Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgsin0pilem1 Structured version   Unicode version

Theorem itgsin0pilem1 29795
Description: Calculation of the integral for sine on the (0,π) interval (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
itgsin0pilem1.1  |-  C  =  ( t  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  -u ( cos `  t
) )
Assertion
Ref Expression
itgsin0pilem1  |-  S. ( 0 (,) pi ) ( sin `  x
)  _d x  =  2
Distinct variable groups:    x, t    x, C
Allowed substitution hint:    C( t)

Proof of Theorem itgsin0pilem1
StepHypRef Expression
1 itgsin0pilem1.1 . . . . . . . . . . 11  |-  C  =  ( t  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  -u ( cos `  t
) )
2 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  x  ->  ( cos `  t )  =  ( cos `  x
) )
32negeqd 9609 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  x  ->  -u ( cos `  t )  = 
-u ( cos `  x
) )
43cbvmptv 4388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  ( 0 [,] pi )  |->  -u ( cos `  t ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  -u ( cos `  x
) )
51, 4eqtri 2463 . . . . . . . . . 10  |-  C  =  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  -u ( cos `  x
) )
65oveq2i 6107 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
_D  C )  =  ( RR  _D  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  -u ( cos `  x ) ) )
7 ax-resscn 9344 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  C_  CC
87a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  RR  C_  CC )
9 0re 9391 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
10 pire 21926 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  e.  RR
11 iccssre 11382 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( 0 [,] pi )  C_  RR )
129, 10, 11mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 [,] pi )  C_  RR
1312a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( 0 [,] pi )  C_  RR )
1412, 7sstri 3370 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 [,] pi )  C_  CC
1514sseli 3357 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  x  e.  CC )
1615coscld 13420 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
1716adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
1817negcld 9711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
19 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
2019tgioo2 20385 . . . . . . . . . . 11  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
21 iccntr 20403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( 0 [,] pi ) )  =  ( 0 (,) pi ) )
229, 10, 21mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( int `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  ( 0 [,] pi ) )  =  ( 0 (,) pi )
2322a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( 0 [,] pi ) )  =  ( 0 (,) pi ) )
248, 13, 18, 20, 19, 23dvmptntr 21450 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  -u ( cos `  x ) ) )  =  ( RR  _D  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  -u ( cos `  x ) ) ) )
2524trud 1378 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
_D  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  -u ( cos `  x
) ) )  =  ( RR  _D  (
x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  -u ( cos `  x ) ) )
26 reelprrecn 9379 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
2726a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  RR  e.  { RR ,  CC } )
28 recn 9377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
2928coscld 13420 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
3029adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR )  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
3130negcld 9711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR )  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
3228sincld 13419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
3332adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
3432negcld 9711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  -u ( sin `  x )  e.  CC )
3534adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR )  ->  -u ( sin `  x )  e.  CC )
36 dvcosre 29793 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( RR 
_D  ( x  e.  RR  |->  ( cos `  x
) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  -u ( sin `  x
) )
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  ( cos `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  -u ( sin `  x ) ) )
3827, 30, 35, 37dvmptneg 21445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  -u ( cos `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  -u -u ( sin `  x
) ) )
3932negnegd 9715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  -u -u ( sin `  x )  =  ( sin `  x
) )
4039mpteq2ia 4379 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  |->  -u -u ( sin `  x ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( sin `  x
) )
4138, 40syl6eq 2491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  -u ( cos `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( sin `  x ) ) )
42 ioossre 11362 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 (,) pi )  C_  RR
4342a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( 0 (,) pi )  C_  RR )
44 iooretop 20350 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 (,) pi )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
4544a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( 0 (,) pi )  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
4627, 31, 33, 41, 43, 20, 19, 45dvmptres 21442 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  -u ( cos `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  ( sin `  x ) ) )
4746trud 1378 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
_D  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  -u ( cos `  x
) ) )  =  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( sin `  x
) )
486, 25, 473eqtri 2467 . . . . . . . 8  |-  ( RR 
_D  C )  =  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( sin `  x
) )
4948fveq1i 5697 . . . . . . 7  |-  ( ( RR  _D  C ) `
 x )  =  ( ( x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  ( sin `  x
) ) `  x
)
5042, 7sstri 3370 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 (,) pi )  C_  CC
5150sseli 3357 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  x  e.  CC )
5251sincld 13419 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
53 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  ( sin `  x ) )  =  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( sin `  x
) )
5453fvmpt2 5786 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 (,) pi )  /\  ( sin `  x )  e.  CC )  -> 
( ( x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  ( sin `  x
) ) `  x
)  =  ( sin `  x ) )
5552, 54mpdan 668 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( sin `  x
) ) `  x
)  =  ( sin `  x ) )
5649, 55syl5eq 2487 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
( RR  _D  C
) `  x )  =  ( sin `  x
) )
5756adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( RR  _D  C
) `  x )  =  ( sin `  x
) )
5857itgeq2dv 21264 . . . 4  |-  ( T. 
