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Theorem itgsincmulx 37948
Description: Exercise: the integral of  x  |->  sin a x on an open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsincmulx.a  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
itgsincmulx.an0  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
itgsincmulx.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
itgsincmulx.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
itgsincmulx.blec  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
Assertion
Ref Expression
itgsincmulx  |-  ( ph  ->  S. ( B (,) C ) ( sin `  ( A  x.  x
) )  _d x  =  ( ( ( cos `  ( A  x.  B ) )  -  ( cos `  ( A  x.  C )
) )  /  A
) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C    ph, x

Proof of Theorem itgsincmulx
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  CC  |->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  /  A ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  /  A ) )
2 itgsincmulx.a . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
32adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
4 simpr 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  y  e.  CC )
53, 4mulcld 9681 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( A  x.  y )  e.  CC )
65coscld 14262 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( cos `  ( A  x.  y
) )  e.  CC )
76negcld 9992 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  e.  CC )
8 itgsincmulx.an0 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
98adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  A  =/=  0 )
107, 3, 9divcld 10405 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  /  A )  e.  CC )
11 cnelprrecn 9650 . . . . . . . . . 10  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
1211a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  CC  e.  { RR ,  CC } )
135sincld 14261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( sin `  ( A  x.  y
) )  e.  CC )
1413negcld 9992 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  -u ( sin `  ( A  x.  y ) )  e.  CC )
153, 14mulcld 9681 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y )
) )  e.  CC )
1615negcld 9992 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  -u ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y
) ) )  e.  CC )
17 dvcosax 37895 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( cos `  ( A  x.  y )
) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y ) ) ) ) )
182, 17syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( cos `  ( A  x.  y ) ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y ) ) ) ) )
1912, 6, 15, 18dvmptneg 22999 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  -u ( cos `  ( A  x.  y ) ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  -u ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y ) ) ) ) )
2012, 7, 16, 19, 2, 8dvmptdivc 22998 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  (
-u ( cos `  ( A  x.  y )
)  /  A ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  (
-u ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y )
) )  /  A
) ) )
2115, 3, 9divnegd 10418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  -u (
( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y ) ) )  /  A )  =  ( -u ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y )
) )  /  A
) )
2221eqcomd 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( -u ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y ) ) )  /  A )  = 
-u ( ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y )
) )  /  A
) )
2314, 3, 9divcan3d 10410 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y ) ) )  /  A )  = 
-u ( sin `  ( A  x.  y )
) )
2423negeqd 9889 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  -u (
( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y ) ) )  /  A )  = 
-u -u ( sin `  ( A  x.  y )
) )
2513negnegd 9996 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  -u -u ( sin `  ( A  x.  y ) )  =  ( sin `  ( A  x.  y )
) )
2622, 24, 253eqtrd 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( -u ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y ) ) )  /  A )  =  ( sin `  ( A  x.  y )
) )
