Theorem itgsinexplem1 31934

Description: Integration by parts is applied to integrate sin^(N+1). (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgsinexplem1.1	|- F = ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) )
itgsinexplem1.2	|- G = ( x e. CC |-> -u ( cos ` x ) )
itgsinexplem1.3	|- H = ( x e. CC |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) )
itgsinexplem1.4	|- I = ( x e. CC |-> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) )
itgsinexplem1.5	|- L = ( x e. CC |-> ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) )
itgsinexplem1.6	|- M = ( x e. CC |-> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) )
itgsinexplem1.7	|- ( ph -> N e. NN )

Assertion

Ref	Expression
itgsinexplem1	|- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) _d x = ( N x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) _d x ) )

Distinct variable groups:   x, N   ph, x

Allowed substitution hints:   F( x)   G( x)   H( x)   I( x)   L( x)   M( x)

Proof of Theorem itgsinexplem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0m0e0 10666	. . . . 5 |- ( 0 - 0 ) = 0
2	1	oveq1i 6306	. . . 4 |- ( ( 0 - 0 ) - S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) _d x ) = ( 0 - S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) _d x )
3		0re 9613	. . . . . 6 |- 0 e. RR
4	3	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 0 e. RR )
5		pire 22977	. . . . . 6 |- pi e. RR
6	5	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> pi e. RR )
7		pipos 22979	. . . . . . 7 |- 0 < pi
8	3, 5, 7	ltleii 9724	. . . . . 6 |- 0 <_ pi
9	8	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ pi )
10	3, 5	pm3.2i 455	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 e. RR /\ pi e. RR )
11		iccssre 11631	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR ) -> ( 0 [,] pi ) C_ RR )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 [,] pi ) C_ RR
13		ax-resscn 9566	. . . . . . . . . . . 12 |- RR C_ CC
14	12, 13	sstri 3508	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 [,] pi ) C_ CC
15	14	sseli 3495	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0 [,] pi ) -> x e. CC )
16	15	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> x e. CC )
17	15	sincld 13877	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 0 [,] pi ) -> ( sin ` x ) e. CC )
18	17	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( sin ` x ) e. CC )
19		itgsinexplem1.7	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. NN )
20	19	nnnn0d 10873	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. NN0 )
21	20	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> N e. NN0 )
22	18, 21	expcld 12313	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) e. CC )
23		itgsinexplem1.1	. . . . . . . . . 10 |- F = ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) )
24	23	fvmpt2 5964	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ ( ( sin ` x ) ^ N ) e. CC ) -> ( F ` x ) = ( ( sin ` x ) ^ N ) )
25	16, 22, 24	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( F ` x ) = ( ( sin ` x ) ^ N ) )
26	25	eqcomd 2465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) = ( F ` x ) )
27	26	mpteq2dva 4543	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) = ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( F ` x ) ) )
28		nfmpt1 4546	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) )
29	23, 28	nfcxfr 2617	. . . . . . 7 |- F/_ x F
30		nfcv 2619	. . . . . . . . 9 |- F/_ x sin
31		sincn 22965	. . . . . . . . . 10 |- sin e. ( CC -cn-> CC )
32	31	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sin e. ( CC -cn-> CC ) )
33	30, 32, 20	expcnfg 31768	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
34	23, 33	syl5eqel 2549	. . . . . . 7 |- ( ph -> F e. ( CC -cn-> CC ) )
35	14	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 [,] pi ) C_ CC )
36	29, 34, 35	cncfmptss 31763	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( F ` x ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
37	27, 36	eqeltrd 2545	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
38	15	coscld 13878	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 0 [,] pi ) -> ( cos ` x ) e. CC )
39	38	negcld 9937	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0 [,] pi ) -> -u ( cos ` x ) e. CC )
40		itgsinexplem1.2	. . . . . . . . . . 11 |- G = ( x e. CC |-> -u ( cos ` x ) )
41	40	fvmpt2 5964	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ -u ( cos ` x ) e. CC ) -> ( G ` x ) = -u ( cos ` x ) )
42	15, 39, 41	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 0 [,] pi ) -> ( G ` x ) = -u ( cos ` x ) )
43	42	eqcomd 2465	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 0 [,] pi ) -> -u ( cos ` x ) = ( G ` x ) )
44	43	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> -u ( cos ` x ) = ( G ` x ) )
