Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgmulc2nc Structured version   Unicode version

Theorem itgmulc2nc 28304
Description: Choice-free analogue of itgmulc2 21153. (Contributed by Brendan Leahy, 19-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
itgmulc2nc.1  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
itgmulc2nc.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
itgmulc2nc.3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
itgmulc2nc.m  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  e. MblFn )
Assertion
Ref Expression
itgmulc2nc  |-  ( ph  ->  ( C  x.  S. A B  _d x
)  =  S. A
( C  x.  B
)  _d x )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    ph, x    x, V
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem itgmulc2nc
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgmulc2nc.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
21recld 12667 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Re `  C
)  e.  RR )
32recnd 9400 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Re `  C
)  e.  CC )
43adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  C )  e.  CC )
5 itgmulc2nc.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
6 iblmbf 21087 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
75, 6syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
8 itgmulc2nc.2 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
97, 8mbfmptcl 20957 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
109recld 12667 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
1110recnd 9400 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  B )  e.  CC )
124, 11mulcld 9394 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( Re `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  e.  CC )
139iblcn 21118 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L^1 
/\  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L^1 ) ) )
145, 13mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L^1  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L^1 ) )
1514simpld 456 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e.  L^1 )
16 itgmulc2nc.m . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  e. MblFn )
17 ovex 6105 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  x.  B )  e. 
_V
1817a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  x.  B )  e.  _V )
1916, 18mbfdm2 20958 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
20 fconstmpt 4869 . . . . . . . . 9  |-  ( A  X.  { ( Re
`  C ) } )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re
`  C ) )
2120a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  X.  {
( Re `  C
) } )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re `  C
) ) )
22 eqidd 2434 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) ) )
2319, 4, 10, 21, 22offval2 6325 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( Re `  C ) } )  oF  x.  (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( Re `  C
)  x.  ( Re
`  B ) ) ) )
24 iblmbf 21087 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L^1 
->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e. MblFn )
2515, 24syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e. MblFn )
26 eqid 2433 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  |->  ( Re
`  B ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )
2711, 26fmptd 5855 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) ) : A --> CC )
2825, 2, 27mbfmulc2re 20968 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( Re `  C ) } )  oF  x.  (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) ) )  e. MblFn )
2923, 28eqeltrrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( Re `  C )  x.  (
Re `  B )
) )  e. MblFn )
303, 10, 15, 29iblmulc2nc 28301 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( Re `  C )  x.  (
Re `  B )
) )  e.  L^1 )
3112, 30itgcl 21103 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A ( ( Re `  C )  x.  ( Re `  B ) )  _d x  e.  CC )
32 ax-icn 9329 . . . . 5  |-  _i  e.  CC
339imcld 12668 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
3433recnd 9400 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  e.  CC )
354, 34mulcld 9394 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  e.  CC )
3614simprd 460 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) )  e.  L^1 )
37 eqidd 2434 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) ) )
3819, 4, 33, 21, 37offval2 6325 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( Re `  C ) } )  oF  x.  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) ) ) )
39 iblmbf 21087 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L^1 
->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) )  e. MblFn )
4036, 39syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) )  e. MblFn )
41 eqid 2433 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  |->  ( Im
`  B ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )
4234, 41fmptd 5855 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) ) : A --> CC )
4340, 2, 42mbfmulc2re 20968 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( Re `  C ) } )  oF  x.  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) ) )  e. MblFn )
4438, 43eqeltrrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( Re `  C )  x.  (
Im `  B )
) )  e. MblFn )
453, 33, 36, 44iblmulc2nc 28301 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( Re `  C )  x.  (
Im `  B )
) )  e.  L^1 )
4635, 45itgcl 21103 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( ( Re `  C )  x.  ( Im `  B ) )  _d x  e.  CC )
47 mulcl 9354 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x  e.  CC )  -> 
( _i  x.  S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x )  e.  CC )
4832, 46, 47sylancr 656 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x )  e.  CC )
