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Theorem itgsinexplem1 27615
Description: Integration by parts is applied to integrate sin^(N+1) (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsinexplem1.1  |-  F  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )
itgsinexplem1.2  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )
itgsinexplem1.3  |-  H  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )
itgsinexplem1.4  |-  I  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( sin `  x ) ^ N
)  x.  ( sin `  x ) ) )
itgsinexplem1.5  |-  L  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )
itgsinexplem1.6  |-  M  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )
itgsinexplem1.7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
itgsinexplem1  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin `  x
) ^ N )  x.  ( sin `  x
) )  _d x  =  ( N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x ) )
Distinct variable groups:    x, N    ph, x
Allowed substitution hints:    F( x)    G( x)    H( x)    I( x)    L( x)    M( x)

Proof of Theorem itgsinexplem1
StepHypRef Expression
1 0cn 9040 . . . . . 6  |-  0  e.  CC
21subidi 9327 . . . . 5  |-  ( 0  -  0 )  =  0
32oveq1i 6050 . . . 4  |-  ( ( 0  -  0 )  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  _d x )  =  ( 0  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  _d x )
4 0re 9047 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
54a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
6 pire 20325 . . . . . 6  |-  pi  e.  RR
76a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR )
8 pipos 20326 . . . . . . 7  |-  0  <  pi
94, 6, 8ltleii 9152 . . . . . 6  |-  0  <_  pi
109a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  pi )
114, 6pm3.2i 442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR )
12 iccssre 10948 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( 0 [,] pi )  C_  RR )
1311, 12ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 [,] pi )  C_  RR
14 ax-resscn 9003 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  C_  CC
1513, 14sstri 3317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,] pi )  C_  CC
1615sseli 3304 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  x  e.  CC )
1716adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  x  e.  CC )
1816sincld 12686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
1918adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
20 itgsinexplem1.7 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
2120nnnn0d 10230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2221adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  N  e.  NN0 )
2319, 22expcld 11478 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ N )  e.  CC )
24 itgsinexplem1.1 . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )
2524fvmpt2 5771 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( sin `  x
) ^ N )  e.  CC )  -> 
( F `  x
)  =  ( ( sin `  x ) ^ N ) )
2617, 23, 25syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( F `  x )  =  ( ( sin `  x ) ^ N
) )
2726eqcomd 2409 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ N )  =  ( F `  x ) )
2827mpteq2dva 4255 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( F `
 x ) ) )
29 nfmpt1 4258 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )
3024, 29nfcxfr 2537 . . . . . . 7  |-  F/_ x F
31 nfcv 2540 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x sin
32 sincn 20313 . . . . . . . . . 10  |-  sin  e.  ( CC -cn-> CC )
3332a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  sin  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
3431, 33, 21expcnfg 27593 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
3524, 34syl5eqel 2488 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
3615a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 [,] pi )  C_  CC )
3730, 35, 36cncfmptss 27584 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( F `  x
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
3828, 37eqeltrd 2478 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  e.  ( ( 0 [,] pi )
-cn-> CC ) )
3916coscld 12687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
4039negcld 9354 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
41 itgsinexplem1.2 . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )
4241fvmpt2 5771 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  -u ( cos `  x
)  e.  CC )  ->  ( G `  x )  =  -u ( cos `  x ) )
4316, 40, 42syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( G `  x )  =  -u ( cos `  x
) )
4443eqcomd 2409 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  -u ( cos `  x )  =  ( G `  x
) )
4544adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  -u ( cos `  x )  =  ( G `  x
) )
4645mpteq2dva 4255 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  -u ( cos `  x
) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( G `  x ) ) )
47 nfmpt1 4258 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )
4841, 47nfcxfr 2537 . . . . . . 7  |-  F/_ x G
49 coscn 20314 . . . . . . . . 9  |-  cos  e.  ( CC -cn-> CC )
5049a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  cos  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
5141negfcncf 18902 . . . . . . . 8  |-  ( cos 
e.  ( CC -cn-> CC )  ->  G  e.  ( CC -cn-> CC ) )
5250, 51syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
5348, 52, 36cncfmptss 27584 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( G `  x
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
5446, 53eqeltrd 2478 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  -u ( cos `  x
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
55 ioossre 10928 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 (,) pi )  C_  RR
