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Theorem itgpowd 31365
Description: The integral of a monomial on a closed bounded interval of the real line. Co-authors TA and MC. (Contributed by Jon Pennant, 31-May-2019.) (Revised by Thierry Arnoux, 14-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgpowd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
itgpowd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
itgpowd.3  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
itgpowd.4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
itgpowd  |-  ( ph  ->  S. ( A [,] B ) ( x ^ N )  _d x  =  ( ( ( B ^ ( N  +  1 ) )  -  ( A ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( N  + 
1 ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, N    ph, x

Proof of Theorem itgpowd
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgpowd.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2 nn0p1nn 10856 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
43nncnd 10572 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
5 itgpowd.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
6 itgpowd.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
7 iccssre 11631 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
85, 6, 7syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
9 ax-resscn 9566 . . . . . 6  |-  RR  C_  CC
108, 9syl6ss 3511 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  CC )
1110sselda 3499 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  x  e.  CC )
121adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  N  e.  NN0 )
1311, 12expcld 12313 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( x ^ N )  e.  CC )
1410resmptd 5335 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  |`  ( A [,] B ) )  =  ( x  e.  ( A [,] B )  |->  ( x ^ N ) ) )
15 expcncf 21552 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
161, 15syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
17 rescncf 21527 . . . . . 6  |-  ( ( A [,] B ) 
C_  CC  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  e.  ( CC
-cn-> CC )  ->  (
( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) )  |`  ( A [,] B ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) )
1810, 16, 17sylc 60 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  |`  ( A [,] B ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
1914, 18eqeltrrd 2546 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( x ^ N
) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
20 cniccibl 22373 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  |->  ( x ^ N ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )  -> 
( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( x ^ N
) )  e.  L^1 )
215, 6, 19, 20syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( x ^ N
) )  e.  L^1 )
2213, 21itgcl 22316 . 2  |-  ( ph  ->  S. ( A [,] B ) ( x ^ N )  _d x  e.  CC )
233nnne0d 10601 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  =/=  0 )
244, 13, 21itgmulc2 22366 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  x.  S. ( A [,] B ) ( x ^ N
)  _d x )  =  S. ( A [,] B ) ( ( N  +  1 )  x.  ( x ^ N ) )  _d x )
25 eqidd 2458 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( t  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N
) ) )  =  ( t  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ N ) ) ) )
26 oveq1 6303 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  x  ->  (
t ^ N )  =  ( x ^ N ) )
2726oveq2d 6312 . . . . . . 7  |-  ( t  =  x  ->  (
( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) )  =  ( ( N  +  1 )  x.  ( x ^ N
) ) )
2827adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A (,) B
) )  /\  t  =  x )  ->  (
( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) )  =  ( ( N  +  1 )  x.  ( x ^ N
) ) )
29 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  x  e.  ( A (,) B ) )
304adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
31 ioossicc 11635 . . . . . . . . . 10  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
3231a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( A [,] B ) )
3332sselda 3499 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  x  e.  ( A [,] B ) )
3433, 13syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( x ^ N )  e.  CC )
3530, 34mulcld 9633 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( N  +  1 )  x.  ( x ^ N ) )  e.  CC )
3625, 28, 29, 35fvmptd 5961 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
t  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) ) `  x )  =  ( ( N  +  1 )  x.  ( x ^ N
) ) )
3736itgeq2dv 22314 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) ( ( t  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) ) `  x )  _d x  =  S. ( A (,) B
) ( ( N  +  1 )  x.  ( x ^ N
) )  _d x )
38 itgpowd.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
39 reelprrecn 9601 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
4039a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
419a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
4241sselda 3499 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  t  e.  CC )
43 1nn0 10832 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  NN0
4443a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  e.  NN0 )
451, 44nn0addcld 10877 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
4645adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
4742, 46expcld 12313 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( t ^ ( N  + 
1 ) )  e.  CC )
481nn0cnd 10875 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
4948adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  N  e.  CC )
50 1cnd 9629 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  1  e.  CC )
5149, 50addcld 9632 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
521adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  N  e. 