491imcld 12668 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Im `  C
)  e.  RR )
5049recnd 9400 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Im `  C
)  e.  CC )
5150negcld 9694 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u ( Im `  C )  e.  CC )
5251adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Im `  C )  e.  CC )
5352, 34mulcld 9394 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u ( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  e.  CC )
54 fconstmpt 4869 . . . . . . . . 9  |-  ( A  X.  { -u (
Im `  C ) } )  =  ( x  e.  A  |->  -u ( Im `  C ) )
5554a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  X.  { -u ( Im `  C
) } )  =  ( x  e.  A  |-> 
-u ( Im `  C ) ) )
5619, 52, 33, 55, 37offval2 6325 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { -u ( Im `  C ) } )  oF  x.  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  (
-u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
) ) )
5749renegcld 9763 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u ( Im `  C )  e.  RR )
5840, 57, 42mbfmulc2re 20968 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { -u ( Im `  C ) } )  oF  x.  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) ) )  e. MblFn )
5956, 58eqeltrrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( -u ( Im
`  C )  x.  ( Im `  B
) ) )  e. MblFn
)
6051, 33, 36, 59iblmulc2nc 28301 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( -u ( Im
`  C )  x.  ( Im `  B
) ) )  e.  L^1 )
6153, 60itgcl 21103 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A ( -u ( Im `  C )  x.  ( Im `  B ) )  _d x  e.  CC )
6250adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  C )  e.  CC )
6362, 11mulcld 9394 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  e.  CC )
64 fconstmpt 4869 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  X.  { ( Im
`  C ) } )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im
`  C ) )
6564a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  X.  {
( Im `  C
) } )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im `  C
) ) )
6619, 62, 10, 65, 22offval2 6325 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( Im `  C ) } )  oF  x.  (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) ) ) )
6725, 49, 27mbfmulc2re 20968 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( Im `  C ) } )  oF  x.  (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) ) )  e. MblFn )
6866, 67eqeltrrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( Im `  C )  x.  (
Re `  B )
) )  e. MblFn )
6950, 10, 15, 68iblmulc2nc 28301 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( Im `  C )  x.  (
Re `  B )
) )  e.  L^1 )
7063, 69itgcl 21103 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( ( Im `  C )  x.  ( Re `  B ) )  _d x  e.  CC )
71 mulcl 9354 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x  e.  CC )  -> 
( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x )  e.  CC )
7232, 70, 71sylancr 656 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x )  e.  CC )
7331, 48, 61, 72add4d 9581 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S. A
( ( Re `  C )  x.  (
Re `  B )
)  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x ) )  +  ( S. A ( -u ( Im `  C )  x.  ( Im `  B ) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  _d x ) ) )  =  ( ( S. A ( ( Re `  C )  x.  ( Re `  B ) )  _d x  +  S. A
( -u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x )  +  ( ( _i  x.  S. A ( ( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  _d x )  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) ) ) )
7432a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  _i  e.  CC )
7574, 50mulcld 9394 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  (
Im `  C )
)  e.  CC )
768, 5itgcl 21103 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  e.  CC )
773, 75, 76adddird 9399 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  C )  +  ( _i  x.  (
Im `  C )
) )  x.  S. A B  _d x
)  =  ( ( ( Re `  C
)  x.  S. A B  _d x )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  S. A B  _d x ) ) )
788, 5itgcnval 21119 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( S. A ( Re `  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )
7978oveq2d 6096 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  C )  x.  S. A B  _d x
)  =  ( ( Re `  C )  x.  ( S. A
( Re `  B
)  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) ) )
8010, 15itgcl 21103 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A ( Re
`  B )  _d x  e.  CC )
8133, 36itgcl 21103 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S. A ( Im
`  B )  _d x  e.  CC )
82 mulcl 9354 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  S. A ( Im `  B )  _d x  e.  CC )  -> 
( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  e.  CC )
8332, 81, 82sylancr 656 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  e.  CC )
843, 80, 83adddid 9398 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  C )  x.  ( S. A ( Re `  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )  =  ( ( ( Re
`  C )  x.  S. A ( Re
`  B )  _d x )  +  ( ( Re `  C
)  x.  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) ) )
853, 10, 15, 29, 2, 10itgmulc2nclem2 28303 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  C )  x.  S. A ( Re `  B )  _d x )  =  S. A
( ( Re `  C )  x.  (
Re `  B )
)  _d x )
863, 74, 81mul12d 9566 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  C )  x.  (
_i  x.  S. A
( Im `  B
)  _d x ) )  =  ( _i  x.  ( ( Re
`  C )  x.  S. A ( Im
`  B )  _d x ) ) )
873, 33, 36, 44, 2, 33itgmulc2nclem2 28303 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  C )  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  =  S. A
( ( Re `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x )
