Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgperiod Structured version   Unicode version

Theorem itgperiod 31622
 Description: The integral of a periodic function, with period stays the same if the domain of integration is shifted. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgperiod.a
itgperiod.b
itgperiod.aleb
itgperiod.t
itgperiod.f
itgperiod.fper
itgperiod.fcn
Assertion
Ref Expression
itgperiod
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem itgperiod
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgperiod.a . . . . 5
2 itgperiod.b . . . . 5
3 itgperiod.t . . . . . 6
43rpred 11268 . . . . 5
5 itgperiod.aleb . . . . 5
61, 2, 4, 5leadd1dd 10178 . . . 4
76ditgpos 22128 . . 3 _
81, 4readdcld 9635 . . . 4
92, 4readdcld 9635 . . . 4
10 itgperiod.f . . . . . 6
1110adantr 465 . . . . 5
128adantr 465 . . . . . 6
139adantr 465 . . . . . 6
14 simpr 461 . . . . . 6
15 eliccre 31427 . . . . . 6
1612, 13, 14, 15syl3anc 1228 . . . . 5
17 ffvelrn 6030 . . . . 5
1811, 16, 17syl2anc 661 . . . 4
198, 9, 18itgioo 22090 . . 3
20 eqidd 2468 . . 3
217, 19, 203eqtrrd 2513 . 2 _
22 eqid 2467 . . . 4
23 ax-resscn 9561 . . . . . 6
2423, 4sseldi 3507 . . . . 5
2522addccncf 21288 . . . . 5
2624, 25syl 16 . . . 4
27 iccssre 11618 . . . . . 6
281, 2, 27syl2anc 661 . . . . 5
2928, 23syl6ss 3521 . . . 4
30 iccssre 11618 . . . . . 6
318, 9, 30syl2anc 661 . . . . 5
3223a1i 11 . . . . 5
3331, 32sstrd 3519 . . . 4
3428sselda 3509 . . . . . . 7
354adantr 465 . . . . . . 7
3634, 35readdcld 9635 . . . . . 6
371adantr 465 . . . . . . 7
38 simpr 461 . . . . . . . . 9
392adantr 465 . . . . . . . . . 10
40 elicc2 11601 . . . . . . . . . 10
4137, 39, 40syl2anc 661 . . . . . . . . 9
4238, 41mpbid 210 . . . . . . . 8
4342simp2d 1009 . . . . . . 7
4437, 34, 35, 43leadd1dd 10178 . . . . . 6
4542simp3d 1010 . . . . . . 7
4634, 39, 35, 45leadd1dd 10178 . . . . . 6
4736, 44, 463jca 1176 . . . . 5
488adantr 465 . . . . . 6
499adantr 465 . . . . . 6
50 elicc2 11601 . . . . . 6
5148, 49, 50syl2anc 661 . . . . 5
5247, 51mpbird 232 . . . 4
5322, 26, 29, 33, 52cncfmptssg 31531 . . 3
54 eqeq1 2471 . . . . . . . 8
5554rexbidv 2978 . . . . . . 7
56 oveq1 6302 . . . . . . . . . 10
5756eqeq2d 2481 . . . . . . . . 9
5857cbvrexv 3094 . . . . . . . 8
5958a1i 11 . . . . . . 7
6055, 59bitrd 253 . . . . . 6
6160cbvrabv 3117 . . . . 5
62 ffdm 5751 . . . . . . 7
6310, 62syl 16 . . . . . 6
6463simpld 459 . . . . 5
65 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6628sselda 3509 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
674adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6866, 67readdcld 9635 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
69683adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7065, 69eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . . . . 15
71703exp 1195 . . . . . . . . . . . . . 14
7271rexlimdv 2957 . . . . . . . . . . . . 13
7372adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
7473ralrimiva 2881 . . . . . . . . . . 11
75 rabss 3582 . . . . . . . . . . 11
7674, 75sylibr 212 . . . . . . . . . 10
7776adantr 465 . . . . . . . . 9
78 simpr 461 . . . . . . . . 9
7977, 78sseldd 3510 . . . . . . . 8
80 fdm 5741 . . . . . . . . . . 11
8110, 80syl 16 . . . . . . . . . 10
8281eqcomd 2475 . . . . . . . . 9
8382adantr 465 . . . . . . . 8
8479, 83eleqtrd 2557 . . . . . . 7
8584ralrimiva 2881 . . . . . 6
86 dfss3 3499 . . . . . 6
8785, 86sylibr 212 . . . . 5
88 itgperiod.fper . . . . 5
89 itgperiod.fcn . . . . 5
9029, 4, 61, 64, 87, 88, 89cncfperiod 31540 . . . 4
91 nfv 1683 . . . . . . . . 9
9255elrab 3266 . . . . . . . . . . . . 13
9378, 92sylib 196 . . . . . . . . . . . 12
94 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . 15
95 nfv 1683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
96 nfv 1683 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
97 nfre1 2928 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9896, 97nfan 1875 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9995, 98nfan 1875 . . . . . . . . . . . . . . . 16
100 nfv 1683 . . . . . . . . . . . . . . . 16
101 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
102 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1031adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1042adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
