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Theorem itgpowd 30787
Description: The integral of a monomial on a closed bounded interval of the real line. Co-authors TA and MC. (Contributed by Jon Pennant, 31-May-2019.) (Revised by Thierry Arnoux, 14-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgpowd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
itgpowd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
itgpowd.3  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
itgpowd.4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
itgpowd  |-  ( ph  ->  S. ( A [,] B ) ( x ^ N )  _d x  =  ( ( ( B ^ ( N  +  1 ) )  -  ( A ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( N  + 
1 ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, N    ph, x

Proof of Theorem itgpowd
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgpowd.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2 nn0p1nn 10831 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
43nncnd 10548 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
5 itgpowd.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
6 itgpowd.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
7 iccssre 11602 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
85, 6, 7syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
9 ax-resscn 9545 . . . . . 6  |-  RR  C_  CC
108, 9syl6ss 3516 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  CC )
1110sselda 3504 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  x  e.  CC )
121adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  N  e.  NN0 )
1311, 12expcld 12274 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( x ^ N )  e.  CC )
14 resmpt 5321 . . . . . 6  |-  ( ( A [,] B ) 
C_  CC  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  |`  ( A [,] B ) )  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( x ^ N
) ) )
1510, 14syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  |`  ( A [,] B ) )  =  ( x  e.  ( A [,] B )  |->  ( x ^ N ) ) )
16 expcncf 21161 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
171, 16syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
18 rescncf 21136 . . . . . 6  |-  ( ( A [,] B ) 
C_  CC  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  e.  ( CC
-cn-> CC )  ->  (
( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) )  |`  ( A [,] B ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) )
1910, 17, 18sylc 60 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  |`  ( A [,] B ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
2015, 19eqeltrrd 2556 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( x ^ N
) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
21 cniccibl 21982 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  (
x  e.  ( A [,] B )  |->  ( x ^ N ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )  -> 
( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( x ^ N
) )  e.  L^1 )
225, 6, 20, 21syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( x ^ N
) )  e.  L^1 )
2313, 22itgcl 21925 . 2  |-  ( ph  ->  S. ( A [,] B ) ( x ^ N )  _d x  e.  CC )
243nnne0d 10576 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  =/=  0 )
254, 13, 22itgmulc2 21975 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  x.  S. ( A [,] B ) ( x ^ N
)  _d x )  =  S. ( A [,] B ) ( ( N  +  1 )  x.  ( x ^ N ) )  _d x )
26 eqidd 2468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( t  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N
) ) )  =  ( t  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ N ) ) ) )
27 oveq1 6289 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  x  ->  (
t ^ N )  =  ( x ^ N ) )
2827oveq2d 6298 . . . . . . 7  |-  ( t  =  x  ->  (
( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) )  =  ( ( N  +  1 )  x.  ( x ^ N
) ) )
2928adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A (,) B
) )  /\  t  =  x )  ->  (
( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) )  =  ( ( N  +  1 )  x.  ( x ^ N
) ) )
30 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  x  e.  ( A (,) B ) )
314adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
32 ioossicc 11606 . . . . . . . . . 10  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
3332a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( A [,] B ) )
3433sselda 3504 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  x  e.  ( A [,] B ) )
3534, 13syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( x ^ N )  e.  CC )
3631, 35mulcld 9612 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( N  +  1 )  x.  ( x ^ N ) )  e.  CC )
3726, 29, 30, 36fvmptd 5953 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
t  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) ) `  x )  =  ( ( N  +  1 )  x.  ( x ^ N
) ) )
3837itgeq2dv 21923 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) ( ( t  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) ) `  x )  _d x  =  S. ( A (,) B
) ( ( N  +  1 )  x.  ( x ^ N
) )  _d x )
39 itgpowd.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
40 reelprrecn 9580 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
4140a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
429a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
4342sselda 3504 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  t  e.  CC )
44 1nn0 10807 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  NN0
4544a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  e.  NN0 )
461, 45nn0addcld 10852 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
4746adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
4843, 47expcld 12274 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( t ^ ( N  + 
1 ) )  e.  CC )
491nn0cnd 10850 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
5049adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  N  e.  CC )
51 1cnd 9608 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  1  e.  CC )
5250, 51addcld 9611 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
531adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  N  e. 
