Theorem itgsinexp 37928

Description: A recursive formula for the integral of sin^N on the interval (0,π) . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgsinexp.1	|- I = ( n e. NN0 |-> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x )
itgsinexp.2	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )

Assertion

Ref	Expression
itgsinexp	|- ( ph -> ( I ` N ) = ( ( ( N - 1 ) / N ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, n, N   ph, n, x

Allowed substitution hints:   I( x, n)

Proof of Theorem itgsinexp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgsinexp.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
2		eluzelz 11192	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. ZZ )
3		zcn 10966	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
4	1, 2, 3	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. CC )
5		1cnd 9677	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. CC )
6	4, 5	npcand 10009	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
7	6	eqcomd 2477	. . . . 5 |- ( ph -> N = ( ( N - 1 ) + 1 ) )
8	7	oveq1d 6323	. . . 4 |- ( ph -> ( N x. ( I ` N ) ) = ( ( ( N - 1 ) + 1 ) x. ( I ` N ) ) )
9		uz2m1nn 11256	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N - 1 ) e. NN )
10	1, 9	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. NN )
11	10	nncnd 10647	. . . . 5 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. CC )
12		itgsinexp.1	. . . . . . . 8 |- I = ( n e. NN0 |-> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x )
13	12	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> I = ( n e. NN0 |-> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x ) )
14		oveq2 6316	. . . . . . . . 9 |- ( n = N -> ( ( sin ` x ) ^ n ) = ( ( sin ` x ) ^ N ) )
15	14	ad2antlr 741	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n = N ) /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ n ) = ( ( sin ` x ) ^ N ) )
16	15	itgeq2dv 22818	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n = N ) -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x = S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x )
17		2cnd 10704	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 2 e. CC )
18		npcan 9904	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( ( N - 2 ) + 2 ) = N )
19	18	eqcomd 2477	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. CC /\ 2 e. CC ) -> N = ( ( N - 2 ) + 2 ) )
20	4, 17, 19	syl2anc 673	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N = ( ( N - 2 ) + 2 ) )
21		uznn0sub 11214	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N - 2 ) e. NN0 )
22	1, 21	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( N - 2 ) e. NN0 )
23		2nn0 10910	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. NN0
24	23	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 2 e. NN0 )
25	22, 24	nn0addcld 10953	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( N - 2 ) + 2 ) e. NN0 )
26	20, 25	eqeltrd 2549	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. NN0 )
27		itgex 22807	. . . . . . . 8 |- S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x e. _V
28	27	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x e. _V )
29	13, 16, 26, 28	fvmptd 5969	. . . . . 6 |- ( ph -> ( I ` N ) = S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x )
30		ioosscn 37687	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 (,) pi ) C_ CC
31	30	sseli 3414	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> x e. CC )
32	31	sincld 14261	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( sin ` x ) e. CC )
33	32	adantl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( sin ` x ) e. CC )
34	26	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> N e. NN0 )
35	33, 34	expcld 12454	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) e. CC )
36		ioossicc 11745	. . . . . . . . 9 |- ( 0 (,) pi ) C_ ( 0 [,] pi )
37	36	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 0 (,) pi ) C_ ( 0 [,] pi ) )
38		ioombl 22597	. . . . . . . . 9 |- ( 0 (,) pi ) e. dom vol
39	38	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 0 (,) pi ) e. dom vol )
40		0re 9661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. RR
41		pire 23492	. . . . . . . . . . . . . 14 |- pi e. RR
42		iccssre 11741	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR ) -> ( 0 [,] pi ) C_ RR )
43	40, 41, 42	mp2an 686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 [,] pi ) C_ RR
44		ax-resscn 9614	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR C_ CC
45	43, 44	sstri 3427	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 [,] pi ) C_ CC
46	45	sseli 3414	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 0 [,] pi ) -> x e. CC )
47	46	sincld 14261	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0 [,] pi ) -> ( sin ` x ) e. CC )
48	47	adantl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( sin ` x ) e. CC )
49	26	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> N e. NN0 )
50	48, 49	expcld 12454	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) e. CC )
51	40	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 e. RR )
52	41	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> pi e. RR )
53	46	adantl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> x e. CC )
54		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) = ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) )
55	54	fvmpt2 5972	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CC /\ ( ( sin ` x ) ^ N ) e. CC ) -> ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) ` x ) = ( ( sin ` x ) ^ N ) )
