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Theorem itgsinexplem1 37927
Description: Integration by parts is applied to integrate sin^(N+1). (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsinexplem1.1  |-  F  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )
itgsinexplem1.2  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )
itgsinexplem1.3  |-  H  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )
itgsinexplem1.4  |-  I  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( sin `  x ) ^ N
)  x.  ( sin `  x ) ) )
itgsinexplem1.5  |-  L  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )
itgsinexplem1.6  |-  M  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )
itgsinexplem1.7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
itgsinexplem1  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin `  x
) ^ N )  x.  ( sin `  x
) )  _d x  =  ( N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x ) )
Distinct variable groups:    x, N    ph, x
Allowed substitution hints:    F( x)    G( x)    H( x)    I( x)    L( x)    M( x)

Proof of Theorem itgsinexplem1
StepHypRef Expression
1 0m0e0 10741 . . . . 5  |-  ( 0  -  0 )  =  0
21oveq1i 6318 . . . 4  |-  ( ( 0  -  0 )  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  _d x )  =  ( 0  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  _d x )
3 0re 9661 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
43a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
5 pire 23492 . . . . . 6  |-  pi  e.  RR
65a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR )
7 pipos 23494 . . . . . . 7  |-  0  <  pi
83, 5, 7ltleii 9775 . . . . . 6  |-  0  <_  pi
98a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  pi )
103, 5pm3.2i 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR )
11 iccssre 11741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( 0 [,] pi )  C_  RR )
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 [,] pi )  C_  RR
13 ax-resscn 9614 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  C_  CC
1412, 13sstri 3427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,] pi )  C_  CC
1514sseli 3414 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  x  e.  CC )
1615adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  x  e.  CC )
1715sincld 14261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
1817adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
19 itgsinexplem1.7 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
2019nnnn0d 10949 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2120adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  N  e.  NN0 )
2218, 21expcld 12454 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ N )  e.  CC )
23 itgsinexplem1.1 . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )
2423fvmpt2 5972 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( sin `  x
) ^ N )  e.  CC )  -> 
( F `  x
)  =  ( ( sin `  x ) ^ N ) )
2516, 22, 24syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( F `  x )  =  ( ( sin `  x ) ^ N
) )
2625eqcomd 2477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ N )  =  ( F `  x ) )
2726mpteq2dva 4482 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( F `
 x ) ) )
28 nfmpt1 4485 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )
2923, 28nfcxfr 2610 . . . . . . 7  |-  F/_ x F
30 nfcv 2612 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x sin
31 sincn 23478 . . . . . . . . . 10  |-  sin  e.  ( CC -cn-> CC )
3231a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  sin  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
3330, 32, 20expcnfg 37768 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
3423, 33syl5eqel 2553 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
3514a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 [,] pi )  C_  CC )
3629, 34, 35cncfmptss 37762 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( F `  x
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
3727, 36eqeltrd 2549 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  e.  ( ( 0 [,] pi )
-cn-> CC ) )
3815coscld 14262 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
3938negcld 9992 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
40 itgsinexplem1.2 . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )
4140fvmpt2 5972 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  -u ( cos `  x
)  e.  CC )  ->  ( G `  x )  =  -u ( cos `  x ) )
4215, 39, 41syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( G `  x )  =  -u ( cos `  x
) )
4342eqcomd 2477 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  -u ( cos `  x )  =  ( G `  x
) )
4443adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  -u ( cos `  x )  =  ( G `  x
) )
4544mpteq2dva 4482 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  -u ( cos `  x
) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( G `  x ) ) )
46 nfmpt1 4485 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )
4740, 46nfcxfr 2610 . . . . . . 7  |-  F/_ x G
48 coscn 23479 . . . . . . . . 9  |-  cos  e.  ( CC -cn-> CC )
4948a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  cos  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
5040negfcncf 22029 . . . . . . . 8  |-  ( cos 
e.  ( CC -cn-> CC )  ->  G  e.  ( CC -cn-> CC ) )
5149, 50syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
5247, 51, 35cncfmptss 37762 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( G `  x
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
5345, 52eqeltrd 2549 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  -u ( cos `  x
