Theorem itgsinexplem1 37927

Description: Integration by parts is applied to integrate sin^(N+1). (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgsinexplem1.1	|- F = ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) )
itgsinexplem1.2	|- G = ( x e. CC |-> -u ( cos ` x ) )
itgsinexplem1.3	|- H = ( x e. CC |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) )
itgsinexplem1.4	|- I = ( x e. CC |-> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) )
itgsinexplem1.5	|- L = ( x e. CC |-> ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) )
itgsinexplem1.6	|- M = ( x e. CC |-> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) )
itgsinexplem1.7	|- ( ph -> N e. NN )

Assertion

Ref	Expression
itgsinexplem1	|- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) _d x = ( N x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) _d x ) )

Distinct variable groups:   x, N   ph, x

Allowed substitution hints:   F( x)   G( x)   H( x)   I( x)   L( x)   M( x)

Proof of Theorem itgsinexplem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0m0e0 10741	. . . . 5 |- ( 0 - 0 ) = 0
2	1	oveq1i 6318	. . . 4 |- ( ( 0 - 0 ) - S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) _d x ) = ( 0 - S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) _d x )
3		0re 9661	. . . . . 6 |- 0 e. RR
4	3	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 0 e. RR )
5		pire 23492	. . . . . 6 |- pi e. RR
6	5	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> pi e. RR )
7		pipos 23494	. . . . . . 7 |- 0 < pi
8	3, 5, 7	ltleii 9775	. . . . . 6 |- 0 <_ pi
9	8	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ pi )
10	3, 5	pm3.2i 462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 e. RR /\ pi e. RR )
11		iccssre 11741	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR ) -> ( 0 [,] pi ) C_ RR )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 [,] pi ) C_ RR
13		ax-resscn 9614	. . . . . . . . . . . 12 |- RR C_ CC
14	12, 13	sstri 3427	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 [,] pi ) C_ CC
15	14	sseli 3414	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0 [,] pi ) -> x e. CC )
16	15	adantl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> x e. CC )
17	15	sincld 14261	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 0 [,] pi ) -> ( sin ` x ) e. CC )
18	17	adantl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( sin ` x ) e. CC )
19		itgsinexplem1.7	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. NN )
20	19	nnnn0d 10949	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. NN0 )
21	20	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> N e. NN0 )
22	18, 21	expcld 12454	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) e. CC )
23		itgsinexplem1.1	. . . . . . . . . 10 |- F = ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) )
24	23	fvmpt2 5972	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ ( ( sin ` x ) ^ N ) e. CC ) -> ( F ` x ) = ( ( sin ` x ) ^ N ) )
25	16, 22, 24	syl2anc 673	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( F ` x ) = ( ( sin ` x ) ^ N ) )
26	25	eqcomd 2477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) = ( F ` x ) )
27	26	mpteq2dva 4482	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) = ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( F ` x ) ) )
28		nfmpt1 4485	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) )
29	23, 28	nfcxfr 2610	. . . . . . 7 |- F/_ x F
30		nfcv 2612	. . . . . . . . 9 |- F/_ x sin
31		sincn 23478	. . . . . . . . . 10 |- sin e. ( CC -cn-> CC )
32	31	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sin e. ( CC -cn-> CC ) )
33	30, 32, 20	expcnfg 37768	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
34	23, 33	syl5eqel 2553	. . . . . . 7 |- ( ph -> F e. ( CC -cn-> CC ) )
35	14	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 [,] pi ) C_ CC )
36	29, 34, 35	cncfmptss 37762	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( F ` x ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
37	27, 36	eqeltrd 2549	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
38	15	coscld 14262	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 0 [,] pi ) -> ( cos ` x ) e. CC )
39	38	negcld 9992	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0 [,] pi ) -> -u ( cos ` x ) e. CC )
40		itgsinexplem1.2	. . . . . . . . . . 11 |- G = ( x e. CC |-> -u ( cos ` x ) )
41	40	fvmpt2 5972	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ -u ( cos ` x ) e. CC ) -> ( G ` x ) = -u ( cos ` x ) )
42	15, 39, 41	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 0 [,] pi ) -> ( G ` x ) = -u ( cos ` x ) )
43	42	eqcomd 2477	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 0 [,] pi ) -> -u ( cos ` x ) = ( G ` x ) )