105 elicc2 11601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
106103, 104, 105syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
107102, 106mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
108107simp2d 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
109103, 66, 67leadd1d 10158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
110108, 109mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
111107simp3d 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
11266, 104, 67leadd1d 10158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
113111, 112mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
11468, 110, 1133jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1151143adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
11683ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
11793ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
118 elicc2 11601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
119116, 117, 118syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
120115, 119mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
121101, 120eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1221213exp 1195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
123122adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12499, 100, 123rexlimd 2951 . . . . . . . . . . . . . . 15
12594, 124mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14
126125ex 434 . . . . . . . . . . . . 13
127126adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
12893, 127mpd 15 . . . . . . . . . . 11
129128ex 434 . . . . . . . . . 10
13023, 16sseldi 3507 . . . . . . . . . . . . 13
1314adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
13216, 131resubcld 9999 . . . . . . . . . . . . . . . 16
13323, 1sseldi 3507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
134133, 24pncand 9943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
135134eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
136135adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
137 elicc2 11601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
13812, 13, 137syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
13914, 138mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
140139simp2d 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
14112, 16, 131lesub1d 10171 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
142140, 141mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
143136, 142eqbrtrd 4473 . . . . . . . . . . . . . . . 16
144139simp3d 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
14516, 13, 131lesub1d 10171 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
146144, 145mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
14723, 2sseldi 3507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
148147, 24pncand 9943 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
149148adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
150146, 149breqtrd 4477 . . . . . . . . . . . . . . . 16
151132, 143, 1503jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . 15
1521adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1532adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
154 elicc2 11601 . . . . . . . . . . . . . . . 16
155152, 153, 154syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15
156151, 155mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14
15724adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
158130, 157npcand 9946 . . . . . . . . . . . . . . 15
159158eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . 14
160 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . . . . . 16
161160eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . 15
162161rspcev 3219 . . . . . . . . . . . . . 14
163156, 159, 162syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
164130, 163jca 532 . . . . . . . . . . . 12
165164, 92sylibr 212 . . . . . . . . . . 11
166165ex 434 . . . . . . . . . 10
167129, 166impbid 191 . . . . . . . . 9
16891, 167alrimi 1825 . . . . . . . 8
169 dfcleq 2460 . . . . . . . 8
170168, 169sylibr 212 . . . . . . 7
171170reseq2d 5279 . . . . . 6
172170, 87eqsstr3d 3544 . . . . . . 7
17364, 172feqresmpt 5928 . . . . . 6
174171, 173eqtr2d 2509 . . . . 5
1751, 2, 4iccshift 31445 . . . . . 6
176175oveq1d 6310 . . . . 5
