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Theorem itgsinexp 31707
Description: A recursive formula for the integral of sin^N on the interval (0,π) . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsinexp.1  |-  I  =  ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x )
itgsinexp.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
Assertion
Ref Expression
itgsinexp  |-  ( ph  ->  ( I `  N
)  =  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  x.  ( I `  ( N  -  2
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, n, N    ph, n, x
Allowed substitution hints:    I( x, n)

Proof of Theorem itgsinexp
StepHypRef Expression
1 itgsinexp.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
2 eluzelz 11101 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  ZZ )
3 zcn 10876 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
41, 2, 33syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
5 1cnd 9615 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
64, 5npcand 9940 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
76eqcomd 2451 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  =  ( ( N  -  1 )  +  1 ) )
87oveq1d 6296 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  x.  (
I `  N )
)  =  ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  x.  ( I `  N ) ) )
9 uz2m1nn 11167 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  -  1 )  e.  NN )
101, 9syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  NN )
1110nncnd 10559 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  CC )
12 itgsinexp.1 . . . . . . . 8  |-  I  =  ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x )
1312a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  I  =  ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ n )  _d x ) )
14 oveq2 6289 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  N  ->  (
( sin `  x
) ^ n )  =  ( ( sin `  x ) ^ N
) )
1514ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  =  N )  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ n )  =  ( ( sin `  x ) ^ N
) )
1615itgeq2dv 22166 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  =  N )  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ N )  _d x )
17 2cnd 10615 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
18 npcan 9834 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
2 )  +  2 )  =  N )
1918eqcomd 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  N  =  ( ( N  -  2 )  +  2 ) )
204, 17, 19syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  =  ( ( N  -  2 )  +  2 ) )
21 uznn0sub 11123 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  -  2 )  e. 
NN0 )
221, 21syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  -  2 )  e.  NN0 )
23 2nn0 10819 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  NN0
2423a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  2  e.  NN0 )
2522, 24nn0addcld 10863 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
2 )  +  2 )  e.  NN0 )
2620, 25eqeltrd 2531 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
27 itgex 22155 . . . . . . . 8  |-  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ N )  _d x  e.  _V
2827a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ N )  _d x  e.  _V )
2913, 16, 26, 28fvmptd 5946 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( I `  N
)  =  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ N )  _d x )
30 ioosscn 31481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 (,) pi )  C_  CC
3130sseli 3485 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  x  e.  CC )
3231sincld 13847 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
3332adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
3426adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  N  e.  NN0 )
3533, 34expcld 12292 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ N )  e.  CC )
36 ioossicc 11621 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 (,) pi )  C_  ( 0 [,] pi )
3736a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) pi )  C_  ( 0 [,] pi ) )
38 ioombl 21953 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 (,) pi )  e. 
dom  vol
3938a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) pi )  e.  dom  vol )
40 0re 9599 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
41 pire 22829 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  pi  e.  RR
42 iccssre 11617 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( 0 [,] pi )  C_  RR )
4340, 41, 42mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 [,] pi )  C_  RR
44 ax-resscn 9552 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  C_  CC
4543, 44sstri 3498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 [,] pi )  C_  CC
4645sseli 3485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  x  e.  CC )
4746sincld 13847 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
4847adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
4926adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  N  e.  NN0 )
5048, 49expcld 12292 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ N )  e.  CC )
5140a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
5241a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR )
5346adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  x  e.  CC )
54 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x ) ^ N ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x ) ^ N
) )
5554fvmpt2 5948 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( sin `  x
) ^ N )  e.  CC )  -> 
( ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x ) ^ N
) ) `  x
)  =  ( ( sin `  x ) ^ N ) )
5653, 50, 55syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) ) `  x )  =  ( ( sin `  x ) ^ N
) )
5756eqcomd 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ N )  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x ) ^ N ) ) `
 x ) )
5857mpteq2dva 4523 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) ) `  x ) ) )
59 nfmpt1 4526 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )
60 nfcv 2605 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x sin
61 sincn 22817 . . . . . . . . . . . . 13  |-  sin  e.  ( CC -cn-> CC )
