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Theorem itgsinexplem1 31299
Description: Integration by parts is applied to integrate sin^(N+1). (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsinexplem1.1  |-  F  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )
itgsinexplem1.2  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )
itgsinexplem1.3  |-  H  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )
itgsinexplem1.4  |-  I  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( sin `  x ) ^ N
)  x.  ( sin `  x ) ) )
itgsinexplem1.5  |-  L  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )
itgsinexplem1.6  |-  M  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )
itgsinexplem1.7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
itgsinexplem1  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin `  x
) ^ N )  x.  ( sin `  x
) )  _d x  =  ( N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x ) )
Distinct variable groups:    x, N    ph, x
Allowed substitution hints:    F( x)    G( x)    H( x)    I( x)    L( x)    M( x)

Proof of Theorem itgsinexplem1
StepHypRef Expression
1 0m0e0 10645 . . . . 5  |-  ( 0  -  0 )  =  0
21oveq1i 6294 . . . 4  |-  ( ( 0  -  0 )  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  _d x )  =  ( 0  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  _d x )
3 0re 9596 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
43a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
5 pire 22613 . . . . . 6  |-  pi  e.  RR
65a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR )
7 pipos 22615 . . . . . . 7  |-  0  <  pi
83, 5, 7ltleii 9707 . . . . . 6  |-  0  <_  pi
98a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  pi )
103, 5pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR )
11 iccssre 11606 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( 0 [,] pi )  C_  RR )
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 [,] pi )  C_  RR
13 ax-resscn 9549 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  C_  CC
1412, 13sstri 3513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,] pi )  C_  CC
1514sseli 3500 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  x  e.  CC )
1615adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  x  e.  CC )
1715sincld 13726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
1817adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
19 itgsinexplem1.7 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
2019nnnn0d 10852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2120adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  N  e.  NN0 )
2218, 21expcld 12278 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ N )  e.  CC )
23 itgsinexplem1.1 . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )
2423fvmpt2 5957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( sin `  x
) ^ N )  e.  CC )  -> 
( F `  x
)  =  ( ( sin `  x ) ^ N ) )
2516, 22, 24syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( F `  x )  =  ( ( sin `  x ) ^ N
) )
2625eqcomd 2475 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ N )  =  ( F `  x ) )
2726mpteq2dva 4533 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( F `
 x ) ) )
28 nfmpt1 4536 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )
2923, 28nfcxfr 2627 . . . . . . 7  |-  F/_ x F
30 nfcv 2629 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x sin
31 sincn 22601 . . . . . . . . . 10  |-  sin  e.  ( CC -cn-> CC )
3231a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  sin  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
3330, 32, 20expcnfg 31170 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
3423, 33syl5eqel 2559 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
3514a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 [,] pi )  C_  CC )
3629, 34, 35cncfmptss 31165 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( F `  x
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
3727, 36eqeltrd 2555 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  e.  ( ( 0 [,] pi )
-cn-> CC ) )
3815coscld 13727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
3938negcld 9917 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
40 itgsinexplem1.2 . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )
4140fvmpt2 5957 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  -u ( cos `  x
)  e.  CC )  ->  ( G `  x )  =  -u ( cos `  x ) )
4215, 39, 41syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( G `  x )  =  -u ( cos `  x
) )
4342eqcomd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  -u ( cos `  x )  =  ( G `  x
) )
4443adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  -u ( cos `  x )  =  ( G `  x
) )
4544mpteq2dva 4533 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  -u ( cos `  x
) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( G `  x ) ) )
46 nfmpt1 4536 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )
4740, 46nfcxfr 2627 . . . . . . 7  |-  F/_ x G
48 coscn 22602 . . . . . . . . 9  |-  cos  e.  ( CC -cn-> CC )
4948a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  cos  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
5040negfcncf 21186 . . . . . . . 8  |-  ( cos 
e.  ( CC -cn-> CC )  ->  G  e.  ( CC -cn-> CC ) )
5149, 50syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
5247, 51, 35cncfmptss 31165 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( G `  x
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
5345, 52eqeltrd 2555 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  -u ( cos `  x
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
54 ioossre 11586 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 (,) pi )  C_  RR
5554, 13sstri 3513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 (,) pi )  C_  CC
5655sseli 3500 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  x  e.  CC )
5756adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  x  e.  CC )
5819nncnd 10552 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
5958adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  N  e.  CC )
