Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgsin0pilem1 Structured version   Unicode version

Theorem itgsin0pilem1 37098
Description: Calculation of the integral for sine on the (0,π) interval (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
itgsin0pilem1.1  |-  C  =  ( t  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  -u ( cos `  t
) )
Assertion
Ref Expression
itgsin0pilem1  |-  S. ( 0 (,) pi ) ( sin `  x
)  _d x  =  2
Distinct variable groups:    x, t    x, C
Allowed substitution hint:    C( t)

Proof of Theorem itgsin0pilem1
StepHypRef Expression
1 itgsin0pilem1.1 . . . . . . . . . . 11  |-  C  =  ( t  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  -u ( cos `  t
) )
2 fveq2 5805 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  x  ->  ( cos `  t )  =  ( cos `  x
) )
32negeqd 9770 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  x  ->  -u ( cos `  t )  = 
-u ( cos `  x
) )
43cbvmptv 4486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  ( 0 [,] pi )  |->  -u ( cos `  t ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  -u ( cos `  x
) )
51, 4eqtri 2431 . . . . . . . . . 10  |-  C  =  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  -u ( cos `  x
) )
65oveq2i 6245 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
_D  C )  =  ( RR  _D  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  -u ( cos `  x ) ) )
7 ax-resscn 9499 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  C_  CC
87a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  RR  C_  CC )
9 0re 9546 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
10 pire 23035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  e.  RR
11 iccssre 11577 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( 0 [,] pi )  C_  RR )
129, 10, 11mp2an 670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 [,] pi )  C_  RR
1312a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( 0 [,] pi )  C_  RR )
1412, 7sstri 3450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 [,] pi )  C_  CC
1514sseli 3437 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  x  e.  CC )
1615coscld 13967 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
1716adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
1817negcld 9874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
19 eqid 2402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
2019tgioo2 21492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
21 iccntr 21510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( 0 [,] pi ) )  =  ( 0 (,) pi ) )
229, 10, 21mp2an 670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( int `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  ( 0 [,] pi ) )  =  ( 0 (,) pi )
2322a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( 0 [,] pi ) )  =  ( 0 (,) pi ) )
248, 13, 18, 20, 19, 23dvmptntr 22558 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  -u ( cos `  x ) ) )  =  ( RR  _D  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  -u ( cos `  x ) ) ) )
2524trud 1414 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
_D  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  -u ( cos `  x
) ) )  =  ( RR  _D  (
x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  -u ( cos `  x ) ) )
26 reelprrecn 9534 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
2726a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  RR  e.  { RR ,  CC } )
28 recn 9532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
2928coscld 13967 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
3029adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR )  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
3130negcld 9874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR )  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
3228sincld 13966 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
3332adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
3432negcld 9874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  -u ( sin `  x )  e.  CC )
3534adantl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR )  ->  -u ( sin `  x )  e.  CC )
36 dvcosre 37056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( RR 
_D  ( x  e.  RR  |->  ( cos `  x
) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  -u ( sin `  x
) )
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  ( cos `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  -u ( sin `  x ) ) )
3827, 30, 35, 37dvmptneg 22553 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  -u ( cos `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  -u -u ( sin `  x
) ) )
3932negnegd 9878 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  -u -u ( sin `  x )  =  ( sin `  x
) )
4039mpteq2ia 4476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  |->  -u -u ( sin `  x ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( sin `  x
) )
4138, 40syl6eq 2459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  -u ( cos `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( sin `  x ) ) )
42 ioossre 11557 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 (,) pi )  C_  RR
4342a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( 0 (,) pi )  C_  RR )
44 iooretop 21457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 (,) pi )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
4544a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( 0 (,) pi )  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
4627, 31, 33, 41, 43, 20, 19, 45dvmptres 22550 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  -u ( cos `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  ( sin `  x ) ) )
4746trud 1414 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
_D  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  -u ( cos `  x
) ) )  =  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( sin `  x
) )
486, 25, 473eqtri 2435 . . . . . . . 8  |-  ( RR 
_D  C )  =  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( sin `  x
) )
4948fveq1i 5806 . . . . . . 7  |-  ( ( RR  _D  C ) `
 x )  =  ( ( x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  ( sin `  x
) ) `  x
)
5042, 7sstri 3450 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 (,) pi )  C_  CC
5150sseli 3437 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  x  e.  CC )
5251sincld 13966 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
53 eqid 2402 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  ( sin `  x ) )  =  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( sin `  x
) )
5453fvmpt2 5897 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 (,) pi )  /\  ( sin `  x )  e.  CC )  -> 
( ( x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  ( sin `  x
) ) `  x
)  =  ( sin `  x ) )
5552, 54mpdan 666 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( sin `  x
) ) `  x
)  =  ( sin `  x ) )
5649, 55syl5eq 2455 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
( RR  _D  C
) `  x )  =  ( sin `  x
) )
5756adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( RR  _D  C
) `  x )  =  ( sin `  x
) )
5857itgeq2dv 22372 . . . 4  |-  ( T. 
