cos `  x
) ^ 2 ) )
256255oveq2d 6100 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( ( cos `  x )  x.  ( cos `  x
) ) )  =  ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( ( cos `  x ) ^ 2 ) ) )
25767sqcld 11994 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
( cos `  x
) ^ 2 )  e.  CC )
258257adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( cos `  x
) ^ 2 )  e.  CC )
25959, 65, 258mulassd 9401 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( ( cos `  x ) ^ 2 ) )  =  ( N  x.  ( ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) )  x.  ( ( cos `  x ) ^ 2 ) ) ) )
260256, 259eqtrd 2469 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( ( cos `  x )  x.  ( cos `  x
) ) )  =  ( N  x.  (
( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) )  x.  ( ( cos `  x ) ^ 2 ) ) ) )
26165, 258mulcomd 9399 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) )  x.  ( ( cos `  x ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) )
262261oveq2d 6100 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( N  x.  ( (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) )  x.  ( ( cos `  x ) ^ 2 ) ) )  =  ( N  x.  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
263251, 260, 2623eqtrd 2473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  ( cos `  x
) )  =  ( N  x.  ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
264263negeqd 9596 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  -u (
( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  ( cos `  x
) )  =  -u ( N  x.  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
26569, 68mulneg2d 9790 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  =  -u ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  ( cos `  x
) ) )
266258, 65mulcld 9398 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  e.  CC )
26759, 266mulneg1d 9789 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( -u N  x.  ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) )  = 
-u ( N  x.  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) )
268264, 265, 2673eqtr4d 2479 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  =  (
-u N  x.  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
269268itgeq2dv 21105 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) (
-u N  x.  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) )  _d x )
27058negcld 9698 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u N  e.  CC )
27138sqcld 11994 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  (
( cos `  x
) ^ 2 )  e.  CC )
272271adantl 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( cos `  x
) ^ 2 )  e.  CC )
273272, 118mulcld 9398 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  e.  CC )
274 itgsinexplem1.6 . . . . . . . . . . . . 13  |-  M  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )
275274fvmpt2 5773 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  e.  CC )  -> 
( M `  x
)  =  ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) )
27616, 273, 275syl2anc 656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( M `  x )  =  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) ) )
277276eqcomd 2442 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  =  ( M `  x ) )
278277mpteq2dva 4370 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( M `
 x ) ) )
279 nfmpt1 4373 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( x  e.  CC  |->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )
280274, 279nfcxfr 2570 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x M
281 nfcv 2573 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x cos
282 2nn0 10588 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN0
283282a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  2  e.  NN0 )
284281, 49, 283expcnfg 29623 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( cos `  x
) ^ 2 ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
285284, 81mulcncf 20777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
286274, 285syl5eqel 2521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
287280, 286, 35cncfmptss 29617 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( M `  x
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
288278, 287eqeltrd 2511 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  e.  ( ( 0 [,] pi )
-cn-> CC ) )
289 cniccibl 21164 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) ) )  e.  L^1 )
2904, 6, 288, 289syl3anc 1213 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  e.  L^1 )
29194, 96, 273, 290iblss 21128 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  e.  L^1 )
292270, 266, 291itgmulc2 21157 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -u N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x )  =  S. ( 0 (,) pi ) (
-u N  x.  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) )  _d x )
293269, 292eqtr4d 2472 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  _d x  =  ( -u N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x ) )