56	53, 50, 55	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) ` x ) = ( ( sin ` x ) ^ N ) )
57	56	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) = ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) ` x ) )
58	57	mpteq2dva 4482	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) = ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) ` x ) ) )
59		nfmpt1 4485	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) )
60		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x sin
61		sincn 23478	. . . . . . . . . . . . 13 |- sin e. ( CC -cn-> CC )
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> sin e. ( CC -cn-> CC ) )
63	60, 62, 26	expcnfg 37768	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
64	45	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 0 [,] pi ) C_ CC )
65	59, 63, 64	cncfmptss 37762	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) ` x ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
66	58, 65	eqeltrd 2549	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
67		cniccibl 22877	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR /\ ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) ) -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) e. L^1 )
68	51, 52, 66, 67	syl3anc 1292	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) e. L^1 )
69	37, 39, 50, 68	iblss 22841	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) e. L^1 )
70	35, 69	itgcl 22820	. . . . . 6 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x e. CC )
71	29, 70	eqeltrd 2549	. . . . 5 |- ( ph -> ( I ` N ) e. CC )
72	11, 71	adddirp1d 37598	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) x. ( I ` N ) ) = ( ( ( N - 1 ) x. ( I ` N ) ) + ( I ` N ) ) )
73		eluz2b2 11254	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( N e. NN /\ 1 < N ) )
74	1, 73	sylib 201	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( N e. NN /\ 1 < N ) )
75	74	simpld 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. NN )
76		expm1t 12338	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( sin ` x ) e. CC /\ N e. NN ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) = ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) x. ( sin ` x ) ) )
77	32, 75, 76	syl2anr 486	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) = ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) x. ( sin ` x ) ) )
78	77	itgeq2dv 22818	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x = S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) x. ( sin ` x ) ) _d x )
79		eqid 2471	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) )
80		eqid 2471	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC |-> -u ( cos ` x ) ) = ( x e. CC |-> -u ( cos ` x ) )
81		eqid 2471	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC |-> ( ( ( N - 1 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( ( N - 1 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) )
82		eqid 2471	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC |-> ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) x. ( sin ` x ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) x. ( sin ` x ) ) )
83		eqid 2471	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC |-> ( ( ( ( N - 1 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( ( ( N - 1 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) )
84		eqid 2471	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC |-> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ) )
85	79, 80, 81, 82, 83, 84, 10	itgsinexplem1 37927	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) x. ( sin ` x ) ) _d x = ( ( N - 1 ) x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ) _d x ) )
86	4, 5, 5	subsub4d 10036	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) - 1 ) = ( N - ( 1 + 1 ) ) )
87		1p1e2 10745	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 + 1 ) = 2
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 1 + 1 ) = 2 )
89	88	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( N - ( 1 + 1 ) ) = ( N - 2 ) )
90	86, 89	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) - 1 ) = ( N - 2 ) )
91	90	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( N - 1 ) - 1 ) = ( N - 2 ) )
92	91	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ ( ( N - 1 ) - 1 ) ) = ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) )
93	92	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) )
94	93	itgeq2dv 22818	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ) _d x = S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) _d x )
95	94	oveq2d 6324	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ) _d x ) = ( ( N - 1 ) x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) _d x ) )
96		sincossq 14307	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. CC -> ( ( ( sin ` x ) ^ 2 ) + ( ( cos ` x ) ^ 2 ) ) = 1 )
97		1cnd 9677	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. CC -> 1 e. CC )
98		sincl 14257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. CC -> ( sin ` x ) e. CC )
99	98	sqcld 12452	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. CC -> ( ( sin ` x ) ^ 2 ) e. CC )
100		coscl 14258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. CC -> ( cos ` x ) e. CC )
101	100	sqcld 12452	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. CC -> ( ( cos ` x ) ^ 2 ) e. CC )
