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Theorem itgsbtaddcnst 31623
Description: Integral substitution, adding a constant to the function's argument. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsbtaddcnst.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
itgsbtaddcnst.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
itgsbtaddcnst.aleb  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
itgsbtaddcnst.x  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
itgsbtaddcnst.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
Assertion
Ref Expression
itgsbtaddcnst  |-  ( ph  ->  S__ [ ( A  -  X )  -> 
( B  -  X
) ] ( F `
 ( X  +  s ) )  _d s  =  S__ [ A  ->  B ] ( F `  t )  _d t )
Distinct variable groups:    A, s,
t    B, s, t    F, s, t    X, s, t    ph, s, t

Proof of Theorem itgsbtaddcnst
Dummy variable  r is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgsbtaddcnst.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 itgsbtaddcnst.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 itgsbtaddcnst.aleb . . 3  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
41, 2jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
5 iccssre 11618 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
64, 5syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
76sselda 3509 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  t  e.  RR )
8 ax-resscn 9561 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  C_  CC
98a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
109sseld 3508 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( t  e.  RR  ->  t  e.  CC ) )
1110imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  t  e.  CC )
127, 11syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  t  e.  CC )
13 itgsbtaddcnst.x . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
148, 13sseldi 3507 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
1514adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  X  e.  CC )
16 negsub 9879 . . . . . . 7  |-  ( ( t  e.  CC  /\  X  e.  CC )  ->  ( t  +  -u X )  =  ( t  -  X ) )
1712, 15, 16syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( t  +  -u X )  =  ( t  -  X
) )
1817eqcomd 2475 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( t  -  X )  =  ( t  +  -u X
) )
1918mpteq2dva 4539 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( t  -  X
) )  =  ( t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t  +  -u X
) ) )
2013adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  X  e.  RR )
217, 20resubcld 9999 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( t  -  X )  e.  RR )
22 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  e.  ( A [,] B )  ->  t  e.  ( A [,] B
) )
2322adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  t  e.  ( A [,] B ) )
244adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
25 elicc2 11601 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( t  e.  ( A [,] B )  <-> 
( t  e.  RR  /\  A  <_  t  /\  t  <_  B ) ) )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( t  e.  ( A [,] B
)  <->  ( t  e.  RR  /\  A  <_ 
t  /\  t  <_  B ) ) )
2723, 26mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( t  e.  RR  /\  A  <_ 
t  /\  t  <_  B ) )
2827simp2d 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  A  <_  t )
291adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  A  e.  RR )
3029, 7, 20lesub1d 10171 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( A  <_  t  <->  ( A  -  X )  <_  (
t  -  X ) ) )
3128, 30mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( A  -  X )  <_  (
t  -  X ) )
3227simp3d 1010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  t  <_  B )
3324simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  B  e.  RR )
347, 33, 20lesub1d 10171 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( t  <_  B  <->  ( t  -  X )  <_  ( B  -  X )
) )
3532, 34mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( t  -  X )  <_  ( B  -  X )
)
3621, 31, 353jca 1176 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( (
t  -  X )  e.  RR  /\  ( A  -  X )  <_  ( t  -  X
)  /\  ( t  -  X )  <_  ( B  -  X )
) )
3729, 20resubcld 9999 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( A  -  X )  e.  RR )
3833, 20resubcld 9999 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( B  -  X )  e.  RR )
39 elicc2 11601 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  -  X
)  e.  RR  /\  ( B  -  X
)  e.  RR )  ->  ( ( t  -  X )  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
)  <->  ( ( t  -  X )  e.  RR  /\  ( A  -  X )  <_ 
( t  -  X
)  /\  ( t  -  X )  <_  ( B  -  X )
) ) )
4037, 38, 39syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( (
t  -  X )  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X
) )  <->  ( (
t  -  X )  e.  RR  /\  ( A  -  X )  <_  ( t  -  X
)  /\  ( t  -  X )  <_  ( B  -  X )
) ) )
4136, 40mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( t  -  X )  e.  ( ( A  -  X
) [,] ( B  -  X ) ) )
4241ralrimiva 2881 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. t  e.  ( A [,] B ) ( t  -  X
)  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X ) ) )