44	43	adantl 473	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> -u ( cos ` x ) = ( G ` x ) )
45	44	mpteq2dva 4482	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> -u ( cos ` x ) ) = ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( G ` x ) ) )
46		nfmpt1 4485	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( x e. CC |-> -u ( cos ` x ) )
47	40, 46	nfcxfr 2610	. . . . . . 7 |- F/_ x G
48		coscn 23479	. . . . . . . . 9 |- cos e. ( CC -cn-> CC )
49	48	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> cos e. ( CC -cn-> CC ) )
50	40	negfcncf 22029	. . . . . . . 8 |- ( cos e. ( CC -cn-> CC ) -> G e. ( CC -cn-> CC ) )
51	49, 50	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> G e. ( CC -cn-> CC ) )
52	47, 51, 35	cncfmptss 37762	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( G ` x ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
53	45, 52	eqeltrd 2549	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> -u ( cos ` x ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
54		itgsinexplem1.3	. . . . . 6 |- H = ( x e. CC |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) )
55		ssid 3437	. . . . . . . . . . 11 |- CC C_ CC
56	55	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> CC C_ CC )
57	19	nncnd 10647	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. CC )
58	56, 57, 56	constcncfg 37845	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. CC |-> N ) e. ( CC -cn-> CC ) )
59		nnm1nn0 10935	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )
60	19, 59	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. NN0 )
61	30, 32, 60	expcnfg 37768	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
62	58, 61	mulcncf 22476	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
63		cosf 14256	. . . . . . . . . . 11 |- cos : CC --> CC
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> cos : CC --> CC )
65	64	feqmptd 5932	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> cos = ( x e. CC |-> ( cos ` x ) ) )
66	65, 48	syl6eqelr 2558	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( cos ` x ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
67	62, 66	mulcncf 22476	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
68	54, 67	syl5eqel 2553	. . . . . 6 |- ( ph -> H e. ( CC -cn-> CC ) )
69		ioosscn 37687	. . . . . . 7 |- ( 0 (,) pi ) C_ CC
70	69	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 (,) pi ) C_ CC )
71	57	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> N e. CC )
72	69	sseli 3414	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> x e. CC )
73	72	sincld 14261	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( sin ` x ) e. CC )
74	73	adantl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( sin ` x ) e. CC )
75	60	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( N - 1 ) e. NN0 )
76	74, 75	expcld 12454	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) e. CC )
77	71, 76	mulcld 9681	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) e. CC )
78	72	coscld 14262	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( cos ` x ) e. CC )
79	78	adantl 473	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( cos ` x ) e. CC )
80	77, 79	mulcld 9681	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) e. CC )
81	54, 68, 70, 56, 80	cncfmptssg 37844	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) ) e. ( ( 0 (,) pi ) -cn-> CC ) )
82	30, 32, 70	cncfmptss 37762	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( sin ` x ) ) e. ( ( 0 (,) pi ) -cn-> CC ) )
83		ioossicc 11745	. . . . . . 7 |- ( 0 (,) pi ) C_ ( 0 [,] pi )
84	83	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 (,) pi ) C_ ( 0 [,] pi ) )
85		ioombl 22597	. . . . . . 7 |- ( 0 (,) pi ) e. dom vol
86	85	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 (,) pi ) e. dom vol )
87	22, 18	mulcld 9681	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) e. CC )
88		itgsinexplem1.4	. . . . . . . . . . . 12 |- I = ( x e. CC |-> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) )
89	88	fvmpt2 5972	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) e. CC ) -> ( I ` x ) = ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) )
90	16, 87, 89	syl2anc 673	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( I ` x ) = ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) )
91	90	eqcomd 2477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) = ( I ` x ) )
92	91	mpteq2dva 4482	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) ) = ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( I ` x ) ) )
93		nfmpt1 4485	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( x e. CC |-> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) )
94	88, 93	nfcxfr 2610	. . . . . . . . 9 |- F/_ x I