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
54 itgsinexplem1.3 . . . . . 6  |-  H  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )
55 ssid 3437 . . . . . . . . . . 11  |-  CC  C_  CC
5655a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
5719nncnd 10647 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
5856, 57, 56constcncfg 37845 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  N )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
59 nnm1nn0 10935 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
6019, 59syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
6130, 32, 60expcnfg 37768 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
6258, 61mulcncf 22476 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
63 cosf 14256 . . . . . . . . . . 11  |-  cos : CC
--> CC
6463a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  cos : CC --> CC )
6564feqmptd 5932 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  cos  =  ( x  e.  CC  |->  ( cos `  x ) ) )
6665, 48syl6eqelr 2558 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( cos `  x ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
6762, 66mulcncf 22476 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
6854, 67syl5eqel 2553 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  H  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
69 ioosscn 37687 . . . . . . 7  |-  ( 0 (,) pi )  C_  CC
7069a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) pi )  C_  CC )
7157adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  N  e.  CC )
7269sseli 3414 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  x  e.  CC )
7372sincld 14261 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
7473adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
7560adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
7674, 75expcld 12454 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) )  e.  CC )
7771, 76mulcld 9681 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^
( N  -  1 ) ) )  e.  CC )
7872coscld 14262 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
7978adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
8077, 79mulcld 9681 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  e.  CC )
8154, 68, 70, 56, 80cncfmptssg 37844 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )  e.  ( ( 0 (,) pi ) -cn-> CC ) )
8230, 32, 70cncfmptss 37762 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( sin `  x
) )  e.  ( ( 0 (,) pi ) -cn-> CC ) )
83 ioossicc 11745 . . . . . . 7  |-  ( 0 (,) pi )  C_  ( 0 [,] pi )
8483a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) pi )  C_  ( 0 [,] pi ) )
85 ioombl 22597 . . . . . . 7  |-  ( 0 (,) pi )  e. 
dom  vol
8685a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) pi )  e.  dom  vol )
8722, 18mulcld 9681 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( ( sin `  x
) ^ N )  x.  ( sin `  x
) )  e.  CC )
88 itgsinexplem1.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  I  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( sin `  x ) ^ N
)  x.  ( sin `  x ) ) )
8988fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( ( sin `  x ) ^ N
)  x.  ( sin `  x ) )  e.  CC )  ->  (
I `  x )  =  ( ( ( sin `  x ) ^ N )  x.  ( sin `  x
) ) )
9016, 87, 89syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
I `  x )  =  ( ( ( sin `  x ) ^ N )  x.  ( sin `  x
) ) )
9190eqcomd 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( ( sin `  x
) ^ N )  x.  ( sin `  x
) )  =  ( I `  x ) )
9291mpteq2dva 4482 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( ( sin `  x ) ^ N
)  x.  ( sin `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( I `  x ) ) )
93 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( x  e.  CC  |->  ( ( ( sin `  x ) ^ N
)  x.  ( sin `  x ) ) )
9488, 93nfcxfr 2610 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x I
95 sinf 14255 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  sin : CC
--> CC
9695a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  sin : CC --> CC )
9796feqmptd 5932 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  sin  =  ( x  e.  CC  |->  ( sin `  x ) ) )
9897, 31syl6eqelr 2558 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( sin `  x ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
9933, 98mulcncf 22476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( sin `  x ) ^ N
)  x.  ( sin `  x ) ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
10088, 99syl5eqel 2553 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  I  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
10194, 100, 35cncfmptss 37762 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( I `  x
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
10292, 101eqeltrd 2549 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( ( sin `  x ) ^ N
)  x.  ( sin `  x ) ) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
103 cniccibl 22877 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( ( sin `  x
) ^ N )  x.  ( sin `  x
) ) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( ( sin `  x ) ^ N )  x.  ( sin `  x
) ) )  e.  L^1 )
1044, 6, 102, 103syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( ( sin `  x ) ^ N
)  x.  ( sin `  x ) ) )  e.  L^1 )
10584, 86, 87, 104iblss 22841 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( ( ( sin `  x ) ^ N
)  x.  ( sin `  x ) ) )  e.  L^1 )
10657adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  N  e.  CC )
10760adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
