Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgsincmulx Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem itgsincmulx 37851
Description: Exercise: the integral of  x  |->  sin a x on an open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsincmulx.a  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
itgsincmulx.an0  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
itgsincmulx.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
itgsincmulx.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
itgsincmulx.blec  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
Assertion
Ref Expression
itgsincmulx  |-  ( ph  ->  S. ( B (,) C ) ( sin `  ( A  x.  x
) )  _d x  =  ( ( ( cos `  ( A  x.  B ) )  -  ( cos `  ( A  x.  C )
) )  /  A
) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C    ph, x

Proof of Theorem itgsincmulx
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  CC  |->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  /  A ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  /  A ) )
2 itgsincmulx.a . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
32adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
4 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  y  e.  CC )
53, 4mulcld 9663 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( A  x.  y )  e.  CC )
65coscld 14185 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( cos `  ( A  x.  y
) )  e.  CC )
76negcld 9973 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  e.  CC )
8 itgsincmulx.an0 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
98adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  A  =/=  0 )
107, 3, 9divcld 10383 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  /  A )  e.  CC )
11 cnelprrecn 9632 . . . . . . . . . 10  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
1211a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  CC  e.  { RR ,  CC } )
135sincld 14184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( sin `  ( A  x.  y
) )  e.  CC )
1413negcld 9973 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  -u ( sin `  ( A  x.  y ) )  e.  CC )
153, 14mulcld 9663 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y )
) )  e.  CC )
1615negcld 9973 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  -u ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y
) ) )  e.  CC )
17 dvcosax 37798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( cos `  ( A  x.  y )
) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y ) ) ) ) )
182, 17syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( cos `  ( A  x.  y ) ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y ) ) ) ) )
1912, 6, 15, 18dvmptneg 22920 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  -u ( cos `  ( A  x.  y ) ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  -u ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y ) ) ) ) )
2012, 7, 16, 19, 2, 8dvmptdivc 22919 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  (
-u ( cos `  ( A  x.  y )
)  /  A ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  (
-u ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y )
) )  /  A
) ) )
2115, 3, 9divnegd 10396 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  -u (
( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y ) ) )  /  A )  =  ( -u ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y )
) )  /  A
) )
2221eqcomd 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( -u ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y ) ) )  /  A )  = 
-u ( ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y )
) )  /  A
) )
2314, 3, 9divcan3d 10388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y ) ) )  /  A )  = 
-u ( sin `  ( A  x.  y )
) )
2423negeqd 9869 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  -u (
( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y ) ) )  /  A )  = 
-u -u ( sin `  ( A  x.  y )
) )
2513negnegd 9977 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  -u -u ( sin `  ( A  x.  y ) )  =  ( sin `  ( A  x.  y )
) )
2622, 24, 253eqtrd 2489 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( -u ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y ) ) )  /  A )  =  ( sin `  ( A  x.  y )
