Theorem itgsinexplem1 27615

Description: Integration by parts is applied to integrate sin^(N+1) (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgsinexplem1.1	|- F = ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) )
itgsinexplem1.2	|- G = ( x e. CC |-> -u ( cos ` x ) )
itgsinexplem1.3	|- H = ( x e. CC |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) )
itgsinexplem1.4	|- I = ( x e. CC |-> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) )
itgsinexplem1.5	|- L = ( x e. CC |-> ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) )
itgsinexplem1.6	|- M = ( x e. CC |-> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) )
itgsinexplem1.7	|- ( ph -> N e. NN )

Assertion

Ref	Expression
itgsinexplem1	|- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) _d x = ( N x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) _d x ) )

Distinct variable groups:   x, N   ph, x

Allowed substitution hints:   F( x)   G( x)   H( x)   I( x)   L( x)   M( x)

Proof of Theorem itgsinexplem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 9040	. . . . . 6 |- 0 e. CC
2	1	subidi 9327	. . . . 5 |- ( 0 - 0 ) = 0
3	2	oveq1i 6050	. . . 4 |- ( ( 0 - 0 ) - S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) _d x ) = ( 0 - S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) _d x )
4		0re 9047	. . . . . 6 |- 0 e. RR
5	4	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 0 e. RR )
6		pire 20325	. . . . . 6 |- pi e. RR
7	6	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> pi e. RR )
8		pipos 20326	. . . . . . 7 |- 0 < pi
9	4, 6, 8	ltleii 9152	. . . . . 6 |- 0 <_ pi
10	9	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ pi )
11	4, 6	pm3.2i 442	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 e. RR /\ pi e. RR )
12		iccssre 10948	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR ) -> ( 0 [,] pi ) C_ RR )
13	11, 12	ax-mp 8	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 [,] pi ) C_ RR
14		ax-resscn 9003	. . . . . . . . . . . 12 |- RR C_ CC
15	13, 14	sstri 3317	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 [,] pi ) C_ CC
16	15	sseli 3304	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0 [,] pi ) -> x e. CC )
17	16	adantl 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> x e. CC )
18	16	sincld 12686	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 0 [,] pi ) -> ( sin ` x ) e. CC )
19	18	adantl 453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( sin ` x ) e. CC )
20		itgsinexplem1.7	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. NN )
21	20	nnnn0d 10230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. NN0 )
22	21	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> N e. NN0 )
23	19, 22	expcld 11478	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) e. CC )
24		itgsinexplem1.1	. . . . . . . . . 10 |- F = ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) )
25	24	fvmpt2 5771	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ ( ( sin ` x ) ^ N ) e. CC ) -> ( F ` x ) = ( ( sin ` x ) ^ N ) )
26	17, 23, 25	syl2anc 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( F ` x ) = ( ( sin ` x ) ^ N ) )
27	26	eqcomd 2409	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) = ( F ` x ) )
28	27	mpteq2dva 4255	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) = ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( F ` x ) ) )
29		nfmpt1 4258	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) )
30	24, 29	nfcxfr 2537	. . . . . . 7 |- F/_ x F
31		nfcv 2540	. . . . . . . . 9 |- F/_ x sin
32		sincn 20313	. . . . . . . . . 10 |- sin e. ( CC -cn-> CC )
33	32	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sin e. ( CC -cn-> CC ) )
34	31, 33, 21	expcnfg 27593	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
35	24, 34	syl5eqel 2488	. . . . . . 7 |- ( ph -> F e. ( CC -cn-> CC ) )
36	15	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 [,] pi ) C_ CC )
37	30, 35, 36	cncfmptss 27584	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( F ` x ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
38	28, 37	eqeltrd 2478	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
39	16	coscld 12687	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 0 [,] pi ) -> ( cos ` x ) e. CC )
40	39	negcld 9354	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0 [,] pi ) -> -u ( cos ` x ) e. CC )
41		itgsinexplem1.2	. . . . . . . . . . 11 |- G = ( x e. CC |-> -u ( cos ` x ) )
42	41	fvmpt2 5771	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ -u ( cos ` x ) e. CC ) -> ( G ` x ) = -u ( cos ` x ) )
43	16, 40, 42	syl2anc 643	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 0 [,] pi ) -> ( G ` x ) = -u ( cos ` x ) )
44	43	eqcomd 2409	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 0 [,] pi ) -> -u ( cos ` x ) = ( G ` x ) )
45	44	adantl 453	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> -u ( cos ` x ) = ( G ` x ) )
46	45	mpteq2dva 4255	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> -u ( cos ` x ) ) = ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( G ` x ) ) )
