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Theorem itgpowd 29533
Description: The integral of a monomial on a closed bounded interval of the real line. Co-authors TA and MC. (Contributed by Jon Pennant, 31-May-2019.) (Revised by Thierry Arnoux, 14-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgpowd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
itgpowd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
itgpowd.3  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
itgpowd.4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
itgpowd  |-  ( ph  ->  S. ( A [,] B ) ( x ^ N )  _d x  =  ( ( ( B ^ ( N  +  1 ) )  -  ( A ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( N  + 
1 ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, N    ph, x

Proof of Theorem itgpowd
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgpowd.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2 nn0p1nn 10611 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
43nncnd 10330 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
5 itgpowd.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
6 itgpowd.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
7 iccssre 11369 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
85, 6, 7syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
9 ax-resscn 9331 . . . . . 6  |-  RR  C_  CC
108, 9syl6ss 3361 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  CC )
1110sselda 3349 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  x  e.  CC )
121adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  N  e.  NN0 )
1311, 12expcld 12000 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( x ^ N )  e.  CC )
14 resmpt 5149 . . . . . 6  |-  ( ( A [,] B ) 
C_  CC  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  |`  ( A [,] B ) )  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( x ^ N
) ) )
1510, 14syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  |`  ( A [,] B ) )  =  ( x  e.  ( A [,] B )  |->  ( x ^ N ) ) )
16 expcncf 20467 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
171, 16syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
18 rescncf 20442 . . . . . 6  |-  ( ( A [,] B ) 
C_  CC  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  e.  ( CC
-cn-> CC )  ->  (
( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) )  |`  ( A [,] B ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) )
1910, 17, 18sylc 60 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  |`  ( A [,] B ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
2015, 19eqeltrrd 2512 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( x ^ N
) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
21 cniccibl 21287 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  |->  ( x ^ N ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )  -> 
( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( x ^ N
) )  e.  L^1 )
225, 6, 20, 21syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( x ^ N
) )  e.  L^1 )
2313, 22itgcl 21230 . 2  |-  ( ph  ->  S. ( A [,] B ) ( x ^ N )  _d x  e.  CC )
243nnne0d 10358 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  =/=  0 )
254, 13, 22itgmulc2 21280 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  x.  S. ( A [,] B ) ( x ^ N
)  _d x )  =  S. ( A [,] B ) ( ( N  +  1 )  x.  ( x ^ N ) )  _d x )
26 eqidd 2438 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( t  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N
) ) )  =  ( t  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ N ) ) ) )
27 oveq1 6093 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  x  ->  (
t ^ N )  =  ( x ^ N ) )
2827oveq2d 6102 . . . . . . 7  |-  ( t  =  x  ->  (
( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) )  =  ( ( N  +  1 )  x.  ( x ^ N
) ) )
2928adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A (,) B
) )  /\  t  =  x )  ->  (
( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) )  =  ( ( N  +  1 )  x.  ( x ^ N
) ) )
30 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  x  e.  ( A (,) B ) )
314adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
32 ioossicc 11373 . . . . . . . . . 10  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
3332a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( A [,] B ) )
3433sselda 3349 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  x  e.  ( A [,] B ) )
3534, 13syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( x ^ N )  e.  CC )
3631, 35mulcld 9398 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( N  +  1 )  x.  ( x ^ N ) )  e.  CC )
3726, 29, 30, 36fvmptd 5772 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
t  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) ) `  x )  =  ( ( N  +  1 )  x.  ( x ^ N
) ) )
3837itgeq2dv 21228 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) ( ( t  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) ) `  x )  _d x  =  S. ( A (,) B
) ( ( N  +  1 )  x.  ( x ^ N
) )  _d x )
39 itgpowd.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
40 reelprrecn 9366 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
4140a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
429a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
4342sselda 3349 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  t  e.  CC )
44 1nn0 10587 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  NN0
4544a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  e.  NN0 )
461, 45nn0addcld 10632 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
4746adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
4843, 47expcld 12000 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( t ^ ( N  + 
1 ) )  e.  CC )
491nn0cnd 10630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
5049adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  N  e.  CC )
51 1cnd 9394 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  1  e.  CC )
5250, 51addcld 9397 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
531adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  N  e. 
NN0 )
5443, 53expcld 12000 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( t ^ N )  e.  CC )
5552, 54mulcld 9398 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) )  e.  CC )
56 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  CC )  ->  t  e.  CC )
5746adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  CC )  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
5856, 57expcld 12000 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  CC )  ->  ( t ^ ( N  + 
1 ) )  e.  CC )
59 eqid 2437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  + 
1 ) ) )  =  ( t  e.  CC  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) )
6058, 59fmptd 5860 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) : CC --> CC )
61 ssid 3368 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  C_  CC
6261a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
634adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  CC )  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
641adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  t  e.  CC )  ->  N  e. 
