Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgsin0pilem1 Structured version   Unicode version

Theorem itgsin0pilem1 29715
Description: Calculation of the integral for sine on the (0,π) interval (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
itgsin0pilem1.1  |-  C  =  ( t  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  -u ( cos `  t
) )
Assertion
Ref Expression
itgsin0pilem1  |-  S. ( 0 (,) pi ) ( sin `  x
)  _d x  =  2
Distinct variable groups:    x, t    x, C
Allowed substitution hint:    C( t)

Proof of Theorem itgsin0pilem1
StepHypRef Expression
1 itgsin0pilem1.1 . . . . . . . . . . 11  |-  C  =  ( t  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  -u ( cos `  t
) )
2 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  x  ->  ( cos `  t )  =  ( cos `  x
) )
32negeqd 9600 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  x  ->  -u ( cos `  t )  = 
-u ( cos `  x
) )
43cbvmptv 4380 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  ( 0 [,] pi )  |->  -u ( cos `  t ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  -u ( cos `  x
) )
51, 4eqtri 2461 . . . . . . . . . 10  |-  C  =  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  -u ( cos `  x
) )
65oveq2i 6101 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
_D  C )  =  ( RR  _D  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  -u ( cos `  x ) ) )
7 ax-resscn 9335 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  C_  CC
87a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  RR  C_  CC )
9 0re 9382 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
10 pire 21880 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  e.  RR
11 iccssre 11373 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( 0 [,] pi )  C_  RR )
129, 10, 11mp2an 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 [,] pi )  C_  RR
1312a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( 0 [,] pi )  C_  RR )
1412, 7sstri 3362 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 [,] pi )  C_  CC
1514sseli 3349 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  x  e.  CC )
1615coscld 13411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
1716adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
1817negcld 9702 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
19 eqid 2441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
2019tgioo2 20339 . . . . . . . . . . 11  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
21 iccntr 20357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( 0 [,] pi ) )  =  ( 0 (,) pi ) )
229, 10, 21mp2an 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( int `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  ( 0 [,] pi ) )  =  ( 0 (,) pi )
2322a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( 0 [,] pi ) )  =  ( 0 (,) pi ) )
248, 13, 18, 20, 19, 23dvmptntr 21404 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  -u ( cos `  x ) ) )  =  ( RR  _D  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  -u ( cos `  x ) ) ) )
2524trud 1373 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
_D  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  -u ( cos `  x
) ) )  =  ( RR  _D  (
x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  -u ( cos `  x ) ) )
26 reelprrecn 9370 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
2726a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  RR  e.  { RR ,  CC } )
28 recn 9368 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
2928coscld 13411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
3029adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR )  ->  ( cos `  x )  e.  CC )
3130negcld 9702 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR )  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
3228sincld 13410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
3332adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
3432negcld 9702 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  -u ( sin `  x )  e.  CC )
3534adantl 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR )  ->  -u ( sin `  x )  e.  CC )
36 dvcosre 29713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( RR 
_D  ( x  e.  RR  |->  ( cos `  x
) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  -u ( sin `  x
) )
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  ( cos `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  -u ( sin `  x ) ) )
3827, 30, 35, 37dvmptneg 21399 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  -u ( cos `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  -u -u ( sin `  x
) ) )
3932negnegd 9706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  -u -u ( sin `  x )  =  ( sin `  x
) )
4039mpteq2ia 4371 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  |->  -u -u ( sin `  x ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( sin `  x
) )
4138, 40syl6eq 2489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  -u ( cos `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( sin `  x ) ) )
42 ioossre 11353 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 (,) pi )  C_  RR
4342a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( 0 (,) pi )  C_  RR )
44 iooretop 20304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 (,) pi )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
4544a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( 0 (,) pi )  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
4627, 31, 33, 41, 43, 20, 19, 45dvmptres 21396 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  -u ( cos `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  ( sin `  x ) ) )
4746trud 1373 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
_D  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  -u ( cos `  x
) ) )  =  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( sin `  x
) )
486, 25, 473eqtri 2465 . . . . . . . 8  |-  ( RR 
_D  C )  =  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( sin `  x
) )
4948fveq1i 5689 . . . . . . 7  |-  ( ( RR  _D  C ) `
 x )  =  ( ( x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  ( sin `  x
) ) `  x
)
5042, 7sstri 3362 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 (,) pi )  C_  CC
5150sseli 3349 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  x  e.  CC )
5251sincld 13410 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
53 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  ( sin `  x ) )  =  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( sin `  x
) )
5453fvmpt2 5778 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 (,) pi )  /\  ( sin `  x )  e.  CC )  -> 
( ( x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  ( sin `  x
) ) `  x
)  =  ( sin `  x ) )
5552, 54mpdan 663 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( sin `  x
) ) `  x
)  =  ( sin `  x ) )
5649, 55syl5eq 2485 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
( RR  _D  C
) `  x )  =  ( sin `  x
) )
5756adantl 463 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( RR  _D  C
) `  x )  =  ( sin `  x
) )
5857itgeq2dv 21218 . . . 4  |-  ( T. 
