Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgsinexp Structured version   Unicode version

Theorem itgsinexp 31272
Description: A recursive formula for the integral of sin^N on the interval (0,π) . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsinexp.1  |-  I  =  ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x )
itgsinexp.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
Assertion
Ref Expression
itgsinexp  |-  ( ph  ->  ( I `  N
)  =  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  x.  ( I `  ( N  -  2
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, n, N    ph, n, x
Allowed substitution hints:    I( x, n)

Proof of Theorem itgsinexp
StepHypRef Expression
1 itgsinexp.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
2 eluzelz 11087 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  ZZ )
3 zcn 10865 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
41, 2, 33syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
5 ax-1cn 9546 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
65a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
74, 6npcand 9930 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
87eqcomd 2475 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  =  ( ( N  -  1 )  +  1 ) )
98oveq1d 6297 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  x.  (
I `  N )
)  =  ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  x.  ( I `  N ) ) )
10 uz2m1nn 11152 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  -  1 )  e.  NN )
111, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  NN )
1211nncnd 10548 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  CC )
13 itgsinexp.1 . . . . . . . . 9  |-  I  =  ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x )
1413a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  I  =  ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ n )  _d x ) )
15 oveq2 6290 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  N  ->  (
( sin `  x
) ^ n )  =  ( ( sin `  x ) ^ N
) )
1615ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  =  N )  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ n )  =  ( ( sin `  x ) ^ N
) )
1716itgeq2dv 21920 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  =  N )  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ N )  _d x )
18 2cnd 10604 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
19 npcan 9825 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
2 )  +  2 )  =  N )
2019eqcomd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  N  =  ( ( N  -  2 )  +  2 ) )
214, 18, 20syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  =  ( ( N  -  2 )  +  2 ) )
22 uznn0sub 11109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  -  2 )  e. 
NN0 )
231, 22syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  -  2 )  e.  NN0 )
24 2nn0 10808 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN0
2524a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2  e.  NN0 )
2623, 25nn0addcld 10852 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
2 )  +  2 )  e.  NN0 )
2721, 26eqeltrd 2555 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
28 itgex 21909 . . . . . . . . 9  |-  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ N )  _d x  e.  _V
2928a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ N )  _d x  e.  _V )
3014, 17, 27, 29fvmptd 5953 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( I `  N
)  =  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ N )  _d x )
31 ioossre 11582 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 (,) pi )  C_  RR
32 ax-resscn 9545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  C_  CC
3331, 32sstri 3513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 (,) pi )  C_  CC
3433sseli 3500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  x  e.  CC )
3534sincld 13719 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
3635adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
3727adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  N  e.  NN0 )
3836, 37expcld 12272 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ N )  e.  CC )
39 ioossicc 11606 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 (,) pi )  C_  ( 0 [,] pi )
4039a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) pi )  C_  ( 0 [,] pi ) )
41 ioombl 21707 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 (,) pi )  e. 
