Theorem itgmulc2nclem2 28412

Description: Lemma for itgmulc2nc 28413; cf. itgmulc2lem2 21285. (Contributed by Brendan Leahy, 19-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgmulc2nc.1	|- ( ph -> C e. CC )
itgmulc2nc.2	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
itgmulc2nc.3	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )
itgmulc2nc.m	|- ( ph -> ( x e. A |-> ( C x. B ) ) e. MblFn )
itgmulc2nc.4	|- ( ph -> C e. RR )
itgmulc2nc.5	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
itgmulc2nclem2	|- ( ph -> ( C x. S. A B _d x ) = S. A ( C x. B ) _d x )

Distinct variable groups:   x, A   x, C   ph, x   x, V

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem itgmulc2nclem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgmulc2nc.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. RR )
2		max0sub 11158	. . . . . . 7 |- ( C e. RR -> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) - if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) ) = C )
3	1, 2	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) - if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) ) = C )
4	3	oveq1d 6101	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) - if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) ) x. B ) = ( C x. B ) )
5	4	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) - if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) ) x. B ) = ( C x. B ) )
6		0re 9378	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
7		ifcl 3826	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ C , C , 0 ) e. RR )
8	1, 6, 7	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ph -> if ( 0 <_ C , C , 0 ) e. RR )
9	8	recnd 9404	. . . . . 6 |- ( ph -> if ( 0 <_ C , C , 0 ) e. CC )
10	9	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ C , C , 0 ) e. CC )
11	1	renegcld 9767	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -u C e. RR )
12		ifcl 3826	. . . . . . . 8 |- ( ( -u C e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) e. RR )
13	11, 6, 12	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ph -> if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) e. RR )
14	13	recnd 9404	. . . . . 6 |- ( ph -> if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) e. CC )
15	14	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) e. CC )
16		itgmulc2nc.5	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
17	16	recnd 9404	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC )
18	10, 15, 17	subdird 9793	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) - if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) ) x. B ) = ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) ) )
19	5, 18	eqtr3d 2472	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( C x. B ) = ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) ) )
20	19	itgeq2dv 21234	. 2 |- ( ph -> S. A ( C x. B ) _d x = S. A ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) ) _d x )
21		ovex 6111	. . . 4 |- ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) e. _V
22	21	a1i 11	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) e. _V )
23		itgmulc2nc.3	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )
24		itgmulc2nc.m	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( C x. B ) ) e. MblFn )
25		ovex 6111	. . . . . . . 8 |- ( C x. B ) e. _V
26	25	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( C x. B ) e. _V )
27	24, 26	mbfdm2 21091	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. dom vol )
28	8	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ C , C , 0 ) e. RR )
29		fconstmpt 4877	. . . . . . 7 |- ( A X. { if ( 0 <_ C , C , 0 ) } ) = ( x e. A |-> if ( 0 <_ C , C , 0 ) )
30	29	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A X. { if ( 0 <_ C , C , 0 ) } ) = ( x e. A |-> if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) )
31		eqidd 2439	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B ) )
32	27, 28, 16, 30, 31	offval2 6331	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A X. { if ( 0 <_ C , C , 0 ) } ) oF x. ( x e. A |-> B ) ) = ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) ) )
33		iblmbf 21220	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
34	23, 33	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
35		eqid 2438	. . . . . . 7 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
36	17, 35	fmptd 5862	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) : A --> CC )
37	34, 8, 36	mbfmulc2re 21101	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A X. { if ( 0 <_ C , C , 0 ) } ) oF x. ( x e. A |-> B ) ) e. MblFn )
38	32, 37	eqeltrrd 2513	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) ) e. MblFn )
39	9, 16, 23, 38	iblmulc2nc 28410	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) ) e. L^1 )
40		ovex 6111	. . . 4 |- ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) e. _V
41	40	a1i 11	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) e. _V )
42	13	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) e. RR )
43		fconstmpt 4877	. . . . . . 7 |- ( A X. { if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) } ) = ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) )
44	43	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A X. { if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) } ) = ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) ) )
45	27, 42, 16, 44, 31	offval2 6331	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A X. { if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) } ) oF x. ( x e. A |-> B ) ) = ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) ) )
