Theorem itgsinexp 31707

Description: A recursive formula for the integral of sin^N on the interval (0,π) . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgsinexp.1	|- I = ( n e. NN0 |-> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x )
itgsinexp.2	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )

Assertion

Ref	Expression
itgsinexp	|- ( ph -> ( I ` N ) = ( ( ( N - 1 ) / N ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, n, N   ph, n, x

Allowed substitution hints:   I( x, n)

Proof of Theorem itgsinexp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgsinexp.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
2		eluzelz 11101	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. ZZ )
3		zcn 10876	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
4	1, 2, 3	3syl 20	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. CC )
5		1cnd 9615	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. CC )
6	4, 5	npcand 9940	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
7	6	eqcomd 2451	. . . . 5 |- ( ph -> N = ( ( N - 1 ) + 1 ) )
8	7	oveq1d 6296	. . . 4 |- ( ph -> ( N x. ( I ` N ) ) = ( ( ( N - 1 ) + 1 ) x. ( I ` N ) ) )
9		uz2m1nn 11167	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N - 1 ) e. NN )
10	1, 9	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. NN )
11	10	nncnd 10559	. . . . 5 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. CC )
12		itgsinexp.1	. . . . . . . 8 |- I = ( n e. NN0 |-> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x )
13	12	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> I = ( n e. NN0 |-> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x ) )
14		oveq2 6289	. . . . . . . . 9 |- ( n = N -> ( ( sin ` x ) ^ n ) = ( ( sin ` x ) ^ N ) )
15	14	ad2antlr 726	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n = N ) /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ n ) = ( ( sin ` x ) ^ N ) )
16	15	itgeq2dv 22166	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n = N ) -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x = S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x )
17		2cnd 10615	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 2 e. CC )
18		npcan 9834	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( ( N - 2 ) + 2 ) = N )
19	18	eqcomd 2451	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. CC /\ 2 e. CC ) -> N = ( ( N - 2 ) + 2 ) )
20	4, 17, 19	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N = ( ( N - 2 ) + 2 ) )
21		uznn0sub 11123	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N - 2 ) e. NN0 )
22	1, 21	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( N - 2 ) e. NN0 )
23		2nn0 10819	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. NN0
24	23	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 2 e. NN0 )
25	22, 24	nn0addcld 10863	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( N - 2 ) + 2 ) e. NN0 )
26	20, 25	eqeltrd 2531	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. NN0 )
27		itgex 22155	. . . . . . . 8 |- S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x e. _V
28	27	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x e. _V )
29	13, 16, 26, 28	fvmptd 5946	. . . . . 6 |- ( ph -> ( I ` N ) = S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x )
30		ioosscn 31481	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 (,) pi ) C_ CC
31	30	sseli 3485	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> x e. CC )
32	31	sincld 13847	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( sin ` x ) e. CC )
33	32	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( sin ` x ) e. CC )
34	26	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> N e. NN0 )
35	33, 34	expcld 12292	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) e. CC )
36		ioossicc 11621	. . . . . . . . 9 |- ( 0 (,) pi ) C_ ( 0 [,] pi )
37	36	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 0 (,) pi ) C_ ( 0 [,] pi ) )
38		ioombl 21953	. . . . . . . . 9 |- ( 0 (,) pi ) e. dom vol
39	38	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 0 (,) pi ) e. dom vol )
40		0re 9599	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. RR
41		pire 22829	. . . . . . . . . . . . . 14 |- pi e. RR
42		iccssre 11617	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR ) -> ( 0 [,] pi ) C_ RR )
43	40, 41, 42	mp2an 672	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 [,] pi ) C_ RR
44		ax-resscn 9552	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR C_ CC
45	43, 44	sstri 3498	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 [,] pi ) C_ CC
46	45	sseli 3485	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 0 [,] pi ) -> x e. CC )
47	46	sincld 13847	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0 [,] pi ) -> ( sin ` x ) e. CC )
48	47	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( sin ` x ) e. CC )
49	26	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> N e. NN0 )
50	48, 49	expcld 12292	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) e. CC )
51	40	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 e. RR )
52	41	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> pi e. RR )
53	46	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> x e. CC )
54		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) = ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) )
55	54	fvmpt2 5948	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CC /\ ( ( sin ` x ) ^ N ) e. CC ) -> ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) ` x ) = ( ( sin ` x ) ^ N ) )
56	53, 50, 55	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) ` x ) = ( ( sin ` x ) ^ N ) )
57	56	eqcomd 2451	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) = ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) ` x ) )
58	57	mpteq2dva 4523	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) = ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) ` x ) ) )
59		nfmpt1 4526	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) )
