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Theorem itgpowd 29593
Description: The integral of a monomial on a closed bounded interval of the real line. Co-authors TA and MC. (Contributed by Jon Pennant, 31-May-2019.) (Revised by Thierry Arnoux, 14-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgpowd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
itgpowd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
itgpowd.3  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
itgpowd.4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
itgpowd  |-  ( ph  ->  S. ( A [,] B ) ( x ^ N )  _d x  =  ( ( ( B ^ ( N  +  1 ) )  -  ( A ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( N  + 
1 ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, N    ph, x

Proof of Theorem itgpowd
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgpowd.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2 nn0p1nn 10622 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
43nncnd 10341 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
5 itgpowd.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
6 itgpowd.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
7 iccssre 11380 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
85, 6, 7syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
9 ax-resscn 9342 . . . . . 6  |-  RR  C_  CC
108, 9syl6ss 3371 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  CC )
1110sselda 3359 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  x  e.  CC )
121adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  N  e.  NN0 )
1311, 12expcld 12011 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( x ^ N )  e.  CC )
14 resmpt 5159 . . . . . 6  |-  ( ( A [,] B ) 
C_  CC  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  |`  ( A [,] B ) )  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( x ^ N
) ) )
1510, 14syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  |`  ( A [,] B ) )  =  ( x  e.  ( A [,] B )  |->  ( x ^ N ) ) )
16 expcncf 20501 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
171, 16syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
18 rescncf 20476 . . . . . 6  |-  ( ( A [,] B ) 
C_  CC  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  e.  ( CC
-cn-> CC )  ->  (
( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) )  |`  ( A [,] B ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) )
1910, 17, 18sylc 60 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  |`  ( A [,] B ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
2015, 19eqeltrrd 2518 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( x ^ N
) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
21 cniccibl 21321 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  |->  ( x ^ N ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )  -> 
( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( x ^ N
) )  e.  L^1 )
225, 6, 20, 21syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( x ^ N
) )  e.  L^1 )
2313, 22itgcl 21264 . 2  |-  ( ph  ->  S. ( A [,] B ) ( x ^ N )  _d x  e.  CC )
243nnne0d 10369 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  =/=  0 )
254, 13, 22itgmulc2 21314 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  x.  S. ( A [,] B ) ( x ^ N
)  _d x )  =  S. ( A [,] B ) ( ( N  +  1 )  x.  ( x ^ N ) )  _d x )
26 eqidd 2444 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( t  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N
) ) )  =  ( t  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ N ) ) ) )
27 oveq1 6101 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  x  ->  (
t ^ N )  =  ( x ^ N ) )
2827oveq2d 6110 . . . . . . 7  |-  ( t  =  x  ->  (
( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) )  =  ( ( N  +  1 )  x.  ( x ^ N
) ) )
2928adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A (,) B
) )  /\  t  =  x )  ->  (
( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) )  =  ( ( N  +  1 )  x.  ( x ^ N
) ) )
30 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  x  e.  ( A (,) B ) )
314adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
32 ioossicc 11384 . . . . . . . . . 10  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
3332a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( A [,] B ) )
3433sselda 3359 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  x  e.  ( A [,] B ) )
3534, 13syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( x ^ N )  e.  CC )
3631, 35mulcld 9409 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( N  +  1 )  x.  ( x ^ N ) )  e.  CC )
3726, 29, 30, 36fvmptd 5782 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
t  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) ) `  x )  =  ( ( N  +  1 )  x.  ( x ^ N
) ) )
3837itgeq2dv 21262 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) ( ( t  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) ) `  x )  _d x  =  S. ( A (,) B
) ( ( N  +  1 )  x.  ( x ^ N
) )  _d x )
39 itgpowd.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
40 reelprrecn 9377 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
4140a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
429a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
4342sselda 3359 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  t  e.  CC )
44 1nn0 10598 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  NN0
4544a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  e.  NN0 )
461, 45nn0addcld 10643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
4746adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
4843, 47expcld 12011 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( t ^ ( N  + 
1 ) )  e.  CC )
491nn0cnd 10641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
5049adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  N  e.  CC )
51 1cnd 9405 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  1  e.  CC )
5250, 51addcld 9408 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
531adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  N  e. 
