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Theorem itgsincmulx 31615
Description: Exercise: the integral of  x  |->  sin a x on an open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsincmulx.a  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
itgsincmulx.an0  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
itgsincmulx.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
itgsincmulx.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
itgsincmulx.blec  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
Assertion
Ref Expression
itgsincmulx  |-  ( ph  ->  S. ( B (,) C ) ( sin `  ( A  x.  x
) )  _d x  =  ( ( ( cos `  ( A  x.  B ) )  -  ( cos `  ( A  x.  C )
) )  /  A
) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C    ph, x

Proof of Theorem itgsincmulx
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  CC  |->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  /  A ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  /  A ) )
2 itgsincmulx.a . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
32adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
4 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  y  e.  CC )
53, 4mulcld 9628 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( A  x.  y )  e.  CC )
65coscld 13744 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( cos `  ( A  x.  y
) )  e.  CC )
76negcld 9929 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  e.  CC )
8 itgsincmulx.an0 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
98adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  A  =/=  0 )
107, 3, 9divcld 10332 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  /  A )  e.  CC )
11 cnelprrecn 9597 . . . . . . . . . 10  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
1211a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  CC  e.  { RR ,  CC } )
13 sincl 13739 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  x.  y )  e.  CC  ->  ( sin `  ( A  x.  y ) )  e.  CC )
145, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( sin `  ( A  x.  y
) )  e.  CC )
15 negcl 9832 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( sin `  ( A  x.  y ) )  e.  CC  ->  -u ( sin `  ( A  x.  y ) )  e.  CC )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  -u ( sin `  ( A  x.  y ) )  e.  CC )
173, 16jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( A  e.  CC  /\  -u ( sin `  ( A  x.  y ) )  e.  CC ) )
18 mulcl 9588 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -u ( sin `  ( A  x.  y )
)  e.  CC )  ->  ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y )
) )  e.  CC )
1917, 18syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y )
) )  e.  CC )
2019negcld 9929 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  -u ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y
) ) )  e.  CC )
21 dvcosax 31579 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( cos `  ( A  x.  y )
) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y ) ) ) ) )
222, 21syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( cos `  ( A  x.  y ) ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y ) ) ) ) )
2312, 6, 19, 22dvmptneg 22237 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  -u ( cos `  ( A  x.  y ) ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  -u ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y ) ) ) ) )
2412, 7, 20, 23, 2, 8dvmptdivc 22236 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  (
-u ( cos `  ( A  x.  y )
)  /  A ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  (
-u ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y )
) )  /  A
) ) )
2519, 3, 9divnegd 10345 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  -u (
( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y ) ) )  /  A )  =  ( -u ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y )
) )  /  A
) )
2625eqcomd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( -u ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y ) ) )  /  A )  = 
-u ( ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y )
) )  /  A
) )
2716, 3, 9divcan3d 10337 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y ) ) )  /  A )  = 
-u ( sin `  ( A  x.  y )
) )
2827negeqd 9826 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  -u (
( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y ) ) )  /  A )  = 
-u -u ( sin `  ( A  x.  y )
) )
2914negnegd 9933 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  -u -u ( sin `  ( A  x.  y ) )  =  ( sin `  ( A  x.  y )