60		nfcv 2605	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x sin
61		sincn 22817	. . . . . . . . . . . . 13 |- sin e. ( CC -cn-> CC )
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> sin e. ( CC -cn-> CC ) )
63	60, 62, 26	expcnfg 31540	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
64	45	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 0 [,] pi ) C_ CC )
65	59, 63, 64	cncfmptss 31535	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) ` x ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
66	58, 65	eqeltrd 2531	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
67		cniccibl 22225	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR /\ ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) ) -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) e. L^1 )
68	51, 52, 66, 67	syl3anc 1229	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) e. L^1 )
69	37, 39, 50, 68	iblss 22189	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) e. L^1 )
70	35, 69	itgcl 22168	. . . . . 6 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x e. CC )
71	29, 70	eqeltrd 2531	. . . . 5 |- ( ph -> ( I ` N ) e. CC )
72	11, 71	adddirp1d 31440	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) x. ( I ` N ) ) = ( ( ( N - 1 ) x. ( I ` N ) ) + ( I ` N ) ) )
73		eluz2b2 11165	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( N e. NN /\ 1 < N ) )
74	1, 73	sylib 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( N e. NN /\ 1 < N ) )
75	74	simpld 459	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. NN )
76		expm1t 12176	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( sin ` x ) e. CC /\ N e. NN ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) = ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) x. ( sin ` x ) ) )
77	32, 75, 76	syl2anr 478	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) = ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) x. ( sin ` x ) ) )
78	77	itgeq2dv 22166	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x = S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) x. ( sin ` x ) ) _d x )
79		eqid 2443	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) )
80		eqid 2443	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC |-> -u ( cos ` x ) ) = ( x e. CC |-> -u ( cos ` x ) )
81		eqid 2443	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC |-> ( ( ( N - 1 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( ( N - 1 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) )
82		eqid 2443	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC |-> ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) x. ( sin ` x ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) x. ( sin ` x ) ) )
83		eqid 2443	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC |-> ( ( ( ( N - 1 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( ( ( N - 1 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) )
84		eqid 2443	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC |-> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ) )
85	79, 80, 81, 82, 83, 84, 10	itgsinexplem1 31706	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) x. ( sin ` x ) ) _d x = ( ( N - 1 ) x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ) _d x ) )
86	4, 5, 5	subsub4d 9967	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) - 1 ) = ( N - ( 1 + 1 ) ) )
87		1p1e2 10656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 + 1 ) = 2
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 1 + 1 ) = 2 )
89	88	oveq2d 6297	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( N - ( 1 + 1 ) ) = ( N - 2 ) )
90	86, 89	eqtrd 2484	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) - 1 ) = ( N - 2 ) )
91	90	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( N - 1 ) - 1 ) = ( N - 2 ) )
92	91	oveq2d 6297	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ ( ( N - 1 ) - 1 ) ) = ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) )
93	92	oveq2d 6297	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) )
94	93	itgeq2dv 22166	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ) _d x = S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) _d x )
95	94	oveq2d 6297	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ) _d x ) = ( ( N - 1 ) x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) _d x ) )
96		sincossq 13893	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. CC -> ( ( ( sin ` x ) ^ 2 ) + ( ( cos ` x ) ^ 2 ) ) = 1 )
97		1cnd 9615	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. CC -> 1 e. CC )
98		sincl 13843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. CC -> ( sin ` x ) e. CC )
99	98	sqcld 12290	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. CC -> ( ( sin ` x ) ^ 2 ) e. CC )
100		coscl 13844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. CC -> ( cos ` x ) e. CC )
101	100	sqcld 12290	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. CC -> ( ( cos ` x ) ^ 2 ) e. CC )
102	97, 99, 101	subaddd 9954	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. CC -> ( ( 1 - ( ( sin ` x ) ^ 2 ) ) = ( ( cos ` x ) ^ 2 ) <-> ( ( ( sin ` x ) ^ 2 ) + ( ( cos ` x ) ^ 2 ) ) = 1 ) )
103	96, 102	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> ( 1 - ( ( sin ` x ) ^ 2 ) ) = ( ( cos ` x ) ^ 2 ) )
104	103	eqcomd 2451	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> ( ( cos ` x ) ^ 2 ) = ( 1 - ( ( sin ` x ) ^ 2 ) ) )
105	31, 104	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( ( cos ` x ) ^ 2 ) = ( 1 - ( ( sin ` x ) ^ 2 ) ) )
106	105	oveq1d 6296	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) = ( ( 1 - ( ( sin ` x ) ^ 2 ) ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) )
107	106	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) = ( ( 1 - ( ( sin ` x ) ^ 2 ) ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) )
108	107	itgeq2dv 22166	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) _d x = S. ( 0 (,) pi ) ( ( 1 - ( ( sin ` x ) ^ 2 ) ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) _d x )
