Theorem itgmulc2nclem2 29659

Description: Lemma for itgmulc2nc 29660; cf. itgmulc2lem2 21974. (Contributed by Brendan Leahy, 19-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgmulc2nc.1	|- ( ph -> C e. CC )
itgmulc2nc.2	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
itgmulc2nc.3	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )
itgmulc2nc.m	|- ( ph -> ( x e. A |-> ( C x. B ) ) e. MblFn )
itgmulc2nc.4	|- ( ph -> C e. RR )
itgmulc2nc.5	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
itgmulc2nclem2	|- ( ph -> ( C x. S. A B _d x ) = S. A ( C x. B ) _d x )

Distinct variable groups:   x, A   x, C   ph, x   x, V

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem itgmulc2nclem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgmulc2nc.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. RR )
2		max0sub 11391	. . . . . . 7 |- ( C e. RR -> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) - if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) ) = C )
3	1, 2	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) - if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) ) = C )
4	3	oveq1d 6297	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) - if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) ) x. B ) = ( C x. B ) )
5	4	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) - if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) ) x. B ) = ( C x. B ) )
6		0re 9592	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
7		ifcl 3981	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ C , C , 0 ) e. RR )
8	1, 6, 7	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ph -> if ( 0 <_ C , C , 0 ) e. RR )
9	8	recnd 9618	. . . . . 6 |- ( ph -> if ( 0 <_ C , C , 0 ) e. CC )
10	9	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ C , C , 0 ) e. CC )
11	1	renegcld 9982	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -u C e. RR )
12		ifcl 3981	. . . . . . . 8 |- ( ( -u C e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) e. RR )
13	11, 6, 12	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ph -> if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) e. RR )
14	13	recnd 9618	. . . . . 6 |- ( ph -> if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) e. CC )
15	14	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) e. CC )
16		itgmulc2nc.5	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
17	16	recnd 9618	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC )
18	10, 15, 17	subdird 10009	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) - if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) ) x. B ) = ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) ) )
19	5, 18	eqtr3d 2510	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( C x. B ) = ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) ) )
20	19	itgeq2dv 21923	. 2 |- ( ph -> S. A ( C x. B ) _d x = S. A ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) ) _d x )
21		ovex 6307	. . . 4 |- ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) e. _V
22	21	a1i 11	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) e. _V )
23		itgmulc2nc.3	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )
24		itgmulc2nc.m	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( C x. B ) ) e. MblFn )
25		ovex 6307	. . . . . . . 8 |- ( C x. B ) e. _V
26	25	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( C x. B ) e. _V )
27	24, 26	mbfdm2 21780	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. dom vol )
28	8	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ C , C , 0 ) e. RR )
29		fconstmpt 5042	. . . . . . 7 |- ( A X. { if ( 0 <_ C , C , 0 ) } ) = ( x e. A |-> if ( 0 <_ C , C , 0 ) )
30	29	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A X. { if ( 0 <_ C , C , 0 ) } ) = ( x e. A |-> if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) )
31		eqidd 2468	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B ) )
32	27, 28, 16, 30, 31	offval2 6538	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A X. { if ( 0 <_ C , C , 0 ) } ) oF x. ( x e. A |-> B ) ) = ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) ) )
33		iblmbf 21909	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
34	23, 33	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
35		eqid 2467	. . . . . . 7 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
36	17, 35	fmptd 6043	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) : A --> CC )
37	34, 8, 36	mbfmulc2re 21790	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A X. { if ( 0 <_ C , C , 0 ) } ) oF x. ( x e. A |-> B ) ) e. MblFn )
38	32, 37	eqeltrrd 2556	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) ) e. MblFn )
39	9, 16, 23, 38	iblmulc2nc 29657	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) ) e. L^1 )
40		ovex 6307	. . . 4 |- ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) e. _V
41	40	a1i 11	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) e. _V )
42	13	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) e. RR )
43		fconstmpt 5042	. . . . . . 7 |- ( A X. { if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) } ) = ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) )
44	43	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A X. { if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) } ) = ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) ) )
45	27, 42, 16, 44, 31	offval2 6538	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A X. { if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) } ) oF x. ( x e. A |-> B ) ) = ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) ) )
