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Theorem itgpowd 36170
Description: The integral of a monomial on a closed bounded interval of the real line. Co-authors TA and MC. (Contributed by Jon Pennant, 31-May-2019.) (Revised by Thierry Arnoux, 14-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgpowd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
itgpowd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
itgpowd.3  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
itgpowd.4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
itgpowd  |-  ( ph  ->  S. ( A [,] B ) ( x ^ N )  _d x  =  ( ( ( B ^ ( N  +  1 ) )  -  ( A ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( N  + 
1 ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, N    ph, x

Proof of Theorem itgpowd
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgpowd.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2 nn0p1nn 10933 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
31, 2syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
43nncnd 10647 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
5 itgpowd.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
6 itgpowd.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
7 iccssre 11741 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
85, 6, 7syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
9 ax-resscn 9614 . . . . . 6  |-  RR  C_  CC
108, 9syl6ss 3430 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  CC )
1110sselda 3418 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  x  e.  CC )
121adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  N  e.  NN0 )
1311, 12expcld 12454 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( x ^ N )  e.  CC )
1410resmptd 5162 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  |`  ( A [,] B ) )  =  ( x  e.  ( A [,] B )  |->  ( x ^ N ) ) )
15 expcncf 22032 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
161, 15syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
17 rescncf 22007 . . . . . 6  |-  ( ( A [,] B ) 
C_  CC  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  e.  ( CC
-cn-> CC )  ->  (
( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) )  |`  ( A [,] B ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) )
1810, 16, 17sylc 61 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  |`  ( A [,] B ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
1914, 18eqeltrrd 2550 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( x ^ N
) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
20 cniccibl 22877 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  |->  ( x ^ N ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )  -> 
( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( x ^ N
) )  e.  L^1 )
215, 6, 19, 20syl3anc 1292 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( x ^ N
) )  e.  L^1 )
2213, 21itgcl 22820 . 2  |-  ( ph  ->  S. ( A [,] B ) ( x ^ N )  _d x  e.  CC )
233nnne0d 10676 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  =/=  0 )
244, 13, 21itgmulc2 22870 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  x.  S. ( A [,] B ) ( x ^ N
)  _d x )  =  S. ( A [,] B ) ( ( N  +  1 )  x.  ( x ^ N ) )  _d x )
25 eqidd 2472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( t  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N
) ) )  =  ( t  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ N ) ) ) )
26 oveq1 6315 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  x  ->  (
t ^ N )  =  ( x ^ N ) )
2726oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( t  =  x  ->  (
( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) )  =  ( ( N  +  1 )  x.  ( x ^ N
) ) )
2827adantl 473 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A (,) B
) )  /\  t  =  x )  ->  (
( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) )  =  ( ( N  +  1 )  x.  ( x ^ N
) ) )
29 simpr 468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  x  e.  ( A (,) B ) )
304adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
31 ioossicc 11745 . . . . . . . . . 10  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
3231a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( A [,] B ) )
3332sselda 3418 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  x  e.  ( A [,] B ) )
3433, 13syldan 478 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( x ^ N )  e.  CC )
3530, 34mulcld 9681 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( N  +  1 )  x.  ( x ^ N ) )  e.  CC )
3625, 28, 29, 35fvmptd 5969 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
t  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) ) `  x )  =  ( ( N  +  1 )  x.  ( x ^ N
) ) )
3736itgeq2dv 22818 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) ( ( t  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) ) `  x )  _d x  =  S. ( A (,) B
) ( ( N  +  1 )  x.  ( x ^ N
) )  _d x )
38 itgpowd.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
39 reelprrecn 9649 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
4039a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
419a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
4241sselda 3418 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  t  e.  CC )
43 1nn0 10909 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  NN0
4443a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  e.  NN0 )
451, 44nn0addcld 10953 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
4645adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
4742, 46expcld 12454 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( t ^ ( N  + 
1 ) )  e.  CC )
481nn0cnd 10951 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
4948adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  N  e.  CC )
50 1cnd 9677 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  1  e.  CC )
5149, 50addcld 9680 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
521adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  N  e. 