NN0 )
6556, 64expcld 12000 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  CC )  ->  ( t ^ N )  e.  CC )
6663, 65mulcld 9398 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  CC )  ->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) )  e.  CC )
67 eqid 2437 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  e.  CC  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) )  =  ( t  e.  CC  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N
) ) )
6866, 67fmptd 5860 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( t  e.  CC  |->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ N ) ) ) : CC --> CC )
69 dvexp 21396 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN  ->  ( CC  _D  ( t  e.  CC  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) ) )  =  ( t  e.  CC  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ (
( N  +  1 )  -  1 ) ) ) ) )
703, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( t  e.  CC  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) ) ) )
71 1cnd 9394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
7249, 71pncand 9712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
7372oveq2d 6102 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( t ^ (
( N  +  1 )  -  1 ) )  =  ( t ^ N ) )
7473oveq2d 6102 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) )
7574mpteq2dv 4372 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( t  e.  CC  |->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ) )  =  ( t  e.  CC  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) ) )
7670, 75eqtrd 2469 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( t  e.  CC  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) ) )
7776feq1d 5539 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( CC  _D  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) ) : CC --> CC  <->  ( t  e.  CC  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N
) ) ) : CC --> CC ) )
7868, 77mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) ) : CC --> CC )
79 fdm 5556 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( CC  _D  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) : CC --> CC  ->  dom  ( CC  _D  (
t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  CC )
8078, 79syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  ( CC  _D  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  CC )
819, 80syl5sseqr 3398 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  RR  C_  dom  ( CC 
_D  ( t  e.  CC  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) ) ) )
82 dvres3 21357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( RR  e.  { RR ,  CC }  /\  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) : CC --> CC )  /\  ( CC  C_  CC  /\  RR  C_ 
dom  ( CC  _D  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( RR  _D  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) )  |`  RR ) )  =  ( ( CC  _D  (
t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )  |`  RR ) )
8341, 60, 62, 81, 82syl22anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) )  |`  RR ) )  =  ( ( CC  _D  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  + 
1 ) ) ) )  |`  RR )
)
8476reseq1d 5101 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( CC  _D  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )  |`  RR )  =  (
( t  e.  CC  |->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ N ) ) )  |`  RR ) )
8583, 84eqtrd 2469 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) )  |`  RR ) )  =  ( ( t  e.  CC  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) )  |`  RR )
)
86 resmpt 5149 . . . . . . . . . . 11  |-  ( RR  C_  CC  ->  ( (
t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) )  |`  RR )  =  ( t  e.  RR  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) ) )
879, 86mp1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) )  |`  RR )  =  (
t  e.  RR  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )
8887oveq2d 6102 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) )  |`  RR ) )  =  ( RR 
_D  ( t  e.  RR  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) ) ) )
89 resmpt 5149 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR  C_  CC  ->  ( (
t  e.  CC  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) )  |`  RR )  =  ( t  e.  RR  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N
) ) ) )
909, 89mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N
) ) )  |`  RR )  =  (
t  e.  RR  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) ) )
9185, 88, 903eqtr3d 2477 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
t  e.  RR  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( t  e.  RR  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) ) )
92 eqid 2437 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
9392tgioo2 20349 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
94 iccntr 20367 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) )  =  ( A (,) B
) )
955, 6, 94syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) )  =  ( A (,) B
) )
9641, 48, 55, 91, 8, 93, 92, 95dvmptres2 21405 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( t  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) ) )
97 ioossre 11349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A (,) B )  C_  RR
9897, 9sstri 3358 . . . . . . . . . 10  |-  ( A (,) B )  C_  CC
9998a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  CC )
100 cncfmptc 20456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  CC  /\  ( A (,) B ) 
C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( t  e.  ( A (,) B )  |->  ( N  +  1 ) )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
1014, 99, 62, 100syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( N  +  1 ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
102 resmpt 5149 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A (,) B ) 
C_  CC  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^ N ) )  |`  ( A (,) B ) )  =  ( t  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( t ^ N
) ) )
10398, 102mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^ N ) )  |`  ( A (,) B ) )  =  ( t  e.  ( A (,) B )  |->  ( t ^ N ) ) )
104 expcncf 20467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ N ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
1051, 104syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ N
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
106 rescncf 20442 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A (,) B ) 
C_  CC  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^ N ) )  e.  ( CC
-cn-> CC )  ->  (
( t  e.  CC  |->  ( t ^ N
) )  |`  ( A (,) B ) )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) ) )
10799, 105, 106sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^ N ) )  |`  ( A (,) B ) )  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
108103, 107eqeltrrd 2512 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( t ^ N
) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
109101, 108mulcncf 20900 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ N ) ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
11096, 109eqeltrd 2511 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
111 ioombl 21015 . . . . . . . . 9  |-  ( A (,) B )  e. 
