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Theorem itgsbtaddcnst 37859
Description: Integral substitution, adding a constant to the function's argument. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsbtaddcnst.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
itgsbtaddcnst.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
itgsbtaddcnst.aleb  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
itgsbtaddcnst.x  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
itgsbtaddcnst.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
Assertion
Ref Expression
itgsbtaddcnst  |-  ( ph  ->  S__ [ ( A  -  X )  -> 
( B  -  X
) ] ( F `
 ( X  +  s ) )  _d s  =  S__ [ A  ->  B ] ( F `  t )  _d t )
Distinct variable groups:    A, s,
t    B, s, t    F, s, t    X, s, t    ph, s, t

Proof of Theorem itgsbtaddcnst
StepHypRef Expression
1 itgsbtaddcnst.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 itgsbtaddcnst.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 itgsbtaddcnst.aleb . . 3  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
41, 2iccssred 37602 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
54sselda 3432 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  t  e.  RR )
65recnd 9669 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  t  e.  CC )
7 itgsbtaddcnst.x . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
87recnd 9669 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
98adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  X  e.  CC )
106, 9negsubd 9992 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( t  +  -u X )  =  ( t  -  X
) )
1110eqcomd 2457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( t  -  X )  =  ( t  +  -u X
) )
1211mpteq2dva 4489 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( t  -  X
) )  =  ( t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t  +  -u X
) ) )
131adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  A  e.  RR )
147adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  X  e.  RR )
1513, 14resubcld 10047 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( A  -  X )  e.  RR )
162adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  B  e.  RR )
1716, 14resubcld 10047 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( B  -  X )  e.  RR )
185, 14resubcld 10047 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( t  -  X )  e.  RR )
19 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  t  e.  ( A [,] B ) )
201, 2jca 535 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
2120adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
22 elicc2 11699 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( t  e.  ( A [,] B )  <-> 
( t  e.  RR  /\  A  <_  t  /\  t  <_  B ) ) )
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( t  e.  ( A [,] B
)  <->  ( t  e.  RR  /\  A  <_ 
t  /\  t  <_  B ) ) )
2419, 23mpbid 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( t  e.  RR  /\  A  <_ 
t  /\  t  <_  B ) )
2524simp2d 1021 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  A  <_  t )
2613, 5, 14, 25lesub1dd 10229 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( A  -  X )  <_  (
t  -  X ) )
2724simp3d 1022 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  t  <_  B )
285, 16, 14, 27lesub1dd 10229 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( t  -  X )  <_  ( B  -  X )
)
2915, 17, 18, 26, 28eliccd 37601 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( t  -  X )  e.  ( ( A  -  X
) [,] ( B  -  X ) ) )
30 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t  -  X ) )  =  ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  ( t  -  X ) )
3129, 30fmptd 6046 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( t  -  X
) ) : ( A [,] B ) --> ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )
3212, 31feq1dd 37430 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( t  +  -u X ) ) : ( A [,] B
) --> ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X
) ) )
331, 7resubcld 10047 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  -  X
)  e.  RR )
342, 7resubcld 10047 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  -  X
)  e.  RR )
3533, 34iccssred 37602 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
)  C_  RR )
36 ax-resscn 9596 . . . . . . 7  |-  RR  C_  CC
3735, 36syl6ss 3444 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
)  C_  CC )
384, 36syl6ss 3444 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  CC )
3938resmptd 5156 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t  -  X ) )  |`  ( A [,] B ) )  =  ( t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t  -  X ) ) )
40 ssid 3451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  CC  C_  CC
41 cncfmptid 21944 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
t  e.  CC  |->  t )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
4240, 40, 41mp2an 678 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  CC  |->  t )  e.  ( CC -cn-> CC )
4342a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
t  e.  CC  |->  t )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
4440a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  CC  C_  CC )
45 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  X  e.  CC )
4644, 45, 44constcncfg 37748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
t  e.  CC  |->  X )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
4743, 46subcncf 37746 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  CC  ->  (
t  e.  CC  |->  ( t  -  X ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
488, 47syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( t  e.  CC  |->  ( t  -  X
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
49 rescncf 21929 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A [,] B ) 
C_  CC  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t  -  X ) )  e.  ( CC
-cn-> CC )  ->  (
( t  e.  CC  |->  ( t  -  X
) )  |`  ( A [,] B ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) )
