Theorem itgsincmulx 37423

Description: Exercise: the integral of x |-> sin a x on an open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgsincmulx.a	|- ( ph -> A e. CC )
itgsincmulx.an0	|- ( ph -> A =/= 0 )
itgsincmulx.b	|- ( ph -> B e. RR )
itgsincmulx.c	|- ( ph -> C e. RR )
itgsincmulx.blec	|- ( ph -> B <_ C )

Assertion

Ref	Expression
itgsincmulx	|- ( ph -> S. ( B (,) C ) ( sin ` ( A x. x ) ) _d x = ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) - ( cos ` ( A x. C ) ) ) / A ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, C   ph, x

Proof of Theorem itgsincmulx

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2429	. . . . . . 7 |- ( y e. CC |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) = ( y e. CC |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) )
2		itgsincmulx.a	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. CC )
3	2	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> A e. CC )
4		simpr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> y e. CC )
5	3, 4	mulcld 9662	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( A x. y ) e. CC )
6	5	coscld 14163	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( cos ` ( A x. y ) ) e. CC )
7	6	negcld 9972	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> -u ( cos ` ( A x. y ) ) e. CC )
8		itgsincmulx.an0	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A =/= 0 )
9	8	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> A =/= 0 )
10	7, 3, 9	divcld 10382	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) e. CC )
11		cnelprrecn 9631	. . . . . . . . . 10 |- CC e. { RR , CC }
12	11	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> CC e. { RR , CC } )
13	5	sincld 14162	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( sin ` ( A x. y ) ) e. CC )
14	13	negcld 9972	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> -u ( sin ` ( A x. y ) ) e. CC )
15	3, 14	mulcld 9662	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) e. CC )
16	15	negcld 9972	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> -u ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) e. CC )
17		dvcosax 37373	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( cos ` ( A x. y ) ) ) ) = ( y e. CC |-> ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) ) )
18	2, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( cos ` ( A x. y ) ) ) ) = ( y e. CC |-> ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) ) )
19	12, 6, 15, 18	dvmptneg 22797	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( CC _D ( y e. CC |-> -u ( cos ` ( A x. y ) ) ) ) = ( y e. CC |-> -u ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) ) )
20	12, 7, 16, 19, 2, 8	dvmptdivc 22796	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) = ( y e. CC |-> ( -u ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) / A ) ) )
21	15, 3, 9	divnegd 10395	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> -u ( ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) / A ) = ( -u ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) / A ) )
22	21	eqcomd 2437	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( -u ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) / A ) = -u ( ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) / A ) )
23	14, 3, 9	divcan3d 10387	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) / A ) = -u ( sin ` ( A x. y ) ) )
24	23	negeqd 9868	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> -u ( ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) / A ) = -u -u ( sin ` ( A x. y ) ) )
25	13	negnegd 9976	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> -u -u ( sin ` ( A x. y ) ) = ( sin ` ( A x. y ) ) )
26	22, 24, 25	3eqtrd 2474	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( -u ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) / A ) = ( sin ` ( A x. y ) ) )
27	26	mpteq2dva 4512	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( y e. CC |-> ( -u ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) / A ) ) = ( y e. CC |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) )
28	20, 27	eqtrd 2470	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) = ( y e. CC |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) )
29		itgsincmulx.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. RR )
30		itgsincmulx.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. RR )
31	1, 10, 28, 13, 29, 30	dvmptresicc 37366	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) = ( y e. ( B (,) C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) )
32	31	fveq1d 5883	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( RR _D ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) ` x ) = ( ( y e. ( B (,) C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) ` x ) )
33	32	adantr 466	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> ( ( RR _D ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) ` x ) = ( ( y e. ( B (,) C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) ` x ) )