102	97, 99, 101	subaddd 10023	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. CC -> ( ( 1 - ( ( sin ` x ) ^ 2 ) ) = ( ( cos ` x ) ^ 2 ) <-> ( ( ( sin ` x ) ^ 2 ) + ( ( cos ` x ) ^ 2 ) ) = 1 ) )
103	96, 102	mpbird 240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> ( 1 - ( ( sin ` x ) ^ 2 ) ) = ( ( cos ` x ) ^ 2 ) )
104	103	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> ( ( cos ` x ) ^ 2 ) = ( 1 - ( ( sin ` x ) ^ 2 ) ) )
105	31, 104	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( ( cos ` x ) ^ 2 ) = ( 1 - ( ( sin ` x ) ^ 2 ) ) )
106	105	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) = ( ( 1 - ( ( sin ` x ) ^ 2 ) ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) )
107	106	adantl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) = ( ( 1 - ( ( sin ` x ) ^ 2 ) ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) )
108	107	itgeq2dv 22818	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) _d x = S. ( 0 (,) pi ) ( ( 1 - ( ( sin ` x ) ^ 2 ) ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) _d x )
109		1cnd 9677	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> 1 e. CC )
110	32	sqcld 12452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( ( sin ` x ) ^ 2 ) e. CC )
111	110	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ 2 ) e. CC )
112	90	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( N - 2 ) = ( ( N - 1 ) - 1 ) )
113		nnm1nn0 10935	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N - 1 ) e. NN -> ( ( N - 1 ) - 1 ) e. NN0 )
114	10, 113	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) - 1 ) e. NN0 )
115	112, 114	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( N - 2 ) e. NN0 )
116	115	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( N - 2 ) e. NN0 )
117	33, 116	expcld 12454	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) e. CC )
118	109, 111, 117	subdird 10096	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( 1 - ( ( sin ` x ) ^ 2 ) ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) = ( ( 1 x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) - ( ( ( sin ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) ) )
119	117	mulid2d 9679	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( 1 x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) = ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) )
120	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> 2 e. NN0 )
121	33, 116, 120	expaddd 12456	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ ( 2 + ( N - 2 ) ) ) = ( ( ( sin ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) )
122	17, 4	pncan3d 10008	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 2 + ( N - 2 ) ) = N )
123	122	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( sin ` x ) ^ ( 2 + ( N - 2 ) ) ) = ( ( sin ` x ) ^ N ) )
124	123	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ ( 2 + ( N - 2 ) ) ) = ( ( sin ` x ) ^ N ) )
125	121, 124	eqtr3d 2507	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( ( sin ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) = ( ( sin ` x ) ^ N ) )
126	119, 125	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( 1 x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) - ( ( ( sin ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) ) = ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) - ( ( sin ` x ) ^ N ) ) )
127	118, 126	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( 1 - ( ( sin ` x ) ^ 2 ) ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) = ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) - ( ( sin ` x ) ^ N ) ) )
128	127	itgeq2dv 22818	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( 1 - ( ( sin ` x ) ^ 2 ) ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) _d x = S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) - ( ( sin ` x ) ^ N ) ) _d x )
129	115	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( N - 2 ) e. NN0 )
130	48, 129	expcld 12454	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) e. CC )
131		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) )
132	131	fvmpt2 5972	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. CC /\ ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) e. CC ) -> ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) ` x ) = ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) )
133	53, 130, 132	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) ` x ) = ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) )
134	133	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) = ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) ` x ) )
135	134	mpteq2dva 4482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) = ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) ` x ) ) )
136		nfmpt1 4485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ x ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) )
137	60, 62, 115	expcnfg 37768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
138	136, 137, 64	cncfmptss 37762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) ` x ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
139	135, 138	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
140		cniccibl 22877	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR /\ ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) ) -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) e. L^1 )
141	51, 52, 139, 140	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) e. L^1 )
142	37, 39, 130, 141	iblss 22841	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) e. L^1 )