95		sinf 14255	. . . . . . . . . . . . . 14 |- sin : CC --> CC
96	95	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> sin : CC --> CC )
97	96	feqmptd 5932	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> sin = ( x e. CC |-> ( sin ` x ) ) )
98	97, 31	syl6eqelr 2558	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( sin ` x ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
99	33, 98	mulcncf 22476	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
100	88, 99	syl5eqel 2553	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> I e. ( CC -cn-> CC ) )
101	94, 100, 35	cncfmptss 37762	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( I ` x ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
102	92, 101	eqeltrd 2549	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
103		cniccibl 22877	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR /\ ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) ) -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) ) e. L^1 )
104	4, 6, 102, 103	syl3anc 1292	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) ) e. L^1 )
105	84, 86, 87, 104	iblss 22841	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) ) e. L^1 )
106	57	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> N e. CC )
107	60	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( N - 1 ) e. NN0 )
108	18, 107	expcld 12454	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) e. CC )
109	106, 108	mulcld 9681	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) e. CC )
110	38	adantl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( cos ` x ) e. CC )
111	109, 110	mulcld 9681	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) e. CC )
112	39	adantl 473	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> -u ( cos ` x ) e. CC )
113	111, 112	mulcld 9681	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) e. CC )
114		itgsinexplem1.5	. . . . . . . 8 |- L = ( x e. CC |-> ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) )
115		eqid 2471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC |-> -u ( cos ` x ) ) = ( x e. CC |-> -u ( cos ` x ) )
116	115	negfcncf 22029	. . . . . . . . . . 11 |- ( cos e. ( CC -cn-> CC ) -> ( x e. CC |-> -u ( cos ` x ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
117	49, 116	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. CC |-> -u ( cos ` x ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
118	67, 117	mulcncf 22476	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
119	114, 118	syl5eqel 2553	. . . . . . . 8 |- ( ph -> L e. ( CC -cn-> CC ) )
120	114, 119, 35, 56, 113	cncfmptssg 37844	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
121		cniccibl 22877	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR /\ ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) ) -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) ) e. L^1 )
122	4, 6, 120, 121	syl3anc 1292	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) ) e. L^1 )
123	84, 86, 113, 122	iblss 22841	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) ) e. L^1 )
124		reelprrecn 9649	. . . . . . 7 |- RR e. { RR , CC }
125	124	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
126		recn 9647	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR -> x e. CC )
127	126	sincld 14261	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> ( sin ` x ) e. CC )
128	127	adantl 473	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( sin ` x ) e. CC )
129	20	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> N e. NN0 )
130	128, 129	expcld 12454	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) e. CC )
131	57	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> N e. CC )
132	60	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( N - 1 ) e. NN0 )
133	128, 132	expcld 12454	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) e. CC )
134	131, 133	mulcld 9681	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) e. CC )
135	126	coscld 14262	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> ( cos ` x ) e. CC )
136	135	adantl 473	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( cos ` x ) e. CC )
137	134, 136	mulcld 9681	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) e. CC )
138		sincl 14257	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC -> ( sin ` x ) e. CC )
139	138	adantl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( sin ` x ) e. CC )
140	20	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> N e. NN0 )
141	139, 140	expcld 12454	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) e. CC )
142	141, 23	fmptd 6061	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : CC --> CC )
143	126	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> x e. CC )
