Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgsin0pilem1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem itgsin0pilem1 37836
Description: Calculation of the integral for sine on the (0,π) interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
itgsin0pilem1.1  |-  C  =  ( t  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  -u ( cos `  t
) )
Assertion
Ref Expression
itgsin0pilem1  |-  S. ( 0 (,) pi ) ( sin `  x
)  _d x  =  2
Distinct variable groups:    x, t    x, C
Allowed substitution hint:    C( t)

Proof of Theorem itgsin0pilem1
StepHypRef Expression
1 itgsin0pilem1.1 . . . . . . . . . . 11  |-  C  =  ( t  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  -u ( cos `  t
) )
2 fveq2 5870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  x  ->  ( cos `  t )  =  ( cos `  x
) )
32negeqd 9874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  x  ->  -u ( cos `  t )  = 
-u ( cos `  x
) )
43cbvmptv 4498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  ( 0 [,] pi )  |->  -u ( cos `  t ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  -u ( cos `  x
) )
51, 4eqtri 2475 . . . . . . . . . 10  |-  C  =  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  -u ( cos `  x
) )
65oveq2i 6306 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
_D  C )  =  ( RR  _D  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  -u ( cos `  x ) ) )
7 ax-resscn 9601 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  C_  CC
87a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  RR  C_  CC )
9 0re 9648 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
10 pire 23425 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  e.  RR
11 iccssre 11723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( 0 [,] pi )  C_  RR )
129, 10, 11mp2an 679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 [,] pi )  C_  RR
1312a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( 0 [,] pi )  C_  RR )
1412, 7sstri 3443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 [,] pi )  C_  CC
1514sseli 3430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  x  e.  CC )
1615coscld 14197 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
1716adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
1817negcld 9978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
19 eqid 2453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
2019tgioo2 21833 . . . . . . . . . . 11  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
21 iccntr 21851 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( 0 [,] pi ) )  =  ( 0 (,) pi ) )
229, 10, 21mp2an 679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( int `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  ( 0 [,] pi ) )  =  ( 0 (,) pi )
2322a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( 0 [,] pi ) )  =  ( 0 (,) pi ) )
248, 13, 18, 20, 19, 23dvmptntr 22937 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  -u ( cos `  x ) ) )  =  ( RR  _D  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  -u ( cos `  x ) ) ) )
2524trud 1455 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
_D  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  -u ( cos `  x
) ) )  =  ( RR  _D  (
x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  -u ( cos `  x ) ) )
26 reelprrecn 9636 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
2726a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  RR  e.  { RR ,  CC } )
28 recn 9634 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
2928coscld 14197 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
3029adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR )  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
3130negcld 9978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR )  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
3228sincld 14196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
3332adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
3432negcld 9978 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  -u ( sin `  x )  e.  CC )
3534adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR )  ->  -u ( sin `  x )  e.  CC )
36 dvcosre 37791 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( RR 
_D  ( x  e.  RR  |->  ( cos `  x
) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  -u ( sin `  x
) )
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  ( cos `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  -u ( sin `  x ) ) )
3827, 30, 35, 37dvmptneg 22932 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  -u ( cos `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  -u -u ( sin `  x
) ) )
3932negnegd 9982 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  -u -u ( sin `  x )  =  ( sin `  x
) )
4039mpteq2ia 4488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  |->  -u -u ( sin `  x ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( sin `  x
) )
4138, 40syl6eq 2503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  -u ( cos `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( sin `  x ) ) )
42 ioossre 11703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 (,) pi )  C_  RR
4342a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( 0 (,) pi )  C_  RR )
44 iooretop 21798 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 (,) pi )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
4544a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( 0 (,) pi )  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
4627, 31, 33, 41, 43, 20, 19, 45dvmptres 22929 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  -u ( cos `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  ( sin `  x ) ) )
4746trud 1455 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
_D  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  -u ( cos `  x
) ) )  =  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( sin `  x
) )
486, 25, 473eqtri 2479 . . . . . . . 8  |-  ( RR 
_D  C )  =  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( sin `  x
) )
4948fveq1i 5871 . . . . . . 7  |-  ( ( RR  _D  C ) `
 x )  =  ( ( x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  ( sin `  x
) ) `  x
)
5042, 7sstri 3443 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 (,) pi )  C_  CC
5150sseli 3430 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  x  e.  CC )
5251sincld 14196 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
53 eqid 2453 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  ( sin `  x ) )  =  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( sin `  x
) )
5453fvmpt2 5962 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 (,) pi )  /\  ( sin `  x )  e.  CC )  -> 
( ( x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  ( sin `  x
) ) `  x
)  =  ( sin `  x ) )
5552, 54mpdan 675 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( sin `  x
) ) `  x
)  =  ( sin `  x ) )
5649, 55syl5eq 2499 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
( RR  _D  C
) `  x )  =  ( sin `  x
) )
5756adantl 468 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( RR  _D  C
) `  x )  =  ( sin `  x
) )
5857itgeq2dv 22751 . . . 4  |-  ( T. 