->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( RR  _D  C ) `
 x )  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) ( sin `  x
)  _d x )
5958trud 1378 . . 3  |-  S. ( 0 (,) pi ) ( ( RR  _D  C ) `  x
)  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) ( sin `  x )  _d x
609a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  0  e.  RR )
6110a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  pi  e.  RR )
62 pipos 21928 . . . . . . 7  |-  0  <  pi
639, 10, 62ltleii 9502 . . . . . 6  |-  0  <_  pi
6463a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  0  <_  pi )
65 nfcv 2584 . . . . . . 7  |-  F/_ x sin
66 sincn 21914 . . . . . . . 8  |-  sin  e.  ( CC -cn-> CC )
6766a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  sin  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
6850a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( 0 (,) pi )  C_  CC )
6965, 67, 68cncfmptss 29773 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( sin `  x
) )  e.  ( ( 0 (,) pi ) -cn-> CC ) )
7048, 69syl5eqel 2527 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  C
)  e.  ( ( 0 (,) pi )
-cn-> CC ) )
71 ioossicc 11386 . . . . . . . 8  |-  ( 0 (,) pi )  C_  ( 0 [,] pi )
7271a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( 0 (,) pi )  C_  ( 0 [,] pi ) )
73 ioombl 21051 . . . . . . . 8  |-  ( 0 (,) pi )  e. 
dom  vol
7473a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( 0 (,) pi )  e.  dom  vol )
7515sincld 13419 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
7675adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
7714a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( 0 [,] pi )  C_  CC )
7865, 67, 77cncfmptss 29773 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( sin `  x
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
7978trud 1378 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( sin `  x ) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC )
80 cniccibl 21323 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( sin `  x ) )  e.  ( ( 0 [,] pi )
-cn-> CC ) )  -> 
( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( sin `  x
) )  e.  L^1 )
819, 10, 79, 80mp3an 1314 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( sin `  x ) )  e.  L^1
8281a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( sin `  x
) )  e.  L^1 )
8372, 74, 76, 82iblss 21287 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( sin `  x
) )  e.  L^1 )
8448, 83syl5eqel 2527 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  C
)  e.  L^1 )
8516negcld 9711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
86 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )
8786fvmpt2 5786 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  -u ( cos `  x
)  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x ) ) `
 x )  = 
-u ( cos `  x
) )
8815, 85, 87syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  (
( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) ) `  x
)  =  -u ( cos `  x ) )
8988eqcomd 2448 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  -u ( cos `  x )  =  ( ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) ) `  x
) )
9089mpteq2ia 4379 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  -u ( cos `  x ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x ) ) `
 x ) )
91 nfmpt1 4386 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )
92 coscn 21915 . . . . . . . . . . . 12  |-  cos  e.  ( CC -cn-> CC )
9386negfcncf 20500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( cos 
e.  ( CC -cn-> CC )  ->  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
9492, 93ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x ) )  e.  ( CC -cn-> CC )
9594a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
9691, 95, 77cncfmptss 29773 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) ) `  x
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
9796trud 1378 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x ) ) `  x ) )  e.  ( ( 0 [,] pi )
-cn-> CC )
9890, 97eqeltri 2513 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  -u ( cos `  x ) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC )
995, 98eqeltri 2513 . . . . . 6  |-  C  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC )
10099a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  C  e.  (
( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
10160, 61, 64, 70, 84, 100ftc2 21521 . . . 4  |-  ( T. 