46	34, 13, 36	mbfmulc2re 21790	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A X. { if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) } ) oF x. ( x e. A |-> B ) ) e. MblFn )
47	45, 46	eqeltrrd 2556	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) ) e. MblFn )
48	14, 16, 23, 47	iblmulc2nc 29657	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) ) e. L^1 )
49	19	mpteq2dva 4533	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( C x. B ) ) = ( x e. A |-> ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) ) ) )
50	49, 24	eqeltrrd 2556	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) ) ) e. MblFn )
51	22, 39, 41, 48, 50	itgsubnc 29654	. 2 |- ( ph -> S. A ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) ) _d x = ( S. A ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) _d x - S. A ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) _d x ) )
52		ovex 6307	. . . . . . 7 |- ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. _V
53	52	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. _V )
54		ifcl 3981	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR )
55	16, 6, 54	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR )
56	16	iblre 21935	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. L^1 /\ ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) e. L^1 ) ) )
57	23, 56	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. L^1 /\ ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) e. L^1 ) )
58	57	simpld 459	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. L^1 )
59		eqidd 2468	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) = ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) )
60	27, 28, 55, 30, 59	offval2 6538	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A X. { if ( 0 <_ C , C , 0 ) } ) oF x. ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ) = ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ) )
61	16, 34	mbfpos 21793	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. MblFn )
62	55	recnd 9618	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. CC )
63		eqid 2467	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) = ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) )
64	62, 63	fmptd 6043	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) : A --> CC )
65	61, 8, 64	mbfmulc2re 21790	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A X. { if ( 0 <_ C , C , 0 ) } ) oF x. ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ) e. MblFn )
66	60, 65	eqeltrrd 2556	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ) e. MblFn )
67	9, 55, 58, 66	iblmulc2nc 29657	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ) e. L^1 )
68		ovex 6307	. . . . . . 7 |- ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) e. _V
69	68	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) e. _V )
70	16	renegcld 9982	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> -u B e. RR )
71		ifcl 3981	. . . . . . . 8 |- ( ( -u B e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. RR )
72	70, 6, 71	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. RR )
73	57	simprd 463	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) e. L^1 )
74		eqidd 2468	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) = ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) )
75	27, 28, 72, 30, 74	offval2 6538	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A X. { if ( 0 <_ C , C , 0 ) } ) oF x. ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) = ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) )
76	16, 34	mbfneg 21792	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. A |-> -u B ) e. MblFn )
77	70, 76	mbfpos 21793	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) e. MblFn )
78	72	recnd 9618	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. CC )
79		eqid 2467	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) = ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) )
80	78, 79	fmptd 6043	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) : A --> CC )
81	77, 8, 80	mbfmulc2re 21790	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A X. { if ( 0 <_ C , C , 0 ) } ) oF x. ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) e. MblFn )
82	75, 81	eqeltrrd 2556	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) e. MblFn )
83	9, 72, 73, 82	iblmulc2nc 29657	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) e. L^1 )
84		max0sub 11391	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. RR -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) - if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) = B )
85	16, 84	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) - if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) = B )
86	85	oveq2d 6298	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) - if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) = ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) )
87	10, 62, 78	subdid 10008	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) - if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) = ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) - ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) )
88	86, 87	eqtr3d 2510	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) = ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) - ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) )
89	88	mpteq2dva 4533	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) ) = ( x e. A |-> ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) - ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) ) )
90	32, 89	eqtrd 2508	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( A X. { if ( 0 <_ C , C , 0 ) } ) oF x. ( x e. A |-> B ) ) = ( x e. A |-> ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) - ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) ) )