294293negeqd 9596 . . 3  |-  ( ph  -> 
-u S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  _d x  =  -u ( -u N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x ) )
295250, 294eqtrd 2469 . 2  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin `  x
) ^ N )  x.  ( sin `  x
) )  _d x  =  -u ( -u N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x ) )
296266, 291itgcl 21107 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x  e.  CC )
29758, 296mulneg1d 9789 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -u N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x )  =  -u ( N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x ) )
298297negeqd 9596 . 2  |-  ( ph  -> 
-u ( -u N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x )  =  -u -u ( N  x.  S. (
0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  _d x ) )
29958, 296mulcld 9398 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x )  e.  CC )
300299negnegd 9702 . 2  |-  ( ph  -> 
-u -u ( N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x )  =  ( N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x ) )
301295, 298, 3003eqtrd 2473 1  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin `  x
) ^ N )  x.  ( sin `  x
) )  _d x  =  ( N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369   A.wal 1362    = wceq 1364    e. wcel 1757   {crab 2713   _Vcvv 2966    C_ wss 3320   {cpr 3871   class class class wbr 4284    e. cmpt 4342   dom cdm 4831   ran crn 4832    |` cres 4833   -->wf 5406   ` cfv 5410  (class class class)co 6084   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    x. cmul 9279    <_ cle 9411    - cmin 9587   -ucneg 9588   NNcn 10314   2c2 10363   NN0cn0 10571   (,)cioo 11292   [,]cicc 11295   ^cexp 11853   sincsin 13336   cosccos 13337   picpi 13339   TopOpenctopn 14347   topGenctg 14363  ℂfldccnfld 17666   intcnt 18467   -cn->ccncf 20298   volcvol 20793   L^1cibl 20943   S.citg 20944    _D cdv 21184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2418  ax-rep 4395  ax-sep 4405  ax-nul 4413  ax-pow 4462  ax-pr 4523  ax-un 6365  ax-inf2 7839  ax-cc 8596  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1702  df-eu 2260  df-mo 2261  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rmo 2717  df-rab 2718  df-v 2968  df-sbc 3180  df-csb 3281  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3630  df-if 3784  df-pw 3854  df-sn 3870  df-pr 3872  df-tp 3874  df-op 3876  df-uni 4084  df-int 4121  df-iun 4165  df-iin 4166  df-disj 4255  df-br 4285  df-opab 4343  df-mpt 4344  df-tr 4378  df-eprel 4623  df-id 4627  df-po 4632  df-so 4633  df-fr 4670  df-se 4671  df-we 4672  df-ord 4713  df-on 4714  df-lim 4715  df-suc 4716  df-xp 4837  df-rel 4838  df-cnv 4839  df-co 4840  df-dm 4841  df-rn 4842  df-res 4843  df-ima 4844  df-iota 5373  df-fun 5412  df-fn 5413  df-f 5414  df-f1 5415  df-fo 5416  df-f1o 5417  df-fv 5418  df-isom 5419  df-riota 6043  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6313  df-ofr 6314  df-om 6470  df-1st 6570  df-2nd 6571  df-supp 6684  df-recs 6822  df-rdg 6856  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-omul 6917  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-acn 8104  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ioc 11297  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11429  df-fzo 11537  df-fl 11630  df-mod 11697  df-seq 11795  df-exp 11854  df-fac 12040  df-bc 12067  df-hash 12092  df-shft 12544  df-cj 12576  df-re 12577  df-im 12578  df-sqr 12712  df-abs 12713  df-limsup 12937  df-clim 12954  df-rlim 12955  df-sum 13152  df-ef 13340  df-sin 13342  df-cos 13343  df-pi 13345  df-struct 14163  df-ndx 14164  df-slot 14165  df-base 14166  df-sets 14167  df-ress 14168  df-plusg 14238  df-mulr 14239  df-starv 14240  df-sca 14241  df-vsca 14242  df-ip 14243  df-tset 14244  df-ple 14245  df-ds 14247  df-unif 14248  df-hom 14249  df-cco 14250  df-rest 14348  df-topn 14349  df-0g 14367  df-gsum 14368  df-topgen 14369  df-pt 14370  df-prds 14373  df-xrs 14427  df-qtop 14432  df-imas 14433  df-xps 14435  df-mre 14511  df-mrc 14512  df-acs 14514  df-mnd 15402  df-submnd 15452  df-mulg 15532  df-cntz 15819  df-cmn 16263  df-psmet 17657  df-xmet 17658  df-met 17659  df-bl 17660  df-mopn 17661  df-fbas 17662  df-fg 17663  df-cnfld 17667  df-top 18349  df-bases 18351  df-topon 18352  df-topsp 18353  df-cld 18469  df-ntr 18470  df-cls 18471  df-nei 18548  df-lp 18586  df-perf 18587  df-cn 18677  df-cnp 18678  df-haus 18765  df-cmp 18836  df-tx 18981  df-hmeo 19174  df-fil 19265  df-fm 19357  df-flim 19358  df-flf 19359  df-xms 19741  df-ms 19742  df-tms 19743  df-cncf 20300  df-ovol 20794  df-vol 20795  df-mbf 20945  df-itg1 20946  df-itg2 20947  df-ibl 20948  df-itg 20949  df-0p 20994  df-limc 21187  df-dv 21188
This theorem is referenced by:  itgsinexp  29645
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