dom  vol
112111a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  e.  dom  vol )
11349adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  N  e.  CC )
114 1cnd 9394 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  1  e.  CC )
115113, 114addcld 9397 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
11610sselda 3349 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  t  e.  CC )
1171adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  N  e.  NN0 )
118116, 117expcld 12000 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( t ^ N )  e.  CC )
119115, 118mulcld 9398 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) )  e.  CC )
120 cncfmptc 20456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  CC  /\  ( A [,] B ) 
C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( t  e.  ( A [,] B )  |->  ( N  +  1 ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
1214, 10, 62, 120syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( N  +  1 ) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
122 resmpt 5149 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A [,] B ) 
C_  CC  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^ N ) )  |`  ( A [,] B ) )  =  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( t ^ N
) ) )
12310, 122syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^ N ) )  |`  ( A [,] B ) )  =  ( t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t ^ N ) ) )
124 rescncf 20442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A [,] B ) 
C_  CC  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^ N ) )  e.  ( CC
-cn-> CC )  ->  (
( t  e.  CC  |->  ( t ^ N
) )  |`  ( A [,] B ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) )
12510, 105, 124sylc 60 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^ N ) )  |`  ( A [,] B ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
126123, 125eqeltrrd 2512 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( t ^ N
) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
127121, 126mulcncf 20900 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ N ) ) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
128 cniccibl 21287 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  (
t  e.  ( A [,] B )  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )  -> 
( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ N ) ) )  e.  L^1 )
1295, 6, 127, 128syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ N ) ) )  e.  L^1 )
13033, 112, 119, 129iblss 21251 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ N ) ) )  e.  L^1 )
13196, 130eqeltrd 2511 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )  e.  L^1 )
132 resmpt 5149 . . . . . . . 8  |-  ( ( A [,] B ) 
C_  CC  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) )  |`  ( A [,] B ) )  =  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )
13310, 132syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) )  |`  ( A [,] B ) )  =  ( t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t ^ ( N  + 
1 ) ) ) )
134 expcncf 20467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  + 
1 ) ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
13546, 134syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
136 rescncf 20442 . . . . . . . 8  |-  ( ( A [,] B ) 
C_  CC  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC )  ->  (
( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) )  |`  ( A [,] B ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) )
13710, 135, 136sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) )  |`  ( A [,] B ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
138133, 137eqeltrrd 2512 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
1395, 6, 39, 110, 131, 138ftc2 21485 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) ( ( RR  _D  ( t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) `  x )  _d x  =  ( ( ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) ) `  B )  -  (
( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) `  A
) ) )
14096fveq1d 5686 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) ) `  x )  =  ( ( t  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ N ) ) ) `  x
) )
141140ralrimivw 2794 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) ) `  x )  =  ( ( t  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ N ) ) ) `  x
) )
142 itgeq2 21224 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  ( t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) `  x )  =  ( ( t  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) ) `
 x )  ->  S. ( A (,) B
) ( ( RR 
_D  ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) ) ) `
 x )  _d x  =  S. ( A (,) B ) ( ( t  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N
) ) ) `  x )  _d x )
143141, 142syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) ( ( RR  _D  ( t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) `  x )  _d x  =  S. ( A (,) B
) ( ( t  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) ) `
 x )  _d x )
144 eqidd 2438 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) )  =  ( t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )
145 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  =  B )  ->  t  =  B )
146145oveq1d 6101 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  =  B )  ->  (
