Theorem itgsinexp 29766

Description: A recursive formula for the integral of sin^N on the interval (0,π) . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgsinexp.1	|- I = ( n e. NN0 |-> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x )
itgsinexp.2	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )

Assertion

Ref	Expression
itgsinexp	|- ( ph -> ( I ` N ) = ( ( ( N - 1 ) / N ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, n, N   ph, n, x

Allowed substitution hints:   I( x, n)

Proof of Theorem itgsinexp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgsinexp.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
2		eluzelz 10862	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. ZZ )
3		zcn 10643	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
4	1, 2, 3	3syl 20	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. CC )
5		ax-1cn 9332	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. CC )
7	4, 6	npcand 9715	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
8	7	eqcomd 2443	. . . . 5 |- ( ph -> N = ( ( N - 1 ) + 1 ) )
9	8	oveq1d 6101	. . . 4 |- ( ph -> ( N x. ( I ` N ) ) = ( ( ( N - 1 ) + 1 ) x. ( I ` N ) ) )
10		uz2m1nn 10921	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N - 1 ) e. NN )
11	1, 10	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. NN )
12	11	nncnd 10330	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. CC )
13		itgsinexp.1	. . . . . . . . 9 |- I = ( n e. NN0 |-> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x )
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> I = ( n e. NN0 |-> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x ) )
15		oveq2 6094	. . . . . . . . . 10 |- ( n = N -> ( ( sin ` x ) ^ n ) = ( ( sin ` x ) ^ N ) )
16	15	ad2antlr 726	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n = N ) /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ n ) = ( ( sin ` x ) ^ N ) )
17	16	itgeq2dv 21239	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n = N ) -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x = S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x )
18		2cnd 10386	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 2 e. CC )
19		npcan 9611	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( ( N - 2 ) + 2 ) = N )
20	19	eqcomd 2443	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. CC /\ 2 e. CC ) -> N = ( ( N - 2 ) + 2 ) )
21	4, 18, 20	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N = ( ( N - 2 ) + 2 ) )
22		uznn0sub 10884	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N - 2 ) e. NN0 )
23	1, 22	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N - 2 ) e. NN0 )
24		2nn0 10588	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. NN0
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 2 e. NN0 )
26	23, 25	nn0addcld 10632	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( N - 2 ) + 2 ) e. NN0 )
27	21, 26	eqeltrd 2512	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. NN0 )
28		itgex 21228	. . . . . . . . 9 |- S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x e. _V
29	28	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x e. _V )
30	14, 17, 27, 29	fvmptd 5774	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( I ` N ) = S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x )
31		ioossre 11349	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 (,) pi ) C_ RR
32		ax-resscn 9331	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR C_ CC
33	31, 32	sstri 3360	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 (,) pi ) C_ CC
34	33	sseli 3347	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> x e. CC )
35	34	sincld 13406	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( sin ` x ) e. CC )
36	35	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( sin ` x ) e. CC )
37	27	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> N e. NN0 )
38	36, 37	expcld 12000	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) e. CC )
39		ioossicc 11373	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 (,) pi ) C_ ( 0 [,] pi )
40	39	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 (,) pi ) C_ ( 0 [,] pi ) )
41		ioombl 21026	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 (,) pi ) e. dom vol
42	41	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 (,) pi ) e. dom vol )
43		0re 9378	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. RR
44		pire 21901	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- pi e. RR
45		iccssre 11369	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR ) -> ( 0 [,] pi ) C_ RR )
46	43, 44, 45	mp2an 672	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 [,] pi ) C_ RR
47	46, 32	sstri 3360	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 [,] pi ) C_ CC
48	47	sseli 3347	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 0 [,] pi ) -> x e. CC )
49	48	sincld 13406	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 0 [,] pi ) -> ( sin ` x ) e. CC )
50	49	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( sin ` x ) e. CC )
51	27	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> N e. NN0 )
52	50, 51	expcld 12000	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) e. CC )
53	43	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 e. RR )
54	44	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> pi e. RR )
55	48	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> x e. CC )
56		eqid 2438	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) = ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) )
57	56	fvmpt2 5776	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. CC /\ ( ( sin ` x ) ^ N ) e. CC ) -> ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) ` x ) = ( ( sin ` x ) ^ N ) )
58	55, 52, 57	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) ` x ) = ( ( sin ` x ) ^ N ) )
59	58	eqcomd 2443	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) = ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) ` x ) )