dom  vol
4241a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0 (,) pi )  e.  dom  vol )
43 0re 9592 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
44 pire 22582 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  pi  e.  RR
45 iccssre 11602 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( 0 [,] pi )  C_  RR )
4643, 44, 45mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0 [,] pi )  C_  RR
4746, 32sstri 3513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 [,] pi )  C_  CC
4847sseli 3500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  x  e.  CC )
4948sincld 13719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
5049adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
5127adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  N  e.  NN0 )
5250, 51expcld 12272 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ N )  e.  CC )
5343a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
5444a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR )
5548adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  x  e.  CC )
56 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x ) ^ N ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x ) ^ N
) )
5756fvmpt2 5955 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( sin `  x
) ^ N )  e.  CC )  -> 
( ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x ) ^ N
) ) `  x
)  =  ( ( sin `  x ) ^ N ) )
5855, 52, 57syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) ) `  x )  =  ( ( sin `  x ) ^ N
) )
5958eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ N )  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x ) ^ N ) ) `
 x ) )
6059mpteq2dva 4533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) ) `  x ) ) )
61 nfmpt1 4536 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )
62 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x sin
63 sincn 22570 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  sin  e.  ( CC -cn-> CC )
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  sin  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
6562, 64, 27expcnfg 31142 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
6647a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0 [,] pi )  C_  CC )
6761, 65, 66cncfmptss 31137 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x ) ^ N
) ) `  x
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
6860, 67eqeltrd 2555 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  e.  ( ( 0 [,] pi )
-cn-> CC ) )
69 cniccibl 21979 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  e.  ( ( 0 [,] pi )
-cn-> CC ) )  -> 
( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  e.  L^1 )
7053, 54, 68, 69syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  e.  L^1 )
7140, 42, 52, 70iblss 21943 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  e.  L^1 )
7238, 71itgcl 21922 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ N )  _d x  e.  CC )
7330, 72eqeltrd 2555 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( I `  N
)  e.  CC )
7412, 6, 73adddird 9617 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  x.  (
I `  N )
)  =  ( ( ( N  -  1 )  x.  ( I `
 N ) )  +  ( 1  x.  ( I `  N
) ) ) )
7573mulid2d 9610 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  (
I `  N )
)  =  ( I `
 N ) )
7675oveq2d 6298 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  1 )  x.  ( I `  N
) )  +  ( 1  x.  ( I `
 N ) ) )  =  ( ( ( N  -  1 )  x.  ( I `
 N ) )  +  ( I `  N ) ) )
7774, 76eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  x.  (
I `  N )
)  =  ( ( ( N  -  1 )  x.  ( I `
 N ) )  +  ( I `  N ) ) )
78 eluz2b2 11150 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )
791, 78sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN  /\  1  <  N ) )
8079simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
81 expm1t 12156 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( sin `  x
)  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( sin `  x
) ^ N )  =  ( ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) )  x.  ( sin `  x
) ) )
8235, 80, 81syl2anr 478 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ N )  =  ( ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) )  x.  ( sin `  x
) ) )
8382itgeq2dv 21920 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ N )  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) )  x.  ( sin `  x ) )  _d x )
84 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )
85 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )
86 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( N  -  1 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( ( N  -  1 )  - 
1 ) ) )  x.  ( cos `  x
) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( N  -  1 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( ( N  -  1 )  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) ) )
87 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) )  x.  ( sin `  x
) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  1 ) )  x.  ( sin `  x ) ) )
88 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( ( N  - 
1 )  x.  (
( sin `  x