NN0 )
5443, 53expcld 12011 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( t ^ N )  e.  CC )
5552, 54mulcld 9409 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) )  e.  CC )
56 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  CC )  ->  t  e.  CC )
5746adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  CC )  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
5856, 57expcld 12011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  CC )  ->  ( t ^ ( N  + 
1 ) )  e.  CC )
59 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  + 
1 ) ) )  =  ( t  e.  CC  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) )
6058, 59fmptd 5870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) : CC --> CC )
61 ssid 3378 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  C_  CC
6261a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
634adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  CC )  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
641adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  t  e.  CC )  ->  N  e. 
NN0 )
6556, 64expcld 12011 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  CC )  ->  ( t ^ N )  e.  CC )
6663, 65mulcld 9409 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  CC )  ->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) )  e.  CC )
67 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  e.  CC  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) )  =  ( t  e.  CC  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N
) ) )
6866, 67fmptd 5870 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( t  e.  CC  |->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ N ) ) ) : CC --> CC )
69 dvexp 21430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN  ->  ( CC  _D  ( t  e.  CC  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) ) )  =  ( t  e.  CC  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ (
( N  +  1 )  -  1 ) ) ) ) )
703, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( t  e.  CC  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) ) ) )
71 1cnd 9405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
7249, 71pncand 9723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
7372oveq2d 6110 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( t ^ (
( N  +  1 )  -  1 ) )  =  ( t ^ N ) )
7473oveq2d 6110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) )
7574mpteq2dv 4382 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( t  e.  CC  |->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ) )  =  ( t  e.  CC  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) ) )
7670, 75eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( t  e.  CC  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) ) )
7776feq1d 5549 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( CC  _D  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) ) : CC --> CC  <->  ( t  e.  CC  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N
) ) ) : CC --> CC ) )
7868, 77mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) ) : CC --> CC )
79 fdm 5566 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( CC  _D  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) : CC --> CC  ->  dom  ( CC  _D  (
t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  CC )
8078, 79syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  ( CC  _D  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  CC )
819, 80syl5sseqr 3408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  RR  C_  dom  ( CC 
_D  ( t  e.  CC  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) ) ) )
82 dvres3 21391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( RR  e.  { RR ,  CC }  /\  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) : CC --> CC )  /\  ( CC  C_  CC  /\  RR  C_ 
dom  ( CC  _D  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( RR  _D  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) )  |`  RR ) )  =  ( ( CC  _D  (
t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )  |`  RR ) )
8341, 60, 62, 81, 82syl22anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) )  |`  RR ) )  =  ( ( CC  _D  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  + 
1 ) ) ) )  |`  RR )
)
8476reseq1d 5112 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( CC  _D  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )  |`  RR )  =  (
( t  e.  CC  |->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ N ) ) )  |`  RR ) )
8583, 84eqtrd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) )  |`  RR ) )  =  ( ( t  e.  CC  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) )  |`  RR )
)
86 resmpt 5159 . . . . . . . . . . 11  |-  ( RR  C_  CC  ->  ( (
t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) )  |`  RR )  =  ( t  e.  RR  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) ) )