NN0 )
5342, 52expcld 12313 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( t ^ N )  e.  CC )
5451, 53mulcld 9633 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) )  e.  CC )
55 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  CC )  ->  t  e.  CC )
5645adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  CC )  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
5755, 56expcld 12313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  CC )  ->  ( t ^ ( N  + 
1 ) )  e.  CC )
58 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  + 
1 ) ) )  =  ( t  e.  CC  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) )
5957, 58fmptd 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) : CC --> CC )
60 ssid 3518 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  C_  CC
6160a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
624adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  CC )  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
631adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  t  e.  CC )  ->  N  e. 
NN0 )
6455, 63expcld 12313 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  CC )  ->  ( t ^ N )  e.  CC )
6562, 64mulcld 9633 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  CC )  ->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) )  e.  CC )
66 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  e.  CC  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) )  =  ( t  e.  CC  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N
) ) )
6765, 66fmptd 6056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( t  e.  CC  |->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ N ) ) ) : CC --> CC )
68 dvexp 22482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN  ->  ( CC  _D  ( t  e.  CC  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) ) )  =  ( t  e.  CC  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ (
( N  +  1 )  -  1 ) ) ) ) )
693, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( t  e.  CC  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) ) ) )
70 1cnd 9629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
7148, 70pncand 9951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
7271oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( t ^ (
( N  +  1 )  -  1 ) )  =  ( t ^ N ) )
7372oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) )
7473mpteq2dv 4544 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( t  e.  CC  |->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ) )  =  ( t  e.  CC  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) ) )
7569, 74eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( t  e.  CC  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) ) )
7675feq1d 5723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( CC  _D  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) ) : CC --> CC  <->  ( t  e.  CC  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N
) ) ) : CC --> CC ) )
7767, 76mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) ) : CC --> CC )
78 fdm 5741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( CC  _D  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) : CC --> CC  ->  dom  ( CC  _D  (
t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  CC )
7977, 78syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  ( CC  _D  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  CC )
809, 79syl5sseqr 3548 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  RR  C_  dom  ( CC 
_D  ( t  e.  CC  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) ) ) )
81 dvres3 22443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( RR  e.  { RR ,  CC }  /\  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) : CC --> CC )  /\  ( CC  C_  CC  /\  RR  C_ 
dom  ( CC  _D  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( RR  _D  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) )  |`  RR ) )  =  ( ( CC  _D  (
t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )  |`  RR ) )
8240, 59, 61, 80, 81syl22anc 1229 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) )  |`  RR ) )  =  ( ( CC  _D  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  + 
1 ) ) ) )  |`  RR )
)
8375reseq1d 5282 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( CC  _D  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )  |`  RR )  =  (
( t  e.  CC  |->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ N ) ) )  |`  RR ) )
8482, 83eqtrd 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) )  |`  RR ) )  =  ( ( t  e.  CC  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) )  |`  RR )
)
85 resmpt 5333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( RR  C_  CC  ->  ( (
t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) )  |`  RR )  =  ( t  e.  RR  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) ) )
869, 85mp1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) )  |`  RR )  =  (
t  e.  RR  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )
8786oveq2d 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) )  |`  RR ) )  =  ( RR 
_D  ( t  e.  RR  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) ) ) )
88 resmpt 5333 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR  C_  CC  ->  ( (
t  e.  CC  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) )  |`  RR )  =  ( t  e.  RR  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N
) ) ) )
899, 88mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N
) ) )  |`  RR )  =  (
t  e.  RR  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) ) )
9084, 87, 893eqtr3d 2506 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