) ^ ( ( N  -  1 )  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( ( N  -  1 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ (
( N  -  1 )  -  1 ) ) )  x.  ( cos `  x ) )  x.  -u ( cos `  x
) ) )
89 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ (
( N  -  1 )  -  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( ( N  -  1 )  - 
1 ) ) ) )
9084, 85, 86, 87, 88, 89, 11itgsinexplem1 31271 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) )  x.  ( sin `  x
) )  _d x  =  ( ( N  -  1 )  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ (
( N  -  1 )  -  1 ) ) )  _d x ) )
914, 6, 6subsub4d 9957 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  -  1 )  =  ( N  -  ( 1  +  1 ) ) )
92 1p1e2 10645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  +  1 )  =  2
9392a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 1  +  1 )  =  2 )
9493oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( N  -  (
1  +  1 ) )  =  ( N  -  2 ) )
9591, 94eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  -  1 )  =  ( N  -  2 ) )
9695adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( N  -  1 )  -  1 )  =  ( N  - 
2 ) )
9796oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ ( ( N  -  1 )  -  1 ) )  =  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) )
9897oveq2d 6298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ (
( N  -  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) ) )
9998itgeq2dv 21920 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ (
( N  -  1 )  -  1 ) ) )  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) )  _d x )
10099oveq2d 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( ( N  -  1 )  -  1 ) ) )  _d x )  =  ( ( N  -  1 )  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) )  _d x ) )
101 sincossq 13765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( ( sin `  x
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  x ) ^ 2 ) )  =  1 )
1025a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  CC  ->  1  e.  CC )
103 sincl 13715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  CC  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
104103sqcld 12270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( sin `  x
) ^ 2 )  e.  CC )
105 coscl 13716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  CC  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
106105sqcld 12270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( cos `  x
) ^ 2 )  e.  CC )
107102, 104, 106subaddd 9944 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( 1  -  (
( sin `  x
) ^ 2 ) )  =  ( ( cos `  x ) ^ 2 )  <->  ( (
( sin `  x
) ^ 2 )  +  ( ( cos `  x ) ^ 2 ) )  =  1 ) )
108101, 107mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  -  ( ( sin `  x ) ^ 2 ) )  =  ( ( cos `  x ) ^ 2 ) )
109108eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( cos `  x
) ^ 2 )  =  ( 1  -  ( ( sin `  x
) ^ 2 ) ) )
11034, 109syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
( cos `  x
) ^ 2 )  =  ( 1  -  ( ( sin `  x
) ^ 2 ) ) )
111110oveq1d 6297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) )  =  ( ( 1  -  (
( sin `  x
) ^ 2 ) )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) ) ) )
112111adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) )  =  ( ( 1  -  (
( sin `  x
) ^ 2 ) )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) ) ) )
113112itgeq2dv 21920 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) )  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) ( ( 1  -  (
( sin `  x
) ^ 2 ) )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) ) )  _d x )
1145a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  1  e.  CC )
11535sqcld 12270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
( sin `  x
) ^ 2 )  e.  CC )
116115adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ 2 )  e.  CC )
11795eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( N  -  2 )  =  ( ( N  -  1 )  -  1 ) )
118 nnm1nn0 10833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  -  1 )  e.  NN0 )
11911, 118syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  -  1 )  e.  NN0 )
120117, 119eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( N  -  2 )  e.  NN0 )
121120adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( N  -  2 )  e.  NN0 )
12236, 121expcld 12272 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  e.  CC )
123114, 116, 122subdird 10009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( 1  -  (
( sin `  x
) ^ 2 ) )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) )  -  (
( ( sin `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) ) ) )
124122mulid2d 9610 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
1  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) ) )  =  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) )
12524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  2  e.  NN0 )
12636, 121, 125expaddd 12274 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ ( 2  +  ( N  - 
2 ) ) )  =  ( ( ( sin `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) ) ) )
12718, 4pncan3d 9929 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  +  ( N  -  2 ) )  =  N )