NN0 )
5342, 52expcld 12454 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( t ^ N )  e.  CC )
5451, 53mulcld 9681 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) )  e.  CC )
55 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  CC )  ->  t  e.  CC )
5645adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  CC )  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
5755, 56expcld 12454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  CC )  ->  ( t ^ ( N  + 
1 ) )  e.  CC )
58 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  + 
1 ) ) )  =  ( t  e.  CC  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) )
5957, 58fmptd 6061 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) : CC --> CC )
60 ssid 3437 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  C_  CC
6160a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
624adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  CC )  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
631adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  t  e.  CC )  ->  N  e. 
NN0 )
6455, 63expcld 12454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  CC )  ->  ( t ^ N )  e.  CC )
6562, 64mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  CC )  ->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) )  e.  CC )
66 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  e.  CC  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) )  =  ( t  e.  CC  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N
) ) )
6765, 66fmptd 6061 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( t  e.  CC  |->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ N ) ) ) : CC --> CC )
68 dvexp 22986 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN  ->  ( CC  _D  ( t  e.  CC  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) ) )  =  ( t  e.  CC  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ (
( N  +  1 )  -  1 ) ) ) ) )
693, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( t  e.  CC  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) ) ) )
70 1cnd 9677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
7148, 70pncand 10006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
7271oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( t ^ (
( N  +  1 )  -  1 ) )  =  ( t ^ N ) )
7372oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) )
7473mpteq2dv 4483 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( t  e.  CC  |->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ) )  =  ( t  e.  CC  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) ) )
7569, 74eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( t  e.  CC  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) ) )
7675feq1d 5724 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( CC  _D  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) ) : CC --> CC  <->  ( t  e.  CC  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N
) ) ) : CC --> CC ) )
7767, 76mpbird 240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) ) : CC --> CC )
78 fdm 5745 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( CC  _D  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) : CC --> CC  ->  dom  ( CC  _D  (
t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  CC )
7977, 78syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  ( CC  _D  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  CC )
809, 79syl5sseqr 3467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  RR  C_  dom  ( CC 
_D  ( t  e.  CC  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) ) ) )
81 dvres3 22947 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( RR  e.  { RR ,  CC }  /\  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) : CC --> CC )  /\  ( CC  C_  CC  /\  RR  C_ 
dom  ( CC  _D  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( RR  _D  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) )  |`  RR ) )  =  ( ( CC  _D  (
t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )  |`  RR ) )
8240, 59, 61, 80, 81syl22anc 1293 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) )  |`  RR ) )  =  ( ( CC  _D  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  + 
1 ) ) ) )  |`  RR )
)
8375reseq1d 5110 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( CC  _D  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )  |`  RR )  =  (
( t  e.  CC  |->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ N ) ) )  |`  RR ) )
8482, 83eqtrd 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) )  |`  RR ) )  =  ( ( t  e.  CC  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) )  |`  RR )
)
85 resmpt 5160 . . . . . . . . . . 11  |-  ( RR  C_  CC  ->  ( (
t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) )  |`  RR )  =  ( t  e.  RR  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) ) )
869, 85mp1i 13 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) )  |`  RR )  =  (
t  e.  RR  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )
8786oveq2d 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) )  |`  RR ) )  =  ( RR 
_D  ( t  e.  RR  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) ) ) )
88 resmpt 5160 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR  C_  CC  ->  ( (
t  e.  CC  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) )  |`  RR )  =  ( t  e.  RR  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N
) ) ) )
899, 88mp1i 13 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N
) ) )  |`  RR )  =  (
t  e.  RR  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) ) )