60	59	mpteq2dva 4373	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) = ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) ` x ) ) )
61		nfmpt1 4376	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) )
62		nfcv 2574	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x sin
63		sincn 21889	. . . . . . . . . . . . . 14 |- sin e. ( CC -cn-> CC )
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> sin e. ( CC -cn-> CC ) )
65	62, 64, 27	expcnfg 29744	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
66	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 0 [,] pi ) C_ CC )
67	61, 65, 66	cncfmptss 29739	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) ` x ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
68	60, 67	eqeltrd 2512	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
69		cniccibl 21298	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR /\ ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) ) -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) e. L^1 )
70	53, 54, 68, 69	syl3anc 1218	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) e. L^1 )
71	40, 42, 52, 70	iblss 21262	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) e. L^1 )
72	38, 71	itgcl 21241	. . . . . . 7 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x e. CC )
73	30, 72	eqeltrd 2512	. . . . . 6 |- ( ph -> ( I ` N ) e. CC )
74	12, 6, 73	adddird 9403	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) x. ( I ` N ) ) = ( ( ( N - 1 ) x. ( I ` N ) ) + ( 1 x. ( I ` N ) ) ) )
75	73	mulid2d 9396	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 x. ( I ` N ) ) = ( I ` N ) )
76	75	oveq2d 6102	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( N - 1 ) x. ( I ` N ) ) + ( 1 x. ( I ` N ) ) ) = ( ( ( N - 1 ) x. ( I ` N ) ) + ( I ` N ) ) )
77	74, 76	eqtrd 2470	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) x. ( I ` N ) ) = ( ( ( N - 1 ) x. ( I ` N ) ) + ( I ` N ) ) )
78		eluz2b2 10919	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( N e. NN /\ 1 < N ) )
79	1, 78	sylib 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( N e. NN /\ 1 < N ) )
80	79	simpld 459	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. NN )
81		expm1t 11884	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( sin ` x ) e. CC /\ N e. NN ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) = ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) x. ( sin ` x ) ) )
82	35, 80, 81	syl2anr 478	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) = ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) x. ( sin ` x ) ) )
83	82	itgeq2dv 21239	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x = S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) x. ( sin ` x ) ) _d x )
84		eqid 2438	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) )
85		eqid 2438	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC |-> -u ( cos ` x ) ) = ( x e. CC |-> -u ( cos ` x ) )
86		eqid 2438	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC |-> ( ( ( N - 1 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( ( N - 1 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) )
87		eqid 2438	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC |-> ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) x. ( sin ` x ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) x. ( sin ` x ) ) )
88		eqid 2438	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC |-> ( ( ( ( N - 1 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( ( ( N - 1 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) )
89		eqid 2438	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC |-> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ) )
90	84, 85, 86, 87, 88, 89, 11	itgsinexplem1 29765	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) x. ( sin ` x ) ) _d x = ( ( N - 1 ) x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ) _d x ) )
91	4, 6, 6	subsub4d 9742	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) - 1 ) = ( N - ( 1 + 1 ) ) )
92		1p1e2 10427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 + 1 ) = 2
93	92	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 1 + 1 ) = 2 )
94	93	oveq2d 6102	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( N - ( 1 + 1 ) ) = ( N - 2 ) )
95	91, 94	eqtrd 2470	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) - 1 ) = ( N - 2 ) )
96	95	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( N - 1 ) - 1 ) = ( N - 2 ) )
97	96	oveq2d 6102	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ ( ( N - 1 ) - 1 ) ) = ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) )
98	97	oveq2d 6102	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) )
99	98	itgeq2dv 21239	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ) _d x = S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) _d x )
100	99	oveq2d 6102	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ) _d x ) = ( ( N - 1 ) x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) _d x ) )
101		sincossq 13452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. CC -> ( ( ( sin ` x ) ^ 2 ) + ( ( cos ` x ) ^ 2 ) ) = 1 )
102	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. CC -> 1 e. CC )
103		sincl 13402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. CC -> ( sin ` x ) e. CC )
104	103	sqcld 11998	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. CC -> ( ( sin ` x ) ^ 2 ) e. CC )
105		coscl 13403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. CC -> ( cos ` x ) e. CC )
106	105	sqcld 11998	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. CC -> ( ( cos ` x ) ^ 2 ) e. CC )
107	102, 104, 106	subaddd 9729	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. CC -> ( ( 1 - ( ( sin ` x ) ^ 2 ) ) = ( ( cos ` x ) ^ 2 ) <-> ( ( ( sin ` x ) ^ 2 ) + ( ( cos ` x ) ^ 2 ) ) = 1 ) )
108	101, 107	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> ( 1 - ( ( sin ` x ) ^ 2 ) ) = ( ( cos ` x ) ^ 2 ) )
109	108	eqcomd 2443	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> ( ( cos ` x ) ^ 2 ) = ( 1 - ( ( sin ` x ) ^ 2 ) ) )