5038, 48, 49sylc 62 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t  -  X ) )  |`  ( A [,] B ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
5139, 50eqeltrrd 2530 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( t  -  X
) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
5212, 51eqeltrrd 2530 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( t  +  -u X ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
53 cncffvrn 21930 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
)  C_  CC  /\  (
t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t  +  -u X
) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )  -> 
( ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  ( t  + 
-u X ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> ( ( A  -  X
) [,] ( B  -  X ) ) )  <->  ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  ( t  + 
-u X ) ) : ( A [,] B ) --> ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X ) ) ) )
5437, 52, 53syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  ( t  + 
-u X ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> ( ( A  -  X
) [,] ( B  -  X ) ) )  <->  ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  ( t  + 
-u X ) ) : ( A [,] B ) --> ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X ) ) ) )
5532, 54mpbird 236 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( t  +  -u X ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X ) ) ) )
5612, 55eqeltrd 2529 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( t  -  X
) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X
) ) ) )
57 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( s  e.  CC  |->  ( X  +  s ) )  =  ( s  e.  CC  |->  ( X  +  s ) )
588adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  CC )  ->  X  e.  CC )
59 simpr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  CC )  ->  s  e.  CC )
6058, 59addcomd 9835 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  CC )  ->  ( X  +  s )  =  ( s  +  X
) )
6160mpteq2dva 4489 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  CC  |->  ( X  +  s
) )  =  ( s  e.  CC  |->  ( s  +  X ) ) )
62 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  CC  |->  ( s  +  X ) )  =  ( s  e.  CC  |->  ( s  +  X ) )
6362addccncf 21948 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  CC  ->  (
s  e.  CC  |->  ( s  +  X ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
648, 63syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  CC  |->  ( s  +  X
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
6561, 64eqeltrd 2529 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( s  e.  CC  |->  ( X  +  s
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
661adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )  ->  A  e.  RR )
672adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )  ->  B  e.  RR )
687adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )  ->  X  e.  RR )
6935sselda 3432 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )  ->  s  e.  RR )
7068, 69readdcld 9670 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )  ->  ( X  +  s )  e.  RR )
71 simpr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )  ->  s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )
7233adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )  ->  ( A  -  X )  e.  RR )
7334adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )  ->  ( B  -  X )  e.  RR )
74 elicc2 11699 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  -  X
)  e.  RR  /\  ( B  -  X
)  e.  RR )  ->  ( s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
)  <->  ( s  e.  RR  /\  ( A  -  X )  <_ 
s  /\  s  <_  ( B  -  X ) ) ) )
7572, 73, 74syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )  ->  (
s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X ) )  <->  ( s  e.  RR  /\  ( A  -  X )  <_ 
s  /\  s  <_  ( B  -  X ) ) ) )
7671, 75mpbid 214 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )  ->  (
s  e.  RR  /\  ( A  -  X
)  <_  s  /\  s  <_  ( B  -  X ) ) )
7776simp2d 1021 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )  ->  ( A  -  X )  <_  s )
7866, 68, 69lesubadd2d 10212 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )  ->  (
( A  -  X
)  <_  s  <->  A  <_  ( X  +  s ) ) )
7977, 78mpbid 214 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )  ->  A  <_  ( X  +  s ) )
8076simp3d 1022 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )  ->  s  <_  ( B  -  X
) )
8168, 69, 67leaddsub2d 10215 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )  ->  (
( X  +  s )  <_  B  <->  s  <_  ( B  -  X ) ) )
8280, 81mpbird 236 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )  ->  ( X  +  s )  <_  B )
8366, 67, 70, 79, 82eliccd 37601 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) )  ->  ( X  +  s )  e.  ( A [,] B
) )
8457, 65, 37, 38, 83cncfmptssg 37747 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( ( A  -  X
) [,] ( B  -  X ) ) 
|->  ( X  +  s ) )  e.  ( ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) -cn-> ( A [,] B ) ) )
85 itgsbtaddcnst.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
8684, 85cncfcompt 37760 . . 3  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( ( A  -  X
) [,] ( B  -  X ) ) 
|->  ( F `  ( X  +  s )
) )  e.  ( ( ( A  -  X ) [,] ( B  -  X )
) -cn-> CC ) )
87 ax-1cn 9597 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
88 ioosscn 37591 . . . . . 6  |-  ( A (,) B )  C_  CC
89 cncfmptc 21943 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( A (,) B ) 
C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( t  e.  ( A (,) B )  |->  1 )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
9087, 88, 40, 89mp3an 1364 . . . . 5  |-  ( t  e.  ( A (,) B )  |->  1 )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC )
9190a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A (,) B ) 
|->  1 )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
92 fconstmpt 4878 . . . . 5  |-  ( ( A (,) B )  X.  { 1 } )  =  ( t  e.  ( A (,) B )  |->  1 )
93 ioombl 22518 . . . . . . 7  |-  ( A (,) B )  e. 
