Theorem itgsinexplem1 37647

Description: Integration by parts is applied to integrate sin^(N+1). (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgsinexplem1.1	|- F = ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) )
itgsinexplem1.2	|- G = ( x e. CC |-> -u ( cos ` x ) )
itgsinexplem1.3	|- H = ( x e. CC |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) )
itgsinexplem1.4	|- I = ( x e. CC |-> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) )
itgsinexplem1.5	|- L = ( x e. CC |-> ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) )
itgsinexplem1.6	|- M = ( x e. CC |-> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) )
itgsinexplem1.7	|- ( ph -> N e. NN )

Assertion

Ref	Expression
itgsinexplem1	|- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) _d x = ( N x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) _d x ) )

Distinct variable groups:   x, N   ph, x

Allowed substitution hints:   F( x)   G( x)   H( x)   I( x)   L( x)   M( x)

Proof of Theorem itgsinexplem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0m0e0 10719	. . . . 5 |- ( 0 - 0 ) = 0
2	1	oveq1i 6311	. . . 4 |- ( ( 0 - 0 ) - S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) _d x ) = ( 0 - S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) _d x )
3		0re 9643	. . . . . 6 |- 0 e. RR
4	3	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 0 e. RR )
5		pire 23397	. . . . . 6 |- pi e. RR
6	5	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> pi e. RR )
7		pipos 23399	. . . . . . 7 |- 0 < pi
8	3, 5, 7	ltleii 9757	. . . . . 6 |- 0 <_ pi
9	8	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ pi )
10	3, 5	pm3.2i 456	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 e. RR /\ pi e. RR )
11		iccssre 11716	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR ) -> ( 0 [,] pi ) C_ RR )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 [,] pi ) C_ RR
13		ax-resscn 9596	. . . . . . . . . . . 12 |- RR C_ CC
14	12, 13	sstri 3473	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 [,] pi ) C_ CC
15	14	sseli 3460	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0 [,] pi ) -> x e. CC )
16	15	adantl 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> x e. CC )
17	15	sincld 14169	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 0 [,] pi ) -> ( sin ` x ) e. CC )
18	17	adantl 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( sin ` x ) e. CC )
19		itgsinexplem1.7	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. NN )
20	19	nnnn0d 10925	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. NN0 )
21	20	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> N e. NN0 )
22	18, 21	expcld 12415	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) e. CC )
23		itgsinexplem1.1	. . . . . . . . . 10 |- F = ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) )
24	23	fvmpt2 5969	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ ( ( sin ` x ) ^ N ) e. CC ) -> ( F ` x ) = ( ( sin ` x ) ^ N ) )
25	16, 22, 24	syl2anc 665	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( F ` x ) = ( ( sin ` x ) ^ N ) )
26	25	eqcomd 2430	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) = ( F ` x ) )
27	26	mpteq2dva 4507	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) = ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( F ` x ) ) )
28		nfmpt1 4510	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) )
29	23, 28	nfcxfr 2582	. . . . . . 7 |- F/_ x F
30		nfcv 2584	. . . . . . . . 9 |- F/_ x sin
31		sincn 23383	. . . . . . . . . 10 |- sin e. ( CC -cn-> CC )
32	31	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sin e. ( CC -cn-> CC ) )
33	30, 32, 20	expcnfg 37488	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
34	23, 33	syl5eqel 2514	. . . . . . 7 |- ( ph -> F e. ( CC -cn-> CC ) )
35	14	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 [,] pi ) C_ CC )
36	29, 34, 35	cncfmptss 37482	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( F ` x ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
37	27, 36	eqeltrd 2510	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
38	15	coscld 14170	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 0 [,] pi ) -> ( cos ` x ) e. CC )
39	38	negcld 9973	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0 [,] pi ) -> -u ( cos ` x ) e. CC )
40		itgsinexplem1.2	. . . . . . . . . . 11 |- G = ( x e. CC |-> -u ( cos ` x ) )
41	40	fvmpt2 5969	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ -u ( cos ` x ) e. CC ) -> ( G ` x ) = -u ( cos ` x ) )
42	15, 39, 41	syl2anc 665	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 0 [,] pi ) -> ( G ` x ) = -u ( cos ` x ) )
43	42	eqcomd 2430	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 0 [,] pi ) -> -u ( cos ` x ) = ( G ` x ) )
44	43	adantl 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> -u ( cos ` x ) = ( G ` x ) )
45	44	mpteq2dva 4507	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> -u ( cos ` x ) ) = ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( G ` x ) ) )
46		nfmpt1 4510	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( x e. CC |-> -u ( cos ` x ) )
47	40, 46	nfcxfr 2582	. . . . . . 7 |- F/_ x G
48		coscn 23384	. . . . . . . . 9 |- cos e. ( CC -cn-> CC )
49	48	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> cos e. ( CC -cn-> CC ) )
50	40	negfcncf 21935	. . . . . . . 8 |- ( cos e. ( CC -cn-> CC ) -> G e. ( CC -cn-> CC ) )
51	49, 50	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> G e. ( CC -cn-> CC ) )
52	47, 51, 35	cncfmptss 37482	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( G ` x ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
53	45, 52	eqeltrd 2510	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> -u ( cos ` x ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
54		itgsinexplem1.3	. . . . . 6 |- H = ( x e. CC |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) )
55		ssid 3483	. . . . . . . . . . 11 |- CC C_ CC
56	55	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> CC C_ CC )
57	19	nncnd 10625	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. CC )
58	56, 57, 56	constcncfg 37565	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. CC |-> N ) e. ( CC -cn-> CC ) )
59		nnm1nn0 10911	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )
60	19, 59	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. NN0 )
61	30, 32, 60	expcnfg 37488	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
62	58, 61	mulcncf 22382	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
63		cosf 14164	. . . . . . . . . . 11 |- cos : CC --> CC
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> cos : CC --> CC )
65	64	feqmptd 5930	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> cos = ( x e. CC |-> ( cos ` x ) ) )
66	65, 48	syl6eqelr 2519	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( cos ` x ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
67	62, 66	mulcncf 22382	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
68	54, 67	syl5eqel 2514	. . . . . 6 |- ( ph -> H e. ( CC -cn-> CC ) )
69		ioosscn 37419	. . . . . . 7 |- ( 0 (,) pi ) C_ CC
70	69	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 (,) pi ) C_ CC )
71	57	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> N e. CC )
72	69	sseli 3460	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> x e. CC )
73	72	sincld 14169	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( sin ` x ) e. CC )
74	73	adantl 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( sin ` x ) e. CC )
75	60	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( N - 1 ) e. NN0 )
76	74, 75	expcld 12415	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) e. CC )
77	71, 76	mulcld 9663	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) e. CC )
78	72	coscld 14170	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( cos ` x ) e. CC )
79	78	adantl 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( cos ` x ) e. CC )
80	77, 79	mulcld 9663	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) e. CC )
81	54, 68, 70, 56, 80	cncfmptssg 37564	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) ) e. ( ( 0 (,) pi ) -cn-> CC ) )
82	30, 32, 70	cncfmptss 37482	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( sin ` x ) ) e. ( ( 0 (,) pi ) -cn-> CC ) )
83		ioossicc 11720	. . . . . . 7 |- ( 0 (,) pi ) C_ ( 0 [,] pi )
84	83	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 (,) pi ) C_ ( 0 [,] pi ) )
85		ioombl 22502	. . . . . . 7 |- ( 0 (,) pi ) e. dom vol
86	85	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 (,) pi ) e. dom vol )
87	22, 18	mulcld 9663	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) e. CC )
88		itgsinexplem1.4	. . . . . . . . . . . 12 |- I = ( x e. CC |-> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) )
89	88	fvmpt2 5969	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) e. CC ) -> ( I ` x ) = ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) )
90	16, 87, 89	syl2anc 665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( I ` x ) = ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) )
91	90	eqcomd 2430	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) = ( I ` x ) )
92	91	mpteq2dva 4507	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) ) = ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( I ` x ) ) )
93		nfmpt1 4510	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( x e. CC |-> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) )
94	88, 93	nfcxfr 2582	. . . . . . . . 9 |- F/_ x I
95		sinf 14163	. . . . . . . . . . . . . 14 |- sin : CC --> CC
96	95	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> sin : CC --> CC )
97	96	feqmptd 5930	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> sin = ( x e. CC |-> ( sin ` x ) ) )
98	97, 31	syl6eqelr 2519	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( sin ` x ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
99	33, 98	mulcncf 22382	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
100	88, 99	syl5eqel 2514	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> I e. ( CC -cn-> CC ) )
