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Theorem itgmulc2nclem2 31455
Description: Lemma for itgmulc2nc 31456; cf. itgmulc2lem2 22531. (Contributed by Brendan Leahy, 19-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
itgmulc2nc.1  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
itgmulc2nc.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
itgmulc2nc.3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
itgmulc2nc.m  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  e. MblFn )
itgmulc2nc.4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
itgmulc2nc.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
itgmulc2nclem2  |-  ( ph  ->  ( C  x.  S. A B  _d x
)  =  S. A
( C  x.  B
)  _d x )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    ph, x    x, V
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem itgmulc2nclem2
StepHypRef Expression
1 itgmulc2nc.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
2 max0sub 11448 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  =  C )
31, 2syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  =  C )
43oveq1d 6293 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  x.  B )  =  ( C  x.  B ) )
54adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  x.  B
)  =  ( C  x.  B ) )
6 0re 9626 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
7 ifcl 3927 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  e.  RR )
81, 6, 7sylancl 660 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  e.  RR )
98recnd 9652 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  e.  CC )
109adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  e.  CC )
111renegcld 10027 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u C  e.  RR )
12 ifcl 3927 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u C  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  e.  RR )
1311, 6, 12sylancl 660 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  e.  RR )
1413recnd 9652 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  e.  CC )
1514adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  e.  CC )
16 itgmulc2nc.5 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
1716recnd 9652 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
1810, 15, 17subdird 10054 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  x.  B
)  =  ( ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  B
)  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B ) ) )
195, 18eqtr3d 2445 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  x.  B )  =  ( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  B )  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B ) ) )
2019itgeq2dv 22480 . 2  |-  ( ph  ->  S. A ( C  x.  B )  _d x  =  S. A
( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  B )  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B ) )  _d x )
21 ovex 6306 . . . 4  |-  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  B )  e. 
_V
2221a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  B )  e. 
_V )
23 itgmulc2nc.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
24 itgmulc2nc.m . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  e. MblFn )
25 ovex 6306 . . . . . . . 8  |-  ( C  x.  B )  e. 
_V
2625a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  x.  B )  e.  _V )
2724, 26mbfdm2 22337 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
288adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  e.  RR )
29 fconstmpt 4867 . . . . . . 7  |-  ( A  X.  { if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) } )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )
3029a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  X.  { if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) } )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
31 eqidd 2403 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
3227, 28, 16, 30, 31offval2 6538 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) } )  oF  x.  (
x  e.  A  |->  B ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  B
) ) )
33 iblmbf 22466 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
3423, 33syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
35 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
3617, 35fmptd 6033 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
3734, 8, 36mbfmulc2re 22347 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) } )  oF  x.  (
x  e.  A  |->  B ) )  e. MblFn )
3832, 37eqeltrrd 2491 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  B ) )  e. MblFn
)
399, 16, 23, 38iblmulc2nc 31453 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  B ) )  e.  L^1 )
40 ovex 6306 . . . 4  |-  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B )  e.  _V
4140a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B )  e.  _V )
4213adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  e.  RR )
43 fconstmpt 4867 . . . . . . 7  |-  ( A  X.  { if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) } )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )
4443a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  X.  { if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) } )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )
4527, 42, 16, 44, 31offval2 6538 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  B ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B ) ) )
4634, 13, 36mbfmulc2re 22347 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  B ) )  e. MblFn
)
4745, 46eqeltrrd 2491 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B ) )  e. MblFn )
4814, 16, 23, 47iblmulc2nc 31453 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B ) )  e.  L^1 )
4919mpteq2dva 4481 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  B )  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B ) ) ) )
5049, 24eqeltrrd 2491 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  B )  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B ) ) )  e. MblFn )
5122, 39, 41, 48, 50itgsubnc 31450 . 2  |-  ( ph  ->  S. A ( ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  B
)  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B ) )  _d x  =  ( S. A ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  B
)  _d x  -  S. A ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B )  _d x ) )
52 ovex 6306 . . . . . . 7  |-  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e.  _V
5352a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e.  _V )
