Theorem itgsincmulx 37948

Description: Exercise: the integral of x |-> sin a x on an open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgsincmulx.a	|- ( ph -> A e. CC )
itgsincmulx.an0	|- ( ph -> A =/= 0 )
itgsincmulx.b	|- ( ph -> B e. RR )
itgsincmulx.c	|- ( ph -> C e. RR )
itgsincmulx.blec	|- ( ph -> B <_ C )

Assertion

Ref	Expression
itgsincmulx	|- ( ph -> S. ( B (,) C ) ( sin ` ( A x. x ) ) _d x = ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) - ( cos ` ( A x. C ) ) ) / A ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, C   ph, x

Proof of Theorem itgsincmulx

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2471	. . . . . . 7 |- ( y e. CC |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) = ( y e. CC |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) )
2		itgsincmulx.a	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. CC )
3	2	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> A e. CC )
4		simpr 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> y e. CC )
5	3, 4	mulcld 9681	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( A x. y ) e. CC )
6	5	coscld 14262	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( cos ` ( A x. y ) ) e. CC )
7	6	negcld 9992	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> -u ( cos ` ( A x. y ) ) e. CC )
8		itgsincmulx.an0	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A =/= 0 )
9	8	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> A =/= 0 )
10	7, 3, 9	divcld 10405	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) e. CC )
11		cnelprrecn 9650	. . . . . . . . . 10 |- CC e. { RR , CC }
12	11	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> CC e. { RR , CC } )
13	5	sincld 14261	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( sin ` ( A x. y ) ) e. CC )
14	13	negcld 9992	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> -u ( sin ` ( A x. y ) ) e. CC )
15	3, 14	mulcld 9681	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) e. CC )
16	15	negcld 9992	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> -u ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) e. CC )
17		dvcosax 37895	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( cos ` ( A x. y ) ) ) ) = ( y e. CC |-> ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) ) )
18	2, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( cos ` ( A x. y ) ) ) ) = ( y e. CC |-> ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) ) )
19	12, 6, 15, 18	dvmptneg 22999	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( CC _D ( y e. CC |-> -u ( cos ` ( A x. y ) ) ) ) = ( y e. CC |-> -u ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) ) )
20	12, 7, 16, 19, 2, 8	dvmptdivc 22998	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) = ( y e. CC |-> ( -u ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) / A ) ) )
21	15, 3, 9	divnegd 10418	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> -u ( ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) / A ) = ( -u ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) / A ) )
22	21	eqcomd 2477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( -u ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) / A ) = -u ( ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) / A ) )
23	14, 3, 9	divcan3d 10410	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) / A ) = -u ( sin ` ( A x. y ) ) )
24	23	negeqd 9889	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> -u ( ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) / A ) = -u -u ( sin ` ( A x. y ) ) )
25	13	negnegd 9996	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> -u -u ( sin ` ( A x. y ) ) = ( sin ` ( A x. y ) ) )
26	22, 24, 25	3eqtrd 2509	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( -u ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) / A ) = ( sin ` ( A x. y ) ) )
27	26	mpteq2dva 4482	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( y e. CC |-> ( -u ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) / A ) ) = ( y e. CC |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) )
28	20, 27	eqtrd 2505	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) = ( y e. CC |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) )
29		itgsincmulx.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. RR )
30		itgsincmulx.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. RR )
31	1, 10, 28, 13, 29, 30	dvmptresicc 37888	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) = ( y e. ( B (,) C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) )
32	31	fveq1d 5881	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( RR _D ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) ` x ) = ( ( y e. ( B (,) C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) ` x ) )