t  e.  RR  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( t  e.  RR  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) ) )
91 eqid 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
9291tgioo2 21434 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
93 iccntr 21452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) )  =  ( A (,) B
) )
945, 6, 93syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) )  =  ( A (,) B
) )
9540, 47, 54, 90, 8, 92, 91, 94dvmptres2 22491 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( t  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) ) )
96 ioossre 11611 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A (,) B )  C_  RR
9796, 9sstri 3508 . . . . . . . . . 10  |-  ( A (,) B )  C_  CC
9897a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  CC )
99 cncfmptc 21541 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  CC  /\  ( A (,) B ) 
C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( t  e.  ( A (,) B )  |->  ( N  +  1 ) )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
1004, 98, 61, 99syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( N  +  1 ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
101 resmpt 5333 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A (,) B ) 
C_  CC  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^ N ) )  |`  ( A (,) B ) )  =  ( t  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( t ^ N
) ) )
10297, 101mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^ N ) )  |`  ( A (,) B ) )  =  ( t  e.  ( A (,) B )  |->  ( t ^ N ) ) )
103 expcncf 21552 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ N ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
1041, 103syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ N
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
105 rescncf 21527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A (,) B ) 
C_  CC  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^ N ) )  e.  ( CC
-cn-> CC )  ->  (
( t  e.  CC  |->  ( t ^ N
) )  |`  ( A (,) B ) )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) ) )
10698, 104, 105sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^ N ) )  |`  ( A (,) B ) )  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
107102, 106eqeltrrd 2546 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( t ^ N
) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
108100, 107mulcncf 21985 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ N ) ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
10995, 108eqeltrd 2545 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
110 ioombl 22101 . . . . . . . . 9  |-  ( A (,) B )  e. 
dom  vol
111110a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  e.  dom  vol )
11248adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  N  e.  CC )
113 1cnd 9629 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  1  e.  CC )
114112, 113addcld 9632 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
11510sselda 3499 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  t  e.  CC )
1161adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  N  e.  NN0 )
117115, 116expcld 12313 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( t ^ N )  e.  CC )
118114, 117mulcld 9633 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) )  e.  CC )
119 cncfmptc 21541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  CC  /\  ( A [,] B ) 
C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( t  e.  ( A [,] B )  |->  ( N  +  1 ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
1204, 10, 61, 119syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( N  +  1 ) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
12110resmptd 5335 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^ N ) )  |`  ( A [,] B ) )  =  ( t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t ^ N ) ) )
122 rescncf 21527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A [,] B ) 
C_  CC  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^ N ) )  e.  ( CC
-cn-> CC )  ->  (
( t  e.  CC  |->  ( t ^ N
) )  |`  ( A [,] B ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) )
12310, 104, 122sylc 60 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^ N ) )  |`  ( A [,] B ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
124121, 123eqeltrrd 2546 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( t ^ N
) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
125120, 124mulcncf 21985 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ N ) ) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
126 cniccibl 22373 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  (
t  e.  ( A [,] B )  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )  -> 
( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ N ) ) )  e.  L^1 )
1275, 6, 125, 126syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ N ) ) )  e.  L^1 )
12832, 111, 118, 127iblss 22337 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ N ) ) )  e.  L^1 )
12995, 128eqeltrd 2545 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )  e.  L^1 )
13010resmptd 5335 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) )  |`  ( A [,] B ) )  =  ( t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t ^ ( N  + 
1 ) ) ) )
131 expcncf 21552 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  + 
1 ) ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
13245, 131syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
133 rescncf 21527 . . . . . . . 8  |-  ( ( A [,] B ) 
C_  CC  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC )  ->  (
( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) )  |`  ( A [,] B ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) )