45	44	mpteq2dva 4543	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> -u ( cos ` x ) ) = ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( G ` x ) ) )
46		nfmpt1 4546	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( x e. CC |-> -u ( cos ` x ) )
47	40, 46	nfcxfr 2617	. . . . . . 7 |- F/_ x G
48		coscn 22966	. . . . . . . . 9 |- cos e. ( CC -cn-> CC )
49	48	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> cos e. ( CC -cn-> CC ) )
50	40	negfcncf 21549	. . . . . . . 8 |- ( cos e. ( CC -cn-> CC ) -> G e. ( CC -cn-> CC ) )
51	49, 50	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> G e. ( CC -cn-> CC ) )
52	47, 51, 35	cncfmptss 31763	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( G ` x ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
53	45, 52	eqeltrd 2545	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> -u ( cos ` x ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
54		itgsinexplem1.3	. . . . . 6 |- H = ( x e. CC |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) )
55		ssid 3518	. . . . . . . . . . 11 |- CC C_ CC
56	55	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> CC C_ CC )
57	19	nncnd 10572	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. CC )
58	56, 57, 56	constcncfg 31855	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. CC |-> N ) e. ( CC -cn-> CC ) )
59		nnm1nn0 10858	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )
60	19, 59	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. NN0 )
61	30, 32, 60	expcnfg 31768	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
62	58, 61	mulcncf 21985	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
63		cosf 13872	. . . . . . . . . . 11 |- cos : CC --> CC
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> cos : CC --> CC )
65	64	feqmptd 5926	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> cos = ( x e. CC |-> ( cos ` x ) ) )
66	65, 48	syl6eqelr 2554	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( cos ` x ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
67	62, 66	mulcncf 21985	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
68	54, 67	syl5eqel 2549	. . . . . 6 |- ( ph -> H e. ( CC -cn-> CC ) )
69		ioosscn 31709	. . . . . . 7 |- ( 0 (,) pi ) C_ CC
70	69	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 (,) pi ) C_ CC )
71	57	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> N e. CC )
72	69	sseli 3495	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> x e. CC )
73	72	sincld 13877	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( sin ` x ) e. CC )
74	73	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( sin ` x ) e. CC )
75	60	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( N - 1 ) e. NN0 )
76	74, 75	expcld 12313	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) e. CC )
77	71, 76	mulcld 9633	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) e. CC )
78	72	coscld 13878	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( cos ` x ) e. CC )
79	78	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( cos ` x ) e. CC )
80	77, 79	mulcld 9633	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) e. CC )
81	54, 68, 70, 56, 80	cncfmptssg 31854	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) ) e. ( ( 0 (,) pi ) -cn-> CC ) )
82	30, 32, 70	cncfmptss 31763	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( sin ` x ) ) e. ( ( 0 (,) pi ) -cn-> CC ) )
83		ioossicc 11635	. . . . . . 7 |- ( 0 (,) pi ) C_ ( 0 [,] pi )
84	83	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 (,) pi ) C_ ( 0 [,] pi ) )
85		ioombl 22101	. . . . . . 7 |- ( 0 (,) pi ) e. dom vol
86	85	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 (,) pi ) e. dom vol )
87	22, 18	mulcld 9633	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) e. CC )
88		itgsinexplem1.4	. . . . . . . . . . . 12 |- I = ( x e. CC |-> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) )
89	88	fvmpt2 5964	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) e. CC ) -> ( I ` x ) = ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) )
90	16, 87, 89	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( I ` x ) = ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) )
91	90	eqcomd 2465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) = ( I ` x ) )
92	91	mpteq2dva 4543	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) ) = ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( I ` x ) ) )
93		nfmpt1 4546	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( x e. CC |-> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) )
94	88, 93	nfcxfr 2617	. . . . . . . . 9 |- F/_ x I
95		sinf 13871	. . . . . . . . . . . . . 14 |- sin : CC --> CC
96	95	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> sin : CC --> CC )