9084, 87, 893eqtr3d 2513 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
t  e.  RR  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( t  e.  RR  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) ) )
91 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
9291tgioo2 21899 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
93 iccntr 21917 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) )  =  ( A (,) B
) )
945, 6, 93syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) )  =  ( A (,) B
) )
9540, 47, 54, 90, 8, 92, 91, 94dvmptres2 22995 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( t  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) ) )
96 ioossre 11721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A (,) B )  C_  RR
9796, 9sstri 3427 . . . . . . . . . 10  |-  ( A (,) B )  C_  CC
9897a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  CC )
99 cncfmptc 22021 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  CC  /\  ( A (,) B ) 
C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( t  e.  ( A (,) B )  |->  ( N  +  1 ) )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
1004, 98, 61, 99syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( N  +  1 ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
101 resmpt 5160 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A (,) B ) 
C_  CC  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^ N ) )  |`  ( A (,) B ) )  =  ( t  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( t ^ N
) ) )
10297, 101mp1i 13 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^ N ) )  |`  ( A (,) B ) )  =  ( t  e.  ( A (,) B )  |->  ( t ^ N ) ) )
103 expcncf 22032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ N ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
1041, 103syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ N
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
105 rescncf 22007 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A (,) B ) 
C_  CC  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^ N ) )  e.  ( CC
-cn-> CC )  ->  (
( t  e.  CC  |->  ( t ^ N
) )  |`  ( A (,) B ) )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) ) )
10698, 104, 105sylc 61 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^ N ) )  |`  ( A (,) B ) )  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
107102, 106eqeltrrd 2550 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( t ^ N
) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
108100, 107mulcncf 22476 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ N ) ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
10995, 108eqeltrd 2549 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
110 ioombl 22597 . . . . . . . . 9  |-  ( A (,) B )  e. 
dom  vol
111110a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  e.  dom  vol )
11248adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  N  e.  CC )
113 1cnd 9677 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  1  e.  CC )
114112, 113addcld 9680 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
11510sselda 3418 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  t  e.  CC )
1161adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  N  e.  NN0 )
117115, 116expcld 12454 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( t ^ N )  e.  CC )
118114, 117mulcld 9681 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) )  e.  CC )
119 cncfmptc 22021 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  CC  /\  ( A [,] B ) 
C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( t  e.  ( A [,] B )  |->  ( N  +  1 ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
1204, 10, 61, 119syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( N  +  1 ) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
12110resmptd 5162 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^ N ) )  |`  ( A [,] B ) )  =  ( t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t ^ N ) ) )
122 rescncf 22007 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A [,] B ) 
C_  CC  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^ N ) )  e.  ( CC
-cn-> CC )  ->  (
( t  e.  CC  |->  ( t ^ N
) )  |`  ( A [,] B ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) )
12310, 104, 122sylc 61 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^ N ) )  |`  ( A [,] B ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
124121, 123eqeltrrd 2550 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( t ^ N
) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
125120, 124mulcncf 22476 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ N ) ) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
126 cniccibl 22877 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  (
t  e.  ( A [,] B )  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )  -> 
( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ N ) ) )  e.  L^1 )
1275, 6, 125, 126syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ N ) ) )  e.  L^1 )
12832, 111, 118, 127iblss 22841 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ N ) ) )  e.  L^1 )
12995, 128eqeltrd 2549 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )  e.  L^1 )
13010resmptd 5162 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) )  |`  ( A [,] B ) )  =  ( t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t ^ ( N  + 
1 ) ) ) )
131 expcncf 22032 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  + 
1 ) ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
13245, 131syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