6056sincld 13726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
6160adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
62 nnm1nn0 10837 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
6319, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
6463adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
6561, 64expcld 12278 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) )  e.  CC )
6659, 65mulcld 9616 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^
( N  -  1 ) ) )  e.  CC )
6756coscld 13727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
6867adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
6966, 68mulcld 9616 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  e.  CC )
70 itgsinexplem1.3 . . . . . . . . . 10  |-  H  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )
7170fvmpt2 5957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  e.  CC )  ->  ( H `  x )  =  ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )
7257, 69, 71syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( H `  x )  =  ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )
7372eqcomd 2475 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  =  ( H `  x
) )
7473mpteq2dva 4533 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  ( H `  x ) ) )
75 nfmpt1 4536 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( x  e.  CC  |->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )
7670, 75nfcxfr 2627 . . . . . . 7  |-  F/_ x H
77 ssid 3523 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  C_  CC
7877a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
79 cncfmptc 21178 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  CC  /\  CC  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
x  e.  CC  |->  N )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
8058, 78, 78, 79syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  N )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
8130, 32, 63expcnfg 31170 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
8280, 81mulcncf 21622 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
83 cosf 13721 . . . . . . . . . . . 12  |-  cos : CC
--> CC
8483a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  cos : CC --> CC )
8584feqmptd 5920 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  cos  =  ( x  e.  CC  |->  ( cos `  x ) ) )
8685, 48syl6eqelr 2564 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( cos `  x ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
8782, 86mulcncf 21622 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
8870, 87syl5eqel 2559 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
8955a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) pi )  C_  CC )
9076, 88, 89cncfmptss 31165 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( H `  x
) )  e.  ( ( 0 (,) pi ) -cn-> CC ) )
9174, 90eqeltrd 2555 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )  e.  ( ( 0 (,) pi ) -cn-> CC ) )
9230, 32, 89cncfmptss 31165 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( sin `  x
) )  e.  ( ( 0 (,) pi ) -cn-> CC ) )
93 ioossicc 11610 . . . . . . 7  |-  ( 0 (,) pi )  C_  ( 0 [,] pi )
9493a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) pi )  C_  ( 0 [,] pi ) )
95 ioombl 21738 . . . . . . 7  |-  ( 0 (,) pi )  e. 
dom  vol
9695a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) pi )  e.  dom  vol )
9722, 18mulcld 9616 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( ( sin `  x
) ^ N )  x.  ( sin `  x
) )  e.  CC )
98 itgsinexplem1.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  I  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( sin `  x ) ^ N
)  x.  ( sin `  x ) ) )
9998fvmpt2 5957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( ( sin `  x ) ^ N
)  x.  ( sin `  x ) )  e.  CC )  ->  (
I `  x )  =  ( ( ( sin `  x ) ^ N )  x.  ( sin `  x
) ) )
10016, 97, 99syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
I `  x )  =  ( ( ( sin `  x ) ^ N )  x.  ( sin `  x
) ) )
101100eqcomd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( ( sin `  x
) ^ N )  x.  ( sin `  x
) )  =  ( I `  x ) )
102101mpteq2dva 4533 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( ( sin `  x ) ^ N
)  x.  ( sin `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( I `  x ) ) )
103 nfmpt1 4536 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( x  e.  CC  |->  ( ( ( sin `  x ) ^ N
)  x.  ( sin `  x ) ) )
10498, 103nfcxfr 2627 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x I
105 sinf 13720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  sin : CC
--> CC
106105a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  sin : CC --> CC )
107106feqmptd 5920 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  sin  =  ( x  e.  CC  |->  ( sin `  x ) ) )
108107, 31syl6eqelr 2564 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( sin `  x ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
10933, 108mulcncf 21622 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( sin `  x ) ^ N
)  x.  ( sin `  x ) ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
11098, 109syl5eqel 2559 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  I  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
111104, 110, 35cncfmptss 31165 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( I `  x
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
112102, 111eqeltrd 2555 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( ( sin `  x ) ^ N
)  x.  ( sin `  x ) ) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
113 cniccibl 22010 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( ( sin `  x
) ^ N )  x.  ( sin `  x
) ) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( ( sin `  x ) ^ N )  x.  ( sin `  x
) ) )  e.  L^1 )
1144, 6, 112, 113syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( ( sin `  x ) ^ N
)  x.  ( sin `  x ) ) )  e.  L^1 )
11594, 96, 97, 114iblss 21974 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( ( ( sin `  x ) ^ N
)  x.  ( sin `  x ) ) )  e.  L^1 )
11658adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  N  e.  CC )