43 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t  -  X ) )  =  ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  ( t  -  X ) )
4443fmpt 6053 . . . . . . 7  |-  ( A. t  e.  ( A [,] B ) ( t  -  X )  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
)  <->  ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  ( t  -  X ) ) : ( A [,] B
) --> ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X
) ) )
4542, 44sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( t  -  X
) ) : ( A [,] B ) --> ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )
4619feq1d 5723 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  ( t  -  X ) ) : ( A [,] B
) --> ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X
) )  <->  ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  ( t  + 
-u X ) ) : ( A [,] B ) --> ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X ) ) ) )
4745, 46mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( t  +  -u X ) ) : ( A [,] B
) --> ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X
) ) )
481, 13resubcld 9999 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  -  X
)  e.  RR )
492, 13resubcld 9999 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  -  X
)  e.  RR )
50 iccssre 11618 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  -  X
)  e.  RR  /\  ( B  -  X
)  e.  RR )  ->  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X
) )  C_  RR )
5148, 49, 50syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
)  C_  RR )
5251, 9sstrd 3519 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
)  C_  CC )
536, 8syl6ss 3521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  CC )
54 resmpt 5329 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A [,] B ) 
C_  CC  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t  -  X ) )  |`  ( A [,] B ) )  =  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( t  -  X
) ) )
5553, 54syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t  -  X ) )  |`  ( A [,] B ) )  =  ( t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t  -  X ) ) )
5655eqcomd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( t  -  X
) )  =  ( ( t  e.  CC  |->  ( t  -  X
) )  |`  ( A [,] B ) ) )
57 ssid 3528 . . . . . . . . . . . . 13  |-  CC  C_  CC
58 cncfmptid 21284 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
t  e.  CC  |->  t )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
5957, 57, 58mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  CC  |->  t )  e.  ( CC -cn-> CC )
6059a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
t  e.  CC  |->  t )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
6157a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  CC  C_  CC )
62 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  X  e.  CC )
6361, 62, 61constcncfg 31532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
t  e.  CC  |->  X )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
6460, 63subcncf 31530 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  CC  ->  (
t  e.  CC  |->  ( t  -  X ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
6514, 64syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( t  e.  CC  |->  ( t  -  X
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
66 rescncf 21269 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A [,] B ) 
C_  CC  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t  -  X ) )  e.  ( CC
-cn-> CC )  ->  (
( t  e.  CC  |->  ( t  -  X
) )  |`  ( A [,] B ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) )
6753, 65, 66sylc 60 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t  -  X ) )  |`  ( A [,] B ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
6856, 67eqeltrd 2555 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( t  -  X
) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
6919, 68eqeltrrd 2556 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( t  +  -u X ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
70 cncffvrn 21270 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
)  C_  CC  /\  (
t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t  +  -u X
) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )  -> 
( ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  ( t  + 
-u X ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> ( ( A  -  X
) [,] ( B  -  X ) ) )  <->  ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  ( t  + 
-u X ) ) : ( A [,] B ) --> ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X ) ) ) )
7152, 69, 70syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  ( t  + 
-u X ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> ( ( A  -  X
) [,] ( B  -  X ) ) )  <->  ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  ( t  + 
-u X ) ) : ( A [,] B ) --> ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X ) ) ) )
7247, 71mpbird 232 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( t  +  -u X ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X ) ) ) )
7319, 72eqeltrd 2555 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( t  -  X
) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X
) ) ) )
74 nfcv 2629 . . . . . . 7  |-  F/_ r
( F `  ( X  +  s )
)
75 nfcv 2629 . . . . . . 7  |-  F/_ s
( F `  ( X  +  r )
