Theorem itgsincmulx 37851

Description: Exercise: the integral of x |-> sin a x on an open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgsincmulx.a	|- ( ph -> A e. CC )
itgsincmulx.an0	|- ( ph -> A =/= 0 )
itgsincmulx.b	|- ( ph -> B e. RR )
itgsincmulx.c	|- ( ph -> C e. RR )
itgsincmulx.blec	|- ( ph -> B <_ C )

Assertion

Ref	Expression
itgsincmulx	|- ( ph -> S. ( B (,) C ) ( sin ` ( A x. x ) ) _d x = ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) - ( cos ` ( A x. C ) ) ) / A ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, C   ph, x

Proof of Theorem itgsincmulx

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2451	. . . . . . 7 |- ( y e. CC |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) = ( y e. CC |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) )
2		itgsincmulx.a	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. CC )
3	2	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> A e. CC )
4		simpr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> y e. CC )
5	3, 4	mulcld 9663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( A x. y ) e. CC )
6	5	coscld 14185	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( cos ` ( A x. y ) ) e. CC )
7	6	negcld 9973	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> -u ( cos ` ( A x. y ) ) e. CC )
8		itgsincmulx.an0	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A =/= 0 )
9	8	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> A =/= 0 )
10	7, 3, 9	divcld 10383	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) e. CC )
11		cnelprrecn 9632	. . . . . . . . . 10 |- CC e. { RR , CC }
12	11	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> CC e. { RR , CC } )
13	5	sincld 14184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( sin ` ( A x. y ) ) e. CC )
14	13	negcld 9973	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> -u ( sin ` ( A x. y ) ) e. CC )
15	3, 14	mulcld 9663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) e. CC )
16	15	negcld 9973	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> -u ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) e. CC )
17		dvcosax 37798	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( cos ` ( A x. y ) ) ) ) = ( y e. CC |-> ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) ) )
18	2, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( cos ` ( A x. y ) ) ) ) = ( y e. CC |-> ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) ) )
19	12, 6, 15, 18	dvmptneg 22920	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( CC _D ( y e. CC |-> -u ( cos ` ( A x. y ) ) ) ) = ( y e. CC |-> -u ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) ) )
20	12, 7, 16, 19, 2, 8	dvmptdivc 22919	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) = ( y e. CC |-> ( -u ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) / A ) ) )
21	15, 3, 9	divnegd 10396	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> -u ( ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) / A ) = ( -u ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) / A ) )
22	21	eqcomd 2457	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( -u ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) / A ) = -u ( ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) / A ) )
23	14, 3, 9	divcan3d 10388	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) / A ) = -u ( sin ` ( A x. y ) ) )
24	23	negeqd 9869	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> -u ( ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) / A ) = -u -u ( sin ` ( A x. y ) ) )
25	13	negnegd 9977	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> -u -u ( sin ` ( A x. y ) ) = ( sin ` ( A x. y ) ) )
26	22, 24, 25	3eqtrd 2489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( -u ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) / A ) = ( sin ` ( A x. y ) ) )
27	26	mpteq2dva 4489	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( y e. CC |-> ( -u ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) / A ) ) = ( y e. CC |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) )
28	20, 27	eqtrd 2485	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) = ( y e. CC |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) )
29		itgsincmulx.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. RR )
30		itgsincmulx.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. RR )
31	1, 10, 28, 13, 29, 30	dvmptresicc 37791	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) = ( y e. ( B (,) C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) )
32	31	fveq1d 5867	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( RR _D ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) ` x ) = ( ( y e. ( B (,) C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) ` x ) )