8887oveq2d 6096 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  (
( Re `  C
)  x.  S. A
( Im `  B
)  _d x ) )  =  ( _i  x.  S. A ( ( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  _d x ) )
8986, 88eqtrd 2465 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  C )  x.  (
_i  x.  S. A
( Im `  B
)  _d x ) )  =  ( _i  x.  S. A ( ( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  _d x ) )
9085, 89oveq12d 6098 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  C )  x.  S. A ( Re
`  B )  _d x )  +  ( ( Re `  C
)  x.  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )  =  ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x ) ) )
9179, 84, 903eqtrd 2469 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  C )  x.  S. A B  _d x
)  =  ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x ) ) )
9278oveq2d 6096 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  S. A B  _d x )  =  ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  ( S. A ( Re `  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) ) )
9375, 80, 83adddid 9398 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  ( S. A ( Re `  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  S. A ( Re
`  B )  _d x )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  C )
)  x.  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) ) )
9474, 50, 80mulassd 9397 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  S. A
( Re `  B
)  _d x )  =  ( _i  x.  ( ( Im `  C )  x.  S. A ( Re `  B )  _d x ) ) )
9550, 10, 15, 68, 49, 10itgmulc2nclem2 28303 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  C )  x.  S. A ( Re `  B )  _d x )  =  S. A
( ( Im `  C )  x.  (
Re `  B )
)  _d x )
9695oveq2d 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  (
( Im `  C
)  x.  S. A
( Re `  B
)  _d x ) )  =  ( _i  x.  S. A ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  _d x ) )
9794, 96eqtrd 2465 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  S. A
( Re `  B
)  _d x )  =  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) )
9874, 50, 74, 81mul4d 9569 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )  =  ( ( _i  x.  _i )  x.  ( ( Im `  C )  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )
99 ixi 9953 . . . . . . . . . . 11  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
10099oveq1i 6090 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  x.  _i )  x.  ( ( Im
`  C )  x.  S. A ( Im
`  B )  _d x ) )  =  ( -u 1  x.  ( ( Im `  C )  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )
10150, 81mulcld 9394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  C )  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  e.  CC )
102101mulm1d 9784 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -u 1  x.  ( ( Im `  C )  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )  =  -u ( ( Im `  C )  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )
103100, 102syl5eq 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  _i )  x.  (
( Im `  C
)  x.  S. A
( Im `  B
)  _d x ) )  =  -u (
( Im `  C
)  x.  S. A
( Im `  B
)  _d x ) )
10450, 81mulneg1d 9785 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -u ( Im
`  C )  x.  S. A ( Im
`  B )  _d x )  =  -u ( ( Im `  C )  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )
10551, 33, 36, 59, 57, 33itgmulc2nclem2 28303 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -u ( Im
`  C )  x.  S. A ( Im
`  B )  _d x )  =  S. A ( -u (
Im `  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x )
106104, 105eqtr3d 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
-u ( ( Im
`  C )  x.  S. A ( Im
`  B )  _d x )  =  S. A ( -u (
Im `  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x )
10798, 103, 1063eqtrd 2469 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )  =  S. A (
-u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x )
10897, 107oveq12d 6098 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  S. A ( Re
`  B )  _d x )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  C )
)  x.  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )  =  ( ( _i  x.  S. A
( ( Im `  C )  x.  (
Re `  B )
)  _d x )  +  S. A (
-u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x ) )
10972, 61addcomd 9559 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x )  +  S. A
( -u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x )  =  ( S. A
( -u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) ) )
110108, 109eqtrd 2465 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  S. A ( Re
`  B )  _d x )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  C )
)  x.  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )  =  ( S. A ( -u (
Im `  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) ) )
11192, 93, 1103eqtrd 2469 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  S. A B  _d x )  =  ( S. A (
-u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) ) )
11291, 111oveq12d 6098 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  C )  x.  S. A B  _d x )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  C )
)  x.  S. A B  _d x ) )  =  ( ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x ) )  +  ( S. A ( -u ( Im `  C )  x.  ( Im `  B ) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  _d x ) ) ) )
11377, 112eqtrd 2465 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  C )  +  ( _i  x.  (
Im `  C )
) )  x.  S. A B  _d x
)  =  ( ( S. A ( ( Re `  C )  x.  ( Re `  B ) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  _d x ) )  +  ( S. A
( -u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) ) ) )
11462, 34mulcld 9394 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  e.  CC )
11519, 62, 33, 65, 37offval2 6325 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( Im `  C ) } )  oF  x.  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) ) ) )