46	34, 13, 36	mbfmulc2re 21101	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A X. { if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) } ) oF x. ( x e. A |-> B ) ) e. MblFn )
47	45, 46	eqeltrrd 2513	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) ) e. MblFn )
48	14, 16, 23, 47	iblmulc2nc 28410	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) ) e. L^1 )
49	19	mpteq2dva 4373	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( C x. B ) ) = ( x e. A |-> ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) ) ) )
50	49, 24	eqeltrrd 2513	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) ) ) e. MblFn )
51	22, 39, 41, 48, 50	itgsubnc 28407	. 2 |- ( ph -> S. A ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) ) _d x = ( S. A ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) _d x - S. A ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) _d x ) )
52		ovex 6111	. . . . . . 7 |- ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. _V
53	52	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. _V )
54		ifcl 3826	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR )
55	16, 6, 54	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR )
56	16	iblre 21246	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. L^1 /\ ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) e. L^1 ) ) )
57	23, 56	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. L^1 /\ ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) e. L^1 ) )
58	57	simpld 459	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. L^1 )
59		eqidd 2439	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) = ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) )
60	27, 28, 55, 30, 59	offval2 6331	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A X. { if ( 0 <_ C , C , 0 ) } ) oF x. ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ) = ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ) )
61	16, 34	mbfpos 21104	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. MblFn )
62	55	recnd 9404	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. CC )
63		eqid 2438	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) = ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) )
64	62, 63	fmptd 5862	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) : A --> CC )
65	61, 8, 64	mbfmulc2re 21101	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A X. { if ( 0 <_ C , C , 0 ) } ) oF x. ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ) e. MblFn )
66	60, 65	eqeltrrd 2513	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ) e. MblFn )
67	9, 55, 58, 66	iblmulc2nc 28410	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ) e. L^1 )
68		ovex 6111	. . . . . . 7 |- ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) e. _V
69	68	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) e. _V )
70	16	renegcld 9767	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> -u B e. RR )
71		ifcl 3826	. . . . . . . 8 |- ( ( -u B e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. RR )
72	70, 6, 71	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. RR )
73	57	simprd 463	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) e. L^1 )
74		eqidd 2439	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) = ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) )
75	27, 28, 72, 30, 74	offval2 6331	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A X. { if ( 0 <_ C , C , 0 ) } ) oF x. ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) = ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) )
76	16, 34	mbfneg 21103	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. A |-> -u B ) e. MblFn )
77	70, 76	mbfpos 21104	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) e. MblFn )
78	72	recnd 9404	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. CC )
79		eqid 2438	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) = ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) )
80	78, 79	fmptd 5862	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) : A --> CC )
81	77, 8, 80	mbfmulc2re 21101	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A X. { if ( 0 <_ C , C , 0 ) } ) oF x. ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) e. MblFn )
82	75, 81	eqeltrrd 2513	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) e. MblFn )
83	9, 72, 73, 82	iblmulc2nc 28410	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) e. L^1 )
84		max0sub 11158	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. RR -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) - if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) = B )
85	16, 84	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) - if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) = B )
86	85	oveq2d 6102	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) - if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) = ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) )
87	10, 62, 78	subdid 9792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) - if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) = ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) - ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) )
88	86, 87	eqtr3d 2472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) = ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) - ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) )
89	88	mpteq2dva 4373	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) ) = ( x e. A |-> ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) - ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) ) )
90	32, 89	eqtrd 2470	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( A X. { if ( 0 <_ C , C , 0 ) } ) oF x. ( x e. A |-> B ) ) = ( x e. A |-> ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) - ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) ) )