33	32	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> ( ( RR _D ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) ` x ) = ( ( y e. ( B (,) C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) ` x ) )
34		eqidd 2452	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> ( y e. ( B (,) C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) = ( y e. ( B (,) C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) )
35		oveq2 6298	. . . . . . 7 |- ( y = x -> ( A x. y ) = ( A x. x ) )
36	35	fveq2d 5869	. . . . . 6 |- ( y = x -> ( sin ` ( A x. y ) ) = ( sin ` ( A x. x ) ) )
37	36	adantl 468	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) /\ y = x ) -> ( sin ` ( A x. y ) ) = ( sin ` ( A x. x ) ) )
38		simpr 463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> x e. ( B (,) C ) )
39	2	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> A e. CC )
40		ioosscn 37591	. . . . . . . 8 |- ( B (,) C ) C_ CC
41	40, 38	sseldi 3430	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> x e. CC )
42	39, 41	mulcld 9663	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> ( A x. x ) e. CC )
43	42	sincld 14184	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> ( sin ` ( A x. x ) ) e. CC )
44	34, 37, 38, 43	fvmptd 5954	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> ( ( y e. ( B (,) C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) ` x ) = ( sin ` ( A x. x ) ) )
45	33, 44	eqtr2d 2486	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> ( sin ` ( A x. x ) ) = ( ( RR _D ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) ` x ) )
46	45	itgeq2dv 22739	. 2 |- ( ph -> S. ( B (,) C ) ( sin ` ( A x. x ) ) _d x = S. ( B (,) C ) ( ( RR _D ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) ` x ) _d x )
47		itgsincmulx.blec	. . 3 |- ( ph -> B <_ C )
48		sincn 23399	. . . . . 6 |- sin e. ( CC -cn-> CC )
49	48	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> sin e. ( CC -cn-> CC ) )
50	40	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B (,) C ) C_ CC )
51		ssid 3451	. . . . . . . 8 |- CC C_ CC
52	51	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> CC C_ CC )
53	50, 2, 52	constcncfg 37748	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. ( B (,) C ) |-> A ) e. ( ( B (,) C ) -cn-> CC ) )
54	50, 52	idcncfg 37749	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. ( B (,) C ) |-> y ) e. ( ( B (,) C ) -cn-> CC ) )
55	53, 54	mulcncf 22398	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. ( B (,) C ) |-> ( A x. y ) ) e. ( ( B (,) C ) -cn-> CC ) )
56	49, 55	cncfmpt1f 21945	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. ( B (,) C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) e. ( ( B (,) C ) -cn-> CC ) )
57	31, 56	eqeltrd 2529	. . 3 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) e. ( ( B (,) C ) -cn-> CC ) )
58		ioossicc 11720	. . . . . 6 |- ( B (,) C ) C_ ( B [,] C )
59	58	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( B (,) C ) C_ ( B [,] C ) )
60		ioombl 22518	. . . . . 6 |- ( B (,) C ) e. dom vol
61	60	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( B (,) C ) e. dom vol )
62	2	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( B [,] C ) ) -> A e. CC )
63	29, 30	iccssred 37602	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B [,] C ) C_ RR )
64		ax-resscn 9596	. . . . . . . . 9 |- RR C_ CC
65	63, 64	syl6ss 3444	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B [,] C ) C_ CC )
66	65	sselda 3432	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( B [,] C ) ) -> y e. CC )
67	62, 66	mulcld 9663	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( B [,] C ) ) -> ( A x. y ) e. CC )
68	67	sincld 14184	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( B [,] C ) ) -> ( sin ` ( A x. y ) ) e. CC )
69	65, 2, 52	constcncfg 37748	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> A ) e. ( ( B [,] C ) -cn-> CC ) )
70	65, 52	idcncfg 37749	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> y ) e. ( ( B [,] C ) -cn-> CC ) )
71	69, 70	mulcncf 22398	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> ( A x. y ) ) e. ( ( B [,] C ) -cn-> CC ) )
72	49, 71	cncfmpt1f 21945	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) e. ( ( B [,] C ) -cn-> CC ) )
73		cniccibl 22798	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR /\ ( y e. ( B [,] C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) e. ( ( B [,] C ) -cn-> CC ) ) -> ( y e. ( B [,] C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) e. L^1 )
74	29, 30, 72, 73	syl3anc 1268	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) e. L^1 )
75	59, 61, 68, 74	iblss 22762	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. ( B (,) C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) e. L^1 )
76	31, 75	eqeltrd 2529	. . 3 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) e. L^1 )
77		coscn 23400	. . . . . . 7 |- cos e. ( CC -cn-> CC )
78	77	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> cos e. ( CC -cn-> CC ) )