97	96	feqmptd 5926	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> sin = ( x e. CC |-> ( sin ` x ) ) )
98	97, 31	syl6eqelr 2554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( sin ` x ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
99	33, 98	mulcncf 21985	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
100	88, 99	syl5eqel 2549	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> I e. ( CC -cn-> CC ) )
101	94, 100, 35	cncfmptss 31763	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( I ` x ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
102	92, 101	eqeltrd 2545	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
103		cniccibl 22373	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR /\ ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) ) -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) ) e. L^1 )
104	4, 6, 102, 103	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) ) e. L^1 )
105	84, 86, 87, 104	iblss 22337	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) ) e. L^1 )
106	57	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> N e. CC )
107	60	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( N - 1 ) e. NN0 )
108	18, 107	expcld 12313	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) e. CC )
109	106, 108	mulcld 9633	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) e. CC )
110	38	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( cos ` x ) e. CC )
111	109, 110	mulcld 9633	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) e. CC )
112	39	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> -u ( cos ` x ) e. CC )
113	111, 112	mulcld 9633	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) e. CC )
114		itgsinexplem1.5	. . . . . . . 8 |- L = ( x e. CC |-> ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) )
115		eqid 2457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC |-> -u ( cos ` x ) ) = ( x e. CC |-> -u ( cos ` x ) )
116	115	negfcncf 21549	. . . . . . . . . . 11 |- ( cos e. ( CC -cn-> CC ) -> ( x e. CC |-> -u ( cos ` x ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
117	49, 116	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. CC |-> -u ( cos ` x ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
118	67, 117	mulcncf 21985	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
119	114, 118	syl5eqel 2549	. . . . . . . 8 |- ( ph -> L e. ( CC -cn-> CC ) )
120	114, 119, 35, 56, 113	cncfmptssg 31854	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
121		cniccibl 22373	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR /\ ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) ) -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) ) e. L^1 )
122	4, 6, 120, 121	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) ) e. L^1 )
123	84, 86, 113, 122	iblss 22337	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) ) e. L^1 )
124		reelprrecn 9601	. . . . . . 7 |- RR e. { RR , CC }
125	124	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
126		recn 9599	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR -> x e. CC )
127	126	sincld 13877	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> ( sin ` x ) e. CC )
128	127	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( sin ` x ) e. CC )
129	20	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> N e. NN0 )
130	128, 129	expcld 12313	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) e. CC )
131	57	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> N e. CC )
132	60	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( N - 1 ) e. NN0 )
133	128, 132	expcld 12313	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) e. CC )
134	131, 133	mulcld 9633	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) e. CC )
135	126	coscld 13878	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> ( cos ` x ) e. CC )
136	135	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( cos ` x ) e. CC )
137	134, 136	mulcld 9633	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) e. CC )
138		sincl 13873	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC -> ( sin ` x ) e. CC )
139	138	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( sin ` x ) e. CC )
140	20	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> N e. NN0 )
141	139, 140	expcld 12313	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) e. CC )
142	141, 23	fmptd 6056	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : CC --> CC )
143	126	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> x e. CC )
144		elex 3118	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) e. CC -> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) e. _V )
145	137, 144	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) e. _V )