10818, 107expcld 12454 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) )  e.  CC )
109106, 108mulcld 9681 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^
( N  -  1 ) ) )  e.  CC )
11038adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
111109, 110mulcld 9681 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  e.  CC )
11239adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
113111, 112mulcld 9681 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  e.  CC )
114 itgsinexplem1.5 . . . . . . . 8  |-  L  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )
115 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )
116115negfcncf 22029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( cos 
e.  ( CC -cn-> CC )  ->  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
11749, 116syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
11867, 117mulcncf 22476 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
119114, 118syl5eqel 2553 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  L  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
120114, 119, 35, 56, 113cncfmptssg 37844 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
121 cniccibl 22877 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  x.  ( cos `  x
) )  x.  -u ( cos `  x ) ) )  e.  L^1 )
1224, 6, 120, 121syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )  e.  L^1 )
12384, 86, 113, 122iblss 22841 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )  e.  L^1 )
124 reelprrecn 9649 . . . . . . 7  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
125124a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
126 recn 9647 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
127126sincld 14261 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
128127adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
12920adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  N  e. 
NN0 )
130128, 129expcld 12454 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( sin `  x ) ^ N )  e.  CC )
13157adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  N  e.  CC )
13260adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( N  -  1 )  e. 
NN0 )
133128, 132expcld 12454 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) )  e.  CC )
134131, 133mulcld 9681 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  e.  CC )
135126coscld 14262 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
136135adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
137134, 136mulcld 9681 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  x.  ( cos `  x
) )  e.  CC )
138 sincl 14257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  CC  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
139138adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
14020adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  N  e. 
NN0 )
141139, 140expcld 12454 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( sin `  x ) ^ N )  e.  CC )
142141, 23fmptd 6061 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : CC --> CC )
143126adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  CC )
144 elex 3040 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  e.  CC  ->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^
( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x
) )  e.  _V )
145137, 144syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  x.  ( cos `  x
) )  e.  _V )
146 rabid 2953 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  { x  e.  CC  |  ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  x.  ( cos `  x
) )  e.  _V } 
<->  ( x  e.  CC  /\  ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  e. 
_V ) )
147143, 145, 146sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  x  e. 
{ x  e.  CC  |  ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  e.  _V } )
14854dmmpt 5337 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  H  =  { x  e.  CC  |  ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  e.  _V }
149147, 148syl6eleqr 2560 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  x  e. 
dom  H )
150149ex 441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  ->  x  e.  dom  H
) )
151150alrimiv 1781 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x ( x  e.  RR  ->  x  e.  dom  H ) )
152 nfcv 2612 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x RR
153 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( x  e.  CC  |->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )
15454, 153nfcxfr 2610 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x H
155154nfdm 5082 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x dom  H
156152, 155dfss2f 3409 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR  C_  dom  H  <->  A. x
( x  e.  RR  ->  x  e.  dom  H
) )
157151, 156sylibr 217 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  RR  C_  dom  H )
15819dvsinexp 37877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) ) )
15923oveq2i 6319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( CC 
_D  F )  =  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) ) )
160158, 159, 543eqtr4g 2530 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  F
)  =  H )
161160dmeqd 5042 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  ( CC  _D  F )  =  dom  H )
162157, 161sseqtr4d 3455 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  RR  C_  dom  ( CC 
_D  F ) )
163 dvres3 22947 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( RR  e.  { RR ,  CC }  /\  F : CC --> CC )  /\  ( CC  C_  CC  /\  RR  C_  dom  ( CC  _D  F