91	90, 37	eqeltrrd 2556	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) - ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) ) e. MblFn )
92	53, 67, 69, 83, 91	itgsubnc 29654	. . . . 5 |- ( ph -> S. A ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) - ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) _d x = ( S. A ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) _d x - S. A ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) _d x ) )
93	88	itgeq2dv 21923	. . . . 5 |- ( ph -> S. A ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) _d x = S. A ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) - ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) _d x )
94	16, 23	itgreval 21938	. . . . . . 7 |- ( ph -> S. A B _d x = ( S. A if ( 0 <_ B , B , 0 ) _d x - S. A if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) _d x ) )
95	94	oveq2d 6298	. . . . . 6 |- ( ph -> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. S. A B _d x ) = ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. ( S. A if ( 0 <_ B , B , 0 ) _d x - S. A if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) _d x ) ) )
96	55, 58	itgcl 21925	. . . . . . 7 |- ( ph -> S. A if ( 0 <_ B , B , 0 ) _d x e. CC )
97	72, 73	itgcl 21925	. . . . . . 7 |- ( ph -> S. A if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) _d x e. CC )
98	9, 96, 97	subdid 10008	. . . . . 6 |- ( ph -> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. ( S. A if ( 0 <_ B , B , 0 ) _d x - S. A if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) _d x ) ) = ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. S. A if ( 0 <_ B , B , 0 ) _d x ) - ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. S. A if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) _d x ) ) )
99		max1 11382	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ C e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ C , C , 0 ) )
100	6, 1, 99	sylancr 663	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ if ( 0 <_ C , C , 0 ) )
101		max1 11382	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ B e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ B , B , 0 ) )
102	6, 16, 101	sylancr 663	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ if ( 0 <_ B , B , 0 ) )
103	9, 55, 58, 66, 8, 55, 100, 102	itgmulc2nclem1 29658	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. S. A if ( 0 <_ B , B , 0 ) _d x ) = S. A ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) _d x )
104		max1 11382	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ -u B e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) )
105	6, 70, 104	sylancr 663	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) )
106	9, 72, 73, 82, 8, 72, 100, 105	itgmulc2nclem1 29658	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. S. A if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) _d x ) = S. A ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) _d x )
107	103, 106	oveq12d 6300	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. S. A if ( 0 <_ B , B , 0 ) _d x ) - ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. S. A if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) _d x ) ) = ( S. A ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) _d x - S. A ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) _d x ) )
108	95, 98, 107	3eqtrd 2512	. . . . 5 |- ( ph -> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. S. A B _d x ) = ( S. A ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) _d x - S. A ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) _d x ) )
109	92, 93, 108	3eqtr4d 2518	. . . 4 |- ( ph -> S. A ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) _d x = ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. S. A B _d x ) )
110		ovex 6307	. . . . . . 7 |- ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. _V
111	110	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. _V )
112	27, 42, 55, 44, 59	offval2 6538	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A X. { if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) } ) oF x. ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ) = ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ) )
113	61, 13, 64	mbfmulc2re 21790	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A X. { if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) } ) oF x. ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ) e. MblFn )
114	112, 113	eqeltrrd 2556	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ) e. MblFn )
115	14, 55, 58, 114	iblmulc2nc 29657	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ) e. L^1 )
116		ovex 6307	. . . . . . 7 |- ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) e. _V
117	116	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) e. _V )
118	27, 42, 72, 44, 74	offval2 6538	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A X. { if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) } ) oF x. ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) = ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) )
119	77, 13, 80	mbfmulc2re 21790	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A X. { if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) } ) oF x. ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) e. MblFn )
120	118, 119	eqeltrrd 2556	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) e. MblFn )
121	14, 72, 73, 120	iblmulc2nc 29657	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) e. L^1 )