11763adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
11818, 117expcld 12278 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) )  e.  CC )
119116, 118mulcld 9616 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^
( N  -  1 ) ) )  e.  CC )
12038adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
121119, 120mulcld 9616 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  e.  CC )
12239adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
123121, 122mulcld 9616 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  e.  CC )
124 itgsinexplem1.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  L  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )
125124fvmpt2 5957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  e.  CC )  ->  ( L `  x )  =  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )
12616, 123, 125syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( L `  x )  =  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  x.  ( cos `  x
) )  x.  -u ( cos `  x ) ) )
127126eqcomd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  =  ( L `  x ) )
128127mpteq2dva 4533 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( L `  x
) ) )
129 nfmpt1 4536 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( x  e.  CC  |->  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )
130124, 129nfcxfr 2627 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x L
131 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )
132131negfcncf 21186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( cos 
e.  ( CC -cn-> CC )  ->  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
13349, 132syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
13487, 133mulcncf 21622 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
135124, 134syl5eqel 2559 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  L  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
136130, 135, 35cncfmptss 31165 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( L `  x
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
137128, 136eqeltrd 2555 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
138 cniccibl 22010 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  x.  ( cos `  x
) )  x.  -u ( cos `  x ) ) )  e.  L^1 )
1394, 6, 137, 138syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )  e.  L^1 )
14094, 96, 123, 139iblss 21974 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )  e.  L^1 )
141 reelprrecn 9584 . . . . . . 7  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
142141a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
143 recn 9582 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
144143sincld 13726 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
145144adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
14620adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  N  e. 
NN0 )
147145, 146expcld 12278 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( sin `  x ) ^ N )  e.  CC )
14858adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  N  e.  CC )
14963adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( N  -  1 )  e. 
NN0 )
150145, 149expcld 12278 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) )  e.  CC )
151148, 150mulcld 9616 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  e.  CC )
152143coscld 13727 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
153152adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
154151, 153mulcld 9616 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  x.  ( cos `  x
) )  e.  CC )
155 sincl 13722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  CC  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
156155adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
15720adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  N  e. 
NN0 )
158156, 157expcld 12278 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( sin `  x ) ^ N )  e.  CC )
159158, 23fmptd 6045 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : CC --> CC )
160143adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  CC )
161 elex 3122 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  e.  CC  ->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^
( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x
) )  e.  _V )
162154, 161syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  x.  ( cos `  x
) )  e.  _V )
163 rabid 3038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  { x  e.  CC  |  ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  x.  ( cos `  x
) )  e.  _V } 
<->  ( x  e.  CC  /\  ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  e. 
_V ) )
164160, 162, 163sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  x  e. 
{ x  e.  CC  |  ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  e.  _V } )
16570dmmpt 5502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  H  =  { x  e.  CC  |  ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  e.  _V }
166164, 165syl6eleqr 2566 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  x  e. 
dom  H )
167166ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  ->  x  e.  dom  H
) )
168167alrimiv 1695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x ( x  e.  RR  ->  x  e.  dom  H ) )
169 nfcv 2629 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x RR
17076nfdm 5244 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x dom  H
171169, 170dfss2f 3495 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR  C_  dom  H  <->  A. x
( x  e.  RR  ->  x  e.  dom  H
) )
172168, 171sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  RR  C_  dom  H )
17319dvsinexp 31266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) ) )
17423oveq2i 6295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( CC 
_D  F )  =  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) ) )
175173, 174, 703eqtr4g 2533 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  F
)  =  H )
176175dmeqd 5205 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  ( CC  _D  F )  =  dom  H )