) ) )  -> 
( RR  _D  ( F  |`  RR ) )  =  ( ( CC 
_D  F )  |`  RR ) )
164125, 142, 56, 162, 163syl22anc 1293 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( F  |`  RR ) )  =  ( ( CC 
_D  F )  |`  RR ) )
16523reseq1i 5107 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  |`  RR )  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  |`  RR )
166 resmpt 5160 . . . . . . . . . . 11  |-  ( RR  C_  CC  ->  ( (
x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  |`  RR )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( sin `  x ) ^ N
) ) )
16713, 166ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  |`  RR )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( sin `  x ) ^ N
) )
168165, 167eqtri 2493 . . . . . . . . 9  |-  ( F  |`  RR )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )
169168oveq2i 6319 . . . . . . . 8  |-  ( RR 
_D  ( F  |`  RR ) )  =  ( RR  _D  ( x  e.  RR  |->  ( ( sin `  x ) ^ N ) ) )
170169a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( F  |`  RR ) )  =  ( RR  _D  ( x  e.  RR  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) ) ) )
171160reseq1d 5110 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( CC  _D  F )  |`  RR )  =  ( H  |`  RR ) )
17254reseq1i 5107 . . . . . . . . 9  |-  ( H  |`  RR )  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )  |`  RR )
173 resmpt 5160 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR  C_  CC  ->  ( (
x  e.  CC  |->  ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )  |`  RR )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) ) )
17413, 173ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )  |`  RR )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )
175172, 174eqtri 2493 . . . . . . . 8  |-  ( H  |`  RR )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )
176171, 175syl6eq 2521 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( CC  _D  F )  |`  RR )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) ) )
177164, 170, 1763eqtr3d 2513 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) ) )
17812a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 [,] pi )  C_  RR )
179 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
180179tgioo2 21899 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
18110a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR ) )
182 iccntr 21917 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( 0 [,] pi ) )  =  ( 0 (,) pi ) )
183181, 182syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( 0 [,] pi ) )  =  ( 0 (,) pi ) )
184125, 130, 137, 177, 178, 180, 179, 183dvmptres2 22995 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) ) )
185135negcld 9992 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
186185adantl 473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
187127negcld 9992 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  -u ( sin `  x )  e.  CC )
188187adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  -u ( sin `  x )  e.  CC )
189 dvcosre 37878 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
_D  ( x  e.  RR  |->  ( cos `  x
) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  -u ( sin `  x
) )
190189a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  ( cos `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  -u ( sin `  x ) ) )
191125, 136, 188, 190dvmptneg 22999 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  -u ( cos `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  -u -u ( sin `  x
) ) )
192127negnegd 9996 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  -u -u ( sin `  x )  =  ( sin `  x
) )
193192adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  -u -u ( sin `  x )  =  ( sin `  x
) )
194193mpteq2dva 4482 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  -u -u ( sin `  x
) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( sin `  x ) ) )
195191, 194eqtrd 2505 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  -u ( cos `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( sin `  x ) ) )
196125, 186, 128, 195, 178, 180, 179, 183dvmptres2 22995 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  -u ( cos `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  ( sin `  x ) ) )
197 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  0  ->  ( sin `  x )  =  ( sin `  0
) )
198 sin0 14280 . . . . . . . . . . 11  |-  ( sin `  0 )  =  0
199197, 198syl6eq 2521 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  ( sin `  x )  =  0 )
200199oveq1d 6323 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  (
( sin `  x
) ^ N )  =  ( 0 ^ N ) )
201200adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  = 
0 )  ->  (
( sin `  x
) ^ N )  =  ( 0 ^ N ) )
20219adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  = 
0 )  ->  N  e.  NN )
2032020expd 12470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  = 
0 )  ->  (
0 ^ N )  =  0 )
204201, 203eqtrd 2505 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  = 
0 )  ->  (
( sin `  x
) ^ N )  =  0 )
205204oveq1d 6323 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  = 
0 )  ->  (
( ( sin `  x
) ^ N )  x.  -u ( cos `  x
) )  =  ( 0  x.  -u ( cos `  x ) ) )
206 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  x  =  0 )
207 0cn 9653 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  CC
208206, 207syl6eqel 2557 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  x  e.  CC )
209 coscl 14258 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
210209negcld 9992 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