146		rabid 3034	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. { x e. CC | ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) e. _V } <-> ( x e. CC /\ ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) e. _V ) )
147	143, 145, 146	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> x e. { x e. CC | ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) e. _V } )
148	54	dmmpt 5508	. . . . . . . . . . . . 13 |- dom H = { x e. CC | ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) e. _V }
149	147, 148	syl6eleqr 2556	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> x e. dom H )
150	149	ex 434	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. RR -> x e. dom H ) )
151	150	alrimiv 1720	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x ( x e. RR -> x e. dom H ) )
152		nfcv 2619	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x RR
153		nfmpt1 4546	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x ( x e. CC |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) )
154	54, 153	nfcxfr 2617	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x H
155	154	nfdm 5254	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x dom H
156	152, 155	dfss2f 3490	. . . . . . . . . 10 |- ( RR C_ dom H <-> A. x ( x e. RR -> x e. dom H ) )
157	151, 156	sylibr 212	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> RR C_ dom H )
158	19	dvsinexp 31887	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) ) )
159	23	oveq2i 6307	. . . . . . . . . . 11 |- ( CC _D F ) = ( CC _D ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) )
160	158, 159, 54	3eqtr4g 2523	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( CC _D F ) = H )
161	160	dmeqd 5215	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> dom ( CC _D F ) = dom H )
162	157, 161	sseqtr4d 3536	. . . . . . . 8 |- ( ph -> RR C_ dom ( CC _D F ) )
163		dvres3 22443	. . . . . . . 8 |- ( ( ( RR e. { RR , CC } /\ F : CC --> CC ) /\ ( CC C_ CC /\ RR C_ dom ( CC _D F ) ) ) -> ( RR _D ( F |` RR ) ) = ( ( CC _D F ) |` RR ) )
164	125, 142, 56, 162, 163	syl22anc 1229	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( F |` RR ) ) = ( ( CC _D F ) |` RR ) )
165	23	reseq1i 5279	. . . . . . . . . 10 |- ( F |` RR ) = ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) |` RR )
166		resmpt 5333	. . . . . . . . . . 11 |- ( RR C_ CC -> ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) |` RR ) = ( x e. RR |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) )
167	13, 166	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) |` RR ) = ( x e. RR |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) )
168	165, 167	eqtri 2486	. . . . . . . . 9 |- ( F |` RR ) = ( x e. RR |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) )
169	168	oveq2i 6307	. . . . . . . 8 |- ( RR _D ( F |` RR ) ) = ( RR _D ( x e. RR |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) )
170	169	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( F |` RR ) ) = ( RR _D ( x e. RR |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) ) )
171	160	reseq1d 5282	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( CC _D F ) |` RR ) = ( H |` RR ) )
172	54	reseq1i 5279	. . . . . . . . 9 |- ( H |` RR ) = ( ( x e. CC |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) ) |` RR )
173		resmpt 5333	. . . . . . . . . 10 |- ( RR C_ CC -> ( ( x e. CC |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) ) |` RR ) = ( x e. RR |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) ) )
174	13, 173	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) ) |` RR ) = ( x e. RR |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) )
175	172, 174	eqtri 2486	. . . . . . . 8 |- ( H |` RR ) = ( x e. RR |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) )
176	171, 175	syl6eq 2514	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( CC _D F ) |` RR ) = ( x e. RR |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) ) )
177	164, 170, 176	3eqtr3d 2506	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. RR |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) ) = ( x e. RR |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) ) )
178	12	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 [,] pi ) C_ RR )
179		eqid 2457	. . . . . . 7 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
180	179	tgioo2 21434	. . . . . 6 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
181	10	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 e. RR /\ pi e. RR ) )
182		iccntr 21452	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( 0 [,] pi ) ) = ( 0 (,) pi ) )
183	181, 182	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( 0 [,] pi ) ) = ( 0 (,) pi ) )
184	125, 130, 137, 177, 178, 180, 179, 183	dvmptres2 22491	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) ) = ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) ) )