->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( RR  _D  C ) `
 x )  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) ( sin `  x
)  _d x )
5958trud 1455 . . 3  |-  S. ( 0 (,) pi ) ( ( RR  _D  C ) `  x
)  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) ( sin `  x )  _d x
609a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  0  e.  RR )
6110a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  pi  e.  RR )
62 pipos 23427 . . . . . . 7  |-  0  <  pi
639, 10, 62ltleii 9762 . . . . . 6  |-  0  <_  pi
6463a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  0  <_  pi )
65 nfcv 2594 . . . . . . 7  |-  F/_ x sin
66 sincn 23411 . . . . . . . 8  |-  sin  e.  ( CC -cn-> CC )
6766a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  sin  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
6850a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( 0 (,) pi )  C_  CC )
6965, 67, 68cncfmptss 37675 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( sin `  x
) )  e.  ( ( 0 (,) pi ) -cn-> CC ) )
7048, 69syl5eqel 2535 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  C
)  e.  ( ( 0 (,) pi )
-cn-> CC ) )
71 ioossicc 11727 . . . . . . . 8  |-  ( 0 (,) pi )  C_  ( 0 [,] pi )
7271a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( 0 (,) pi )  C_  ( 0 [,] pi ) )
73 ioombl 22530 . . . . . . . 8  |-  ( 0 (,) pi )  e. 
dom  vol
7473a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( 0 (,) pi )  e.  dom  vol )
7515sincld 14196 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
7675adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
7714a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( 0 [,] pi )  C_  CC )
7865, 67, 77cncfmptss 37675 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( sin `  x
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
7978trud 1455 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( sin `  x ) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC )
80 cniccibl 22810 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( sin `  x ) )  e.  ( ( 0 [,] pi )
-cn-> CC ) )  -> 
( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( sin `  x
) )  e.  L^1 )
819, 10, 79, 80mp3an 1366 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( sin `  x ) )  e.  L^1
8281a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( sin `  x
) )  e.  L^1 )
8372, 74, 76, 82iblss 22774 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( sin `  x
) )  e.  L^1 )
8448, 83syl5eqel 2535 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  C
)  e.  L^1 )
8516negcld 9978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
86 eqid 2453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )
8786fvmpt2 5962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  -u ( cos `  x
)  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x ) ) `
 x )  = 
-u ( cos `  x
) )
8815, 85, 87syl2anc 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  (
( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) ) `  x
)  =  -u ( cos `  x ) )
8988eqcomd 2459 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  -u ( cos `  x )  =  ( ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) ) `  x
) )
9089mpteq2ia 4488 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  -u ( cos `  x ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x ) ) `
 x ) )
91 nfmpt1 4495 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )
92 coscn 23412 . . . . . . . . . . . 12  |-  cos  e.  ( CC -cn-> CC )
9386negfcncf 21963 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( cos 
e.  ( CC -cn-> CC )  ->  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
9492, 93ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x ) )  e.  ( CC -cn-> CC )
9594a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
9691, 95, 77cncfmptss 37675 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) ) `  x
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
9796trud 1455 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x ) ) `  x ) )  e.  ( ( 0 [,] pi )
-cn-> CC )
9890, 97eqeltri 2527 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  -u ( cos `  x ) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC )
995, 98eqeltri 2527 . . . . . 6  |-  C  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC )
10099a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  C  e.  (
( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
10160, 61, 64, 70, 84, 100ftc2 23008 . . . 4  |-  ( T. 
->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( RR  _D  C ) `
 x )  _d x  =  ( ( C `  pi )  -  ( C ` 
0 ) ) )
102101trud 1455 . . 3  |-  S. ( 0 (,) pi ) ( ( RR  _D  C ) `  x
)  _d x  =  ( ( C `  pi )  -  ( C `  0 )
)
10359, 102eqtr3i 2477 . 2  |-  S. ( 0 (,) pi ) ( sin `  x
)  _d x  =  ( ( C `  pi )  -  ( C `  0 )
)
104 0xr 9692 . . . . 5  |-  0  e.  RR*
10510rexri 9698 . . . . 5  |-  pi  e.  RR*
106 ubicc2 11756 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR*  /\  0  <_  pi )  ->  pi  e.  ( 0 [,] pi ) )
107104, 105, 63, 106mp3an 1366 . . . 4  |-  pi  e.  ( 0 [,] pi )
108 fveq2 5870 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  pi  ->  ( cos `  t )  =  ( cos `  pi ) )
109 cospi 23439 . . . . . . . 8  |-  ( cos `  pi )  =  -u
1
110108, 109syl6eq 2503 . . . . . . 7  |-  ( t  =  pi  ->  ( cos `  t )  = 
-u 1 )
111110negeqd 9874 . . . . . 6  |-  ( t  =  pi  ->  -u ( cos `  t )  = 
-u -u 1 )
112 ax-1cn 9602 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
113112a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( t  =  pi  ->  1  e.  CC )
114113negnegd 9982 . . . . . 6  |-  ( t  =  pi  ->  -u -u 1  =  1 )
115111, 114eqtrd 2487 . . . . 5  |-  ( t  =  pi  ->  -u ( cos `  t )  =  1 )
116 1ex 9643 . . . . 5  |-  1  e.  _V
117115, 1, 116fvmpt 5953 . . . 4  |-  ( pi  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( C `  pi )  =  1 )
118107, 117ax-mp 5 . . 3  |-  ( C `
 pi )  =  1
119 lbicc2 11755 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR*  /\  0  <_  pi )  ->  0  e.  ( 0 [,] pi ) )
120104, 105, 63, 119mp3an 1366 . . . . 5  |-  0  e.  ( 0 [,] pi )
121 fveq2 5870 . . . . . . 7  |-  ( t  =  0  ->  ( cos `  t )  =  ( cos `  0
) )
122121negeqd 9874 . . . . . 6  |-  ( t  =  0  ->  -u ( cos `  t )  = 
-u ( cos `  0
) )
123 negex 9878 . . . . . 6  |-  -u ( cos `  0 )  e. 