211208, 210syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
212211adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  = 
0 )  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
213212mul02d 9849 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  = 
0 )  ->  (
0  x.  -u ( cos `  x ) )  =  0 )
214205, 213eqtrd 2505 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  = 
0 )  ->  (
( ( sin `  x
) ^ N )  x.  -u ( cos `  x
) )  =  0 )
215 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  pi  ->  ( sin `  x )  =  ( sin `  pi ) )
216 sinpi 23491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( sin `  pi )  =  0
217215, 216syl6eq 2521 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  pi  ->  ( sin `  x )  =  0 )
218217oveq1d 6323 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  pi  ->  (
( sin `  x
) ^ N )  =  ( 0 ^ N ) )
219218adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  =  pi )  ->  ( ( sin `  x ) ^ N )  =  ( 0 ^ N
) )
22019adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  =  pi )  ->  N  e.  NN )
2212200expd 12470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  =  pi )  ->  ( 0 ^ N )  =  0 )
222219, 221eqtrd 2505 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  =  pi )  ->  ( ( sin `  x ) ^ N )  =  0 )
223222oveq1d 6323 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  =  pi )  ->  ( ( ( sin `  x
) ^ N )  x.  -u ( cos `  x
) )  =  ( 0  x.  -u ( cos `  x ) ) )
224 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  pi  ->  x  =  pi )
225 picn 23493 . . . . . . . . . . 11  |-  pi  e.  CC
226224, 225syl6eqel 2557 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  pi  ->  x  e.  CC )
227226coscld 14262 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  pi  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
228227negcld 9992 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  pi  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
229228adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  =  pi )  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
230229mul02d 9849 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  =  pi )  ->  ( 0  x.  -u ( cos `  x
) )  =  0 )
231223, 230eqtrd 2505 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  =  pi )  ->  ( ( ( sin `  x
) ^ N )  x.  -u ( cos `  x
) )  =  0 )
2324, 6, 9, 37, 53, 81, 82, 105, 123, 184, 196, 214, 231itgparts 23078 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin `  x
) ^ N )  x.  ( sin `  x
) )  _d x  =  ( ( 0  -  0 )  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  x.  ( cos `  x
) )  x.  -u ( cos `  x ) )  _d x ) )
233 df-neg 9883 . . . . 5  |-  -u S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  x.  ( cos `  x
) )  x.  -u ( cos `  x ) )  _d x  =  ( 0  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  _d x )
234233a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  -> 
-u S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  _d x  =  ( 0  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  _d x ) )
2352, 232, 2343eqtr4a 2531 . . 3  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin `  x
) ^ N )  x.  ( sin `  x
) )  _d x  =  -u S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  _d x )
23677, 79, 79mulassd 9684 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  ( cos `  x
) )  =  ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( ( cos `  x )  x.  ( cos `  x
) ) ) )
237 sqval 12372 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( cos `  x )  e.  CC  ->  (
( cos `  x
) ^ 2 )  =  ( ( cos `  x )  x.  ( cos `  x ) ) )
238237eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( cos `  x )  e.  CC  ->  (
( cos `  x
)  x.  ( cos `  x ) )  =  ( ( cos `  x
) ^ 2 ) )
23978, 238syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
( cos `  x
)  x.  ( cos `  x ) )  =  ( ( cos `  x
) ^ 2 ) )
240239adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( cos `  x
)  x.  ( cos `  x ) )  =  ( ( cos `  x
) ^ 2 ) )
241240oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( ( cos `  x )  x.  ( cos `  x
) ) )  =  ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( ( cos `  x ) ^ 2 ) ) )
24278sqcld 12452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
( cos `  x
) ^ 2 )  e.  CC )
243242adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( cos `  x
) ^ 2 )  e.  CC )
24471, 76, 243mulassd 9684 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( ( cos `  x ) ^ 2 ) )  =  ( N  x.  ( ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) )  x.  ( ( cos `  x ) ^ 2 ) ) ) )
245241, 244eqtrd 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( ( cos `  x )  x.  ( cos `  x
) ) )  =  ( N  x.  (
( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) )  x.  ( ( cos `  x ) ^ 2 ) ) ) )
24676, 243mulcomd 9682 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) )  x.  ( ( cos `  x ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) )
247246oveq2d 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( N  x.  ( (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) )  x.  ( ( cos `  x ) ^ 2 ) ) )  =  ( N  x.  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
248236, 245, 2473eqtrd 2509 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  ( cos `  x
) )  =  ( N  x.  ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
249248negeqd 9889 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  -u (
( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  ( cos `  x
) )  =  -u ( N  x.  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