185	135	negcld 9937	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> -u ( cos ` x ) e. CC )
186	185	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> -u ( cos ` x ) e. CC )
187	127	negcld 9937	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR -> -u ( sin ` x ) e. CC )
188	187	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> -u ( sin ` x ) e. CC )
189		dvcosre 31888	. . . . . . . . 9 |- ( RR _D ( x e. RR |-> ( cos ` x ) ) ) = ( x e. RR |-> -u ( sin ` x ) )
190	189	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. RR |-> ( cos ` x ) ) ) = ( x e. RR |-> -u ( sin ` x ) ) )
191	125, 136, 188, 190	dvmptneg 22495	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. RR |-> -u ( cos ` x ) ) ) = ( x e. RR |-> -u -u ( sin ` x ) ) )
192	127	negnegd 9941	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR -> -u -u ( sin ` x ) = ( sin ` x ) )
193	192	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> -u -u ( sin ` x ) = ( sin ` x ) )
194	193	mpteq2dva 4543	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. RR |-> -u -u ( sin ` x ) ) = ( x e. RR |-> ( sin ` x ) ) )
195	191, 194	eqtrd 2498	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. RR |-> -u ( cos ` x ) ) ) = ( x e. RR |-> ( sin ` x ) ) )
196	125, 186, 128, 195, 178, 180, 179, 183	dvmptres2 22491	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> -u ( cos ` x ) ) ) = ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( sin ` x ) ) )
197		fveq2 5872	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = 0 -> ( sin ` x ) = ( sin ` 0 ) )
198		sin0 13896	. . . . . . . . . . 11 |- ( sin ` 0 ) = 0
199	197, 198	syl6eq 2514	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 0 -> ( sin ` x ) = 0 )
200	199	oveq1d 6311	. . . . . . . . 9 |- ( x = 0 -> ( ( sin ` x ) ^ N ) = ( 0 ^ N ) )
201	200	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x = 0 ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) = ( 0 ^ N ) )
202	19	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x = 0 ) -> N e. NN )
203	202	0expd 12329	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x = 0 ) -> ( 0 ^ N ) = 0 )
204	201, 203	eqtrd 2498	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x = 0 ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) = 0 )
205	204	oveq1d 6311	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x = 0 ) -> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. -u ( cos ` x ) ) = ( 0 x. -u ( cos ` x ) ) )
206		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 0 -> x = 0 )
207		0cn 9605	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. CC
208	206, 207	syl6eqel 2553	. . . . . . . . 9 |- ( x = 0 -> x e. CC )
209		coscl 13874	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> ( cos ` x ) e. CC )
210	209	negcld 9937	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> -u ( cos ` x ) e. CC )
211	208, 210	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( x = 0 -> -u ( cos ` x ) e. CC )
212	211	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x = 0 ) -> -u ( cos ` x ) e. CC )
213	212	mul02d 9795	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x = 0 ) -> ( 0 x. -u ( cos ` x ) ) = 0 )
214	205, 213	eqtrd 2498	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x = 0 ) -> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. -u ( cos ` x ) ) = 0 )
215		fveq2 5872	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = pi -> ( sin ` x ) = ( sin ` pi ) )
216		sinpi 22976	. . . . . . . . . . 11 |- ( sin ` pi ) = 0
217	215, 216	syl6eq 2514	. . . . . . . . . 10 |- ( x = pi -> ( sin ` x ) = 0 )
218	217	oveq1d 6311	. . . . . . . . 9 |- ( x = pi -> ( ( sin ` x ) ^ N ) = ( 0 ^ N ) )
219	218	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x = pi ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) = ( 0 ^ N ) )
220	19	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x = pi ) -> N e. NN )
221	220	0expd 12329	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x = pi ) -> ( 0 ^ N ) = 0 )
222	219, 221	eqtrd 2498	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x = pi ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) = 0 )
223	222	oveq1d 6311	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x = pi ) -> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. -u ( cos ` x ) ) = ( 0 x. -u ( cos ` x ) ) )
224		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = pi -> x = pi )
225		picn 22978	. . . . . . . . . . 11 |- pi e. CC
226	224, 225	syl6eqel 2553	. . . . . . . . . 10 |- ( x = pi -> x e. CC )
227	226	coscld 13878	. . . . . . . . 9 |- ( x = pi -> ( cos ` x ) e. CC )
228	227	negcld 9937	. . . . . . . 8 |- ( x = pi -> -u ( cos ` x ) e. CC )
229	228	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x = pi ) -> -u ( cos ` x ) e. CC )