) )
2726mpteq2dva 4489 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  CC  |->  ( -u ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y )
) )  /  A
) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( sin `  ( A  x.  y ) ) ) )
2820, 27eqtrd 2485 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  (
-u ( cos `  ( A  x.  y )
)  /  A ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( sin `  ( A  x.  y ) ) ) )
29 itgsincmulx.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
30 itgsincmulx.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
311, 10, 28, 13, 29, 30dvmptresicc 37791 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( B [,] C )  |->  (
-u ( cos `  ( A  x.  y )
)  /  A ) ) )  =  ( y  e.  ( B (,) C )  |->  ( sin `  ( A  x.  y ) ) ) )
3231fveq1d 5867 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  ( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y
) )  /  A
) ) ) `  x )  =  ( ( y  e.  ( B (,) C ) 
|->  ( sin `  ( A  x.  y )
) ) `  x
) )
3332adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  ( ( RR  _D  ( y  e.  ( B [,] C
)  |->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  /  A ) ) ) `
 x )  =  ( ( y  e.  ( B (,) C
)  |->  ( sin `  ( A  x.  y )
) ) `  x
) )
34 eqidd 2452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  ( y  e.  ( B (,) C
)  |->  ( sin `  ( A  x.  y )
) )  =  ( y  e.  ( B (,) C )  |->  ( sin `  ( A  x.  y ) ) ) )
35 oveq2 6298 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  ( A  x.  y )  =  ( A  x.  x ) )
3635fveq2d 5869 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  ( sin `  ( A  x.  y ) )  =  ( sin `  ( A  x.  x )
) )
3736adantl 468 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B (,) C
) )  /\  y  =  x )  ->  ( sin `  ( A  x.  y ) )  =  ( sin `  ( A  x.  x )
) )
38 simpr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  x  e.  ( B (,) C ) )
392adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  A  e.  CC )
40 ioosscn 37591 . . . . . . . 8  |-  ( B (,) C )  C_  CC
4140, 38sseldi 3430 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  x  e.  CC )
4239, 41mulcld 9663 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  ( A  x.  x )  e.  CC )
4342sincld 14184 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  ( sin `  ( A  x.  x
) )  e.  CC )
4434, 37, 38, 43fvmptd 5954 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  ( (
y  e.  ( B (,) C )  |->  ( sin `  ( A  x.  y ) ) ) `  x )  =  ( sin `  ( A  x.  x )
) )
4533, 44eqtr2d 2486 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  ( sin `  ( A  x.  x
) )  =  ( ( RR  _D  (
y  e.  ( B [,] C )  |->  (
-u ( cos `  ( A  x.  y )
)  /  A ) ) ) `  x
) )
4645itgeq2dv 22739 . 2  |-  ( ph  ->  S. ( B (,) C ) ( sin `  ( A  x.  x
) )  _d x  =  S. ( B (,) C ) ( ( RR  _D  (
y  e.  ( B [,] C )  |->  (
-u ( cos `  ( A  x.  y )
)  /  A ) ) ) `  x
)  _d x )
47 itgsincmulx.blec . . 3  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
48 sincn 23399 . . . . . 6  |-  sin  e.  ( CC -cn-> CC )
4948a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  sin  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
5040a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  C_  CC )
51 ssid 3451 . . . . . . . 8  |-  CC  C_  CC
5251a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
5350, 2, 52constcncfg 37748 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B (,) C ) 
|->  A )  e.  ( ( B (,) C
) -cn-> CC ) )
5450, 52idcncfg 37749 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B (,) C ) 
|->  y )  e.  ( ( B (,) C
) -cn-> CC ) )
5553, 54mulcncf 22398 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B (,) C ) 
|->  ( A  x.  y
) )  e.  ( ( B (,) C
) -cn-> CC ) )
5649, 55cncfmpt1f 21945 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B (,) C ) 
|->  ( sin `  ( A  x.  y )
) )  e.  ( ( B (,) C
) -cn-> CC ) )
5731, 56eqeltrd 2529 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( B [,] C )  |->  (
-u ( cos `  ( A  x.  y )
)  /  A ) ) )  e.  ( ( B (,) C
) -cn-> CC ) )
58 ioossicc 11720 . . . . . 6  |-  ( B (,) C )  C_  ( B [,] C )
5958a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  C_  ( B [,] C ) )
60 ioombl 22518 . . . . . 6  |-  ( B (,) C )  e. 
