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Theorem itgsinexp 37651
Description: A recursive formula for the integral of sin^N on the interval (0,π) . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsinexp.1  |-  I  =  ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x )
itgsinexp.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
Assertion
Ref Expression
itgsinexp  |-  ( ph  ->  ( I `  N
)  =  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  x.  ( I `  ( N  -  2
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, n, N    ph, n, x
Allowed substitution hints:    I( x, n)

Proof of Theorem itgsinexp
StepHypRef Expression
1 itgsinexp.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
2 eluzelz 11169 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  ZZ )
3 zcn 10943 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
41, 2, 33syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
5 1cnd 9660 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
64, 5npcand 9991 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
76eqcomd 2430 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  =  ( ( N  -  1 )  +  1 ) )
87oveq1d 6317 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  x.  (
I `  N )
)  =  ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  x.  ( I `  N ) ) )
9 uz2m1nn 11234 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  -  1 )  e.  NN )
101, 9syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  NN )
1110nncnd 10626 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  CC )
12 itgsinexp.1 . . . . . . . 8  |-  I  =  ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x )
1312a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  I  =  ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ n )  _d x ) )
14 oveq2 6310 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  N  ->  (
( sin `  x
) ^ n )  =  ( ( sin `  x ) ^ N
) )
1514ad2antlr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  =  N )  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ n )  =  ( ( sin `  x ) ^ N
) )
1615itgeq2dv 22726 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  =  N )  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ N )  _d x )
17 2cnd 10683 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
18 npcan 9885 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
2 )  +  2 )  =  N )
1918eqcomd 2430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  N  =  ( ( N  -  2 )  +  2 ) )
204, 17, 19syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  =  ( ( N  -  2 )  +  2 ) )
21 uznn0sub 11191 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  -  2 )  e. 
NN0 )
221, 21syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  -  2 )  e.  NN0 )
23 2nn0 10887 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  NN0
2423a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  2  e.  NN0 )
2522, 24nn0addcld 10930 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
2 )  +  2 )  e.  NN0 )
2620, 25eqeltrd 2510 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
27 itgex 22715 . . . . . . . 8  |-  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ N )  _d x  e.  _V
2827a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ N )  _d x  e.  _V )
2913, 16, 26, 28fvmptd 5967 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( I `  N
)  =  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ N )  _d x )
30 ioosscn 37422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 (,) pi )  C_  CC
3130sseli 3460 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  x  e.  CC )
3231sincld 14172 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
3332adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
3426adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  N  e.  NN0 )
3533, 34expcld 12416 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ N )  e.  CC )
36 ioossicc 11721 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 (,) pi )  C_  ( 0 [,] pi )
3736a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) pi )  C_  ( 0 [,] pi ) )
38 ioombl 22505 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 (,) pi )  e. 