144		elex 3040	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) e. CC -> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) e. _V )
145	137, 144	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) e. _V )
146		rabid 2953	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. { x e. CC | ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) e. _V } <-> ( x e. CC /\ ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) e. _V ) )
147	143, 145, 146	sylanbrc 677	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> x e. { x e. CC | ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) e. _V } )
148	54	dmmpt 5337	. . . . . . . . . . . . 13 |- dom H = { x e. CC | ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) e. _V }
149	147, 148	syl6eleqr 2560	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> x e. dom H )
150	149	ex 441	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. RR -> x e. dom H ) )
151	150	alrimiv 1781	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x ( x e. RR -> x e. dom H ) )
152		nfcv 2612	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x RR
153		nfmpt1 4485	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x ( x e. CC |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) )
154	54, 153	nfcxfr 2610	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x H
155	154	nfdm 5082	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x dom H
156	152, 155	dfss2f 3409	. . . . . . . . . 10 |- ( RR C_ dom H <-> A. x ( x e. RR -> x e. dom H ) )
157	151, 156	sylibr 217	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> RR C_ dom H )
158	19	dvsinexp 37877	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) ) )
159	23	oveq2i 6319	. . . . . . . . . . 11 |- ( CC _D F ) = ( CC _D ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) )
160	158, 159, 54	3eqtr4g 2530	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( CC _D F ) = H )
161	160	dmeqd 5042	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> dom ( CC _D F ) = dom H )
162	157, 161	sseqtr4d 3455	. . . . . . . 8 |- ( ph -> RR C_ dom ( CC _D F ) )
163		dvres3 22947	. . . . . . . 8 |- ( ( ( RR e. { RR , CC } /\ F : CC --> CC ) /\ ( CC C_ CC /\ RR C_ dom ( CC _D F ) ) ) -> ( RR _D ( F |` RR ) ) = ( ( CC _D F ) |` RR ) )
164	125, 142, 56, 162, 163	syl22anc 1293	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( F |` RR ) ) = ( ( CC _D F ) |` RR ) )
165	23	reseq1i 5107	. . . . . . . . . 10 |- ( F |` RR ) = ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) |` RR )
166		resmpt 5160	. . . . . . . . . . 11 |- ( RR C_ CC -> ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) |` RR ) = ( x e. RR |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) )
167	13, 166	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) |` RR ) = ( x e. RR |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) )
168	165, 167	eqtri 2493	. . . . . . . . 9 |- ( F |` RR ) = ( x e. RR |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) )
169	168	oveq2i 6319	. . . . . . . 8 |- ( RR _D ( F |` RR ) ) = ( RR _D ( x e. RR |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) )
170	169	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( F |` RR ) ) = ( RR _D ( x e. RR |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) ) )
171	160	reseq1d 5110	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( CC _D F ) |` RR ) = ( H |` RR ) )
172	54	reseq1i 5107	. . . . . . . . 9 |- ( H |` RR ) = ( ( x e. CC |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) ) |` RR )
173		resmpt 5160	. . . . . . . . . 10 |- ( RR C_ CC -> ( ( x e. CC |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) ) |` RR ) = ( x e. RR |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) ) )
174	13, 173	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) ) |` RR ) = ( x e. RR |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) )
175	172, 174	eqtri 2493	. . . . . . . 8 |- ( H |` RR ) = ( x e. RR |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) )
176	171, 175	syl6eq 2521	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( CC _D F ) |` RR ) = ( x e. RR |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) ) )
177	164, 170, 176	3eqtr3d 2513	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. RR |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) ) = ( x e. RR |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) ) )
178	12	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 [,] pi ) C_ RR )
179		eqid 2471	. . . . . . 7 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
180	179	tgioo2 21899	. . . . . 6 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
181	10	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 e. RR /\ pi e. RR ) )