101	94, 100, 35	cncfmptss 37482	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( I ` x ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
102	92, 101	eqeltrd 2510	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
103		cniccibl 22782	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR /\ ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) ) -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) ) e. L^1 )
104	4, 6, 102, 103	syl3anc 1264	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) ) e. L^1 )
105	84, 86, 87, 104	iblss 22746	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) ) e. L^1 )
106	57	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> N e. CC )
107	60	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( N - 1 ) e. NN0 )
108	18, 107	expcld 12415	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) e. CC )
109	106, 108	mulcld 9663	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) e. CC )
110	38	adantl 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( cos ` x ) e. CC )
111	109, 110	mulcld 9663	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) e. CC )
112	39	adantl 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> -u ( cos ` x ) e. CC )
113	111, 112	mulcld 9663	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) e. CC )
114		itgsinexplem1.5	. . . . . . . 8 |- L = ( x e. CC |-> ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) )
115		eqid 2422	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC |-> -u ( cos ` x ) ) = ( x e. CC |-> -u ( cos ` x ) )
116	115	negfcncf 21935	. . . . . . . . . . 11 |- ( cos e. ( CC -cn-> CC ) -> ( x e. CC |-> -u ( cos ` x ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
117	49, 116	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. CC |-> -u ( cos ` x ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
118	67, 117	mulcncf 22382	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
119	114, 118	syl5eqel 2514	. . . . . . . 8 |- ( ph -> L e. ( CC -cn-> CC ) )
120	114, 119, 35, 56, 113	cncfmptssg 37564	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
121		cniccibl 22782	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR /\ ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) ) -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) ) e. L^1 )
122	4, 6, 120, 121	syl3anc 1264	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) ) e. L^1 )
123	84, 86, 113, 122	iblss 22746	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) ) e. L^1 )
124		reelprrecn 9631	. . . . . . 7 |- RR e. { RR , CC }
125	124	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
126		recn 9629	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR -> x e. CC )
127	126	sincld 14169	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> ( sin ` x ) e. CC )
128	127	adantl 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( sin ` x ) e. CC )
129	20	adantr 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> N e. NN0 )
130	128, 129	expcld 12415	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) e. CC )
131	57	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> N e. CC )
132	60	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( N - 1 ) e. NN0 )
133	128, 132	expcld 12415	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) e. CC )
134	131, 133	mulcld 9663	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) e. CC )
135	126	coscld 14170	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> ( cos ` x ) e. CC )
136	135	adantl 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( cos ` x ) e. CC )
137	134, 136	mulcld 9663	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) e. CC )
138		sincl 14165	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC -> ( sin ` x ) e. CC )
139	138	adantl 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( sin ` x ) e. CC )
140	20	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> N e. NN0 )
141	139, 140	expcld 12415	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) e. CC )
142	141, 23	fmptd 6057	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : CC --> CC )
143	126	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> x e. CC )
144		elex 3090	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) e. CC -> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) e. _V )
145	137, 144	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) e. _V )
146		rabid 3005	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. { x e. CC | ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) e. _V } <-> ( x e. CC /\ ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) e. _V ) )
147	143, 145, 146	sylanbrc 668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> x e. { x e. CC | ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) e. _V } )
148	54	dmmpt 5345	. . . . . . . . . . . . 13 |- dom H = { x e. CC | ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) e. _V }
149	147, 148	syl6eleqr 2521	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> x e. dom H )
