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Theorem itgmulc2nclem2 29659
Description: Lemma for itgmulc2nc 29660; cf. itgmulc2lem2 21974. (Contributed by Brendan Leahy, 19-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
itgmulc2nc.1  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
itgmulc2nc.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
itgmulc2nc.3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
itgmulc2nc.m  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  e. MblFn )
itgmulc2nc.4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
itgmulc2nc.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
itgmulc2nclem2  |-  ( ph  ->  ( C  x.  S. A B  _d x
)  =  S. A
( C  x.  B
)  _d x )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    ph, x    x, V
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem itgmulc2nclem2
StepHypRef Expression
1 itgmulc2nc.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
2 max0sub 11391 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  =  C )
31, 2syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  =  C )
43oveq1d 6297 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  x.  B )  =  ( C  x.  B ) )
54adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  x.  B
)  =  ( C  x.  B ) )
6 0re 9592 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
7 ifcl 3981 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  e.  RR )
81, 6, 7sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  e.  RR )
98recnd 9618 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  e.  CC )
109adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  e.  CC )
111renegcld 9982 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u C  e.  RR )
12 ifcl 3981 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u C  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  e.  RR )
1311, 6, 12sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  e.  RR )
1413recnd 9618 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  e.  CC )
1514adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  e.  CC )
16 itgmulc2nc.5 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
1716recnd 9618 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
1810, 15, 17subdird 10009 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  x.  B
)  =  ( ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  B
)  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B ) ) )
195, 18eqtr3d 2510 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  x.  B )  =  ( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  B )  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B ) ) )
2019itgeq2dv 21923 . 2  |-  ( ph  ->  S. A ( C  x.  B )  _d x  =  S. A
( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  B )  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B ) )  _d x )
21 ovex 6307 . . . 4  |-  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  B )  e. 
_V
2221a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  B )  e. 
_V )
23 itgmulc2nc.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
24 itgmulc2nc.m . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  e. MblFn )
25 ovex 6307 . . . . . . . 8  |-  ( C  x.  B )  e. 
_V
2625a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  x.  B )  e.  _V )
2724, 26mbfdm2 21780 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
288adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  e.  RR )
29 fconstmpt 5042 . . . . . . 7  |-  ( A  X.  { if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) } )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )
3029a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  X.  { if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) } )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
31 eqidd 2468 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
3227, 28, 16, 30, 31offval2 6538 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) } )  oF  x.  (
x  e.  A  |->  B ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  B
) ) )
33 iblmbf 21909 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
3423, 33syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
35 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
3617, 35fmptd 6043 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
3734, 8, 36mbfmulc2re 21790 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) } )  oF  x.  (
x  e.  A  |->  B ) )  e. MblFn )
3832, 37eqeltrrd 2556 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  B ) )  e. MblFn
)
399, 16, 23, 38iblmulc2nc 29657 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  B ) )  e.  L^1 )
40 ovex 6307 . . . 4  |-  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B )  e.  _V
4140a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B )  e.  _V )
4213adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  e.  RR )
43 fconstmpt 5042 . . . . . . 7  |-  ( A  X.  { if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) } )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )
4443a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  X.  { if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) } )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )
4527, 42, 16, 44, 31offval2 6538 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  B ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B ) ) )
4634, 13, 36mbfmulc2re 21790 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  B ) )  e. MblFn
)
4745, 46eqeltrrd 2556 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B ) )  e. MblFn )
4814, 16, 23, 47iblmulc2nc 29657 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B ) )  e.  L^1 )
4919mpteq2dva 4533 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  B )  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B ) ) ) )
5049, 24eqeltrrd 2556 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  B )  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B ) ) )  e. MblFn )
5122, 39, 41, 48, 50itgsubnc 29654 . 2  |-  ( ph  ->  S. A ( ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  B
)  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B ) )  _d x  =  ( S. A ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  B
)  _d x  -  S. A ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B )  _d x ) )
52 ovex 6307 . . . . . . 7  |-  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e.  _V