230	229	mul02d 9795	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x = pi ) -> ( 0 x. -u ( cos ` x ) ) = 0 )
231	223, 230	eqtrd 2498	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x = pi ) -> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. -u ( cos ` x ) ) = 0 )
232	4, 6, 9, 37, 53, 81, 82, 105, 123, 184, 196, 214, 231	itgparts 22574	. . . 4 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) _d x = ( ( 0 - 0 ) - S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) _d x ) )
233		df-neg 9827	. . . . 5 |- -u S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) _d x = ( 0 - S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) _d x )
234	233	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> -u S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) _d x = ( 0 - S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) _d x ) )
235	2, 232, 234	3eqtr4a 2524	. . 3 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) _d x = -u S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) _d x )
236	77, 79, 79	mulassd 9636	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. ( cos ` x ) ) = ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( ( cos ` x ) x. ( cos ` x ) ) ) )
237		sqval 12230	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( cos ` x ) e. CC -> ( ( cos ` x ) ^ 2 ) = ( ( cos ` x ) x. ( cos ` x ) ) )
238	237	eqcomd 2465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( cos ` x ) e. CC -> ( ( cos ` x ) x. ( cos ` x ) ) = ( ( cos ` x ) ^ 2 ) )
239	78, 238	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( ( cos ` x ) x. ( cos ` x ) ) = ( ( cos ` x ) ^ 2 ) )
240	239	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( cos ` x ) x. ( cos ` x ) ) = ( ( cos ` x ) ^ 2 ) )
241	240	oveq2d 6312	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( ( cos ` x ) x. ( cos ` x ) ) ) = ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( ( cos ` x ) ^ 2 ) ) )
242	78	sqcld 12311	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( ( cos ` x ) ^ 2 ) e. CC )
243	242	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( cos ` x ) ^ 2 ) e. CC )
244	71, 76, 243	mulassd 9636	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( ( cos ` x ) ^ 2 ) ) = ( N x. ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) x. ( ( cos ` x ) ^ 2 ) ) ) )
245	241, 244	eqtrd 2498	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( ( cos ` x ) x. ( cos ` x ) ) ) = ( N x. ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) x. ( ( cos ` x ) ^ 2 ) ) ) )
246	76, 243	mulcomd 9634	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) x. ( ( cos ` x ) ^ 2 ) ) = ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) )
247	246	oveq2d 6312	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( N x. ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) x. ( ( cos ` x ) ^ 2 ) ) ) = ( N x. ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
248	236, 245, 247	3eqtrd 2502	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. ( cos ` x ) ) = ( N x. ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
249	248	negeqd 9833	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> -u ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. ( cos ` x ) ) = -u ( N x. ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
250	80, 79	mulneg2d 10031	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) = -u ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. ( cos ` x ) ) )
251	243, 76	mulcld 9633	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) e. CC )
252	71, 251	mulneg1d 10030	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( -u N x. ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) = -u ( N x. ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
253	249, 250, 252	3eqtr4d 2508	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) = ( -u N x. ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
254	253	itgeq2dv 22314	. . . . 5 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) _d x = S. ( 0 (,) pi ) ( -u N x. ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) _d x )
255	57	negcld 9937	. . . . . 6 |- ( ph -> -u N e. CC )
256	38	sqcld 12311	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 0 [,] pi ) -> ( ( cos ` x ) ^ 2 ) e. CC )
257	256	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( cos ` x ) ^ 2 ) e. CC )
258	257, 108	mulcld 9633	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) e. CC )
259		itgsinexplem1.6	. . . . . . . . . . . . 13 |- M = ( x e. CC |-> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) )
260	259	fvmpt2 5964	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CC /\ ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) e. CC ) -> ( M ` x ) = ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) )