dom  vol
3938a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) pi )  e.  dom  vol )
40 0re 9644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
41 pire 23400 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  pi  e.  RR
42 iccssre 11717 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( 0 [,] pi )  C_  RR )
4340, 41, 42mp2an 676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 [,] pi )  C_  RR
44 ax-resscn 9597 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  C_  CC
4543, 44sstri 3473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 [,] pi )  C_  CC
4645sseli 3460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  x  e.  CC )
4746sincld 14172 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
4847adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
4926adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  N  e.  NN0 )
5048, 49expcld 12416 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ N )  e.  CC )
5140a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
5241a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR )
5346adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  x  e.  CC )
54 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x ) ^ N ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x ) ^ N
) )
5554fvmpt2 5970 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( sin `  x
) ^ N )  e.  CC )  -> 
( ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x ) ^ N
) ) `  x
)  =  ( ( sin `  x ) ^ N ) )
5653, 50, 55syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) ) `  x )  =  ( ( sin `  x ) ^ N
) )
5756eqcomd 2430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ N )  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x ) ^ N ) ) `
 x ) )
5857mpteq2dva 4507 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) ) `  x ) ) )
59 nfmpt1 4510 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )
60 nfcv 2584 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x sin
61 sincn 23386 . . . . . . . . . . . . 13  |-  sin  e.  ( CC -cn-> CC )
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  sin  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
6360, 62, 26expcnfg 37491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
6445a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0 [,] pi )  C_  CC )
6559, 63, 64cncfmptss 37485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x ) ^ N
) ) `  x
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
6658, 65eqeltrd 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  e.  ( ( 0 [,] pi )
-cn-> CC ) )
67 cniccibl 22785 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  e.  ( ( 0 [,] pi )
-cn-> CC ) )  -> 
( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  e.  L^1 )
6851, 52, 66, 67syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  e.  L^1 )
6937, 39, 50, 68iblss 22749 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  e.  L^1 )
7035, 69itgcl 22728 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ N )  _d x  e.  CC )
7129, 70eqeltrd 2510 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I `  N
)  e.  CC )
7211, 71adddirp1d 37352 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  x.  (
I `  N )
)  =  ( ( ( N  -  1 )  x.  ( I `
 N ) )  +  ( I `  N ) ) )
73 eluz2b2 11232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )
741, 73sylib 199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN  /\  1  <  N ) )
7574simpld 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
76 expm1t 12300 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( sin `  x
)  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( sin `  x
) ^ N )  =  ( ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) )  x.  ( sin `  x
) ) )
7732, 75, 76syl2anr 480 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ N )  =  ( ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) )  x.  ( sin `  x
) ) )
7877itgeq2dv 22726 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ N )  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) )  x.  ( sin `  x ) )  _d x )
79 eqid 2422 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )
80 eqid 2422 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )
81 eqid 2422 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( N  -  1 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( ( N  -  1 )  - 
1 ) ) )  x.  ( cos `  x
) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( N  -  1 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( ( N  -  1 )  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )
82 eqid 2422 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) )  x.  ( sin `  x
) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) )  x.  ( sin `  x ) ) )
83 eqid 2422 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( ( N  - 
1 )  x.  (
( sin `  x
) ^ ( ( N  -  1 )  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( ( N  -  1 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ (
( N  -  1 )  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )
84 eqid 2422 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ (
( N  -  1 )  -  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( ( N  -  1 )  - 
1 ) ) ) )
8579, 80, 81, 82, 83, 84, 10itgsinexplem1 37650 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) )  x.  ( sin `  x
