Theorem itgsinexp 37651

Description: A recursive formula for the integral of sin^N on the interval (0,π) . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgsinexp.1	|- I = ( n e. NN0 |-> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x )
itgsinexp.2	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )

Assertion

Ref	Expression
itgsinexp	|- ( ph -> ( I ` N ) = ( ( ( N - 1 ) / N ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, n, N   ph, n, x

Allowed substitution hints:   I( x, n)

Proof of Theorem itgsinexp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgsinexp.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
2		eluzelz 11169	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. ZZ )
3		zcn 10943	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
4	1, 2, 3	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. CC )
5		1cnd 9660	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. CC )
6	4, 5	npcand 9991	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
7	6	eqcomd 2430	. . . . 5 |- ( ph -> N = ( ( N - 1 ) + 1 ) )
8	7	oveq1d 6317	. . . 4 |- ( ph -> ( N x. ( I ` N ) ) = ( ( ( N - 1 ) + 1 ) x. ( I ` N ) ) )
9		uz2m1nn 11234	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N - 1 ) e. NN )
10	1, 9	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. NN )
11	10	nncnd 10626	. . . . 5 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. CC )
12		itgsinexp.1	. . . . . . . 8 |- I = ( n e. NN0 |-> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x )
13	12	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> I = ( n e. NN0 |-> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x ) )
14		oveq2 6310	. . . . . . . . 9 |- ( n = N -> ( ( sin ` x ) ^ n ) = ( ( sin ` x ) ^ N ) )
15	14	ad2antlr 731	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n = N ) /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ n ) = ( ( sin ` x ) ^ N ) )
16	15	itgeq2dv 22726	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n = N ) -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x = S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x )
17		2cnd 10683	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 2 e. CC )
18		npcan 9885	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( ( N - 2 ) + 2 ) = N )
19	18	eqcomd 2430	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. CC /\ 2 e. CC ) -> N = ( ( N - 2 ) + 2 ) )
20	4, 17, 19	syl2anc 665	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N = ( ( N - 2 ) + 2 ) )
21		uznn0sub 11191	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N - 2 ) e. NN0 )
22	1, 21	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( N - 2 ) e. NN0 )
23		2nn0 10887	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. NN0
24	23	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 2 e. NN0 )
25	22, 24	nn0addcld 10930	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( N - 2 ) + 2 ) e. NN0 )
26	20, 25	eqeltrd 2510	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. NN0 )
27		itgex 22715	. . . . . . . 8 |- S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x e. _V
28	27	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x e. _V )
29	13, 16, 26, 28	fvmptd 5967	. . . . . 6 |- ( ph -> ( I ` N ) = S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x )
30		ioosscn 37422	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 (,) pi ) C_ CC
31	30	sseli 3460	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> x e. CC )
32	31	sincld 14172	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( sin ` x ) e. CC )
33	32	adantl 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( sin ` x ) e. CC )
34	26	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> N e. NN0 )
35	33, 34	expcld 12416	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) e. CC )
36		ioossicc 11721	. . . . . . . . 9 |- ( 0 (,) pi ) C_ ( 0 [,] pi )
37	36	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 0 (,) pi ) C_ ( 0 [,] pi ) )
38		ioombl 22505	. . . . . . . . 9 |- ( 0 (,) pi ) e. dom vol
39	38	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 0 (,) pi ) e. dom vol )
40		0re 9644	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. RR
41		pire 23400	. . . . . . . . . . . . . 14 |- pi e. RR
42		iccssre 11717	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR ) -> ( 0 [,] pi ) C_ RR )
43	40, 41, 42	mp2an 676	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 [,] pi ) C_ RR
44		ax-resscn 9597	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR C_ CC
45	43, 44	sstri 3473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 [,] pi ) C_ CC
46	45	sseli 3460	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 0 [,] pi ) -> x e. CC )
47	46	sincld 14172	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0 [,] pi ) -> ( sin ` x ) e. CC )
48	47	adantl 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( sin ` x ) e. CC )
49	26	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> N e. NN0 )