54 ifcl 3927 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  e.  RR )
5516, 6, 54sylancl 660 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR )
5616iblre 22492 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e.  L^1 
/\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e.  L^1 ) ) )
5723, 56mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e.  L^1  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e.  L^1 ) )
5857simpld 457 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e.  L^1 )
59 eqidd 2403 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) )
6027, 28, 55, 30, 59offval2 6538 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) } )  oF  x.  (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) ) )
6116, 34mbfpos 22350 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e. MblFn
)
6255recnd 9652 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  CC )
63 eqid 2402 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
6462, 63fmptd 6033 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) : A --> CC )
6561, 8, 64mbfmulc2re 22347 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) } )  oF  x.  (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) )  e. MblFn )
6660, 65eqeltrrd 2491 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) )  e. MblFn )
679, 55, 58, 66iblmulc2nc 31453 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) )  e.  L^1 )
68 ovex 6306 . . . . . . 7  |-  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e.  _V
6968a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e.  _V )
7016renegcld 10027 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u B  e.  RR )
71 ifcl 3927 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR )
7270, 6, 71sylancl 660 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR )
7357simprd 461 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e.  L^1 )
74 eqidd 2403 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )
7527, 28, 72, 30, 74offval2 6538 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) } )  oF  x.  (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) ) )
7616, 34mbfneg 22349 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u B )  e. MblFn
)
7770, 76mbfpos 22350 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn )
7872recnd 9652 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  CC )
79 eqid 2402 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
8078, 79fmptd 6033 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) : A --> CC )
8177, 8, 80mbfmulc2re 22347 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) } )  oF  x.  (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )  e. MblFn
)
8275, 81eqeltrrd 2491 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )  e. MblFn )
839, 72, 73, 82iblmulc2nc 31453 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )  e.  L^1 )
84 max0sub 11448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  =  B )
8516, 84syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  =  B )
8685oveq2d 6294 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  B
) )
8710, 62, 78subdid 10053 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )  =  ( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  -  ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) ) )
8886, 87eqtr3d 2445 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  B )  =  ( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  -  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) ) )
8988mpteq2dva 4481 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  B ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  -  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) ) ) )
9032, 89eqtrd 2443 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) } )  oF  x.  (
x  e.  A  |->  B ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  -  ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) ) ) )
9190, 37eqeltrrd 2491 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  -  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) ) )  e. MblFn
)
9253, 67, 69, 83, 91itgsubnc 31450 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  -  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )  _d x  =  ( S. A
( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  _d x  -  S. A
( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  _d x ) )
9388itgeq2dv 22480 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  B )  _d x  =  S. A
( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  -  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )  _d x )
9416, 23itgreval 22495 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x ) )
9594oveq2d 6294 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  S. A B  _d x )  =  ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x ) ) )
9655, 58itgcl 22482 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  e.  CC )
9772, 73itgcl 22482 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x  e.  CC )
989, 96, 97subdid 10053 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x ) )  =  ( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x )  -  ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x ) ) )
99 max1 11439 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  0  <_  if (
0  <_  C ,  C ,  0 ) )
1006, 1, 99sylancr 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  if (
0  <_  C ,  C ,  0 ) )
101 max1 11439 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  0  <_  if (
0  <_  B ,  B ,  0 ) )
1026, 16, 101sylancr 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )
1039, 55, 58, 66, 8, 55, 100, 102itgmulc2nclem1 31454 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x )  =  S. A ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  _d x )
104 max1 11439 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u B  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
1056, 70, 104sylancr 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
1069, 72, 73, 82, 8, 72, 100, 105itgmulc2nclem1 31454 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x )  =  S. A ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  _d x )
107103, 106oveq12d 6296 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x )  -  ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x ) )  =  ( S. A ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  _d x  -  S. A ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  _d x ) )