->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( RR  _D  C ) `
 x )  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) ( sin `  x
)  _d x )
5958trud 1414 . . 3  |-  S. ( 0 (,) pi ) ( ( RR  _D  C ) `  x
)  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) ( sin `  x )  _d x
609a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  0  e.  RR )
6110a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  pi  e.  RR )
62 pipos 23037 . . . . . . 7  |-  0  <  pi
639, 10, 62ltleii 9659 . . . . . 6  |-  0  <_  pi
6463a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  0  <_  pi )
65 nfcv 2564 . . . . . . 7  |-  F/_ x sin
66 sincn 23023 . . . . . . . 8  |-  sin  e.  ( CC -cn-> CC )
6766a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  sin  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
6850a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( 0 (,) pi )  C_  CC )
6965, 67, 68cncfmptss 36931 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( sin `  x
) )  e.  ( ( 0 (,) pi ) -cn-> CC ) )
7048, 69syl5eqel 2494 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  C
)  e.  ( ( 0 (,) pi )
-cn-> CC ) )
71 ioossicc 11581 . . . . . . . 8  |-  ( 0 (,) pi )  C_  ( 0 [,] pi )
7271a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( 0 (,) pi )  C_  ( 0 [,] pi ) )
73 ioombl 22159 . . . . . . . 8  |-  ( 0 (,) pi )  e. 
dom  vol
7473a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( 0 (,) pi )  e.  dom  vol )
7515sincld 13966 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
7675adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
7714a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( 0 [,] pi )  C_  CC )
7865, 67, 77cncfmptss 36931 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( sin `  x
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
7978trud 1414 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( sin `  x ) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC )
80 cniccibl 22431 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( sin `  x ) )  e.  ( ( 0 [,] pi )
-cn-> CC ) )  -> 
( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( sin `  x
) )  e.  L^1 )
819, 10, 79, 80mp3an 1326 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( sin `  x ) )  e.  L^1
8281a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( sin `  x
) )  e.  L^1 )
8372, 74, 76, 82iblss 22395 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( sin `  x
) )  e.  L^1 )
8448, 83syl5eqel 2494 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  C
)  e.  L^1 )
8516negcld 9874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
86 eqid 2402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )
8786fvmpt2 5897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  -u ( cos `  x
)  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x ) ) `
 x )  = 
-u ( cos `  x
) )
8815, 85, 87syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  (
( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) ) `  x
)  =  -u ( cos `  x ) )
8988eqcomd 2410 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  -u ( cos `  x )  =  ( ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) ) `  x
) )
9089mpteq2ia 4476 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  -u ( cos `  x ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x ) ) `
 x ) )
91 nfmpt1 4483 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )
92 coscn 23024 . . . . . . . . . . . 12  |-  cos  e.  ( CC -cn-> CC )
9386negfcncf 21607 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( cos 
e.  ( CC -cn-> CC )  ->  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
9492, 93ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x ) )  e.  ( CC -cn-> CC )
9594a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
9691, 95, 77cncfmptss 36931 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) ) `  x
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
9796trud 1414 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x ) ) `  x ) )  e.  ( ( 0 [,] pi )
-cn-> CC )
9890, 97eqeltri 2486 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  -u ( cos `  x ) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC )
995, 98eqeltri 2486 . . . . . 6  |-  C  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC )
10099a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  C  e.  (
( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
10160, 61, 64, 70, 84, 100ftc2 22629 . . . 4  |-  ( T. 