110	34, 109	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( ( cos ` x ) ^ 2 ) = ( 1 - ( ( sin ` x ) ^ 2 ) ) )
111	110	oveq1d 6101	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) = ( ( 1 - ( ( sin ` x ) ^ 2 ) ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) )
112	111	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) = ( ( 1 - ( ( sin ` x ) ^ 2 ) ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) )
113	112	itgeq2dv 21239	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) _d x = S. ( 0 (,) pi ) ( ( 1 - ( ( sin ` x ) ^ 2 ) ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) _d x )
114	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> 1 e. CC )
115	35	sqcld 11998	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( ( sin ` x ) ^ 2 ) e. CC )
116	115	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ 2 ) e. CC )
117	95	eqcomd 2443	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( N - 2 ) = ( ( N - 1 ) - 1 ) )
118		nnm1nn0 10613	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N - 1 ) e. NN -> ( ( N - 1 ) - 1 ) e. NN0 )
119	11, 118	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) - 1 ) e. NN0 )
120	117, 119	eqeltrd 2512	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( N - 2 ) e. NN0 )
121	120	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( N - 2 ) e. NN0 )
122	36, 121	expcld 12000	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) e. CC )
123	114, 116, 122	subdird 9793	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( 1 - ( ( sin ` x ) ^ 2 ) ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) = ( ( 1 x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) - ( ( ( sin ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) ) )
124	122	mulid2d 9396	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( 1 x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) = ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) )
125	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> 2 e. NN0 )
126	36, 121, 125	expaddd 12002	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ ( 2 + ( N - 2 ) ) ) = ( ( ( sin ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) )
127	18, 4	pncan3d 9714	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 2 + ( N - 2 ) ) = N )
128	127	oveq2d 6102	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( sin ` x ) ^ ( 2 + ( N - 2 ) ) ) = ( ( sin ` x ) ^ N ) )
129	128	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ ( 2 + ( N - 2 ) ) ) = ( ( sin ` x ) ^ N ) )
130	126, 129	eqtr3d 2472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( ( sin ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) = ( ( sin ` x ) ^ N ) )
131	124, 130	oveq12d 6104	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( 1 x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) - ( ( ( sin ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) ) = ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) - ( ( sin ` x ) ^ N ) ) )
132	123, 131	eqtrd 2470	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( 1 - ( ( sin ` x ) ^ 2 ) ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) = ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) - ( ( sin ` x ) ^ N ) ) )
133	132	itgeq2dv 21239	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( 1 - ( ( sin ` x ) ^ 2 ) ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) _d x = S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) - ( ( sin ` x ) ^ N ) ) _d x )
134	120	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( N - 2 ) e. NN0 )
135	50, 134	expcld 12000	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) e. CC )
136		eqid 2438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) )
137	136	fvmpt2 5776	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. CC /\ ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) e. CC ) -> ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) ` x ) = ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) )
138	55, 135, 137	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) ` x ) = ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) )
139	138	eqcomd 2443	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) = ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) ` x ) )
140	139	mpteq2dva 4373	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) = ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) ` x ) ) )
141		nfmpt1 4376	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ x ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) )
142	62, 64, 120	expcnfg 29744	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
143	141, 142, 66	cncfmptss 29739	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) ` x ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
144	140, 143	eqeltrd 2512	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
145		cniccibl 21298	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR /\ ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) ) -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) e. L^1 )
146	53, 54, 144, 145	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) e. L^1 )
147	40, 42, 135, 146	iblss 21262	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) e. L^1 )
148	122, 147, 38, 71	itgsub 21283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) - ( ( sin ` x ) ^ N ) ) _d x = ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x - S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x ) )
149	113, 133, 148	3eqtrd 2474	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) _d x = ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x - S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x ) )
150	149	oveq2d 6102	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) _d x ) = ( ( N - 1 ) x. ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x - S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x ) ) )