47		nfmpt1 4258	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( x e. CC |-> -u ( cos ` x ) )
48	41, 47	nfcxfr 2537	. . . . . . 7 |- F/_ x G
49		coscn 20314	. . . . . . . . 9 |- cos e. ( CC -cn-> CC )
50	49	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> cos e. ( CC -cn-> CC ) )
51	41	negfcncf 18902	. . . . . . . 8 |- ( cos e. ( CC -cn-> CC ) -> G e. ( CC -cn-> CC ) )
52	50, 51	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> G e. ( CC -cn-> CC ) )
53	48, 52, 36	cncfmptss 27584	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( G ` x ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
54	46, 53	eqeltrd 2478	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> -u ( cos ` x ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
55		ioossre 10928	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 (,) pi ) C_ RR
56	55, 14	sstri 3317	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 (,) pi ) C_ CC
57	56	sseli 3304	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> x e. CC )
58	57	adantl 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> x e. CC )
59	20	nncnd 9972	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. CC )
60	59	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> N e. CC )
61	57	sincld 12686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( sin ` x ) e. CC )
62	61	adantl 453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( sin ` x ) e. CC )
63		nnm1nn0 10217	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )
64	20, 63	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. NN0 )
65	64	adantr 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( N - 1 ) e. NN0 )
66	62, 65	expcld 11478	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) e. CC )
67	60, 66	mulcld 9064	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) e. CC )
68	57	coscld 12687	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( cos ` x ) e. CC )
69	68	adantl 453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( cos ` x ) e. CC )
70	67, 69	mulcld 9064	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) e. CC )
71		itgsinexplem1.3	. . . . . . . . . 10 |- H = ( x e. CC |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) )
72	71	fvmpt2 5771	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) e. CC ) -> ( H ` x ) = ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) )
73	58, 70, 72	syl2anc 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( H ` x ) = ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) )
74	73	eqcomd 2409	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) = ( H ` x ) )
75	74	mpteq2dva 4255	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) ) = ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( H ` x ) ) )
76		nfmpt1 4258	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( x e. CC |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) )
77	71, 76	nfcxfr 2537	. . . . . . 7 |- F/_ x H
78		ssid 3327	. . . . . . . . . . . 12 |- CC C_ CC
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> CC C_ CC )
80		cncfmptc 18894	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. CC /\ CC C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( x e. CC |-> N ) e. ( CC -cn-> CC ) )
81	59, 79, 79, 80	syl3anc 1184	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. CC |-> N ) e. ( CC -cn-> CC ) )
82	31, 33, 64	expcnfg 27593	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
83	81, 82	mulcncf 27587	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
84		cosf 12681	. . . . . . . . . . . 12 |- cos : CC --> CC
85	84	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> cos : CC --> CC )
86	85	feqmptd 5738	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> cos = ( x e. CC |-> ( cos ` x ) ) )
87	86, 49	syl6eqelr 2493	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( cos ` x ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
88	83, 87	mulcncf 27587	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
89	71, 88	syl5eqel 2488	. . . . . . 7 |- ( ph -> H e. ( CC -cn-> CC ) )
90	56	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 (,) pi ) C_ CC )
91	77, 89, 90	cncfmptss 27584	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( H ` x ) ) e. ( ( 0 (,) pi ) -cn-> CC ) )
92	75, 91	eqeltrd 2478	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) ) e. ( ( 0 (,) pi ) -cn-> CC ) )
93	31, 33, 90	cncfmptss 27584	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( sin ` x ) ) e. ( ( 0 (,) pi ) -cn-> CC ) )
94		ioossicc 10952	. . . . . . 7 |- ( 0 (,) pi ) C_ ( 0 [,] pi )
95	94	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 (,) pi ) C_ ( 0 [,] pi ) )
96		ioombl 19412	. . . . . . 7 |- ( 0 (,) pi ) e. dom vol
97	96	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 (,) pi ) e. dom vol )
98	23, 19	mulcld 9064	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) e. CC )
99		itgsinexplem1.4	. . . . . . . . . . . 12 |- I = ( x e. CC |-> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) )
100	99	fvmpt2 5771	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) e. CC ) -> ( I ` x ) = ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) )