t ^ ( N  +  1 ) )  =  ( B ^
( N  +  1 ) ) )
1475rexrd 9425 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
1486rexrd 9425 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
149 ubicc2 11394 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  ( A [,] B
) )
150147, 148, 39, 149syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A [,] B ) )
1516recnd 9404 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
152151, 46expcld 12000 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B ^ ( N  +  1 ) )  e.  CC )
153144, 146, 150, 152fvmptd 5772 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) ) `  B )  =  ( B ^ ( N  +  1 ) ) )
154 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  =  A )  ->  t  =  A )
155154oveq1d 6101 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  =  A )  ->  (
t ^ ( N  +  1 ) )  =  ( A ^
( N  +  1 ) ) )
156 lbicc2 11393 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  ( A [,] B
) )
157147, 148, 39, 156syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ( A [,] B ) )
1585recnd 9404 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
159158, 46expcld 12000 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A ^ ( N  +  1 ) )  e.  CC )
160144, 155, 157, 159fvmptd 5772 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) ) `  A )  =  ( A ^ ( N  +  1 ) ) )
161153, 160oveq12d 6104 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t ^ ( N  + 
1 ) ) ) `
 B )  -  ( ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) ) `  A ) )  =  ( ( B ^
( N  +  1 ) )  -  ( A ^ ( N  + 
1 ) ) ) )
162139, 143, 1613eqtr3d 2477 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) ( ( t  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) ) `  x )  _d x  =  ( ( B ^ ( N  +  1 ) )  -  ( A ^ ( N  + 
1 ) ) ) )
1634adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
164163, 13mulcld 9398 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( ( N  +  1 )  x.  ( x ^ N ) )  e.  CC )
1655, 6, 164itgioo 21262 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) ( ( N  +  1 )  x.  ( x ^ N ) )  _d x  =  S. ( A [,] B ) ( ( N  + 
1 )  x.  (
x ^ N ) )  _d x )
16638, 162, 1653eqtr3rd 2478 . . 3  |-  ( ph  ->  S. ( A [,] B ) ( ( N  +  1 )  x.  ( x ^ N ) )  _d x  =  ( ( B ^ ( N  +  1 ) )  -  ( A ^
( N  +  1 ) ) ) )
16725, 166eqtrd 2469 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  x.  S. ( A [,] B ) ( x ^ N
)  _d x )  =  ( ( B ^ ( N  + 
1 ) )  -  ( A ^ ( N  +  1 ) ) ) )
1684, 23, 24, 167mvllmuld 10155 1  |-  ( ph  ->  S. ( A [,] B ) ( x ^ N )  _d x  =  ( ( ( B ^ ( N  +  1 ) )  -  ( A ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( N  + 
1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2709    C_ wss 3321   {cpr 3872   class class class wbr 4285    e. cmpt 4343   dom cdm 4832   ran crn 4833    |` cres 4834   -->wf 5407   ` cfv 5411  (class class class)co 6086   CCcc 9272   RRcr 9273   1c1 9275    + caddc 9277    x. cmul 9279   RR*cxr 9409    <_ cle 9411    - cmin 9587    / cdiv 9985   NNcn 10314   NN0cn0 10571   (,)cioo 11292   [,]cicc 11295   ^cexp 11857   TopOpenctopn 14352   topGenctg 14368  ℂfldccnfld 17787   intcnt 18590   -cn->ccncf 20421   volcvol 20916   L^1cibl 21066   S.citg 21067    _D cdv 21307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2418  ax-rep 4396  ax-sep 4406  ax-nul 4414  ax-pow 4463  ax-pr 4524  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cc 8596  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rmo 2717  df-rab 2718  df-v 2968  df-sbc 3180  df-csb 3282  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3631  df-if 3785  df-pw 3855  df-sn 3871  df-pr 3873  df-tp 3875  df-op 3877  df-uni 4085  df-int 4122  df-iun 4166  df-iin 4167  df-disj 4256  df-br 4286  df-opab 4344  df-mpt 4345  df-tr 4379  df-eprel 4624  df-id 4628  df-po 4633  df-so 4634  df-fr 4671  df-se 4672  df-we 4673  df-ord 4714  df-on 4715  df-lim 4716  df-suc 4717  df-xp 4838  df-rel 4839  df-cnv 4840  df-co 4841  df-dm 4842  df-rn 4843  df-res 4844  df-ima 4845  df-iota 5374  df-fun 5413  df-fn 5414  df-f 5415  df-f1 5416  df-fo 5417  df-f1o 5418  df-fv 5419  df-isom 5420  df-riota 6045  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-ofr 6316  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-omul 6917  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-acn 8104  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ioc 11297  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-limsup 12941  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-sum 13156  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15537  df-cntz 15824  df-cmn 16268  df-psmet 17778  df-xmet 17779  df-met 17780  df-bl 17781  df-mopn 17782  df-fbas 17783  df-fg 17784  df-cnfld 17788  df-top 18472  df-bases 18474  df-topon 18475  df-topsp 18476  df-cld 18592  df-ntr 18593  df-cls 18594  df-nei 18671  df-lp 18709  df-perf 18710  df-cn 18800  df-cnp 18801  df-haus 18888  df-cmp 18959  df-tx 19104  df-hmeo 19297  df-fil 19388  df-fm 19480  df-flim 19481  df-flf 19482  df-xms 19864  df-ms 19865  df-tms 19866  df-cncf 20423  df-ovol 20917  df-vol 20918  df-mbf 21068  df-itg1 21069  df-itg2 21070  df-ibl 21071  df-itg 21072  df-0p 21117  df-limc 21310  df-dv 21311
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