109		1cnd 9615	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> 1 e. CC )
110	32	sqcld 12290	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( ( sin ` x ) ^ 2 ) e. CC )
111	110	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ 2 ) e. CC )
112	90	eqcomd 2451	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( N - 2 ) = ( ( N - 1 ) - 1 ) )
113		nnm1nn0 10844	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N - 1 ) e. NN -> ( ( N - 1 ) - 1 ) e. NN0 )
114	10, 113	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) - 1 ) e. NN0 )
115	112, 114	eqeltrd 2531	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( N - 2 ) e. NN0 )
116	115	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( N - 2 ) e. NN0 )
117	33, 116	expcld 12292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) e. CC )
118	109, 111, 117	subdird 10020	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( 1 - ( ( sin ` x ) ^ 2 ) ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) = ( ( 1 x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) - ( ( ( sin ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) ) )
119	117	mulid2d 9617	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( 1 x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) = ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) )
120	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> 2 e. NN0 )
121	33, 116, 120	expaddd 12294	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ ( 2 + ( N - 2 ) ) ) = ( ( ( sin ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) )
122	17, 4	pncan3d 9939	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 2 + ( N - 2 ) ) = N )
123	122	oveq2d 6297	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( sin ` x ) ^ ( 2 + ( N - 2 ) ) ) = ( ( sin ` x ) ^ N ) )
124	123	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ ( 2 + ( N - 2 ) ) ) = ( ( sin ` x ) ^ N ) )
125	121, 124	eqtr3d 2486	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( ( sin ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) = ( ( sin ` x ) ^ N ) )
126	119, 125	oveq12d 6299	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( 1 x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) - ( ( ( sin ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) ) = ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) - ( ( sin ` x ) ^ N ) ) )
127	118, 126	eqtrd 2484	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( 1 - ( ( sin ` x ) ^ 2 ) ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) = ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) - ( ( sin ` x ) ^ N ) ) )
128	127	itgeq2dv 22166	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( 1 - ( ( sin ` x ) ^ 2 ) ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) _d x = S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) - ( ( sin ` x ) ^ N ) ) _d x )
129	115	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( N - 2 ) e. NN0 )
130	48, 129	expcld 12292	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) e. CC )
131		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) )
132	131	fvmpt2 5948	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. CC /\ ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) e. CC ) -> ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) ` x ) = ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) )
133	53, 130, 132	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) ` x ) = ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) )
134	133	eqcomd 2451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) = ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) ` x ) )
135	134	mpteq2dva 4523	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) = ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) ` x ) ) )
136		nfmpt1 4526	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ x ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) )
137	60, 62, 115	expcnfg 31540	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
138	136, 137, 64	cncfmptss 31535	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) ` x ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
139	135, 138	eqeltrd 2531	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
140		cniccibl 22225	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR /\ ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) ) -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) e. L^1 )
141	51, 52, 139, 140	syl3anc 1229	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) e. L^1 )
142	37, 39, 130, 141	iblss 22189	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) e. L^1 )
143	117, 142, 35, 69	itgsub 22210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) - ( ( sin ` x ) ^ N ) ) _d x = ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x - S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x ) )
144	108, 128, 143	3eqtrd 2488	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) _d x = ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x - S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x ) )
145	144	oveq2d 6297	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) _d x ) = ( ( N - 1 ) x. ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x - S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x ) ) )
146	85, 95, 145	3eqtrd 2488	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) x. ( sin ` x ) ) _d x = ( ( N - 1 ) x. ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x - S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x ) ) )
147	29, 78, 146	3eqtrd 2488	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( I ` N ) = ( ( N - 1 ) x. ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x - S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x ) ) )
148		oveq2 6289	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( N - 2 ) -> ( ( sin ` x ) ^ n ) = ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) )
149	148	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n = ( N - 2 ) /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ n ) = ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) )