50	48, 49	expcld 12416	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) e. CC )
51	40	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 e. RR )
52	41	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> pi e. RR )
53	46	adantl 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> x e. CC )
54		eqid 2422	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) = ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) )
55	54	fvmpt2 5970	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CC /\ ( ( sin ` x ) ^ N ) e. CC ) -> ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) ` x ) = ( ( sin ` x ) ^ N ) )
56	53, 50, 55	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) ` x ) = ( ( sin ` x ) ^ N ) )
57	56	eqcomd 2430	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) = ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) ` x ) )
58	57	mpteq2dva 4507	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) = ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) ` x ) ) )
59		nfmpt1 4510	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) )
60		nfcv 2584	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x sin
61		sincn 23386	. . . . . . . . . . . . 13 |- sin e. ( CC -cn-> CC )
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> sin e. ( CC -cn-> CC ) )
63	60, 62, 26	expcnfg 37491	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
64	45	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 0 [,] pi ) C_ CC )
65	59, 63, 64	cncfmptss 37485	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) ` x ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
66	58, 65	eqeltrd 2510	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
67		cniccibl 22785	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR /\ ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) ) -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) e. L^1 )
68	51, 52, 66, 67	syl3anc 1264	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) e. L^1 )
69	37, 39, 50, 68	iblss 22749	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) e. L^1 )
70	35, 69	itgcl 22728	. . . . . 6 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x e. CC )
71	29, 70	eqeltrd 2510	. . . . 5 |- ( ph -> ( I ` N ) e. CC )
72	11, 71	adddirp1d 37352	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) x. ( I ` N ) ) = ( ( ( N - 1 ) x. ( I ` N ) ) + ( I ` N ) ) )
73		eluz2b2 11232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( N e. NN /\ 1 < N ) )
74	1, 73	sylib 199	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( N e. NN /\ 1 < N ) )
75	74	simpld 460	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. NN )
76		expm1t 12300	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( sin ` x ) e. CC /\ N e. NN ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) = ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) x. ( sin ` x ) ) )
77	32, 75, 76	syl2anr 480	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) = ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) x. ( sin ` x ) ) )
78	77	itgeq2dv 22726	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x = S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) x. ( sin ` x ) ) _d x )
79		eqid 2422	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) )
80		eqid 2422	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC |-> -u ( cos ` x ) ) = ( x e. CC |-> -u ( cos ` x ) )
81		eqid 2422	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC |-> ( ( ( N - 1 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( ( N - 1 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) )
82		eqid 2422	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC |-> ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) x. ( sin ` x ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) x. ( sin ` x ) ) )
83		eqid 2422	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC |-> ( ( ( ( N - 1 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( ( ( N - 1 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) )
84		eqid 2422	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC |-> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ) )
85	79, 80, 81, 82, 83, 84, 10	itgsinexplem1 37650	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) x. ( sin ` x ) ) _d x = ( ( N - 1 ) x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ) _d x ) )
86	4, 5, 5	subsub4d 10018	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) - 1 ) = ( N - ( 1 + 1 ) ) )
87		1p1e2 10724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 + 1 ) = 2
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 1 + 1 ) = 2 )
89	88	oveq2d 6318	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( N - ( 1 + 1 ) ) = ( N - 2 ) )
90	86, 89	eqtrd 2463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) - 1 ) = ( N - 2 ) )
91	90	adantr 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( N - 1 ) - 1 ) = ( N - 2 ) )