->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( RR  _D  C ) `
 x )  _d x  =  ( ( C `  pi )  -  ( C ` 
0 ) ) )
102101trud 1378 . . 3  |-  S. ( 0 (,) pi ) ( ( RR  _D  C ) `  x
)  _d x  =  ( ( C `  pi )  -  ( C `  0 )
)
10359, 102eqtr3i 2465 . 2  |-  S. ( 0 (,) pi ) ( sin `  x
)  _d x  =  ( ( C `  pi )  -  ( C `  0 )
)
104 0xr 9435 . . . . 5  |-  0  e.  RR*
10510rexri 9441 . . . . 5  |-  pi  e.  RR*
106 ubicc2 11407 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR*  /\  0  <_  pi )  ->  pi  e.  ( 0 [,] pi ) )
107104, 105, 63, 106mp3an 1314 . . . 4  |-  pi  e.  ( 0 [,] pi )
108 fveq2 5696 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  pi  ->  ( cos `  t )  =  ( cos `  pi ) )
109 cospi 21939 . . . . . . . 8  |-  ( cos `  pi )  =  -u
1
110108, 109syl6eq 2491 . . . . . . 7  |-  ( t  =  pi  ->  ( cos `  t )  = 
-u 1 )
111110negeqd 9609 . . . . . 6  |-  ( t  =  pi  ->  -u ( cos `  t )  = 
-u -u 1 )
112 ax-1cn 9345 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
113112a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( t  =  pi  ->  1  e.  CC )
114113negnegd 9715 . . . . . 6  |-  ( t  =  pi  ->  -u -u 1  =  1 )
115111, 114eqtrd 2475 . . . . 5  |-  ( t  =  pi  ->  -u ( cos `  t )  =  1 )
116 1ex 9386 . . . . 5  |-  1  e.  _V
117115, 1, 116fvmpt 5779 . . . 4  |-  ( pi  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( C `  pi )  =  1 )
118107, 117ax-mp 5 . . 3  |-  ( C `
 pi )  =  1
119 lbicc2 11406 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR*  /\  0  <_  pi )  ->  0  e.  ( 0 [,] pi ) )
120104, 105, 63, 119mp3an 1314 . . . . 5  |-  0  e.  ( 0 [,] pi )
121 fveq2 5696 . . . . . . 7  |-  ( t  =  0  ->  ( cos `  t )  =  ( cos `  0
) )
122121negeqd 9609 . . . . . 6  |-  ( t  =  0  ->  -u ( cos `  t )  = 
-u ( cos `  0
) )
123 negex 9613 . . . . . 6  |-  -u ( cos `  0 )  e. 
_V
124122, 1, 123fvmpt 5779 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( C `  0 )  =  -u ( cos `  0
) )
125120, 124ax-mp 5 . . . 4  |-  ( C `
 0 )  = 
-u ( cos `  0
)
126 cos0 13439 . . . . 5  |-  ( cos `  0 )  =  1
127126negeqi 9608 . . . 4  |-  -u ( cos `  0 )  = 
-u 1
128125, 127eqtri 2463 . . 3  |-  ( C `
 0 )  = 
-u 1
129118, 128oveq12i 6108 . 2  |-  ( ( C `  pi )  -  ( C ` 
0 ) )  =  ( 1  -  -u 1
)
130112, 112subnegi 9692 . . 3  |-  ( 1  -  -u 1 )  =  ( 1  +  1 )
131 1p1e2 10440 . . 3  |-  ( 1  +  1 )  =  2
132130, 131eqtri 2463 . 2  |-  ( 1  -  -u 1 )  =  2
133103, 129, 1323eqtri 2467 1  |-  S. ( 0 (,) pi ) ( sin `  x
)  _d x  =  2
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1369   T. wtru 1370    e. wcel 1756    C_ wss 3333   {cpr 3884   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355   dom cdm 4845   ran crn 4846   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   CCcc 9285   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288    + caddc 9290   RR*cxr 9422    <_ cle 9424    - cmin 9600   -ucneg 9601   2c2 10376   (,)cioo 11305   [,]cicc 11308   sincsin 13354   cosccos 13355   picpi 13357   TopOpenctopn 14365   topGenctg 14381  ℂfldccnfld 17823   intcnt 18626   -cn->ccncf 20457   volcvol 20952   L^1cibl 21102   S.citg 21103    _D cdv 21343
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cc 8609  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366  ax-mulf 9367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-disj 4268  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-ofr 6326  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-omul 6930  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-fi 7666  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-acn 8117  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-ioo 11309  df-ioc 11310  df-ico 11311  df-icc 11312  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-mod 11714  df-seq 11812  df-exp 11871  df-fac 12057  df-bc 12084  df-hash 12109  df-shft 12561  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-limsup 12954  df-clim 12971  df-rlim 12972  df-sum 13169  df-ef 13358  df-sin 13360  df-cos 13361  df-pi 13363  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-hom 14267  df-cco 14268  df-rest 14366  df-topn 14367  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-topgen 14387  df-pt 14388  df-prds 14391  df-xrs 14445  df-qtop 14450  df-imas 14451  df-xps 14453  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-mnd 15420  df-submnd 15470  df-mulg 15553  df-cntz 15840  df-cmn 16284  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-met 17816  df-bl 17817  df-mopn 17818  df-fbas 17819  df-fg 17820  df-cnfld 17824  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-topsp 18512  df-cld 18628  df-ntr 18629  df-cls 18630  df-nei 18707  df-lp 18745  df-perf 18746  df-cn 18836  df-cnp 18837  df-haus 18924  df-cmp 18995  df-tx 19140  df-hmeo 19333  df-fil 19424  df-fm 19516  df-flim 19517  df-flf 19518  df-xms 19900  df-ms 19901  df-tms 19902  df-cncf 20459  df-ovol 20953  df-vol 20954  df-mbf 21104  df-itg1 21105  df-itg2 21106  df-ibl 21107  df-itg 21108  df-0p 21153  df-limc 21346  df-dv 21347
This theorem is referenced by:  itgsin0pi  29797
  Copyright terms: Public domain W3C validator