Theorem itgmulc2nclem2 31455

Description: Lemma for itgmulc2nc 31456; cf. itgmulc2lem2 22531. (Contributed by Brendan Leahy, 19-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgmulc2nc.1	|- ( ph -> C e. CC )
itgmulc2nc.2	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
itgmulc2nc.3	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )
itgmulc2nc.m	|- ( ph -> ( x e. A |-> ( C x. B ) ) e. MblFn )
itgmulc2nc.4	|- ( ph -> C e. RR )
itgmulc2nc.5	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
itgmulc2nclem2	|- ( ph -> ( C x. S. A B _d x ) = S. A ( C x. B ) _d x )

Distinct variable groups:   x, A   x, C   ph, x   x, V

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem itgmulc2nclem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgmulc2nc.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. RR )
2		max0sub 11448	. . . . . . 7 |- ( C e. RR -> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) - if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) ) = C )
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) - if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) ) = C )
4	3	oveq1d 6293	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) - if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) ) x. B ) = ( C x. B ) )
5	4	adantr 463	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) - if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) ) x. B ) = ( C x. B ) )
6		0re 9626	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
7		ifcl 3927	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ C , C , 0 ) e. RR )
8	1, 6, 7	sylancl 660	. . . . . . 7 |- ( ph -> if ( 0 <_ C , C , 0 ) e. RR )
9	8	recnd 9652	. . . . . 6 |- ( ph -> if ( 0 <_ C , C , 0 ) e. CC )
10	9	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ C , C , 0 ) e. CC )
11	1	renegcld 10027	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -u C e. RR )
12		ifcl 3927	. . . . . . . 8 |- ( ( -u C e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) e. RR )
13	11, 6, 12	sylancl 660	. . . . . . 7 |- ( ph -> if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) e. RR )
14	13	recnd 9652	. . . . . 6 |- ( ph -> if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) e. CC )
15	14	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) e. CC )
16		itgmulc2nc.5	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
17	16	recnd 9652	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC )
18	10, 15, 17	subdird 10054	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) - if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) ) x. B ) = ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) ) )
19	5, 18	eqtr3d 2445	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( C x. B ) = ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) ) )
20	19	itgeq2dv 22480	. 2 |- ( ph -> S. A ( C x. B ) _d x = S. A ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) ) _d x )
21		ovex 6306	. . . 4 |- ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) e. _V
22	21	a1i 11	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) e. _V )
23		itgmulc2nc.3	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )
24		itgmulc2nc.m	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( C x. B ) ) e. MblFn )
25		ovex 6306	. . . . . . . 8 |- ( C x. B ) e. _V
26	25	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( C x. B ) e. _V )
27	24, 26	mbfdm2 22337	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. dom vol )
28	8	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ C , C , 0 ) e. RR )
29		fconstmpt 4867	. . . . . . 7 |- ( A X. { if ( 0 <_ C , C , 0 ) } ) = ( x e. A |-> if ( 0 <_ C , C , 0 ) )
30	29	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A X. { if ( 0 <_ C , C , 0 ) } ) = ( x e. A |-> if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) )
31		eqidd 2403	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B ) )
32	27, 28, 16, 30, 31	offval2 6538	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A X. { if ( 0 <_ C , C , 0 ) } ) oF x. ( x e. A |-> B ) ) = ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) ) )
33		iblmbf 22466	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
34	23, 33	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
35		eqid 2402	. . . . . . 7 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
36	17, 35	fmptd 6033	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) : A --> CC )
37	34, 8, 36	mbfmulc2re 22347	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A X. { if ( 0 <_ C , C , 0 ) } ) oF x. ( x e. A |-> B ) ) e. MblFn )
38	32, 37	eqeltrrd 2491	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) ) e. MblFn )
39	9, 16, 23, 38	iblmulc2nc 31453	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) ) e. L^1 )
40		ovex 6306	. . . 4 |- ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) e. _V
41	40	a1i 11	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) e. _V )
42	13	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) e. RR )
43		fconstmpt 4867	. . . . . . 7 |- ( A X. { if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) } ) = ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) )
44	43	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A X. { if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) } ) = ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) ) )
45	27, 42, 16, 44, 31	offval2 6538	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A X. { if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) } ) oF x. ( x e. A |-> B ) ) = ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) ) )
46	34, 13, 36	mbfmulc2re 22347	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A X. { if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) } ) oF x. ( x e. A |-> B ) ) e. MblFn )