NN0 )
5443, 53expcld 12274 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( t ^ N )  e.  CC )
5552, 54mulcld 9612 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) )  e.  CC )
56 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  CC )  ->  t  e.  CC )
5746adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  CC )  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
5856, 57expcld 12274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  CC )  ->  ( t ^ ( N  + 
1 ) )  e.  CC )
59 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  + 
1 ) ) )  =  ( t  e.  CC  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) )
6058, 59fmptd 6043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) : CC --> CC )
61 ssid 3523 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  C_  CC
6261a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
634adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  CC )  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
641adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  t  e.  CC )  ->  N  e. 
NN0 )
6556, 64expcld 12274 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  CC )  ->  ( t ^ N )  e.  CC )
6663, 65mulcld 9612 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  CC )  ->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) )  e.  CC )
67 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  e.  CC  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) )  =  ( t  e.  CC  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N
) ) )
6866, 67fmptd 6043 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( t  e.  CC  |->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ N ) ) ) : CC --> CC )
69 dvexp 22091 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN  ->  ( CC  _D  ( t  e.  CC  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) ) )  =  ( t  e.  CC  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ (
( N  +  1 )  -  1 ) ) ) ) )
703, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( t  e.  CC  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) ) ) )
71 1cnd 9608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
7249, 71pncand 9927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
7372oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( t ^ (
( N  +  1 )  -  1 ) )  =  ( t ^ N ) )
7473oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) )
7574mpteq2dv 4534 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( t  e.  CC  |->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ) )  =  ( t  e.  CC  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) ) )
7670, 75eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( t  e.  CC  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) ) )
7776feq1d 5715 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( CC  _D  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) ) : CC --> CC  <->  ( t  e.  CC  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N
) ) ) : CC --> CC ) )
7868, 77mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) ) : CC --> CC )
79 fdm 5733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( CC  _D  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) : CC --> CC  ->  dom  ( CC  _D  (
t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  CC )
8078, 79syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  ( CC  _D  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  CC )
819, 80syl5sseqr 3553 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  RR  C_  dom  ( CC 
_D  ( t  e.  CC  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) ) ) )
82 dvres3 22052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( RR  e.  { RR ,  CC }  /\  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) : CC --> CC )  /\  ( CC  C_  CC  /\  RR  C_ 
dom  ( CC  _D  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) ) ) )  ->  ( RR  _D  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) )  |`  RR ) )  =  ( ( CC  _D  (
t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )  |`  RR ) )
8341, 60, 62, 81, 82syl22anc 1229 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) )  |`  RR ) )  =  ( ( CC  _D  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  + 
1 ) ) ) )  |`  RR )
)
8476reseq1d 5270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( CC  _D  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )  |`  RR )  =  (
( t  e.  CC  |->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ N ) ) )  |`  RR ) )
8583, 84eqtrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) )  |`  RR ) )  =  ( ( t  e.  CC  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) )  |`  RR )
)
86 resmpt 5321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( RR  C_  CC  ->  ( (
t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) )  |`  RR )  =  ( t  e.  RR  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) ) )
879, 86mp1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) )  |`  RR )  =  (
t  e.  RR  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )
8887oveq2d 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) )  |`  RR ) )  =  ( RR 
_D  ( t  e.  RR  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) ) ) )
89 resmpt 5321 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR  C_  CC  ->  ( (
t  e.  CC  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) )  |`  RR )  =  ( t  e.  RR  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N
) ) ) )
909, 89mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N
) ) )  |`  RR )  =  (
t  e.  RR  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) ) )
9185, 88, 903eqtr3d 2516 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
t  e.  RR  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( t  e.  RR  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) ) )
92 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
9392tgioo2 21043 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
94 iccntr 21061 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) )  =  ( A (,) B
) )
955, 6, 94syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) )  =  ( A (,) B
) )
9641, 48, 55, 91, 8, 93, 92, 95dvmptres2 22100 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( t  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) ) )
97 ioossre 11582 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A (,) B )  C_  RR
9897, 9sstri 3513 . . . . . . . . . 10  |-  ( A (,) B )  C_  CC
9998a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  CC )
100 cncfmptc 21150 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  CC  /\  ( A (,) B ) 
C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( t  e.  ( A (,) B )  |->  ( N  +  1 ) )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
1014, 99, 62, 100syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( N  +  1 ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
102 resmpt 5321 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A (,) B ) 
C_  CC  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^ N ) )  |`  ( A (,) B ) )  =  ( t  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( t ^ N
) ) )
10398, 102mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^ N ) )  |`  ( A (,) B ) )  =  ( t  e.  ( A (,) B )  |->  ( t ^ N ) ) )
104 expcncf 21161 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ N ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
1051, 104syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ N
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
106 rescncf 21136 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A (,) B ) 
C_  CC  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^ N ) )  e.  ( CC
-cn-> CC )  ->  (
( t  e.  CC  |->  ( t ^ N
) )  |`  ( A (,) B ) )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) ) )
10799, 105, 106sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^ N ) )  |`  ( A (,) B ) )  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
108103, 107eqeltrrd 2556 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( t ^ N
) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
109101, 108mulcncf 21594 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ N ) ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
11096, 109eqeltrd 2555 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
111 ioombl 21710 . . . . . . . . 9  |-  ( A (,) B )  e. 
