Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgperiod Structured version   Unicode version

Theorem itgperiod 37798
 Description: The integral of a periodic function, with period stays the same if the domain of integration is shifted. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgperiod.a
itgperiod.b
itgperiod.aleb
itgperiod.t
itgperiod.f
itgperiod.fper
itgperiod.fcn
Assertion
Ref Expression
itgperiod
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem itgperiod
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgperiod.a . . . . 5
2 itgperiod.b . . . . 5
3 itgperiod.t . . . . . 6
43rpred 11348 . . . . 5
5 itgperiod.aleb . . . . 5
61, 2, 4, 5leadd1dd 10234 . . . 4
76ditgpos 22809 . . 3 _
81, 4readdcld 9677 . . . 4
92, 4readdcld 9677 . . . 4
10 itgperiod.f . . . . . 6
1110adantr 466 . . . . 5
128adantr 466 . . . . . 6
139adantr 466 . . . . . 6
14 simpr 462 . . . . . 6
15 eliccre 37552 . . . . . 6
1612, 13, 14, 15syl3anc 1264 . . . . 5
1711, 16ffvelrnd 6038 . . . 4
188, 9, 17itgioo 22771 . . 3
197, 18eqtr2d 2464 . 2 _
20 eqid 2422 . . . 4
214recnd 9676 . . . . 5
2220addccncf 21946 . . . . 5
2321, 22syl 17 . . . 4
241, 2iccssred 37551 . . . . 5
25 ax-resscn 9603 . . . . 5
2624, 25syl6ss 3476 . . . 4
278, 9iccssred 37551 . . . . 5
2827, 25syl6ss 3476 . . . 4
298adantr 466 . . . . 5
309adantr 466 . . . . 5
3124sselda 3464 . . . . . 6
324adantr 466 . . . . . 6
3331, 32readdcld 9677 . . . . 5
341adantr 466 . . . . . 6
35 simpr 462 . . . . . . . 8
362adantr 466 . . . . . . . . 9
37 elicc2 11706 . . . . . . . . 9
3834, 36, 37syl2anc 665 . . . . . . . 8
3935, 38mpbid 213 . . . . . . 7
4039simp2d 1018 . . . . . 6
4134, 31, 32, 40leadd1dd 10234 . . . . 5
4239simp3d 1019 . . . . . 6
4331, 36, 32, 42leadd1dd 10234 . . . . 5
4429, 30, 33, 41, 43eliccd 37550 . . . 4
4520, 23, 26, 28, 44cncfmptssg 37687 . . 3
46 eqeq1 2426 . . . . . . . 8
4746rexbidv 2936 . . . . . . 7
48 oveq1 6312 . . . . . . . . 9
4948eqeq2d 2436 . . . . . . . 8
5049cbvrexv 3055 . . . . . . 7
5147, 50syl6bb 264 . . . . . 6
5251cbvrabv 3079 . . . . 5
53 ffdm 5760 . . . . . . 7
5410, 53syl 17 . . . . . 6
5554simpld 460 . . . . 5
56 simp3 1007 . . . . . . . . . 10
5724sselda 3464 . . . . . . . . . . . 12
584adantr 466 . . . . . . . . . . . 12
5957, 58readdcld 9677 . . . . . . . . . . 11
60593adant3 1025 . . . . . . . . . 10
6156, 60eqeltrd 2507 . . . . . . . . 9
6261rexlimdv3a 2916 . . . . . . . 8
6362ralrimivw 2837 . . . . . . 7
64 rabss 3538 . . . . . . 7
6563, 64sylibr 215 . . . . . 6
66 fdm 5750 . . . . . . 7
6710, 66syl 17 . . . . . 6
6865, 67sseqtr4d 3501 . . . . 5
69 itgperiod.fper . . . . 5
70 itgperiod.fcn . . . . 5
7126, 4, 52, 55, 68, 69, 70cncfperiod 37696 . . . 4
7247elrab 3228 . . . . . . . . 9
73 simprr 764 . . . . . . . . . 10
74 nfv 1755 . . . . . . . . . . . 12
75 nfv 1755 . . . . . . . . . . . . 13
76 nfre1 2883 . . . . . . . . . . . . 13
7775, 76nfan 1988 . . . . . . . . . . . 12
7874, 77nfan 1988 . . . . . . . . . . 11
79 nfv 1755 . . . . . . . . . . 11
80 simp3 1007 . . . . . . . . . . . . . 14
811adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
82 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
832adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
84 elicc2 11706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8581, 83, 84syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8682, 85mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8786simp2d 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8881, 57, 58, 87leadd1dd 10234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8986simp3d 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9057, 83, 58, 89leadd1dd 10234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9159, 88, 903jca 1185 . . . . . . . . . . . . . . . 16