101	17, 98, 100	syl2anc 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( I ` x ) = ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) )
102	101	eqcomd 2409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) = ( I ` x ) )
103	102	mpteq2dva 4255	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) ) = ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( I ` x ) ) )
104		nfmpt1 4258	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( x e. CC |-> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) )
105	99, 104	nfcxfr 2537	. . . . . . . . 9 |- F/_ x I
106		sinf 12680	. . . . . . . . . . . . . 14 |- sin : CC --> CC
107	106	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> sin : CC --> CC )
108	107	feqmptd 5738	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> sin = ( x e. CC |-> ( sin ` x ) ) )
109	108, 32	syl6eqelr 2493	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( sin ` x ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
110	34, 109	mulcncf 27587	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
111	99, 110	syl5eqel 2488	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> I e. ( CC -cn-> CC ) )
112	105, 111, 36	cncfmptss 27584	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( I ` x ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
113	103, 112	eqeltrd 2478	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
114		cniccibl 19685	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR /\ ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) ) -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) ) e. L ^1 )
115	5, 7, 113, 114	syl3anc 1184	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) ) e. L ^1 )
116	95, 97, 98, 115	iblss 19649	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) ) e. L ^1 )
117	59	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> N e. CC )
118	64	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( N - 1 ) e. NN0 )
119	19, 118	expcld 11478	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) e. CC )
120	117, 119	mulcld 9064	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) e. CC )
121	39	adantl 453	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( cos ` x ) e. CC )
122	120, 121	mulcld 9064	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) e. CC )
123	40	adantl 453	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> -u ( cos ` x ) e. CC )
124	122, 123	mulcld 9064	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) e. CC )
125		itgsinexplem1.5	. . . . . . . . . . . 12 |- L = ( x e. CC |-> ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) )
126	125	fvmpt2 5771	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) e. CC ) -> ( L ` x ) = ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) )
127	17, 124, 126	syl2anc 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( L ` x ) = ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) )
128	127	eqcomd 2409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) = ( L ` x ) )
129	128	mpteq2dva 4255	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) ) = ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( L ` x ) ) )
130		nfmpt1 4258	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( x e. CC |-> ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) )
131	125, 130	nfcxfr 2537	. . . . . . . . 9 |- F/_ x L
132		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. CC |-> -u ( cos ` x ) ) = ( x e. CC |-> -u ( cos ` x ) )
133	132	negfcncf 18902	. . . . . . . . . . . 12 |- ( cos e. ( CC -cn-> CC ) -> ( x e. CC |-> -u ( cos ` x ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
134	50, 133	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. CC |-> -u ( cos ` x ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
135	88, 134	mulcncf 27587	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
136	125, 135	syl5eqel 2488	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> L e. ( CC -cn-> CC ) )
137	131, 136, 36	cncfmptss 27584	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( L ` x ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
138	129, 137	eqeltrd 2478	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
139		cniccibl 19685	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR /\ ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) ) -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) ) e. L ^1 )
140	5, 7, 138, 139	syl3anc 1184	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) ) e. L ^1 )
141	95, 97, 124, 140	iblss 19649	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) ) e. L ^1 )
142		reex 9037	. . . . . . . 8 |- RR e. _V
143	142	prid1 3872	. . . . . . 7 |- RR e. { RR , CC }
144	143	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
145		recn 9036	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR -> x e. CC )
146	145	sincld 12686	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> ( sin ` x ) e. CC )
147	146	adantl 453	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( sin ` x ) e. CC )