)
76 oveq2 6303 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  r  ->  ( X  +  s )  =  ( X  +  r ) )
7776fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( s  =  r  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  =  ( F `  ( X  +  r
) ) )
7874, 75, 77cbvmpt 4543 . . . . . 6  |-  ( s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X
) )  |->  ( F `
 ( X  +  s ) ) )  =  ( r  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
)  |->  ( F `  ( X  +  r
) ) )
7978a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( ( A  -  X
) [,] ( B  -  X ) ) 
|->  ( F `  ( X  +  s )
) )  =  ( r  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X ) )  |->  ( F `  ( X  +  r ) ) ) )
80 itgsbtaddcnst.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
81 cncff 21265 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC )  ->  F :
( A [,] B
) --> CC )
8280, 81syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : ( A [,] B ) --> CC )
8313adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )  ->  X  e.  RR )
8451sselda 3509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )  ->  s  e.  RR )
8583, 84readdcld 9635 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )  ->  ( X  +  s )  e.  RR )
86 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )  ->  s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )
8748adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )  ->  ( A  -  X )  e.  RR )
8849adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )  ->  ( B  -  X )  e.  RR )
89 elicc2 11601 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  -  X
)  e.  RR  /\  ( B  -  X
)  e.  RR )  ->  ( s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
)  <->  ( s  e.  RR  /\  ( A  -  X )  <_ 
s  /\  s  <_  ( B  -  X ) ) ) )
9087, 88, 89syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )  ->  (
s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X ) )  <->  ( s  e.  RR  /\  ( A  -  X )  <_ 
s  /\  s  <_  ( B  -  X ) ) ) )
9186, 90mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )  ->  (
s  e.  RR  /\  ( A  -  X
)  <_  s  /\  s  <_  ( B  -  X ) ) )
9291simp2d 1009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )  ->  ( A  -  X )  <_  s )
931adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )  ->  A  e.  RR )
9493, 83, 84lesubadd2d 10163 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )  ->  (
( A  -  X
)  <_  s  <->  A  <_  ( X  +  s ) ) )
9592, 94mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )  ->  A  <_  ( X  +  s ) )
9691simp3d 1010 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )  ->  s  <_  ( B  -  X
) )
972adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )  ->  B  e.  RR )
98 leaddsub2 10041 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  e.  RR  /\  s  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  (
( X  +  s )  <_  B  <->  s  <_  ( B  -  X ) ) )
9983, 84, 97, 98syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )  ->  (
( X  +  s )  <_  B  <->  s  <_  ( B  -  X ) ) )
10096, 99mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )  ->  ( X  +  s )  <_  B )
10185, 95, 1003jca 1176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )  ->  (
( X  +  s )  e.  RR  /\  A  <_  ( X  +  s )  /\  ( X  +  s )  <_  B ) )
1024adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
103 elicc2 11601 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( X  +  s )  e.  ( A [,] B )  <-> 
( ( X  +  s )  e.  RR  /\  A  <_  ( X  +  s )  /\  ( X  +  s
)  <_  B )
) )
104102, 103syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )  ->  (
( X  +  s )  e.  ( A [,] B )  <->  ( ( X  +  s )  e.  RR  /\  A  <_ 
( X  +  s )  /\  ( X  +  s )  <_  B ) ) )
105101, 104mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )  ->  ( X  +  s )  e.  ( A [,] B
) )
106105ralrimiva 2881 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. s  e.  ( ( A  -  X
) [,] ( B  -  X ) ) ( X  +  s )  e.  ( A [,] B ) )
107 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X
) )  |->  ( X  +  s ) )  =  ( s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
)  |->  ( X  +  s ) )
108107fmpt 6053 . . . . . . . . 9  |-  ( A. s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X
) ) ( X  +  s )  e.  ( A [,] B
)  <->  ( s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
)  |->  ( X  +  s ) ) : ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) --> ( A [,] B ) )
109106, 108sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( ( A  -  X
) [,] ( B  -  X ) ) 
|->  ( X  +  s ) ) : ( ( A  -  X
) [,] ( B  -  X ) ) --> ( A [,] B
) )
110 fcompt 6068 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : ( A [,] B ) --> CC 
/\  ( s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
)  |->  ( X  +  s ) ) : ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) --> ( A [,] B ) )  -> 
( F  o.  (
s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X ) )  |->  ( X  +  s ) ) )  =  ( r  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X ) )  |->  ( F `  ( ( s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X ) )  |->  ( X  +  s ) ) `  r ) ) ) )
11182, 109, 110syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F  o.  (