33	32	adantr 472	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> ( ( RR _D ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) ` x ) = ( ( y e. ( B (,) C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) ` x ) )
34		eqidd 2472	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> ( y e. ( B (,) C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) = ( y e. ( B (,) C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) )
35		oveq2 6316	. . . . . . 7 |- ( y = x -> ( A x. y ) = ( A x. x ) )
36	35	fveq2d 5883	. . . . . 6 |- ( y = x -> ( sin ` ( A x. y ) ) = ( sin ` ( A x. x ) ) )
37	36	adantl 473	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) /\ y = x ) -> ( sin ` ( A x. y ) ) = ( sin ` ( A x. x ) ) )
38		simpr 468	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> x e. ( B (,) C ) )
39	2	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> A e. CC )
40		ioosscn 37687	. . . . . . . 8 |- ( B (,) C ) C_ CC
41	40, 38	sseldi 3416	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> x e. CC )
42	39, 41	mulcld 9681	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> ( A x. x ) e. CC )
43	42	sincld 14261	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> ( sin ` ( A x. x ) ) e. CC )
44	34, 37, 38, 43	fvmptd 5969	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> ( ( y e. ( B (,) C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) ` x ) = ( sin ` ( A x. x ) ) )
45	33, 44	eqtr2d 2506	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> ( sin ` ( A x. x ) ) = ( ( RR _D ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) ` x ) )
46	45	itgeq2dv 22818	. 2 |- ( ph -> S. ( B (,) C ) ( sin ` ( A x. x ) ) _d x = S. ( B (,) C ) ( ( RR _D ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) ` x ) _d x )
47		itgsincmulx.blec	. . 3 |- ( ph -> B <_ C )
48		sincn 23478	. . . . . 6 |- sin e. ( CC -cn-> CC )
49	48	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> sin e. ( CC -cn-> CC ) )
50	40	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B (,) C ) C_ CC )
51		ssid 3437	. . . . . . . 8 |- CC C_ CC
52	51	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> CC C_ CC )
53	50, 2, 52	constcncfg 37845	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. ( B (,) C ) |-> A ) e. ( ( B (,) C ) -cn-> CC ) )
54	50, 52	idcncfg 37846	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. ( B (,) C ) |-> y ) e. ( ( B (,) C ) -cn-> CC ) )
55	53, 54	mulcncf 22476	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. ( B (,) C ) |-> ( A x. y ) ) e. ( ( B (,) C ) -cn-> CC ) )
56	49, 55	cncfmpt1f 22023	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. ( B (,) C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) e. ( ( B (,) C ) -cn-> CC ) )
57	31, 56	eqeltrd 2549	. . 3 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) e. ( ( B (,) C ) -cn-> CC ) )
58		ioossicc 11745	. . . . . 6 |- ( B (,) C ) C_ ( B [,] C )
59	58	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( B (,) C ) C_ ( B [,] C ) )
60		ioombl 22597	. . . . . 6 |- ( B (,) C ) e. dom vol
61	60	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( B (,) C ) e. dom vol )
62	2	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( B [,] C ) ) -> A e. CC )
63	29, 30	iccssred 37698	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B [,] C ) C_ RR )
64		ax-resscn 9614	. . . . . . . . 9 |- RR C_ CC
65	63, 64	syl6ss 3430	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B [,] C ) C_ CC )
66	65	sselda 3418	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( B [,] C ) ) -> y e. CC )
67	62, 66	mulcld 9681	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( B [,] C ) ) -> ( A x. y ) e. CC )
68	67	sincld 14261	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( B [,] C ) ) -> ( sin ` ( A x. y ) ) e. CC )
69	65, 2, 52	constcncfg 37845	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> A ) e. ( ( B [,] C ) -cn-> CC ) )
70	65, 52	idcncfg 37846	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> y ) e. ( ( B [,] C ) -cn-> CC ) )
71	69, 70	mulcncf 22476	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> ( A x. y ) ) e. ( ( B [,] C ) -cn-> CC ) )
72	49, 71	cncfmpt1f 22023	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) e. ( ( B [,] C ) -cn-> CC ) )
73		cniccibl 22877	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR /\ ( y e. ( B [,] C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) e. ( ( B [,] C ) -cn-> CC ) ) -> ( y e. ( B [,] C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) e. L^1 )
74	29, 30, 72, 73	syl3anc 1292	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) e. L^1 )