177172, 176sseqtr4d 3541 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  RR  C_  dom  ( CC 
_D  F ) )
178 dvres3 22080 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( RR  e.  { RR ,  CC }  /\  F : CC --> CC )  /\  ( CC  C_  CC  /\  RR  C_  dom  ( CC  _D  F
) ) )  -> 
( RR  _D  ( F  |`  RR ) )  =  ( ( CC 
_D  F )  |`  RR ) )
179142, 159, 78, 177, 178syl22anc 1229 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( F  |`  RR ) )  =  ( ( CC 
_D  F )  |`  RR ) )
18023reseq1i 5269 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  |`  RR )  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  |`  RR )
181 resmpt 5323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( RR  C_  CC  ->  ( (
x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  |`  RR )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( sin `  x ) ^ N
) ) )
18213, 181ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  |`  RR )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( sin `  x ) ^ N
) )
183180, 182eqtri 2496 . . . . . . . . 9  |-  ( F  |`  RR )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )
184183oveq2i 6295 . . . . . . . 8  |-  ( RR 
_D  ( F  |`  RR ) )  =  ( RR  _D  ( x  e.  RR  |->  ( ( sin `  x ) ^ N ) ) )
185184a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( F  |`  RR ) )  =  ( RR  _D  ( x  e.  RR  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) ) ) )
186175reseq1d 5272 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( CC  _D  F )  |`  RR )  =  ( H  |`  RR ) )
18770reseq1i 5269 . . . . . . . . 9  |-  ( H  |`  RR )  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )  |`  RR )
188 resmpt 5323 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR  C_  CC  ->  ( (
x  e.  CC  |->  ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )  |`  RR )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) ) )
18913, 188ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )  |`  RR )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )
190187, 189eqtri 2496 . . . . . . . 8  |-  ( H  |`  RR )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )
191186, 190syl6eq 2524 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( CC  _D  F )  |`  RR )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) ) )
192179, 185, 1913eqtr3d 2516 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) ) )
19312a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 [,] pi )  C_  RR )
194 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
195194tgioo2 21071 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
19610a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR ) )
197 iccntr 21089 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( 0 [,] pi ) )  =  ( 0 (,) pi ) )
198196, 197syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( 0 [,] pi ) )  =  ( 0 (,) pi ) )
199142, 147, 154, 192, 193, 195, 194, 198dvmptres2 22128 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) ) )
200152negcld 9917 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
201200adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
202144negcld 9917 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  -u ( sin `  x )  e.  CC )
203202adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  -u ( sin `  x )  e.  CC )
204 dvcosre 31267 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
_D  ( x  e.  RR  |->  ( cos `  x
) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  -u ( sin `  x
) )
205204a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  ( cos `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  -u ( sin `  x ) ) )
206142, 153, 203, 205dvmptneg 22132 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  -u ( cos `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  -u -u ( sin `  x
) ) )
207144negnegd 9921 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  -u -u ( sin `  x )  =  ( sin `  x
) )
208207adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  -u -u ( sin `  x )  =  ( sin `  x
) )
209208mpteq2dva 4533 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  -u -u ( sin `  x
) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( sin `  x ) ) )
210206, 209eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  -u ( cos `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( sin `  x ) ) )
211142, 201, 145, 210, 193, 195, 194, 198dvmptres2 22128 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  -u ( cos `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  ( sin `  x ) ) )
212 fveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  0  ->  ( sin `  x )  =  ( sin `  0
) )
213 sin0 13745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( sin `  0 )  =  0
214212, 213syl6eq 2524 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  ( sin `  x )  =  0 )
215214oveq1d 6299 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  (
( sin `  x
) ^ N )  =  ( 0 ^ N ) )
216215adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  = 
0 )  ->  (
( sin `  x
) ^ N )  =  ( 0 ^ N ) )
21719adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  = 
0 )  ->  N  e.  NN )
2182170expd 12294 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  = 
0 )  ->  (
0 ^ N )  =  0 )
219216, 218eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  = 
0 )  ->  (
( sin `  x
) ^ N )  =  0 )
220219oveq1d 6299 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  = 
0 )  ->  (
( ( sin `  x
) ^ N )  x.  -u ( cos `  x
) )  =  ( 0  x.  -u ( cos `  x ) ) )
221 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  x  =  0 )
222 0cn 9588 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  CC
223221, 222syl6eqel 2563 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  x  e.  CC )
224 coscl 13723 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
225224negcld 9917 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
226223, 225syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
227226adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  = 
0 )  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
228227mul02d 9777 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  = 
0 )  ->  (
0  x.  -u ( cos `  x ) )  =  0 )
