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Theorem itgmulc2nc 26172
Description: Choice-free analogue of itgmulc2 19678. (Contributed by Brendan Leahy, 19-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
itgmulc2nc.1  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
itgmulc2nc.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
itgmulc2nc.3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
itgmulc2nc.m  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  e. MblFn )
Assertion
Ref Expression
itgmulc2nc  |-  ( ph  ->  ( C  x.  S. A B  _d x
)  =  S. A
( C  x.  B
)  _d x )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    ph, x    x, V
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem itgmulc2nc
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgmulc2nc.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
21recld 11954 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Re `  C
)  e.  RR )
32recnd 9070 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Re `  C
)  e.  CC )
43adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  C )  e.  CC )
5 itgmulc2nc.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
6 iblmbf 19612 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
75, 6syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
8 itgmulc2nc.2 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
97, 8mbfmptcl 19482 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
109recld 11954 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
1110recnd 9070 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  B )  e.  CC )
124, 11mulcld 9064 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( Re `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  e.  CC )
139iblcn 19643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L ^1 
/\  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L ^1 ) ) )
145, 13mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L ^1  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L ^1 ) )
1514simpld 446 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e.  L ^1 )
16 itgmulc2nc.m . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  e. MblFn )
17 ovex 6065 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  x.  B )  e. 
_V
1817a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  x.  B )  e.  _V )
1916, 18mbfdm2 19483 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
20 fconstmpt 4880 . . . . . . . . 9  |-  ( A  X.  { ( Re
`  C ) } )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re
`  C ) )
2120a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  X.  {
( Re `  C
) } )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re `  C
) ) )
22 eqidd 2405 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) ) )
2319, 4, 10, 21, 22offval2 6281 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( Re `  C ) } )  o F  x.  (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( Re `  C
)  x.  ( Re
`  B ) ) ) )
24 iblmbf 19612 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L ^1 
->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e. MblFn )
2515, 24syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e. MblFn )
26 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  |->  ( Re
`  B ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )
2711, 26fmptd 5852 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) ) : A --> CC )
2825, 2, 27mbfmulc2re 19493 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( Re `  C ) } )  o F  x.  (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) ) )  e. MblFn )
2923, 28eqeltrrd 2479 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( Re `  C )  x.  (
Re `  B )
) )  e. MblFn )
303, 10, 15, 29iblmulc2nc 26169 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( Re `  C )  x.  (
Re `  B )
) )  e.  L ^1 )
3112, 30itgcl 19628 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A ( ( Re `  C )  x.  ( Re `  B ) )  _d x  e.  CC )
32 ax-icn 9005 . . . . 5  |-  _i  e.  CC
339imcld 11955 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
3433recnd 9070 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  e.  CC )
354, 34mulcld 9064 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  e.  CC )
3614simprd 450 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) )  e.  L ^1 )
37 eqidd 2405 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) ) )
3819, 4, 33, 21, 37offval2 6281 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( Re `  C ) } )  o F  x.  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) ) ) )
39 iblmbf 19612 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L ^1 
->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) )  e. MblFn )
4036, 39syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) )  e. MblFn )
41 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  |->  ( Im
`  B ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )
4234, 41fmptd 5852 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) ) : A --> CC )
4340, 2, 42mbfmulc2re 19493 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( Re `  C ) } )  o F  x.  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) ) )  e. MblFn )
4438, 43eqeltrrd 2479 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( Re `  C )  x.  (
Im `  B )
) )  e. MblFn )
453, 33, 36, 44iblmulc2nc 26169 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( Re `  C )  x.  (
Im `  B )
) )  e.  L ^1 )
4635, 45itgcl 19628 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( ( Re `  C )  x.  ( Im `  B ) )  _d x  e.  CC )
47 mulcl 9030 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x  e.  CC )  -> 
( _i  x.  S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x )  e.  CC )