75	59, 61, 68, 74	iblss 22841	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. ( B (,) C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) e. L^1 )
76	31, 75	eqeltrd 2549	. . 3 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) e. L^1 )
77		coscn 23479	. . . . . . 7 |- cos e. ( CC -cn-> CC )
78	77	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> cos e. ( CC -cn-> CC ) )
79	78, 71	cncfmpt1f 22023	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> ( cos ` ( A x. y ) ) ) e. ( ( B [,] C ) -cn-> CC ) )
80	79	negcncfg 37855	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> -u ( cos ` ( A x. y ) ) ) e. ( ( B [,] C ) -cn-> CC ) )
81	8	neneqd 2648	. . . . . . 7 |- ( ph -> -. A = 0 )
82		elsncg 3983	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( A e. { 0 } <-> A = 0 ) )
83	2, 82	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A e. { 0 } <-> A = 0 ) )
84	81, 83	mtbird 308	. . . . . 6 |- ( ph -> -. A e. { 0 } )
85	2, 84	eldifd 3401	. . . . 5 |- ( ph -> A e. ( CC \ { 0 } ) )
86		difssd 3550	. . . . 5 |- ( ph -> ( CC \ { 0 } ) C_ CC )
87	65, 85, 86	constcncfg 37845	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> A ) e. ( ( B [,] C ) -cn-> ( CC \ { 0 } ) ) )
88	80, 87	divcncf 37858	. . 3 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) e. ( ( B [,] C ) -cn-> CC ) )
89	29, 30, 47, 57, 76, 88	ftc2 23075	. 2 |- ( ph -> S. ( B (,) C ) ( ( RR _D ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) ` x ) _d x = ( ( ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ` C ) - ( ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ` B ) ) )
90		eqidd 2472	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) = ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) )
91		oveq2 6316	. . . . . . . . . 10 |- ( y = C -> ( A x. y ) = ( A x. C ) )
92	91	fveq2d 5883	. . . . . . . . 9 |- ( y = C -> ( cos ` ( A x. y ) ) = ( cos ` ( A x. C ) ) )
93	92	negeqd 9889	. . . . . . . 8 |- ( y = C -> -u ( cos ` ( A x. y ) ) = -u ( cos ` ( A x. C ) ) )
94	93	oveq1d 6323	. . . . . . 7 |- ( y = C -> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) = ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) )
95	94	adantl 473	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y = C ) -> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) = ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) )
96	29	rexrd 9708	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. RR* )
97	30	rexrd 9708	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. RR* )
98		ubicc2 11775	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ B <_ C ) -> C e. ( B [,] C ) )
99	96, 97, 47, 98	syl3anc 1292	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. ( B [,] C ) )
100		ovex 6336	. . . . . . 7 |- ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) e. _V
101	100	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) e. _V )
102	90, 95, 99, 101	fvmptd 5969	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ` C ) = ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) )
103		oveq2 6316	. . . . . . . . . 10 |- ( y = B -> ( A x. y ) = ( A x. B ) )
104	103	fveq2d 5883	. . . . . . . . 9 |- ( y = B -> ( cos ` ( A x. y ) ) = ( cos ` ( A x. B ) ) )
105	104	negeqd 9889	. . . . . . . 8 |- ( y = B -> -u ( cos ` ( A x. y ) ) = -u ( cos ` ( A x. B ) ) )
106	105	oveq1d 6323	. . . . . . 7 |- ( y = B -> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) = ( -u ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) )
107	106	adantl 473	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y = B ) -> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) = ( -u ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) )
108		lbicc2 11774	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ B <_ C ) -> B e. ( B [,] C ) )
109	96, 97, 47, 108	syl3anc 1292	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. ( B [,] C ) )
110		ovex 6336	. . . . . . 7 |- ( -u ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) e. _V
111	110	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -u ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) e. _V )
112	90, 107, 109, 111	fvmptd 5969	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ` B ) = ( -u ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) )
113	102, 112	oveq12d 6326	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ` C ) - ( ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ` B ) ) = ( ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) - ( -u ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) ) )
114	29	recnd 9687	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B e. CC )
115	2, 114	mulcld 9681	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A x. B ) e. CC )
116	115	coscld 14262	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( cos ` ( A x. B ) ) e. CC )
