Theorem itgsincmulx 31615

Description: Exercise: the integral of x |-> sin a x on an open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgsincmulx.a	|- ( ph -> A e. CC )
itgsincmulx.an0	|- ( ph -> A =/= 0 )
itgsincmulx.b	|- ( ph -> B e. RR )
itgsincmulx.c	|- ( ph -> C e. RR )
itgsincmulx.blec	|- ( ph -> B <_ C )

Assertion

Ref	Expression
itgsincmulx	|- ( ph -> S. ( B (,) C ) ( sin ` ( A x. x ) ) _d x = ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) - ( cos ` ( A x. C ) ) ) / A ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, C   ph, x

Proof of Theorem itgsincmulx

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2467	. . . . . . 7 |- ( y e. CC |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) = ( y e. CC |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) )
2		itgsincmulx.a	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. CC )
3	2	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> A e. CC )
4		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> y e. CC )
5	3, 4	mulcld 9628	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( A x. y ) e. CC )
6	5	coscld 13744	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( cos ` ( A x. y ) ) e. CC )
7	6	negcld 9929	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> -u ( cos ` ( A x. y ) ) e. CC )
8		itgsincmulx.an0	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A =/= 0 )
9	8	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> A =/= 0 )
10	7, 3, 9	divcld 10332	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) e. CC )
11		cnelprrecn 9597	. . . . . . . . . 10 |- CC e. { RR , CC }
12	11	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> CC e. { RR , CC } )
13		sincl 13739	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A x. y ) e. CC -> ( sin ` ( A x. y ) ) e. CC )
14	5, 13	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( sin ` ( A x. y ) ) e. CC )
15		negcl 9832	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( sin ` ( A x. y ) ) e. CC -> -u ( sin ` ( A x. y ) ) e. CC )
16	14, 15	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> -u ( sin ` ( A x. y ) ) e. CC )
17	3, 16	jca 532	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( A e. CC /\ -u ( sin ` ( A x. y ) ) e. CC ) )
18		mulcl 9588	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ -u ( sin ` ( A x. y ) ) e. CC ) -> ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) e. CC )
19	17, 18	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) e. CC )
20	19	negcld 9929	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> -u ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) e. CC )
21		dvcosax 31579	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( cos ` ( A x. y ) ) ) ) = ( y e. CC |-> ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) ) )
22	2, 21	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( cos ` ( A x. y ) ) ) ) = ( y e. CC |-> ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) ) )
23	12, 6, 19, 22	dvmptneg 22237	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( CC _D ( y e. CC |-> -u ( cos ` ( A x. y ) ) ) ) = ( y e. CC |-> -u ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) ) )
24	12, 7, 20, 23, 2, 8	dvmptdivc 22236	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) = ( y e. CC |-> ( -u ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) / A ) ) )
25	19, 3, 9	divnegd 10345	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> -u ( ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) / A ) = ( -u ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) / A ) )
26	25	eqcomd 2475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( -u ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) / A ) = -u ( ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) / A ) )
27	16, 3, 9	divcan3d 10337	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) / A ) = -u ( sin ` ( A x. y ) ) )
28	27	negeqd 9826	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> -u ( ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) / A ) = -u -u ( sin ` ( A x. y ) ) )
29	14	negnegd 9933	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> -u -u ( sin ` ( A x. y ) ) = ( sin ` ( A x. y ) ) )
30	26, 28, 29	3eqtrd 2512	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( -u ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) / A ) = ( sin ` ( A x. y ) ) )
31	30	mpteq2dva 4539	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( y e. CC |-> ( -u ( A x. -u ( sin ` ( A x. y ) ) ) / A ) ) = ( y e. CC |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) )
32	24, 31	eqtrd 2508	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) = ( y e. CC |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) )
33		itgsincmulx.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. RR )
34		itgsincmulx.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. RR )
35	1, 10, 32, 14, 33, 34	dvmptresicc 31572	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) = ( y e. ( B (,) C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) )