5655, 14sstri 3317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 (,) pi )  C_  CC
5756sseli 3304 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  x  e.  CC )
5857adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  x  e.  CC )
5920nncnd 9972 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
6059adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  N  e.  CC )
6157sincld 12686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
6261adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
63 nnm1nn0 10217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
6420, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
6564adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
6662, 65expcld 11478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) )  e.  CC )
6760, 66mulcld 9064 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^
( N  -  1 ) ) )  e.  CC )
6857coscld 12687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
6968adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
7067, 69mulcld 9064 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  e.  CC )
71 itgsinexplem1.3 . . . . . . . . . 10  |-  H  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )
7271fvmpt2 5771 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  e.  CC )  ->  ( H `  x )  =  ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )
7358, 70, 72syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( H `  x )  =  ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )
7473eqcomd 2409 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  =  ( H `  x
) )
7574mpteq2dva 4255 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  ( H `  x ) ) )
76 nfmpt1 4258 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( x  e.  CC  |->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )
7771, 76nfcxfr 2537 . . . . . . 7  |-  F/_ x H
78 ssid 3327 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  C_  CC
7978a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
80 cncfmptc 18894 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  CC  /\  CC  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
x  e.  CC  |->  N )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
8159, 79, 79, 80syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  N )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
8231, 33, 64expcnfg 27593 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
8381, 82mulcncf 27587 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
84 cosf 12681 . . . . . . . . . . . 12  |-  cos : CC
--> CC
8584a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  cos : CC --> CC )
8685feqmptd 5738 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  cos  =  ( x  e.  CC  |->  ( cos `  x ) ) )
8786, 49syl6eqelr 2493 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( cos `  x ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
8883, 87mulcncf 27587 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
8971, 88syl5eqel 2488 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
9056a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) pi )  C_  CC )
9177, 89, 90cncfmptss 27584 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( H `  x
) )  e.  ( ( 0 (,) pi ) -cn-> CC ) )
9275, 91eqeltrd 2478 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )  e.  ( ( 0 (,) pi ) -cn-> CC ) )
9331, 33, 90cncfmptss 27584 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( sin `  x
) )  e.  ( ( 0 (,) pi ) -cn-> CC ) )
94 ioossicc 10952 . . . . . . 7  |-  ( 0 (,) pi )  C_  ( 0 [,] pi )
9594a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) pi )  C_  ( 0 [,] pi ) )
96 ioombl 19412 . . . . . . 7  |-  ( 0 (,) pi )  e. 
dom  vol
9796a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) pi )  e.  dom  vol )
9823, 19mulcld 9064 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( ( sin `  x
) ^ N )  x.  ( sin `  x
) )  e.  CC )
99 itgsinexplem1.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  I  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( sin `  x ) ^ N
)  x.  ( sin `  x ) ) )
10099fvmpt2 5771 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( ( sin `  x ) ^ N
)  x.  ( sin `  x ) )  e.  CC )  ->  (
I `  x )  =  ( ( ( sin `  x ) ^ N )  x.  ( sin `  x
) ) )
10117, 98, 100syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
I `  x )  =  ( ( ( sin `  x ) ^ N )  x.  ( sin `  x
) ) )
102101eqcomd 2409 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( ( sin `  x
) ^ N )  x.  ( sin `  x
) )  =  ( I `  x ) )
103102mpteq2dva 4255 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( ( sin `  x ) ^ N
)  x.  ( sin `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( I `  x ) ) )
104 nfmpt1 4258 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( x  e.  CC  |->  ( ( ( sin `  x ) ^ N
)  x.  ( sin `  x ) ) )
10599, 104nfcxfr 2537 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x I
106 sinf 12680 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  sin : CC
--> CC
107106a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  sin : CC --> CC )
108107feqmptd 5738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  sin  =  ( x  e.  CC  |->  ( sin `  x ) ) )
109108, 32syl6eqelr 2493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( sin `  x ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
11034, 109mulcncf 27587 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( sin `  x ) ^ N
)  x.  ( sin `  x ) ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
11199, 110syl5eqel 2488 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  I  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
112105, 111, 36cncfmptss 27584 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( I `  x
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
113103, 112eqeltrd 2478 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( ( sin `  x ) ^ N