2726mpteq2dva 4482 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  CC  |->  ( -u ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y )
) )  /  A
) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( sin `  ( A  x.  y ) ) ) )
2820, 27eqtrd 2505 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  (
-u ( cos `  ( A  x.  y )
)  /  A ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( sin `  ( A  x.  y ) ) ) )
29 itgsincmulx.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
30 itgsincmulx.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
311, 10, 28, 13, 29, 30dvmptresicc 37888 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( B [,] C )  |->  (
-u ( cos `  ( A  x.  y )
)  /  A ) ) )  =  ( y  e.  ( B (,) C )  |->  ( sin `  ( A  x.  y ) ) ) )
3231fveq1d 5881 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  ( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y
) )  /  A
) ) ) `  x )  =  ( ( y  e.  ( B (,) C ) 
|->  ( sin `  ( A  x.  y )
) ) `  x
) )
3332adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  ( ( RR  _D  ( y  e.  ( B [,] C
)  |->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  /  A ) ) ) `
 x )  =  ( ( y  e.  ( B (,) C
)  |->  ( sin `  ( A  x.  y )
) ) `  x
) )
34 eqidd 2472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  ( y  e.  ( B (,) C
)  |->  ( sin `  ( A  x.  y )
) )  =  ( y  e.  ( B (,) C )  |->  ( sin `  ( A  x.  y ) ) ) )
35 oveq2 6316 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  ( A  x.  y )  =  ( A  x.  x ) )
3635fveq2d 5883 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  ( sin `  ( A  x.  y ) )  =  ( sin `  ( A  x.  x )
) )
3736adantl 473 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B (,) C
) )  /\  y  =  x )  ->  ( sin `  ( A  x.  y ) )  =  ( sin `  ( A  x.  x )
) )
38 simpr 468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  x  e.  ( B (,) C ) )
392adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  A  e.  CC )
40 ioosscn 37687 . . . . . . . 8  |-  ( B (,) C )  C_  CC
4140, 38sseldi 3416 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  x  e.  CC )
4239, 41mulcld 9681 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  ( A  x.  x )  e.  CC )
4342sincld 14261 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  ( sin `  ( A  x.  x
) )  e.  CC )
4434, 37, 38, 43fvmptd 5969 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  ( (
y  e.  ( B (,) C )  |->  ( sin `  ( A  x.  y ) ) ) `  x )  =  ( sin `  ( A  x.  x )
) )
4533, 44eqtr2d 2506 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  ( sin `  ( A  x.  x
) )  =  ( ( RR  _D  (
y  e.  ( B [,] C )  |->  (
-u ( cos `  ( A  x.  y )
)  /  A ) ) ) `  x
) )
4645itgeq2dv 22818 . 2  |-  ( ph  ->  S. ( B (,) C ) ( sin `  ( A  x.  x
) )  _d x  =  S. ( B (,) C ) ( ( RR  _D  (
y  e.  ( B [,] C )  |->  (
-u ( cos `  ( A  x.  y )
)  /  A ) ) ) `  x
)  _d x )
47 itgsincmulx.blec . . 3  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
48 sincn 23478 . . . . . 6  |-  sin  e.  ( CC -cn-> CC )
4948a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  sin  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
5040a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  C_  CC )
51 ssid 3437 . . . . . . . 8  |-  CC  C_  CC
5251a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
5350, 2, 52constcncfg 37845 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B (,) C ) 
|->  A )  e.  ( ( B (,) C
) -cn-> CC ) )
5450, 52idcncfg 37846 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B (,) C ) 
|->  y )  e.  ( ( B (,) C
) -cn-> CC ) )
5553, 54mulcncf 22476 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B (,) C ) 
|->  ( A  x.  y
) )  e.  ( ( B (,) C
) -cn-> CC ) )
5649, 55cncfmpt1f 22023 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B (,) C ) 
|->  ( sin `  ( A  x.  y )
) )  e.  ( ( B (,) C
) -cn-> CC ) )
5731, 56eqeltrd 2549 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( B [,] C )  |->  (
-u ( cos `  ( A  x.  y )
)  /  A ) ) )  e.  ( ( B (,) C
) -cn-> CC ) )
58 ioossicc 11745 . . . . . 6  |-  ( B (,) C )  C_  ( B [,] C )
5958a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  C_  ( B [,] C ) )
60 ioombl 22597 . . . . . 6  |-  ( B (,) C )  e. 