4832, 46, 47sylancr 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x )  e.  CC )
491imcld 11955 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Im `  C
)  e.  RR )
5049recnd 9070 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Im `  C
)  e.  CC )
5150negcld 9354 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u ( Im `  C )  e.  CC )
5251adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Im `  C )  e.  CC )
5352, 34mulcld 9064 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u ( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  e.  CC )
54 fconstmpt 4880 . . . . . . . . 9  |-  ( A  X.  { -u (
Im `  C ) } )  =  ( x  e.  A  |->  -u ( Im `  C ) )
5554a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  X.  { -u ( Im `  C
) } )  =  ( x  e.  A  |-> 
-u ( Im `  C ) ) )
5619, 52, 33, 55, 37offval2 6281 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { -u ( Im `  C ) } )  o F  x.  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  (
-u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
) ) )
5749renegcld 9420 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u ( Im `  C )  e.  RR )
5840, 57, 42mbfmulc2re 19493 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { -u ( Im `  C ) } )  o F  x.  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) ) )  e. MblFn )
5956, 58eqeltrrd 2479 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( -u ( Im
`  C )  x.  ( Im `  B
) ) )  e. MblFn
)
6051, 33, 36, 59iblmulc2nc 26169 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( -u ( Im
`  C )  x.  ( Im `  B
) ) )  e.  L ^1 )
6153, 60itgcl 19628 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A ( -u ( Im `  C )  x.  ( Im `  B ) )  _d x  e.  CC )
6250adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  C )  e.  CC )
6362, 11mulcld 9064 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  e.  CC )
64 fconstmpt 4880 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  X.  { ( Im
`  C ) } )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im
`  C ) )
6564a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  X.  {
( Im `  C
) } )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im `  C
) ) )
6619, 62, 10, 65, 22offval2 6281 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( Im `  C ) } )  o F  x.  (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) ) ) )
6725, 49, 27mbfmulc2re 19493 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( Im `  C ) } )  o F  x.  (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) ) )  e. MblFn )
6866, 67eqeltrrd 2479 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( Im `  C )  x.  (
Re `  B )
) )  e. MblFn )
6950, 10, 15, 68iblmulc2nc 26169 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( Im `  C )  x.  (
Re `  B )
) )  e.  L ^1 )
7063, 69itgcl 19628 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( ( Im `  C )  x.  ( Re `  B ) )  _d x  e.  CC )
71 mulcl 9030 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x  e.  CC )  -> 
( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x )  e.  CC )
7232, 70, 71sylancr 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x )  e.  CC )
7331, 48, 61, 72add4d 9245 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S. A
( ( Re `  C )  x.  (
Re `  B )
)  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x ) )  +  ( S. A ( -u ( Im `  C )  x.  ( Im `  B ) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  _d x ) ) )  =  ( ( S. A ( ( Re `  C )  x.  ( Re `  B ) )  _d x  +  S. A
( -u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x )  +  ( ( _i  x.  S. A ( ( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  _d x )  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) ) ) )
7432a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  _i  e.  CC )
7574, 50mulcld 9064 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  (
Im `  C )
)  e.  CC )
768, 5itgcl 19628 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  e.  CC )
773, 75, 76adddird 9069 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  C )  +  ( _i  x.  (
Im `  C )
) )  x.  S. A B  _d x
)  =  ( ( ( Re `  C
)  x.  S. A B  _d x )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  S. A B  _d x ) ) )
788, 5itgcnval 19644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( S. A ( Re `  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )
7978oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  C )  x.  S. A B  _d x
)  =  ( ( Re `  C )  x.  ( S. A
( Re `  B
)  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) ) )
8010, 15itgcl 19628 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A ( Re
`  B )  _d x  e.  CC )
8133, 36itgcl 19628 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S. A ( Im
`  B )  _d x  e.  CC )
82 mulcl 9030 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  S. A ( Im `  B )  _d x  e.  CC )  -> 
( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  e.  CC )
8332, 81, 82sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  e.  CC )
843, 80, 83adddid 9068 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  C )  x.  ( S. A ( Re `  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )  =  ( ( ( Re
`  C )  x.  S. A ( Re
`  B )  _d x )  +  ( ( Re `  C
)  x.  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) ) )
853, 10, 15, 29, 2, 10itgmulc2nclem2 26171 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  C )  x.  S. A ( Re `  B )  _d x )  =  S. A
( ( Re `  C )  x.  (
Re `  B )
)  _d x )
863, 74, 81mul12d 9231 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  C )  x.  (
_i  x.  S. A
( Im `  B
)  _d x ) )  =  ( _i  x.  ( ( Re
`  C )  x.  S. A ( Im
`  B )  _d x ) ) )
873, 33, 36, 44, 2, 33itgmulc2nclem2 26171 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  C )  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  =  S. A