143	117, 142, 35, 69	itgsub 22862	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) - ( ( sin ` x ) ^ N ) ) _d x = ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x - S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x ) )
144	108, 128, 143	3eqtrd 2509	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) _d x = ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x - S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x ) )
145	144	oveq2d 6324	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) _d x ) = ( ( N - 1 ) x. ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x - S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x ) ) )
146	85, 95, 145	3eqtrd 2509	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) x. ( sin ` x ) ) _d x = ( ( N - 1 ) x. ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x - S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x ) ) )
147	29, 78, 146	3eqtrd 2509	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( I ` N ) = ( ( N - 1 ) x. ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x - S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x ) ) )
148		oveq2 6316	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( N - 2 ) -> ( ( sin ` x ) ^ n ) = ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) )
149	148	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n = ( N - 2 ) /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ n ) = ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) )
150	149	itgeq2dv 22818	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( N - 2 ) -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x = S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x )
151	150	adantl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n = ( N - 2 ) ) -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x = S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x )
152		itgex 22807	. . . . . . . . . . 11 |- S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x e. _V
153	152	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x e. _V )
154	13, 151, 115, 153	fvmptd 5969	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( I ` ( N - 2 ) ) = S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x )
155	154, 29	oveq12d 6326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( I ` ( N - 2 ) ) - ( I ` N ) ) = ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x - S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x ) )
156	155	oveq2d 6324	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) x. ( ( I ` ( N - 2 ) ) - ( I ` N ) ) ) = ( ( N - 1 ) x. ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x - S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x ) ) )
157	117, 142	itgcl 22820	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x e. CC )
158	154, 157	eqeltrd 2549	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( I ` ( N - 2 ) ) e. CC )
159	11, 158, 71	subdid 10095	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) x. ( ( I ` ( N - 2 ) ) - ( I ` N ) ) ) = ( ( ( N - 1 ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) - ( ( N - 1 ) x. ( I ` N ) ) ) )
160	147, 156, 159	3eqtr2d 2511	. . . . . 6 |- ( ph -> ( I ` N ) = ( ( ( N - 1 ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) - ( ( N - 1 ) x. ( I ` N ) ) ) )
161	160	eqcomd 2477	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( N - 1 ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) - ( ( N - 1 ) x. ( I ` N ) ) ) = ( I ` N ) )
162	11, 158	mulcld 9681	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) e. CC )
163	11, 71	mulcld 9681	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) x. ( I ` N ) ) e. CC )
164	162, 163, 71	subaddd 10023	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( N - 1 ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) - ( ( N - 1 ) x. ( I ` N ) ) ) = ( I ` N ) <-> ( ( ( N - 1 ) x. ( I ` N ) ) + ( I ` N ) ) = ( ( N - 1 ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) ) )
165	161, 164	mpbid 215	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( N - 1 ) x. ( I ` N ) ) + ( I ` N ) ) = ( ( N - 1 ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) )
166	8, 72, 165	3eqtrd 2509	. . 3 |- ( ph -> ( N x. ( I ` N ) ) = ( ( N - 1 ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) )
167	166	oveq1d 6323	. 2 |- ( ph -> ( ( N x. ( I ` N ) ) / N ) = ( ( ( N - 1 ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) / N ) )
168	75	nnne0d 10676	. . 3 |- ( ph -> N =/= 0 )
169	71, 4, 168	divcan3d 10410	. 2 |- ( ph -> ( ( N x. ( I ` N ) ) / N ) = ( I ` N ) )
170	11, 158, 4, 168	div23d 10442	. 2 |- ( ph -> ( ( ( N - 1 ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) / N ) = ( ( ( N - 1 ) / N ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) )
171	167, 169, 170	3eqtr3d 2513	1 |- ( ph -> ( I ` N ) = ( ( ( N - 1 ) / N ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   _Vcvv 3031   C_ wss 3390   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   < clt 9693   - cmin 9880   -ucneg 9881   / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   (,)cioo 11660   [,]cicc 11663   ^cexp 12310   sincsin 14193   cosccos 14194   picpi 14196   -cn->ccncf 21986   volcvol 22493   L^1cibl 22654   S.citg 22655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-mbf 22656  df-itg1 22657  df-itg2 22658  df-ibl 22659  df-itg 22660  df-0p 22707  df-limc 22900  df-dv 22901

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