5352a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e.  _V )
54 ifcl 3981 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  e.  RR )
5516, 6, 54sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR )
5616iblre 21935 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e.  L^1 
/\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e.  L^1 ) ) )
5723, 56mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e.  L^1  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e.  L^1 ) )
5857simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e.  L^1 )
59 eqidd 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) )
6027, 28, 55, 30, 59offval2 6538 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) } )  oF  x.  (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) ) )
6116, 34mbfpos 21793 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e. MblFn
)
6255recnd 9618 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  CC )
63 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
6462, 63fmptd 6043 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) : A --> CC )
6561, 8, 64mbfmulc2re 21790 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) } )  oF  x.  (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) )  e. MblFn )
6660, 65eqeltrrd 2556 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) )  e. MblFn )
679, 55, 58, 66iblmulc2nc 29657 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) )  e.  L^1 )
68 ovex 6307 . . . . . . 7  |-  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e.  _V
6968a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e.  _V )
7016renegcld 9982 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u B  e.  RR )
71 ifcl 3981 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR )
7270, 6, 71sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR )
7357simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e.  L^1 )
74 eqidd 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )
7527, 28, 72, 30, 74offval2 6538 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) } )  oF  x.  (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) ) )
7616, 34mbfneg 21792 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u B )  e. MblFn
)
7770, 76mbfpos 21793 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn )
7872recnd 9618 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  CC )
79 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
8078, 79fmptd 6043 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) : A --> CC )
8177, 8, 80mbfmulc2re 21790 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) } )  oF  x.  (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )  e. MblFn
)
8275, 81eqeltrrd 2556 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )  e. MblFn )
839, 72, 73, 82iblmulc2nc 29657 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )  e.  L^1 )
84 max0sub 11391 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  =  B )
8516, 84syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  =  B )
8685oveq2d 6298 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  B
) )
8710, 62, 78subdid 10008 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )  =  ( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  -  ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) ) )
8886, 87eqtr3d 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  B )  =  ( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  -  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) ) )
8988mpteq2dva 4533 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  B ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  -  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) ) ) )
9032, 89eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) } )  oF  x.  (
x  e.  A  |->  B ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  -  ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) ) ) )
9190, 37eqeltrrd 2556 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  -  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) ) )  e. MblFn
)
9253, 67, 69, 83, 91itgsubnc 29654 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  -  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )  _d x  =  ( S. A
( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  _d x  -  S. A
( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  _d x ) )
9388itgeq2dv 21923 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  B )  _d x  =  S. A
( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  -  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )  _d x )
9416, 23itgreval 21938 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x ) )
9594oveq2d 6298 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  S. A B  _d x )  =  ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x ) ) )
9655, 58itgcl 21925 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  e.  CC )
9772, 73itgcl 21925 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x  e.  CC )
989, 96, 97subdid 10008 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x ) )  =  ( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x )  -  ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x ) ) )
99 max1 11382 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  0  <_  if (
0  <_  C ,  C ,  0 ) )
1006, 1, 99sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  if (
0  <_  C ,  C ,  0 ) )
101 max1 11382 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  0  <_  if (
0  <_  B ,  B ,  0 ) )
1026, 16, 101sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )
1039, 55, 58, 66, 8, 55, 100, 102itgmulc2nclem1 29658 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x )  =  S. A ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  _d x )
104 max1 11382 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u B  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
1056, 70, 104sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
1069, 72, 73, 82, 8, 72, 100, 105itgmulc2nclem1 29658 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x )  =  S. A ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  _d x )
107103, 106oveq12d 6300 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x )  -  ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x ) )  =  ( S. A ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  _d x  -  S. A ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  _d x ) )