( ( Re `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x )
8887oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  (
( Re `  C
)  x.  S. A
( Im `  B
)  _d x ) )  =  ( _i  x.  S. A ( ( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  _d x ) )
8986, 88eqtrd 2436 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  C )  x.  (
_i  x.  S. A
( Im `  B
)  _d x ) )  =  ( _i  x.  S. A ( ( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  _d x ) )
9085, 89oveq12d 6058 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  C )  x.  S. A ( Re
`  B )  _d x )  +  ( ( Re `  C
)  x.  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )  =  ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x ) ) )
9179, 84, 903eqtrd 2440 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  C )  x.  S. A B  _d x
)  =  ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x ) ) )
9278oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  S. A B  _d x )  =  ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  ( S. A ( Re `  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) ) )
9375, 80, 83adddid 9068 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  ( S. A ( Re `  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  S. A ( Re
`  B )  _d x )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  C )
)  x.  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) ) )
9474, 50, 80mulassd 9067 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  S. A
( Re `  B
)  _d x )  =  ( _i  x.  ( ( Im `  C )  x.  S. A ( Re `  B )  _d x ) ) )
9550, 10, 15, 68, 49, 10itgmulc2nclem2 26171 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  C )  x.  S. A ( Re `  B )  _d x )  =  S. A
( ( Im `  C )  x.  (
Re `  B )
)  _d x )
9695oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  (
( Im `  C
)  x.  S. A
( Re `  B
)  _d x ) )  =  ( _i  x.  S. A ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  _d x ) )
9794, 96eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  S. A
( Re `  B
)  _d x )  =  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) )
9874, 50, 74, 81mul4d 9234 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )  =  ( ( _i  x.  _i )  x.  ( ( Im `  C )  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )
99 ixi 9607 . . . . . . . . . . 11  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
10099oveq1i 6050 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  x.  _i )  x.  ( ( Im
`  C )  x.  S. A ( Im
`  B )  _d x ) )  =  ( -u 1  x.  ( ( Im `  C )  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )
10150, 81mulcld 9064 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  C )  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  e.  CC )
102101mulm1d 9441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -u 1  x.  ( ( Im `  C )  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )  =  -u ( ( Im `  C )  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )
103100, 102syl5eq 2448 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  _i )  x.  (
( Im `  C
)  x.  S. A
( Im `  B
)  _d x ) )  =  -u (
( Im `  C
)  x.  S. A
( Im `  B
)  _d x ) )
10450, 81mulneg1d 9442 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -u ( Im
`  C )  x.  S. A ( Im
`  B )  _d x )  =  -u ( ( Im `  C )  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )
10551, 33, 36, 59, 57, 33itgmulc2nclem2 26171 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -u ( Im
`  C )  x.  S. A ( Im
`  B )  _d x )  =  S. A ( -u (
Im `  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x )
106104, 105eqtr3d 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
-u ( ( Im
`  C )  x.  S. A ( Im
`  B )  _d x )  =  S. A ( -u (
Im `  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x )
10798, 103, 1063eqtrd 2440 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )  =  S. A (
-u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x )
10897, 107oveq12d 6058 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  S. A ( Re
`  B )  _d x )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  C )
)  x.  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )  =  ( ( _i  x.  S. A
( ( Im `  C )  x.  (
Re `  B )
)  _d x )  +  S. A (
-u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x ) )
10972, 61addcomd 9224 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x )  +  S. A
( -u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x )  =  ( S. A
( -u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) ) )
110108, 109eqtrd 2436 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  S. A ( Re
`  B )  _d x )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  C )
)  x.  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )  =  ( S. A ( -u (
Im `  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) ) )
11192, 93, 1103eqtrd 2440 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  S. A B  _d x )  =  ( S. A (
-u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) ) )
11291, 111oveq12d 6058 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  C )  x.  S. A B  _d x )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  C )
)  x.  S. A B  _d x ) )  =  ( ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x ) )  +  ( S. A ( -u ( Im `  C )  x.  ( Im `  B ) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  _d x ) ) ) )
11377, 112eqtrd 2436 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  C )  +  ( _i  x.  (
Im `  C )
) )  x.  S. A B  _d x
)  =  ( ( S. A ( ( Re `  C )  x.  ( Re `  B ) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  _d x ) )  +  ( S. A
( -u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) ) ) )