dom  vol
112111a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  e.  dom  vol )
11349adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  N  e.  CC )
114 1cnd 9608 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  1  e.  CC )
115113, 114addcld 9611 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
11610sselda 3504 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  t  e.  CC )
1171adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  N  e.  NN0 )
118116, 117expcld 12274 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( t ^ N )  e.  CC )
119115, 118mulcld 9612 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) )  e.  CC )
120 cncfmptc 21150 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  CC  /\  ( A [,] B ) 
C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( t  e.  ( A [,] B )  |->  ( N  +  1 ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
1214, 10, 62, 120syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( N  +  1 ) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
122 resmpt 5321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A [,] B ) 
C_  CC  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^ N ) )  |`  ( A [,] B ) )  =  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( t ^ N
) ) )
12310, 122syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^ N ) )  |`  ( A [,] B ) )  =  ( t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t ^ N ) ) )
124 rescncf 21136 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A [,] B ) 
C_  CC  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^ N ) )  e.  ( CC
-cn-> CC )  ->  (
( t  e.  CC  |->  ( t ^ N
) )  |`  ( A [,] B ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) )
12510, 105, 124sylc 60 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^ N ) )  |`  ( A [,] B ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
126123, 125eqeltrrd 2556 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( t ^ N
) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
127121, 126mulcncf 21594 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ N ) ) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
128 cniccibl 21982 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  (
t  e.  ( A [,] B )  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )  -> 
( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ N ) ) )  e.  L^1 )
1295, 6, 127, 128syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ N ) ) )  e.  L^1 )
13033, 112, 119, 129iblss 21946 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ N ) ) )  e.  L^1 )
13196, 130eqeltrd 2555 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )  e.  L^1 )
132 resmpt 5321 . . . . . . . 8  |-  ( ( A [,] B ) 
C_  CC  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) )  |`  ( A [,] B ) )  =  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )
13310, 132syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) )  |`  ( A [,] B ) )  =  ( t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t ^ ( N  + 
1 ) ) ) )
134 expcncf 21161 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  + 
1 ) ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
13546, 134syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
136 rescncf 21136 . . . . . . . 8  |-  ( ( A [,] B ) 
C_  CC  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC )  ->  (
( t  e.  CC  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) )  |`  ( A [,] B ) )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) )
13710, 135, 136sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  CC  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) )  |`  ( A [,] B ) )  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
138133, 137eqeltrrd 2556 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC ) )
1395, 6, 39, 110, 131, 138ftc2 22180 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) ( ( RR  _D  ( t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) `  x )  _d x  =  ( ( ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) ) `  B )  -  (
( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) `  A
) ) )
14096fveq1d 5866 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) ) `  x )  =  ( ( t  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ N ) ) ) `  x
) )
141140ralrimivw 2879 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) ) `  x )  =  ( ( t  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( N  + 
1 )  x.  (
t ^ N ) ) ) `  x
) )
142 itgeq2 21919 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ( A (,) B ) ( ( RR  _D  ( t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) `  x )  =  ( ( t  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) ) `
 x )  ->  S. ( A (,) B
) ( ( RR 
_D  ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) ) ) `
 x )  _d x  =  S. ( A (,) B ) ( ( t  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N
) ) ) `  x )  _d x )
143141, 142syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) ( ( RR  _D  ( t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t ^ ( N  + 