91	90, 37	eqeltrrd 2513	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) - ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) ) e. MblFn )
92	53, 67, 69, 83, 91	itgsubnc 28407	. . . . 5 |- ( ph -> S. A ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) - ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) _d x = ( S. A ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) _d x - S. A ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) _d x ) )
93	88	itgeq2dv 21234	. . . . 5 |- ( ph -> S. A ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) _d x = S. A ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) - ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) _d x )
94	16, 23	itgreval 21249	. . . . . . 7 |- ( ph -> S. A B _d x = ( S. A if ( 0 <_ B , B , 0 ) _d x - S. A if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) _d x ) )
95	94	oveq2d 6102	. . . . . 6 |- ( ph -> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. S. A B _d x ) = ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. ( S. A if ( 0 <_ B , B , 0 ) _d x - S. A if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) _d x ) ) )
96	55, 58	itgcl 21236	. . . . . . 7 |- ( ph -> S. A if ( 0 <_ B , B , 0 ) _d x e. CC )
97	72, 73	itgcl 21236	. . . . . . 7 |- ( ph -> S. A if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) _d x e. CC )
98	9, 96, 97	subdid 9792	. . . . . 6 |- ( ph -> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. ( S. A if ( 0 <_ B , B , 0 ) _d x - S. A if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) _d x ) ) = ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. S. A if ( 0 <_ B , B , 0 ) _d x ) - ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. S. A if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) _d x ) ) )
99		max1 11149	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ C e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ C , C , 0 ) )
100	6, 1, 99	sylancr 663	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ if ( 0 <_ C , C , 0 ) )
101		max1 11149	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ B e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ B , B , 0 ) )
102	6, 16, 101	sylancr 663	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ if ( 0 <_ B , B , 0 ) )
103	9, 55, 58, 66, 8, 55, 100, 102	itgmulc2nclem1 28411	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. S. A if ( 0 <_ B , B , 0 ) _d x ) = S. A ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) _d x )
104		max1 11149	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ -u B e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) )
105	6, 70, 104	sylancr 663	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) )
106	9, 72, 73, 82, 8, 72, 100, 105	itgmulc2nclem1 28411	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. S. A if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) _d x ) = S. A ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) _d x )
107	103, 106	oveq12d 6104	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. S. A if ( 0 <_ B , B , 0 ) _d x ) - ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. S. A if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) _d x ) ) = ( S. A ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) _d x - S. A ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) _d x ) )
108	95, 98, 107	3eqtrd 2474	. . . . 5 |- ( ph -> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. S. A B _d x ) = ( S. A ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) _d x - S. A ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) _d x ) )
109	92, 93, 108	3eqtr4d 2480	. . . 4 |- ( ph -> S. A ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) _d x = ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. S. A B _d x ) )
110		ovex 6111	. . . . . . 7 |- ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. _V
111	110	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. _V )
112	27, 42, 55, 44, 59	offval2 6331	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A X. { if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) } ) oF x. ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ) = ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ) )
113	61, 13, 64	mbfmulc2re 21101	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A X. { if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) } ) oF x. ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ) e. MblFn )
114	112, 113	eqeltrrd 2513	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ) e. MblFn )
115	14, 55, 58, 114	iblmulc2nc 28410	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ) e. L^1 )
116		ovex 6111	. . . . . . 7 |- ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) e. _V
117	116	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) e. _V )
118	27, 42, 72, 44, 74	offval2 6331	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A X. { if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) } ) oF x. ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) = ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) )
119	77, 13, 80	mbfmulc2re 21101	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A X. { if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) } ) oF x. ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) e. MblFn )
120	118, 119	eqeltrrd 2513	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) e. MblFn )
121	14, 72, 73, 120	iblmulc2nc 28410	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) e. L^1 )
122	85	oveq2d 6102	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) - if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) = ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) )