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  sin  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
6360, 62, 26expcnfg 31540 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
6445a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0 [,] pi )  C_  CC )
6559, 63, 64cncfmptss 31535 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x ) ^ N
) ) `  x
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
6658, 65eqeltrd 2531 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  e.  ( ( 0 [,] pi )
-cn-> CC ) )
67 cniccibl 22225 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  e.  ( ( 0 [,] pi )
-cn-> CC ) )  -> 
( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  e.  L^1 )
6851, 52, 66, 67syl3anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  e.  L^1 )
6937, 39, 50, 68iblss 22189 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  e.  L^1 )
7035, 69itgcl 22168 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ N )  _d x  e.  CC )
7129, 70eqeltrd 2531 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I `  N
)  e.  CC )
7211, 71adddirp1d 31440 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  x.  (
I `  N )
)  =  ( ( ( N  -  1 )  x.  ( I `
 N ) )  +  ( I `  N ) ) )
73 eluz2b2 11165 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )
741, 73sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN  /\  1  <  N ) )
7574simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
76 expm1t 12176 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( sin `  x
)  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( sin `  x
) ^ N )  =  ( ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) )  x.  ( sin `  x
) ) )
7732, 75, 76syl2anr 478 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ N )  =  ( ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) )  x.  ( sin `  x
) ) )
7877itgeq2dv 22166 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ N )  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) )  x.  ( sin `  x ) )  _d x )
79 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )
80 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )
81 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( N  -  1 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( ( N  -  1 )  - 
1 ) ) )  x.  ( cos `  x
) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( N  -  1 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( ( N  -  1 )  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )
82 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) )  x.  ( sin `  x
) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) )  x.  ( sin `  x ) ) )
83 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( ( N  - 
1 )  x.  (
( sin `  x
) ^ ( ( N  -  1 )  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( ( N  -  1 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ (
( N  -  1 )  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )
84 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ (
( N  -  1 )  -  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( ( N  -  1 )  - 
1 ) ) ) )
8579, 80, 81, 82, 83, 84, 10itgsinexplem1 31706 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) )  x.  ( sin `  x
) )  _d x  =  ( ( N  -  1 )  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ (
( N  -  1 )  -  1 ) ) )  _d x ) )
864, 5, 5subsub4d 9967 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  -  1 )  =  ( N  -  ( 1  +  1 ) ) )
87 1p1e2 10656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  +  1 )  =  2
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 1  +  1 )  =  2 )
8988oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( N  -  (
1  +  1 ) )  =  ( N  -  2 ) )
9086, 89eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  -  1 )  =  ( N  -  2 ) )
9190adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( N  -  1 )  -  1 )  =  ( N  - 
2 ) )
9291oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ ( ( N  -  1 )  -  1 ) )  =  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) )
9392oveq2d 6297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ (
( N  -  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) ) )
9493itgeq2dv 22166 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ (
( N  -  1 )  -  1 ) ) )  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) )  _d x )
9594oveq2d 6297 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( ( N  -  1 )  -  1 ) ) )  _d x )  =  ( ( N  -  1 )  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) )  _d x ) )
96 sincossq 13893 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( ( sin `  x
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  x ) ^ 2 ) )  =  1 )
97 1cnd 9615 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  CC  ->  1  e.  CC )
98 sincl 13843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  CC  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
9998sqcld 12290 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( sin `  x
) ^ 2 )  e.  CC )
100 coscl 13844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  CC  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
101100sqcld 12290 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( cos `  x
) ^ 2 )  e.  CC )
10297, 99, 101subaddd 9954 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( 1  -  (
( sin `  x
) ^ 2 ) )  =  ( ( cos `  x ) ^ 2 )  <->  ( (
( sin `  x
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  x ) ^ 2 ) )  =  1 ) )
10396, 102mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  -  ( ( sin `  x ) ^ 2 ) )  =  ( ( cos `  x ) ^ 2 ) )
104103eqcomd 2451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( cos `  x
) ^ 2 )  =  ( 1  -  ( ( sin `  x
) ^ 2 ) ) )
10531, 104syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
( cos `  x
) ^ 2 )  =  ( 1  -  ( ( sin `  x
) ^ 2 ) ) )
106105oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) )  =  ( ( 1  -  (
( sin `  x
) ^ 2 ) )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) ) ) )
107106adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) )  =  ( ( 1  -  (
( sin `  x
) ^ 2 ) )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) ) ) )