36	35	fveq1d 5874	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( RR _D ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) ` x ) = ( ( y e. ( B (,) C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) ` x ) )
37	36	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> ( ( RR _D ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) ` x ) = ( ( y e. ( B (,) C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) ` x ) )
38		eqidd 2468	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> ( y e. ( B (,) C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) = ( y e. ( B (,) C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) )
39		oveq2 6303	. . . . . . 7 |- ( y = x -> ( A x. y ) = ( A x. x ) )
40	39	fveq2d 5876	. . . . . 6 |- ( y = x -> ( sin ` ( A x. y ) ) = ( sin ` ( A x. x ) ) )
41	40	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) /\ y = x ) -> ( sin ` ( A x. y ) ) = ( sin ` ( A x. x ) ) )
42		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> x e. ( B (,) C ) )
43	2	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> A e. CC )
44		ioosscn 31414	. . . . . . . 8 |- ( B (,) C ) C_ CC
45	44, 42	sseldi 3507	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> x e. CC )
46	43, 45	mulcld 9628	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> ( A x. x ) e. CC )
47	46	sincld 13743	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> ( sin ` ( A x. x ) ) e. CC )
48	38, 41, 42, 47	fvmptd 5962	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> ( ( y e. ( B (,) C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) ` x ) = ( sin ` ( A x. x ) ) )
49		eqidd 2468	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> ( sin ` ( A x. x ) ) = ( sin ` ( A x. x ) ) )
50	37, 48, 49	3eqtrrd 2513	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> ( sin ` ( A x. x ) ) = ( ( RR _D ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) ` x ) )
51	50	itgeq2dv 22056	. 2 |- ( ph -> S. ( B (,) C ) ( sin ` ( A x. x ) ) _d x = S. ( B (,) C ) ( ( RR _D ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) ` x ) _d x )
52		itgsincmulx.blec	. . 3 |- ( ph -> B <_ C )
53		sincn 22706	. . . . . 6 |- sin e. ( CC -cn-> CC )
54	53	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> sin e. ( CC -cn-> CC ) )
55	44	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B (,) C ) C_ CC )
56		ssid 3528	. . . . . . . 8 |- CC C_ CC
57	56	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> CC C_ CC )
58	55, 2, 57	constcncfg 31532	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. ( B (,) C ) |-> A ) e. ( ( B (,) C ) -cn-> CC ) )
59	55, 57	idcncfg 31533	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. ( B (,) C ) |-> y ) e. ( ( B (,) C ) -cn-> CC ) )
60	58, 59	mulcncf 21727	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. ( B (,) C ) |-> ( A x. y ) ) e. ( ( B (,) C ) -cn-> CC ) )
61	54, 60	cncfmpt1f 21285	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. ( B (,) C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) e. ( ( B (,) C ) -cn-> CC ) )
62	35, 61	eqeltrd 2555	. . 3 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) e. ( ( B (,) C ) -cn-> CC ) )
63		ioossicc 11622	. . . . . 6 |- ( B (,) C ) C_ ( B [,] C )
64	63	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( B (,) C ) C_ ( B [,] C ) )
65		ioombl 21843	. . . . . 6 |- ( B (,) C ) e. dom vol
66	65	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( B (,) C ) e. dom vol )
67	2	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( B [,] C ) ) -> A e. CC )
68	33, 34	iccssred 31426	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B [,] C ) C_ RR )
69		ax-resscn 9561	. . . . . . . . . . 11 |- RR C_ CC
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> RR C_ CC )
71	68, 70	sstrd 3519	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B [,] C ) C_ CC )
72	71	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( B [,] C ) ) -> ( B [,] C ) C_ CC )
73		simpr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( B [,] C ) ) -> y e. ( B [,] C ) )
74	72, 73	sseldd 3510	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( B [,] C ) ) -> y e. CC )
75	67, 74	mulcld 9628	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( B [,] C ) ) -> ( A x. y ) e. CC )
76	75	sincld 13743	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( B [,] C ) ) -> ( sin ` ( A x. y ) ) e. CC )
77	71, 2, 57	constcncfg 31532	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> A ) e. ( ( B [,] C ) -cn-> CC ) )
78	71, 57	idcncfg 31533	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> y ) e. ( ( B [,] C ) -cn-> CC ) )
79	77, 78	mulcncf 21727	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> ( A x. y ) ) e. ( ( B [,] C ) -cn-> CC ) )
80	54, 79	cncfmpt1f 21285	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) e. ( ( B [,] C ) -cn-> CC ) )
81		cniccibl 22115	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR /\ ( y e. ( B [,] C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) e. ( ( B [,] C ) -cn-> CC ) ) -> ( y e. ( B [,] C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) e. L^1 )
82	33, 34, 80, 81	syl3anc 1228	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) e. L^1 )