) )
3026, 28, 293eqtrd 2512 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( -u ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y ) ) )  /  A )  =  ( sin `  ( A  x.  y )
) )
3130mpteq2dva 4539 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  CC  |->  ( -u ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y )
) )  /  A
) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( sin `  ( A  x.  y ) ) ) )
3224, 31eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  (
-u ( cos `  ( A  x.  y )
)  /  A ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( sin `  ( A  x.  y ) ) ) )
33 itgsincmulx.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
34 itgsincmulx.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
351, 10, 32, 14, 33, 34dvmptresicc 31572 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( B [,] C )  |->  (
-u ( cos `  ( A  x.  y )
)  /  A ) ) )  =  ( y  e.  ( B (,) C )  |->  ( sin `  ( A  x.  y ) ) ) )
3635fveq1d 5874 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  ( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y
) )  /  A
) ) ) `  x )  =  ( ( y  e.  ( B (,) C ) 
|->  ( sin `  ( A  x.  y )
) ) `  x
) )
3736adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  ( ( RR  _D  ( y  e.  ( B [,] C
)  |->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  /  A ) ) ) `
 x )  =  ( ( y  e.  ( B (,) C
)  |->  ( sin `  ( A  x.  y )
) ) `  x
) )
38 eqidd 2468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  ( y  e.  ( B (,) C
)  |->  ( sin `  ( A  x.  y )
) )  =  ( y  e.  ( B (,) C )  |->  ( sin `  ( A  x.  y ) ) ) )
39 oveq2 6303 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  ( A  x.  y )  =  ( A  x.  x ) )
4039fveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  ( sin `  ( A  x.  y ) )  =  ( sin `  ( A  x.  x )
) )
4140adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B (,) C
) )  /\  y  =  x )  ->  ( sin `  ( A  x.  y ) )  =  ( sin `  ( A  x.  x )
) )
42 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  x  e.  ( B (,) C ) )
432adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  A  e.  CC )
44 ioosscn 31414 . . . . . . . 8  |-  ( B (,) C )  C_  CC
4544, 42sseldi 3507 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  x  e.  CC )
4643, 45mulcld 9628 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  ( A  x.  x )  e.  CC )
4746sincld 13743 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  ( sin `  ( A  x.  x
) )  e.  CC )
4838, 41, 42, 47fvmptd 5962 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  ( (
y  e.  ( B (,) C )  |->  ( sin `  ( A  x.  y ) ) ) `  x )  =  ( sin `  ( A  x.  x )
) )
49 eqidd 2468 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  ( sin `  ( A  x.  x
) )  =  ( sin `  ( A  x.  x ) ) )
5037, 48, 493eqtrrd 2513 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  ( sin `  ( A  x.  x
) )  =  ( ( RR  _D  (
y  e.  ( B [,] C )  |->  (
-u ( cos `  ( A  x.  y )
)  /  A ) ) ) `  x
) )
5150itgeq2dv 22056 . 2  |-  ( ph  ->  S. ( B (,) C ) ( sin `  ( A  x.  x
) )  _d x  =  S. ( B (,) C ) ( ( RR  _D  (
y  e.  ( B [,] C )  |->  (
-u ( cos `  ( A  x.  y )
)  /  A ) ) ) `  x
)  _d x )
52 itgsincmulx.blec . . 3  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
53 sincn 22706 . . . . . 6  |-  sin  e.  ( CC -cn-> CC )
5453a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  sin  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
5544a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  C_  CC )
56 ssid 3528 . . . . . . . 8  |-  CC  C_  CC
5756a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
5855, 2, 57constcncfg 31532 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B (,) C ) 
|->  A )  e.  ( ( B (,) C
) -cn-> CC ) )
5955, 57idcncfg 31533 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B (,) C ) 
|->  y )  e.  ( ( B (,) C
) -cn-> CC ) )
6058, 59mulcncf 21727 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B (,) C ) 
|->  ( A  x.  y
) )  e.  ( ( B (,) C
) -cn-> CC ) )
6154, 60cncfmpt1f 21285 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B (,) C ) 
|->  ( sin `  ( A  x.  y )
) )  e.  ( ( B (,) C
) -cn-> CC ) )
6235, 61eqeltrd 2555 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( B [,] C )  |->  (
-u ( cos `  ( A  x.  y )
)  /  A ) ) )  e.  ( ( B (,) C
) -cn-> CC ) )
63 ioossicc 11622 . . . . . 6  |-  ( B (,) C )  C_  ( B [,] C )
6463a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  C_  ( B [,] C ) )
65 ioombl 21843 . . . . . 6  |-  ( B (,) C )  e. 