dom  vol
6160a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  e.  dom  vol )
622adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( B [,] C ) )  ->  A  e.  CC )
6329, 30iccssred 37698 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B [,] C
)  C_  RR )
64 ax-resscn 9614 . . . . . . . . 9  |-  RR  C_  CC
6563, 64syl6ss 3430 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B [,] C
)  C_  CC )
6665sselda 3418 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( B [,] C ) )  ->  y  e.  CC )
6762, 66mulcld 9681 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( B [,] C ) )  ->  ( A  x.  y )  e.  CC )
6867sincld 14261 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( B [,] C ) )  ->  ( sin `  ( A  x.  y
) )  e.  CC )
6965, 2, 52constcncfg 37845 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  A )  e.  ( ( B [,] C
) -cn-> CC ) )
7065, 52idcncfg 37846 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  y )  e.  ( ( B [,] C
) -cn-> CC ) )
7169, 70mulcncf 22476 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  ( A  x.  y
) )  e.  ( ( B [,] C
) -cn-> CC ) )
7249, 71cncfmpt1f 22023 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  ( sin `  ( A  x.  y )
) )  e.  ( ( B [,] C
) -cn-> CC ) )
73 cniccibl 22877 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR  /\  (
y  e.  ( B [,] C )  |->  ( sin `  ( A  x.  y ) ) )  e.  ( ( B [,] C )
-cn-> CC ) )  -> 
( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  ( sin `  ( A  x.  y )
) )  e.  L^1 )
7429, 30, 72, 73syl3anc 1292 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  ( sin `  ( A  x.  y )
) )  e.  L^1 )
7559, 61, 68, 74iblss 22841 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B (,) C ) 
|->  ( sin `  ( A  x.  y )
) )  e.  L^1 )
7631, 75eqeltrd 2549 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( B [,] C )  |->  (
-u ( cos `  ( A  x.  y )
)  /  A ) ) )  e.  L^1 )
77 coscn 23479 . . . . . . 7  |-  cos  e.  ( CC -cn-> CC )
7877a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  cos  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
7978, 71cncfmpt1f 22023 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  ( cos `  ( A  x.  y )
) )  e.  ( ( B [,] C
) -cn-> CC ) )
8079negcncfg 37855 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  -u ( cos `  ( A  x.  y )
) )  e.  ( ( B [,] C
) -cn-> CC ) )
818neneqd 2648 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  A  =  0 )
82 elsncg 3983 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  { 0 } 
<->  A  =  0 ) )
832, 82syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  e.  {
0 }  <->  A  = 
0 ) )
8481, 83mtbird 308 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  A  e.  {
0 } )
852, 84eldifd 3401 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
86 difssd 3550 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( CC  \  {
0 } )  C_  CC )
8765, 85, 86constcncfg 37845 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  A )  e.  ( ( B [,] C
) -cn-> ( CC  \  { 0 } ) ) )
8880, 87divcncf 37858 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y
) )  /  A
) )  e.  ( ( B [,] C
) -cn-> CC ) )
8929, 30, 47, 57, 76, 88ftc2 23075 . 2  |-  ( ph  ->  S. ( B (,) C ) ( ( RR  _D  ( y  e.  ( B [,] C )  |->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  /  A ) ) ) `  x )  _d x  =  ( ( ( y  e.  ( B [,] C
)  |->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  /  A ) ) `  C )  -  (
( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y
) )  /  A
) ) `  B
) ) )
90 eqidd 2472 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y
) )  /  A
) )  =  ( y  e.  ( B [,] C )  |->  (
-u ( cos `  ( A  x.  y )
)  /  A ) ) )
91 oveq2 6316 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  C  ->  ( A  x.  y )  =  ( A  x.  C ) )
9291fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  C  ->  ( cos `  ( A  x.  y ) )  =  ( cos `  ( A  x.  C )
) )
9392negeqd 9889 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  C  ->  -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  = 
-u ( cos `  ( A  x.  C )
) )
9493oveq1d 6323 . . . . . . 7  |-  ( y  =  C  ->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y )
)  /  A )  =  ( -u ( cos `  ( A  x.  C ) )  /  A ) )
9594adantl 473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  =  C )  ->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y )
)  /  A )  =  ( -u ( cos `  ( A  x.  C ) )  /  A ) )
9629rexrd 9708 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
9730rexrd 9708 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
98 ubicc2 11775 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  B  <_  C )  ->  C  e.  ( B [,] C
) )
9996, 97, 47, 98syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  ( B [,] C ) )
100 ovex 6336 . . . . . . 7  |-  ( -u ( cos `  ( A  x.  C ) )  /  A )  e. 