10895, 98, 1073eqtrd 2512 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  S. A B  _d x )  =  ( S. A ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  _d x  -  S. A ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  _d x ) )
10992, 93, 1083eqtr4d 2518 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  B )  _d x  =  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  S. A B  _d x ) )
110 ovex 6307 . . . . . . 7  |-  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e.  _V
111110a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e.  _V )
11227, 42, 55, 44, 59offval2 6538 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) ) )
11361, 13, 64mbfmulc2re 21790 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) )  e. MblFn )
114112, 113eqeltrrd 2556 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) )  e. MblFn )
11514, 55, 58, 114iblmulc2nc 29657 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) )  e.  L^1 )
116 ovex 6307 . . . . . . 7  |-  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e.  _V
117116a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e.  _V )
11827, 42, 72, 44, 74offval2 6538 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) ) )
11977, 13, 80mbfmulc2re 21790 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )  e. MblFn )
120118, 119eqeltrrd 2556 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )  e. MblFn )
12114, 72, 73, 120iblmulc2nc 29657 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )  e.  L^1 )
12285oveq2d 6298 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B ) )
12315, 62, 78subdid 10008 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )  =  ( ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) ) )
124122, 123eqtr3d 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B )  =  ( ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) ) )
125124mpteq2dva 4533 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) ) ) )
12645, 125eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  B ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) ) ) )
127126, 46eqeltrrd 2556 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) ) )  e. MblFn
)
128111, 115, 117, 121, 127itgsubnc 29654 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )  _d x  =  ( S. A ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  _d x  -  S. A
( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  _d x ) )
129124itgeq2dv 21923 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B )  _d x  =  S. A ( ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )  _d x )
13094oveq2d 6298 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  S. A B  _d x )  =  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x ) ) )
13114, 96, 97subdid 10008 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x ) )  =  ( ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x )  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x ) ) )
132 max1 11382 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u C  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )
1336, 11, 132sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  if (
0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )
13414, 55, 58, 114, 13, 55, 133, 102itgmulc2nclem1 29658 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x )  =  S. A ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  _d x )
13514, 72, 73, 120, 13, 72, 133, 105itgmulc2nclem1 29658 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x )  =  S. A ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  _d x )
136134, 135oveq12d 6300 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x )  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x ) )  =  ( S. A
( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  _d x  -  S. A ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  _d x ) )
137130, 131, 1363eqtrd 2512 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  S. A B  _d x )  =  ( S. A ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  _d x  -  S. A
( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  _d x ) )
138128, 129, 1373eqtr4d 2518 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B )  _d x  =  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  S. A B  _d x ) )
139109, 138oveq12d 6300 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S. A ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  B
)  _d x  -  S. A ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B )  _d x )  =  ( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  S. A B  _d x )  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  S. A B  _d x ) ) )
14016, 23itgcl 21925 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  e.  CC )
1419, 14, 140subdird 10009 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  x.  S. A B  _d x )  =  ( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  S. A B  _d x )  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  S. A B  _d x ) ) )
1423oveq1d 6297 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  x.  S. A B  _d x )  =  ( C  x.  S. A B  _d x
) )
143139, 141, 1423eqtr2d 2514 . 2  |-  ( ph  ->  ( S. A ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  B
)  _d x  -  S. A ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B )  _d x )  =  ( C  x.  S. A B  _d x ) )
14420, 51, 1433eqtrrd 2513 1  |-  ( ph  ->  ( C  x.  S. A B  _d x
)  =  S. A
( C  x.  B
)  _d x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113   ifcif 3939   {csn 4027   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997   dom cdm 4999  (class class class)co 6282    oFcof 6520   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488    x. cmul 9493    <_ cle 9625    - cmin 9801   -ucneg 9802   volcvol 21610  MblFncmbf 21758   L^1cibl 21761   S.citg 21762
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-ofr 6523  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11961  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-clim 13270  df-sum 13468  df-rest 14674  df-topgen 14695  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-cmp 19653  df-ovol 21611  df-vol 21612  df-mbf 21763  df-itg1 21764  df-itg2 21765  df-ibl 21766  df-itg 21767  df-0p 21812
This theorem is referenced by:  itgmulc2nc  29660
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