->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( RR  _D  C ) `
 x )  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) ( sin `  x
)  _d x )
5958trud 1373 . . 3  |-  S. ( 0 (,) pi ) ( ( RR  _D  C ) `  x
)  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) ( sin `  x )  _d x
609a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  0  e.  RR )
6110a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  pi  e.  RR )
62 pipos 21882 . . . . . . 7  |-  0  <  pi
639, 10, 62ltleii 9493 . . . . . 6  |-  0  <_  pi
6463a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  0  <_  pi )
65 nfcv 2577 . . . . . . 7  |-  F/_ x sin
66 sincn 21868 . . . . . . . 8  |-  sin  e.  ( CC -cn-> CC )
6766a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  sin  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
6850a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( 0 (,) pi )  C_  CC )
6965, 67, 68cncfmptss 29693 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( sin `  x
) )  e.  ( ( 0 (,) pi ) -cn-> CC ) )
7048, 69syl5eqel 2525 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  C
)  e.  ( ( 0 (,) pi )
-cn-> CC ) )
71 ioossicc 11377 . . . . . . . 8  |-  ( 0 (,) pi )  C_  ( 0 [,] pi )
7271a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( 0 (,) pi )  C_  ( 0 [,] pi ) )
73 ioombl 21005 . . . . . . . 8  |-  ( 0 (,) pi )  e. 
dom  vol
7473a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( 0 (,) pi )  e.  dom  vol )
7515sincld 13410 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
7675adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
7714a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( 0 [,] pi )  C_  CC )
7865, 67, 77cncfmptss 29693 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( sin `  x
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
7978trud 1373 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( sin `  x ) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC )
80 cniccibl 21277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( sin `  x ) )  e.  ( ( 0 [,] pi )
-cn-> CC ) )  -> 
( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( sin `  x
) )  e.  L^1 )
819, 10, 79, 80mp3an 1309 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( sin `  x ) )  e.  L^1
8281a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( sin `  x
) )  e.  L^1 )
8372, 74, 76, 82iblss 21241 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( sin `  x
) )  e.  L^1 )
8448, 83syl5eqel 2525 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  C
)  e.  L^1 )
8516negcld 9702 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  -u ( cos `  x )  e.  CC )
86 eqid 2441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )
8786fvmpt2 5778 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  -u ( cos `  x
)  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x ) ) `
 x )  = 
-u ( cos `  x
) )
8815, 85, 87syl2anc 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  (
( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) ) `  x
)  =  -u ( cos `  x ) )
8988eqcomd 2446 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  ->  -u ( cos `  x )  =  ( ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) ) `  x
) )
9089mpteq2ia 4371 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  -u ( cos `  x ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x ) ) `
 x ) )
91 nfmpt1 4378 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )
92 coscn 21869 . . . . . . . . . . . 12  |-  cos  e.  ( CC -cn-> CC )
9386negfcncf 20454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( cos 
e.  ( CC -cn-> CC )  ->  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
9492, 93ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x ) )  e.  ( CC -cn-> CC )
9594a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
9691, 95, 77cncfmptss 29693 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 0 [,] pi ) 
|->  ( ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x
) ) `  x
) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
9796trud 1373 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  ( ( x  e.  CC  |->  -u ( cos `  x ) ) `  x ) )  e.  ( ( 0 [,] pi )
-cn-> CC )
9890, 97eqeltri 2511 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,] pi )  |->  -u ( cos `  x ) )  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC )
995, 98eqeltri 2511 . . . . . 6  |-  C  e.  ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC )
10099a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  C  e.  (
( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
10160, 61, 64, 70, 84, 100ftc2 21475 . . . 4  |-  ( T. 