182		iccntr 21917	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( 0 [,] pi ) ) = ( 0 (,) pi ) )
183	181, 182	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( 0 [,] pi ) ) = ( 0 (,) pi ) )
184	125, 130, 137, 177, 178, 180, 179, 183	dvmptres2 22995	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) ) = ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) ) )
185	135	negcld 9992	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> -u ( cos ` x ) e. CC )
186	185	adantl 473	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> -u ( cos ` x ) e. CC )
187	127	negcld 9992	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR -> -u ( sin ` x ) e. CC )
188	187	adantl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> -u ( sin ` x ) e. CC )
189		dvcosre 37878	. . . . . . . . 9 |- ( RR _D ( x e. RR |-> ( cos ` x ) ) ) = ( x e. RR |-> -u ( sin ` x ) )
190	189	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. RR |-> ( cos ` x ) ) ) = ( x e. RR |-> -u ( sin ` x ) ) )
191	125, 136, 188, 190	dvmptneg 22999	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. RR |-> -u ( cos ` x ) ) ) = ( x e. RR |-> -u -u ( sin ` x ) ) )
192	127	negnegd 9996	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR -> -u -u ( sin ` x ) = ( sin ` x ) )
193	192	adantl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> -u -u ( sin ` x ) = ( sin ` x ) )
194	193	mpteq2dva 4482	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. RR |-> -u -u ( sin ` x ) ) = ( x e. RR |-> ( sin ` x ) ) )
195	191, 194	eqtrd 2505	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. RR |-> -u ( cos ` x ) ) ) = ( x e. RR |-> ( sin ` x ) ) )
196	125, 186, 128, 195, 178, 180, 179, 183	dvmptres2 22995	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> -u ( cos ` x ) ) ) = ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( sin ` x ) ) )
197		fveq2 5879	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = 0 -> ( sin ` x ) = ( sin ` 0 ) )
198		sin0 14280	. . . . . . . . . . 11 |- ( sin ` 0 ) = 0
199	197, 198	syl6eq 2521	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 0 -> ( sin ` x ) = 0 )
200	199	oveq1d 6323	. . . . . . . . 9 |- ( x = 0 -> ( ( sin ` x ) ^ N ) = ( 0 ^ N ) )
201	200	adantl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x = 0 ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) = ( 0 ^ N ) )
202	19	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x = 0 ) -> N e. NN )
203	202	0expd 12470	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x = 0 ) -> ( 0 ^ N ) = 0 )
204	201, 203	eqtrd 2505	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x = 0 ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) = 0 )
205	204	oveq1d 6323	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x = 0 ) -> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. -u ( cos ` x ) ) = ( 0 x. -u ( cos ` x ) ) )
206		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 0 -> x = 0 )
207		0cn 9653	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. CC
208	206, 207	syl6eqel 2557	. . . . . . . . 9 |- ( x = 0 -> x e. CC )
209		coscl 14258	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> ( cos ` x ) e. CC )
210	209	negcld 9992	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> -u ( cos ` x ) e. CC )
211	208, 210	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( x = 0 -> -u ( cos ` x ) e. CC )
212	211	adantl 473	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x = 0 ) -> -u ( cos ` x ) e. CC )
213	212	mul02d 9849	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x = 0 ) -> ( 0 x. -u ( cos ` x ) ) = 0 )
214	205, 213	eqtrd 2505	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x = 0 ) -> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. -u ( cos ` x ) ) = 0 )
215		fveq2 5879	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = pi -> ( sin ` x ) = ( sin ` pi ) )
216		sinpi 23491	. . . . . . . . . . 11 |- ( sin ` pi ) = 0
217	215, 216	syl6eq 2521	. . . . . . . . . 10 |- ( x = pi -> ( sin ` x ) = 0 )
218	217	oveq1d 6323	. . . . . . . . 9 |- ( x = pi -> ( ( sin ` x ) ^ N ) = ( 0 ^ N ) )
219	218	adantl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x = pi ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) = ( 0 ^ N ) )
220	19	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x = pi ) -> N e. NN )
221	220	0expd 12470	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x = pi ) -> ( 0 ^ N ) = 0 )
222	219, 221	eqtrd 2505	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x = pi ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) = 0 )
223	222	oveq1d 6323	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x = pi ) -> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. -u ( cos ` x ) ) = ( 0 x. -u ( cos ` x ) ) )