79	78, 71	cncfmpt1f 21945	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> ( cos ` ( A x. y ) ) ) e. ( ( B [,] C ) -cn-> CC ) )
80	79	negcncfg 37758	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> -u ( cos ` ( A x. y ) ) ) e. ( ( B [,] C ) -cn-> CC ) )
81	8	neneqd 2629	. . . . . . 7 |- ( ph -> -. A = 0 )
82		elsncg 3991	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( A e. { 0 } <-> A = 0 ) )
83	2, 82	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A e. { 0 } <-> A = 0 ) )
84	81, 83	mtbird 303	. . . . . 6 |- ( ph -> -. A e. { 0 } )
85	2, 84	eldifd 3415	. . . . 5 |- ( ph -> A e. ( CC \ { 0 } ) )
86		difssd 3561	. . . . 5 |- ( ph -> ( CC \ { 0 } ) C_ CC )
87	65, 85, 86	constcncfg 37748	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> A ) e. ( ( B [,] C ) -cn-> ( CC \ { 0 } ) ) )
88	80, 87	divcncf 37761	. . 3 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) e. ( ( B [,] C ) -cn-> CC ) )
89	29, 30, 47, 57, 76, 88	ftc2 22996	. 2 |- ( ph -> S. ( B (,) C ) ( ( RR _D ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) ` x ) _d x = ( ( ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ` C ) - ( ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ` B ) ) )
90		eqidd 2452	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) = ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) )
91		oveq2 6298	. . . . . . . . . 10 |- ( y = C -> ( A x. y ) = ( A x. C ) )
92	91	fveq2d 5869	. . . . . . . . 9 |- ( y = C -> ( cos ` ( A x. y ) ) = ( cos ` ( A x. C ) ) )
93	92	negeqd 9869	. . . . . . . 8 |- ( y = C -> -u ( cos ` ( A x. y ) ) = -u ( cos ` ( A x. C ) ) )
94	93	oveq1d 6305	. . . . . . 7 |- ( y = C -> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) = ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) )
95	94	adantl 468	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y = C ) -> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) = ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) )
96	29	rexrd 9690	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. RR* )
97	30	rexrd 9690	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. RR* )
98		ubicc2 11749	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ B <_ C ) -> C e. ( B [,] C ) )
99	96, 97, 47, 98	syl3anc 1268	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. ( B [,] C ) )
100		ovex 6318	. . . . . . 7 |- ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) e. _V
101	100	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) e. _V )
102	90, 95, 99, 101	fvmptd 5954	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ` C ) = ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) )
103		oveq2 6298	. . . . . . . . . 10 |- ( y = B -> ( A x. y ) = ( A x. B ) )
104	103	fveq2d 5869	. . . . . . . . 9 |- ( y = B -> ( cos ` ( A x. y ) ) = ( cos ` ( A x. B ) ) )
105	104	negeqd 9869	. . . . . . . 8 |- ( y = B -> -u ( cos ` ( A x. y ) ) = -u ( cos ` ( A x. B ) ) )
106	105	oveq1d 6305	. . . . . . 7 |- ( y = B -> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) = ( -u ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) )
107	106	adantl 468	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y = B ) -> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) = ( -u ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) )
108		lbicc2 11748	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ B <_ C ) -> B e. ( B [,] C ) )
109	96, 97, 47, 108	syl3anc 1268	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. ( B [,] C ) )
110		ovex 6318	. . . . . . 7 |- ( -u ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) e. _V
111	110	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -u ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) e. _V )
112	90, 107, 109, 111	fvmptd 5954	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ` B ) = ( -u ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) )
113	102, 112	oveq12d 6308	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ` C ) - ( ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ` B ) ) = ( ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) - ( -u ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) ) )
114	29	recnd 9669	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B e. CC )
115	2, 114	mulcld 9663	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A x. B ) e. CC )
116	115	coscld 14185	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( cos ` ( A x. B ) ) e. CC )
117	116, 2, 8	divnegd 10396	. . . . . 6 |- ( ph -> -u ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) = ( -u ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) )
118	117	eqcomd 2457	. . . . 5 |- ( ph -> ( -u ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) = -u ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) )