229220, 228eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  = 
0 )  ->  (
( ( sin `  x
) ^ N )  x.  -u ( cos `  x
) )  =  0 )
230 fveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  pi  ->  ( sin `  x )  =  ( sin `  pi ) )
231 sinpi 22612 . . . . . . . . . . 11  |-  ( sin `  pi )  =  0
232230, 231syl6eq 2524 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  pi  ->  ( sin `  x )  =  0 )
233232oveq1d 6299 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  pi  ->  (
( sin `  x
) ^ N )  =  ( 0 ^ N ) )
234233adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  =  pi )  ->  ( ( sin `  x ) ^ N )  =  ( 0 ^ N
) )
23519adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  =  pi )  ->  N  e.  NN )
2362350expd 12294 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  =  pi )  ->  ( 0 ^ N )  =  0 )
237234, 236eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  =  pi )  ->  ( ( sin `  x ) ^ N )  =  0 )
238237oveq1d 6299 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  =  pi )  ->  ( ( ( sin `  x
) ^ N )  x.  -u ( cos `  x
) )  =  ( 0  x.  -u ( cos `  x ) ) )
239 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  pi  ->  x  =  pi )
2405recni 9608 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  CC
241239, 240syl6eqel 2563 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  pi  ->  x  e.  CC )
242241coscld 13727 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  pi  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
243242negcld 9917 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  pi  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
244243adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  =  pi )  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
245244mul02d 9777 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  =  pi )  ->  ( 0  x.  -u ( cos `  x
) )  =  0 )
246238, 245eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  =  pi )  ->  ( ( ( sin `  x
) ^ N )  x.  -u ( cos `  x
) )  =  0 )
2474, 6, 9, 37, 53, 91, 92, 115, 140, 199, 211, 229, 246itgparts 22211 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin `  x
) ^ N )  x.  ( sin `  x
) )  _d x  =  ( ( 0  -  0 )  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  x.  ( cos `  x
) )  x.  -u ( cos `  x ) )  _d x ) )
248 df-neg 9808 . . . . 5  |-  -u S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  x.  ( cos `  x
) )  x.  -u ( cos `  x ) )  _d x  =  ( 0  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  _d x )
249248a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  -> 
-u S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  _d x  =  ( 0  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  _d x ) )
2502, 247, 2493eqtr4a 2534 . . 3  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin `  x
) ^ N )  x.  ( sin `  x
) )  _d x  =  -u S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  _d x )
25166, 68, 68mulassd 9619 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  ( cos `  x
) )  =  ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( ( cos `  x )  x.  ( cos `  x
) ) ) )
252 sqval 12195 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( cos `  x )  e.  CC  ->  (
( cos `  x
) ^ 2 )  =  ( ( cos `  x )  x.  ( cos `  x ) ) )
253252eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( cos `  x )  e.  CC  ->  (
( cos `  x
)  x.  ( cos `  x ) )  =  ( ( cos `  x
) ^ 2 ) )
25467, 253syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
( cos `  x
)  x.  ( cos `  x ) )  =  ( ( cos `  x
) ^ 2 ) )
255254adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( cos `  x
)  x.  ( cos `  x ) )  =  ( ( cos `  x
) ^ 2 ) )
256255oveq2d 6300 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( ( cos `  x )  x.  ( cos `  x
) ) )  =  ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( ( cos `  x ) ^ 2 ) ) )
25767sqcld 12276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
( cos `  x
) ^ 2 )  e.  CC )
258257adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( cos `  x
) ^ 2 )  e.  CC )
25959, 65, 258mulassd 9619 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( ( cos `  x ) ^ 2 ) )  =  ( N  x.  ( ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) )  x.  ( ( cos `  x ) ^ 2 ) ) ) )
260256, 259eqtrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( ( cos `  x )  x.  ( cos `  x
) ) )  =  ( N  x.  (
( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) )  x.  ( ( cos `  x ) ^ 2 ) ) ) )
26165, 258mulcomd 9617 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) )  x.  ( ( cos `  x ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) )
262261oveq2d 6300 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( N  x.  ( (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) )  x.  ( ( cos `  x ) ^ 2 ) ) )  =  ( N  x.  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
263251, 260, 2623eqtrd 2512 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  ( cos `  x
) )  =  ( N  x.  ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
264263negeqd 9814 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  -u (
( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  ( cos `  x
) )  =  -u ( N  x.  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
26569, 68mulneg2d 10010 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  =  -u ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  ( cos `  x
) ) )
266258, 65mulcld 9616 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  e.  CC )
26759, 266mulneg1d 10009 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( -u N  x.  ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) )  = 
-u ( N  x.  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) )
268264, 265, 2673eqtr4d 2518 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  =  (
-u N  x.  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
269268itgeq2dv 21951 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) (
-u N  x.  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) )  _d x )
27058negcld 9917 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u N  e.  CC )