10895, 98, 1073eqtrd 2447 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  S. A B  _d x )  =  ( S. A ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  _d x  -  S. A ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  _d x ) )
10992, 93, 1083eqtr4d 2453 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  B )  _d x  =  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  S. A B  _d x ) )
110 ovex 6306 . . . . . . 7  |-  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e.  _V
111110a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e.  _V )
11227, 42, 55, 44, 59offval2 6538 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) ) )
11361, 13, 64mbfmulc2re 22347 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) )  e. MblFn )
114112, 113eqeltrrd 2491 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) )  e. MblFn )
11514, 55, 58, 114iblmulc2nc 31453 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) )  e.  L^1 )
116 ovex 6306 . . . . . . 7  |-  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e.  _V
117116a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e.  _V )
11827, 42, 72, 44, 74offval2 6538 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) ) )
11977, 13, 80mbfmulc2re 22347 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )  e. MblFn )
120118, 119eqeltrrd 2491 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )  e. MblFn )
12114, 72, 73, 120iblmulc2nc 31453 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )  e.  L^1 )
12285oveq2d 6294 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B ) )
12315, 62, 78subdid 10053 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )  =  ( ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) ) )
124122, 123eqtr3d 2445 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B )  =  ( ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) ) )
125124mpteq2dva 4481 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) ) ) )
12645, 125eqtrd 2443 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  B ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) ) ) )
127126, 46eqeltrrd 2491 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) ) )  e. MblFn
)
128111, 115, 117, 121, 127itgsubnc 31450 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )  _d x  =  ( S. A ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  _d x  -  S. A
( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  _d x ) )
129124itgeq2dv 22480 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B )  _d x  =  S. A ( ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )  _d x )
13094oveq2d 6294 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  S. A B  _d x )  =  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x ) ) )
13114, 96, 97subdid 10053 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x ) )  =  ( ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x )  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x ) ) )
132 max1 11439 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u C  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )
1336, 11, 132sylancr 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  if (
0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )
13414, 55, 58, 114, 13, 55, 133, 102itgmulc2nclem1 31454 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x )  =  S. A ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  _d x )
13514, 72, 73, 120, 13, 72, 133, 105itgmulc2nclem1 31454 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x )  =  S. A ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  _d x )
136134, 135oveq12d 6296 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x )  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x ) )  =  ( S. A
( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  _d x  -  S. A ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  _d x ) )
137130, 131, 1363eqtrd 2447 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  S. A B  _d x )  =  ( S. A ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  _d x  -  S. A
( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  _d x ) )
138128, 129, 1373eqtr4d 2453 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B )  _d x  =  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  S. A B  _d x ) )
139109, 138oveq12d 6296 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S. A ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  B
)  _d x  -  S. A ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B )  _d x )  =  ( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  S. A B  _d x )  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  S. A B  _d x ) ) )
14016, 23itgcl 22482 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  e.  CC )
1419, 14, 140subdird 10054 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  x.  S. A B  _d x )  =  ( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  S. A B  _d x )  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  S. A B  _d x ) ) )
1423oveq1d 6293 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  x.  S. A B  _d x )  =  ( C  x.  S. A B  _d x
) )
143139, 141, 1423eqtr2d 2449 . 2  |-  ( ph  ->  ( S. A ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  B
)  _d x  -  S. A ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B )  _d x )  =  ( C  x.  S. A B  _d x ) )
14420, 51, 1433eqtrrd 2448 1  |-  ( ph  ->  ( C  x.  S. A B  _d x
)  =  S. A
( C  x.  B
)  _d x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3059   ifcif 3885   {csn 3972   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453    X. cxp 4821   dom cdm 4823  (class class class)co 6278    oFcof 6519   CCcc 9520   RRcr 9521   0cc0 9522    x. cmul 9527    <_ cle 9659    - cmin 9841   -ucneg 9842   volcvol 22167  MblFncmbf 22315   L^1cibl 22318   S.citg 22319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-ofr 6522  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fi 7905  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-ioo 11586  df-ico 11588  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-mod 12035  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-clim 13460  df-sum 13658  df-rest 15037  df-topgen 15058  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734  df-mopn 18735  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-cmp 20180  df-ovol 22168  df-vol 22169  df-mbf 22320  df-itg1 22321  df-itg2 22322  df-ibl 22323  df-itg 22324  df-0p 22369
This theorem is referenced by:  itgmulc2nc  31456
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