s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X ) )  |->  ( X  +  s ) ) )  =  ( r  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X ) )  |->  ( F `  ( ( s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X ) )  |->  ( X  +  s ) ) `  r ) ) ) )
112 eqidd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )  ->  (
s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X ) )  |->  ( X  +  s ) )  =  ( s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X
) )  |->  ( X  +  s ) ) )
11376adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )  /\  s  =  r )  -> 
( X  +  s )  =  ( X  +  r ) )
114 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )  ->  r  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )
11513adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )  ->  X  e.  RR )
11651sselda 3509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )  ->  r  e.  RR )
117115, 116readdcld 9635 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )  ->  ( X  +  r )  e.  RR )
118112, 113, 114, 117fvmptd 5962 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )  ->  (
( s  e.  ( ( A  -  X
) [,] ( B  -  X ) ) 
|->  ( X  +  s ) ) `  r
)  =  ( X  +  r ) )
119118fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )  ->  ( F `  ( (
s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X ) )  |->  ( X  +  s ) ) `  r ) )  =  ( F `
 ( X  +  r ) ) )
120119mpteq2dva 4539 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( r  e.  ( ( A  -  X
) [,] ( B  -  X ) ) 
|->  ( F `  (
( s  e.  ( ( A  -  X
) [,] ( B  -  X ) ) 
|->  ( X  +  s ) ) `  r
) ) )  =  ( r  e.  ( ( A  -  X
) [,] ( B  -  X ) ) 
|->  ( F `  ( X  +  r )
) ) )
121111, 120eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  o.  (
s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X ) )  |->  ( X  +  s ) ) )  =  ( r  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X ) )  |->  ( F `  ( X  +  r ) ) ) )
122121eqcomd 2475 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( r  e.  ( ( A  -  X
) [,] ( B  -  X ) ) 
|->  ( F `  ( X  +  r )
) )  =  ( F  o.  ( s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X
) )  |->  ( X  +  s ) ) ) )
12379, 122eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( ( A  -  X
) [,] ( B  -  X ) ) 
|->  ( F `  ( X  +  s )
) )  =  ( F  o.  ( s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X
) )  |->  ( X  +  s ) ) ) )
124 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( s  e.  CC  |->  ( X  +  s ) )  =  ( s  e.  CC  |->  ( X  +  s ) )
12514adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  CC )  ->  X  e.  CC )
126 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  CC )  ->  s  e.  CC )
127125, 126addcomd 9793 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  CC )  ->  ( X  +  s )  =  ( s  +  X
) )
128127mpteq2dva 4539 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( s  e.  CC  |->  ( X  +  s
) )  =  ( s  e.  CC  |->  ( s  +  X ) ) )
129 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  CC  |->  ( s  +  X ) )  =  ( s  e.  CC  |->  ( s  +  X ) )
130129addccncf 21288 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  CC  ->  (
s  e.  CC  |->  ( s  +  X ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
13114, 130syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( s  e.  CC  |->  ( s  +  X
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
132128, 131eqeltrd 2555 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  CC  |->  ( X  +  s
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
133124, 132, 52, 53, 105cncfmptssg 31531 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( ( A  -  X
) [,] ( B  -  X ) ) 
|->  ( X  +  s ) )  e.  ( ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) -cn-> ( A [,] B ) ) )
134133, 80cncfco 21279 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  o.  (
s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X ) )  |->  ( X  +  s ) ) )  e.  ( ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) -cn-> CC ) )
135123, 134eqeltrd 2555 . . 3  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( ( A  -  X
) [,] ( B  -  X ) ) 
|->  ( F `  ( X  +  s )
) )  e.  ( ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) -cn-> CC ) )
136 ax-1cn 9562 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
137 ioossre 11598 . . . . . . . . 9  |-  ( A (,) B )  C_  RR
138137, 8sstri 3518 . . . . . . . 8  |-  ( A (,) B )  C_  CC
139136, 138, 573pm3.2i 1174 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  /\  ( A (,) B )  C_  CC  /\  CC  C_  CC )
140 cncfmptc 21283 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( A (,) B ) 
C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( t  e.  ( A (,) B )  |->  1 )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
141139, 140ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( t  e.  ( A (,) B )  |->  1 )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC )
142141a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A (,) B ) 
|->  1 )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
143 fconstmpt 5049 . . . . . . . 8  |-  ( ( A (,) B )  X.  { 1 } )  =  ( t  e.  ( A (,) B )  |->  1 )
144143eqcomi 2480 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  ( A (,) B )  |->  1 )  =  ( ( A (,) B )  X. 