dom  vol
9493a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  e.  dom  vol )
95 volioo 37825 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol `  ( A (,) B ) )  =  ( B  -  A
) )
961, 2, 3, 95syl3anc 1268 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( vol `  ( A (,) B ) )  =  ( B  -  A ) )
972, 1resubcld 10047 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
9896, 97eqeltrd 2529 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( vol `  ( A (,) B ) )  e.  RR )
99 1cnd 9659 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
100 iblconst 22775 . . . . . 6  |-  ( ( ( A (,) B
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  ( A (,) B ) )  e.  RR  /\  1  e.  CC )  ->  (
( A (,) B
)  X.  { 1 } )  e.  L^1 )
10194, 98, 99, 100syl3anc 1268 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A (,) B )  X.  {
1 } )  e.  L^1 )
10292, 101syl5eqelr 2534 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A (,) B ) 
|->  1 )  e.  L^1 )
10391, 102elind 3618 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A (,) B ) 
|->  1 )  e.  ( ( ( A (,) B ) -cn-> CC )  i^i  L^1 ) )
10436a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
10518recnd 9669 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( t  -  X )  e.  CC )
106 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
107106tgioo2 21821 . . . . 5  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
108 iccntr 21839 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) )  =  ( A (,) B
) )
10920, 108syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) )  =  ( A (,) B
) )
110104, 4, 105, 107, 106, 109dvmptntr 22925 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t  -  X ) ) )  =  ( RR  _D  ( t  e.  ( A (,) B )  |->  ( t  -  X ) ) ) )
111 reelprrecn 9631 . . . . . 6  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
112111a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
113 ioossre 11696 . . . . . . . 8  |-  ( A (,) B )  C_  RR
114113sseli 3428 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  ( A (,) B )  ->  t  e.  RR )
115114adantl 468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A (,) B ) )  ->  t  e.  RR )
116115recnd 9669 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A (,) B ) )  ->  t  e.  CC )
117 1cnd 9659 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A (,) B ) )  ->  1  e.  CC )
118104sselda 3432 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  t  e.  CC )
119 1cnd 9659 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  1  e.  CC )
120112dvmptid 22911 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
t  e.  RR  |->  t ) )  =  ( t  e.  RR  |->  1 ) )
121113a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  RR )
122 iooretop 21786 . . . . . . 7  |-  ( A (,) B )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
123122a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
124112, 118, 119, 120, 121, 107, 106, 123dvmptres 22917 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
t  e.  ( A (,) B )  |->  t ) )  =  ( t  e.  ( A (,) B )  |->  1 ) )
1258adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A (,) B ) )  ->  X  e.  CC )
126 0cnd 9636 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A (,) B ) )  ->  0  e.  CC )
1278adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  X  e.  CC )
128 0cnd 9636 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  0  e.  CC )
129112, 8dvmptc 22912 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
t  e.  RR  |->  X ) )  =  ( t  e.  RR  |->  0 ) )
130112, 127, 128, 129, 121, 107, 106, 123dvmptres 22917 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
t  e.  ( A (,) B )  |->  X ) )  =  ( t  e.  ( A (,) B )  |->  0 ) )
131112, 116, 117, 124, 125, 126, 130dvmptsub 22921 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
