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Theorem itgsincmulx 37423
Description: Exercise: the integral of  x  |->  sin a x on an open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsincmulx.a  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
itgsincmulx.an0  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
itgsincmulx.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
itgsincmulx.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
itgsincmulx.blec  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
Assertion
Ref Expression
itgsincmulx  |-  ( ph  ->  S. ( B (,) C ) ( sin `  ( A  x.  x
) )  _d x  =  ( ( ( cos `  ( A  x.  B ) )  -  ( cos `  ( A  x.  C )
) )  /  A
) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C    ph, x

Proof of Theorem itgsincmulx
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2429 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  CC  |->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  /  A ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  /  A ) )
2 itgsincmulx.a . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
32adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
4 simpr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  y  e.  CC )
53, 4mulcld 9662 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( A  x.  y )  e.  CC )
65coscld 14163 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( cos `  ( A  x.  y
) )  e.  CC )
76negcld 9972 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  e.  CC )
8 itgsincmulx.an0 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
98adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  A  =/=  0 )
107, 3, 9divcld 10382 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  /  A )  e.  CC )
11 cnelprrecn 9631 . . . . . . . . . 10  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
1211a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  CC  e.  { RR ,  CC } )
135sincld 14162 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( sin `  ( A  x.  y
) )  e.  CC )
1413negcld 9972 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  -u ( sin `  ( A  x.  y ) )  e.  CC )
153, 14mulcld 9662 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y )
) )  e.  CC )
1615negcld 9972 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  -u ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y
) ) )  e.  CC )
17 dvcosax 37373 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( cos `  ( A  x.  y )
) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y ) ) ) ) )
182, 17syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( cos `  ( A  x.  y ) ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y ) ) ) ) )
1912, 6, 15, 18dvmptneg 22797 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  -u ( cos `  ( A  x.  y ) ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  -u ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y ) ) ) ) )
2012, 7, 16, 19, 2, 8dvmptdivc 22796 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  (
-u ( cos `  ( A  x.  y )
)  /  A ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  (
-u ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y )
) )  /  A
) ) )
2115, 3, 9divnegd 10395 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  -u (
( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y ) ) )  /  A )  =  ( -u ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y )
) )  /  A
) )
2221eqcomd 2437 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( -u ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y ) ) )  /  A )  = 
-u ( ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y )
) )  /  A
) )
2314, 3, 9divcan3d 10387 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y ) ) )  /  A )  = 
-u ( sin `  ( A  x.  y )
) )
2423negeqd 9868 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  -u (
( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y ) ) )  /  A )  = 
-u -u ( sin `  ( A  x.  y )
) )
2513negnegd 9976 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  -u -u ( sin `  ( A  x.  y ) )  =  ( sin `  ( A  x.  y )
) )
2622, 24, 253eqtrd 2474 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( -u ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y ) ) )  /  A )  =  ( sin `  ( A  x.  y )