128127oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( sin `  x
) ^ ( 2  +  ( N  - 
2 ) ) )  =  ( ( sin `  x ) ^ N
) )
129128adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ ( 2  +  ( N  - 
2 ) ) )  =  ( ( sin `  x ) ^ N
) )
130126, 129eqtr3d 2510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( ( sin `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) )  =  ( ( sin `  x
) ^ N ) )
131124, 130oveq12d 6300 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( 1  x.  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) ) )  -  ( ( ( sin `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) ) )  =  ( ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) )  -  ( ( sin `  x ) ^ N ) ) )
132123, 131eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( 1  -  (
( sin `  x
) ^ 2 ) )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) ) )  =  ( ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) )  -  ( ( sin `  x
) ^ N ) ) )
133132itgeq2dv 21920 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( 1  -  ( ( sin `  x ) ^ 2 ) )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) )  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  -  ( ( sin `  x ) ^ N
) )  _d x )
134120adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( N  -  2 )  e.  NN0 )
13550, 134expcld 12272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  e.  CC )
136 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) )
137136fvmpt2 5955 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  e.  CC )  -> 
( ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) ) `  x
)  =  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) ) )
13855, 135, 137syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) ) ) `  x )  =  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) )
139138eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) ) ) `
 x ) )
140139mpteq2dva 4533 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) ) ) `  x ) ) )
141 nfmpt1 4536 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x
( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) ) )
14262, 64, 120expcnfg 31142 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
143141, 142, 66cncfmptss 31137 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) ) `  x
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
144140, 143eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) ) )  e.  ( ( 0 [,] pi )
-cn-> CC ) )
145 cniccibl 21979 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) ) )  e.  ( ( 0 [,] pi )
-cn-> CC ) )  -> 
( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) ) )  e.  L^1 )
14653, 54, 144, 145syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) ) )  e.  L^1 )
14740, 42, 135, 146iblss 21943 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) ) )  e.  L^1 )
148122, 147, 38, 71itgsub 21964 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  -  ( ( sin `  x ) ^ N
) )  _d x  =  ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  _d x  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ N
)  _d x ) )
149113, 133, 1483eqtrd 2512 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x
) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) )  _d x  =  ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  _d x  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ N
)  _d x ) )
150149oveq2d 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  x.  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos `  x ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) ) )  _d x )  =  ( ( N  -  1 )  x.  ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  _d x  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ N
)  _d x ) ) )
15190, 100, 1503eqtrd 2512 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  1 ) )  x.  ( sin `  x
) )  _d x  =  ( ( N  -  1 )  x.  ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  _d x  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ N
)  _d x ) ) )
15230, 83, 1513eqtrd 2512 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( I `  N
)  =  ( ( N  -  1 )  x.  ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  _d x  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ N
)  _d x ) ) )
153 oveq2 6290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( N  - 
2 )  ->  (
( sin `  x
) ^ n )  =  ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) ) )
154153adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  =  ( N  -  2 )  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( ( sin `  x ) ^ n
)  =  ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) ) )
155154itgeq2dv 21920 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( N  - 
2 )  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) )  _d x )
156155adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  =  ( N  -  2
) )  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) )  _d x )
157 itgex 21909 . . . . . . . . . . 11  |-  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  _d x  e.  _V
158157a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) )  _d x  e.  _V )
15914, 156, 120, 158fvmptd 5953 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( I `  ( N  -  2 ) )  =  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  _d x )