151	90, 100, 150	3eqtrd 2474	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) x. ( sin ` x ) ) _d x = ( ( N - 1 ) x. ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x - S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x ) ) )
152	30, 83, 151	3eqtrd 2474	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( I ` N ) = ( ( N - 1 ) x. ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x - S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x ) ) )
153		oveq2 6094	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( N - 2 ) -> ( ( sin ` x ) ^ n ) = ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) )
154	153	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n = ( N - 2 ) /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ n ) = ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) )
155	154	itgeq2dv 21239	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( N - 2 ) -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x = S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x )
156	155	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n = ( N - 2 ) ) -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x = S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x )
157		itgex 21228	. . . . . . . . . . 11 |- S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x e. _V
158	157	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x e. _V )
159	14, 156, 120, 158	fvmptd 5774	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( I ` ( N - 2 ) ) = S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x )
160	159, 30	oveq12d 6104	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( I ` ( N - 2 ) ) - ( I ` N ) ) = ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x - S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x ) )
161	160	oveq2d 6102	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) x. ( ( I ` ( N - 2 ) ) - ( I ` N ) ) ) = ( ( N - 1 ) x. ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x - S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x ) ) )
162	122, 147	itgcl 21241	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x e. CC )
163	159, 162	eqeltrd 2512	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( I ` ( N - 2 ) ) e. CC )
164	12, 163, 73	subdid 9792	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) x. ( ( I ` ( N - 2 ) ) - ( I ` N ) ) ) = ( ( ( N - 1 ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) - ( ( N - 1 ) x. ( I ` N ) ) ) )
165	152, 161, 164	3eqtr2d 2476	. . . . . 6 |- ( ph -> ( I ` N ) = ( ( ( N - 1 ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) - ( ( N - 1 ) x. ( I ` N ) ) ) )
166	165	eqcomd 2443	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( N - 1 ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) - ( ( N - 1 ) x. ( I ` N ) ) ) = ( I ` N ) )
167	12, 163	mulcld 9398	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) e. CC )
168	12, 73	mulcld 9398	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) x. ( I ` N ) ) e. CC )
169	167, 168, 73	subaddd 9729	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( N - 1 ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) - ( ( N - 1 ) x. ( I ` N ) ) ) = ( I ` N ) <-> ( ( ( N - 1 ) x. ( I ` N ) ) + ( I ` N ) ) = ( ( N - 1 ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) ) )
170	166, 169	mpbid 210	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( N - 1 ) x. ( I ` N ) ) + ( I ` N ) ) = ( ( N - 1 ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) )
171	9, 77, 170	3eqtrd 2474	. . 3 |- ( ph -> ( N x. ( I ` N ) ) = ( ( N - 1 ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) )
172	171	oveq1d 6101	. 2 |- ( ph -> ( ( N x. ( I ` N ) ) / N ) = ( ( ( N - 1 ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) / N ) )
173	80	nnne0d 10358	. . 3 |- ( ph -> N =/= 0 )
174	73, 4, 173	divcan3d 10104	. 2 |- ( ph -> ( ( N x. ( I ` N ) ) / N ) = ( I ` N ) )
175	12, 163, 4, 173	div23d 10136	. 2 |- ( ph -> ( ( ( N - 1 ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) / N ) = ( ( ( N - 1 ) / N ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) )
176	172, 174, 175	3eqtr3d 2478	1 |- ( ph -> ( I ` N ) = ( ( ( N - 1 ) / N ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   _Vcvv 2967   C_ wss 3323   class class class wbr 4287   e. cmpt 4345   dom cdm 4835   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275   + caddc 9277   x. cmul 9279   < clt 9410   - cmin 9587   -ucneg 9588   / cdiv 9985   NNcn 10314   2c2 10363   NN0cn0 10571   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853   (,)cioo 11292   [,]cicc 11295   ^cexp 11857   sincsin 13341   cosccos 13342   picpi 13344   -cn->ccncf 20432   volcvol 20927   L^1cibl 21077   S.citg 21078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cc 8596  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-disj 4258  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-ofr 6316  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-omul 6917  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-acn 8104  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ioc 11297  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-fac 12044  df-bc 12071  df-hash 12096  df-shft 12548  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-limsup 12941  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-sum 13156  df-ef 13345  df-sin 13347  df-cos 13348  df-pi 13350  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17789  df-xmet 17790  df-met 17791  df-bl 17792  df-mopn 17793  df-fbas 17794  df-fg 17795  df-cnfld 17799  df-top 18483  df-bases 18485  df-topon 18486  df-topsp 18487  df-cld 18603  df-ntr 18604  df-cls 18605  df-nei 18682  df-lp 18720  df-perf 18721  df-cn 18811  df-cnp 18812  df-haus 18899  df-cmp 18970  df-tx 19115  df-hmeo 19308  df-fil 19399  df-fm 19491  df-flim 19492  df-flf 19493  df-xms 19875  df-ms 19876  df-tms 19877  df-cncf 20434  df-ovol 20928  df-vol 20929  df-mbf 21079  df-itg1 21080  df-itg2 21081  df-ibl 21082  df-itg 21083  df-0p 21128  df-limc 21321  df-dv 21322

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