dom  vol
6665a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  e.  dom  vol )
672adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( B [,] C ) )  ->  A  e.  CC )
6833, 34iccssred 31426 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B [,] C
)  C_  RR )
69 ax-resscn 9561 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  C_  CC
7069a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
7168, 70sstrd 3519 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B [,] C
)  C_  CC )
7271adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( B [,] C ) )  ->  ( B [,] C )  C_  CC )
73 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( B [,] C ) )  ->  y  e.  ( B [,] C ) )
7472, 73sseldd 3510 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( B [,] C ) )  ->  y  e.  CC )
7567, 74mulcld 9628 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( B [,] C ) )  ->  ( A  x.  y )  e.  CC )
7675sincld 13743 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( B [,] C ) )  ->  ( sin `  ( A  x.  y
) )  e.  CC )
7771, 2, 57constcncfg 31532 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  A )  e.  ( ( B [,] C
) -cn-> CC ) )
7871, 57idcncfg 31533 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  y )  e.  ( ( B [,] C
) -cn-> CC ) )
7977, 78mulcncf 21727 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  ( A  x.  y
) )  e.  ( ( B [,] C
) -cn-> CC ) )
8054, 79cncfmpt1f 21285 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  ( sin `  ( A  x.  y )
) )  e.  ( ( B [,] C
) -cn-> CC ) )
81 cniccibl 22115 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR  /\  (
y  e.  ( B [,] C )  |->  ( sin `  ( A  x.  y ) ) )  e.  ( ( B [,] C )
-cn-> CC ) )  -> 
( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  ( sin `  ( A  x.  y )
) )  e.  L^1 )
8233, 34, 80, 81syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  ( sin `  ( A  x.  y )
) )  e.  L^1 )
8364, 66, 76, 82iblss 22079 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B (,) C ) 
|->  ( sin `  ( A  x.  y )
) )  e.  L^1 )
8435, 83eqeltrd 2555 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( B [,] C )  |->  (
-u ( cos `  ( A  x.  y )
)  /  A ) ) )  e.  L^1 )
85 coscn 22707 . . . . . . 7  |-  cos  e.  ( CC -cn-> CC )
8685a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  cos  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
8786, 79cncfmpt1f 21285 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  ( cos `  ( A  x.  y )
) )  e.  ( ( B [,] C
) -cn-> CC ) )
8887negcncfg 31542 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  -u ( cos `  ( A  x.  y )
) )  e.  ( ( B [,] C
) -cn-> CC ) )
898neneqd 2669 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  A  =  0 )
90 elsncg 4056 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  { 0 } 
<->  A  =  0 ) )
912, 90syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  e.  {
0 }  <->  A  = 
0 ) )
9289, 91mtbird 301 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  A  e.  {
0 } )
932, 92eldifd 3492 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
94 difssd 3637 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( CC  \  {
0 } )  C_  CC )
9571, 93, 94constcncfg 31532 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  A )  e.  ( ( B [,] C
) -cn-> ( CC  \  { 0 } ) ) )
9688, 95divcncf 31545 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y
) )  /  A
) )  e.  ( ( B [,] C
) -cn-> CC ) )
9733, 34, 52, 62, 84, 96ftc2 22313 . 2  |-  ( ph  ->  S. ( B (,) C ) ( ( RR  _D  ( y  e.  ( B [,] C )  |->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  /  A ) ) ) `  x )  _d x  =  ( ( ( y  e.  ( B [,] C
)  |->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  /  A ) ) `  C )  -  (
( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y
) )  /  A
) ) `  B
) ) )
98 eqidd 2468 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y
) )  /  A
) )  =  ( y  e.  ( B [,] C )  |->  (
-u ( cos `  ( A  x.  y )
)  /  A ) ) )
99 oveq2 6303 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  C  ->  ( A  x.  y )  =  ( A  x.  C ) )
10099fveq2d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  C  ->  ( cos `  ( A  x.  y ) )  =  ( cos `  ( A  x.  C )
) )
101100negeqd 9826 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  C  ->  -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  = 
-u ( cos `  ( A  x.  C )
) )
102101oveq1d 6310 . . . . . . 7  |-  ( y  =  C  ->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y )
)  /  A )  =  ( -u ( cos `  ( A  x.  C ) )  /  A ) )
103102adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  =  C )  ->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y )
)  /  A )  =  ( -u ( cos `  ( A  x.  C ) )  /  A ) )
10433rexrd 9655 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
10534rexrd 9655 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
106 ubicc2 11649 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  B  <_  C )  ->  C  e.  ( B [,] C
) )
107104, 105, 52, 106syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  ( B [,] C ) )
108 ovex 6320 . . . . . . 7  |-  ( -u ( cos `  ( A  x.  C ) )  /  A )  e. 