133 rescncf 22007 . . . . . . . 8  |-  ( ( A [,] B ) 
C_  CC  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC )  ->  (
( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) )  |`  ( A [,] B ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) )
13410, 132, 133sylc 61 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) )  |`  ( A [,] B ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
135130, 134eqeltrrd 2550 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
1365, 6, 38, 109, 129, 135ftc2 23075 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) ( ( RR  _D  ( t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) `  x )  _d x  =  ( ( ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) ) `  B )  -  (
( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) `  A
) ) )
13795fveq1d 5881 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) ) `  x )  =  ( ( t  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ N ) ) ) `  x
) )
138137ralrimivw 2810 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) ) `  x )  =  ( ( t  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ N ) ) ) `  x
) )
139 itgeq2 22814 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  ( t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) `  x )  =  ( ( t  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) ) `
 x )  ->  S. ( A (,) B
) ( ( RR 
_D  ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) ) ) `
 x )  _d x  =  S. ( A (,) B ) ( ( t  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N
) ) ) `  x )  _d x )
140138, 139syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) ( ( RR  _D  ( t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) `  x )  _d x  =  S. ( A (,) B
) ( ( t  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) ) `
 x )  _d x )
141 eqidd 2472 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) )  =  ( t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )
142 simpr 468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  =  B )  ->  t  =  B )
143142oveq1d 6323 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  =  B )  ->  (
t ^ ( N  +  1 ) )  =  ( B ^
( N  +  1 ) ) )
1445rexrd 9708 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
1456rexrd 9708 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
146 ubicc2 11775 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  ( A [,] B
) )
147144, 145, 38, 146syl3anc 1292 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A [,] B ) )
1486recnd 9687 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
149148, 45expcld 12454 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B ^ ( N  +  1 ) )  e.  CC )
150141, 143, 147, 149fvmptd 5969 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) ) `  B )  =  ( B ^ ( N  +  1 ) ) )
151 simpr 468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  =  A )  ->  t  =  A )
152151oveq1d 6323 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  =  A )  ->  (
t ^ ( N  +  1 ) )  =  ( A ^
( N  +  1 ) ) )
153 lbicc2 11774 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  ( A [,] B
) )
154144, 145, 38, 153syl3anc 1292 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ( A [,] B ) )
1555recnd 9687 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
156155, 45expcld 12454 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A ^ ( N  +  1 ) )  e.  CC )
157141, 152, 154, 156fvmptd 5969 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) ) `  A )  =  ( A ^ ( N  +  1 ) ) )
158150, 157oveq12d 6326 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t ^ ( N  + 
1 ) ) ) `
 B )  -  ( ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) ) `  A ) )  =  ( ( B ^
( N  +  1 ) )  -  ( A ^ ( N  + 
1 ) ) ) )
159136, 140, 1583eqtr3d 2513 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) ( ( t  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) ) `  x )  _d x  =  ( ( B ^ ( N  +  1 ) )  -  ( A ^ ( N  + 
1 ) ) ) )
1604adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
161160, 13mulcld 9681 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( ( N  +  1 )  x.  ( x ^ N ) )  e.  CC )
1625, 6, 161itgioo 22852 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) ( ( N  +  1 )  x.  ( x ^ N ) )  _d x  =  S. ( A [,] B ) ( ( N  + 
1 )  x.  (
x ^ N ) )  _d x )
16337, 159, 1623eqtr3rd 2514 . . 3  |-  ( ph  ->  S. ( A [,] B ) ( ( N  +  1 )  x.  ( x ^ N ) )  _d x  =  ( ( B ^ ( N  +  1 ) )  -  ( A ^
( N  +  1 ) ) ) )
16424, 163eqtrd 2505 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  x.  S. ( A [,] B ) ( x ^ N
)  _d x )  =  ( ( B ^ ( N  + 
1 ) )  -  ( A ^ ( N  +  1 ) ) ) )
1654, 22, 23, 164mvllmuld 10461 1  |-  ( ph  ->  S. ( A [,] B ) ( x ^ N )  _d x  =  ( ( ( B ^ ( N  +  1 ) )  -  ( A ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( N  + 
1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756    C_ wss 3390   {cpr 3961   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   ran crn 4840    |` cres 4841   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562   RR*cxr 9692    <_ cle 9694    - cmin 9880    / cdiv 10291   NNcn 10631   NN0cn0 10893   (,)cioo 11660   [,]cicc 11663   ^cexp 12310   TopOpenctopn 15398   topGenctg 15414  ℂfldccnfld 19047   intcnt 20109   -cn->ccncf 21986   volcvol 22493   L^1cibl 22654   S.citg 22655    _D cdv 22897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-mbf 22656  df-itg1 22657  df-itg2 22658  df-ibl 22659  df-itg 22660  df-0p 22707  df-limc 22900  df-dv 22901
This theorem is referenced by:  areaquad  36172
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