879, 86mp1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) )  |`  RR )  =  (
t  e.  RR  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )
8887oveq2d 6110 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) )  |`  RR ) )  =  ( RR 
_D  ( t  e.  RR  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) ) ) )
89 resmpt 5159 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR  C_  CC  ->  ( (
t  e.  CC  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) )  |`  RR )  =  ( t  e.  RR  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N
) ) ) )
909, 89mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N
) ) )  |`  RR )  =  (
t  e.  RR  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) ) )
9185, 88, 903eqtr3d 2483 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
t  e.  RR  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( t  e.  RR  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) ) )
92 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
9392tgioo2 20383 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
94 iccntr 20401 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) )  =  ( A (,) B
) )
955, 6, 94syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) )  =  ( A (,) B
) )
9641, 48, 55, 91, 8, 93, 92, 95dvmptres2 21439 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( t  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) ) )
97 ioossre 11360 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A (,) B )  C_  RR
9897, 9sstri 3368 . . . . . . . . . 10  |-  ( A (,) B )  C_  CC
9998a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  CC )
100 cncfmptc 20490 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  CC  /\  ( A (,) B ) 
C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( t  e.  ( A (,) B )  |->  ( N  +  1 ) )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
1014, 99, 62, 100syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( N  +  1 ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
102 resmpt 5159 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A (,) B ) 
C_  CC  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^ N ) )  |`  ( A (,) B ) )  =  ( t  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( t ^ N
) ) )
10398, 102mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^ N ) )  |`  ( A (,) B ) )  =  ( t  e.  ( A (,) B )  |->  ( t ^ N ) ) )
104 expcncf 20501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ N ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
1051, 104syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ N
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
106 rescncf 20476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A (,) B ) 
C_  CC  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^ N ) )  e.  ( CC
-cn-> CC )  ->  (
( t  e.  CC  |->  ( t ^ N
) )  |`  ( A (,) B ) )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) ) )
10799, 105, 106sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^ N ) )  |`  ( A (,) B ) )  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
108103, 107eqeltrrd 2518 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( t ^ N
) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
109101, 108mulcncf 20934 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ N ) ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
11096, 109eqeltrd 2517 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
111 ioombl 21049 . . . . . . . . 9  |-  ( A (,) B )  e. 
dom  vol
112111a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  e.  dom  vol )
11349adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  N  e.  CC )
114 1cnd 9405 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  1  e.  CC )
115113, 114addcld 9408 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
11610sselda 3359 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  t  e.  CC )
1171adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  N  e.  NN0 )
118116, 117expcld 12011 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( t ^ N )  e.  CC )
119115, 118mulcld 9409 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) )  e.  CC )
120 cncfmptc 20490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  CC  /\  ( A [,] B ) 
C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( t  e.  ( A [,] B )  |->  ( N  +  1 ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
1214, 10, 62, 120syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( N  +  1 ) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
122 resmpt 5159 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A [,] B ) 
C_  CC  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^ N ) )  |`  ( A [,] B ) )  =  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( t ^ N
) ) )
12310, 122syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^ N ) )  |`  ( A [,] B ) )  =  ( t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t ^ N ) ) )