)  x.  ( sin `  x ) ) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
114 cniccibl 19685 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( ( sin `  x
) ^ N )  x.  ( sin `  x
) ) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( ( sin `  x ) ^ N )  x.  ( sin `  x
) ) )  e.  L ^1 )
1155, 7, 113, 114syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( ( sin `  x ) ^ N
)  x.  ( sin `  x ) ) )  e.  L ^1 )
11695, 97, 98, 115iblss 19649 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( ( ( sin `  x ) ^ N
)  x.  ( sin `  x ) ) )  e.  L ^1 )
11759adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  N  e.  CC )
11864adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
11919, 118expcld 11478 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) )  e.  CC )
120117, 119mulcld 9064 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^
( N  -  1 ) ) )  e.  CC )
12139adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
122120, 121mulcld 9064 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  e.  CC )
12340adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
124122, 123mulcld 9064 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  e.  CC )
125 itgsinexplem1.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  L  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )
126125fvmpt2 5771 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  e.  CC )  ->  ( L `  x )  =  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )
12717, 124, 126syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( L `  x )  =  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  x.  ( cos `  x
) )  x.  -u ( cos `  x ) ) )
128127eqcomd 2409 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  =  ( L `  x ) )
129128mpteq2dva 4255 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( L `  x
) ) )
130 nfmpt1 4258 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( x  e.  CC  |->  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )
131125, 130nfcxfr 2537 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x L
132 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )
133132negfcncf 18902 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( cos 
e.  ( CC -cn-> CC )  ->  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
13450, 133syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
13588, 134mulcncf 27587 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
136125, 135syl5eqel 2488 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  L  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
137131, 136, 36cncfmptss 27584 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( L `  x
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
138129, 137eqeltrd 2478 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
139 cniccibl 19685 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  x.  ( cos `  x
) )  x.  -u ( cos `  x ) ) )  e.  L ^1 )
1405, 7, 138, 139syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )  e.  L ^1 )
14195, 97, 124, 140iblss 19649 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )  e.  L ^1 )
142 reex 9037 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  _V
143142prid1 3872 . . . . . . 7  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
144143a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
145 recn 9036 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
146145sincld 12686 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
147146adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
14821adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  N  e. 
NN0 )
149147, 148expcld 11478 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( sin `  x ) ^ N )  e.  CC )
15059adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  N  e.  CC )
15164adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( N  -  1 )  e. 
NN0 )
152147, 151expcld 11478 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) )  e.  CC )
153150, 152mulcld 9064 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  e.  CC )
154145coscld 12687 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
155154adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
156153, 155mulcld 9064 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  x.  ( cos `  x
) )  e.  CC )
157 sincl 12682 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  CC  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
158157adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
15921adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  N  e. 
NN0 )
160158, 159expcld 11478 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( sin `  x ) ^ N )  e.  CC )
161160, 24fmptd 5852 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : CC --> CC )
162145adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  CC )
163 elex 2924 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  e.  CC  ->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^
( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x
) )  e.  _V )
164156, 163syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  x.  ( cos `  x
) )  e.  _V )
165 rabid 2844 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  { x  e.  CC  |  ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  x.  ( cos `  x
) )  e.  _V } 
<->  ( x  e.  CC  /\  ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  e. 
_V ) )
166162, 164, 165sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  x  e. 
{ x  e.  CC  |  ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  e.  _V } )
16771dmmpt 5324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  H  =  { x  e.  CC  |  ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  e.  _V }
168166, 167syl6eleqr 2495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  x  e. 