dom  vol
6160a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  e.  dom  vol )
622adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( B [,] C ) )  ->  A  e.  CC )
6329, 30iccssred 37602 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B [,] C
)  C_  RR )
64 ax-resscn 9596 . . . . . . . . 9  |-  RR  C_  CC
6563, 64syl6ss 3444 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B [,] C
)  C_  CC )
6665sselda 3432 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( B [,] C ) )  ->  y  e.  CC )
6762, 66mulcld 9663 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( B [,] C ) )  ->  ( A  x.  y )  e.  CC )
6867sincld 14184 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( B [,] C ) )  ->  ( sin `  ( A  x.  y
) )  e.  CC )
6965, 2, 52constcncfg 37748 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  A )  e.  ( ( B [,] C
) -cn-> CC ) )
7065, 52idcncfg 37749 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  y )  e.  ( ( B [,] C
) -cn-> CC ) )
7169, 70mulcncf 22398 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  ( A  x.  y
) )  e.  ( ( B [,] C
) -cn-> CC ) )
7249, 71cncfmpt1f 21945 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  ( sin `  ( A  x.  y )
) )  e.  ( ( B [,] C
) -cn-> CC ) )
73 cniccibl 22798 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR  /\  (
y  e.  ( B [,] C )  |->  ( sin `  ( A  x.  y ) ) )  e.  ( ( B [,] C )
-cn-> CC ) )  -> 
( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  ( sin `  ( A  x.  y )
) )  e.  L^1 )
7429, 30, 72, 73syl3anc 1268 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  ( sin `  ( A  x.  y )
) )  e.  L^1 )
7559, 61, 68, 74iblss 22762 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B (,) C ) 
|->  ( sin `  ( A  x.  y )
) )  e.  L^1 )
7631, 75eqeltrd 2529 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( B [,] C )  |->  (
-u ( cos `  ( A  x.  y )
)  /  A ) ) )  e.  L^1 )
77 coscn 23400 . . . . . . 7  |-  cos  e.  ( CC -cn-> CC )
7877a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  cos  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
7978, 71cncfmpt1f 21945 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  ( cos `  ( A  x.  y )
) )  e.  ( ( B [,] C
) -cn-> CC ) )
8079negcncfg 37758 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  -u ( cos `  ( A  x.  y )
) )  e.  ( ( B [,] C
) -cn-> CC ) )
818neneqd 2629 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  A  =  0 )
82 elsncg 3991 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  { 0 } 
<->  A  =  0 ) )
832, 82syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  e.  {
0 }  <->  A  = 
0 ) )
8481, 83mtbird 303 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  A  e.  {
0 } )
852, 84eldifd 3415 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
86 difssd 3561 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( CC  \  {
0 } )  C_  CC )
8765, 85, 86constcncfg 37748 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  A )  e.  ( ( B [,] C
) -cn-> ( CC  \  { 0 } ) ) )
8880, 87divcncf 37761 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y
) )  /  A
) )  e.  ( ( B [,] C
) -cn-> CC ) )
8929, 30, 47, 57, 76, 88ftc2 22996 . 2  |-  ( ph  ->  S. ( B (,) C ) ( ( RR  _D  ( y  e.  ( B [,] C )  |->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  /  A ) ) ) `  x )  _d x  =  ( ( ( y  e.  ( B [,] C
)  |->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  /  A ) ) `  C )  -  (
( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y
) )  /  A
) ) `  B
) ) )
90 eqidd 2452 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y
) )  /  A
) )  =  ( y  e.  ( B [,] C )  |->  (
-u ( cos `  ( A  x.  y )
)  /  A ) ) )
91 oveq2 6298 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  C  ->  ( A  x.  y )  =  ( A  x.  C ) )
9291fveq2d 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  C  ->  ( cos `  ( A  x.  y ) )  =  ( cos `  ( A  x.  C )
) )
9392negeqd 9869 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  C  ->  -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  = 
-u ( cos `  ( A  x.  C )
) )
9493oveq1d 6305 . . . . . . 7  |-  ( y  =  C  ->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y )
)  /  A )  =  ( -u ( cos `  ( A  x.  C ) )  /  A ) )
9594adantl 468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  =  C )  ->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y )
)  /  A )  =  ( -u ( cos `  ( A  x.  C ) )  /  A ) )
9629rexrd 9690 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
9730rexrd 9690 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
98 ubicc2 11749 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  B  <_  C )  ->  C  e.  ( B [,] C
) )
9996, 97, 47, 98syl3anc 1268 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  ( B [,] C ) )
100 ovex 6318 . . . . . . 7  |-  ( -u ( cos `  ( A  x.  C ) )  /  A )  e. 