11462, 34mulcld 9064 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  e.  CC )
11519, 62, 33, 65, 37offval2 6281 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( Im `  C ) } )  o F  x.  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) ) ) )
11640, 49, 42mbfmulc2re 19493 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( Im `  C ) } )  o F  x.  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) ) )  e. MblFn )
117115, 116eqeltrrd 2479 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
) )  e. MblFn )
11850, 33, 36, 117iblmulc2nc 26169 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
) )  e.  L ^1 )
1191adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
120119, 9mulcld 9064 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  x.  B )  e.  CC )
121 eqidd 2405 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) )
122 ref 11872 . . . . . . . . . . 11  |-  Re : CC
--> RR
123122a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Re : CC --> RR )
124123feqmptd 5738 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Re  =  ( k  e.  CC  |->  ( Re
`  k ) ) )
125 fveq2 5687 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( C  x.  B )  ->  (
Re `  k )  =  ( Re `  ( C  x.  B
) ) )
126120, 121, 124, 125fmptco 5860 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Re  o.  (
x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( C  x.  B ) ) ) )
127119, 9remuld 11978 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( C  x.  B ) )  =  ( ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  -  (
( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) ) ) )
128127mpteq2dva 4255 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( C  x.  B )
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( ( Re `  C )  x.  (
Re `  B )
)  -  ( ( Im `  C )  x.  ( Im `  B ) ) ) ) )
129126, 128eqtrd 2436 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Re  o.  (
x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( ( Re `  C )  x.  (
Re `  B )
)  -  ( ( Im `  C )  x.  ( Im `  B ) ) ) ) )
130 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )
131120, 130fmptd 5852 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) : A --> CC )
132 ismbfcn 19476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) : A --> CC  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  e. MblFn  <->  ( (
Re  o.  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) )  e. MblFn  /\  (
Im  o.  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) )  e. MblFn ) ) )
133131, 132syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  e. MblFn  <->  ( ( Re  o.  (
x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) )  e. MblFn  /\  (
Im  o.  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) )  e. MblFn ) ) )
13416, 133mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Re  o.  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  (
x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) )  e. MblFn )
)
135134simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Re  o.  (
x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) )  e. MblFn )
136129, 135eqeltrrd 2479 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  -  (
( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) ) ) )  e. MblFn )
13712, 30, 114, 118, 136itgsubnc 26166 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( ( ( Re `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  -  ( ( Im
`  C )  x.  ( Im `  B
) ) )  _d x  =  ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x  -  S. A ( ( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  _d x ) )
138127itgeq2dv 19626 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( Re
`  ( C  x.  B ) )  _d x  =  S. A
( ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  -  (
( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) ) )  _d x )
139114, 118itgneg 19648 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u S. A ( ( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  _d x  =  S. A -u ( ( Im `  C )  x.  ( Im `  B ) )  _d x )
14062, 34mulneg1d 9442 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u ( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  =  -u ( ( Im
`  C )  x.  ( Im `  B
) ) )
141140itgeq2dv 19626 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S. A ( -u ( Im `  C )  x.  ( Im `  B ) )  _d x  =  S. A -u ( ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x )
142139, 141eqtr4d 2439 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u S. A ( ( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  _d x  =  S. A ( -u (
Im `  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x )
143142oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S. A ( ( Re `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  _d x  +  -u S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x )  =  ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x  +  S. A (
-u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x ) )
144114, 118itgcl 19628 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A ( ( Im `  C )  x.  ( Im `  B ) )  _d x  e.  CC )
14531, 144negsubd 9373 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S. A ( ( Re `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  _d x  +  -u S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x )  =  ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x  -  S. A ( ( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  _d x ) )
146143, 145eqtr3d 2438 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S. A ( ( Re `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  _d x  +  S. A ( -u (
Im `  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x )  =  ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x  -  S. A ( ( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  _d x ) )
147137, 138, 1463eqtr4d 2446 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A ( Re
`  ( C  x.  B ) )  _d x  =  ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x  +  S. A (
-u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x ) )
148119, 9immuld 11979 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  ( C  x.  B ) )  =  ( ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  +  ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) ) ) )
149148itgeq2dv 19626 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A ( Im
`  ( C  x.  B ) )  _d x  =  S. A
( ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  +  ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) ) )  _d x )
150 imf 11873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Im : CC
--> RR
151150a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Im : CC --> RR )
152151feqmptd 5738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Im  =  ( k  e.  CC  |->  ( Im
`  k ) ) )
153 fveq2 5687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( C  x.  B )  ->  (
Im `  k )  =  ( Im `  ( C  x.  B
) ) )
154120, 121, 152, 153fmptco 5860 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Im  o.  (
x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im `  ( C  x.  B ) ) ) )
155148mpteq2dva 4255 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  ( C  x.  B )
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( ( Re `  C )  x.  (
Im `  B )
)  +  ( ( Im `  C )  x.  ( Re `  B ) ) ) ) )
156154, 155eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Im  o.  (
x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( ( Re `  C )  x.  (
Im `  B )
)  +  ( ( Im `  C )  x.  ( Re `  B ) ) ) ) )
157134simprd 450 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Im  o.  (
x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) )  e. MblFn )
158156, 157eqeltrrd 2479 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  +  ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) ) ) )  e. MblFn )
15935, 45, 63, 69, 158itgaddnc 26164 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A ( ( ( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  +  ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) ) )  _d x  =  ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x  +  S. A ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  _d x ) )
160149, 159eqtrd 2436 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. A ( Im
`  ( C  x.  B ) )  _d x  =  ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x  +  S. A ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  _d x ) )
161160oveq2d 6056 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  S. A ( Im `  ( C  x.  B
) )  _d x )  =  ( _i  x.  ( S. A
( ( Re `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x  +  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) ) )
16274, 46, 70adddid 9068 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x  +  S. A ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  _d x ) )  =  ( ( _i  x.  S. A ( ( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  _d x )  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) ) )
163161, 162eqtrd 2436 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  S. A ( Im `  ( C  x.  B
) )  _d x )  =  ( ( _i  x.  S. A
( ( Re `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x )  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) ) )
164147, 163oveq12d 6058 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S. A ( Re `  ( C  x.  B ) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A
( Im `  ( C  x.  B )
)  _d x ) )  =  ( ( S. A ( ( Re `  C )  x.  ( Re `  B ) )  _d x  +  S. A
( -u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x )  +  ( ( _i  x.  S. A ( ( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  _d x )  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) ) ) )
16573, 113, 1643eqtr4d 2446 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  C )  +  ( _i  x.  (
Im `  C )
) )  x.  S. A B  _d x
)  =  ( S. A ( Re `  ( C  x.  B
) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  ( C  x.  B
) )  _d x ) ) )
1661replimd 11957 . . 3  |-  ( ph  ->  C  =  ( ( Re `  C )  +  ( _i  x.  ( Im `  C ) ) ) )
167166oveq1d 6055 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  x.  S. A B  _d x
)  =  ( ( ( Re `  C
)  +  ( _i  x.  ( Im `  C ) ) )  x.  S. A B  _d x ) )
1681, 8, 5, 16iblmulc2nc 26169 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  e.  L ^1 )
169120, 168itgcnval 19644 . 2  |-  ( ph  ->  S. A ( C  x.  B )  _d x  =  ( S. A ( Re `  ( C  x.  B
) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  ( C  x.  B
) )  _d x ) ) )
170165, 167, 1693eqtr4d 2446 1  |-  ( ph  ->  ( C  x.  S. A B  _d x
)  =  S. A
( C  x.  B
)  _d x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916   {csn 3774    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   dom cdm 4837    o. ccom 4841   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    o Fcof 6262   CCcc 8944   RRcr 8945   1c1 8947   _ici 8948    + caddc 8949    x. cmul 8951    - cmin 9247   -ucneg 9248   Recre 11857   Imcim 11858   volcvol 19313  MblFncmbf 19459   L ^1cibl 19462   S.citg 19463
This theorem is referenced by:  itgabsnc  26173
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-disj 4143  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-ofr 6265  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-rest 13605  df-topgen 13622  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cmp 17404  df-ovol 19314  df-vol 19315  df-mbf 19465  df-itg1 19466  df-itg2 19467  df-ibl 19468  df-itg 19469  df-0p 19515
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