) )  _d x  =  ( ( N  -  1 )  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ (
( N  -  1 )  -  1 ) ) )  _d x ) )
864, 5, 5subsub4d 10018 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  -  1 )  =  ( N  -  ( 1  +  1 ) ) )
87 1p1e2 10724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  +  1 )  =  2
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 1  +  1 )  =  2 )
8988oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( N  -  (
1  +  1 ) )  =  ( N  -  2 ) )
9086, 89eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  -  1 )  =  ( N  -  2 ) )
9190adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( N  -  1 )  -  1 )  =  ( N  - 
2 ) )
9291oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ ( ( N  -  1 )  -  1 ) )  =  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) )
9392oveq2d 6318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ (
( N  -  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) ) )
9493itgeq2dv 22726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ (
( N  -  1 )  -  1 ) ) )  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) )  _d x )
9594oveq2d 6318 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( ( N  -  1 )  -  1 ) ) )  _d x )  =  ( ( N  -  1 )  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) )  _d x ) )
96 sincossq 14218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( ( sin `  x
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  x ) ^ 2 ) )  =  1 )
97 1cnd 9660 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  CC  ->  1  e.  CC )
98 sincl 14168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  CC  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
9998sqcld 12414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( sin `  x
) ^ 2 )  e.  CC )
100 coscl 14169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  CC  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
101100sqcld 12414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( cos `  x
) ^ 2 )  e.  CC )
10297, 99, 101subaddd 10005 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( 1  -  (
( sin `  x
) ^ 2 ) )  =  ( ( cos `  x ) ^ 2 )  <->  ( (
( sin `  x
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  x ) ^ 2 ) )  =  1 ) )
10396, 102mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  -  ( ( sin `  x ) ^ 2 ) )  =  ( ( cos `  x ) ^ 2 ) )
104103eqcomd 2430 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( cos `  x
) ^ 2 )  =  ( 1  -  ( ( sin `  x
) ^ 2 ) ) )
10531, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
( cos `  x
) ^ 2 )  =  ( 1  -  ( ( sin `  x
) ^ 2 ) ) )
106105oveq1d 6317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) )  =  ( ( 1  -  (
( sin `  x
) ^ 2 ) )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) ) ) )
107106adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) )  =  ( ( 1  -  (
( sin `  x
) ^ 2 ) )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) ) ) )
108107itgeq2dv 22726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) )  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) ( ( 1  -  (
( sin `  x
) ^ 2 ) )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) ) )  _d x )
109 1cnd 9660 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  1  e.  CC )
11032sqcld 12414 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
( sin `  x
) ^ 2 )  e.  CC )
111110adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ 2 )  e.  CC )
11290eqcomd 2430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( N  -  2 )  =  ( ( N  -  1 )  -  1 ) )
113 nnm1nn0 10912 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  -  1 )  e.  NN0 )
11410, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  -  1 )  e.  NN0 )
115112, 114eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( N  -  2 )  e.  NN0 )
116115adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( N  -  2 )  e.  NN0 )
11733, 116expcld 12416 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  e.  CC )
118109, 111, 117subdird 10076 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( 1  -  (
( sin `  x
) ^ 2 ) )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) )  -  (
( ( sin `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) ) ) )
119117mulid2d 9662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
1  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) ) )  =  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) )
12023a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  2  e.  NN0 )
12133, 116, 120expaddd 12418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ ( 2  +  ( N  - 
2 ) ) )  =  ( ( ( sin `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) ) ) )
12217, 4pncan3d 9990 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  +  ( N  -  2 ) )  =  N )
123122oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  x
) ^ ( 2  +  ( N  - 
2 ) ) )  =  ( ( sin `  x ) ^ N
) )
124123adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ ( 2  +  ( N  - 
2 ) ) )  =  ( ( sin `  x ) ^ N
) )
125121, 124eqtr3d 2465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( ( sin `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) )  =  ( ( sin `  x
) ^ N ) )