47	45, 46	eqeltrrd 2491	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) ) e. MblFn )
48	14, 16, 23, 47	iblmulc2nc 31453	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) ) e. L^1 )
49	19	mpteq2dva 4481	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( C x. B ) ) = ( x e. A |-> ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) ) ) )
50	49, 24	eqeltrrd 2491	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) ) ) e. MblFn )
51	22, 39, 41, 48, 50	itgsubnc 31450	. 2 |- ( ph -> S. A ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) ) _d x = ( S. A ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) _d x - S. A ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) _d x ) )
52		ovex 6306	. . . . . . 7 |- ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. _V
53	52	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. _V )
54		ifcl 3927	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR )
55	16, 6, 54	sylancl 660	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR )
56	16	iblre 22492	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. L^1 /\ ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) e. L^1 ) ) )
57	23, 56	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. L^1 /\ ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) e. L^1 ) )
58	57	simpld 457	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. L^1 )
59		eqidd 2403	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) = ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) )
60	27, 28, 55, 30, 59	offval2 6538	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A X. { if ( 0 <_ C , C , 0 ) } ) oF x. ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ) = ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ) )
61	16, 34	mbfpos 22350	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. MblFn )
62	55	recnd 9652	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. CC )
63		eqid 2402	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) = ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) )
64	62, 63	fmptd 6033	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) : A --> CC )
65	61, 8, 64	mbfmulc2re 22347	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A X. { if ( 0 <_ C , C , 0 ) } ) oF x. ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ) e. MblFn )
66	60, 65	eqeltrrd 2491	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ) e. MblFn )
67	9, 55, 58, 66	iblmulc2nc 31453	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ) e. L^1 )
68		ovex 6306	. . . . . . 7 |- ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) e. _V
69	68	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) e. _V )
70	16	renegcld 10027	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> -u B e. RR )
71		ifcl 3927	. . . . . . . 8 |- ( ( -u B e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. RR )
72	70, 6, 71	sylancl 660	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. RR )
73	57	simprd 461	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) e. L^1 )
74		eqidd 2403	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) = ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) )
75	27, 28, 72, 30, 74	offval2 6538	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A X. { if ( 0 <_ C , C , 0 ) } ) oF x. ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) = ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) )
76	16, 34	mbfneg 22349	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. A |-> -u B ) e. MblFn )
77	70, 76	mbfpos 22350	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) e. MblFn )
78	72	recnd 9652	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. CC )
79		eqid 2402	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) = ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) )
80	78, 79	fmptd 6033	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) : A --> CC )
81	77, 8, 80	mbfmulc2re 22347	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A X. { if ( 0 <_ C , C , 0 ) } ) oF x. ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) e. MblFn )
82	75, 81	eqeltrrd 2491	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) e. MblFn )
83	9, 72, 73, 82	iblmulc2nc 31453	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) e. L^1 )
84		max0sub 11448	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. RR -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) - if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) = B )
85	16, 84	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) - if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) = B )
86	85	oveq2d 6294	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) - if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) = ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) )
87	10, 62, 78	subdid 10053	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) - if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) = ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) - ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) )
88	86, 87	eqtr3d 2445	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) = ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) - ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) )
89	88	mpteq2dva 4481	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) ) = ( x e. A |-> ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) - ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) ) )
90	32, 89	eqtrd 2443	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( A X. { if ( 0 <_ C , C , 0 ) } ) oF x. ( x e. A |-> B ) ) = ( x e. A |-> ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) - ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) ) )