261	16, 258, 260	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( M ` x ) = ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) )
262	261	eqcomd 2465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) = ( M ` x ) )
263	262	mpteq2dva 4543	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) = ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( M ` x ) ) )
264		nfmpt1 4546	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x ( x e. CC |-> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) )
265	259, 264	nfcxfr 2617	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x M
266		nfcv 2619	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x cos
267		2nn0 10833	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. NN0
268	267	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 2 e. NN0 )
269	266, 49, 268	expcnfg 31768	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( cos ` x ) ^ 2 ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
270	269, 61	mulcncf 21985	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
271	259, 270	syl5eqel 2549	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. ( CC -cn-> CC ) )
272	265, 271, 35	cncfmptss 31763	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( M ` x ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
273	263, 272	eqeltrd 2545	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
274		cniccibl 22373	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR /\ ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) ) -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) e. L^1 )
275	4, 6, 273, 274	syl3anc 1228	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) e. L^1 )
276	84, 86, 258, 275	iblss 22337	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) e. L^1 )
277	255, 251, 276	itgmulc2 22366	. . . . 5 |- ( ph -> ( -u N x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) _d x ) = S. ( 0 (,) pi ) ( -u N x. ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) _d x )
278	254, 277	eqtr4d 2501	. . . 4 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) _d x = ( -u N x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) _d x ) )
279	278	negeqd 9833	. . 3 |- ( ph -> -u S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) _d x = -u ( -u N x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) _d x ) )
280	235, 279	eqtrd 2498	. 2 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) _d x = -u ( -u N x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) _d x ) )
281	251, 276	itgcl 22316	. . . 4 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) _d x e. CC )
282	57, 281	mulneg1d 10030	. . 3 |- ( ph -> ( -u N x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) _d x ) = -u ( N x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) _d x ) )
283	282	negeqd 9833	. 2 |- ( ph -> -u ( -u N x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) _d x ) = -u -u ( N x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) _d x ) )
284	57, 281	mulcld 9633	. . 3 |- ( ph -> ( N x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) _d x ) e. CC )
285	284	negnegd 9941	. 2 |- ( ph -> -u -u ( N x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) _d x ) = ( N x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) _d x ) )
286	280, 283, 285	3eqtrd 2502	1 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) _d x = ( N x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) _d x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   A.wal 1393   = wceq 1395   e. wcel 1819   {crab 2811   _Vcvv 3109   C_ wss 3471   {cpr 4034   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   dom cdm 5008   ran crn 5009   |` cres 5010   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   x. cmul 9514   <_ cle 9646   - cmin 9824   -ucneg 9825   NNcn 10556   2c2 10606   NN0cn0 10816   (,)cioo 11554   [,]cicc 11557   ^cexp 12169   sincsin 13811   cosccos 13812   picpi 13814   TopOpenctopn 14839   topGenctg 14855  ℂ_fldccnfld 18547   intcnt 19645   -cn->ccncf 21506   volcvol 22001   L^1cibl 22152   S.citg 22153   _D cdv 22393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cc 8832  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-disj 4428  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-ofr 6540  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-acn 8340  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 12912  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-ef 13815  df-sin 13817  df-cos 13818  df-pi 13820  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-cmp 20014  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-ovol 22002  df-vol 22003  df-mbf 22154  df-itg1 22155  df-itg2 22156  df-ibl 22157  df-itg 22158  df-0p 22203  df-limc 22396  df-dv 22397

This theorem is referenced by:  itgsinexp  31935