92913adant3 1025 . . . . . . . . . . . . . . 15
9383ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9493ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . 16
95 elicc2 11706 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9693, 94, 95syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15
9792, 96mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . 14
9880, 97eqeltrd 2507 . . . . . . . . . . . . 13
99983exp 1204 . . . . . . . . . . . 12
10099adantr 466 . . . . . . . . . . 11
10178, 79, 100rexlimd 2906 . . . . . . . . . 10
10273, 101mpd 15 . . . . . . . . 9
10372, 102sylan2b 477 . . . . . . . 8
10416recnd 9676 . . . . . . . . 9
1051adantr 466 . . . . . . . . . . 11
1062adantr 466 . . . . . . . . . . 11
1074adantr 466 . . . . . . . . . . . 12
10816, 107resubcld 10054 . . . . . . . . . . 11
1091recnd 9676 . . . . . . . . . . . . . . 15
110109, 21pncand 9994 . . . . . . . . . . . . . 14
111110eqcomd 2430 . . . . . . . . . . . . 13
112111adantr 466 . . . . . . . . . . . 12
113 elicc2 11706 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11412, 13, 113syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15
11514, 114mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . 14
116115simp2d 1018 . . . . . . . . . . . . 13
11712, 16, 107, 116lesub1dd 10236 . . . . . . . . . . . 12
118112, 117eqbrtrd 4444 . . . . . . . . . . 11
119115simp3d 1019 . . . . . . . . . . . . 13
12016, 13, 107, 119lesub1dd 10236 . . . . . . . . . . . 12
1212recnd 9676 . . . . . . . . . . . . . 14
122121, 21pncand 9994 . . . . . . . . . . . . 13
123122adantr 466 . . . . . . . . . . . 12
124120, 123breqtrd 4448 . . . . . . . . . . 11
125105, 106, 108, 118, 124eliccd 37550 . . . . . . . . . 10
12621adantr 466 . . . . . . . . . . . 12
127104, 126npcand 9997 . . . . . . . . . . 11
128127eqcomd 2430 . . . . . . . . . 10
129 oveq1 6312 . . . . . . . . . . . 12
130129eqeq2d 2436 . . . . . . . . . . 11
131130rspcev 3182 . . . . . . . . . 10
132125, 128, 131syl2anc 665 . . . . . . . . 9
133104, 132, 72sylanbrc 668 . . . . . . . 8
134103, 133impbida 840 . . . . . . 7
135134eqrdv 2419 . . . . . 6
136135reseq2d 5124 . . . . 5
137135, 68eqsstr3d 3499 . . . . . 6
13855, 137feqresmpt 5935 . . . . 5
139136, 138eqtr2d 2464 . . . 4
1401, 2, 4iccshift 37568 . . . . 5
141140oveq1d 6320 . . . 4
14271, 139, 1413eltr4d 2522 . . 3
143 ioosscn 37540 . . . . . 6
144143a1i 11 . . . . 5
145 1cnd 9666 . . . . 5
146 ssid 3483 . . . . . 6
147146a1i 11 . . . . 5
148144, 145, 147constcncfg 37688 . . . 4
149 fconstmpt 4897 . . . . 5
150 ioombl 22516 . . . . . . 7
151150a1i 11 . . . . . 6
152 ioovolcl 22520 . . . . . . 7
1531, 2, 152syl2anc 665 . . . . . 6
154 iblconst 22773 . . . . . 6
155151, 153, 145, 154syl3anc 1264 . . . . 5
156149, 155syl5eqelr 2512 . . . 4
157148, 156elind 3650 . . 3
15824resmptd 5175 . . . . . . 7
159158eqcomd 2430 . . . . . 6
160159oveq2d 6321 . . . . 5
16125a1i 11 . . . . . 6
162161sselda 3464 . . . . . . . 8
16321adantr 466 . . . . . . . 8
164162, 163addcld 9669 . . . . . . 7
165 eqid 2422 . . . . . . 7
166164, 165fmptd 6061 . . . . . 6
167 ssid 3483 . . . . . . 7
168167a1i 11 . . . . . 6
169 eqid 2422 . . . . . . 7 fld fld
170169tgioo2 21819 . . . . . . 7 fldt
171169, 170dvres 22864 . . . . . 6
172161, 166, 168, 24, 171syl22anc 1265 . . . . 5
173160, 172eqtrd 2463 . . . 4
174 iccntr 21837 . . . . . 6
1751, 2, 174syl2anc 665 . . . . 5
176175reseq2d 5124 . . . 4
177 reelprrecn 9638 . . . . . . . 8
178177a1i 11 . . . . . . 7
179 1cnd 9666 . . . . . . 7
180178dvmptid 22909 . . . . . . 7
181 0cnd 9643 . . . . . . 7
182178, 21dvmptc 22910 . . . . . . 7
183178, 162, 179, 180, 163, 181, 182dvmptadd 22912 . . . . . 6