148	21	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> N e. NN0 )
149	147, 148	expcld 11478	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) e. CC )
150	59	adantr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> N e. CC )
151	64	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( N - 1 ) e. NN0 )
152	147, 151	expcld 11478	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) e. CC )
153	150, 152	mulcld 9064	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) e. CC )
154	145	coscld 12687	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> ( cos ` x ) e. CC )
155	154	adantl 453	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( cos ` x ) e. CC )
156	153, 155	mulcld 9064	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) e. CC )
157		sincl 12682	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC -> ( sin ` x ) e. CC )
158	157	adantl 453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( sin ` x ) e. CC )
159	21	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> N e. NN0 )
160	158, 159	expcld 11478	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) e. CC )
161	160, 24	fmptd 5852	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : CC --> CC )
162	145	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> x e. CC )
163		elex 2924	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) e. CC -> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) e. _V )
164	156, 163	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) e. _V )
165		rabid 2844	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. { x e. CC | ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) e. _V } <-> ( x e. CC /\ ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) e. _V ) )
166	162, 164, 165	sylanbrc 646	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> x e. { x e. CC | ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) e. _V } )
167	71	dmmpt 5324	. . . . . . . . . . . . 13 |- dom H = { x e. CC | ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) e. _V }
168	166, 167	syl6eleqr 2495	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> x e. dom H )
169	168	ex 424	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. RR -> x e. dom H ) )
170	169	alrimiv 1638	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x ( x e. RR -> x e. dom H ) )
171		nfcv 2540	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x RR
172	77	nfdm 5070	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x dom H
173	171, 172	dfss2f 3299	. . . . . . . . . 10 |- ( RR C_ dom H <-> A. x ( x e. RR -> x e. dom H ) )
174	170, 173	sylibr 204	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> RR C_ dom H )
175	20	dvsinexp 27607	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) ) )
176	24	oveq2i 6051	. . . . . . . . . . 11 |- ( CC _D F ) = ( CC _D ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) )
177	175, 176, 71	3eqtr4g 2461	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( CC _D F ) = H )
178	177	dmeqd 5031	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> dom ( CC _D F ) = dom H )
179	174, 178	sseqtr4d 3345	. . . . . . . 8 |- ( ph -> RR C_ dom ( CC _D F ) )
180		dvres3 19753	. . . . . . . 8 |- ( ( ( RR e. { RR , CC } /\ F : CC --> CC ) /\ ( CC C_ CC /\ RR C_ dom ( CC _D F ) ) ) -> ( RR _D ( F |` RR ) ) = ( ( CC _D F ) |` RR ) )
181	144, 161, 79, 179, 180	syl22anc 1185	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( F |` RR ) ) = ( ( CC _D F ) |` RR ) )
182	24	reseq1i 5101	. . . . . . . . . 10 |- ( F |` RR ) = ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) |` RR )
183		resmpt 5150	. . . . . . . . . . 11 |- ( RR C_ CC -> ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) |` RR ) = ( x e. RR |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) )
184	14, 183	ax-mp 8	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) |` RR ) = ( x e. RR |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) )
185	182, 184	eqtri 2424	. . . . . . . . 9 |- ( F |` RR ) = ( x e. RR |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) )
186	185	oveq2i 6051	. . . . . . . 8 |- ( RR _D ( F |` RR ) ) = ( RR _D ( x e. RR |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) )
187	186	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( F |` RR ) ) = ( RR _D ( x e. RR |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) ) )
188	177	reseq1d 5104	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( CC _D F ) |` RR ) = ( H |` RR ) )
189	71	reseq1i 5101	. . . . . . . . 9 |- ( H |` RR ) = ( ( x e. CC |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) ) |` RR )
190		resmpt 5150	. . . . . . . . . 10 |- ( RR C_ CC -> ( ( x e. CC |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) ) |` RR ) = ( x e. RR |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) ) )
191	14, 190	ax-mp 8	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) ) |` RR ) = ( x e. RR |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) )
192	189, 191	eqtri 2424	. . . . . . . 8 |- ( H |` RR ) = ( x e. RR |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) )