34		eqidd 2430	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> ( y e. ( B (,) C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) = ( y e. ( B (,) C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) )
35		oveq2 6313	. . . . . . 7 |- ( y = x -> ( A x. y ) = ( A x. x ) )
36	35	fveq2d 5885	. . . . . 6 |- ( y = x -> ( sin ` ( A x. y ) ) = ( sin ` ( A x. x ) ) )
37	36	adantl 467	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) /\ y = x ) -> ( sin ` ( A x. y ) ) = ( sin ` ( A x. x ) ) )
38		simpr 462	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> x e. ( B (,) C ) )
39	2	adantr 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> A e. CC )
40		ioosscn 37179	. . . . . . . 8 |- ( B (,) C ) C_ CC
41	40, 38	sseldi 3468	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> x e. CC )
42	39, 41	mulcld 9662	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> ( A x. x ) e. CC )
43	42	sincld 14162	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> ( sin ` ( A x. x ) ) e. CC )
44	34, 37, 38, 43	fvmptd 5970	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> ( ( y e. ( B (,) C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) ` x ) = ( sin ` ( A x. x ) ) )
45	33, 44	eqtr2d 2471	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> ( sin ` ( A x. x ) ) = ( ( RR _D ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) ` x ) )
46	45	itgeq2dv 22616	. 2 |- ( ph -> S. ( B (,) C ) ( sin ` ( A x. x ) ) _d x = S. ( B (,) C ) ( ( RR _D ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) ` x ) _d x )
47		itgsincmulx.blec	. . 3 |- ( ph -> B <_ C )
48		sincn 23264	. . . . . 6 |- sin e. ( CC -cn-> CC )
49	48	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> sin e. ( CC -cn-> CC ) )
50	40	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B (,) C ) C_ CC )
51		ssid 3489	. . . . . . . 8 |- CC C_ CC
52	51	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> CC C_ CC )
53	50, 2, 52	constcncfg 37323	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. ( B (,) C ) |-> A ) e. ( ( B (,) C ) -cn-> CC ) )
54	50, 52	idcncfg 37324	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. ( B (,) C ) |-> y ) e. ( ( B (,) C ) -cn-> CC ) )
55	53, 54	mulcncf 22279	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. ( B (,) C ) |-> ( A x. y ) ) e. ( ( B (,) C ) -cn-> CC ) )
56	49, 55	cncfmpt1f 21841	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. ( B (,) C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) e. ( ( B (,) C ) -cn-> CC ) )
57	31, 56	eqeltrd 2517	. . 3 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) e. ( ( B (,) C ) -cn-> CC ) )
58		ioossicc 11720	. . . . . 6 |- ( B (,) C ) C_ ( B [,] C )
59	58	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( B (,) C ) C_ ( B [,] C ) )
60		ioombl 22395	. . . . . 6 |- ( B (,) C ) e. dom vol
61	60	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( B (,) C ) e. dom vol )
62	2	adantr 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( B [,] C ) ) -> A e. CC )
63	29, 30	iccssred 37190	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B [,] C ) C_ RR )
64		ax-resscn 9595	. . . . . . . . 9 |- RR C_ CC
65	63, 64	syl6ss 3482	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B [,] C ) C_ CC )
66	65	sselda 3470	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( B [,] C ) ) -> y e. CC )
67	62, 66	mulcld 9662	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( B [,] C ) ) -> ( A x. y ) e. CC )
68	67	sincld 14162	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( B [,] C ) ) -> ( sin ` ( A x. y ) ) e. CC )
69	65, 2, 52	constcncfg 37323	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> A ) e. ( ( B [,] C ) -cn-> CC ) )
70	65, 52	idcncfg 37324	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> y ) e. ( ( B [,] C ) -cn-> CC ) )
71	69, 70	mulcncf 22279	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> ( A x. y ) ) e. ( ( B [,] C ) -cn-> CC ) )
72	49, 71	cncfmpt1f 21841	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) e. ( ( B [,] C ) -cn-> CC ) )
73		cniccibl 22675	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR /\ ( y e. ( B [,] C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) e. ( ( B [,] C ) -cn-> CC ) ) -> ( y e. ( B [,] C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) e. L^1 )
74	29, 30, 72, 73	syl3anc 1264	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) e. L^1 )
75	59, 61, 68, 74	iblss 22639	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. ( B (,) C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) e. L^1 )
76	31, 75	eqeltrd 2517	. . 3 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) e. L^1 )
77		coscn 23265	. . . . . . 7 |- cos e. ( CC -cn-> CC )
78	77	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> cos e. ( CC -cn-> CC ) )
79	78, 71	cncfmpt1f 21841	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> ( cos ` ( A x. y ) ) ) e. ( ( B [,] C ) -cn-> CC ) )