91	90, 37	eqeltrrd 2491	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) - ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) ) e. MblFn )
92	53, 67, 69, 83, 91	itgsubnc 31450	. . . . 5 |- ( ph -> S. A ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) - ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) _d x = ( S. A ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) _d x - S. A ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) _d x ) )
93	88	itgeq2dv 22480	. . . . 5 |- ( ph -> S. A ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) _d x = S. A ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) - ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) _d x )
94	16, 23	itgreval 22495	. . . . . . 7 |- ( ph -> S. A B _d x = ( S. A if ( 0 <_ B , B , 0 ) _d x - S. A if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) _d x ) )
95	94	oveq2d 6294	. . . . . 6 |- ( ph -> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. S. A B _d x ) = ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. ( S. A if ( 0 <_ B , B , 0 ) _d x - S. A if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) _d x ) ) )
96	55, 58	itgcl 22482	. . . . . . 7 |- ( ph -> S. A if ( 0 <_ B , B , 0 ) _d x e. CC )
97	72, 73	itgcl 22482	. . . . . . 7 |- ( ph -> S. A if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) _d x e. CC )
98	9, 96, 97	subdid 10053	. . . . . 6 |- ( ph -> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. ( S. A if ( 0 <_ B , B , 0 ) _d x - S. A if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) _d x ) ) = ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. S. A if ( 0 <_ B , B , 0 ) _d x ) - ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. S. A if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) _d x ) ) )
99		max1 11439	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ C e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ C , C , 0 ) )
100	6, 1, 99	sylancr 661	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ if ( 0 <_ C , C , 0 ) )
101		max1 11439	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ B e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ B , B , 0 ) )
102	6, 16, 101	sylancr 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ if ( 0 <_ B , B , 0 ) )
103	9, 55, 58, 66, 8, 55, 100, 102	itgmulc2nclem1 31454	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. S. A if ( 0 <_ B , B , 0 ) _d x ) = S. A ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) _d x )
104		max1 11439	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ -u B e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) )
105	6, 70, 104	sylancr 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) )
106	9, 72, 73, 82, 8, 72, 100, 105	itgmulc2nclem1 31454	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. S. A if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) _d x ) = S. A ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) _d x )
107	103, 106	oveq12d 6296	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. S. A if ( 0 <_ B , B , 0 ) _d x ) - ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. S. A if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) _d x ) ) = ( S. A ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) _d x - S. A ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) _d x ) )
108	95, 98, 107	3eqtrd 2447	. . . . 5 |- ( ph -> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. S. A B _d x ) = ( S. A ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) _d x - S. A ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) _d x ) )
109	92, 93, 108	3eqtr4d 2453	. . . 4 |- ( ph -> S. A ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) _d x = ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. S. A B _d x ) )
110		ovex 6306	. . . . . . 7 |- ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. _V
111	110	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. _V )
112	27, 42, 55, 44, 59	offval2 6538	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A X. { if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) } ) oF x. ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ) = ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ) )
113	61, 13, 64	mbfmulc2re 22347	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A X. { if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) } ) oF x. ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ) e. MblFn )
114	112, 113	eqeltrrd 2491	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ) e. MblFn )
115	14, 55, 58, 114	iblmulc2nc 31453	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ) e. L^1 )
116		ovex 6306	. . . . . . 7 |- ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) e. _V
117	116	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) e. _V )
118	27, 42, 72, 44, 74	offval2 6538	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A X. { if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) } ) oF x. ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) = ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) )
119	77, 13, 80	mbfmulc2re 22347	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A X. { if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) } ) oF x. ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) e. MblFn )
120	118, 119	eqeltrrd 2491	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) e. MblFn )
121	14, 72, 73, 120	iblmulc2nc 31453	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) e. L^1 )
122	85	oveq2d 6294	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) - if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) = ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) )