150	149	ex 435	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. RR -> x e. dom H ) )
151	150	alrimiv 1763	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x ( x e. RR -> x e. dom H ) )
152		nfcv 2584	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x RR
153		nfmpt1 4510	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x ( x e. CC |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) )
154	54, 153	nfcxfr 2582	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x H
155	154	nfdm 5091	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x dom H
156	152, 155	dfss2f 3455	. . . . . . . . . 10 |- ( RR C_ dom H <-> A. x ( x e. RR -> x e. dom H ) )
157	151, 156	sylibr 215	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> RR C_ dom H )
158	19	dvsinexp 37597	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) ) )
159	23	oveq2i 6312	. . . . . . . . . . 11 |- ( CC _D F ) = ( CC _D ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) )
160	158, 159, 54	3eqtr4g 2488	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( CC _D F ) = H )
161	160	dmeqd 5052	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> dom ( CC _D F ) = dom H )
162	157, 161	sseqtr4d 3501	. . . . . . . 8 |- ( ph -> RR C_ dom ( CC _D F ) )
163		dvres3 22852	. . . . . . . 8 |- ( ( ( RR e. { RR , CC } /\ F : CC --> CC ) /\ ( CC C_ CC /\ RR C_ dom ( CC _D F ) ) ) -> ( RR _D ( F |` RR ) ) = ( ( CC _D F ) |` RR ) )
164	125, 142, 56, 162, 163	syl22anc 1265	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( F |` RR ) ) = ( ( CC _D F ) |` RR ) )
165	23	reseq1i 5116	. . . . . . . . . 10 |- ( F |` RR ) = ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) |` RR )
166		resmpt 5169	. . . . . . . . . . 11 |- ( RR C_ CC -> ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) |` RR ) = ( x e. RR |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) )
167	13, 166	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) |` RR ) = ( x e. RR |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) )
168	165, 167	eqtri 2451	. . . . . . . . 9 |- ( F |` RR ) = ( x e. RR |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) )
169	168	oveq2i 6312	. . . . . . . 8 |- ( RR _D ( F |` RR ) ) = ( RR _D ( x e. RR |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) )
170	169	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( F |` RR ) ) = ( RR _D ( x e. RR |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) ) )
171	160	reseq1d 5119	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( CC _D F ) |` RR ) = ( H |` RR ) )
172	54	reseq1i 5116	. . . . . . . . 9 |- ( H |` RR ) = ( ( x e. CC |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) ) |` RR )
173		resmpt 5169	. . . . . . . . . 10 |- ( RR C_ CC -> ( ( x e. CC |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) ) |` RR ) = ( x e. RR |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) ) )
174	13, 173	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) ) |` RR ) = ( x e. RR |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) )
175	172, 174	eqtri 2451	. . . . . . . 8 |- ( H |` RR ) = ( x e. RR |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) )
176	171, 175	syl6eq 2479	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( CC _D F ) |` RR ) = ( x e. RR |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) ) )
177	164, 170, 176	3eqtr3d 2471	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. RR |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) ) = ( x e. RR |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) ) )
178	12	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 [,] pi ) C_ RR )
179		eqid 2422	. . . . . . 7 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
180	179	tgioo2 21805	. . . . . 6 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
181	10	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 e. RR /\ pi e. RR ) )
182		iccntr 21823	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( 0 [,] pi ) ) = ( 0 (,) pi ) )
183	181, 182	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( 0 [,] pi ) ) = ( 0 (,) pi ) )
184	125, 130, 137, 177, 178, 180, 179, 183	dvmptres2 22900	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) ) = ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) ) )
185	135	negcld 9973	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> -u ( cos ` x ) e. CC )
186	185	adantl 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> -u ( cos ` x ) e. CC )
187	127	negcld 9973	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR -> -u ( sin ` x ) e. CC )
188	187	adantl 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> -u ( sin ` x ) e. CC )
189		dvcosre 37598	. . . . . . . . 9 |- ( RR _D ( x e. RR |-> ( cos ` x ) ) ) = ( x e. RR |-> -u ( sin ` x ) )
190	189	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. RR |-> ( cos ` x ) ) ) = ( x e. RR |-> -u ( sin ` x ) ) )
191	125, 136, 188, 190	dvmptneg 22904	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. RR |-> -u ( cos ` x ) ) ) = ( x e. RR |-> -u -u ( sin ` x ) ) )
