Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgsin0pilem1 Unicode version

Theorem itgsin0pilem1 27611
Description: Calculation of the integral for sine on the (0,π) interval (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
itgsin0pilem1.1  |-  C  =  ( t  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  -u ( cos `  t
) )
Assertion
Ref Expression
itgsin0pilem1  |-  S. ( 0 (,) pi ) ( sin `  x
)  _d x  =  2
Distinct variable groups:    x, t    x, C
Allowed substitution hint:    C( t)

Proof of Theorem itgsin0pilem1
StepHypRef Expression
1 itgsin0pilem1.1 . . . . . . . . . . 11  |-  C  =  ( t  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  -u ( cos `  t
) )
2 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  x  ->  ( cos `  t )  =  ( cos `  x
) )
32negeqd 9256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  x  ->  -u ( cos `  t )  = 
-u ( cos `  x
) )
43cbvmptv 4260 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  ( 0 [,] pi )  |->  -u ( cos `  t ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  -u ( cos `  x
) )
51, 4eqtri 2424 . . . . . . . . . 10  |-  C  =  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  -u ( cos `  x
) )
65oveq2i 6051 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
_D  C )  =  ( RR  _D  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  -u ( cos `  x ) ) )
7 ax-resscn 9003 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  C_  CC
87a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  RR  C_  CC )
9 0re 9047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
10 pire 20325 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  e.  RR
11 iccssre 10948 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( 0 [,] pi )  C_  RR )
129, 10, 11mp2an 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 [,] pi )  C_  RR
1312a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( 0 [,] pi )  C_  RR )
1412, 7sstri 3317 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 [,] pi )  C_  CC
1514sseli 3304 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  x  e.  CC )
1615coscld 12687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
1716adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
1817negcld 9354 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
19 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
2019tgioo2 18787 . . . . . . . . . . 11  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
21 iccntr 18805 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( 0 [,] pi ) )  =  ( 0 (,) pi ) )
229, 10, 21mp2an 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( int `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  ( 0 [,] pi ) )  =  ( 0 (,) pi )
2322a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( 0 [,] pi ) )  =  ( 0 (,) pi ) )
248, 13, 18, 20, 19, 23dvmptntr 19810 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  -u ( cos `  x ) ) )  =  ( RR  _D  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  -u ( cos `  x ) ) ) )
2524trud 1329 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
_D  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  -u ( cos `  x
) ) )  =  ( RR  _D  (
x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  -u ( cos `  x ) ) )
26 reex 9037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  e.  _V
2726prid1 3872 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
2827a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  RR  e.  { RR ,  CC } )
29 recn 9036 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
3029coscld 12687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
3130adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR )  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
3231negcld 9354 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR )  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
3329sincld 12686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
3433adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
3533negcld 9354 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  -u ( sin `  x )  e.  CC )
3635adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR )  ->  -u ( sin `  x )  e.  CC )
37 dvcosre 27608 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( RR 
_D  ( x  e.  RR  |->  ( cos `  x
) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  -u ( sin `  x
) )
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  ( cos `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  -u ( sin `  x ) ) )
3928, 31, 36, 38dvmptneg 19805 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  -u ( cos `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  -u -u ( sin `  x
) ) )
4033negnegd 9358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  -u -u ( sin `  x )  =  ( sin `  x
) )
4140mpteq2ia 4251 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  |->  -u -u ( sin `  x ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( sin `  x
) )
4239, 41syl6eq 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  -u ( cos `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( sin `  x ) ) )
43 ioossre 10928 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 (,) pi )  C_  RR
4443a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( 0 (,) pi )  C_  RR )
45 iooretop 18753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 (,) pi )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
4645a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( 0 (,) pi )  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
4728, 32, 34, 42, 44, 20, 19, 46dvmptres 19802 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  -u ( cos `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  ( sin `  x ) ) )
4847trud 1329 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
_D  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  -u ( cos `  x
) ) )  =  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( sin `  x
) )
496, 25, 483eqtri 2428 . . . . . . . 8  |-  ( RR 
_D  C )  =  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( sin `  x
) )
5049fveq1i 5688 . . . . . . 7  |-  ( ( RR  _D  C ) `
 x )  =  ( ( x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  ( sin `  x
) ) `  x
)
5143, 7sstri 3317 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 (,) pi )  C_  CC
5251sseli 3304 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  x  e.  CC )
5352sincld 12686 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
54 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  ( sin `  x ) )  =  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( sin `  x
) )
5554fvmpt2 5771 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 (,) pi )  /\  ( sin `  x )  e.  CC )  -> 
( ( x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  ( sin `  x
) ) `  x
)  =  ( sin `  x ) )
5653, 55mpdan 650 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( sin `  x
) ) `  x
)  =  ( sin `  x ) )
5750, 56syl5eq 2448 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
( RR  _D  C
) `  x )  =  ( sin `  x
) )
5857adantl 453 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( RR  _D  C
) `  x )  =  ( sin `  x
) )
5958itgeq2dv 19626 . . . 4  |-  (  T. 