1 ) ) ) ) `  x )  _d x  =  S. ( A (,) B
) ( ( t  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) ) `
 x )  _d x )
144 eqidd 2468 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) )  =  ( t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t ^ ( N  +  1 ) ) ) )
145 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  =  B )  ->  t  =  B )
146145oveq1d 6297 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  =  B )  ->  (
t ^ ( N  +  1 ) )  =  ( B ^
( N  +  1 ) ) )
1475rexrd 9639 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
1486rexrd 9639 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
149 ubicc2 11633 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  ( A [,] B
) )
150147, 148, 39, 149syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A [,] B ) )
1516recnd 9618 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
152151, 46expcld 12274 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B ^ ( N  +  1 ) )  e.  CC )
153144, 146, 150, 152fvmptd 5953 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) ) `  B )  =  ( B ^ ( N  +  1 ) ) )
154 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  =  A )  ->  t  =  A )
155154oveq1d 6297 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  =  A )  ->  (
t ^ ( N  +  1 ) )  =  ( A ^
( N  +  1 ) ) )
156 lbicc2 11632 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  ( A [,] B
) )
157147, 148, 39, 156syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ( A [,] B ) )
1585recnd 9618 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
159158, 46expcld 12274 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A ^ ( N  +  1 ) )  e.  CC )
160144, 155, 157, 159fvmptd 5953 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) ) `  A )  =  ( A ^ ( N  +  1 ) ) )
161153, 160oveq12d 6300 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( t  e.  ( A [,] B )  |->  ( t ^ ( N  + 
1 ) ) ) `
 B )  -  ( ( t  e.  ( A [,] B
)  |->  ( t ^
( N  +  1 ) ) ) `  A ) )  =  ( ( B ^
( N  +  1 ) )  -  ( A ^ ( N  + 
1 ) ) ) )
162139, 143, 1613eqtr3d 2516 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) ( ( t  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( N  +  1 )  x.  ( t ^ N ) ) ) `  x )  _d x  =  ( ( B ^ ( N  +  1 ) )  -  ( A ^ ( N  + 
1 ) ) ) )
1634adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
164163, 13mulcld 9612 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( ( N  +  1 )  x.  ( x ^ N ) )  e.  CC )
1655, 6, 164itgioo 21957 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) ( ( N  +  1 )  x.  ( x ^ N ) )  _d x  =  S. ( A [,] B ) ( ( N  + 
1 )  x.  (
x ^ N ) )  _d x )
16638, 162, 1653eqtr3rd 2517 . . 3  |-  ( ph  ->  S. ( A [,] B ) ( ( N  +  1 )  x.  ( x ^ N ) )  _d x  =  ( ( B ^ ( N  +  1 ) )  -  ( A ^
( N  +  1 ) ) ) )
16725, 166eqtrd 2508 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  x.  S. ( A [,] B ) ( x ^ N
)  _d x )  =  ( ( B ^ ( N  + 
1 ) )  -  ( A ^ ( N  +  1 ) ) ) )
1684, 23, 24, 167mvllmuld 10372 1  |-  ( ph  ->  S. ( A [,] B ) ( x ^ N )  _d x  =  ( ( ( B ^ ( N  +  1 ) )  -  ( A ^ ( N  + 
1 ) ) )  /  ( N  + 
1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814    C_ wss 3476   {cpr 4029   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   ran crn 5000    |` cres 5001   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   1c1 9489    + caddc 9491    x. cmul 9493   RR*cxr 9623    <_ cle 9625    - cmin 9801    / cdiv 10202   NNcn 10532   NN0cn0 10791   (,)cioo 11525   [,]cicc 11528   ^cexp 12130   TopOpenctopn 14673   topGenctg 14689  ℂfldccnfld 18191   intcnt 19284   -cn->ccncf 21115   volcvol 21610   L^1cibl 21761   S.citg 21762    _D cdv 22002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cc 8811  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-ofr 6523  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-omul 7132  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-acn 8319  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11961  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-limsup 13253  df-clim 13270  df-rlim 13271  df-sum 13468  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-rest 14674  df-topn 14675  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-prds 14699  df-xrs 14753  df-qtop 14758  df-imas 14759  df-xps 14761  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-mulg 15861  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-fbas 18187  df-fg 18188  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cld 19286  df-ntr 19287  df-cls 19288  df-nei 19365  df-lp 19403  df-perf 19404  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-haus 19582  df-cmp 19653  df-tx 19798  df-hmeo 19991  df-fil 20082  df-fm 20174  df-flim 20175  df-flf 20176  df-xms 20558  df-ms 20559  df-tms 20560  df-cncf 21117  df-ovol 21611  df-vol 21612  df-mbf 21763  df-itg1 21764  df-itg2 21765  df-ibl 21766  df-itg 21767  df-0p 21812  df-limc 22005  df-dv 22006
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