83	64, 66, 76, 82	iblss 22079	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. ( B (,) C ) |-> ( sin ` ( A x. y ) ) ) e. L^1 )
84	35, 83	eqeltrd 2555	. . 3 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) e. L^1 )
85		coscn 22707	. . . . . . 7 |- cos e. ( CC -cn-> CC )
86	85	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> cos e. ( CC -cn-> CC ) )
87	86, 79	cncfmpt1f 21285	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> ( cos ` ( A x. y ) ) ) e. ( ( B [,] C ) -cn-> CC ) )
88	87	negcncfg 31542	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> -u ( cos ` ( A x. y ) ) ) e. ( ( B [,] C ) -cn-> CC ) )
89	8	neneqd 2669	. . . . . . 7 |- ( ph -> -. A = 0 )
90		elsncg 4056	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( A e. { 0 } <-> A = 0 ) )
91	2, 90	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A e. { 0 } <-> A = 0 ) )
92	89, 91	mtbird 301	. . . . . 6 |- ( ph -> -. A e. { 0 } )
93	2, 92	eldifd 3492	. . . . 5 |- ( ph -> A e. ( CC \ { 0 } ) )
94		difssd 3637	. . . . 5 |- ( ph -> ( CC \ { 0 } ) C_ CC )
95	71, 93, 94	constcncfg 31532	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> A ) e. ( ( B [,] C ) -cn-> ( CC \ { 0 } ) ) )
96	88, 95	divcncf 31545	. . 3 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) e. ( ( B [,] C ) -cn-> CC ) )
97	33, 34, 52, 62, 84, 96	ftc2 22313	. 2 |- ( ph -> S. ( B (,) C ) ( ( RR _D ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ) ` x ) _d x = ( ( ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ` C ) - ( ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ` B ) ) )
98		eqidd 2468	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) = ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) )
99		oveq2 6303	. . . . . . . . . 10 |- ( y = C -> ( A x. y ) = ( A x. C ) )
100	99	fveq2d 5876	. . . . . . . . 9 |- ( y = C -> ( cos ` ( A x. y ) ) = ( cos ` ( A x. C ) ) )
101	100	negeqd 9826	. . . . . . . 8 |- ( y = C -> -u ( cos ` ( A x. y ) ) = -u ( cos ` ( A x. C ) ) )
102	101	oveq1d 6310	. . . . . . 7 |- ( y = C -> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) = ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) )
103	102	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y = C ) -> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) = ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) )
104	33	rexrd 9655	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. RR* )
105	34	rexrd 9655	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. RR* )
106		ubicc2 11649	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ B <_ C ) -> C e. ( B [,] C ) )
107	104, 105, 52, 106	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. ( B [,] C ) )
108		ovex 6320	. . . . . . 7 |- ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) e. _V
109	108	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) e. _V )
110	98, 103, 107, 109	fvmptd 5962	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ` C ) = ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) )
111		oveq2 6303	. . . . . . . . . 10 |- ( y = B -> ( A x. y ) = ( A x. B ) )
112	111	fveq2d 5876	. . . . . . . . 9 |- ( y = B -> ( cos ` ( A x. y ) ) = ( cos ` ( A x. B ) ) )
113	112	negeqd 9826	. . . . . . . 8 |- ( y = B -> -u ( cos ` ( A x. y ) ) = -u ( cos ` ( A x. B ) ) )
114	113	oveq1d 6310	. . . . . . 7 |- ( y = B -> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) = ( -u ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) )
115	114	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y = B ) -> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) = ( -u ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) )
116		lbicc2 11648	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ B <_ C ) -> B e. ( B [,] C ) )
117	104, 105, 52, 116	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. ( B [,] C ) )
118		ovex 6320	. . . . . . 7 |- ( -u ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) e. _V
119	118	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -u ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) e. _V )
120	98, 115, 117, 119	fvmptd 5962	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ` B ) = ( -u ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) )
121	110, 120	oveq12d 6313	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ` C ) - ( ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ` B ) ) = ( ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) - ( -u ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) ) )
122	69, 33	sseldi 3507	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B e. CC )
123	2, 122	mulcld 9628	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A x. B ) e. CC )
124	123	coscld 13744	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( cos ` ( A x. B ) ) e. CC )
125	124, 2, 8	divnegd 10345	. . . . . 6 |- ( ph -> -u ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) = ( -u ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) )
126	125	eqcomd 2475	. . . . 5 |- ( ph -> ( -u ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) = -u ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) )