27138sqcld 12276 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  (
( cos `  x
) ^ 2 )  e.  CC )
272271adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( cos `  x
) ^ 2 )  e.  CC )
273272, 118mulcld 9616 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  e.  CC )
274 itgsinexplem1.6 . . . . . . . . . . . . 13  |-  M  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )
275274fvmpt2 5957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  e.  CC )  -> 
( M `  x
)  =  ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) )
27616, 273, 275syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( M `  x )  =  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) ) )
277276eqcomd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  =  ( M `  x ) )
278277mpteq2dva 4533 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( M `
 x ) ) )
279 nfmpt1 4536 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( x  e.  CC  |->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )
280274, 279nfcxfr 2627 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x M
281 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x cos
282 2nn0 10812 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN0
283282a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  2  e.  NN0 )
284281, 49, 283expcnfg 31170 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( cos `  x
) ^ 2 ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
285284, 81mulcncf 21622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
286274, 285syl5eqel 2559 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
287280, 286, 35cncfmptss 31165 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( M `  x
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
288278, 287eqeltrd 2555 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  e.  ( ( 0 [,] pi )
-cn-> CC ) )
289 cniccibl 22010 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) ) )  e.  L^1 )
2904, 6, 288, 289syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  e.  L^1 )
29194, 96, 273, 290iblss 21974 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  e.  L^1 )
292270, 266, 291itgmulc2 22003 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -u N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x )  =  S. ( 0 (,) pi ) (
-u N  x.  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) )  _d x )
293269, 292eqtr4d 2511 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  _d x  =  ( -u N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x ) )
294293negeqd 9814 . . 3  |-  ( ph  -> 
-u S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  _d x  =  -u ( -u N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x ) )
295250, 294eqtrd 2508 . 2  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin `  x
) ^ N )  x.  ( sin `  x
) )  _d x  =  -u ( -u N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x ) )
296266, 291itgcl 21953 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x  e.  CC )
29758, 296mulneg1d 10009 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -u N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x )  =  -u ( N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x ) )
298297negeqd 9814 . 2  |-  ( ph  -> 
-u ( -u N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x )  =  -u -u ( N  x.  S. (
0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  _d x ) )
29958, 296mulcld 9616 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x )  e.  CC )
300299negnegd 9921 . 2  |-  ( ph  -> 
-u -u ( N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x )  =  ( N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x ) )
301295, 298, 3003eqtrd 2512 1  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin `  x
) ^ N )  x.  ( sin `  x
) )  _d x  =  ( N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369   A.wal 1377    = wceq 1379    e. wcel 1767   {crab 2818   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   {cpr 4029   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   ran crn 5000    |` cres 5001   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493    x. cmul 9497    <_ cle 9629    - cmin 9805   -ucneg 9806   NNcn 10536   2c2 10585   NN0cn0 10795   (,)cioo 11529   [,]cicc 11532   ^cexp 12134   sincsin 13661   cosccos 13662   picpi 13664   TopOpenctopn 14677   topGenctg 14693  ℂfldccnfld 18219   intcnt 19312   -cn->ccncf 21143   volcvol 21638   L^1cibl 21789   S.citg 21790    _D cdv 22030
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cc 8815  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-ofr 6525  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-omul 7135  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-acn 8323  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ioo 11533  df-ioc 11534  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-mod 11965  df-seq 12076  df-exp 12135  df-fac 12322  df-bc 12349  df-hash 12374  df-shft 12863  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-limsup 13257  df-clim 13274  df-rlim 13275  df-sum 13472  df-ef 13665  df-sin 13667  df-cos 13668  df-pi 13670  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-hom 14579  df-cco 14580  df-rest 14678  df-topn 14679  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-topgen 14699  df-pt 14700  df-prds 14703  df-xrs 14757  df-qtop 14762  df-imas 14763  df-xps 14765  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-mulg 15870  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-fbas 18215  df-fg 18216  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cld 19314  df-ntr 19315  df-cls 19316  df-nei 19393  df-lp 19431  df-perf 19432  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-haus 19610  df-cmp 19681  df-tx 19826  df-hmeo 20019  df-fil 20110  df-fm 20202  df-flim 20203  df-flf 20204  df-xms 20586  df-ms 20587  df-tms 20588  df-cncf 21145  df-ovol 21639  df-vol 21640  df-mbf 21791  df-itg1 21792  df-itg2 21793  df-ibl 21794  df-itg 21795  df-0p 21840  df-limc 22033  df-dv 22034
This theorem is referenced by:  itgsinexp  31300
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