_V
101100a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -u ( cos `  ( A  x.  C
) )  /  A
)  e.  _V )
10290, 95, 99, 101fvmptd 5954 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( B [,] C
)  |->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  /  A ) ) `  C )  =  (
-u ( cos `  ( A  x.  C )
)  /  A ) )
103 oveq2 6298 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  B  ->  ( A  x.  y )  =  ( A  x.  B ) )
104103fveq2d 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  B  ->  ( cos `  ( A  x.  y ) )  =  ( cos `  ( A  x.  B )
) )
105104negeqd 9869 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  B  ->  -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  = 
-u ( cos `  ( A  x.  B )
) )
106105oveq1d 6305 . . . . . . 7  |-  ( y  =  B  ->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y )
)  /  A )  =  ( -u ( cos `  ( A  x.  B ) )  /  A ) )
107106adantl 468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  =  B )  ->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y )
)  /  A )  =  ( -u ( cos `  ( A  x.  B ) )  /  A ) )
108 lbicc2 11748 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  B  <_  C )  ->  B  e.  ( B [,] C
) )
10996, 97, 47, 108syl3anc 1268 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  ( B [,] C ) )
110 ovex 6318 . . . . . . 7  |-  ( -u ( cos `  ( A  x.  B ) )  /  A )  e. 
_V
111110a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -u ( cos `  ( A  x.  B
) )  /  A
)  e.  _V )
11290, 107, 109, 111fvmptd 5954 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( B [,] C
)  |->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  /  A ) ) `  B )  =  (
-u ( cos `  ( A  x.  B )
)  /  A ) )
113102, 112oveq12d 6308 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( y  e.  ( B [,] C )  |->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  /  A ) ) `
 C )  -  ( ( y  e.  ( B [,] C
)  |->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  /  A ) ) `  B ) )  =  ( ( -u ( cos `  ( A  x.  C ) )  /  A )  -  ( -u ( cos `  ( A  x.  B )
)  /  A ) ) )
11429recnd 9669 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
1152, 114mulcld 9663 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  CC )
116115coscld 14185 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( cos `  ( A  x.  B )
)  e.  CC )
117116, 2, 8divnegd 10396 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u ( ( cos `  ( A  x.  B
) )  /  A
)  =  ( -u ( cos `  ( A  x.  B ) )  /  A ) )
118117eqcomd 2457 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -u ( cos `  ( A  x.  B
) )  /  A
)  =  -u (
( cos `  ( A  x.  B )
)  /  A ) )
119118oveq2d 6306 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( cos `  ( A  x.  C ) )  /  A )  -  ( -u ( cos `  ( A  x.  B )
)  /  A ) )  =  ( (
-u ( cos `  ( A  x.  C )
)  /  A )  -  -u ( ( cos `  ( A  x.  B
) )  /  A
) ) )
12030recnd 9669 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
1212, 120mulcld 9663 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  x.  C
)  e.  CC )
122121coscld 14185 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( cos `  ( A  x.  C )
)  e.  CC )
123122negcld 9973 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u ( cos `  ( A  x.  C )
)  e.  CC )
124123, 2, 8divcld 10383 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -u ( cos `  ( A  x.  C
) )  /  A
)  e.  CC )
125116, 2, 8divcld 10383 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( cos `  ( A  x.  B )
)  /  A )  e.  CC )
126124, 125subnegd 9993 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( cos `  ( A  x.  C ) )  /  A )  -  -u (
( cos `  ( A  x.  B )
)  /  A ) )  =  ( (
-u ( cos `  ( A  x.  C )
)  /  A )  +  ( ( cos `  ( A  x.  B
) )  /  A
) ) )
127113, 119, 1263eqtrd 2489 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( y  e.  ( B [,] C )  |->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  /  A ) ) `