{ 1 } )
145144a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A (,) B ) 
|->  1 )  =  ( ( A (,) B
)  X.  { 1 } ) )
146 ioombl 21843 . . . . . . . . 9  |-  ( A (,) B )  e. 
dom  vol
147146a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  e.  dom  vol )
1481, 2, 33jca 1176 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B ) )
149 volioo 31589 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol `  ( A (,) B ) )  =  ( B  -  A
) )
150148, 149syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( vol `  ( A (,) B ) )  =  ( B  -  A ) )
1512, 1resubcld 9999 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
152150, 151eqeltrd 2555 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( vol `  ( A (,) B ) )  e.  RR )
153136a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
154147, 152, 1533jca 1176 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A (,) B )  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  ( A (,) B ) )  e.  RR  /\  1  e.  CC ) )
155 iblconst 22092 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A (,) B
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  ( A (,) B ) )  e.  RR  /\  1  e.  CC )  ->  (
( A (,) B
)  X.  { 1 } )  e.  L^1 )
156154, 155syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A (,) B )  X.  {
1 } )  e.  L^1 )
157145, 156eqeltrd 2555 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A (,) B ) 
|->  1 )  e.  L^1 )
158142, 157jca 532 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  ( A (,) B
)  |->  1 )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC )  /\  ( t  e.  ( A (,) B
)  |->  1 )  e.  L^1 ) )
159 elin 3692 . . . 4  |-  ( ( t  e.  ( A (,) B )  |->  1 )  e.  ( ( ( A (,) B
) -cn-> CC )  i^i  L^1 )  <->  ( ( t  e.  ( A (,) B )  |->  1 )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC )  /\  ( t  e.  ( A (,) B )  |->  1 )  e.  L^1 ) )
160158, 159sylibr 212 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A (,) B ) 
|->  1 )  e.  ( ( ( A (,) B ) -cn-> CC )  i^i  L^1 ) )
1618, 21sseldi 3507 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( t  -  X )  e.  CC )
162 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
163162tgioo2 21176 . . . . 5  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
164 iccntr 21194 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) )  =  ( A (,) B
) )
1654, 164syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) )  =  ( A (,) B
) )
1669, 6, 161, 163, 162, 165dvmptntr 22242 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t  -  X ) ) )  =  ( RR  _D  ( t  e.  ( A (,) B )  |->  ( t  -  X ) ) ) )
167 reex 9595 . . . . . . 7  |-  RR  e.  _V
168167prid1 4141 . . . . . 6  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
169168a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
170 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A (,) B ) )  ->  ph )
171137sseli 3505 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  ( A (,) B )  ->  t  e.  RR )
172171adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A (,) B ) )  ->  t  e.  RR )
173170, 172, 11syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A (,) B ) )  ->  t  e.  CC )
174136a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A (,) B ) )  ->  1  e.  CC )
175136a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  1  e.  CC )
176169dvmptid 22228 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
t  e.  RR  |->  t ) )  =  ( t  e.  RR  |->  1 ) )
177137a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  RR )
178 iooretop 21141 . . . . . . 7  |-  ( A (,) B )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
179178a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
180169, 11, 175, 176, 177, 163, 162, 179dvmptres 22234 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
t  e.  ( A (,) B )  |->  t ) )  =  ( t  e.  ( A (,) B )  |->  1 ) )
18114adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A (,) B ) )  ->  X  e.  CC )
182 0cn 9600 . . . . . 6  |-  0  e.  CC
183182a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A (,) B ) )  ->  0  e.  CC )
18414adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  X  e.  CC )
185182a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  0  e.  CC )
186169, 14dvmptc 22229 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