dom  H )
169168ex 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  ->  x  e.  dom  H
) )
170169alrimiv 1638 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x ( x  e.  RR  ->  x  e.  dom  H ) )
171 nfcv 2540 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x RR
17277nfdm 5070 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x dom  H
173171, 172dfss2f 3299 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR  C_  dom  H  <->  A. x
( x  e.  RR  ->  x  e.  dom  H
) )
174170, 173sylibr 204 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  RR  C_  dom  H )
17520dvsinexp 27607 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) ) )
17624oveq2i 6051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( CC 
_D  F )  =  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) ) )
177175, 176, 713eqtr4g 2461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  F
)  =  H )
178177dmeqd 5031 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  ( CC  _D  F )  =  dom  H )
179174, 178sseqtr4d 3345 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  RR  C_  dom  ( CC 
_D  F ) )
180 dvres3 19753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( RR  e.  { RR ,  CC }  /\  F : CC --> CC )  /\  ( CC  C_  CC  /\  RR  C_  dom  ( CC  _D  F
) ) )  -> 
( RR  _D  ( F  |`  RR ) )  =  ( ( CC 
_D  F )  |`  RR ) )
181144, 161, 79, 179, 180syl22anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( F  |`  RR ) )  =  ( ( CC 
_D  F )  |`  RR ) )
18224reseq1i 5101 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  |`  RR )  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  |`  RR )
183 resmpt 5150 . . . . . . . . . . 11  |-  ( RR  C_  CC  ->  ( (
x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  |`  RR )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( sin `  x ) ^ N
) ) )
18414, 183ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  |`  RR )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( sin `  x ) ^ N
) )
185182, 184eqtri 2424 . . . . . . . . 9  |-  ( F  |`  RR )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )
186185oveq2i 6051 . . . . . . . 8  |-  ( RR 
_D  ( F  |`  RR ) )  =  ( RR  _D  ( x  e.  RR  |->  ( ( sin `  x ) ^ N ) ) )
187186a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( F  |`  RR ) )  =  ( RR  _D  ( x  e.  RR  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) ) ) )
188177reseq1d 5104 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( CC  _D  F )  |`  RR )  =  ( H  |`  RR ) )
18971reseq1i 5101 . . . . . . . . 9  |-  ( H  |`  RR )  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )  |`  RR )
190 resmpt 5150 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR  C_  CC  ->  ( (
x  e.  CC  |->  ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )  |`  RR )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) ) )
19114, 190ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )  |`  RR )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )
192189, 191eqtri 2424 . . . . . . . 8  |-  ( H  |`  RR )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )
193188, 192syl6eq 2452 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( CC  _D  F )  |`  RR )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) ) )
194181, 187, 1933eqtr3d 2444 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) ) )
19513a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 [,] pi )  C_  RR )
196 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
197196tgioo2 18787 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
19811a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR ) )
199 iccntr 18805 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( 0 [,] pi ) )  =  ( 0 (,) pi ) )
200198, 199syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( 0 [,] pi ) )  =  ( 0 (,) pi ) )
201144, 149, 156, 194, 195, 197, 196, 200dvmptres2 19801 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) ) )
202154negcld 9354 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
203202adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
204146negcld 9354 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  -u ( sin `  x )  e.  CC )
205204adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  -u ( sin `  x )  e.  CC )
206 dvcosre 27608 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
_D  ( x  e.  RR  |->  ( cos `  x
) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  -u ( sin `  x
) )
207206a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  ( cos `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  -u ( sin `  x ) ) )
208144, 155, 205, 207dvmptneg 19805 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  -u ( cos `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  -u -u ( sin `  x
) ) )
209146negnegd 9358 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  -u -u ( sin `  x )  =  ( sin `  x
) )
210209adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  -u -u ( sin `  x )  =  ( sin `  x
) )
211210mpteq2dva 4255 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  -u -u ( sin `  x
) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( sin `  x ) ) )
212208, 211eqtrd 2436 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  -u ( cos `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( sin `  x ) ) )
213144, 203, 147, 212, 195, 197, 196, 200dvmptres2 19801 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  -u ( cos `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  ( sin `  x ) ) )
214 fveq2 5687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  0  ->  ( sin `  x )  =  ( sin `  0
) )
215 sin0 12705 . . . . . . . . . . 11  |-  ( sin `  0 )  =  0
216214, 215syl6eq 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  ( sin `  x )  =  0 )
217216oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  (
( sin `  x
) ^ N )  =  ( 0 ^ N ) )
218217adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  = 
0 )  ->  (
( sin `  x
) ^ N )  =  ( 0 ^ N ) )
21920adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  = 
0 )  ->  N  e.  NN )