->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( RR  _D  C ) `
 x )  _d x  =  ( ( C `  pi )  -  ( C ` 
0 ) ) )
102101trud 1373 . . 3  |-  S. ( 0 (,) pi ) ( ( RR  _D  C ) `  x
)  _d x  =  ( ( C `  pi )  -  ( C `  0 )
)
10359, 102eqtr3i 2463 . 2  |-  S. ( 0 (,) pi ) ( sin `  x
)  _d x  =  ( ( C `  pi )  -  ( C `  0 )
)
104 0xr 9426 . . . . 5  |-  0  e.  RR*
10510rexri 9432 . . . . 5  |-  pi  e.  RR*
106 ubicc2 11398 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR*  /\  0  <_  pi )  ->  pi  e.  ( 0 [,] pi ) )
107104, 105, 63, 106mp3an 1309 . . . 4  |-  pi  e.  ( 0 [,] pi )
108 fveq2 5688 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  pi  ->  ( cos `  t )  =  ( cos `  pi ) )
109 cospi 21893 . . . . . . . 8  |-  ( cos `  pi )  =  -u
1
110108, 109syl6eq 2489 . . . . . . 7  |-  ( t  =  pi  ->  ( cos `  t )  = 
-u 1 )
111110negeqd 9600 . . . . . 6  |-  ( t  =  pi  ->  -u ( cos `  t )  = 
-u -u 1 )
112 ax-1cn 9336 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
113112a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( t  =  pi  ->  1  e.  CC )
114113negnegd 9706 . . . . . 6  |-  ( t  =  pi  ->  -u -u 1  =  1 )
115111, 114eqtrd 2473 . . . . 5  |-  ( t  =  pi  ->  -u ( cos `  t )  =  1 )
116 1ex 9377 . . . . 5  |-  1  e.  _V
117115, 1, 116fvmpt 5771 . . . 4  |-  ( pi  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( C `  pi )  =  1 )
118107, 117ax-mp 5 . . 3  |-  ( C `
 pi )  =  1
119 lbicc2 11397 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR*  /\  0  <_  pi )  ->  0  e.  ( 0 [,] pi ) )
120104, 105, 63, 119mp3an 1309 . . . . 5  |-  0  e.  ( 0 [,] pi )
121 fveq2 5688 . . . . . . 7  |-  ( t  =  0  ->  ( cos `  t )  =  ( cos `  0
) )
122121negeqd 9600 . . . . . 6  |-  ( t  =  0  ->  -u ( cos `  t )  = 
-u ( cos `  0
) )
123 negex 9604 . . . . . 6  |-  -u ( cos `  0 )  e. 
_V
124122, 1, 123fvmpt 5771 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( C `  0 )  =  -u ( cos `  0
) )
125120, 124ax-mp 5 . . . 4  |-  ( C `
 0 )  = 
-u ( cos `  0
)
126 cos0 13430 . . . . 5  |-  ( cos `  0 )  =  1
127126negeqi 9599 . . . 4  |-  -u ( cos `  0 )  = 
-u 1
128125, 127eqtri 2461 . . 3  |-  ( C `
 0 )  = 
-u 1
129118, 128oveq12i 6102 . 2  |-  ( ( C `  pi )  -  ( C ` 
0 ) )  =  ( 1  -  -u 1
)
130112, 112subnegi 9683 . . 3  |-  ( 1  -  -u 1 )  =  ( 1  +  1 )
131 1p1e2 10431 . . 3  |-  ( 1  +  1 )  =  2
132130, 131eqtri 2461 . 2  |-  ( 1  -  -u 1 )  =  2
133103, 129, 1323eqtri 2465 1  |-  S. ( 0 (,) pi ) ( sin `  x
)  _d x  =  2
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1364   T. wtru 1365    e. wcel 1761    C_ wss 3325   {cpr 3876   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   dom cdm 4836   ran crn 4837   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281   RR*cxr 9413    <_ cle 9415    - cmin 9591   -ucneg 9592   2c2 10367   (,)cioo 11296   [,]cicc 11299   sincsin 13345   cosccos 13346   picpi 13348   TopOpenctopn 14356   topGenctg 14372  ℂfldccnfld 17777   intcnt 18580   -cn->ccncf 20411   volcvol 20906   L^1cibl 21056   S.citg 21057    _D cdv 21297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cc 8600  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-disj 4260  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-ofr 6320  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-omul 6921  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-acn 8108  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-shft 12552  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-ef 13349  df-sin 13351  df-cos 13352  df-pi 13354  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-cnfld 17778  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-nei 18661  df-lp 18699  df-perf 18700  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-haus 18878  df-cmp 18949  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-fil 19378  df-fm 19470  df-flim 19471  df-flf 19472  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856  df-cncf 20413  df-ovol 20907  df-vol 20908  df-mbf 21058  df-itg1 21059  df-itg2 21060  df-ibl 21061  df-itg 21062  df-0p 21107  df-limc 21300  df-dv 21301
This theorem is referenced by:  itgsin0pi  29717
  Copyright terms: Public domain W3C validator