123	15, 62, 78	subdid 10053	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) - if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) = ( ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) )
124	122, 123	eqtr3d 2445	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) = ( ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) )
125	124	mpteq2dva 4481	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) ) = ( x e. A |-> ( ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) ) )
126	45, 125	eqtrd 2443	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( A X. { if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) } ) oF x. ( x e. A |-> B ) ) = ( x e. A |-> ( ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) ) )
127	126, 46	eqeltrrd 2491	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) ) e. MblFn )
128	111, 115, 117, 121, 127	itgsubnc 31450	. . . . 5 |- ( ph -> S. A ( ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) _d x = ( S. A ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) _d x - S. A ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) _d x ) )
129	124	itgeq2dv 22480	. . . . 5 |- ( ph -> S. A ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) _d x = S. A ( ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) _d x )
130	94	oveq2d 6294	. . . . . 6 |- ( ph -> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. S. A B _d x ) = ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. ( S. A if ( 0 <_ B , B , 0 ) _d x - S. A if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) _d x ) ) )
131	14, 96, 97	subdid 10053	. . . . . 6 |- ( ph -> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. ( S. A if ( 0 <_ B , B , 0 ) _d x - S. A if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) _d x ) ) = ( ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. S. A if ( 0 <_ B , B , 0 ) _d x ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. S. A if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) _d x ) ) )
132		max1 11439	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ -u C e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) )
133	6, 11, 132	sylancr 661	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) )
134	14, 55, 58, 114, 13, 55, 133, 102	itgmulc2nclem1 31454	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. S. A if ( 0 <_ B , B , 0 ) _d x ) = S. A ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) _d x )
135	14, 72, 73, 120, 13, 72, 133, 105	itgmulc2nclem1 31454	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. S. A if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) _d x ) = S. A ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) _d x )
136	134, 135	oveq12d 6296	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. S. A if ( 0 <_ B , B , 0 ) _d x ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. S. A if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) _d x ) ) = ( S. A ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) _d x - S. A ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) _d x ) )
137	130, 131, 136	3eqtrd 2447	. . . . 5 |- ( ph -> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. S. A B _d x ) = ( S. A ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) _d x - S. A ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) _d x ) )
138	128, 129, 137	3eqtr4d 2453	. . . 4 |- ( ph -> S. A ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) _d x = ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. S. A B _d x ) )
139	109, 138	oveq12d 6296	. . 3 |- ( ph -> ( S. A ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) _d x - S. A ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) _d x ) = ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. S. A B _d x ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. S. A B _d x ) ) )
140	16, 23	itgcl 22482	. . . 4 |- ( ph -> S. A B _d x e. CC )
141	9, 14, 140	subdird 10054	. . 3 |- ( ph -> ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) - if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) ) x. S. A B _d x ) = ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. S. A B _d x ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. S. A B _d x ) ) )
142	3	oveq1d 6293	. . 3 |- ( ph -> ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) - if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) ) x. S. A B _d x ) = ( C x. S. A B _d x ) )
143	139, 141, 142	3eqtr2d 2449	. 2 |- ( ph -> ( S. A ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) _d x - S. A ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) _d x ) = ( C x. S. A B _d x ) )
144	20, 51, 143	3eqtrrd 2448	1 |- ( ph -> ( C x. S. A B _d x ) = S. A ( C x. B ) _d x )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   = wceq 1405   e. wcel 1842   _Vcvv 3059   ifcif 3885   {csn 3972   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4453   X. cxp 4821   dom cdm 4823  (class class class)co 6278   oFcof 6519   CCcc 9520   RRcr 9521   0cc0 9522   x. cmul 9527   <_ cle 9659   - cmin 9841   -ucneg 9842   volcvol 22167  MblFncmbf 22315   L^1cibl 22318   S.citg 22319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-ofr 6522  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fi 7905  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-ioo 11586  df-ico 11588  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-mod 12035  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-clim 13460  df-sum 13658  df-rest 15037  df-topgen 15058  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734  df-mopn 18735  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-cmp 20180  df-ovol 22168  df-vol 22169  df-mbf 22320  df-itg1 22321  df-itg2 22322  df-ibl 22323  df-itg 22324  df-0p 22369

This theorem is referenced by:  itgmulc2nc  31456