193	188, 192	syl6eq 2452	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( CC _D F ) |` RR ) = ( x e. RR |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) ) )
194	181, 187, 193	3eqtr3d 2444	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. RR |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) ) = ( x e. RR |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) ) )
195	13	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 [,] pi ) C_ RR )
196		eqid 2404	. . . . . . 7 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
197	196	tgioo2 18787	. . . . . 6 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
198	11	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 e. RR /\ pi e. RR ) )
199		iccntr 18805	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( 0 [,] pi ) ) = ( 0 (,) pi ) )
200	198, 199	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( 0 [,] pi ) ) = ( 0 (,) pi ) )
201	144, 149, 156, 194, 195, 197, 196, 200	dvmptres2 19801	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) ) = ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) ) )
202	154	negcld 9354	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> -u ( cos ` x ) e. CC )
203	202	adantl 453	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> -u ( cos ` x ) e. CC )
204	146	negcld 9354	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR -> -u ( sin ` x ) e. CC )
205	204	adantl 453	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> -u ( sin ` x ) e. CC )
206		dvcosre 27608	. . . . . . . . 9 |- ( RR _D ( x e. RR |-> ( cos ` x ) ) ) = ( x e. RR |-> -u ( sin ` x ) )
207	206	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. RR |-> ( cos ` x ) ) ) = ( x e. RR |-> -u ( sin ` x ) ) )
208	144, 155, 205, 207	dvmptneg 19805	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. RR |-> -u ( cos ` x ) ) ) = ( x e. RR |-> -u -u ( sin ` x ) ) )
209	146	negnegd 9358	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR -> -u -u ( sin ` x ) = ( sin ` x ) )
210	209	adantl 453	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> -u -u ( sin ` x ) = ( sin ` x ) )
211	210	mpteq2dva 4255	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. RR |-> -u -u ( sin ` x ) ) = ( x e. RR |-> ( sin ` x ) ) )
212	208, 211	eqtrd 2436	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. RR |-> -u ( cos ` x ) ) ) = ( x e. RR |-> ( sin ` x ) ) )
213	144, 203, 147, 212, 195, 197, 196, 200	dvmptres2 19801	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> -u ( cos ` x ) ) ) = ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( sin ` x ) ) )
214		fveq2 5687	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = 0 -> ( sin ` x ) = ( sin ` 0 ) )
215		sin0 12705	. . . . . . . . . . 11 |- ( sin ` 0 ) = 0
216	214, 215	syl6eq 2452	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 0 -> ( sin ` x ) = 0 )
217	216	oveq1d 6055	. . . . . . . . 9 |- ( x = 0 -> ( ( sin ` x ) ^ N ) = ( 0 ^ N ) )
218	217	adantl 453	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x = 0 ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) = ( 0 ^ N ) )
219	20	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x = 0 ) -> N e. NN )
220	219	0expd 11494	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x = 0 ) -> ( 0 ^ N ) = 0 )
221	218, 220	eqtrd 2436	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x = 0 ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) = 0 )
222	221	oveq1d 6055	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x = 0 ) -> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. -u ( cos ` x ) ) = ( 0 x. -u ( cos ` x ) ) )
223		id 20	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 0 -> x = 0 )
224	223, 1	syl6eqel 2492	. . . . . . . . 9 |- ( x = 0 -> x e. CC )
225		coscl 12683	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> ( cos ` x ) e. CC )
226	225	negcld 9354	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> -u ( cos ` x ) e. CC )
227	224, 226	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( x = 0 -> -u ( cos ` x ) e. CC )
228	227	adantl 453	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x = 0 ) -> -u ( cos ` x ) e. CC )
229	228	mul02d 9220	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x = 0 ) -> ( 0 x. -u ( cos ` x ) ) = 0 )
230	222, 229	eqtrd 2436	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x = 0 ) -> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. -u ( cos ` x ) ) = 0 )
231		fveq2 5687	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = pi -> ( sin ` x ) = ( sin ` pi ) )
232		sinpi 20324	. . . . . . . . . . 11 |- ( sin ` pi ) = 0
233	231, 232	syl6eq 2452	. . . . . . . . . 10 |- ( x = pi -> ( sin ` x ) = 0 )
234	233	oveq1d 6055	. . . . . . . . 9 |- ( x = pi -> ( ( sin ` x ) ^ N ) = ( 0 ^ N ) )
235	234	adantl 453	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x = pi ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) = ( 0 ^ N ) )
236	20	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x = pi ) -> N e. NN )
237	236	0expd 11494	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x = pi ) -> ( 0 ^ N ) = 0 )