_V
124122, 1, 123fvmpt 5953 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( C `  0 )  =  -u ( cos `  0
) )
125120, 124ax-mp 5 . . . 4  |-  ( C `
 0 )  = 
-u ( cos `  0
)
126 cos0 14216 . . . . 5  |-  ( cos `  0 )  =  1
127126negeqi 9873 . . . 4  |-  -u ( cos `  0 )  = 
-u 1
128125, 127eqtri 2475 . . 3  |-  ( C `
 0 )  = 
-u 1
129118, 128oveq12i 6307 . 2  |-  ( ( C `  pi )  -  ( C ` 
0 ) )  =  ( 1  -  -u 1
)
130112, 112subnegi 9958 . . 3  |-  ( 1  -  -u 1 )  =  ( 1  +  1 )
131 1p1e2 10730 . . 3  |-  ( 1  +  1 )  =  2
132130, 131eqtri 2475 . 2  |-  ( 1  -  -u 1 )  =  2
133103, 129, 1323eqtri 2479 1  |-  S. ( 0 (,) pi ) ( sin `  x
)  _d x  =  2
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 371    = wceq 1446   T. wtru 1447    e. wcel 1889    C_ wss 3406   {cpr 3972   class class class wbr 4405    |-> cmpt 4464   dom cdm 4837   ran crn 4838   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   CCcc 9542   RRcr 9543   0cc0 9544   1c1 9545    + caddc 9547   RR*cxr 9679    <_ cle 9681    - cmin 9865   -ucneg 9866   2c2 10666   (,)cioo 11642   [,]cicc 11645   sincsin 14128   cosccos 14129   picpi 14131   TopOpenctopn 15332   topGenctg 15348  ℂfldccnfld 18982   intcnt 20044   -cn->ccncf 21920   volcvol 22427   L^1cibl 22587   S.citg 22588    _D cdv 22830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cc 8870  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622  ax-addf 9623  ax-mulf 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-disj 4377  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-ofr 6537  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-omul 7192  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-fi 7930  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-acn 8381  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ioc 11647  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12035  df-mod 12104  df-seq 12221  df-exp 12280  df-fac 12467  df-bc 12495  df-hash 12523  df-shft 13142  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-limsup 13538  df-clim 13564  df-rlim 13565  df-sum 13765  df-ef 14133  df-sin 14135  df-cos 14136  df-pi 14138  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-ip 15220  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-hom 15226  df-cco 15227  df-rest 15333  df-topn 15334  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-topgen 15354  df-pt 15355  df-prds 15358  df-xrs 15412  df-qtop 15418  df-imas 15419  df-xps 15422  df-mre 15504  df-mrc 15505  df-acs 15507  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-submnd 16595  df-mulg 16688  df-cntz 16983  df-cmn 17444  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-mopn 18978  df-fbas 18979  df-fg 18980  df-cnfld 18983  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-topsp 19936  df-cld 20046  df-ntr 20047  df-cls 20048  df-nei 20126  df-lp 20164  df-perf 20165  df-cn 20255  df-cnp 20256  df-haus 20343  df-cmp 20414  df-tx 20589  df-hmeo 20782  df-fil 20873  df-fm 20965  df-flim 20966  df-flf 20967  df-xms 21347  df-ms 21348  df-tms 21349  df-cncf 21922  df-ovol 22428  df-vol 22430  df-mbf 22589  df-itg1 22590  df-itg2 22591  df-ibl 22592  df-itg 22593  df-0p 22640  df-limc 22833  df-dv 22834
This theorem is referenced by:  itgsin0pi  37838
  Copyright terms: Public domain W3C validator