->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( RR  _D  C ) `
 x )  _d x  =  ( ( C `  pi )  -  ( C ` 
0 ) ) )
102101trud 1414 . . 3  |-  S. ( 0 (,) pi ) ( ( RR  _D  C ) `  x
)  _d x  =  ( ( C `  pi )  -  ( C `  0 )
)
10359, 102eqtr3i 2433 . 2  |-  S. ( 0 (,) pi ) ( sin `  x
)  _d x  =  ( ( C `  pi )  -  ( C `  0 )
)
104 0xr 9590 . . . . 5  |-  0  e.  RR*
10510rexri 9596 . . . . 5  |-  pi  e.  RR*
106 ubicc2 11608 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR*  /\  0  <_  pi )  ->  pi  e.  ( 0 [,] pi ) )
107104, 105, 63, 106mp3an 1326 . . . 4  |-  pi  e.  ( 0 [,] pi )
108 fveq2 5805 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  pi  ->  ( cos `  t )  =  ( cos `  pi ) )
109 cospi 23049 . . . . . . . 8  |-  ( cos `  pi )  =  -u
1
110108, 109syl6eq 2459 . . . . . . 7  |-  ( t  =  pi  ->  ( cos `  t )  = 
-u 1 )
111110negeqd 9770 . . . . . 6  |-  ( t  =  pi  ->  -u ( cos `  t )  = 
-u -u 1 )
112 ax-1cn 9500 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
113112a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( t  =  pi  ->  1  e.  CC )
114113negnegd 9878 . . . . . 6  |-  ( t  =  pi  ->  -u -u 1  =  1 )
115111, 114eqtrd 2443 . . . . 5  |-  ( t  =  pi  ->  -u ( cos `  t )  =  1 )
116 1ex 9541 . . . . 5  |-  1  e.  _V
117115, 1, 116fvmpt 5888 . . . 4  |-  ( pi  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( C `  pi )  =  1 )
118107, 117ax-mp 5 . . 3  |-  ( C `
 pi )  =  1
119 lbicc2 11607 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR*  /\  0  <_  pi )  ->  0  e.  ( 0 [,] pi ) )
120104, 105, 63, 119mp3an 1326 . . . . 5  |-  0  e.  ( 0 [,] pi )
121 fveq2 5805 . . . . . . 7  |-  ( t  =  0  ->  ( cos `  t )  =  ( cos `  0
) )
122121negeqd 9770 . . . . . 6  |-  ( t  =  0  ->  -u ( cos `  t )  = 
-u ( cos `  0
) )
123 negex 9774 . . . . . 6  |-  -u ( cos `  0 )  e. 