92	91	oveq2d 6318	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ ( ( N - 1 ) - 1 ) ) = ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) )
93	92	oveq2d 6318	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) )
94	93	itgeq2dv 22726	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ) _d x = S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) _d x )
95	94	oveq2d 6318	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ) _d x ) = ( ( N - 1 ) x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) _d x ) )
96		sincossq 14218	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. CC -> ( ( ( sin ` x ) ^ 2 ) + ( ( cos ` x ) ^ 2 ) ) = 1 )
97		1cnd 9660	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. CC -> 1 e. CC )
98		sincl 14168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. CC -> ( sin ` x ) e. CC )
99	98	sqcld 12414	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. CC -> ( ( sin ` x ) ^ 2 ) e. CC )
100		coscl 14169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. CC -> ( cos ` x ) e. CC )
101	100	sqcld 12414	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. CC -> ( ( cos ` x ) ^ 2 ) e. CC )
102	97, 99, 101	subaddd 10005	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. CC -> ( ( 1 - ( ( sin ` x ) ^ 2 ) ) = ( ( cos ` x ) ^ 2 ) <-> ( ( ( sin ` x ) ^ 2 ) + ( ( cos ` x ) ^ 2 ) ) = 1 ) )
103	96, 102	mpbird 235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> ( 1 - ( ( sin ` x ) ^ 2 ) ) = ( ( cos ` x ) ^ 2 ) )
104	103	eqcomd 2430	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> ( ( cos ` x ) ^ 2 ) = ( 1 - ( ( sin ` x ) ^ 2 ) ) )
105	31, 104	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( ( cos ` x ) ^ 2 ) = ( 1 - ( ( sin ` x ) ^ 2 ) ) )
106	105	oveq1d 6317	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) = ( ( 1 - ( ( sin ` x ) ^ 2 ) ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) )
107	106	adantl 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) = ( ( 1 - ( ( sin ` x ) ^ 2 ) ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) )
108	107	itgeq2dv 22726	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) _d x = S. ( 0 (,) pi ) ( ( 1 - ( ( sin ` x ) ^ 2 ) ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) _d x )
109		1cnd 9660	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> 1 e. CC )
110	32	sqcld 12414	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( ( sin ` x ) ^ 2 ) e. CC )
111	110	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ 2 ) e. CC )
112	90	eqcomd 2430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( N - 2 ) = ( ( N - 1 ) - 1 ) )
113		nnm1nn0 10912	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N - 1 ) e. NN -> ( ( N - 1 ) - 1 ) e. NN0 )
114	10, 113	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) - 1 ) e. NN0 )
115	112, 114	eqeltrd 2510	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( N - 2 ) e. NN0 )
116	115	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( N - 2 ) e. NN0 )
117	33, 116	expcld 12416	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) e. CC )
118	109, 111, 117	subdird 10076	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( 1 - ( ( sin ` x ) ^ 2 ) ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) = ( ( 1 x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) - ( ( ( sin ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) ) )
119	117	mulid2d 9662	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( 1 x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) = ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) )
120	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> 2 e. NN0 )
121	33, 116, 120	expaddd 12418	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ ( 2 + ( N - 2 ) ) ) = ( ( ( sin ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) )
122	17, 4	pncan3d 9990	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 2 + ( N - 2 ) ) = N )
123	122	oveq2d 6318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( sin ` x ) ^ ( 2 + ( N - 2 ) ) ) = ( ( sin ` x ) ^ N ) )
124	123	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ ( 2 + ( N - 2 ) ) ) = ( ( sin ` x ) ^ N ) )
125	121, 124	eqtr3d 2465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( ( sin ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) = ( ( sin ` x ) ^ N ) )
126	119, 125	oveq12d 6320	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( 1 x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) - ( ( ( sin ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) ) = ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) - ( ( sin ` x ) ^ N ) ) )
127	118, 126	eqtrd 2463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( 1 - ( ( sin ` x ) ^ 2 ) ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) = ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) - ( ( sin ` x ) ^ N ) ) )