2202190expd 11494 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  = 
0 )  ->  (
0 ^ N )  =  0 )
221218, 220eqtrd 2436 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  = 
0 )  ->  (
( sin `  x
) ^ N )  =  0 )
222221oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  = 
0 )  ->  (
( ( sin `  x
) ^ N )  x.  -u ( cos `  x
) )  =  ( 0  x.  -u ( cos `  x ) ) )
223 id 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  x  =  0 )
224223, 1syl6eqel 2492 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  x  e.  CC )
225 coscl 12683 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
226225negcld 9354 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
227224, 226syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
228227adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  = 
0 )  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
229228mul02d 9220 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  = 
0 )  ->  (
0  x.  -u ( cos `  x ) )  =  0 )
230222, 229eqtrd 2436 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  = 
0 )  ->  (
( ( sin `  x
) ^ N )  x.  -u ( cos `  x
) )  =  0 )
231 fveq2 5687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  pi  ->  ( sin `  x )  =  ( sin `  pi ) )
232 sinpi 20324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( sin `  pi )  =  0
233231, 232syl6eq 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  pi  ->  ( sin `  x )  =  0 )
234233oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  pi  ->  (
( sin `  x
) ^ N )  =  ( 0 ^ N ) )
235234adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  =  pi )  ->  ( ( sin `  x ) ^ N )  =  ( 0 ^ N
) )
23620adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  =  pi )  ->  N  e.  NN )
2372360expd 11494 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  =  pi )  ->  ( 0 ^ N )  =  0 )
238235, 237eqtrd 2436 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  =  pi )  ->  ( ( sin `  x ) ^ N )  =  0 )
239238oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  =  pi )  ->  ( ( ( sin `  x
) ^ N )  x.  -u ( cos `  x
) )  =  ( 0  x.  -u ( cos `  x ) ) )
240 id 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  pi  ->  x  =  pi )
2416recni 9058 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  CC
242240, 241syl6eqel 2492 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  pi  ->  x  e.  CC )
243242coscld 12687 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  pi  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
244243negcld 9354 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  pi  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
245244adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  =  pi )  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
246245mul02d 9220 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  =  pi )  ->  ( 0  x.  -u ( cos `  x
) )  =  0 )
247239, 246eqtrd 2436 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  =  pi )  ->  ( ( ( sin `  x
) ^ N )  x.  -u ( cos `  x
) )  =  0 )
2485, 7, 10, 38, 54, 92, 93, 116, 141, 201, 213, 230, 247itgparts 19884 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin `  x
) ^ N )  x.  ( sin `  x
) )  _d x  =  ( ( 0  -  0 )  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  x.  ( cos `  x
) )  x.  -u ( cos `  x ) )  _d x ) )
249 df-neg 9250 . . . . 5  |-  -u S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  x.  ( cos `  x
) )  x.  -u ( cos `  x ) )  _d x  =  ( 0  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  _d x )
250249a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  -> 
-u S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  _d x  =  ( 0  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  _d x ) )
2513, 248, 2503eqtr4a 2462 . . 3  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin `  x
) ^ N )  x.  ( sin `  x
) )  _d x  =  -u S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  _d x )
25267, 69, 69mulassd 9067 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  ( cos `  x
) )  =  ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( ( cos `  x )  x.  ( cos `  x
) ) ) )
253 sqval 11396 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( cos `  x )  e.  CC  ->  (
( cos `  x
) ^ 2 )  =  ( ( cos `  x )  x.  ( cos `  x ) ) )
254253eqcomd 2409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( cos `  x )  e.  CC  ->  (
( cos `  x
)  x.  ( cos `  x ) )  =  ( ( cos `  x
) ^ 2 ) )
25568, 254syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
( cos `  x
)  x.  ( cos `  x ) )  =  ( ( cos `  x
) ^ 2 ) )
256255adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( cos `  x
)  x.  ( cos `  x ) )  =  ( ( cos `  x
) ^ 2 ) )
257256oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( ( cos `  x )  x.  ( cos `  x
) ) )  =  ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( ( cos `  x ) ^ 2 ) ) )
25868sqcld 11476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
( cos `  x
) ^ 2 )  e.  CC )
259258adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( cos `  x
) ^ 2 )  e.  CC )
26060, 66, 259mulassd 9067 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( ( cos `  x ) ^ 2 ) )  =  ( N  x.  ( ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) )  x.  ( ( cos `  x ) ^ 2 ) ) ) )
261257, 260eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( ( cos `  x )  x.  ( cos `  x
) ) )  =  ( N  x.  (
( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) )  x.  ( ( cos `  x ) ^ 2 ) ) ) )
26266, 259mulcomd 9065 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) )  x.  ( ( cos `  x ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) )
263262oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( N  x.  ( (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) )  x.  ( ( cos `  x ) ^ 2 ) ) )  =  ( N  x.  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
264252, 261, 2633eqtrd 2440 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  ( cos `  x
) )  =  ( N  x.  ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