->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( RR  _D  C ) `
 x )  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) ( sin `  x
)  _d x )
6059trud 1329 . . 3  |-  S. ( 0 (,) pi ) ( ( RR  _D  C ) `  x
)  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) ( sin `  x )  _d x
619a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  0  e.  RR )
6210a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  pi  e.  RR )
63 pipos 20326 . . . . . . 7  |-  0  <  pi
649, 10, 63ltleii 9152 . . . . . 6  |-  0  <_  pi
6564a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  0  <_  pi )
66 nfcv 2540 . . . . . . 7  |-  F/_ x sin
67 sincn 20313 . . . . . . . 8  |-  sin  e.  ( CC -cn-> CC )
6867a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  sin  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
6951a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( 0 (,) pi )  C_  CC )
7066, 68, 69cncfmptss 27584 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( sin `  x
) )  e.  ( ( 0 (,) pi ) -cn-> CC ) )
7149, 70syl5eqel 2488 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  C
)  e.  ( ( 0 (,) pi )
-cn-> CC ) )
72 ioossicc 10952 . . . . . . . 8  |-  ( 0 (,) pi )  C_  ( 0 [,] pi )
7372a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( 0 (,) pi )  C_  ( 0 [,] pi ) )
74 ioombl 19412 . . . . . . . 8  |-  ( 0 (,) pi )  e. 
dom  vol
7574a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( 0 (,) pi )  e.  dom  vol )
7615sincld 12686 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
7776adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
7814a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( 0 [,] pi )  C_  CC )
7966, 68, 78cncfmptss 27584 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( sin `  x
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
8079trud 1329 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( sin `  x ) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC )
81 cniccibl 19685 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( sin `  x ) )  e.  ( ( 0 [,] pi )
-cn-> CC ) )  -> 
( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( sin `  x
) )  e.  L ^1 )
829, 10, 80, 81mp3an 1279 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( sin `  x ) )  e.  L ^1
8382a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( sin `  x
) )  e.  L ^1 )
8473, 75, 77, 83iblss 19649 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( sin `  x
) )  e.  L ^1 )
8549, 84syl5eqel 2488 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  C
)  e.  L ^1 )
8616negcld 9354 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
87 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )
8887fvmpt2 5771 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  -u ( cos `  x
)  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x ) ) `
 x )  = 
-u ( cos `  x
) )
8915, 86, 88syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  (
( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) ) `  x
)  =  -u ( cos `  x ) )
9089eqcomd 2409 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  -u ( cos `  x )  =  ( ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) ) `  x
) )
9190mpteq2ia 4251 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  -u ( cos `  x ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x ) ) `
 x ) )
92 nfmpt1 4258 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )
93 coscn 20314 . . . . . . . . . . . 12  |-  cos  e.  ( CC -cn-> CC )
9487negfcncf 18902 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( cos 
e.  ( CC -cn-> CC )  ->  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
9593, 94ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x ) )  e.  ( CC -cn-> CC )
9695a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
9792, 96, 78cncfmptss 27584 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) ) `  x
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
9897trud 1329 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x ) ) `  x ) )  e.  ( ( 0 [,] pi )
-cn-> CC )
9991, 98eqeltri 2474 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  -u ( cos `  x ) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC )
1005, 99eqeltri 2474 . . . . . 6  |-  C  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC )
101100a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  C  e.  (
( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
10261, 62, 65, 71, 85, 101ftc2 19881 . . . 4  |-  (  T. 