11640, 49, 42mbfmulc2re 20968 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( Im `  C ) } )  oF  x.  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) ) )  e. MblFn )
117115, 116eqeltrrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
) )  e. MblFn )
11850, 33, 36, 117iblmulc2nc 28301 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
) )  e.  L^1 )
1191adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
120119, 9mulcld 9394 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  x.  B )  e.  CC )
121 eqidd 2434 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) )
122 ref 12585 . . . . . . . . . . 11  |-  Re : CC
--> RR
123122a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Re : CC --> RR )
124123feqmptd 5732 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Re  =  ( k  e.  CC  |->  ( Re
`  k ) ) )
125 fveq2 5679 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( C  x.  B )  ->  (
Re `  k )  =  ( Re `  ( C  x.  B
) ) )
126120, 121, 124, 125fmptco 5863 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Re  o.  (
x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( C  x.  B ) ) ) )
127119, 9remuld 12691 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( C  x.  B ) )  =  ( ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  -  (
( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) ) ) )
128127mpteq2dva 4366 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( C  x.  B )
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( ( Re `  C )  x.  (
Re `  B )
)  -  ( ( Im `  C )  x.  ( Im `  B ) ) ) ) )
129126, 128eqtrd 2465 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Re  o.  (
x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( ( Re `  C )  x.  (
Re `  B )
)  -  ( ( Im `  C )  x.  ( Im `  B ) ) ) ) )
130 eqid 2433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )
131120, 130fmptd 5855 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) : A --> CC )
132 ismbfcn 20951 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) : A --> CC  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  e. MblFn  <->  ( (
Re  o.  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) )  e. MblFn  /\  (
Im  o.  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) )  e. MblFn ) ) )
133131, 132syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  e. MblFn  <->  ( ( Re  o.  (
x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) )  e. MblFn  /\  (
Im  o.  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) )  e. MblFn ) ) )
13416, 133mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Re  o.  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  (
x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) )  e. MblFn )
)
135134simpld 456 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Re  o.  (
x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) )  e. MblFn )
136129, 135eqeltrrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  -  (
( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) ) ) )  e. MblFn )
13712, 30, 114, 118, 136itgsubnc 28298 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( ( ( Re `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  -  ( ( Im
`  C )  x.  ( Im `  B
) ) )  _d x  =  ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x  -  S. A ( ( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  _d x ) )
138127itgeq2dv 21101 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( Re
`  ( C  x.  B ) )  _d x  =  S. A
( ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  -  (
( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) ) )  _d x )
139114, 118itgneg 21123 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u S. A ( ( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  _d x  =  S. A -u ( ( Im `  C )  x.  ( Im `  B ) )  _d x )
14062, 34mulneg1d 9785 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u ( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  =  -u ( ( Im
`  C )  x.  ( Im `  B
) ) )
141140itgeq2dv 21101 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S. A ( -u ( Im `  C )  x.  ( Im `  B ) )  _d x  =  S. A -u ( ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x )
142139, 141eqtr4d 2468 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u S. A ( ( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  _d x  =  S. A ( -u (
Im `  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x )
143142oveq2d 6096 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S. A ( ( Re `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  _d x  +  -u S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x )  =  ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x  +  S. A (
-u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x ) )
144114, 118itgcl 21103 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A ( ( Im `  C )  x.  ( Im `  B ) )  _d x  e.  CC )
14531, 144negsubd 9713 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S. A ( ( Re `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  _d x  +  -u S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x )  =  ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x  -  S. A ( ( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  _d x ) )
146143, 145eqtr3d 2467 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S. A ( ( Re `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  _d x  +  S. A ( -u (
Im `  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x )  =  ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x  -  S. A ( ( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  _d x ) )
147137, 138, 1463eqtr4d 2475 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A ( Re
`  ( C  x.  B ) )  _d x  =  ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x  +  S. A (
-u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x ) )