124 rescncf 20476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A [,] B ) 
C_  CC  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^ N ) )  e.  ( CC
-cn-> CC )  ->  (
( t  e.  CC  |->  ( t ^ N
) )  |`  ( A [,] B ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) )
12510, 105, 124sylc 60 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^ N ) )  |`  ( A [,] B ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
126123, 125eqeltrrd 2518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( t ^ N
) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
127121, 126mulcncf 20934 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ N ) ) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
128 cniccibl 21321 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  (
t  e.  ( A [,] B )  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )  -> 
( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ N ) ) )  e.  L^1 )
1295, 6, 127, 128syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ N ) ) )  e.  L^1 )
13033, 112, 119, 129iblss 21285 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ N ) ) )  e.  L^1 )
13196, 130eqeltrd 2517 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )  e.  L^1 )
132 resmpt 5159 . . . . . . . 8  |-  ( ( A [,] B ) 
C_  CC  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) )  |`  ( A [,] B ) )  =  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )
13310, 132syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) )  |`  ( A [,] B ) )  =  ( t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t ^ ( N  + 
1 ) ) ) )
134 expcncf 20501 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  + 
1 ) ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
13546, 134syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
136 rescncf 20476 . . . . . . . 8  |-  ( ( A [,] B ) 
C_  CC  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC )  ->  (
( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) )  |`  ( A [,] B ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) )
13710, 135, 136sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) )  |`  ( A [,] B ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
138133, 137eqeltrrd 2518 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
1395, 6, 39, 110, 131, 138ftc2 21519 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) ( ( RR  _D  ( t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) `  x )  _d x  =  ( ( ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) ) `  B )  -  (
( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) `  A
) ) )
14096fveq1d 5696 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) ) `  x )  =  ( ( t  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ N ) ) ) `  x
) )
141140ralrimivw 2803 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) ) `  x )  =  ( ( t  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ N ) ) ) `  x
) )
142 itgeq2 21258 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  ( t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) `  x )  =  ( ( t  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) ) `
 x )  ->  S. ( A (,) B
) ( ( RR 
_D  ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) ) ) `
 x )  _d x  =  S. ( A (,) B ) ( ( t  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N
) ) ) `  x )  _d x )
143141, 142syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) ( ( RR  _D  ( t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) `  x )  _d x  =  S. ( A (,) B
) ( ( t  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) ) `
 x )  _d x )
144 eqidd 2444 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) )  =  ( t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )
145 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  =  B )  ->  t  =  B )
146145oveq1d 6109 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  =  B )  ->  (
t ^ ( N  +  1 ) )  =  ( B ^
( N  +  1 ) ) )
1475rexrd 9436 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
1486rexrd 9436 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
149 ubicc2 11405 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  ( A [,] B
) )
150147, 148, 39, 149syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A [,] B ) )
1516recnd 9415 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
152151, 46expcld 12011 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B ^ ( N  +  1 ) )  e.  CC )
153144, 146, 150, 152fvmptd 5782 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) ) `  B )  =  ( B ^ ( N  +  1 ) ) )
154 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  =  A )  ->  t  =  A )
155154oveq1d 6109 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  =  A )  ->  (
t ^ ( N  +  1 ) )  =  ( A ^
( N  +  1 ) ) )