238	235, 237	eqtrd 2436	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x = pi ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) = 0 )
239	238	oveq1d 6055	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x = pi ) -> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. -u ( cos ` x ) ) = ( 0 x. -u ( cos ` x ) ) )
240		id 20	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = pi -> x = pi )
241	6	recni 9058	. . . . . . . . . . 11 |- pi e. CC
242	240, 241	syl6eqel 2492	. . . . . . . . . 10 |- ( x = pi -> x e. CC )
243	242	coscld 12687	. . . . . . . . 9 |- ( x = pi -> ( cos ` x ) e. CC )
244	243	negcld 9354	. . . . . . . 8 |- ( x = pi -> -u ( cos ` x ) e. CC )
245	244	adantl 453	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x = pi ) -> -u ( cos ` x ) e. CC )
246	245	mul02d 9220	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x = pi ) -> ( 0 x. -u ( cos ` x ) ) = 0 )
247	239, 246	eqtrd 2436	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x = pi ) -> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. -u ( cos ` x ) ) = 0 )
248	5, 7, 10, 38, 54, 92, 93, 116, 141, 201, 213, 230, 247	itgparts 19884	. . . 4 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) _d x = ( ( 0 - 0 ) - S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) _d x ) )
249		df-neg 9250	. . . . 5 |- -u S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) _d x = ( 0 - S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) _d x )
250	249	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> -u S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) _d x = ( 0 - S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) _d x ) )
251	3, 248, 250	3eqtr4a 2462	. . 3 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) _d x = -u S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) _d x )
252	67, 69, 69	mulassd 9067	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. ( cos ` x ) ) = ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( ( cos ` x ) x. ( cos ` x ) ) ) )
253		sqval 11396	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( cos ` x ) e. CC -> ( ( cos ` x ) ^ 2 ) = ( ( cos ` x ) x. ( cos ` x ) ) )
254	253	eqcomd 2409	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( cos ` x ) e. CC -> ( ( cos ` x ) x. ( cos ` x ) ) = ( ( cos ` x ) ^ 2 ) )
255	68, 254	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( ( cos ` x ) x. ( cos ` x ) ) = ( ( cos ` x ) ^ 2 ) )
256	255	adantl 453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( cos ` x ) x. ( cos ` x ) ) = ( ( cos ` x ) ^ 2 ) )
257	256	oveq2d 6056	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( ( cos ` x ) x. ( cos ` x ) ) ) = ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( ( cos ` x ) ^ 2 ) ) )
258	68	sqcld 11476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( ( cos ` x ) ^ 2 ) e. CC )
259	258	adantl 453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( cos ` x ) ^ 2 ) e. CC )
260	60, 66, 259	mulassd 9067	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( ( cos ` x ) ^ 2 ) ) = ( N x. ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) x. ( ( cos ` x ) ^ 2 ) ) ) )
261	257, 260	eqtrd 2436	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( ( cos ` x ) x. ( cos ` x ) ) ) = ( N x. ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) x. ( ( cos ` x ) ^ 2 ) ) ) )
262	66, 259	mulcomd 9065	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) x. ( ( cos ` x ) ^ 2 ) ) = ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) )
263	262	oveq2d 6056	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( N x. ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) x. ( ( cos ` x ) ^ 2 ) ) ) = ( N x. ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
264	252, 261, 263	3eqtrd 2440	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. ( cos ` x ) ) = ( N x. ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
265	264	negeqd 9256	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> -u ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. ( cos ` x ) ) = -u ( N x. ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
266	70, 69	mulneg2d 9443	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) = -u ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. ( cos ` x ) ) )
267	259, 66	mulcld 9064	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) e. CC )
268	60, 267	mulneg1d 9442	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( -u N x. ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) = -u ( N x. ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
269	265, 266, 268	3eqtr4d 2446	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) = ( -u N x. ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
270	269	itgeq2dv 19626	. . . . 5 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) _d x = S. ( 0 (,) pi ) ( -u N x. ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) _d x )
271	59	negcld 9354	. . . . . 6 |- ( ph -> -u N e. CC )
272	39	sqcld 11476	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 0 [,] pi ) -> ( ( cos ` x ) ^ 2 ) e. CC )