119	118	oveq2d 6306	. . . 4 |- ( ph -> ( ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) - ( -u ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) ) = ( ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) - -u ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) ) )
120	30	recnd 9669	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. CC )
121	2, 120	mulcld 9663	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A x. C ) e. CC )
122	121	coscld 14185	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( cos ` ( A x. C ) ) e. CC )
123	122	negcld 9973	. . . . . 6 |- ( ph -> -u ( cos ` ( A x. C ) ) e. CC )
124	123, 2, 8	divcld 10383	. . . . 5 |- ( ph -> ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) e. CC )
125	116, 2, 8	divcld 10383	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) e. CC )
126	124, 125	subnegd 9993	. . . 4 |- ( ph -> ( ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) - -u ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) ) = ( ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) + ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) ) )
127	113, 119, 126	3eqtrd 2489	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ` C ) - ( ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ` B ) ) = ( ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) + ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) ) )
128	124, 125	addcomd 9835	. . 3 |- ( ph -> ( ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) + ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) ) = ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) + ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) ) )
129	122, 2, 8	divnegd 10396	. . . . . 6 |- ( ph -> -u ( ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) = ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) )
130	129	eqcomd 2457	. . . . 5 |- ( ph -> ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) = -u ( ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) )
131	130	oveq2d 6306	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) + ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) ) = ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) + -u ( ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) ) )
132	122, 2, 8	divcld 10383	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) e. CC )
133	125, 132	negsubd 9992	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) + -u ( ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) ) = ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) - ( ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) ) )
134	116, 122, 2, 8	divsubdird 10422	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) - ( cos ` ( A x. C ) ) ) / A ) = ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) - ( ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) ) )
135	134	eqcomd 2457	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) - ( ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) ) = ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) - ( cos ` ( A x. C ) ) ) / A ) )
136	131, 133, 135	3eqtrd 2489	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) + ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) ) = ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) - ( cos ` ( A x. C ) ) ) / A ) )
137	127, 128, 136	3eqtrd 2489	. 2 |- ( ph -> ( ( ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ` C ) - ( ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ` B ) ) = ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) - ( cos ` ( A x. C ) ) ) / A ) )
138	46, 89, 137	3eqtrd 2489	1 |- ( ph -> S. ( B (,) C ) ( sin ` ( A x. x ) ) _d x = ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) - ( cos ` ( A x. C ) ) ) / A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   _Vcvv 3045   \ cdif 3401   C_ wss 3404   {csn 3968   {cpr 3970   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   dom cdm 4834   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   + caddc 9542   x. cmul 9544   RR*cxr 9674   <_ cle 9676   - cmin 9860   -ucneg 9861   / cdiv 10269   (,)cioo 11635   [,]cicc 11638   sincsin 14116   cosccos 14117   -cn->ccncf 21908   volcvol 22415   L^1cibl 22575   S.citg 22576   _D cdv 22818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cc 8865  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-disj 4374  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-ofr 6532  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-omul 7187  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-acn 8376  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-ef 14121  df-sin 14123  df-cos 14124  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-cmp 20402  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-ovol 22416  df-vol 22418  df-mbf 22577  df-itg1 22578  df-itg2 22579  df-ibl 22580  df-itg 22581  df-0p 22628  df-limc 22821  df-dv 22822

This theorem is referenced by:  sqwvfourb  38093