80	79	negcncfg 37333	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> -u ( cos ` ( A x. y ) ) ) e. ( ( B [,] C ) -cn-> CC ) )
81	8	neneqd 2632	. . . . . . 7 |- ( ph -> -. A = 0 )
82		elsncg 4025	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( A e. { 0 } <-> A = 0 ) )
83	2, 82	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A e. { 0 } <-> A = 0 ) )
84	81, 83	mtbird 302	. . . . . 6 |- ( ph -> -. A e. { 0 } )
85	2, 84	eldifd 3453	. . . . 5 |- ( ph -> A e. ( CC \ { 0 } ) )
86		difssd 3599	. . . . 5 |- ( ph -> ( CC \ { 0 } ) C_ CC )
87	65, 85, 86	constcncfg 37323	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> A ) e. ( ( B [,] C ) -cn-> ( CC \ { 0 } ) ) )
88	80, 87	divcncf 37336	. . 3 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) e. ( ( B [,] C ) -cn-> CC ) )
89	29, 30, 47, 57, 76, 88	ftc2 22873	. 2 |- ( ph -> S. ( B (,) C ) ( ( RR _D ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) ` x ) _d x = ( ( ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ` C ) - ( ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ` B ) ) )
90		eqidd 2430	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) = ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) )
91		oveq2 6313	. . . . . . . . . 10 |- ( y = C -> ( A x. y ) = ( A x. C ) )
92	91	fveq2d 5885	. . . . . . . . 9 |- ( y = C -> ( cos ` ( A x. y ) ) = ( cos ` ( A x. C ) ) )
93	92	negeqd 9868	. . . . . . . 8 |- ( y = C -> -u ( cos ` ( A x. y ) ) = -u ( cos ` ( A x. C ) ) )
94	93	oveq1d 6320	. . . . . . 7 |- ( y = C -> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) = ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) )
95	94	adantl 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y = C ) -> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) = ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) )
96	29	rexrd 9689	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. RR* )
97	30	rexrd 9689	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. RR* )
98		ubicc2 11747	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ B <_ C ) -> C e. ( B [,] C ) )
99	96, 97, 47, 98	syl3anc 1264	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. ( B [,] C ) )
100		ovex 6333	. . . . . . 7 |- ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) e. _V
101	100	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) e. _V )
102	90, 95, 99, 101	fvmptd 5970	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ` C ) = ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) )
103		oveq2 6313	. . . . . . . . . 10 |- ( y = B -> ( A x. y ) = ( A x. B ) )
104	103	fveq2d 5885	. . . . . . . . 9 |- ( y = B -> ( cos ` ( A x. y ) ) = ( cos ` ( A x. B ) ) )
105	104	negeqd 9868	. . . . . . . 8 |- ( y = B -> -u ( cos ` ( A x. y ) ) = -u ( cos ` ( A x. B ) ) )
106	105	oveq1d 6320	. . . . . . 7 |- ( y = B -> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) = ( -u ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) )
107	106	adantl 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y = B ) -> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) = ( -u ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) )
108		lbicc2 11746	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ B <_ C ) -> B e. ( B [,] C ) )
109	96, 97, 47, 108	syl3anc 1264	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. ( B [,] C ) )
110		ovex 6333	. . . . . . 7 |- ( -u ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) e. _V
111	110	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -u ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) e. _V )
112	90, 107, 109, 111	fvmptd 5970	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ` B ) = ( -u ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) )
113	102, 112	oveq12d 6323	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ` C ) - ( ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ` B ) ) = ( ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) - ( -u ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) ) )
114	29	recnd 9668	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B e. CC )
115	2, 114	mulcld 9662	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A x. B ) e. CC )
116	115	coscld 14163	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( cos ` ( A x. B ) ) e. CC )
117	116, 2, 8	divnegd 10395	. . . . . 6 |- ( ph -> -u ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) = ( -u ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) )
118	117	eqcomd 2437	. . . . 5 |- ( ph -> ( -u ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) = -u ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) )
119	118	oveq2d 6321	. . . 4 |- ( ph -> ( ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) - ( -u ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) ) = ( ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) - -u ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) ) )
120	30	recnd 9668	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. CC )