184183reseq1d 5123 . . . . 5
185 ioossre 11703 . . . . . . 7
186185a1i 11 . . . . . 6
187186resmptd 5175 . . . . 5
188 1p0e1 10729 . . . . . . 7
189188mpteq2i 4507 . . . . . 6
190189a1i 11 . . . . 5
191184, 187, 1903eqtrd 2467 . . . 4
192173, 176, 1913eqtrd 2467 . . 3
193 fveq2 5881 . . 3
194 oveq1 6312 . . 3
195 oveq1 6312 . . 3
1961, 2, 5, 45, 142, 157, 192, 193, 194, 195, 8, 9itgsubsticc 37793 . 2 _ _
1975ditgpos 22809 . . 3 _
19810adantr 466 . . . . . 6
199198, 33ffvelrnd 6038 . . . . 5
200 1cnd 9666 . . . . 5
201199, 200mulcld 9670 . . . 4
2021, 2, 201itgioo 22771 . . 3
203 oveq1 6312 . . . . . . 7
204203fveq2d 5885 . . . . . 6
205204oveq1d 6320 . . . . 5
206205cbvitgv 22732 . . . 4
20710adantr 466 . . . . . . . 8
20824sselda 3464 . . . . . . . . 9
2094adantr 466 . . . . . . . . 9
210208, 209readdcld 9677 . . . . . . . 8
211207, 210ffvelrnd 6038 . . . . . . 7
212211mulid1d 9667 . . . . . 6
213212, 69eqtrd 2463 . . . . 5
214213itgeq2dv 22737 . . . 4
215206, 214syl5eq 2475 . . 3
216197, 202, 2153eqtrd 2467 . 2 _
21719, 196, 2163eqtrd 2467 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1872  wral 2771  wrex 2772  crab 2775   wss 3436  csn 3998  cpr 4000   class class class wbr 4423   cmpt 4482   cxp 4851   cdm 4853   crn 4854   cres 4855  wf 5597  cfv 5601  (class class class)co 6305  cc 9544  cr 9545  cc0 9546  c1 9547   caddc 9549   cmul 9551   cle 9683   cmin 9867  crp 11309  cioo 11642  cicc 11645  ctopn 15319  ctg 15335  ℂfldccnfld 18969  cnt 20030  ccncf 21906  cvol 22413  cibl 22573  citg 22574  _cdit 22799   cdv 22816 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-cc 8872  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624  ax-addf 9625  ax-mulf 9626 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-iin 4302  df-disj 4395  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-ofr 6546  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-2o 7194  df-oadd 7197  df-omul 7198  df-er 7374  df-map 7485  df-pm 7486  df-ixp 7534  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-fsupp 7893  df-fi 7934  df-sup 7965  df-inf 7966  df-oi 8034  df-card 8381  df-acn 8384  df-cda 8605  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ioc 11647  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12034  df-mod 12103  df-seq 12220  df-exp 12279  df-hash 12522  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13525  df-clim 13551  df-rlim 13552  df-sum 13752  df-struct 15122  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-sets 15126  df-ress 15127  df-plusg 15202  df-mulr 15203  df-starv 15204  df-sca 15205  df-vsca 15206  df-ip 15207  df-tset 15208  df-ple 15209  df-ds 15211  df-unif 15212  df-hom 15213  df-cco 15214  df-rest 15320  df-topn 15321  df-0g 15339  df-gsum 15340  df-topgen 15341  df-pt 15342  df-prds 15345  df-xrs 15399  df-qtop 15405  df-imas 15406  df-xps 15409  df-mre 15491  df-mrc 15492  df-acs 15494  df-mgm 16487  df-sgrp 16526  df-mnd 16536  df-submnd 16582  df-mulg 16675  df-cntz 16970  df-cmn 17431  df-psmet 18961  df-xmet 18962  df-met 18963  df-bl 18964  df-mopn 18965  df-fbas 18966  df-fg 18967  df-cnfld 18970  df-top 19919  df-bases 19920  df-topon 19921  df-topsp 19922  df-cld 20032  df-ntr 20033  df-cls 20034  df-nei 20112  df-lp 20150  df-perf 20151  df-cn 20241  df-cnp 20242  df-haus 20329  df-cmp 20400  df-tx 20575  df-hmeo 20768  df-fil 20859  df-fm 20951  df-flim 20952  df-flf 20953  df-xms 21333  df-ms 21334  df-tms 21335  df-cncf 21908  df-ovol 22414  df-vol 22416  df-mbf 22575  df-itg1 22576  df-itg2 22577  df-ibl 22578  df-itg 22579  df-0p 22626  df-ditg 22800  df-limc 22819  df-dv 22820 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator