Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgmulc2nclem1 Structured version   Unicode version

Theorem itgmulc2nclem1 31972
Description: Lemma for itgmulc2nc 31974; cf. itgmulc2lem1 22787. (Contributed by Brendan Leahy, 17-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
itgmulc2nc.1  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
itgmulc2nc.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
itgmulc2nc.3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
itgmulc2nc.m  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  e. MblFn )
itgmulc2nc.4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
itgmulc2nc.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
itgmulc2nc.6  |-  ( ph  ->  0  <_  C )
itgmulc2nc.7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  B )
Assertion
Ref Expression
itgmulc2nclem1  |-  ( ph  ->  ( C  x.  S. A B  _d x
)  =  S. A
( C  x.  B
)  _d x )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    ph, x    x, V
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem itgmulc2nclem1
StepHypRef Expression
1 itgmulc2nc.5 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
2 itgmulc2nc.7 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  B )
3 elrege0 11745 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )
41, 2, 3sylanbrc 668 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )
5 0e0icopnf 11749 . . . . . . . 8  |-  0  e.  ( 0 [,) +oo )
65a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,) +oo ) )
74, 6ifclda 3943 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  B , 
0 )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
87adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
9 eqid 2422 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )
108, 9fmptd 6061 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
11 itgmulc2nc.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
121, 2iblpos 22748 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
1311, 12mpbid 213 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
1413simprd 464 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )
15 itgmulc2nc.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
16 itgmulc2nc.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  C )
17 elrege0 11745 . . . . 5  |-  ( C  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C ) )
1815, 16, 17sylanbrc 668 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
1910, 14, 18itg2mulc 22703 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
( RR  X.  { C } )  oF  x.  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )  =  ( C  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) ) )
20 reex 9637 . . . . . . 7  |-  RR  e.  _V
2120a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
22 itgmulc2nc.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
2322adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  C  e.  CC )
24 fconstmpt 4897 . . . . . . 7  |-  ( RR 
X.  { C }
)  =  ( x  e.  RR  |->  C )
2524a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  X.  { C } )  =  ( x  e.  RR  |->  C ) )
26 eqidd 2423 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )
2721, 23, 8, 25, 26offval2 6562 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( RR  X.  { C } )  oF  x.  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( C  x.  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )
28 ovif2 6388 . . . . . . 7  |-  ( C  x.  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( C  x.  B ) ,  ( C  x.  0 ) )
2922mul01d 9839 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C  x.  0 )  =  0 )
3029adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( C  x.  0 )  =  0 )
3130ifeq2d 3930 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A , 
( C  x.  B
) ,  ( C  x.  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( C  x.  B ) ,  0 ) )
3228, 31syl5eq 2475 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( C  x.  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( C  x.  B ) ,  0 ) )
3332mpteq2dva 4510 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  ( C  x.  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( C  x.  B ) ,  0 ) ) )
3427, 33eqtrd 2463 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( RR  X.  { C } )  oF  x.  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( C  x.  B ) ,  0 ) ) )
3534fveq2d 5885 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
( RR  X.  { C } )  oF  x.  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( C  x.  B
) ,  0 ) ) ) )
3619, 35eqtr3d 2465 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( C  x.  B
) ,  0 ) ) ) )
371, 11, 2itgposval 22751 . . 3  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )
3837oveq2d 6321 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  x.  S. A B  _d x
)  =  ( C  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) ) )
3915adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
4039, 1remulcld 9678 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  x.  B )  e.  RR )
41 itgmulc2nc.2 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
42 itgmulc2nc.m . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  e. MblFn )
4322, 41, 11, 42iblmulc2nc 31971 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  e.  L^1 )
4416adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  C )
4539, 1, 44, 2mulge0d 10197 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( C  x.  B
) )
4640, 43, 45itgposval 22751 . 2  |-  ( ph  ->  S. A ( C  x.  B )  _d x  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( C  x.  B ) ,  0 ) ) ) )
4736, 38, 463eqtr4d 2473 1  |-  ( ph  ->  ( C  x.  S. A B  _d x
)  =  S. A
( C  x.  B
)  _d x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   _Vcvv 3080   ifcif 3911   {csn 3998   class class class wbr 4423    |-> cmpt 4482    X. cxp 4851   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    oFcof 6543   CCcc 9544   RRcr 9545   0cc0 9546    x. cmul 9551   +oocpnf 9679    <_ cle 9683   [,)cico 11644  MblFncmbf 22570   S.2citg2 22572   L^1cibl 22573   S.citg 22574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624  ax-addf 9625
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-disj 4395  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-ofr 6546  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-2o 7194  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-pm 7486  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-fi 7934  df-sup 7965  df-inf 7966  df-oi 8034  df-card 8381  df-cda 8605  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12034  df-mod 12103  df-seq 12220  df-exp 12279  df-hash 12522  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13551  df-sum 13752  df-rest 15320  df-topgen 15341  df-psmet 18961  df-xmet 18962  df-met 18963  df-bl 18964  df-mopn 18965  df-top 19919  df-bases 19920  df-topon 19921  df-cmp 20400  df-ovol 22414  df-vol 22416  df-mbf 22575  df-itg1 22576  df-itg2 22577  df-ibl 22578  df-itg 22579  df-0p 22626
This theorem is referenced by:  itgmulc2nclem2  31973
  Copyright terms: Public domain W3C validator