) )
2726mpteq2dva 4512 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  CC  |->  ( -u ( A  x.  -u ( sin `  ( A  x.  y )
) )  /  A
) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( sin `  ( A  x.  y ) ) ) )
2820, 27eqtrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  (
-u ( cos `  ( A  x.  y )
)  /  A ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( sin `  ( A  x.  y ) ) ) )
29 itgsincmulx.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
30 itgsincmulx.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
311, 10, 28, 13, 29, 30dvmptresicc 37366 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( B [,] C )  |->  (
-u ( cos `  ( A  x.  y )
)  /  A ) ) )  =  ( y  e.  ( B (,) C )  |->  ( sin `  ( A  x.  y ) ) ) )
3231fveq1d 5883 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  ( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y
) )  /  A
) ) ) `  x )  =  ( ( y  e.  ( B (,) C ) 
|->  ( sin `  ( A  x.  y )
) ) `  x
) )
3332adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  ( ( RR  _D  ( y  e.  ( B [,] C
)  |->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  /  A ) ) ) `
 x )  =  ( ( y  e.  ( B (,) C
)  |->  ( sin `  ( A  x.  y )
) ) `  x
) )
34 eqidd 2430 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  ( y  e.  ( B (,) C
)  |->  ( sin `  ( A  x.  y )
) )  =  ( y  e.  ( B (,) C )  |->  ( sin `  ( A  x.  y ) ) ) )
35 oveq2 6313 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  ( A  x.  y )  =  ( A  x.  x ) )
3635fveq2d 5885 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  ( sin `  ( A  x.  y ) )  =  ( sin `  ( A  x.  x )
) )
3736adantl 467 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B (,) C
) )  /\  y  =  x )  ->  ( sin `  ( A  x.  y ) )  =  ( sin `  ( A  x.  x )
) )
38 simpr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  x  e.  ( B (,) C ) )
392adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  A  e.  CC )
40 ioosscn 37179 . . . . . . . 8  |-  ( B (,) C )  C_  CC
4140, 38sseldi 3468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  x  e.  CC )
4239, 41mulcld 9662 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  ( A  x.  x )  e.  CC )
4342sincld 14162 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  ( sin `  ( A  x.  x
) )  e.  CC )
4434, 37, 38, 43fvmptd 5970 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  ( (
y  e.  ( B (,) C )  |->  ( sin `  ( A  x.  y ) ) ) `  x )  =  ( sin `  ( A  x.  x )
) )
4533, 44eqtr2d 2471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  ( sin `  ( A  x.  x
) )  =  ( ( RR  _D  (
y  e.  ( B [,] C )  |->  (
-u ( cos `  ( A  x.  y )
)  /  A ) ) ) `  x
) )
4645itgeq2dv 22616 . 2  |-  ( ph  ->  S. ( B (,) C ) ( sin `  ( A  x.  x
) )  _d x  =  S. ( B (,) C ) ( ( RR  _D  (
y  e.  ( B [,] C )  |->  (
-u ( cos `  ( A  x.  y )
)  /  A ) ) ) `  x
)  _d x )
47 itgsincmulx.blec . . 3  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
48 sincn 23264 . . . . . 6  |-  sin  e.  ( CC -cn-> CC )
4948a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  sin  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
5040a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  C_  CC )
51 ssid 3489 . . . . . . . 8  |-  CC  C_  CC
5251a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
5350, 2, 52constcncfg 37323 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B (,) C ) 
|->  A )  e.  ( ( B (,) C
) -cn-> CC ) )
5450, 52idcncfg 37324 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B (,) C ) 
|->  y )  e.  ( ( B (,) C
) -cn-> CC ) )
5553, 54mulcncf 22279 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B (,) C ) 
|->  ( A  x.  y
) )  e.  ( ( B (,) C
) -cn-> CC ) )
5649, 55cncfmpt1f 21841 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B (,) C ) 
|->  ( sin `  ( A  x.  y )
) )  e.  ( ( B (,) C
) -cn-> CC ) )
5731, 56eqeltrd 2517 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( B [,] C )  |->  (
-u ( cos `  ( A  x.  y )
)  /  A ) ) )  e.  ( ( B (,) C
) -cn-> CC ) )
58 ioossicc 11720 . . . . . 6  |-  ( B (,) C )  C_  ( B [,] C )
5958a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  C_  ( B [,] C ) )
60 ioombl 22395 . . . . . 6  |-  ( B (,) C )  e. 