224		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = pi -> x = pi )
225		picn 23493	. . . . . . . . . . 11 |- pi e. CC
226	224, 225	syl6eqel 2557	. . . . . . . . . 10 |- ( x = pi -> x e. CC )
227	226	coscld 14262	. . . . . . . . 9 |- ( x = pi -> ( cos ` x ) e. CC )
228	227	negcld 9992	. . . . . . . 8 |- ( x = pi -> -u ( cos ` x ) e. CC )
229	228	adantl 473	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x = pi ) -> -u ( cos ` x ) e. CC )
230	229	mul02d 9849	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x = pi ) -> ( 0 x. -u ( cos ` x ) ) = 0 )
231	223, 230	eqtrd 2505	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x = pi ) -> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. -u ( cos ` x ) ) = 0 )
232	4, 6, 9, 37, 53, 81, 82, 105, 123, 184, 196, 214, 231	itgparts 23078	. . . 4 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) _d x = ( ( 0 - 0 ) - S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) _d x ) )
233		df-neg 9883	. . . . 5 |- -u S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) _d x = ( 0 - S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) _d x )
234	233	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> -u S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) _d x = ( 0 - S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) _d x ) )
235	2, 232, 234	3eqtr4a 2531	. . 3 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) _d x = -u S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) _d x )
236	77, 79, 79	mulassd 9684	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. ( cos ` x ) ) = ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( ( cos ` x ) x. ( cos ` x ) ) ) )
237		sqval 12372	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( cos ` x ) e. CC -> ( ( cos ` x ) ^ 2 ) = ( ( cos ` x ) x. ( cos ` x ) ) )
238	237	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( cos ` x ) e. CC -> ( ( cos ` x ) x. ( cos ` x ) ) = ( ( cos ` x ) ^ 2 ) )
239	78, 238	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( ( cos ` x ) x. ( cos ` x ) ) = ( ( cos ` x ) ^ 2 ) )
240	239	adantl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( cos ` x ) x. ( cos ` x ) ) = ( ( cos ` x ) ^ 2 ) )
241	240	oveq2d 6324	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( ( cos ` x ) x. ( cos ` x ) ) ) = ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( ( cos ` x ) ^ 2 ) ) )
242	78	sqcld 12452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( ( cos ` x ) ^ 2 ) e. CC )
243	242	adantl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( cos ` x ) ^ 2 ) e. CC )
244	71, 76, 243	mulassd 9684	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( ( cos ` x ) ^ 2 ) ) = ( N x. ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) x. ( ( cos ` x ) ^ 2 ) ) ) )
245	241, 244	eqtrd 2505	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( ( cos ` x ) x. ( cos ` x ) ) ) = ( N x. ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) x. ( ( cos ` x ) ^ 2 ) ) ) )
246	76, 243	mulcomd 9682	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) x. ( ( cos ` x ) ^ 2 ) ) = ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) )
247	246	oveq2d 6324	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( N x. ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) x. ( ( cos ` x ) ^ 2 ) ) ) = ( N x. ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
248	236, 245, 247	3eqtrd 2509	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. ( cos ` x ) ) = ( N x. ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
249	248	negeqd 9889	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> -u ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. ( cos ` x ) ) = -u ( N x. ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
250	80, 79	mulneg2d 10093	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) = -u ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. ( cos ` x ) ) )
251	243, 76	mulcld 9681	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) e. CC )
252	71, 251	mulneg1d 10092	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( -u N x. ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) = -u ( N x. ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
253	249, 250, 252	3eqtr4d 2515	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) = ( -u N x. ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
254	253	itgeq2dv 22818	. . . . 5 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) _d x = S. ( 0 (,) pi ) ( -u N x. ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) _d x )
255	57	negcld 9992	. . . . . 6 |- ( ph -> -u N e. CC )
256	38	sqcld 12452	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 0 [,] pi ) -> ( ( cos ` x ) ^ 2 ) e. CC )
257	256	adantl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( cos ` x ) ^ 2 ) e. CC )