121	2, 120	mulcld 9662	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A x. C ) e. CC )
122	121	coscld 14163	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( cos ` ( A x. C ) ) e. CC )
123	122	negcld 9972	. . . . . 6 |- ( ph -> -u ( cos ` ( A x. C ) ) e. CC )
124	123, 2, 8	divcld 10382	. . . . 5 |- ( ph -> ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) e. CC )
125	116, 2, 8	divcld 10382	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) e. CC )
126	124, 125	subnegd 9992	. . . 4 |- ( ph -> ( ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) - -u ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) ) = ( ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) + ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) ) )
127	113, 119, 126	3eqtrd 2474	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ` C ) - ( ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ` B ) ) = ( ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) + ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) ) )
128	124, 125	addcomd 9834	. . 3 |- ( ph -> ( ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) + ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) ) = ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) + ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) ) )
129	122, 2, 8	divnegd 10395	. . . . . 6 |- ( ph -> -u ( ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) = ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) )
130	129	eqcomd 2437	. . . . 5 |- ( ph -> ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) = -u ( ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) )
131	130	oveq2d 6321	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) + ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) ) = ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) + -u ( ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) ) )
132	122, 2, 8	divcld 10382	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) e. CC )
133	125, 132	negsubd 9991	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) + -u ( ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) ) = ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) - ( ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) ) )
134	116, 122, 2, 8	divsubdird 10421	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) - ( cos ` ( A x. C ) ) ) / A ) = ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) - ( ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) ) )
135	134	eqcomd 2437	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) - ( ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) ) = ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) - ( cos ` ( A x. C ) ) ) / A ) )
136	131, 133, 135	3eqtrd 2474	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) + ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) ) = ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) - ( cos ` ( A x. C ) ) ) / A ) )
137	127, 128, 136	3eqtrd 2474	. 2 |- ( ph -> ( ( ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ` C ) - ( ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ` B ) ) = ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) - ( cos ` ( A x. C ) ) ) / A ) )
138	46, 89, 137	3eqtrd 2474	1 |- ( ph -> S. ( B (,) C ) ( sin ` ( A x. x ) ) _d x = ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) - ( cos ` ( A x. C ) ) ) / A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1870   =/= wne 2625   _Vcvv 3087   \ cdif 3439   C_ wss 3442   {csn 4002   {cpr 4004   class class class wbr 4426   |-> cmpt 4484   dom cdm 4854   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   RRcr 9537   0cc0 9538   + caddc 9541   x. cmul 9543   RR*cxr 9673   <_ cle 9675   - cmin 9859   -ucneg 9860   / cdiv 10268   (,)cioo 11635   [,]cicc 11638   sincsin 14094   cosccos 14095   -cn->ccncf 21804   volcvol 22295   L^1cibl 22452   S.citg 22453   _D cdv 22695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cc 8863  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-disj 4398  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-ofr 6546  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-omul 7195  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-acn 8375  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13109  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-limsup 13504  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-ef 14099  df-sin 14101  df-cos 14102  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-mulg 16627  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-lp 20083  df-perf 20084  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-haus 20262  df-cmp 20333  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-cncf 21806  df-ovol 22296  df-vol 22297  df-mbf 22454  df-itg1 22455  df-itg2 22456  df-ibl 22457  df-itg 22458  df-0p 22505  df-limc 22698  df-dv 22699

This theorem is referenced by:  sqwvfourb  37664