_V
101100a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -u ( cos `  ( A  x.  C
) )  /  A
)  e.  _V )
10290, 95, 99, 101fvmptd 5969 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( B [,] C
)  |->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  /  A ) ) `  C )  =  (
-u ( cos `  ( A  x.  C )
)  /  A ) )
103 oveq2 6316 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  B  ->  ( A  x.  y )  =  ( A  x.  B ) )
104103fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  B  ->  ( cos `  ( A  x.  y ) )  =  ( cos `  ( A  x.  B )
) )
105104negeqd 9889 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  B  ->  -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  = 
-u ( cos `  ( A  x.  B )
) )
106105oveq1d 6323 . . . . . . 7  |-  ( y  =  B  ->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y )
)  /  A )  =  ( -u ( cos `  ( A  x.  B ) )  /  A ) )
107106adantl 473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  =  B )  ->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y )
)  /  A )  =  ( -u ( cos `  ( A  x.  B ) )  /  A ) )
108 lbicc2 11774 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  B  <_  C )  ->  B  e.  ( B [,] C
) )
10996, 97, 47, 108syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  ( B [,] C ) )
110 ovex 6336 . . . . . . 7  |-  ( -u ( cos `  ( A  x.  B ) )  /  A )  e. 
_V
111110a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -u ( cos `  ( A  x.  B
) )  /  A
)  e.  _V )
11290, 107, 109, 111fvmptd 5969 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( B [,] C
)  |->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  /  A ) ) `  B )  =  (
-u ( cos `  ( A  x.  B )
)  /  A ) )
113102, 112oveq12d 6326 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( y  e.  ( B [,] C )  |->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  /  A ) ) `
 C )  -  ( ( y  e.  ( B [,] C
)  |->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  /  A ) ) `  B ) )  =  ( ( -u ( cos `  ( A  x.  C ) )  /  A )  -  ( -u ( cos `  ( A  x.  B )
)  /  A ) ) )
11429recnd 9687 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
1152, 114mulcld 9681 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  CC )
116115coscld 14262 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( cos `  ( A  x.  B )
)  e.  CC )
117116, 2, 8divnegd 10418 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u ( ( cos `  ( A  x.  B
) )  /  A
)  =  ( -u ( cos `  ( A  x.  B ) )  /  A ) )
118117eqcomd 2477 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -u ( cos `  ( A  x.  B
) )  /  A
)  =  -u (
( cos `  ( A  x.  B )
)  /  A ) )
119118oveq2d 6324 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( cos `  ( A  x.  C ) )  /  A )  -  ( -u ( cos `  ( A  x.  B )
)  /  A ) )  =  ( (
-u ( cos `  ( A  x.  C )
)  /  A )  -  -u ( ( cos `  ( A  x.  B
) )  /  A
) ) )
12030recnd 9687 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
1212, 120mulcld 9681 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  x.  C
)  e.  CC )
122121coscld 14262 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( cos `  ( A  x.  C )
)  e.  CC )
123122negcld 9992 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u ( cos `  ( A  x.  C )
)  e.  CC )
124123, 2, 8divcld 10405 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -u ( cos `  ( A  x.  C
) )  /  A
)  e.  CC )
125116, 2, 8divcld 10405 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( cos `  ( A  x.  B )
)  /  A )  e.  CC )