_V
109108a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -u ( cos `  ( A  x.  C
) )  /  A
)  e.  _V )
11098, 103, 107, 109fvmptd 5962 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( B [,] C
)  |->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  /  A ) ) `  C )  =  (
-u ( cos `  ( A  x.  C )
)  /  A ) )
111 oveq2 6303 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  B  ->  ( A  x.  y )  =  ( A  x.  B ) )
112111fveq2d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  B  ->  ( cos `  ( A  x.  y ) )  =  ( cos `  ( A  x.  B )
) )
113112negeqd 9826 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  B  ->  -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  = 
-u ( cos `  ( A  x.  B )
) )
114113oveq1d 6310 . . . . . . 7  |-  ( y  =  B  ->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y )
)  /  A )  =  ( -u ( cos `  ( A  x.  B ) )  /  A ) )
115114adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  =  B )  ->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y )
)  /  A )  =  ( -u ( cos `  ( A  x.  B ) )  /  A ) )
116 lbicc2 11648 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  B  <_  C )  ->  B  e.  ( B [,] C
) )
117104, 105, 52, 116syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  ( B [,] C ) )
118 ovex 6320 . . . . . . 7  |-  ( -u ( cos `  ( A  x.  B ) )  /  A )  e. 
_V
119118a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -u ( cos `  ( A  x.  B
) )  /  A
)  e.  _V )
12098, 115, 117, 119fvmptd 5962 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( B [,] C
)  |->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  /  A ) ) `  B )  =  (
-u ( cos `  ( A  x.  B )
)  /  A ) )
121110, 120oveq12d 6313 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( y  e.  ( B [,] C )  |->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  /  A ) ) `
 C )  -  ( ( y  e.  ( B [,] C
)  |->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  /  A ) ) `  B ) )  =  ( ( -u ( cos `  ( A  x.  C ) )  /  A )  -  ( -u ( cos `  ( A  x.  B )
)  /  A ) ) )
12269, 33sseldi 3507 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
1232, 122mulcld 9628 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  CC )
124123coscld 13744 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( cos `  ( A  x.  B )
)  e.  CC )
125124, 2, 8divnegd 10345 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u ( ( cos `  ( A  x.  B
) )  /  A
)  =  ( -u ( cos `  ( A  x.  B ) )  /  A ) )
126125eqcomd 2475 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -u ( cos `  ( A  x.  B
) )  /  A
)  =  -u (
( cos `  ( A  x.  B )
)  /  A ) )
127126oveq2d 6311 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( cos `  ( A  x.  C ) )  /  A )  -  ( -u ( cos `  ( A  x.  B )
)  /  A ) )  =  ( (
-u ( cos `  ( A  x.  C )
)  /  A )  -  -u ( ( cos `  ( A  x.  B
) )  /  A
) ) )
12869, 34sseldi 3507 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
1292, 128mulcld 9628 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  x.  C
)  e.  CC )
130129coscld 13744 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( cos `  ( A  x.  C )
)  e.  CC )
131130negcld 9929 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u ( cos `  ( A  x.  C )
)  e.  CC )
132131, 2, 8divcld 10332 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -u ( cos `  ( A  x.  C
) )  /  A
)  e.  CC )
133124, 2, 8divcld 10332 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( cos `  ( A  x.  B )
)  /  A )  e.  CC )
134132, 133subnegd 9949 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( cos `  ( A  x.  C ) )  /  A )  -  -u (
( cos `  ( A  x.  B )
)  /  A ) )  =  ( (
-u ( cos `  ( A  x.  C )
)  /  A )  +  ( ( cos `  ( A  x.  B
) )  /  A
) ) )
135121, 127, 1343eqtrd 2512 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( y  e.  ( B [,] C )  |->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  /  A ) ) `
 C )  -  ( ( y  e.  ( B [,] C