128	127	itgeq2dv 22726	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( 1 - ( ( sin ` x ) ^ 2 ) ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) _d x = S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) - ( ( sin ` x ) ^ N ) ) _d x )
129	115	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( N - 2 ) e. NN0 )
130	48, 129	expcld 12416	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) e. CC )
131		eqid 2422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) )
132	131	fvmpt2 5970	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. CC /\ ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) e. CC ) -> ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) ` x ) = ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) )
133	53, 130, 132	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) ` x ) = ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) )
134	133	eqcomd 2430	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) = ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) ` x ) )
135	134	mpteq2dva 4507	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) = ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) ` x ) ) )
136		nfmpt1 4510	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ x ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) )
137	60, 62, 115	expcnfg 37491	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
138	136, 137, 64	cncfmptss 37485	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) ` x ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
139	135, 138	eqeltrd 2510	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
140		cniccibl 22785	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR /\ ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) ) -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) e. L^1 )
141	51, 52, 139, 140	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) e. L^1 )
142	37, 39, 130, 141	iblss 22749	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) e. L^1 )
143	117, 142, 35, 69	itgsub 22770	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) - ( ( sin ` x ) ^ N ) ) _d x = ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x - S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x ) )
144	108, 128, 143	3eqtrd 2467	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) _d x = ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x - S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x ) )
145	144	oveq2d 6318	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) _d x ) = ( ( N - 1 ) x. ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x - S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x ) ) )
146	85, 95, 145	3eqtrd 2467	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) x. ( sin ` x ) ) _d x = ( ( N - 1 ) x. ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x - S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x ) ) )
147	29, 78, 146	3eqtrd 2467	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( I ` N ) = ( ( N - 1 ) x. ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x - S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x ) ) )
148		oveq2 6310	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( N - 2 ) -> ( ( sin ` x ) ^ n ) = ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) )
149	148	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n = ( N - 2 ) /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ n ) = ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) )
150	149	itgeq2dv 22726	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( N - 2 ) -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x = S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x )
151	150	adantl 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n = ( N - 2 ) ) -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x = S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x )
152		itgex 22715	. . . . . . . . . . 11 |- S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x e. _V
153	152	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x e. _V )
154	13, 151, 115, 153	fvmptd 5967	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( I ` ( N - 2 ) ) = S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x )
155	154, 29	oveq12d 6320	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( I ` ( N - 2 ) ) - ( I ` N ) ) = ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x - S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x ) )
156	155	oveq2d 6318	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) x. ( ( I ` ( N - 2 ) ) - ( I ` N ) ) ) = ( ( N - 1 ) x. ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x - S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x ) ) )
157	117, 142	itgcl 22728	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x e. CC )
158	154, 157	eqeltrd 2510	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( I ` ( N - 2 ) ) e. CC )
