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Theorem itgmulc2nclem2 28600
Description: Lemma for itgmulc2nc 28601; cf. itgmulc2lem2 21436. (Contributed by Brendan Leahy, 19-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
itgmulc2nc.1  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
itgmulc2nc.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
itgmulc2nc.3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
itgmulc2nc.m  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  e. MblFn )
itgmulc2nc.4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
itgmulc2nc.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
itgmulc2nclem2  |-  ( ph  ->  ( C  x.  S. A B  _d x
)  =  S. A
( C  x.  B
)  _d x )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    ph, x    x, V
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem itgmulc2nclem2
StepHypRef Expression
1 itgmulc2nc.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
2 max0sub 11270 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  =  C )
31, 2syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  =  C )
43oveq1d 6208 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  x.  B )  =  ( C  x.  B ) )
54adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  x.  B
)  =  ( C  x.  B ) )
6 0re 9490 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
7 ifcl 3932 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  e.  RR )
81, 6, 7sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  e.  RR )
98recnd 9516 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  e.  CC )
109adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  e.  CC )
111renegcld 9879 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u C  e.  RR )
12 ifcl 3932 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u C  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  e.  RR )
1311, 6, 12sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  e.  RR )
1413recnd 9516 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  e.  CC )
1514adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  e.  CC )
16 itgmulc2nc.5 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
1716recnd 9516 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
1810, 15, 17subdird 9905 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  x.  B
)  =  ( ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  B
)  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B ) ) )
195, 18eqtr3d 2494 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  x.  B )  =  ( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  B )  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B ) ) )
2019itgeq2dv 21385 . 2  |-  ( ph  ->  S. A ( C  x.  B )  _d x  =  S. A
( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  B )  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B ) )  _d x )
21 ovex 6218 . . . 4  |-  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  B )  e. 
_V
2221a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  B )  e. 
_V )
23 itgmulc2nc.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
24 itgmulc2nc.m . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  e. MblFn )
25 ovex 6218 . . . . . . . 8  |-  ( C  x.  B )  e. 
_V
2625a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  x.  B )  e.  _V )
2724, 26mbfdm2 21242 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
288adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  e.  RR )
29 fconstmpt 4983 . . . . . . 7  |-  ( A  X.  { if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) } )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )
3029a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  X.  { if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) } )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
31 eqidd 2452 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
3227, 28, 16, 30, 31offval2 6439 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) } )  oF  x.  (
x  e.  A  |->  B ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  B
) ) )
33 iblmbf 21371 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
3423, 33syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
35 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
3617, 35fmptd 5969 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
3734, 8, 36mbfmulc2re 21252 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) } )  oF  x.  (
x  e.  A  |->  B ) )  e. MblFn )
3832, 37eqeltrrd 2540 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  B ) )  e. MblFn
)
399, 16, 23, 38iblmulc2nc 28598 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  B ) )  e.  L^1 )
40 ovex 6218 . . . 4  |-  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B )  e.  _V
4140a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B )  e.  _V )
4213adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  e.  RR )
43 fconstmpt 4983 . . . . . . 7  |-  ( A  X.  { if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) } )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )
4443a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  X.  { if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) } )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )
4527, 42, 16, 44, 31offval2 6439 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  B ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B ) ) )
4634, 13, 36mbfmulc2re 21252 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  B ) )  e. MblFn
)
4745, 46eqeltrrd 2540 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B ) )  e. MblFn )
4814, 16, 23, 47iblmulc2nc 28598 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B ) )  e.  L^1 )
4919mpteq2dva 4479 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  B )  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B ) ) ) )
5049, 24eqeltrrd 2540 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  B )  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B ) ) )  e. MblFn )
5122, 39, 41, 48, 50itgsubnc 28595 . 2  |-  ( ph  ->  S. A ( ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  B
)  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B ) )  _d x  =  ( S. A ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  B
)  _d x  -  S. A ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B )  _d x ) )
52 ovex 6218 . . . . . . 7  |-  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e.  _V
5352a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e.  _V )
54 ifcl 3932 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  e.  RR )
5516, 6, 54sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR )
5616iblre 21397 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e.  L^1 
/\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e.  L^1 ) ) )
5723, 56mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e.  L^1  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e.  L^1 ) )
5857simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e.  L^1 )
59 eqidd 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) )
6027, 28, 55, 30, 59offval2 6439 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) } )  oF  x.  (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) ) )
6116, 34mbfpos 21255 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e. MblFn
)
6255recnd 9516 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  CC )
63 eqid 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
6462, 63fmptd 5969 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) : A --> CC )
6561, 8, 64mbfmulc2re 21252 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) } )  oF  x.  (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) )  e. MblFn )
6660, 65eqeltrrd 2540 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) )  e. MblFn )
679, 55, 58, 66iblmulc2nc 28598 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) )  e.  L^1 )
68 ovex 6218 . . . . . . 7  |-  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e.  _V
6968a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e.  _V )
7016renegcld 9879 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u B  e.  RR )
71 ifcl 3932 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR )
7270, 6, 71sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR )
7357simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e.  L^1 )
74 eqidd 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )
7527, 28, 72, 30, 74offval2 6439 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) } )  oF  x.  (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) ) )
7616, 34mbfneg 21254 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u B )  e. MblFn
)
7770, 76mbfpos 21255 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn )
7872recnd 9516 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  CC )
79 eqid 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
8078, 79fmptd 5969 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) : A --> CC )
8177, 8, 80mbfmulc2re 21252 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) } )  oF  x.  (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )  e. MblFn
)
8275, 81eqeltrrd 2540 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )  e. MblFn )
839, 72, 73, 82iblmulc2nc 28598 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )  e.  L^1 )
84 max0sub 11270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  =  B )
8516, 84syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  =  B )
8685oveq2d 6209 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  B
) )
8710, 62, 78subdid 9904 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )  =  ( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  -  ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) ) )
8886, 87eqtr3d 2494 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  B )  =  ( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  -  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) ) )
8988mpteq2dva 4479 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  B ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  -  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) ) ) )
9032, 89eqtrd 2492 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) } )  oF  x.  (
x  e.  A  |->  B ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  -  ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) ) ) )
9190, 37eqeltrrd 2540 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  -  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) ) )  e. MblFn
)
9253, 67, 69, 83, 91itgsubnc 28595 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  -  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )  _d x  =  ( S. A
( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  _d x  -  S. A
( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  _d x ) )
9388itgeq2dv 21385 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  B )  _d x  =  S. A
( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  -  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )  _d x )
9416, 23itgreval 21400 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x ) )
9594oveq2d 6209 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  S. A B  _d x )  =  ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x ) ) )
9655, 58itgcl 21387 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  e.  CC )
9772, 73itgcl 21387 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x  e.  CC )
989, 96, 97subdid 9904 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x ) )  =  ( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x )  -  ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x ) ) )
99 max1 11261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  0  <_  if (
0  <_  C ,  C ,  0 ) )
1006, 1, 99sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  if (
0  <_  C ,  C ,  0 ) )
101 max1 11261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  0  <_  if (
0  <_  B ,  B ,  0 ) )
1026, 16, 101sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )
1039, 55, 58, 66, 8, 55, 100, 102itgmulc2nclem1 28599 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x )  =  S. A ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  _d x )
104 max1 11261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u B  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
1056, 70, 104sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
1069, 72, 73, 82, 8, 72, 100, 105itgmulc2nclem1 28599 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x )  =  S. A ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  _d x )
107103, 106oveq12d 6211 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x )  -  ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x ) )  =  ( S. A ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  _d x  -  S. A ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  _d x ) )
10895, 98, 1073eqtrd 2496 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  S. A B  _d x )  =  ( S. A ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  _d x  -  S. A ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  _d x ) )
10992, 93, 1083eqtr4d 2502 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  B )  _d x  =  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  S. A B  _d x ) )