122	85	oveq2d 6298	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) - if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) = ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) )
123	15, 62, 78	subdid 10008	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) - if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) = ( ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) )
124	122, 123	eqtr3d 2510	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) = ( ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) )
125	124	mpteq2dva 4533	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) ) = ( x e. A |-> ( ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) ) )
126	45, 125	eqtrd 2508	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( A X. { if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) } ) oF x. ( x e. A |-> B ) ) = ( x e. A |-> ( ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) ) )
127	126, 46	eqeltrrd 2556	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) ) e. MblFn )
128	111, 115, 117, 121, 127	itgsubnc 29654	. . . . 5 |- ( ph -> S. A ( ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) _d x = ( S. A ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) _d x - S. A ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) _d x ) )
129	124	itgeq2dv 21923	. . . . 5 |- ( ph -> S. A ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) _d x = S. A ( ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) _d x )
130	94	oveq2d 6298	. . . . . 6 |- ( ph -> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. S. A B _d x ) = ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. ( S. A if ( 0 <_ B , B , 0 ) _d x - S. A if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) _d x ) ) )
131	14, 96, 97	subdid 10008	. . . . . 6 |- ( ph -> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. ( S. A if ( 0 <_ B , B , 0 ) _d x - S. A if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) _d x ) ) = ( ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. S. A if ( 0 <_ B , B , 0 ) _d x ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. S. A if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) _d x ) ) )
132		max1 11382	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ -u C e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) )
133	6, 11, 132	sylancr 663	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) )
134	14, 55, 58, 114, 13, 55, 133, 102	itgmulc2nclem1 29658	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. S. A if ( 0 <_ B , B , 0 ) _d x ) = S. A ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) _d x )
135	14, 72, 73, 120, 13, 72, 133, 105	itgmulc2nclem1 29658	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. S. A if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) _d x ) = S. A ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) _d x )
136	134, 135	oveq12d 6300	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. S. A if ( 0 <_ B , B , 0 ) _d x ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. S. A if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) _d x ) ) = ( S. A ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) _d x - S. A ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) _d x ) )
137	130, 131, 136	3eqtrd 2512	. . . . 5 |- ( ph -> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. S. A B _d x ) = ( S. A ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) _d x - S. A ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) _d x ) )
138	128, 129, 137	3eqtr4d 2518	. . . 4 |- ( ph -> S. A ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) _d x = ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. S. A B _d x ) )
139	109, 138	oveq12d 6300	. . 3 |- ( ph -> ( S. A ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) _d x - S. A ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) _d x ) = ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. S. A B _d x ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. S. A B _d x ) ) )
140	16, 23	itgcl 21925	. . . 4 |- ( ph -> S. A B _d x e. CC )
141	9, 14, 140	subdird 10009	. . 3 |- ( ph -> ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) - if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) ) x. S. A B _d x ) = ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. S. A B _d x ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. S. A B _d x ) ) )
142	3	oveq1d 6297	. . 3 |- ( ph -> ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) - if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) ) x. S. A B _d x ) = ( C x. S. A B _d x ) )
143	139, 141, 142	3eqtr2d 2514	. 2 |- ( ph -> ( S. A ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) _d x - S. A ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) _d x ) = ( C x. S. A B _d x ) )
144	20, 51, 143	3eqtrrd 2513	1 |- ( ph -> ( C x. S. A B _d x ) = S. A ( C x. B ) _d x )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   _Vcvv 3113   ifcif 3939   {csn 4027   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   X. cxp 4997   dom cdm 4999  (class class class)co 6282   oFcof 6520   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   x. cmul 9493   <_ cle 9625   - cmin 9801   -ucneg 9802   volcvol 21610  MblFncmbf 21758   L^1cibl 21761   S.citg 21762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-ofr 6523  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11961  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-clim 13270  df-sum 13468  df-rest 14674  df-topgen 14695  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-cmp 19653  df-ovol 21611  df-vol 21612  df-mbf 21763  df-itg1 21764  df-itg2 21765  df-ibl 21766  df-itg 21767  df-0p 21812

This theorem is referenced by:  itgmulc2nc  29660