_V
124122, 1, 123fvmpt 5888 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( C `  0 )  =  -u ( cos `  0
) )
125120, 124ax-mp 5 . . . 4  |-  ( C `
 0 )  = 
-u ( cos `  0
)
126 cos0 13986 . . . . 5  |-  ( cos `  0 )  =  1
127126negeqi 9769 . . . 4  |-  -u ( cos `  0 )  = 
-u 1
128125, 127eqtri 2431 . . 3  |-  ( C `
 0 )  = 
-u 1
129118, 128oveq12i 6246 . 2  |-  ( ( C `  pi )  -  ( C ` 
0 ) )  =  ( 1  -  -u 1
)
130112, 112subnegi 9854 . . 3  |-  ( 1  -  -u 1 )  =  ( 1  +  1 )
131 1p1e2 10610 . . 3  |-  ( 1  +  1 )  =  2
132130, 131eqtri 2431 . 2  |-  ( 1  -  -u 1 )  =  2
133103, 129, 1323eqtri 2435 1  |-  S. ( 0 (,) pi ) ( sin `  x
)  _d x  =  2
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 367    = wceq 1405   T. wtru 1406    e. wcel 1842    C_ wss 3413   {cpr 3973   class class class wbr 4394    |-> cmpt 4452   dom cdm 4942   ran crn 4943   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   CCcc 9440   RRcr 9441   0cc0 9442   1c1 9443    + caddc 9445   RR*cxr 9577    <_ cle 9579    - cmin 9761   -ucneg 9762   2c2 10546   (,)cioo 11500   [,]cicc 11503   sincsin 13900   cosccos 13901   picpi 13903   TopOpenctopn 14928   topGenctg 14944  ℂfldccnfld 18632   intcnt 19702   -cn->ccncf 21564   volcvol 22059   L^1cibl 22210   S.citg 22211    _D cdv 22451
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-inf2 8011  ax-cc 8767  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519  ax-pre-sup 9520  ax-addf 9521  ax-mulf 9522
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-disj 4366  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-of 6477  df-ofr 6478  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-supp 6857  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-2o 7088  df-oadd 7091  df-omul 7092  df-er 7268  df-map 7379  df-pm 7380  df-ixp 7428  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-fsupp 7784  df-fi 7825  df-sup 7855  df-oi 7889  df-card 8272  df-acn 8275  df-cda 8500  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-div 10168  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-4 10557  df-5 10558  df-6 10559  df-7 10560  df-8 10561  df-9 10562  df-10 10563  df-n0 10757  df-z 10826  df-dec 10940  df-uz 11046  df-q 11146  df-rp 11184  df-xneg 11289  df-xadd 11290  df-xmul 11291  df-ioo 11504  df-ioc 11505  df-ico 11506  df-icc 11507  df-fz 11644  df-fzo 11768  df-fl 11879  df-mod 11948  df-seq 12062  df-exp 12121  df-fac 12308  df-bc 12335  df-hash 12360  df-shft 12956  df-cj 12988  df-re 12989  df-im 12990  df-sqrt 13124  df-abs 13125  df-limsup 13350  df-clim 13367  df-rlim 13368  df-sum 13565  df-ef 13904  df-sin 13906  df-cos 13907  df-pi 13909  df-struct 14735  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-ress 14740  df-plusg 14814  df-mulr 14815  df-starv 14816  df-sca 14817  df-vsca 14818  df-ip 14819  df-tset 14820  df-ple 14821  df-ds 14823  df-unif 14824  df-hom 14825  df-cco 14826  df-rest 14929  df-topn 14930  df-0g 14948  df-gsum 14949  df-topgen 14950  df-pt 14951  df-prds 14954  df-xrs 15008  df-qtop 15013  df-imas 15014  df-xps 15016  df-mre 15092  df-mrc 15093  df-acs 15095  df-mgm 16088  df-sgrp 16127  df-mnd 16137  df-submnd 16183  df-mulg 16276  df-cntz 16571  df-cmn 17016  df-psmet 18623  df-xmet 18624  df-met 18625  df-bl 18626  df-mopn 18627  df-fbas 18628  df-fg 18629  df-cnfld 18633  df-top 19583  df-bases 19585  df-topon 19586  df-topsp 19587  df-cld 19704  df-ntr 19705  df-cls 19706  df-nei 19784  df-lp 19822  df-perf 19823  df-cn 19913  df-cnp 19914  df-haus 20001  df-cmp 20072  df-tx 20247  df-hmeo 20440  df-fil 20531  df-fm 20623  df-flim 20624  df-flf 20625  df-xms 21007  df-ms 21008  df-tms 21009  df-cncf 21566  df-ovol 22060  df-vol 22061  df-mbf 22212  df-itg1 22213  df-itg2 22214  df-ibl 22215  df-itg 22216  df-0p 22261  df-limc 22454  df-dv 22455
This theorem is referenced by:  itgsin0pi  37100
  Copyright terms: Public domain W3C validator