148119, 9immuld 12692 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  ( C  x.  B ) )  =  ( ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  +  ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) ) ) )
149148itgeq2dv 21101 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A ( Im
`  ( C  x.  B ) )  _d x  =  S. A
( ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  +  ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) ) )  _d x )
150 imf 12586 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Im : CC
--> RR
151150a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Im : CC --> RR )
152151feqmptd 5732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Im  =  ( k  e.  CC  |->  ( Im
`  k ) ) )
153 fveq2 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( C  x.  B )  ->  (
Im `  k )  =  ( Im `  ( C  x.  B
) ) )
154120, 121, 152, 153fmptco 5863 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Im  o.  (
x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im `  ( C  x.  B ) ) ) )
155148mpteq2dva 4366 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  ( C  x.  B )
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( ( Re `  C )  x.  (
Im `  B )
)  +  ( ( Im `  C )  x.  ( Re `  B ) ) ) ) )
156154, 155eqtrd 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Im  o.  (
x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( ( Re `  C )  x.  (
Im `  B )
)  +  ( ( Im `  C )  x.  ( Re `  B ) ) ) ) )
157134simprd 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Im  o.  (
x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) )  e. MblFn )
158156, 157eqeltrrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  +  ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) ) ) )  e. MblFn )
15935, 45, 63, 69, 158itgaddnc 28296 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A ( ( ( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  +  ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) ) )  _d x  =  ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x  +  S. A ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  _d x ) )
160149, 159eqtrd 2465 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. A ( Im
`  ( C  x.  B ) )  _d x  =  ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x  +  S. A ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  _d x ) )
161160oveq2d 6096 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  S. A ( Im `  ( C  x.  B
) )  _d x )  =  ( _i  x.  ( S. A
( ( Re `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x  +  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) ) )
16274, 46, 70adddid 9398 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x  +  S. A ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  _d x ) )  =  ( ( _i  x.  S. A ( ( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  _d x )  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) ) )
163161, 162eqtrd 2465 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  S. A ( Im `  ( C  x.  B
) )  _d x )  =  ( ( _i  x.  S. A
( ( Re `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x )  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) ) )
164147, 163oveq12d 6098 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S. A ( Re `  ( C  x.  B ) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A
( Im `  ( C  x.  B )
)  _d x ) )  =  ( ( S. A ( ( Re `  C )  x.  ( Re `  B ) )  _d x  +  S. A
( -u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x )  +  ( ( _i  x.  S. A ( ( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  _d x )  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) ) ) )
16573, 113, 1643eqtr4d 2475 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  C )  +  ( _i  x.  (
Im `  C )
) )  x.  S. A B  _d x
)  =  ( S. A ( Re `  ( C  x.  B
) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  ( C  x.  B
) )  _d x ) ) )
1661replimd 12670 . . 3  |-  ( ph  ->  C  =  ( ( Re `  C )  +  ( _i  x.  ( Im `  C ) ) ) )
167166oveq1d 6095 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  x.  S. A B  _d x
)  =  ( ( ( Re `  C
)  +  ( _i  x.  ( Im `  C ) ) )  x.  S. A B  _d x ) )
1681, 8, 5, 16iblmulc2nc 28301 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  e.  L^1 )
169120, 168itgcnval 21119 . 2  |-  ( ph  ->  S. A ( C  x.  B )  _d x  =  ( S. A ( Re `  ( C  x.  B
) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  ( C  x.  B
) )  _d x ) ) )
170165, 167, 1693eqtr4d 2475 1  |-  ( ph  ->  ( C  x.  S. A B  _d x
)  =  S. A
( C  x.  B
)  _d x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755   _Vcvv 2962   {csn 3865    e. cmpt 4338    X. cxp 4825   dom cdm 4827    o. ccom 4831   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080    oFcof 6307   CCcc 9268   RRcr 9269   1c1 9271   _ici 9272    + caddc 9273    x. cmul 9275    - cmin 9583   -ucneg 9584   Recre 12570   Imcim 12571   volcvol 20789  MblFncmbf 20936   L^1cibl 20939   S.citg 20940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348  ax-addf 9349
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-disj 4251  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-ofr 6310  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-q 10942  df-rp 10980  df-xneg 11077  df-xadd 11078  df-xmul 11079  df-ioo 11292  df-ico 11294  df-icc 11295  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-fl 11626  df-mod 11693  df-seq 11791  df-exp 11850  df-hash 12088  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-clim 12950  df-sum 13148  df-rest 14344  df-topgen 14365  df-psmet 17653  df-xmet 17654  df-met 17655  df-bl 17656  df-mopn 17657  df-top 18345  df-bases 18347  df-topon 18348  df-cmp 18832  df-ovol 20790  df-vol 20791  df-mbf 20941  df-itg1 20942  df-itg2 20943  df-ibl 20944  df-itg 20945  df-0p 20990
This theorem is referenced by:  itgabsnc  28305
  Copyright terms: Public domain W3C validator