126119, 125oveq12d 6320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( 1  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) ) )  -  ( ( ( sin `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) ) )  =  ( ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) )  -  ( ( sin `  x ) ^ N ) ) )
127118, 126eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( 1  -  (
( sin `  x
) ^ 2 ) )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) ) )  =  ( ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) )  -  ( ( sin `  x
) ^ N ) ) )
128127itgeq2dv 22726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( 1  -  ( ( sin `  x ) ^ 2 ) )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) )  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  -  ( ( sin `  x ) ^ N
) )  _d x )
129115adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( N  -  2 )  e.  NN0 )
13048, 129expcld 12416 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  e.  CC )
131 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) )
132131fvmpt2 5970 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  e.  CC )  -> 
( ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) ) `  x
)  =  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) ) )
13353, 130, 132syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) ) ) `  x )  =  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) )
134133eqcomd 2430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) ) ) `
 x ) )
135134mpteq2dva 4507 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) ) ) `  x ) ) )
136 nfmpt1 4510 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x
( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) ) )
13760, 62, 115expcnfg 37491 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
138136, 137, 64cncfmptss 37485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) ) `  x
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
139135, 138eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) ) )  e.  ( ( 0 [,] pi )
-cn-> CC ) )
140 cniccibl 22785 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) ) )  e.  ( ( 0 [,] pi )
-cn-> CC ) )  -> 
( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) ) )  e.  L^1 )
14151, 52, 139, 140syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) ) )  e.  L^1 )
14237, 39, 130, 141iblss 22749 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) ) )  e.  L^1 )
143117, 142, 35, 69itgsub 22770 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  -  ( ( sin `  x ) ^ N
) )  _d x  =  ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  _d x  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ N
)  _d x ) )
144108, 128, 1433eqtrd 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) )  _d x  =  ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  _d x  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ N
)  _d x ) )
145144oveq2d 6318 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) ) )  _d x )  =  ( ( N  -  1 )  x.  ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  _d x  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ N
)  _d x ) ) )
14685, 95, 1453eqtrd 2467 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) )  x.  ( sin `  x
) )  _d x  =  ( ( N  -  1 )  x.  ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  _d x  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ N
)  _d x ) ) )
14729, 78, 1463eqtrd 2467 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( I `  N
)  =  ( ( N  -  1 )  x.  ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  _d x  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ N
)  _d x ) ) )
148 oveq2 6310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( N  - 
2 )  ->  (
( sin `  x
) ^ n )  =  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) )
149148adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  =  ( N  -  2 )  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( ( sin `  x ) ^ n
)  =  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) ) )
150149itgeq2dv 22726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( N  - 
2 )  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) )  _d x )
151150adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  =  ( N  -  2
) )  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) )  _d x )
152 itgex 22715 . . . . . . . . . . 11  |-  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  _d x  e.  _V
153152a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) )  _d x  e.  _V )
15413, 151, 115, 153fvmptd 5967 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( I `  ( N  -  2 ) )  =  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  _d x )
155154, 29oveq12d 6320 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( I `  ( N  -  2
) )  -  (
I `  N )
)  =  ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) )  _d x  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ N
)  _d x ) )
156155oveq2d 6318 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  x.  (
( I `  ( N  -  2 ) )  -  ( I `
 N ) ) )  =  ( ( N  -  1 )  x.  ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  _d x  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ N
)  _d x ) ) )
157117, 142itgcl 22728 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) )  _d x  e.  CC )