258	257, 108	mulcld 9681	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) e. CC )
259		itgsinexplem1.6	. . . . . . . . . . . . 13 |- M = ( x e. CC |-> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) )
260	259	fvmpt2 5972	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CC /\ ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) e. CC ) -> ( M ` x ) = ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) )
261	16, 258, 260	syl2anc 673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( M ` x ) = ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) )
262	261	eqcomd 2477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) = ( M ` x ) )
263	262	mpteq2dva 4482	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) = ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( M ` x ) ) )
264		nfmpt1 4485	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x ( x e. CC |-> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) )
265	259, 264	nfcxfr 2610	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x M
266		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x cos
267		2nn0 10910	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. NN0
268	267	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 2 e. NN0 )
269	266, 49, 268	expcnfg 37768	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( cos ` x ) ^ 2 ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
270	269, 61	mulcncf 22476	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
271	259, 270	syl5eqel 2553	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. ( CC -cn-> CC ) )
272	265, 271, 35	cncfmptss 37762	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( M ` x ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
273	263, 272	eqeltrd 2549	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
274		cniccibl 22877	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR /\ ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) ) -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) e. L^1 )
275	4, 6, 273, 274	syl3anc 1292	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) e. L^1 )
276	84, 86, 258, 275	iblss 22841	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) e. L^1 )
277	255, 251, 276	itgmulc2 22870	. . . . 5 |- ( ph -> ( -u N x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) _d x ) = S. ( 0 (,) pi ) ( -u N x. ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) _d x )
278	254, 277	eqtr4d 2508	. . . 4 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) _d x = ( -u N x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) _d x ) )
279	278	negeqd 9889	. . 3 |- ( ph -> -u S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) _d x = -u ( -u N x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) _d x ) )
280	235, 279	eqtrd 2505	. 2 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) _d x = -u ( -u N x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) _d x ) )
281	251, 276	itgcl 22820	. . . 4 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) _d x e. CC )
282	57, 281	mulneg1d 10092	. . 3 |- ( ph -> ( -u N x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) _d x ) = -u ( N x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) _d x ) )
283	282	negeqd 9889	. 2 |- ( ph -> -u ( -u N x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) _d x ) = -u -u ( N x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) _d x ) )
284	57, 281	mulcld 9681	. . 3 |- ( ph -> ( N x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) _d x ) e. CC )
285	284	negnegd 9996	. 2 |- ( ph -> -u -u ( N x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) _d x ) = ( N x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) _d x ) )
286	280, 283, 285	3eqtrd 2509	1 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) _d x = ( N x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) _d x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 376   A.wal 1450   = wceq 1452   e. wcel 1904   {crab 2760   _Vcvv 3031   C_ wss 3390   {cpr 3961   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   ran crn 4840   |` cres 4841   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   x. cmul 9562   <_ cle 9694   - cmin 9880   -ucneg 9881   NNcn 10631   2c2 10681   NN0cn0 10893   (,)cioo 11660   [,]cicc 11663   ^cexp 12310   sincsin 14193   cosccos 14194   picpi 14196   TopOpenctopn 15398   topGenctg 15414  ℂ_fldccnfld 19047   intcnt 20109   -cn->ccncf 21986   volcvol 22493   L^1cibl 22654   S.citg 22655   _D cdv 22897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-mbf 22656  df-itg1 22657  df-itg2 22658  df-ibl 22659  df-itg 22660  df-0p 22707  df-limc 22900  df-dv 22901

This theorem is referenced by:  itgsinexp  37928