)  |->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  /  A ) ) `  B ) )  =  ( ( -u ( cos `  ( A  x.  C ) )  /  A )  +  ( ( cos `  ( A  x.  B )
)  /  A ) ) )
136132, 133addcomd 9793 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( cos `  ( A  x.  C ) )  /  A )  +  ( ( cos `  ( A  x.  B )
)  /  A ) )  =  ( ( ( cos `  ( A  x.  B )
)  /  A )  +  ( -u ( cos `  ( A  x.  C ) )  /  A ) ) )
137130, 2, 8divnegd 10345 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u ( ( cos `  ( A  x.  C
) )  /  A
)  =  ( -u ( cos `  ( A  x.  C ) )  /  A ) )
138137eqcomd 2475 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -u ( cos `  ( A  x.  C
) )  /  A
)  =  -u (
( cos `  ( A  x.  C )
)  /  A ) )
139138oveq2d 6311 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( cos `  ( A  x.  B
) )  /  A
)  +  ( -u ( cos `  ( A  x.  C ) )  /  A ) )  =  ( ( ( cos `  ( A  x.  B ) )  /  A )  + 
-u ( ( cos `  ( A  x.  C
) )  /  A
) ) )
140130, 2, 8divcld 10332 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( cos `  ( A  x.  C )
)  /  A )  e.  CC )
141133, 140negsubd 9948 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( cos `  ( A  x.  B
) )  /  A
)  +  -u (
( cos `  ( A  x.  C )
)  /  A ) )  =  ( ( ( cos `  ( A  x.  B )
)  /  A )  -  ( ( cos `  ( A  x.  C
) )  /  A
) ) )
142124, 130, 2, 8divsubdird 10371 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( cos `  ( A  x.  B
) )  -  ( cos `  ( A  x.  C ) ) )  /  A )  =  ( ( ( cos `  ( A  x.  B
) )  /  A
)  -  ( ( cos `  ( A  x.  C ) )  /  A ) ) )
143142eqcomd 2475 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( cos `  ( A  x.  B
) )  /  A
)  -  ( ( cos `  ( A  x.  C ) )  /  A ) )  =  ( ( ( cos `  ( A  x.  B ) )  -  ( cos `  ( A  x.  C )
) )  /  A
) )
144139, 141, 1433eqtrd 2512 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( cos `  ( A  x.  B
) )  /  A
)  +  ( -u ( cos `  ( A  x.  C ) )  /  A ) )  =  ( ( ( cos `  ( A  x.  B ) )  -  ( cos `  ( A  x.  C )
) )  /  A
) )
145135, 136, 1443eqtrd 2512 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( y  e.  ( B [,] C )  |->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  /  A ) ) `
 C )  -  ( ( y  e.  ( B [,] C
)  |->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  /  A ) ) `  B ) )  =  ( ( ( cos `  ( A  x.  B
) )  -  ( cos `  ( A  x.  C ) ) )  /  A ) )
14651, 97, 1453eqtrd 2512 1  |-  ( ph  ->  S. ( B (,) C ) ( sin `  ( A  x.  x
) )  _d x  =  ( ( ( cos `  ( A  x.  B ) )  -  ( cos `  ( A  x.  C )
) )  /  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   _Vcvv 3118    \ cdif 3478    C_ wss 3481   {csn 4033   {cpr 4035   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511   dom cdm 5005   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504    + caddc 9507    x. cmul 9509   RR*cxr 9639    <_ cle 9641    - cmin 9817   -ucneg 9818    / cdiv 10218   (,)cioo 11541   [,]cicc 11544   sincsin 13678   cosccos 13679   -cn->ccncf 21248   volcvol 21743   L^1cibl 21894   S.citg 21895    _D cdv 22135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cc 8827  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-disj 4424  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-ofr 6536  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-omul 7147  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-acn 8335  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-fac 12334  df-bc 12361  df-hash 12386  df-shft 12880  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-limsup 13274  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-ef 13682  df-sin 13684  df-cos 13685  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-lp 19505  df-perf 19506  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-haus 19684  df-cmp 19755  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cncf 21250  df-ovol 21744  df-vol 21745  df-mbf 21896  df-itg1 21897  df-itg2 21898  df-ibl 21899  df-itg 21900  df-0p 21945  df-limc 22138  df-dv 22139
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