->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( RR  _D  C ) `
 x )  _d x  =  ( ( C `  pi )  -  ( C ` 
0 ) ) )
103102trud 1329 . . 3  |-  S. ( 0 (,) pi ) ( ( RR  _D  C ) `  x
)  _d x  =  ( ( C `  pi )  -  ( C `  0 )
)
10460, 103eqtr3i 2426 . 2  |-  S. ( 0 (,) pi ) ( sin `  x
)  _d x  =  ( ( C `  pi )  -  ( C `  0 )
)
105 0xr 9087 . . . . 5  |-  0  e.  RR*
10610rexri 9093 . . . . 5  |-  pi  e.  RR*
107 ubicc2 10970 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR*  /\  0  <_  pi )  ->  pi  e.  ( 0 [,] pi ) )
108105, 106, 64, 107mp3an 1279 . . . 4  |-  pi  e.  ( 0 [,] pi )
109 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  pi  ->  ( cos `  t )  =  ( cos `  pi ) )
110 cospi 20333 . . . . . . . 8  |-  ( cos `  pi )  =  -u
1
111109, 110syl6eq 2452 . . . . . . 7  |-  ( t  =  pi  ->  ( cos `  t )  = 
-u 1 )
112111negeqd 9256 . . . . . 6  |-  ( t  =  pi  ->  -u ( cos `  t )  = 
-u -u 1 )
113 ax-1cn 9004 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
114113a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( t  =  pi  ->  1  e.  CC )
115114negnegd 9358 . . . . . 6  |-  ( t  =  pi  ->  -u -u 1  =  1 )
116112, 115eqtrd 2436 . . . . 5  |-  ( t  =  pi  ->  -u ( cos `  t )  =  1 )
117 1ex 9042 . . . . 5  |-  1  e.  _V
118116, 1, 117fvmpt 5765 . . . 4  |-  ( pi  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( C `  pi )  =  1 )
119108, 118ax-mp 8 . . 3  |-  ( C `
 pi )  =  1
120 lbicc2 10969 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR*  /\  0  <_  pi )  ->  0  e.  ( 0 [,] pi ) )
121105, 106, 64, 120mp3an 1279 . . . . 5  |-  0  e.  ( 0 [,] pi )
122 fveq2 5687 . . . . . . 7  |-  ( t  =  0  ->  ( cos `  t )  =  ( cos `  0
) )
123122negeqd 9256 . . . . . 6  |-  ( t  =  0  ->  -u ( cos `  t )  = 
-u ( cos `  0
) )
124 negex 9260 . . . . . 6  |-  -u ( cos `  0 )  e. 
_V
125123, 1, 124fvmpt 5765 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( C `  0 )  =  -u ( cos `  0
) )
126121, 125ax-mp 8 . . . 4  |-  ( C `
 0 )  = 
-u ( cos `  0
)
127 cos0 12706 . . . . 5  |-  ( cos `  0 )  =  1
128127negeqi 9255 . . . 4  |-  -u ( cos `  0 )  = 
-u 1
129126, 128eqtri 2424 . . 3  |-  ( C `
 0 )  = 
-u 1
130119, 129oveq12i 6052 . 2  |-  ( ( C `  pi )  -  ( C ` 
0 ) )  =  ( 1  -  -u 1
)
131113, 113subnegi 9335 . . 3  |-  ( 1  -  -u 1 )  =  ( 1  +  1 )
132 1p1e2 10050 . . 3  |-  ( 1  +  1 )  =  2
133131, 132eqtri 2424 . 2  |-  ( 1  -  -u 1 )  =  2
134104, 130, 1333eqtri 2428 1  |-  S. ( 0 (,) pi ) ( sin `  x
)  _d x  =  2
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    T. wtru 1322    = wceq 1649    e. wcel 1721    C_ wss 3280   {cpr 3775   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   dom cdm 4837   ran crn 4838   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949   RR*cxr 9075    <_ cle 9077    - cmin 9247   -ucneg 9248   2c2 10005   (,)cioo 10872   [,]cicc 10875   sincsin 12621   cosccos 12622   picpi 12624   TopOpenctopn 13604   topGenctg 13620  ℂfldccnfld 16658   intcnt 17036   -cn->ccncf 18859   volcvol 19313   L ^1cibl 19462   S.citg 19463    _D cdv 19703
This theorem is referenced by:  itgsin0pi  27613
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cc 8271  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-disj 4143  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-ofr 6265  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-ovol 19314  df-vol 19315  df-mbf 19465  df-itg1 19466  df-itg2 19467  df-ibl 19468  df-itg 19469  df-0p 19515  df-limc 19706  df-dv 19707
  Copyright terms: Public domain W3C validator