110 ovex 6218 . . . . . . 7  |-  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e.  _V
111110a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e.  _V )
11227, 42, 55, 44, 59offval2 6439 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) ) )
11361, 13, 64mbfmulc2re 21252 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) )  e. MblFn )
114112, 113eqeltrrd 2540 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) )  e. MblFn )
11514, 55, 58, 114iblmulc2nc 28598 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) )  e.  L^1 )
116 ovex 6218 . . . . . . 7  |-  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e.  _V
117116a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e.  _V )
11827, 42, 72, 44, 74offval2 6439 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) ) )
11977, 13, 80mbfmulc2re 21252 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )  e. MblFn )
120118, 119eqeltrrd 2540 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )  e. MblFn )
12114, 72, 73, 120iblmulc2nc 28598 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )  e.  L^1 )
12285oveq2d 6209 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B ) )
12315, 62, 78subdid 9904 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )  =  ( ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) ) )
124122, 123eqtr3d 2494 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B )  =  ( ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) ) )
125124mpteq2dva 4479 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) ) ) )
12645, 125eqtrd 2492 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  B ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) ) ) )
127126, 46eqeltrrd 2540 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) ) )  e. MblFn
)
128111, 115, 117, 121, 127itgsubnc 28595 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )  _d x  =  ( S. A ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  _d x  -  S. A
( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  _d x ) )
129124itgeq2dv 21385 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B )  _d x  =  S. A ( ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )  _d x )
13094oveq2d 6209 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  S. A B  _d x )  =  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x ) ) )
13114, 96, 97subdid 9904 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x ) )  =  ( ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x )  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x ) ) )
132 max1 11261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u C  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )
1336, 11, 132sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  if (
0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )
13414, 55, 58, 114, 13, 55, 133, 102itgmulc2nclem1 28599 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x )  =  S. A ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  _d x )
13514, 72, 73, 120, 13, 72, 133, 105itgmulc2nclem1 28599 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x )  =  S. A ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  _d x )
136134, 135oveq12d 6211 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x )  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x ) )  =  ( S. A
( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  _d x  -  S. A ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  _d x ) )
137130, 131, 1363eqtrd 2496 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  S. A B  _d x )  =  ( S. A ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  _d x  -  S. A
( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  _d x ) )
138128, 129, 1373eqtr4d 2502 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B )  _d x  =  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  S. A B  _d x ) )
139109, 138oveq12d 6211 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S. A ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  B
)  _d x  -  S. A ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B )  _d x )  =  ( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  S. A B  _d x )  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  S. A B  _d x ) ) )
14016, 23itgcl 21387 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  e.  CC )
1419, 14, 140subdird 9905 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  x.  S. A B  _d x )  =  ( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  x.  S. A B  _d x )  -  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  S. A B  _d x ) ) )
1423oveq1d 6208 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  x.  S. A B  _d x )  =  ( C  x.  S. A B  _d x
) )
143139, 141, 1423eqtr2d 2498 . 2  |-  ( ph  ->  ( S. A ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  x.  B
)  _d x  -  S. A ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  x.  B )  _d x )  =  ( C  x.  S. A B  _d x ) )
14420, 51, 1433eqtrrd 2497 1  |-  ( ph  ->  ( C  x.  S. A B  _d x
)  =  S. A
( C  x.  B
)  _d x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3071   ifcif 3892   {csn 3978   class class class wbr 4393    |-> cmpt 4451    X. cxp 4939   dom cdm 4941  (class class class)co 6193    oFcof 6421   CCcc 9384   RRcr 9385   0cc0 9386    x. cmul 9391    <_ cle 9523    - cmin 9699   -ucneg 9700   volcvol 21072  MblFncmbf 21220   L^1cibl 21223   S.citg 21224
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464  ax-addf 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-disj 4364  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-of 6423  df-ofr 6424  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-2o 7024  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-pm 7320  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-fi 7765  df-sup 7795  df-oi 7828  df-card 8213  df-cda 8441  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-q 11058  df-rp 11096  df-xneg 11193  df-xadd 11194  df-xmul 11195  df-ioo 11408  df-ico 11410  df-icc 11411  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-fl 11752  df-mod 11819  df-seq 11917  df-exp 11976  df-hash 12214  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-clim 13077  df-sum 13275  df-rest 14472  df-topgen 14493  df-psmet 17927  df-xmet 17928  df-met 17929  df-bl 17930  df-mopn 17931  df-top 18628  df-bases 18630  df-topon 18631  df-cmp 19115  df-ovol 21073  df-vol 21074  df-mbf 21225  df-itg1 21226  df-itg2 21227  df-ibl 21228  df-itg 21229  df-0p 21274
This theorem is referenced by:  itgmulc2nc  28601
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