108107itgeq2dv 22166 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) )  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) ( ( 1  -  (
( sin `  x
) ^ 2 ) )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) ) )  _d x )
109 1cnd 9615 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  1  e.  CC )
11032sqcld 12290 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
( sin `  x
) ^ 2 )  e.  CC )
111110adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ 2 )  e.  CC )
11290eqcomd 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( N  -  2 )  =  ( ( N  -  1 )  -  1 ) )
113 nnm1nn0 10844 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  -  1 )  e.  NN0 )
11410, 113syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  -  1 )  e.  NN0 )
115112, 114eqeltrd 2531 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( N  -  2 )  e.  NN0 )
116115adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( N  -  2 )  e.  NN0 )
11733, 116expcld 12292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  e.  CC )
118109, 111, 117subdird 10020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( 1  -  (
( sin `  x
) ^ 2 ) )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) )  -  (
( ( sin `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) ) ) )
119117mulid2d 9617 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
1  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) ) )  =  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) )
12023a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  2  e.  NN0 )
12133, 116, 120expaddd 12294 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ ( 2  +  ( N  - 
2 ) ) )  =  ( ( ( sin `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) ) ) )
12217, 4pncan3d 9939 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  +  ( N  -  2 ) )  =  N )
123122oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  x
) ^ ( 2  +  ( N  - 
2 ) ) )  =  ( ( sin `  x ) ^ N
) )
124123adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ ( 2  +  ( N  - 
2 ) ) )  =  ( ( sin `  x ) ^ N
) )
125121, 124eqtr3d 2486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( ( sin `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) )  =  ( ( sin `  x
) ^ N ) )
126119, 125oveq12d 6299 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( 1  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) ) )  -  ( ( ( sin `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) ) )  =  ( ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) )  -  ( ( sin `  x ) ^ N ) ) )
127118, 126eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( 1  -  (
( sin `  x
) ^ 2 ) )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) ) )  =  ( ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) )  -  ( ( sin `  x
) ^ N ) ) )
128127itgeq2dv 22166 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( 1  -  ( ( sin `  x ) ^ 2 ) )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) )  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  -  ( ( sin `  x ) ^ N
) )  _d x )
129115adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( N  -  2 )  e.  NN0 )
13048, 129expcld 12292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  e.  CC )
131 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) )
132131fvmpt2 5948 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  e.  CC )  -> 
( ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) ) `  x
)  =  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) ) )
13353, 130, 132syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) ) ) `  x )  =  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) )
134133eqcomd 2451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) ) ) `
 x ) )
135134mpteq2dva 4523 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) ) ) `  x ) ) )
136 nfmpt1 4526 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x
( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) ) )
13760, 62, 115expcnfg 31540 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
138136, 137, 64cncfmptss 31535 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) ) `  x
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
139135, 138eqeltrd 2531 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) ) )  e.  ( ( 0 [,] pi )
-cn-> CC ) )
140 cniccibl 22225 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) ) )  e.  ( ( 0 [,] pi )
-cn-> CC ) )  -> 
( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) ) )  e.  L^1 )
14151, 52, 139, 140syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) ) )  e.  L^1 )
14237, 39, 130, 141iblss 22189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) ) )  e.  L^1 )
143117, 142, 35, 69itgsub 22210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  -  ( ( sin `  x ) ^ N
) )  _d x  =  ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  _d x  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ N
)  _d x ) )
144108, 128, 1433eqtrd 2488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) )  _d x  =  ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  _d x  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ N
)  _d x ) )
145144oveq2d 6297 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) ) )  _d x )  =  ( ( N  -  1 )  x.  ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  _d x  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ N
)  _d x ) ) )
14685, 95, 1453eqtrd 2488 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) )  x.  ( sin `  x
) )  _d x  =  ( ( N  -  1 )  x.  ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  _d x  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ N
)  _d x ) ) )
14729, 78, 1463eqtrd 2488 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( I `  N
)  =  ( ( N  -  1 )  x.  ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  _d x  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ N
)  _d x ) ) )
148 oveq2 6289 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( N  - 
2 )  ->  (
( sin `  x
) ^ n )  =  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) )
149148adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  =  ( N  -  2 )  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( ( sin `  x ) ^ n