t  e.  ( A (,) B )  |->  ( t  -  X ) ) )  =  ( t  e.  ( A (,) B )  |->  ( 1  -  0 ) ) )
132117subid1d 9975 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( 1  -  0 )  =  1 )
133132mpteq2dva 4489 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( 1  -  0 ) )  =  ( t  e.  ( A (,) B )  |->  1 ) )
134110, 131, 1333eqtrd 2489 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t  -  X ) ) )  =  ( t  e.  ( A (,) B )  |->  1 ) )
135 oveq2 6298 . . . 4  |-  ( s  =  ( t  -  X )  ->  ( X  +  s )  =  ( X  +  ( t  -  X
) ) )
136135fveq2d 5869 . . 3  |-  ( s  =  ( t  -  X )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  =  ( F `  ( X  +  (
t  -  X ) ) ) )
137 oveq1 6297 . . 3  |-  ( t  =  A  ->  (
t  -  X )  =  ( A  -  X ) )
138 oveq1 6297 . . 3  |-  ( t  =  B  ->  (
t  -  X )  =  ( B  -  X ) )
1391, 2, 3, 56, 86, 103, 134, 136, 137, 138, 33, 34itgsubsticc 37853 . 2  |-  ( ph  ->  S__ [ ( A  -  X )  -> 
( B  -  X
) ] ( F `
 ( X  +  s ) )  _d s  =  S__ [ A  ->  B ] ( ( F `  ( X  +  ( t  -  X ) ) )  x.  1 )  _d t )
140125, 116pncan3d 9989 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  ( t  -  X ) )  =  t )
141140fveq2d 5869 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  ( X  +  ( t  -  X ) ) )  =  ( F `  t ) )
142141oveq1d 6305 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  ( t  -  X ) ) )  x.  1 )  =  ( ( F `  t )  x.  1 ) )
143 cncff 21925 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC )  ->  F :
( A [,] B
) --> CC )
14485, 143syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : ( A [,] B ) --> CC )
145144adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A (,) B ) )  ->  F :
( A [,] B
) --> CC )
146 ioossicc 11720 . . . . . . . 8  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
147146sseli 3428 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  ( A (,) B )  ->  t  e.  ( A [,] B
) )
148147adantl 468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A (,) B ) )  ->  t  e.  ( A [,] B ) )
149145, 148ffvelrnd 6023 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
150149mulid1d 9660 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  t )  x.  1 )  =  ( F `  t ) )
151142, 150eqtrd 2485 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  ( t  -  X ) ) )  x.  1 )  =  ( F `  t
) )
1523, 151ditgeq3d 37841 . 2  |-  ( ph  ->  S__ [ A  ->  B ] ( ( F `
 ( X  +  ( t  -  X
) ) )  x.  1 )  _d t  =  S__ [ A  ->  B ] ( F `
 t )  _d t )
153139, 152eqtrd 2485 1  |-  ( ph  ->  S__ [ ( A  -  X )  -> 
( B  -  X
) ] ( F `
 ( X  +  s ) )  _d s  =  S__ [ A  ->  B ] ( F `  t )  _d t )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    C_ wss 3404   {csn 3968   {cpr 3970   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461    X. cxp 4832   dom cdm 4834   ran crn 4835    |` cres 4836   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544    <_ cle 9676    - cmin 9860   -ucneg 9861   (,)cioo 11635   [,]cicc 11638   TopOpenctopn 15320   topGenctg 15336  ℂfldccnfld 18970   intcnt 20032   -cn->ccncf 21908   volcvol 22415   L^1cibl 22575   S__cdit 22801    _D cdv 22818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cc 8865  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-disj 4374  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-ofr 6532  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-omul 7187  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-acn 8376  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-cmp 20402  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-ovol 22416  df-vol 22418  df-mbf 22577  df-itg1 22578  df-itg2 22579  df-ibl 22580  df-itg 22581  df-0p 22628  df-ditg 22802  df-limc 22821  df-dv 22822
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