dom  vol
6160a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  e.  dom  vol )
622adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( B [,] C ) )  ->  A  e.  CC )
6329, 30iccssred 37190 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B [,] C
)  C_  RR )
64 ax-resscn 9595 . . . . . . . . 9  |-  RR  C_  CC
6563, 64syl6ss 3482 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B [,] C
)  C_  CC )
6665sselda 3470 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( B [,] C ) )  ->  y  e.  CC )
6762, 66mulcld 9662 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( B [,] C ) )  ->  ( A  x.  y )  e.  CC )
6867sincld 14162 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( B [,] C ) )  ->  ( sin `  ( A  x.  y
) )  e.  CC )
6965, 2, 52constcncfg 37323 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  A )  e.  ( ( B [,] C
) -cn-> CC ) )
7065, 52idcncfg 37324 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  y )  e.  ( ( B [,] C
) -cn-> CC ) )
7169, 70mulcncf 22279 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  ( A  x.  y
) )  e.  ( ( B [,] C
) -cn-> CC ) )
7249, 71cncfmpt1f 21841 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  ( sin `  ( A  x.  y )
) )  e.  ( ( B [,] C
) -cn-> CC ) )
73 cniccibl 22675 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR  /\  (
y  e.  ( B [,] C )  |->  ( sin `  ( A  x.  y ) ) )  e.  ( ( B [,] C )
-cn-> CC ) )  -> 
( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  ( sin `  ( A  x.  y )
) )  e.  L^1 )
7429, 30, 72, 73syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  ( sin `  ( A  x.  y )
) )  e.  L^1 )
7559, 61, 68, 74iblss 22639 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B (,) C ) 
|->  ( sin `  ( A  x.  y )
) )  e.  L^1 )
7631, 75eqeltrd 2517 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( B [,] C )  |->  (
-u ( cos `  ( A  x.  y )
)  /  A ) ) )  e.  L^1 )
77 coscn 23265 . . . . . . 7  |-  cos  e.  ( CC -cn-> CC )
7877a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  cos  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
7978, 71cncfmpt1f 21841 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  ( cos `  ( A  x.  y )
) )  e.  ( ( B [,] C
) -cn-> CC ) )
8079negcncfg 37333 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  -u ( cos `  ( A  x.  y )
) )  e.  ( ( B [,] C
) -cn-> CC ) )
818neneqd 2632 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  A  =  0 )
82 elsncg 4025 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  { 0 } 
<->  A  =  0 ) )
832, 82syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  e.  {
0 }  <->  A  = 
0 ) )
8481, 83mtbird 302 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  A  e.  {
0 } )
852, 84eldifd 3453 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
86 difssd 3599 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( CC  \  {
0 } )  C_  CC )
8765, 85, 86constcncfg 37323 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  A )  e.  ( ( B [,] C
) -cn-> ( CC  \  { 0 } ) ) )
8880, 87divcncf 37336 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y
) )  /  A
) )  e.  ( ( B [,] C
) -cn-> CC ) )
8929, 30, 47, 57, 76, 88ftc2 22873 . 2  |-  ( ph  ->  S. ( B (,) C ) ( ( RR  _D  ( y  e.  ( B [,] C )  |->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  /  A ) ) ) `  x )  _d x  =  ( ( ( y  e.  ( B [,] C
)  |->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  /  A ) ) `  C )  -  (
( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y
) )  /  A
) ) `  B
) ) )
90 eqidd 2430 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B [,] C ) 
|->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y
) )  /  A
) )  =  ( y  e.  ( B [,] C )  |->  (
-u ( cos `  ( A  x.  y )
)  /  A ) ) )
91 oveq2 6313 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  C  ->  ( A  x.  y )  =  ( A  x.  C ) )
9291fveq2d 5885 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  C  ->  ( cos `  ( A  x.  y ) )  =  ( cos `  ( A  x.  C )
) )
9392negeqd 9868 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  C  ->  -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  = 
-u ( cos `  ( A  x.  C )
) )
9493oveq1d 6320 . . . . . . 7  |-  ( y  =  C  ->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y )
)  /  A )  =  ( -u ( cos `  ( A  x.  C ) )  /  A ) )
9594adantl 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  =  C )  ->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y )
)  /  A )  =  ( -u ( cos `  ( A  x.  C ) )  /  A ) )
9629rexrd 9689 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
9730rexrd 9689 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
98 ubicc2 11747 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  B  <_  C )  ->  C  e.  ( B [,] C
) )
9996, 97, 47, 98syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  ( B [,] C ) )
100 ovex 6333 . . . . . . 7  |-  ( -u ( cos `  ( A  x.  C ) )  /  A )  e. 