13410, 132, 133sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) )  |`  ( A [,] B ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
135130, 134eqeltrrd 2546 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
1365, 6, 38, 109, 129, 135ftc2 22571 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) ( ( RR  _D  ( t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) `  x )  _d x  =  ( ( ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) ) `  B )  -  (
( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) `  A
) ) )
13795fveq1d 5874 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) ) `  x )  =  ( ( t  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ N ) ) ) `  x
) )
138137ralrimivw 2872 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) ) `  x )  =  ( ( t  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ N ) ) ) `  x
) )
139 itgeq2 22310 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  ( t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) `  x )  =  ( ( t  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) ) `
 x )  ->  S. ( A (,) B
) ( ( RR 
_D  ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) ) ) `
 x )  _d x  =  S. ( A (,) B ) ( ( t  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N
) ) ) `  x )  _d x )
140138, 139syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) ( ( RR  _D  ( t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) `  x )  _d x  =  S. ( A (,) B
) ( ( t  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) ) `
 x )  _d x )
141 eqidd 2458 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) )  =  ( t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )
142 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  =  B )  ->  t  =  B )
143142oveq1d 6311 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  =  B )  ->  (
t ^ ( N  +  1 ) )  =  ( B ^
( N  +  1 ) ) )
1445rexrd 9660 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
1456rexrd 9660 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
146 ubicc2 11662 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  ( A [,] B
) )
147144, 145, 38, 146syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A [,] B ) )
1486recnd 9639 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
149148, 45expcld 12313 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B ^ ( N  +  1 ) )  e.  CC )
150141, 143, 147, 149fvmptd 5961 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) ) `  B )  =  ( B ^ ( N  +  1 ) ) )
151 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  =  A )  ->  t  =  A )
152151oveq1d 6311 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  =  A )  ->  (
t ^ ( N  +  1 ) )  =  ( A ^
( N  +  1 ) ) )
153 lbicc2 11661 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  ( A [,] B
) )
154144, 145, 38, 153syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ( A [,] B ) )
1555recnd 9639 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
156155, 45expcld 12313 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A ^ ( N  +  1 ) )  e.  CC )
157141, 152, 154, 156fvmptd 5961 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) ) `  A )  =  ( A ^ ( N  +  1 ) ) )
158150, 157oveq12d 6314 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t ^ ( N  + 
1 ) ) ) `
 B )  -  ( ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) ) `  A ) )  =  ( ( B ^
( N  +  1 ) )  -  ( A ^ ( N  + 
1 ) ) ) )
159136, 140, 1583eqtr3d 2506 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) ( ( t  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) ) `  x )  _d x  =  ( ( B ^ ( N  +  1 ) )  -  ( A ^ ( N  + 
1 ) ) ) )
1604adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
161160, 13mulcld 9633 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( ( N  +  1 )  x.  ( x ^ N ) )  e.  CC )
1625, 6, 161itgioo 22348 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) ( ( N  +  1 )  x.  ( x ^ N ) )  _d x  =  S. ( A [,] B ) ( ( N  + 
1 )  x.  (
x ^ N ) )  _d x )
16337, 159, 1623eqtr3rd 2507 . . 3  |-  ( ph  ->  S. ( A [,] B ) ( ( N  +  1 )  x.  ( x ^ N ) )  _d x  =  ( ( B ^ ( N  +  1 ) )  -  ( A ^
( N  +  1 ) ) ) )
16424, 163eqtrd 2498 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  x.  S. ( A [,] B ) ( x ^ N
)  _d x )  =  ( ( B ^ ( N  + 
1 ) )  -  ( A ^ ( N  +  1 ) ) ) )
1654, 22, 23, 164mvllmuld 10397 1  |-  ( ph  ->  S. ( A [,] B ) ( x ^ N )  _d x  =  ( ( ( B ^ ( N  +  1 ) )  -  ( A ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( N  + 
1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807    C_ wss 3471   {cpr 4034   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   dom cdm 5008   ran crn 5009    |` cres 5010   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514   RR*cxr 9644    <_ cle 9646    - cmin 9824    / cdiv 10227   NNcn 10556   NN0cn0 10816   (,)cioo 11554   [,]cicc 11557   ^cexp 12169   TopOpenctopn 14839   topGenctg 14855  ℂfldccnfld 18547   intcnt 19645   -cn->ccncf 21506   volcvol 22001   L^1cibl 22152   S.citg 22153    _D cdv 22393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cc 8832  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-disj 4428  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-ofr 6540  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-acn 8340  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-cmp 20014  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-ovol 22002  df-vol 22003  df-mbf 22154  df-itg1 22155  df-itg2 22156  df-ibl 22157  df-itg 22158  df-0p 22203  df-limc 22396  df-dv 22397
This theorem is referenced by:  areaquad  31367
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