t  e.  RR  |->  X ) )  =  ( t  e.  RR  |->  0 ) )
187169, 184, 185, 186, 177, 163, 162, 179dvmptres 22234 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
t  e.  ( A (,) B )  |->  X ) )  =  ( t  e.  ( A (,) B )  |->  0 ) )
188169, 173, 174, 180, 181, 183, 187dvmptsub 22238 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
t  e.  ( A (,) B )  |->  ( t  -  X ) ) )  =  ( t  e.  ( A (,) B )  |->  ( 1  -  0 ) ) )
189174subid1d 9931 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 1  -  0 )  =  1 )
190189mpteq2dva 4539 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( 1  -  0 ) )  =  ( t  e.  ( A (,) B )  |->  1 ) )
191166, 188, 1903eqtrd 2512 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t  -  X ) ) )  =  ( t  e.  ( A (,) B )  |->  1 ) )
192 oveq2 6303 . . . 4  |-  ( s  =  ( t  -  X )  ->  ( X  +  s )  =  ( X  +  ( t  -  X
) ) )
193192fveq2d 5876 . . 3  |-  ( s  =  ( t  -  X )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  =  ( F `  ( X  +  (
t  -  X ) ) ) )
194 oveq1 6302 . . 3  |-  ( t  =  A  ->  (
t  -  X )  =  ( A  -  X ) )
195 oveq1 6302 . . 3  |-  ( t  =  B  ->  (
t  -  X )  =  ( B  -  X ) )
1961, 2, 3, 73, 135, 160, 191, 193, 194, 195, 48, 49itgsubsticc 31617 . 2  |-  ( ph  ->  S__ [ ( A  -  X )  -> 
( B  -  X
) ] ( F `
 ( X  +  s ) )  _d s  =  S__ [ A  ->  B ] ( ( F `  ( X  +  ( t  -  X ) ) )  x.  1 )  _d t )
197181, 173pncan3d 9945 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  ( t  -  X ) )  =  t )
198197fveq2d 5876 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  ( X  +  ( t  -  X ) ) )  =  ( F `  t ) )
199198oveq1d 6310 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  ( t  -  X ) ) )  x.  1 )  =  ( ( F `  t )  x.  1 ) )
20082adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A (,) B ) )  ->  F :
( A [,] B
) --> CC )
201 ioossicc 11622 . . . . . . . 8  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
202201sseli 3505 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  ( A (,) B )  ->  t  e.  ( A [,] B
) )
203202adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A (,) B ) )  ->  t  e.  ( A [,] B ) )
204 ffvelrn 6030 . . . . . 6  |-  ( ( F : ( A [,] B ) --> CC 
/\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
205200, 203, 204syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
206205mulid1d 9625 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  t )  x.  1 )  =  ( F `  t ) )
207199, 206eqtrd 2508 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  ( t  -  X ) ) )  x.  1 )  =  ( F `  t
) )
2083, 207ditgeq3d 31605 . 2  |-  ( ph  ->  S__ [ A  ->  B ] ( ( F `
 ( X  +  ( t  -  X
) ) )  x.  1 )  _d t  =  S__ [ A  ->  B ] ( F `
 t )  _d t )
209196, 208eqtrd 2508 1  |-  ( ph  ->  S__ [ ( A  -  X )  -> 
( B  -  X
) ] ( F `
 ( X  +  s ) )  _d s  =  S__ [ A  ->  B ] ( F `  t )  _d t )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817    i^i cin 3480    C_ wss 3481   {csn 4033   {cpr 4035   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511    X. cxp 5003   dom cdm 5005   ran crn 5006    |` cres 5007    o. ccom 5009   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    x. cmul 9509    <_ cle 9641    - cmin 9817   -ucneg 9818   (,)cioo 11541   [,]cicc 11544   TopOpenctopn 14694   topGenctg 14710  ℂfldccnfld 18290   intcnt 19386   -cn->ccncf 21248   volcvol 21743   L^1cibl 21894   S__cdit 22118    _D cdv 22135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cc 8827  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-disj 4424  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-ofr 6536  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-omul 7147  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-acn 8335  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-limsup 13274  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-lp 19505  df-perf 19506  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-haus 19684  df-cmp 19755  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cncf 21250  df-ovol 21744  df-vol 21745  df-mbf 21896  df-itg1 21897  df-itg2 21898  df-ibl 21899  df-itg 21900  df-0p 21945  df-ditg 22119  df-limc 22138  df-dv 22139
This theorem is referenced by:  fourierdlem82  31812
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