_V
101100a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -u ( cos `  ( A  x.  C
) )  /  A
)  e.  _V )
10290, 95, 99, 101fvmptd 5970 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( B [,] C
)  |->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  /  A ) ) `  C )  =  (
-u ( cos `  ( A  x.  C )
)  /  A ) )
103 oveq2 6313 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  B  ->  ( A  x.  y )  =  ( A  x.  B ) )
104103fveq2d 5885 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  B  ->  ( cos `  ( A  x.  y ) )  =  ( cos `  ( A  x.  B )
) )
105104negeqd 9868 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  B  ->  -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  = 
-u ( cos `  ( A  x.  B )
) )
106105oveq1d 6320 . . . . . . 7  |-  ( y  =  B  ->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y )
)  /  A )  =  ( -u ( cos `  ( A  x.  B ) )  /  A ) )
107106adantl 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  =  B )  ->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y )
)  /  A )  =  ( -u ( cos `  ( A  x.  B ) )  /  A ) )
108 lbicc2 11746 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  B  <_  C )  ->  B  e.  ( B [,] C
) )
10996, 97, 47, 108syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  ( B [,] C ) )
110 ovex 6333 . . . . . . 7  |-  ( -u ( cos `  ( A  x.  B ) )  /  A )  e. 
_V
111110a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -u ( cos `  ( A  x.  B
) )  /  A
)  e.  _V )
11290, 107, 109, 111fvmptd 5970 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( B [,] C
)  |->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  /  A ) ) `  B )  =  (
-u ( cos `  ( A  x.  B )
)  /  A ) )
113102, 112oveq12d 6323 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( y  e.  ( B [,] C )  |->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  /  A ) ) `
 C )  -  ( ( y  e.  ( B [,] C
)  |->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  /  A ) ) `  B ) )  =  ( ( -u ( cos `  ( A  x.  C ) )  /  A )  -  ( -u ( cos `  ( A  x.  B )
)  /  A ) ) )
11429recnd 9668 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
1152, 114mulcld 9662 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  CC )
116115coscld 14163 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( cos `  ( A  x.  B )
)  e.  CC )
117116, 2, 8divnegd 10395 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u ( ( cos `  ( A  x.  B
) )  /  A
)  =  ( -u ( cos `  ( A  x.  B ) )  /  A ) )
118117eqcomd 2437 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -u ( cos `  ( A  x.  B
) )  /  A
)  =  -u (
( cos `  ( A  x.  B )
)  /  A ) )
119118oveq2d 6321 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( cos `  ( A  x.  C ) )  /  A )  -  ( -u ( cos `  ( A  x.  B )
)  /  A ) )  =  ( (
-u ( cos `  ( A  x.  C )
)  /  A )  -  -u ( ( cos `  ( A  x.  B
) )  /  A
) ) )
12030recnd 9668 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
1212, 120mulcld 9662 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  x.  C
)  e.  CC )
122121coscld 14163 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( cos `  ( A  x.  C )
)  e.  CC )
123122negcld 9972 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u ( cos `  ( A  x.  C )
)  e.  CC )
124123, 2, 8divcld 10382 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -u ( cos `  ( A  x.  C
) )  /  A
)  e.  CC )
125116, 2, 8divcld 10382 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( cos `  ( A  x.  B )
)  /  A )  e.  CC )
126124, 125subnegd 9992 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( cos `  ( A  x.  C ) )  /  A )  -  -u (
( cos `  ( A  x.  B )
)  /  A ) )  =  ( (
-u ( cos `  ( A  x.  C )
)  /  A )  +  ( ( cos `  ( A  x.  B
) )  /  A
) ) )
127113, 119, 1263eqtrd 2474 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( y  e.  ( B [,] C )  |->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  /  A ) ) `
 C )  -  ( ( y  e.  ( B [,] C