192	127	negnegd 9977	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR -> -u -u ( sin ` x ) = ( sin ` x ) )
193	192	adantl 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> -u -u ( sin ` x ) = ( sin ` x ) )
194	193	mpteq2dva 4507	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. RR |-> -u -u ( sin ` x ) ) = ( x e. RR |-> ( sin ` x ) ) )
195	191, 194	eqtrd 2463	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. RR |-> -u ( cos ` x ) ) ) = ( x e. RR |-> ( sin ` x ) ) )
196	125, 186, 128, 195, 178, 180, 179, 183	dvmptres2 22900	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> -u ( cos ` x ) ) ) = ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( sin ` x ) ) )
197		fveq2 5877	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = 0 -> ( sin ` x ) = ( sin ` 0 ) )
198		sin0 14188	. . . . . . . . . . 11 |- ( sin ` 0 ) = 0
199	197, 198	syl6eq 2479	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 0 -> ( sin ` x ) = 0 )
200	199	oveq1d 6316	. . . . . . . . 9 |- ( x = 0 -> ( ( sin ` x ) ^ N ) = ( 0 ^ N ) )
201	200	adantl 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x = 0 ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) = ( 0 ^ N ) )
202	19	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x = 0 ) -> N e. NN )
203	202	0expd 12431	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x = 0 ) -> ( 0 ^ N ) = 0 )
204	201, 203	eqtrd 2463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x = 0 ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) = 0 )
205	204	oveq1d 6316	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x = 0 ) -> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. -u ( cos ` x ) ) = ( 0 x. -u ( cos ` x ) ) )
206		id 23	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 0 -> x = 0 )
207		0cn 9635	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. CC
208	206, 207	syl6eqel 2518	. . . . . . . . 9 |- ( x = 0 -> x e. CC )
209		coscl 14166	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> ( cos ` x ) e. CC )
210	209	negcld 9973	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> -u ( cos ` x ) e. CC )
211	208, 210	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( x = 0 -> -u ( cos ` x ) e. CC )
212	211	adantl 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x = 0 ) -> -u ( cos ` x ) e. CC )
213	212	mul02d 9831	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x = 0 ) -> ( 0 x. -u ( cos ` x ) ) = 0 )
214	205, 213	eqtrd 2463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x = 0 ) -> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. -u ( cos ` x ) ) = 0 )
215		fveq2 5877	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = pi -> ( sin ` x ) = ( sin ` pi ) )
216		sinpi 23396	. . . . . . . . . . 11 |- ( sin ` pi ) = 0
217	215, 216	syl6eq 2479	. . . . . . . . . 10 |- ( x = pi -> ( sin ` x ) = 0 )
218	217	oveq1d 6316	. . . . . . . . 9 |- ( x = pi -> ( ( sin ` x ) ^ N ) = ( 0 ^ N ) )
219	218	adantl 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x = pi ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) = ( 0 ^ N ) )
220	19	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x = pi ) -> N e. NN )
221	220	0expd 12431	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x = pi ) -> ( 0 ^ N ) = 0 )
222	219, 221	eqtrd 2463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x = pi ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) = 0 )
223	222	oveq1d 6316	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x = pi ) -> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. -u ( cos ` x ) ) = ( 0 x. -u ( cos ` x ) ) )
224		id 23	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = pi -> x = pi )
225		picn 23398	. . . . . . . . . . 11 |- pi e. CC
226	224, 225	syl6eqel 2518	. . . . . . . . . 10 |- ( x = pi -> x e. CC )
227	226	coscld 14170	. . . . . . . . 9 |- ( x = pi -> ( cos ` x ) e. CC )
228	227	negcld 9973	. . . . . . . 8 |- ( x = pi -> -u ( cos ` x ) e. CC )
229	228	adantl 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x = pi ) -> -u ( cos ` x ) e. CC )
230	229	mul02d 9831	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x = pi ) -> ( 0 x. -u ( cos ` x ) ) = 0 )
231	223, 230	eqtrd 2463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x = pi ) -> ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. -u ( cos ` x ) ) = 0 )
232	4, 6, 9, 37, 53, 81, 82, 105, 123, 184, 196, 214, 231	itgparts 22983	. . . 4 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) _d x = ( ( 0 - 0 ) - S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) _d x ) )
233		df-neg 9863	. . . . 5 |- -u S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) _d x = ( 0 - S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) _d x )
234	233	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> -u S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) _d x = ( 0 - S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) _d x ) )
235	2, 232, 234	3eqtr4a 2489	. . 3 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) _d x = -u S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) _d x )