)  =  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) ) )
150149itgeq2dv 22166 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( N  - 
2 )  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) )  _d x )
151150adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  =  ( N  -  2
) )  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) )  _d x )
152 itgex 22155 . . . . . . . . . . 11  |-  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  _d x  e.  _V
153152a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) )  _d x  e.  _V )
15413, 151, 115, 153fvmptd 5946 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( I `  ( N  -  2 ) )  =  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  _d x )
155154, 29oveq12d 6299 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( I `  ( N  -  2
) )  -  (
I `  N )
)  =  ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) )  _d x  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ N
)  _d x ) )
156155oveq2d 6297 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  x.  (
( I `  ( N  -  2 ) )  -  ( I `
 N ) ) )  =  ( ( N  -  1 )  x.  ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  _d x  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ N
)  _d x ) ) )
157117, 142itgcl 22168 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) )  _d x  e.  CC )
158154, 157eqeltrd 2531 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( I `  ( N  -  2 ) )  e.  CC )
15911, 158, 71subdid 10019 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  x.  (
( I `  ( N  -  2 ) )  -  ( I `
 N ) ) )  =  ( ( ( N  -  1 )  x.  ( I `
 ( N  - 
2 ) ) )  -  ( ( N  -  1 )  x.  ( I `  N
) ) ) )
160147, 156, 1593eqtr2d 2490 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( I `  N
)  =  ( ( ( N  -  1 )  x.  ( I `
 ( N  - 
2 ) ) )  -  ( ( N  -  1 )  x.  ( I `  N
) ) ) )
161160eqcomd 2451 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  1 )  x.  ( I `  ( N  -  2 ) ) )  -  (
( N  -  1 )  x.  ( I `
 N ) ) )  =  ( I `
 N ) )
16211, 158mulcld 9619 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  x.  (
I `  ( N  -  2 ) ) )  e.  CC )
16311, 71mulcld 9619 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  x.  (
I `  N )
)  e.  CC )
164162, 163, 71subaddd 9954 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( N  -  1 )  x.  ( I `  ( N  -  2
) ) )  -  ( ( N  - 
1 )  x.  (
I `  N )
) )  =  ( I `  N )  <-> 
( ( ( N  -  1 )  x.  ( I `  N
) )  +  ( I `  N ) )  =  ( ( N  -  1 )  x.  ( I `  ( N  -  2
) ) ) ) )
165161, 164mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  1 )  x.  ( I `  N
) )  +  ( I `  N ) )  =  ( ( N  -  1 )  x.  ( I `  ( N  -  2
) ) ) )
1668, 72, 1653eqtrd 2488 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  x.  (
I `  N )
)  =  ( ( N  -  1 )  x.  ( I `  ( N  -  2
) ) ) )
167166oveq1d 6296 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N  x.  ( I `  N
) )  /  N
)  =  ( ( ( N  -  1 )  x.  ( I `
 ( N  - 
2 ) ) )  /  N ) )
16875nnne0d 10587 . . 3  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
16971, 4, 168divcan3d 10332 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N  x.  ( I `  N
) )  /  N
)  =  ( I `
 N ) )
17011, 158, 4, 168div23d 10364 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  1 )  x.  ( I `  ( N  -  2 ) ) )  /  N
)  =  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  x.  ( I `  ( N  -  2
) ) ) )
171167, 169, 1703eqtr3d 2492 1  |-  ( ph  ->  ( I `  N
)  =  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  x.  ( I `  ( N  -  2
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   _Vcvv 3095    C_ wss 3461   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495   dom cdm 4989   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   CCcc 9493   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498    x. cmul 9500    < clt 9631    - cmin 9810   -ucneg 9811    / cdiv 10213   NNcn 10543   2c2 10592   NN0cn0 10802   ZZcz 10871   ZZ>=cuz 11092   (,)cioo 11540   [,]cicc 11543   ^cexp 12148   sincsin 13781   cosccos 13782   picpi 13784   -cn->ccncf 21358   volcvol 21853   L^1cibl 22004   S.citg 22005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cc 8818  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-disj 4408  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-ofr 6526  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-omul 7137  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-acn 8326  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11194  df-rp 11232  df-xneg 11329  df-xadd 11330  df-xmul 11331  df-ioo 11544  df-ioc 11545  df-ico 11546  df-icc 11547  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-fl 11911  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12882  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-limsup 13276  df-clim 13293  df-rlim 13294  df-sum 13491  df-ef 13785  df-sin 13787  df-cos 13788  df-pi 13790  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-starv 14694  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-ip 14697  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-unif 14702  df-hom 14703  df-cco 14704  df-rest 14802  df-topn 14803  df-0g 14821  df-gsum 14822  df-topgen 14823  df-pt 14824  df-prds 14827  df-xrs 14881  df-qtop 14886  df-imas 14887  df-xps 14889  df-mre 14965  df-mrc 14966  df-acs 14968  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-submnd 15946  df-mulg 16039  df-cntz 16334  df-cmn 16779  df-psmet 18390  df-xmet 18391  df-met 18392  df-bl 18393  df-mopn 18394  df-fbas 18395  df-fg 18396  df-cnfld 18400  df-top 19377  df-bases 19379  df-topon 19380  df-topsp 19381  df-cld 19498  df-ntr 19499  df-cls 19500  df-nei 19577  df-lp 19615  df-perf 19616  df-cn 19706  df-cnp 19707  df-haus 19794  df-cmp 19865  df-tx 20041  df-hmeo 20234  df-fil 20325  df-fm 20417  df-flim 20418  df-flf 20419  df-xms 20801  df-ms 20802  df-tms 20803  df-cncf 21360  df-ovol 21854  df-vol 21855  df-mbf 22006  df-itg1 22007  df-itg2 22008  df-ibl 22009  df-itg 22010  df-0p 22055  df-limc 22248  df-dv 22249
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