126124, 125subnegd 10012 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( cos `  ( A  x.  C ) )  /  A )  -  -u (
( cos `  ( A  x.  B )
)  /  A ) )  =  ( (
-u ( cos `  ( A  x.  C )
)  /  A )  +  ( ( cos `  ( A  x.  B
) )  /  A
) ) )
127113, 119, 1263eqtrd 2509 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( y  e.  ( B [,] C )  |->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  /  A ) ) `
 C )  -  ( ( y  e.  ( B [,] C
)  |->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  /  A ) ) `  B ) )  =  ( ( -u ( cos `  ( A  x.  C ) )  /  A )  +  ( ( cos `  ( A  x.  B )
)  /  A ) ) )
128124, 125addcomd 9853 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( cos `  ( A  x.  C ) )  /  A )  +  ( ( cos `  ( A  x.  B )
)  /  A ) )  =  ( ( ( cos `  ( A  x.  B )
)  /  A )  +  ( -u ( cos `  ( A  x.  C ) )  /  A ) ) )
129122, 2, 8divnegd 10418 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u ( ( cos `  ( A  x.  C
) )  /  A
)  =  ( -u ( cos `  ( A  x.  C ) )  /  A ) )
130129eqcomd 2477 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -u ( cos `  ( A  x.  C
) )  /  A
)  =  -u (
( cos `  ( A  x.  C )
)  /  A ) )
131130oveq2d 6324 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( cos `  ( A  x.  B
) )  /  A
)  +  ( -u ( cos `  ( A  x.  C ) )  /  A ) )  =  ( ( ( cos `  ( A  x.  B ) )  /  A )  + 
-u ( ( cos `  ( A  x.  C
) )  /  A
) ) )
132122, 2, 8divcld 10405 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( cos `  ( A  x.  C )
)  /  A )  e.  CC )
133125, 132negsubd 10011 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( cos `  ( A  x.  B
) )  /  A
)  +  -u (
( cos `  ( A  x.  C )
)  /  A ) )  =  ( ( ( cos `  ( A  x.  B )
)  /  A )  -  ( ( cos `  ( A  x.  C
) )  /  A
) ) )
134116, 122, 2, 8divsubdird 10444 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( cos `  ( A  x.  B
) )  -  ( cos `  ( A  x.  C ) ) )  /  A )  =  ( ( ( cos `  ( A  x.  B
) )  /  A
)  -  ( ( cos `  ( A  x.  C ) )  /  A ) ) )
135134eqcomd 2477 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( cos `  ( A  x.  B
) )  /  A
)  -  ( ( cos `  ( A  x.  C ) )  /  A ) )  =  ( ( ( cos `  ( A  x.  B ) )  -  ( cos `  ( A  x.  C )
) )  /  A
) )
136131, 133, 1353eqtrd 2509 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( cos `  ( A  x.  B
) )  /  A
)  +  ( -u ( cos `  ( A  x.  C ) )  /  A ) )  =  ( ( ( cos `  ( A  x.  B ) )  -  ( cos `  ( A  x.  C )
) )  /  A
) )
137127, 128, 1363eqtrd 2509 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( y  e.  ( B [,] C )  |->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  /  A ) ) `
 C )  -  ( ( y  e.  ( B [,] C
)  |->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  /  A ) ) `  B ) )  =  ( ( ( cos `  ( A  x.  B
) )  -  ( cos `  ( A  x.  C ) ) )  /  A ) )
13846, 89, 1373eqtrd 2509 1  |-  ( ph  ->  S. ( B (,) C ) ( sin `  ( A  x.  x
) )  _d x  =  ( ( ( cos `  ( A  x.  B ) )  -  ( cos `  ( A  x.  C )
) )  /  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    C_ wss 3390   {csn 3959   {cpr 3961   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557    + caddc 9560    x. cmul 9562   RR*cxr 9692    <_ cle 9694    - cmin 9880   -ucneg 9881    / cdiv 10291   (,)cioo 11660   [,]cicc 11663   sincsin 14193   cosccos 14194   -cn->ccncf 21986   volcvol 22493   L^1cibl 22654   S.citg 22655    _D cdv 22897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-mbf 22656  df-itg1 22657  df-itg2 22658  df-ibl 22659  df-itg 22660  df-0p 22707  df-limc 22900  df-dv 22901
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