150	149	itgeq2dv 22166	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( N - 2 ) -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x = S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x )
151	150	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n = ( N - 2 ) ) -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x = S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x )
152		itgex 22155	. . . . . . . . . . 11 |- S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x e. _V
153	152	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x e. _V )
154	13, 151, 115, 153	fvmptd 5946	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( I ` ( N - 2 ) ) = S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x )
155	154, 29	oveq12d 6299	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( I ` ( N - 2 ) ) - ( I ` N ) ) = ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x - S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x ) )
156	155	oveq2d 6297	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) x. ( ( I ` ( N - 2 ) ) - ( I ` N ) ) ) = ( ( N - 1 ) x. ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x - S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x ) ) )
157	117, 142	itgcl 22168	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x e. CC )
158	154, 157	eqeltrd 2531	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( I ` ( N - 2 ) ) e. CC )
159	11, 158, 71	subdid 10019	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) x. ( ( I ` ( N - 2 ) ) - ( I ` N ) ) ) = ( ( ( N - 1 ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) - ( ( N - 1 ) x. ( I ` N ) ) ) )
160	147, 156, 159	3eqtr2d 2490	. . . . . 6 |- ( ph -> ( I ` N ) = ( ( ( N - 1 ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) - ( ( N - 1 ) x. ( I ` N ) ) ) )
161	160	eqcomd 2451	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( N - 1 ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) - ( ( N - 1 ) x. ( I ` N ) ) ) = ( I ` N ) )
162	11, 158	mulcld 9619	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) e. CC )
163	11, 71	mulcld 9619	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) x. ( I ` N ) ) e. CC )
164	162, 163, 71	subaddd 9954	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( N - 1 ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) - ( ( N - 1 ) x. ( I ` N ) ) ) = ( I ` N ) <-> ( ( ( N - 1 ) x. ( I ` N ) ) + ( I ` N ) ) = ( ( N - 1 ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) ) )
165	161, 164	mpbid 210	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( N - 1 ) x. ( I ` N ) ) + ( I ` N ) ) = ( ( N - 1 ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) )
166	8, 72, 165	3eqtrd 2488	. . 3 |- ( ph -> ( N x. ( I ` N ) ) = ( ( N - 1 ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) )
167	166	oveq1d 6296	. 2 |- ( ph -> ( ( N x. ( I ` N ) ) / N ) = ( ( ( N - 1 ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) / N ) )
168	75	nnne0d 10587	. . 3 |- ( ph -> N =/= 0 )
169	71, 4, 168	divcan3d 10332	. 2 |- ( ph -> ( ( N x. ( I ` N ) ) / N ) = ( I ` N ) )
170	11, 158, 4, 168	div23d 10364	. 2 |- ( ph -> ( ( ( N - 1 ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) / N ) = ( ( ( N - 1 ) / N ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) )
171	167, 169, 170	3eqtr3d 2492	1 |- ( ph -> ( I ` N ) = ( ( ( N - 1 ) / N ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1383   e. wcel 1804   _Vcvv 3095   C_ wss 3461   class class class wbr 4437   |-> cmpt 4495   dom cdm 4989   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   CCcc 9493   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496   + caddc 9498   x. cmul 9500   < clt 9631   - cmin 9810   -ucneg 9811   / cdiv 10213   NNcn 10543   2c2 10592   NN0cn0 10802   ZZcz 10871   ZZ>=cuz 11092   (,)cioo 11540   [,]cicc 11543   ^cexp 12148   sincsin 13781   cosccos 13782   picpi 13784   -cn->ccncf 21358   volcvol 21853   L^1cibl 22004   S.citg 22005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cc 8818  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-disj 4408  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-ofr 6526  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-omul 7137  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-acn 8326  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11194  df-rp 11232  df-xneg 11329  df-xadd 11330  df-xmul 11331  df-ioo 11544  df-ioc 11545  df-ico 11546  df-icc 11547  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-fl 11911  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12882  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-limsup 13276  df-clim 13293  df-rlim 13294  df-sum 13491  df-ef 13785  df-sin 13787  df-cos 13788  df-pi 13790  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-starv 14694  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-ip 14697  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-unif 14702  df-hom 14703  df-cco 14704  df-rest 14802  df-topn 14803  df-0g 14821  df-gsum 14822  df-topgen 14823  df-pt 14824  df-prds 14827  df-xrs 14881  df-qtop 14886  df-imas 14887  df-xps 14889  df-mre 14965  df-mrc 14966  df-acs 14968  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-submnd 15946  df-mulg 16039  df-cntz 16334  df-cmn 16779  df-psmet 18390  df-xmet 18391  df-met 18392  df-bl 18393  df-mopn 18394  df-fbas 18395  df-fg 18396  df-cnfld 18400  df-top 19377  df-bases 19379  df-topon 19380  df-topsp 19381  df-cld 19498  df-ntr 19499  df-cls 19500  df-nei 19577  df-lp 19615  df-perf 19616  df-cn 19706  df-cnp 19707  df-haus 19794  df-cmp 19865  df-tx 20041  df-hmeo 20234  df-fil 20325  df-fm 20417  df-flim 20418  df-flf 20419  df-xms 20801  df-ms 20802  df-tms 20803  df-cncf 21360  df-ovol 21854  df-vol 21855  df-mbf 22006  df-itg1 22007  df-itg2 22008  df-ibl 22009  df-itg 22010  df-0p 22055  df-limc 22248  df-dv 22249

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