156 lbicc2 11404 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  ( A [,] B
) )
157147, 148, 39, 156syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ( A [,] B ) )
1585recnd 9415 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
159158, 46expcld 12011 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A ^ ( N  +  1 ) )  e.  CC )
160144, 155, 157, 159fvmptd 5782 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) ) `  A )  =  ( A ^ ( N  +  1 ) ) )
161153, 160oveq12d 6112 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t ^ ( N  + 
1 ) ) ) `
 B )  -  ( ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) ) `  A ) )  =  ( ( B ^
( N  +  1 ) )  -  ( A ^ ( N  + 
1 ) ) ) )
162139, 143, 1613eqtr3d 2483 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) ( ( t  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) ) `  x )  _d x  =  ( ( B ^ ( N  +  1 ) )  -  ( A ^ ( N  + 
1 ) ) ) )
1634adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
164163, 13mulcld 9409 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( ( N  +  1 )  x.  ( x ^ N ) )  e.  CC )
1655, 6, 164itgioo 21296 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) ( ( N  +  1 )  x.  ( x ^ N ) )  _d x  =  S. ( A [,] B ) ( ( N  + 
1 )  x.  (
x ^ N ) )  _d x )
16638, 162, 1653eqtr3rd 2484 . . 3  |-  ( ph  ->  S. ( A [,] B ) ( ( N  +  1 )  x.  ( x ^ N ) )  _d x  =  ( ( B ^ ( N  +  1 ) )  -  ( A ^
( N  +  1 ) ) ) )
16725, 166eqtrd 2475 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  x.  S. ( A [,] B ) ( x ^ N
)  _d x )  =  ( ( B ^ ( N  + 
1 ) )  -  ( A ^ ( N  +  1 ) ) ) )
1684, 23, 24, 167mvllmuld 10166 1  |-  ( ph  ->  S. ( A [,] B ) ( x ^ N )  _d x  =  ( ( ( B ^ ( N  +  1 ) )  -  ( A ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( N  + 
1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2718    C_ wss 3331   {cpr 3882   class class class wbr 4295    e. cmpt 4353   dom cdm 4843   ran crn 4844    |` cres 4845   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   CCcc 9283   RRcr 9284   1c1 9286    + caddc 9288    x. cmul 9290   RR*cxr 9420    <_ cle 9422    - cmin 9598    / cdiv 9996   NNcn 10325   NN0cn0 10582   (,)cioo 11303   [,]cicc 11306   ^cexp 11868   TopOpenctopn 14363   topGenctg 14379  ℂfldccnfld 17821   intcnt 18624   -cn->ccncf 20455   volcvol 20950   L^1cibl 21100   S.citg 21101    _D cdv 21341
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-inf2 7850  ax-cc 8607  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362  ax-pre-sup 9363  ax-addf 9364  ax-mulf 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-iin 4177  df-disj 4266  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-se 4683  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-of 6323  df-ofr 6324  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-supp 6694  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-2o 6924  df-oadd 6927  df-omul 6928  df-er 7104  df-map 7219  df-pm 7220  df-ixp 7267  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-fsupp 7624  df-fi 7664  df-sup 7694  df-oi 7727  df-card 8112  df-acn 8115  df-cda 8340  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-div 9997  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-4 10385  df-5 10386  df-6 10387  df-7 10388  df-8 10389  df-9 10390  df-10 10391  df-n0 10583  df-z 10650  df-dec 10759  df-uz 10865  df-q 10957  df-rp 10995  df-xneg 11092  df-xadd 11093  df-xmul 11094  df-ioo 11307  df-ioc 11308  df-ico 11309  df-icc 11310  df-fz 11441  df-fzo 11552  df-fl 11645  df-mod 11712  df-seq 11810  df-exp 11869  df-hash 12107  df-cj 12591  df-re 12592  df-im 12593  df-sqr 12727  df-abs 12728  df-limsup 12952  df-clim 12969  df-rlim 12970  df-sum 13167  df-struct 14179  df-ndx 14180  df-slot 14181  df-base 14182  df-sets 14183  df-ress 14184  df-plusg 14254  df-mulr 14255  df-starv 14256  df-sca 14257  df-vsca 14258  df-ip 14259  df-tset 14260  df-ple 14261  df-ds 14263  df-unif 14264  df-hom 14265  df-cco 14266  df-rest 14364  df-topn 14365  df-0g 14383  df-gsum 14384  df-topgen 14385  df-pt 14386  df-prds 14389  df-xrs 14443  df-qtop 14448  df-imas 14449  df-xps 14451  df-mre 14527  df-mrc 14528  df-acs 14530  df-mnd 15418  df-submnd 15468  df-mulg 15551  df-cntz 15838  df-cmn 16282  df-psmet 17812  df-xmet 17813  df-met 17814  df-bl 17815  df-mopn 17816  df-fbas 17817  df-fg 17818  df-cnfld 17822  df-top 18506  df-bases 18508  df-topon 18509  df-topsp 18510  df-cld 18626  df-ntr 18627  df-cls 18628  df-nei 18705  df-lp 18743  df-perf 18744  df-cn 18834  df-cnp 18835  df-haus 18922  df-cmp 18993  df-tx 19138  df-hmeo 19331  df-fil 19422  df-fm 19514  df-flim 19515  df-flf 19516  df-xms 19898  df-ms 19899  df-tms 19900  df-cncf 20457  df-ovol 20951  df-vol 20952  df-mbf 21102  df-itg1 21103  df-itg2 21104  df-ibl 21105  df-itg 21106  df-0p 21151  df-limc 21344  df-dv 21345
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