123	15, 62, 78	subdid 9792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) - if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) = ( ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) )
124	122, 123	eqtr3d 2472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) = ( ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) )
125	124	mpteq2dva 4373	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) ) = ( x e. A |-> ( ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) ) )
126	45, 125	eqtrd 2470	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( A X. { if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) } ) oF x. ( x e. A |-> B ) ) = ( x e. A |-> ( ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) ) )
127	126, 46	eqeltrrd 2513	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) ) e. MblFn )
128	111, 115, 117, 121, 127	itgsubnc 28407	. . . . 5 |- ( ph -> S. A ( ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) _d x = ( S. A ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) _d x - S. A ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) _d x ) )
129	124	itgeq2dv 21234	. . . . 5 |- ( ph -> S. A ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) _d x = S. A ( ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) _d x )
130	94	oveq2d 6102	. . . . . 6 |- ( ph -> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. S. A B _d x ) = ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. ( S. A if ( 0 <_ B , B , 0 ) _d x - S. A if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) _d x ) ) )
131	14, 96, 97	subdid 9792	. . . . . 6 |- ( ph -> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. ( S. A if ( 0 <_ B , B , 0 ) _d x - S. A if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) _d x ) ) = ( ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. S. A if ( 0 <_ B , B , 0 ) _d x ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. S. A if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) _d x ) ) )
132		max1 11149	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ -u C e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) )
133	6, 11, 132	sylancr 663	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) )
134	14, 55, 58, 114, 13, 55, 133, 102	itgmulc2nclem1 28411	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. S. A if ( 0 <_ B , B , 0 ) _d x ) = S. A ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) _d x )
135	14, 72, 73, 120, 13, 72, 133, 105	itgmulc2nclem1 28411	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. S. A if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) _d x ) = S. A ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) _d x )
136	134, 135	oveq12d 6104	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. S. A if ( 0 <_ B , B , 0 ) _d x ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. S. A if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) _d x ) ) = ( S. A ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) _d x - S. A ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) _d x ) )
137	130, 131, 136	3eqtrd 2474	. . . . 5 |- ( ph -> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. S. A B _d x ) = ( S. A ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) _d x - S. A ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) _d x ) )
138	128, 129, 137	3eqtr4d 2480	. . . 4 |- ( ph -> S. A ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) _d x = ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. S. A B _d x ) )
139	109, 138	oveq12d 6104	. . 3 |- ( ph -> ( S. A ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) _d x - S. A ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) _d x ) = ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. S. A B _d x ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. S. A B _d x ) ) )
140	16, 23	itgcl 21236	. . . 4 |- ( ph -> S. A B _d x e. CC )
141	9, 14, 140	subdird 9793	. . 3 |- ( ph -> ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) - if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) ) x. S. A B _d x ) = ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. S. A B _d x ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. S. A B _d x ) ) )
142	3	oveq1d 6101	. . 3 |- ( ph -> ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) - if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) ) x. S. A B _d x ) = ( C x. S. A B _d x ) )
143	139, 141, 142	3eqtr2d 2476	. 2 |- ( ph -> ( S. A ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) _d x - S. A ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) _d x ) = ( C x. S. A B _d x ) )
144	20, 51, 143	3eqtrrd 2475	1 |- ( ph -> ( C x. S. A B _d x ) = S. A ( C x. B ) _d x )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   _Vcvv 2967   ifcif 3786   {csn 3872   class class class wbr 4287   e. cmpt 4345   X. cxp 4833   dom cdm 4835  (class class class)co 6086   oFcof 6313   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   x. cmul 9279   <_ cle 9411   - cmin 9587   -ucneg 9588   volcvol 20922  MblFncmbf 21069   L^1cibl 21072   S.citg 21073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-disj 4258  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-ofr 6316  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-clim 12958  df-sum 13156  df-rest 14353  df-topgen 14374  df-psmet 17784  df-xmet 17785  df-met 17786  df-bl 17787  df-mopn 17788  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-cmp 18965  df-ovol 20923  df-vol 20924  df-mbf 21074  df-itg1 21075  df-itg2 21076  df-ibl 21077  df-itg 21078  df-0p 21123

This theorem is referenced by:  itgmulc2nc  28413