273	272	adantl 453	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( cos ` x ) ^ 2 ) e. CC )
274	273, 119	mulcld 9064	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) e. CC )
275		itgsinexplem1.6	. . . . . . . . . . . . 13 |- M = ( x e. CC |-> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) )
276	275	fvmpt2 5771	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CC /\ ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) e. CC ) -> ( M ` x ) = ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) )
277	17, 274, 276	syl2anc 643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( M ` x ) = ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) )
278	277	eqcomd 2409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) = ( M ` x ) )
279	278	mpteq2dva 4255	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) = ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( M ` x ) ) )
280		nfmpt1 4258	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x ( x e. CC |-> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) )
281	275, 280	nfcxfr 2537	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x M
282		nfcv 2540	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x cos
283		2nn0 10194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. NN0
284	283	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 2 e. NN0 )
285	282, 50, 284	expcnfg 27593	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( cos ` x ) ^ 2 ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
286	285, 82	mulcncf 27587	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
287	275, 286	syl5eqel 2488	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. ( CC -cn-> CC ) )
288	281, 287, 36	cncfmptss 27584	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( M ` x ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
289	279, 288	eqeltrd 2478	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
290		cniccibl 19685	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR /\ ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) ) -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) e. L ^1 )
291	5, 7, 289, 290	syl3anc 1184	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) e. L ^1 )
292	95, 97, 274, 291	iblss 19649	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) e. L ^1 )
293	271, 267, 292	itgmulc2 19678	. . . . 5 |- ( ph -> ( -u N x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) _d x ) = S. ( 0 (,) pi ) ( -u N x. ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) _d x )
294	270, 293	eqtr4d 2439	. . . 4 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) _d x = ( -u N x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) _d x ) )
295	294	negeqd 9256	. . 3 |- ( ph -> -u S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) _d x = -u ( -u N x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) _d x ) )
296	251, 295	eqtrd 2436	. 2 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) _d x = -u ( -u N x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) _d x ) )
297	267, 292	itgcl 19628	. . . 4 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) _d x e. CC )
298	59, 297	mulneg1d 9442	. . 3 |- ( ph -> ( -u N x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) _d x ) = -u ( N x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) _d x ) )
299	298	negeqd 9256	. 2 |- ( ph -> -u ( -u N x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) _d x ) = -u -u ( N x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) _d x ) )
300	59, 297	mulcld 9064	. . 3 |- ( ph -> ( N x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) _d x ) e. CC )
301	300	negnegd 9358	. 2 |- ( ph -> -u -u ( N x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) _d x ) = ( N x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) _d x ) )
302	296, 299, 301	3eqtrd 2440	1 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) _d x = ( N x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) _d x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 359   A.wal 1546   = wceq 1649   e. wcel 1721   {crab 2670   _Vcvv 2916   C_ wss 3280   {cpr 3775   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   dom cdm 4837   ran crn 4838   |` cres 4839   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   x. cmul 8951   <_ cle 9077   - cmin 9247   -ucneg 9248   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   (,)cioo 10872   [,]cicc 10875   ^cexp 11337   sincsin 12621   cosccos 12622   picpi 12624   TopOpenctopn 13604   topGenctg 13620  ℂ_fldccnfld 16658   intcnt 17036   -cn->ccncf 18859   volcvol 19313   L ^1cibl 19462   S.citg 19463   _D cdv 19703

This theorem is referenced by:  itgsinexp  27616

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cc 8271  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-disj 4143  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-ofr 6265  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-ovol 19314  df-vol 19315  df-mbf 19465  df-itg1 19466  df-itg2 19467  df-ibl 19468  df-itg 19469  df-0p 19515  df-limc 19706  df-dv 19707