)  |->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  /  A ) ) `  B ) )  =  ( ( -u ( cos `  ( A  x.  C ) )  /  A )  +  ( ( cos `  ( A  x.  B )
)  /  A ) ) )
128124, 125addcomd 9834 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( cos `  ( A  x.  C ) )  /  A )  +  ( ( cos `  ( A  x.  B )
)  /  A ) )  =  ( ( ( cos `  ( A  x.  B )
)  /  A )  +  ( -u ( cos `  ( A  x.  C ) )  /  A ) ) )
129122, 2, 8divnegd 10395 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u ( ( cos `  ( A  x.  C
) )  /  A
)  =  ( -u ( cos `  ( A  x.  C ) )  /  A ) )
130129eqcomd 2437 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -u ( cos `  ( A  x.  C
) )  /  A
)  =  -u (
( cos `  ( A  x.  C )
)  /  A ) )
131130oveq2d 6321 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( cos `  ( A  x.  B
) )  /  A
)  +  ( -u ( cos `  ( A  x.  C ) )  /  A ) )  =  ( ( ( cos `  ( A  x.  B ) )  /  A )  + 
-u ( ( cos `  ( A  x.  C
) )  /  A
) ) )
132122, 2, 8divcld 10382 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( cos `  ( A  x.  C )
)  /  A )  e.  CC )
133125, 132negsubd 9991 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( cos `  ( A  x.  B
) )  /  A
)  +  -u (
( cos `  ( A  x.  C )
)  /  A ) )  =  ( ( ( cos `  ( A  x.  B )
)  /  A )  -  ( ( cos `  ( A  x.  C
) )  /  A
) ) )
134116, 122, 2, 8divsubdird 10421 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( cos `  ( A  x.  B
) )  -  ( cos `  ( A  x.  C ) ) )  /  A )  =  ( ( ( cos `  ( A  x.  B
) )  /  A
)  -  ( ( cos `  ( A  x.  C ) )  /  A ) ) )
135134eqcomd 2437 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( cos `  ( A  x.  B
) )  /  A
)  -  ( ( cos `  ( A  x.  C ) )  /  A ) )  =  ( ( ( cos `  ( A  x.  B ) )  -  ( cos `  ( A  x.  C )
) )  /  A
) )
136131, 133, 1353eqtrd 2474 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( cos `  ( A  x.  B
) )  /  A
)  +  ( -u ( cos `  ( A  x.  C ) )  /  A ) )  =  ( ( ( cos `  ( A  x.  B ) )  -  ( cos `  ( A  x.  C )
) )  /  A
) )
137127, 128, 1363eqtrd 2474 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( y  e.  ( B [,] C )  |->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  /  A ) ) `
 C )  -  ( ( y  e.  ( B [,] C
)  |->  ( -u ( cos `  ( A  x.  y ) )  /  A ) ) `  B ) )  =  ( ( ( cos `  ( A  x.  B
) )  -  ( cos `  ( A  x.  C ) ) )  /  A ) )
13846, 89, 1373eqtrd 2474 1  |-  ( ph  ->  S. ( B (,) C ) ( sin `  ( A  x.  x
) )  _d x  =  ( ( ( cos `  ( A  x.  B ) )  -  ( cos `  ( A  x.  C )
) )  /  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   _Vcvv 3087    \ cdif 3439    C_ wss 3442   {csn 4002   {cpr 4004   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484   dom cdm 4854   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   RRcr 9537   0cc0 9538    + caddc 9541    x. cmul 9543   RR*cxr 9673    <_ cle 9675    - cmin 9859   -ucneg 9860    / cdiv 10268   (,)cioo 11635   [,]cicc 11638   sincsin 14094   cosccos 14095   -cn->ccncf 21804   volcvol 22295   L^1cibl 22452   S.citg 22453    _D cdv 22695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cc 8863  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-disj 4398  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-ofr 6546  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-omul 7195  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-acn 8375  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13109  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-limsup 13504  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-ef 14099  df-sin 14101  df-cos 14102  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-mulg 16627  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-lp 20083  df-perf 20084  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-haus 20262  df-cmp 20333  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-cncf 21806  df-ovol 22296  df-vol 22297  df-mbf 22454  df-itg1 22455  df-itg2 22456  df-ibl 22457  df-itg 22458  df-0p 22505  df-limc 22698  df-dv 22699
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