236	77, 79, 79	mulassd 9666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. ( cos ` x ) ) = ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( ( cos ` x ) x. ( cos ` x ) ) ) )
237		sqval 12333	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( cos ` x ) e. CC -> ( ( cos ` x ) ^ 2 ) = ( ( cos ` x ) x. ( cos ` x ) ) )
238	237	eqcomd 2430	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( cos ` x ) e. CC -> ( ( cos ` x ) x. ( cos ` x ) ) = ( ( cos ` x ) ^ 2 ) )
239	78, 238	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( ( cos ` x ) x. ( cos ` x ) ) = ( ( cos ` x ) ^ 2 ) )
240	239	adantl 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( cos ` x ) x. ( cos ` x ) ) = ( ( cos ` x ) ^ 2 ) )
241	240	oveq2d 6317	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( ( cos ` x ) x. ( cos ` x ) ) ) = ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( ( cos ` x ) ^ 2 ) ) )
242	78	sqcld 12413	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( ( cos ` x ) ^ 2 ) e. CC )
243	242	adantl 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( cos ` x ) ^ 2 ) e. CC )
244	71, 76, 243	mulassd 9666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( ( cos ` x ) ^ 2 ) ) = ( N x. ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) x. ( ( cos ` x ) ^ 2 ) ) ) )
245	241, 244	eqtrd 2463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( ( cos ` x ) x. ( cos ` x ) ) ) = ( N x. ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) x. ( ( cos ` x ) ^ 2 ) ) ) )
246	76, 243	mulcomd 9664	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) x. ( ( cos ` x ) ^ 2 ) ) = ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) )
247	246	oveq2d 6317	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( N x. ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) x. ( ( cos ` x ) ^ 2 ) ) ) = ( N x. ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
248	236, 245, 247	3eqtrd 2467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. ( cos ` x ) ) = ( N x. ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
249	248	negeqd 9869	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> -u ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. ( cos ` x ) ) = -u ( N x. ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
250	80, 79	mulneg2d 10072	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) = -u ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. ( cos ` x ) ) )
251	243, 76	mulcld 9663	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) e. CC )
252	71, 251	mulneg1d 10071	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( -u N x. ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) = -u ( N x. ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
253	249, 250, 252	3eqtr4d 2473	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) = ( -u N x. ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
254	253	itgeq2dv 22723	. . . . 5 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) _d x = S. ( 0 (,) pi ) ( -u N x. ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) _d x )
255	57	negcld 9973	. . . . . 6 |- ( ph -> -u N e. CC )
256	38	sqcld 12413	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 0 [,] pi ) -> ( ( cos ` x ) ^ 2 ) e. CC )
257	256	adantl 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( cos ` x ) ^ 2 ) e. CC )
258	257, 108	mulcld 9663	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) e. CC )
259		itgsinexplem1.6	. . . . . . . . . . . . 13 |- M = ( x e. CC |-> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) )
260	259	fvmpt2 5969	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CC /\ ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) e. CC ) -> ( M ` x ) = ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) )
261	16, 258, 260	syl2anc 665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( M ` x ) = ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) )
262	261	eqcomd 2430	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) = ( M ` x ) )
263	262	mpteq2dva 4507	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) = ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( M ` x ) ) )
264		nfmpt1 4510	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x ( x e. CC |-> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) )
265	259, 264	nfcxfr 2582	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x M
266		nfcv 2584	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x cos
267		2nn0 10886	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. NN0
268	267	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 2 e. NN0 )
269	266, 49, 268	expcnfg 37488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( cos ` x ) ^ 2 ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
270	269, 61	mulcncf 22382	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
271	259, 270	syl5eqel 2514	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. ( CC -cn-> CC ) )
272	265, 271, 35	cncfmptss 37482	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( M ` x ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