159	11, 158, 71	subdid 10075	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) x. ( ( I ` ( N - 2 ) ) - ( I ` N ) ) ) = ( ( ( N - 1 ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) - ( ( N - 1 ) x. ( I ` N ) ) ) )
160	147, 156, 159	3eqtr2d 2469	. . . . . 6 |- ( ph -> ( I ` N ) = ( ( ( N - 1 ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) - ( ( N - 1 ) x. ( I ` N ) ) ) )
161	160	eqcomd 2430	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( N - 1 ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) - ( ( N - 1 ) x. ( I ` N ) ) ) = ( I ` N ) )
162	11, 158	mulcld 9664	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) e. CC )
163	11, 71	mulcld 9664	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) x. ( I ` N ) ) e. CC )
164	162, 163, 71	subaddd 10005	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( N - 1 ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) - ( ( N - 1 ) x. ( I ` N ) ) ) = ( I ` N ) <-> ( ( ( N - 1 ) x. ( I ` N ) ) + ( I ` N ) ) = ( ( N - 1 ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) ) )
165	161, 164	mpbid 213	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( N - 1 ) x. ( I ` N ) ) + ( I ` N ) ) = ( ( N - 1 ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) )
166	8, 72, 165	3eqtrd 2467	. . 3 |- ( ph -> ( N x. ( I ` N ) ) = ( ( N - 1 ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) )
167	166	oveq1d 6317	. 2 |- ( ph -> ( ( N x. ( I ` N ) ) / N ) = ( ( ( N - 1 ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) / N ) )
168	75	nnne0d 10655	. . 3 |- ( ph -> N =/= 0 )
169	71, 4, 168	divcan3d 10389	. 2 |- ( ph -> ( ( N x. ( I ` N ) ) / N ) = ( I ` N ) )
170	11, 158, 4, 168	div23d 10421	. 2 |- ( ph -> ( ( ( N - 1 ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) / N ) = ( ( ( N - 1 ) / N ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) )
171	167, 169, 170	3eqtr3d 2471	1 |- ( ph -> ( I ` N ) = ( ( ( N - 1 ) / N ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1868   _Vcvv 3081   C_ wss 3436   class class class wbr 4420   |-> cmpt 4479   dom cdm 4850   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   CCcc 9538   RRcr 9539   0cc0 9540   1c1 9541   + caddc 9543   x. cmul 9545   < clt 9676   - cmin 9861   -ucneg 9862   / cdiv 10270   NNcn 10610   2c2 10660   NN0cn0 10870   ZZcz 10938   ZZ>=cuz 11160   (,)cioo 11636   [,]cicc 11639   ^cexp 12272   sincsin 14104   cosccos 14105   picpi 14107   -cn->ccncf 21895   volcvol 22402   L^1cibl 22562   S.citg 22563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-inf2 8149  ax-cc 8866  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617  ax-pre-sup 9618  ax-addf 9619  ax-mulf 9620

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-disj 4392  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-se 4810  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-isom 5607  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-of 6542  df-ofr 6543  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-supp 6923  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-omul 7192  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7887  df-fi 7928  df-sup 7959  df-inf 7960  df-oi 8028  df-card 8375  df-acn 8378  df-cda 8599  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-4 10671  df-5 10672  df-6 10673  df-7 10674  df-8 10675  df-9 10676  df-10 10677  df-n0 10871  df-z 10939  df-dec 11053  df-uz 11161  df-q 11266  df-rp 11304  df-xneg 11410  df-xadd 11411  df-xmul 11412  df-ioo 11640  df-ioc 11641  df-ico 11642  df-icc 11643  df-fz 11786  df-fzo 11917  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13119  df-cj 13151  df-re 13152  df-im 13153  df-sqrt 13287  df-abs 13288  df-limsup 13514  df-clim 13540  df-rlim 13541  df-sum 13741  df-ef 14109  df-sin 14111  df-cos 14112  df-pi 14114  df-struct 15111  df-ndx 15112  df-slot 15113  df-base 15114  df-sets 15115  df-ress 15116  df-plusg 15191  df-mulr 15192  df-starv 15193  df-sca 15194  df-vsca 15195  df-ip 15196  df-tset 15197  df-ple 15198  df-ds 15200  df-unif 15201  df-hom 15202  df-cco 15203  df-rest 15309  df-topn 15310  df-0g 15328  df-gsum 15329  df-topgen 15330  df-pt 15331  df-prds 15334  df-xrs 15388  df-qtop 15394  df-imas 15395  df-xps 15398  df-mre 15480  df-mrc 15481  df-acs 15483  df-mgm 16476  df-sgrp 16515  df-mnd 16525  df-submnd 16571  df-mulg 16664  df-cntz 16959  df-cmn 17420  df-psmet 18950  df-xmet 18951  df-met 18952  df-bl 18953  df-mopn 18954  df-fbas 18955  df-fg 18956  df-cnfld 18959  df-top 19908  df-bases 19909  df-topon 19910  df-topsp 19911  df-cld 20021  df-ntr 20022  df-cls 20023  df-nei 20101  df-lp 20139  df-perf 20140  df-cn 20230  df-cnp 20231  df-haus 20318  df-cmp 20389  df-tx 20564  df-hmeo 20757  df-fil 20848  df-fm 20940  df-flim 20941  df-flf 20942  df-xms 21322  df-ms 21323  df-tms 21324  df-cncf 21897  df-ovol 22403  df-vol 22405  df-mbf 22564  df-itg1 22565  df-itg2 22566  df-ibl 22567  df-itg 22568  df-0p 22615  df-limc 22808  df-dv 22809

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