127	126	oveq2d 6311	. . . 4 |- ( ph -> ( ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) - ( -u ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) ) = ( ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) - -u ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) ) )
128	69, 34	sseldi 3507	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. CC )
129	2, 128	mulcld 9628	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A x. C ) e. CC )
130	129	coscld 13744	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( cos ` ( A x. C ) ) e. CC )
131	130	negcld 9929	. . . . . 6 |- ( ph -> -u ( cos ` ( A x. C ) ) e. CC )
132	131, 2, 8	divcld 10332	. . . . 5 |- ( ph -> ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) e. CC )
133	124, 2, 8	divcld 10332	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) e. CC )
134	132, 133	subnegd 9949	. . . 4 |- ( ph -> ( ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) - -u ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) ) = ( ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) + ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) ) )
135	121, 127, 134	3eqtrd 2512	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ` C ) - ( ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ` B ) ) = ( ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) + ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) ) )
136	132, 133	addcomd 9793	. . 3 |- ( ph -> ( ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) + ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) ) = ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) + ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) ) )
137	130, 2, 8	divnegd 10345	. . . . . 6 |- ( ph -> -u ( ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) = ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) )
138	137	eqcomd 2475	. . . . 5 |- ( ph -> ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) = -u ( ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) )
139	138	oveq2d 6311	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) + ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) ) = ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) + -u ( ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) ) )
140	130, 2, 8	divcld 10332	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) e. CC )
141	133, 140	negsubd 9948	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) + -u ( ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) ) = ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) - ( ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) ) )
142	124, 130, 2, 8	divsubdird 10371	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) - ( cos ` ( A x. C ) ) ) / A ) = ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) - ( ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) ) )
143	142	eqcomd 2475	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) - ( ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) ) = ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) - ( cos ` ( A x. C ) ) ) / A ) )
144	139, 141, 143	3eqtrd 2512	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) / A ) + ( -u ( cos ` ( A x. C ) ) / A ) ) = ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) - ( cos ` ( A x. C ) ) ) / A ) )
145	135, 136, 144	3eqtrd 2512	. 2 |- ( ph -> ( ( ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ` C ) - ( ( y e. ( B [,] C ) |-> ( -u ( cos ` ( A x. y ) ) / A ) ) ` B ) ) = ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) - ( cos ` ( A x. C ) ) ) / A ) )
146	51, 97, 145	3eqtrd 2512	1 |- ( ph -> S. ( B (,) C ) ( sin ` ( A x. x ) ) _d x = ( ( ( cos ` ( A x. B ) ) - ( cos ` ( A x. C ) ) ) / A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   _Vcvv 3118   \ cdif 3478   C_ wss 3481   {csn 4033   {cpr 4035   class class class wbr 4453   |-> cmpt 4511   dom cdm 5005   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   + caddc 9507   x. cmul 9509   RR*cxr 9639   <_ cle 9641   - cmin 9817   -ucneg 9818   / cdiv 10218   (,)cioo 11541   [,]cicc 11544   sincsin 13678   cosccos 13679   -cn->ccncf 21248   volcvol 21743   L^1cibl 21894   S.citg 21895   _D cdv 22135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cc 8827  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-disj 4424  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-ofr 6536  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-omul 7147  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-acn 8335  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-fac 12334  df-bc 12361  df-hash 12386  df-shft 12880  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-limsup 13274  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-ef 13682  df-sin 13684  df-cos 13685  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-lp 19505  df-perf 19506  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-haus 19684  df-cmp 19755  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cncf 21250  df-ovol 21744  df-vol 21745  df-mbf 21896  df-itg1 21897  df-itg2 21898  df-ibl 21899  df-itg 21900  df-0p 21945  df-limc 22138  df-dv 22139

This theorem is referenced by:  sqwvfourb  31853