273	263, 272	eqeltrd 2510	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
274		cniccibl 22782	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR /\ ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) ) -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) e. L^1 )
275	4, 6, 273, 274	syl3anc 1264	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) e. L^1 )
276	84, 86, 258, 275	iblss 22746	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) e. L^1 )
277	255, 251, 276	itgmulc2 22775	. . . . 5 |- ( ph -> ( -u N x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) _d x ) = S. ( 0 (,) pi ) ( -u N x. ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) ) _d x )
278	254, 277	eqtr4d 2466	. . . 4 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) _d x = ( -u N x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) _d x ) )
279	278	negeqd 9869	. . 3 |- ( ph -> -u S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( N x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) _d x = -u ( -u N x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) _d x ) )
280	235, 279	eqtrd 2463	. 2 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) _d x = -u ( -u N x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) _d x ) )
281	251, 276	itgcl 22725	. . . 4 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) _d x e. CC )
282	57, 281	mulneg1d 10071	. . 3 |- ( ph -> ( -u N x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) _d x ) = -u ( N x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) _d x ) )
283	282	negeqd 9869	. 2 |- ( ph -> -u ( -u N x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) _d x ) = -u -u ( N x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) _d x ) )
284	57, 281	mulcld 9663	. . 3 |- ( ph -> ( N x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) _d x ) e. CC )
285	284	negnegd 9977	. 2 |- ( ph -> -u -u ( N x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) _d x ) = ( N x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) _d x ) )
286	280, 283, 285	3eqtrd 2467	1 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin ` x ) ^ N ) x. ( sin ` x ) ) _d x = ( N x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) _d x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 370   A.wal 1435   = wceq 1437   e. wcel 1868   {crab 2779   _Vcvv 3081   C_ wss 3436   {cpr 3998   class class class wbr 4420   |-> cmpt 4479   dom cdm 4849   ran crn 4850   |` cres 4851   -->wf 5593   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540   x. cmul 9544   <_ cle 9676   - cmin 9860   -ucneg 9861   NNcn 10609   2c2 10659   NN0cn0 10869   (,)cioo 11635   [,]cicc 11638   ^cexp 12271   sincsin 14101   cosccos 14102   picpi 14104   TopOpenctopn 15305   topGenctg 15321  ℂ_fldccnfld 18955   intcnt 20016   -cn->ccncf 21892   volcvol 22399   L^1cibl 22559   S.citg 22560   _D cdv 22802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-inf2 8148  ax-cc 8865  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-disj 4392  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-of 6541  df-ofr 6542  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-supp 6922  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-2o 7187  df-oadd 7190  df-omul 7191  df-er 7367  df-map 7478  df-pm 7479  df-ixp 7527  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-fsupp 7886  df-fi 7927  df-sup 7958  df-inf 7959  df-oi 8027  df-card 8374  df-acn 8377  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12027  df-mod 12096  df-seq 12213  df-exp 12272  df-fac 12459  df-bc 12487  df-hash 12515  df-shft 13116  df-cj 13148  df-re 13149  df-im 13150  df-sqrt 13284  df-abs 13285  df-limsup 13511  df-clim 13537  df-rlim 13538  df-sum 13738  df-ef 14106  df-sin 14108  df-cos 14109  df-pi 14111  df-struct 15108  df-ndx 15109  df-slot 15110  df-base 15111  df-sets 15112  df-ress 15113  df-plusg 15188  df-mulr 15189  df-starv 15190  df-sca 15191  df-vsca 15192  df-ip 15193  df-tset 15194  df-ple 15195  df-ds 15197  df-unif 15198  df-hom 15199  df-cco 15200  df-rest 15306  df-topn 15307  df-0g 15325  df-gsum 15326  df-topgen 15327  df-pt 15328  df-prds 15331  df-xrs 15385  df-qtop 15391  df-imas 15392  df-xps 15395  df-mre 15477  df-mrc 15478  df-acs 15480  df-mgm 16473  df-sgrp 16512  df-mnd 16522  df-submnd 16568  df-mulg 16661  df-cntz 16956  df-cmn 17417  df-psmet 18947  df-xmet 18948  df-met 18949  df-bl 18950  df-mopn 18951  df-fbas 18952  df-fg 18953  df-cnfld 18956  df-top 19905  df-bases 19906  df-topon 19907  df-topsp 19908  df-cld 20018  df-ntr 20019  df-cls 20020  df-nei 20098  df-lp 20136  df-perf 20137  df-cn 20227  df-cnp 20228  df-haus 20315  df-cmp 20386  df-tx 20561  df-hmeo 20754  df-fil 20845  df-fm 20937  df-flim 20938  df-flf 20939  df-xms 21319  df-ms 21320  df-tms 21321  df-cncf 21894  df-ovol 22400  df-vol 22402  df-mbf 22561  df-itg1 22562  df-itg2 22563  df-ibl 22564  df-itg 22565  df-0p 22612  df-limc 22805  df-dv 22806

This theorem is referenced by:  itgsinexp  37648