 C )  -  ( ( y  e.  ( B [,] C
)  |->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  /  A ) ) `  B ) )  =  ( ( -u ( cos `  ( A  x.  C ) )  /  A )  +  ( ( cos `  ( A  x.  B )
)  /  A ) ) )
128124, 125addcomd 9835 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( cos `  ( A  x.  C ) )  /  A )  +  ( ( cos `  ( A  x.  B )
)  /  A ) )  =  ( ( ( cos `  ( A  x.  B )
)  /  A )  +  ( -u ( cos `  ( A  x.  C ) )  /  A ) ) )
129122, 2, 8divnegd 10396 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u ( ( cos `  ( A  x.  C
) )  /  A
)  =  ( -u ( cos `  ( A  x.  C ) )  /  A ) )
130129eqcomd 2457 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -u ( cos `  ( A  x.  C
) )  /  A
)  =  -u (
( cos `  ( A  x.  C )
)  /  A ) )
131130oveq2d 6306 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( cos `  ( A  x.  B
) )  /  A
)  +  ( -u ( cos `  ( A  x.  C ) )  /  A ) )  =  ( ( ( cos `  ( A  x.  B ) )  /  A )  + 
-u ( ( cos `  ( A  x.  C
) )  /  A
) ) )
132122, 2, 8divcld 10383 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( cos `  ( A  x.  C )
)  /  A )  e.  CC )
133125, 132negsubd 9992 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( cos `  ( A  x.  B
) )  /  A
)  +  -u (
( cos `  ( A  x.  C )
)  /  A ) )  =  ( ( ( cos `  ( A  x.  B )
)  /  A )  -  ( ( cos `  ( A  x.  C
) )  /  A
) ) )
134116, 122, 2, 8divsubdird 10422 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( cos `  ( A  x.  B
) )  -  ( cos `  ( A  x.  C ) ) )  /  A )  =  ( ( ( cos `  ( A  x.  B
) )  /  A
)  -  ( ( cos `  ( A  x.  C ) )  /  A ) ) )
135134eqcomd 2457 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( cos `  ( A  x.  B
) )  /  A
)  -  ( ( cos `  ( A  x.  C ) )  /  A ) )  =  ( ( ( cos `  ( A  x.  B ) )  -  ( cos `  ( A  x.  C )
) )  /  A
) )
136131, 133, 1353eqtrd 2489 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( cos `  ( A  x.  B
) )  /  A
)  +  ( -u ( cos `  ( A  x.  C ) )  /  A ) )  =  ( ( ( cos `  ( A  x.  B ) )  -  ( cos `  ( A  x.  C )
) )  /  A
) )
137127, 128, 1363eqtrd 2489 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( y  e.  ( B [,] C )  |->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  /  A ) ) `
 C )  -  ( ( y  e.  ( B [,] C
)  |->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  /  A ) ) `  B ) )  =  ( ( ( cos `  ( A  x.  B
) )  -  ( cos `  ( A  x.  C ) ) )  /  A ) )
13846, 89, 1373eqtrd 2489 1  |-  ( ph  ->  S. ( B (,) C ) ( sin `  ( A  x.  x
) )  _d x  =  ( ( ( cos `  ( A  x.  B ) )  -  ( cos `  ( A  x.  C )
) )  /  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   _Vcvv 3045    \ cdif 3401    C_ wss 3404   {csn 3968   {cpr 3970   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   dom cdm 4834   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539    + caddc 9542    x. cmul 9544   RR*cxr 9674    <_ cle 9676    - cmin 9860   -ucneg 9861    / cdiv 10269   (,)cioo 11635   [,]cicc 11638   sincsin 14116   cosccos 14117   -cn->ccncf 21908   volcvol 22415   L^1cibl 22575   S.citg 22576    _D cdv 22818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cc 8865  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-disj 4374  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-ofr 6532  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-omul 7187  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-acn 8376  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-ef 14121  df-sin 14123  df-cos 14124  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-cmp 20402  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-ovol 22416  df-vol 22418  df-mbf 22577  df-itg1 22578  df-itg2 22579  df-ibl 22580  df-itg 22581  df-0p 22628  df-limc 22821  df-dv 22822
This theorem is referenced by:  sqwvfourb  38093
  Copyright terms: Public domain W3C validator