117	116, 2, 8	divnegd 10418	. . . . . 6 |- ( ph -> -u ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) = ( -u ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) )
118	117	eqcomd 2477	. . . . 5 |- ( ph -> ( -u ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) = -u ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) )
119	118	oveq2d 6324	. . . 4 |- ( ph -> ( ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) - ( -u ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) ) = ( ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) - -u ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) ) )
120	30	recnd 9687	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. CC )
121	2, 120	mulcld 9681	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A x. C ) e. CC )
122	121	coscld 14262	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( cos ` ( A x. C ) ) e. CC )
123	122	negcld 9992	. . . . . 6 |- ( ph -> -u ( cos ` ( A x. C ) ) e. CC )
124	123, 2, 8	divcld 10405	. . . . 5 |- ( ph -> ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) e. CC )
125	116, 2, 8	divcld 10405	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) e. CC )
126	124, 125	subnegd 10012	. . . 4 |- ( ph -> ( ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) - -u ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) ) = ( ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) + ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) ) )
127	113, 119, 126	3eqtrd 2509	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ` C ) - ( ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ` B ) ) = ( ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) + ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) ) )
128	124, 125	addcomd 9853	. . 3 |- ( ph -> ( ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) + ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) ) = ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) + ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) ) )
129	122, 2, 8	divnegd 10418	. . . . . 6 |- ( ph -> -u ( ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) = ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) )
130	129	eqcomd 2477	. . . . 5 |- ( ph -> ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) = -u ( ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) )
131	130	oveq2d 6324	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) + ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) ) = ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) + -u ( ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) ) )
132	122, 2, 8	divcld 10405	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) e. CC )
133	125, 132	negsubd 10011	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) + -u ( ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) ) = ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) - ( ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) ) )
134	116, 122, 2, 8	divsubdird 10444	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) - ( cos ` ( A x. C ) ) ) / A ) = ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) - ( ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) ) )
135	134	eqcomd 2477	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) - ( ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) ) = ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) - ( cos ` ( A x. C ) ) ) / A ) )
136	131, 133, 135	3eqtrd 2509	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) + ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) ) = ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) - ( cos ` ( A x. C ) ) ) / A ) )
137	127, 128, 136	3eqtrd 2509	. 2 |- ( ph -> ( ( ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ` C ) - ( ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ` B ) ) = ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) - ( cos ` ( A x. C ) ) ) / A ) )
138	46, 89, 137	3eqtrd 2509	1 |- ( ph -> S. ( B (,) C ) ( sin ` ( A x. x ) ) _d x = ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) - ( cos ` ( A x. C ) ) ) / A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   _Vcvv 3031   \ cdif 3387   C_ wss 3390   {csn 3959   {cpr 3961   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   + caddc 9560   x. cmul 9562   RR*cxr 9692   <_ cle 9694   - cmin 9880   -ucneg 9881   / cdiv 10291   (,)cioo 11660   [,]cicc 11663   sincsin 14193   cosccos 14194   -cn->ccncf 21986   volcvol 22493   L^1cibl 22654   S.citg 22655   _D cdv 22897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-mbf 22656  df-itg1 22657  df-itg2 22658  df-ibl 22659  df-itg 22660  df-0p 22707  df-limc 22900  df-dv 22901

This theorem is referenced by:  sqwvfourb  38205