160159, 30oveq12d 6300 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( I `  ( N  -  2
) )  -  (
I `  N )
)  =  ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ ( N  -  2 ) )  _d x  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ N
)  _d x ) )
161160oveq2d 6298 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  x.  (
( I `  ( N  -  2 ) )  -  ( I `
 N ) ) )  =  ( ( N  -  1 )  x.  ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ ( N  -  2 ) )  _d x  -  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ N
)  _d x ) ) )
162122, 147itgcl 21922 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ ( N  - 
2 ) )  _d x  e.  CC )
163159, 162eqeltrd 2555 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( I `  ( N  -  2 ) )  e.  CC )
16412, 163, 73subdid 10008 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  x.  (
( I `  ( N  -  2 ) )  -  ( I `
 N ) ) )  =  ( ( ( N  -  1 )  x.  ( I `
 ( N  - 
2 ) ) )  -  ( ( N  -  1 )  x.  ( I `  N
) ) ) )
165152, 161, 1643eqtr2d 2514 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( I `  N
)  =  ( ( ( N  -  1 )  x.  ( I `
 ( N  - 
2 ) ) )  -  ( ( N  -  1 )  x.  ( I `  N
) ) ) )
166165eqcomd 2475 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  1 )  x.  ( I `  ( N  -  2 ) ) )  -  (
( N  -  1 )  x.  ( I `
 N ) ) )  =  ( I `
 N ) )
16712, 163mulcld 9612 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  x.  (
I `  ( N  -  2 ) ) )  e.  CC )
16812, 73mulcld 9612 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  x.  (
I `  N )
)  e.  CC )
169167, 168, 73subaddd 9944 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( N  -  1 )  x.  ( I `  ( N  -  2
) ) )  -  ( ( N  - 
1 )  x.  (
I `  N )
) )  =  ( I `  N )  <-> 
( ( ( N  -  1 )  x.  ( I `  N
) )  +  ( I `  N ) )  =  ( ( N  -  1 )  x.  ( I `  ( N  -  2
) ) ) ) )
170166, 169mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  1 )  x.  ( I `  N
) )  +  ( I `  N ) )  =  ( ( N  -  1 )  x.  ( I `  ( N  -  2
) ) ) )
1719, 77, 1703eqtrd 2512 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  x.  (
I `  N )
)  =  ( ( N  -  1 )  x.  ( I `  ( N  -  2
) ) ) )
172171oveq1d 6297 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N  x.  ( I `  N
) )  /  N
)  =  ( ( ( N  -  1 )  x.  ( I `
 ( N  - 
2 ) ) )  /  N ) )
17380nnne0d 10576 . . 3  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
17473, 4, 173divcan3d 10321 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N  x.  ( I `  N
) )  /  N
)  =  ( I `
 N ) )
17512, 163, 4, 173div23d 10353 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  1 )  x.  ( I `  ( N  -  2 ) ) )  /  N
)  =  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  x.  ( I `  ( N  -  2
) ) ) )
176172, 174, 1753eqtr3d 2516 1  |-  ( ph  ->  ( I `  N
)  =  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  x.  ( I `  ( N  -  2
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489    + caddc 9491    x. cmul 9493    < clt 9624    - cmin 9801   -ucneg 9802    / cdiv 10202   NNcn 10532   2c2 10581   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   (,)cioo 11525   [,]cicc 11528   ^cexp 12129   sincsin 13654   cosccos 13655   picpi 13657   -cn->ccncf 21112   volcvol 21607   L^1cibl 21758   S.citg 21759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cc 8811  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-ofr 6523  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-omul 7132  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-acn 8319  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11960  df-seq 12071  df-exp 12130  df-fac 12316  df-bc 12343  df-hash 12368  df-shft 12857  df-cj 12889  df-re 12890  df-im 12891  df-sqrt 13025  df-abs 13026  df-limsup 13250  df-clim 13267  df-rlim 13268  df-sum 13465  df-ef 13658  df-sin 13660  df-cos 13661  df-pi 13663  df-struct 14485  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-ress 14490  df-plusg 14561  df-mulr 14562  df-starv 14563  df-sca 14564  df-vsca 14565  df-ip 14566  df-tset 14567  df-ple 14568  df-ds 14570  df-unif 14571  df-hom 14572  df-cco 14573  df-rest 14671  df-topn 14672  df-0g 14690  df-gsum 14691  df-topgen 14692  df-pt 14693  df-prds 14696  df-xrs 14750  df-qtop 14755  df-imas 14756  df-xps 14758  df-mre 14834  df-mrc 14835  df-acs 14837  df-mnd 15725  df-submnd 15775  df-mulg 15858  df-cntz 16147  df-cmn 16593  df-psmet 18179  df-xmet 18180  df-met 18181  df-bl 18182  df-mopn 18183  df-fbas 18184  df-fg 18185  df-cnfld 18189  df-top 19163  df-bases 19165  df-topon 19166  df-topsp 19167  df-cld 19283  df-ntr 19284  df-cls 19285  df-nei 19362  df-lp 19400  df-perf 19401  df-cn 19491  df-cnp 19492  df-haus 19579  df-cmp 19650  df-tx 19795  df-hmeo 19988  df-fil 20079  df-fm 20171  df-flim 20172  df-flf 20173  df-xms 20555  df-ms 20556  df-tms 20557  df-cncf 21114  df-ovol 21608  df-vol 21609  df-mbf 21760  df-itg1 21761  df-itg2 21762  df-ibl 21763  df-itg 21764  df-0p 21809  df-limc 22002  df-dv 22003
This theorem is referenced by:  wallispilem2  31366  wallispilem4  31368  wallispilem5  31369
  Copyright terms: Public domain W3C validator