158154, 157eqeltrd 2510 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( I `  ( N  -  2 ) )  e.  CC )
15911, 158, 71subdid 10075 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  x.  (
( I `  ( N  -  2 ) )  -  ( I `
 N ) ) )  =  ( ( ( N  -  1 )  x.  ( I `
 ( N  - 
2 ) ) )  -  ( ( N  -  1 )  x.  ( I `  N
) ) ) )
160147, 156, 1593eqtr2d 2469 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( I `  N
)  =  ( ( ( N  -  1 )  x.  ( I `
 ( N  - 
2 ) ) )  -  ( ( N  -  1 )  x.  ( I `  N
) ) ) )
161160eqcomd 2430 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  1 )  x.  ( I `  ( N  -  2 ) ) )  -  (
( N  -  1 )  x.  ( I `
 N ) ) )  =  ( I `
 N ) )
16211, 158mulcld 9664 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  x.  (
I `  ( N  -  2 ) ) )  e.  CC )
16311, 71mulcld 9664 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  x.  (
I `  N )
)  e.  CC )
164162, 163, 71subaddd 10005 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( N  -  1 )  x.  ( I `  ( N  -  2
) ) )  -  ( ( N  - 
1 )  x.  (
I `  N )
) )  =  ( I `  N )  <-> 
( ( ( N  -  1 )  x.  ( I `  N
) )  +  ( I `  N ) )  =  ( ( N  -  1 )  x.  ( I `  ( N  -  2
) ) ) ) )
165161, 164mpbid 213 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  1 )  x.  ( I `  N
) )  +  ( I `  N ) )  =  ( ( N  -  1 )  x.  ( I `  ( N  -  2
) ) ) )
1668, 72, 1653eqtrd 2467 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  x.  (
I `  N )
)  =  ( ( N  -  1 )  x.  ( I `  ( N  -  2
) ) ) )
167166oveq1d 6317 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N  x.  ( I `  N
) )  /  N
)  =  ( ( ( N  -  1 )  x.  ( I `
 ( N  - 
2 ) ) )  /  N ) )
16875nnne0d 10655 . . 3  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
16971, 4, 168divcan3d 10389 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N  x.  ( I `  N
) )  /  N
)  =  ( I `
 N ) )
17011, 158, 4, 168div23d 10421 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  1 )  x.  ( I `  ( N  -  2 ) ) )  /  N
)  =  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  x.  ( I `  ( N  -  2
) ) ) )
171167, 169, 1703eqtr3d 2471 1  |-  ( ph  ->  ( I `  N
)  =  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  x.  ( I `  ( N  -  2
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868   _Vcvv 3081    C_ wss 3436   class class class wbr 4420    |-> cmpt 4479   dom cdm 4850   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   CCcc 9538   RRcr 9539   0cc0 9540   1c1 9541    + caddc 9543    x. cmul 9545    < clt 9676    - cmin 9861   -ucneg 9862    / cdiv 10270   NNcn 10610   2c2 10660   NN0cn0 10870   ZZcz 10938   ZZ>=cuz 11160   (,)cioo 11636   [,]cicc 11639   ^cexp 12272   sincsin 14104   cosccos 14105   picpi 14107   -cn->ccncf 21895   volcvol 22402   L^1cibl 22562   S.citg 22563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-inf2 8149  ax-cc 8866  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617  ax-pre-sup 9618  ax-addf 9619  ax-mulf 9620
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-disj 4392  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-se 4810  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-isom 5607  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-of 6542  df-ofr 6543  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-supp 6923  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-omul 7192  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7887  df-fi 7928  df-sup 7959  df-inf 7960  df-oi 8028  df-card 8375  df-acn 8378  df-cda 8599  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-4 10671  df-5 10672  df-6 10673  df-7 10674  df-8 10675  df-9 10676  df-10 10677  df-n0 10871  df-z 10939  df-dec 11053  df-uz 11161  df-q 11266  df-rp 11304  df-xneg 11410  df-xadd 11411  df-xmul 11412  df-ioo 11640  df-ioc 11641  df-ico 11642  df-icc 11643  df-fz 11786  df-fzo 11917  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13119  df-cj 13151  df-re 13152  df-im 13153  df-sqrt 13287  df-abs 13288  df-limsup 13514  df-clim 13540  df-rlim 13541  df-sum 13741  df-ef 14109  df-sin 14111  df-cos 14112  df-pi 14114  df-struct 15111  df-ndx 15112  df-slot 15113  df-base 15114  df-sets 15115  df-ress 15116  df-plusg 15191  df-mulr 15192  df-starv 15193  df-sca 15194  df-vsca 15195  df-ip 15196  df-tset 15197  df-ple 15198  df-ds 15200  df-unif 15201  df-hom 15202  df-cco 15203  df-rest 15309  df-topn 15310  df-0g 15328  df-gsum 15329  df-topgen 15330  df-pt 15331  df-prds 15334  df-xrs 15388  df-qtop 15394  df-imas 15395  df-xps 15398  df-mre 15480  df-mrc 15481  df-acs 15483  df-mgm 16476  df-sgrp 16515  df-mnd 16525  df-submnd 16571  df-mulg 16664  df-cntz 16959  df-cmn 17420  df-psmet 18950  df-xmet 18951  df-met 18952  df-bl 18953  df-mopn 18954  df-fbas 18955  df-fg 18956  df-cnfld 18959  df-top 19908  df-bases 19909  df-topon 19910  df-topsp 19911  df-cld 20021  df-ntr 20022  df-cls 20023  df-nei 20101  df-lp 20139  df-perf 20140  df-cn 20230  df-cnp 20231  df-haus 20318  df-cmp 20389  df-tx 20564  df-hmeo 20757  df-fil 20848  df-fm 20940  df-flim 20941  df-flf 20942  df-xms 21322  df-ms 21323  df-tms 21324  df-cncf 21897  df-ovol 22403  df-vol 22405  df-mbf 22564  df-itg1 22565  df-itg2 22566  df-ibl 22567  df-itg 22568  df-0p 22615  df-limc 22808  df-dv 22809
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