265264negeqd 9256 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  -u (
( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  ( cos `  x
) )  =  -u ( N  x.  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
26670, 69mulneg2d 9443 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  =  -u ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  ( cos `  x
) ) )
267259, 66mulcld 9064 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  e.  CC )
26860, 267mulneg1d 9442 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( -u N  x.  ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) )  = 
-u ( N  x.  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) )
269265, 266, 2683eqtr4d 2446 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  =  (
-u N  x.  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
270269itgeq2dv 19626 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) (
-u N  x.  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) )  _d x )
27159negcld 9354 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u N  e.  CC )
27239sqcld 11476 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  (
( cos `  x
) ^ 2 )  e.  CC )
273272adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( cos `  x
) ^ 2 )  e.  CC )
274273, 119mulcld 9064 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  e.  CC )
275 itgsinexplem1.6 . . . . . . . . . . . . 13  |-  M  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )
276275fvmpt2 5771 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  e.  CC )  -> 
( M `  x
)  =  ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) )
27717, 274, 276syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( M `  x )  =  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) ) )
278277eqcomd 2409 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  =  ( M `  x ) )
279278mpteq2dva 4255 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( M `
 x ) ) )
280 nfmpt1 4258 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( x  e.  CC  |->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )
281275, 280nfcxfr 2537 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x M
282 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x cos
283 2nn0 10194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN0
284283a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  2  e.  NN0 )
285282, 50, 284expcnfg 27593 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( cos `  x
) ^ 2 ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
286285, 82mulcncf 27587 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
287275, 286syl5eqel 2488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
288281, 287, 36cncfmptss 27584 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( M `  x
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
289279, 288eqeltrd 2478 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  e.  ( ( 0 [,] pi )
-cn-> CC ) )
290 cniccibl 19685 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) ) )  e.  L ^1 )
2915, 7, 289, 290syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  e.  L ^1 )
29295, 97, 274, 291iblss 19649 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  e.  L ^1 )
293271, 267, 292itgmulc2 19678 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -u N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x )  =  S. ( 0 (,) pi ) (
-u N  x.  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) )  _d x )
294270, 293eqtr4d 2439 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  _d x  =  ( -u N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x ) )
295294negeqd 9256 . . 3  |-  ( ph  -> 
-u S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  _d x  =  -u ( -u N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x ) )
296251, 295eqtrd 2436 . 2  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin `  x
) ^ N )  x.  ( sin `  x
) )  _d x  =  -u ( -u N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x ) )
297267, 292itgcl 19628 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x  e.  CC )
29859, 297mulneg1d 9442 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -u N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x )  =  -u ( N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x ) )
299298negeqd 9256 . 2  |-  ( ph  -> 
-u ( -u N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x )  =  -u -u ( N  x.  S. (
0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  _d x ) )
30059, 297mulcld 9064 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x )  e.  CC )
301300negnegd 9358 . 2  |-  ( ph  -> 
-u -u ( N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x )  =  ( N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x ) )
302296, 299, 3013eqtrd 2440 1  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin `  x
) ^ N )  x.  ( sin `  x
) )  _d x  =  ( N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359   A.wal 1546    = wceq 1649    e. wcel 1721   {crab 2670   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   {cpr 3775   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   dom cdm 4837   ran crn 4838    |` cres 4839   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    x. cmul 8951    <_ cle 9077    - cmin 9247   -ucneg 9248   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   (,)cioo 10872   [,]cicc 10875   ^cexp 11337   sincsin 12621   cosccos 12622   picpi 12624   TopOpenctopn 13604   topGenctg 13620  ℂfldccnfld 16658   intcnt 17036   -cn->ccncf 18859   volcvol 19313   L ^1cibl 19462   S.citg 19463    _D cdv 19703
This theorem is referenced by:  itgsinexp  27616
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cc 8271  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-disj 4143  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-ofr 6265  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-ovol 19314  df-vol 19315  df-mbf 19465  df-itg1 19466  df-itg2 19467  df-ibl 19468  df-itg 19469  df-0p 19515  df-limc 19706  df-dv 19707
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