25080, 79mulneg2d 10093 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  =  -u ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  ( cos `  x
) ) )
251243, 76mulcld 9681 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  e.  CC )
25271, 251mulneg1d 10092 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( -u N  x.  ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) )  = 
-u ( N  x.  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) )
253249, 250, 2523eqtr4d 2515 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  =  (
-u N  x.  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
254253itgeq2dv 22818 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) (
-u N  x.  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) )  _d x )
25557negcld 9992 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u N  e.  CC )
25638sqcld 12452 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  (
( cos `  x
) ^ 2 )  e.  CC )
257256adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( cos `  x
) ^ 2 )  e.  CC )
258257, 108mulcld 9681 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  e.  CC )
259 itgsinexplem1.6 . . . . . . . . . . . . 13  |-  M  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )
260259fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  e.  CC )  -> 
( M `  x
)  =  ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) )
26116, 258, 260syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( M `  x )  =  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) ) )
262261eqcomd 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  =  ( M `  x ) )
263262mpteq2dva 4482 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( M `
 x ) ) )
264 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( x  e.  CC  |->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )
265259, 264nfcxfr 2610 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x M
266 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x cos
267 2nn0 10910 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN0
268267a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  2  e.  NN0 )
269266, 49, 268expcnfg 37768 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( cos `  x
) ^ 2 ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
270269, 61mulcncf 22476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
271259, 270syl5eqel 2553 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
272265, 271, 35cncfmptss 37762 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( M `  x
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
273263, 272eqeltrd 2549 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  e.  ( ( 0 [,] pi )
-cn-> CC ) )
274 cniccibl 22877 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) ) )  e.  L^1 )
2754, 6, 273, 274syl3anc 1292 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  e.  L^1 )
27684, 86, 258, 275iblss 22841 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  e.  L^1 )
277255, 251, 276itgmulc2 22870 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -u N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x )  =  S. ( 0 (,) pi ) (
-u N  x.  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) )  _d x )
278254, 277eqtr4d 2508 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  _d x  =  ( -u N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x ) )
279278negeqd 9889 . . 3  |-  ( ph  -> 
-u S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) )  _d x  =  -u ( -u N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x ) )
280235, 279eqtrd 2505 . 2  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin `  x
) ^ N )  x.  ( sin `  x
) )  _d x  =  -u ( -u N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x ) )
281251, 276itgcl 22820 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x  e.  CC )
28257, 281mulneg1d 10092 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -u N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x )  =  -u ( N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x ) )
283282negeqd 9889 . 2  |-  ( ph  -> 
-u ( -u N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x )  =  -u -u ( N  x.  S. (
0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  _d x ) )
28457, 281mulcld 9681 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x )  e.  CC )
285284negnegd 9996 . 2  |-  ( ph  -> 
-u -u ( N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x )  =  ( N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x ) )
286280, 283, 2853eqtrd 2509 1  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin `  x
) ^ N )  x.  ( sin `  x
) )  _d x  =  ( N  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  _d x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376   A.wal 1450    = wceq 1452    e. wcel 1904   {crab 2760   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   {cpr 3961   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   ran crn 4840    |` cres 4841   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    x. cmul 9562    <_ cle 9694    - cmin 9880   -ucneg 9881   NNcn 10631   2c2 10681   NN0cn0 10893   (,)cioo 11660   [,]cicc 11663   ^cexp 12310   sincsin 14193   cosccos 14194   picpi 14196   TopOpenctopn 15398   topGenctg 15414  ℂfldccnfld 19047   intcnt 20109   -cn->ccncf 21986   volcvol 22493   L^1cibl 22654   S.citg 22655    _D cdv 22897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-mbf 22656  df-itg1 22657  df-itg2 22658  df-ibl 22659  df-itg 22660  df-0p 22707  df-limc 22900  df-dv 22901
This theorem is referenced by:  itgsinexp  37928
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