MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgreval Structured version   Unicode version

Theorem itgreval 22493
Description: Decompose the integral of a real function into positive and negative parts. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iblrelem.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
itgreval.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
Assertion
Ref Expression
itgreval  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x ) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem itgreval
StepHypRef Expression
1 iblrelem.1 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
2 itgreval.2 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
31, 2itgrevallem1 22491 . 2  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )  -  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B
) ,  -u B ,  0 ) ) ) ) )
4 0re 9625 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
5 ifcl 3926 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  e.  RR )
61, 4, 5sylancl 660 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR )
71iblrelem 22487 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) ,  -u B ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
82, 7mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B
) ,  -u B ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
98simp1d 1009 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
101, 9mbfpos 22348 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e. MblFn
)
11 ifan 3930 . . . . . . . . 9  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ,  0 )
1211mpteq2i 4477 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ,  0 ) )
1312fveq2i 5851 . . . . . . 7  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ,  0 ) ) )
148simp2d 1010 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )
1513, 14syl5eqelr 2495 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
16 max1 11438 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  0  <_  if (
0  <_  B ,  B ,  0 ) )
174, 1, 16sylancr 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )
186, 17iblpos 22489 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
1910, 15, 18mpbir2and 923 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e.  L^1 )
206, 19, 17itgposval 22492 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ,  0 ) ) ) )
2120, 13syl6eqr 2461 . . 3  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) ) )
221renegcld 10026 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u B  e.  RR )
23 ifcl 3926 . . . . . 6  |-  ( (
-u B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR )
2422, 4, 23sylancl 660 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR )
251, 9mbfneg 22347 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u B )  e. MblFn
)
2622, 25mbfpos 22348 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn )
27 ifan 3930 . . . . . . . . 9  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B
) ,  -u B ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ,  0 )
2827mpteq2i 4477 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B
) ,  -u B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ,  0 ) )
2928fveq2i 5851 . . . . . . 7  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) ,  -u B ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ,  0 ) ) )
308simp3d 1011 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) ,  -u B ,  0 ) ) )  e.  RR )
3129, 30syl5eqelr 2495 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
32 max1 11438 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u B  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
334, 22, 32sylancr 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
3424, 33iblpos 22489 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e.  L^1  <-> 
( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
3526, 31, 34mpbir2and 923 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e.  L^1 )
3624, 35, 33itgposval 22492 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ,  0 ) ) ) )
3736, 29syl6eqr 2461 . . 3  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B
) ,  -u B ,  0 ) ) ) )
3821, 37oveq12d 6295 . 2  |-  ( ph  ->  ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x )  =  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )  -  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) ,  -u B ,  0 ) ) ) ) )
393, 38eqtr4d 2446 1  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   ifcif 3884   class class class wbr 4394    |-> cmpt 4452   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   RRcr 9520   0cc0 9521    <_ cle 9658    - cmin 9840   -ucneg 9841  MblFncmbf 22313   S.2citg2 22315   L^1cibl 22316   S.citg 22317
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599  ax-addf 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-disj 4366  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-ofr 6521  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-cda 8579  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-q 11227  df-rp 11265  df-xadd 11371  df-ioo 11585  df-ico 11587  df-icc 11588  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-fl 11964  df-mod 12033  df-seq 12150  df-exp 12209  df-hash 12451  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-clim 13458  df-sum 13656  df-xmet 18730  df-met 18731  df-ovol 22166  df-vol 22167  df-mbf 22318  df-itg1 22319  df-itg2 22320  df-ibl 22321  df-itg 22322  df-0p 22367
This theorem is referenced by:  itgneg  22500  itgitg1  22505  itgaddlem2  22520  itgmulc2lem2  22529  itgaddnclem2  31427  itgmulc2nclem2  31435
  Copyright terms: Public domain W3C validator