177174, 176eleq12d 2549 . . . 4
17890, 177mpbird 232 . . 3
179 ax-1cn 9562 . . . . . . 7
180179a1i 11 . . . . . 6
181 ioosscn 31414 . . . . . . 7
182181a1i 11 . . . . . 6
183 ssid 3528 . . . . . . 7
184183a1i 11 . . . . . 6
185 cncfmptc 21283 . . . . . 6
186180, 182, 184, 185syl3anc 1228 . . . . 5
187 fconstmpt 5049 . . . . . . . 8
188187eqcomi 2480 . . . . . . 7
189188a1i 11 . . . . . 6
190 ioombl 21843 . . . . . . . 8
191190a1i 11 . . . . . . 7
192 ioovolcl 21847 . . . . . . . 8
1931, 2, 192syl2anc 661 . . . . . . 7
194 iblconst 22092 . . . . . . 7
195191, 193, 180, 194syl3anc 1228 . . . . . 6
196189, 195eqeltrd 2555 . . . . 5
197186, 196jca 532 . . . 4
198 elin 3692 . . . 4
199197, 198sylibr 212 . . 3
200 resmpt 5329 . . . . . . . 8
20128, 200syl 16 . . . . . . 7
202201eqcomd 2475 . . . . . 6
203202oveq2d 6311 . . . . 5
20432sselda 3509 . . . . . . . . 9
20524adantr 465 . . . . . . . . 9
206204, 205addcld 9627 . . . . . . . 8
207 eqid 2467 . . . . . . . 8
208206, 207fmptd 6056 . . . . . . 7
20932, 208jca 532 . . . . . 6
210 ssid 3528 . . . . . . . 8
211210a1i 11 . . . . . . 7
212211, 28jca 532 . . . . . 6
213 eqid 2467 . . . . . . 7 fld fld
214213tgioo2 21176 . . . . . . 7 fldt
215213, 214dvres 22183 . . . . . 6
216209, 212, 215syl2anc 661 . . . . 5
217203, 216eqtrd 2508 . . . 4
218 iccntr 21194 . . . . . 6
2191, 2, 218syl2anc 661 . . . . 5
220219reseq2d 5279 . . . 4
221 reex 9595 . . . . . . . . 9
222221prid1 4141 . . . . . . . 8
223222a1i 11 . . . . . . 7
224179a1i 11 . . . . . . 7
225223dvmptid 22228 . . . . . . 7
226 0cn 9600 . . . . . . . 8
227226a1i 11 . . . . . . 7
228223, 24dvmptc 22229 . . . . . . 7
229223, 204, 224, 225, 205, 227, 228dvmptadd 22231 . . . . . 6
230229reseq1d 5278 . . . . 5
231 ioossre 11598 . . . . . . 7
232231a1i 11 . . . . . 6
233 resmpt 5329 . . . . . 6
234232, 233syl 16 . . . . 5
235179addid1i 9778 . . . . . . 7
236235mpteq2i 4536 . . . . . 6
237236a1i 11 . . . . 5
238230, 234, 2373eqtrd 2512 . . . 4
239217, 220, 2383eqtrd 2512 . . 3
240 fveq2 5872 . . 3
241 oveq1 6302 . . 3
242 oveq1 6302 . . 3
2431, 2, 5, 53, 178, 199, 239, 240, 241, 242, 8, 9itgsubsticc 31617 . 2 _ _
2445ditgpos 22128 . . 3 _
24510adantr 465 . . . . . 6
246 ffvelrn 6030 . . . . . 6
247245, 36, 246syl2anc 661 . . . . 5
248179a1i 11 . . . . 5
249247, 248mulcld 9628 . . . 4
2501, 2, 249itgioo 22090 . . 3
251 oveq1 6302 . . . . . . . 8
252251fveq2d 5876 . . . . . . 7
253252oveq1d 6310 . . . . . 6
254 nfcv 2629 . . . . . 6
255 nfcv 2629 . . . . . 6
256253, 254, 255cbvitg 22050 . . . . 5
257256a1i 11 . . . 4
25810adantr 465 . . . . . . . 8
25928sselda 3509 . . . . . . . . 9
2604adantr 465 . . . . . . . . 9
261259, 260readdcld 9635 . . . . . . . 8
262258, 261ffvelrnd 6033 . . . . . . 7
263262mulid1d 9625 . . . . . 6
264263, 88eqtrd 2508 . . . . 5
265264itgeq2dv 22056 . . . 4
266257, 265eqtrd 2508 . . 3
267244, 250, 2663eqtrd 2512 . 2 _
26821, 243, 2673eqtrd 2512 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973  wal 1377   wceq 1379   wcel 1767  wral 2817  wrex 2818  crab 2821   cin 3480   wss 3481  csn 4033  cpr 4035   class class class wbr 4453   cmpt 4511   cxp 5003   cdm 5005   crn 5006   cres 5007  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6295  cc 9502  cr 9503  cc0 9504  c1 9505   caddc 9507   cmul 9509   cle 9641   cmin 9817  crp 11232  cioo 11541  cicc 11544  ctopn 14694  ctg 14710  ℂfldccnfld 18290  cnt 19386  ccncf 21248  cvol 21743  cibl 21894  citg 21895  _cdit 22118   cdv 22135 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cc 8827  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-disj 4424  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-ofr 6536  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-omul 7147  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-acn 8335  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-limsup 13274  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-lp 19505  df-perf 19506  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-haus 19684  df-cmp 19755  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cncf 21250  df-ovol 21744  df-vol 21745  df-mbf 21896  df-itg1 21897  df-itg2 21898  df-ibl 21899  df-itg 21900  df-0p 21945  df-ditg 22119  df-limc 22138  df-dv 22139 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator