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Theorem itgmulc2nc 31923
Description: Choice-free analogue of itgmulc2 22777. (Contributed by Brendan Leahy, 19-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
itgmulc2nc.1  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
itgmulc2nc.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
itgmulc2nc.3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
itgmulc2nc.m  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  e. MblFn )
Assertion
Ref Expression
itgmulc2nc  |-  ( ph  ->  ( C  x.  S. A B  _d x
)  =  S. A
( C  x.  B
)  _d x )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    ph, x    x, V
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem itgmulc2nc
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgmulc2nc.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
21recld 13245 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Re `  C
)  e.  RR )
32recnd 9669 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Re `  C
)  e.  CC )
43adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  C )  e.  CC )
5 itgmulc2nc.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
6 iblmbf 22711 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
75, 6syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
8 itgmulc2nc.2 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
97, 8mbfmptcl 22579 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
109recld 13245 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
1110recnd 9669 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  B )  e.  CC )
124, 11mulcld 9663 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( Re `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  e.  CC )
139iblcn 22742 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L^1 
/\  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L^1 ) ) )
145, 13mpbid 213 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L^1  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L^1 ) )
1514simpld 460 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e.  L^1 )
16 itgmulc2nc.m . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  e. MblFn )
17 ovex 6329 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  x.  B )  e. 
_V
1817a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  x.  B )  e.  _V )
1916, 18mbfdm2 22580 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
20 fconstmpt 4893 . . . . . . . . 9  |-  ( A  X.  { ( Re
`  C ) } )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re
`  C ) )
2120a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  X.  {
( Re `  C
) } )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re `  C
) ) )
22 eqidd 2423 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) ) )
2319, 4, 10, 21, 22offval2 6558 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( Re `  C ) } )  oF  x.  (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( Re `  C
)  x.  ( Re
`  B ) ) ) )
24 iblmbf 22711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L^1 
->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e. MblFn )
2515, 24syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e. MblFn )
26 eqid 2422 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  |->  ( Re
`  B ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )
2711, 26fmptd 6057 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) ) : A --> CC )
2825, 2, 27mbfmulc2re 22590 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( Re `  C ) } )  oF  x.  (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) ) )  e. MblFn )
2923, 28eqeltrrd 2511 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( Re `  C )  x.  (
Re `  B )
) )  e. MblFn )
303, 10, 15, 29iblmulc2nc 31920 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( Re `  C )  x.  (
Re `  B )
) )  e.  L^1 )
3112, 30itgcl 22727 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A ( ( Re `  C )  x.  ( Re `  B ) )  _d x  e.  CC )
32 ax-icn 9598 . . . . 5  |-  _i  e.  CC
339imcld 13246 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
3433recnd 9669 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  e.  CC )
354, 34mulcld 9663 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  e.  CC )
3614simprd 464 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) )  e.  L^1 )
37 eqidd 2423 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) ) )
3819, 4, 33, 21, 37offval2 6558 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( Re `  C ) } )  oF  x.  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) ) ) )
39 iblmbf 22711 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L^1 
->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) )  e. MblFn )
4036, 39syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) )  e. MblFn )
41 eqid 2422 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  |->  ( Im
`  B ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )
4234, 41fmptd 6057 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) ) : A --> CC )
4340, 2, 42mbfmulc2re 22590 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( Re `  C ) } )  oF  x.  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) ) )  e. MblFn )
4438, 43eqeltrrd 2511 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( Re `  C )  x.  (
Im `  B )
) )  e. MblFn )
453, 33, 36, 44iblmulc2nc 31920 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( Re `  C )  x.  (
Im `  B )
) )  e.  L^1 )
4635, 45itgcl 22727 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( ( Re `  C )  x.  ( Im `  B ) )  _d x  e.  CC )
47 mulcl 9623 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x  e.  CC )  -> 
( _i  x.  S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x )  e.  CC )
4832, 46, 47sylancr 667 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x )  e.  CC )
491imcld 13246 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Im `  C
)  e.  RR )
5049recnd 9669 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Im `  C
)  e.  CC )
5150negcld 9973 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u ( Im `  C )  e.  CC )
5251adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Im `  C )  e.  CC )
5352, 34mulcld 9663 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u ( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  e.  CC )
54 fconstmpt 4893 . . . . . . . . 9  |-  ( A  X.  { -u (
Im `  C ) } )  =  ( x  e.  A  |->  -u ( Im `  C ) )
5554a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  X.  { -u ( Im `  C
) } )  =  ( x  e.  A  |-> 
-u ( Im `  C ) ) )
5619, 52, 33, 55, 37offval2 6558 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { -u ( Im `  C ) } )  oF  x.  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  (
-u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
) ) )
5749renegcld 10046 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u ( Im `  C )  e.  RR )
5840, 57, 42mbfmulc2re 22590 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { -u ( Im `  C ) } )  oF  x.  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) ) )  e. MblFn )
5956, 58eqeltrrd 2511 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( -u ( Im
`  C )  x.  ( Im `  B
) ) )  e. MblFn
)
6051, 33, 36, 59iblmulc2nc 31920 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( -u ( Im
`  C )  x.  ( Im `  B
) ) )  e.  L^1 )
6153, 60itgcl 22727 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A ( -u ( Im `  C )  x.  ( Im `  B ) )  _d x  e.  CC )
6250adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  C )  e.  CC )
6362, 11mulcld 9663 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  e.  CC )
64 fconstmpt 4893 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  X.  { ( Im
`  C ) } )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im
`  C ) )
6564a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  X.  {
( Im `  C
) } )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im `  C
) ) )
6619, 62, 10, 65, 22offval2 6558 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( Im `  C ) } )  oF  x.  (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) ) ) )
6725, 49, 27mbfmulc2re 22590 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( Im `  C ) } )  oF  x.  (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) ) )  e. MblFn )
6866, 67eqeltrrd 2511 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( Im `  C )  x.  (
Re `  B )
) )  e. MblFn )
6950, 10, 15, 68iblmulc2nc 31920 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( Im `  C )  x.  (
Re `  B )
) )  e.  L^1 )
7063, 69itgcl 22727 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( ( Im `  C )  x.  ( Re `  B ) )  _d x  e.  CC )
71 mulcl 9623 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x  e.  CC )  -> 
( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x )  e.  CC )
7232, 70, 71sylancr 667 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x )  e.  CC )
7331, 48, 61, 72add4d 9858 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S. A
( ( Re `  C )  x.  (
Re `  B )
)  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x ) )  +  ( S. A ( -u ( Im `  C )  x.  ( Im `  B ) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  _d x ) ) )  =  ( ( S. A ( ( Re `  C )  x.  ( Re `  B ) )  _d x  +  S. A
( -u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x )  +  ( ( _i  x.  S. A ( ( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  _d x )  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) ) ) )
7432a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  _i  e.  CC )
7574, 50mulcld 9663 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  (
Im `  C )
)  e.  CC )
768, 5itgcl 22727 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  e.  CC )
773, 75, 76adddird 9668 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  C )  +  ( _i  x.  (
Im `  C )
) )  x.  S. A B  _d x
)  =  ( ( ( Re `  C
)  x.  S. A B  _d x )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  S. A B  _d x ) ) )
788, 5itgcnval 22743 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( S. A ( Re `  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )
7978oveq2d 6317 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  C )  x.  S. A B  _d x
)  =  ( ( Re `  C )  x.  ( S. A
( Re `  B
)  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) ) )
8010, 15itgcl 22727 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A ( Re
`  B )  _d x  e.  CC )
8133, 36itgcl 22727 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S. A ( Im
`  B )  _d x  e.  CC )
82 mulcl 9623 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  S. A ( Im `  B )  _d x  e.  CC )  -> 
( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  e.  CC )
8332, 81, 82sylancr 667 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  e.  CC )
843, 80, 83adddid 9667 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  C )  x.  ( S. A ( Re `  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )  =  ( ( ( Re
`  C )  x.  S. A ( Re
`  B )  _d x )  +  ( ( Re `  C
)  x.  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) ) )
853, 10, 15, 29, 2, 10itgmulc2nclem2 31922 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  C )  x.  S. A ( Re `  B )  _d x )  =  S. A
( ( Re `  C )  x.  (
Re `  B )
)  _d x )
863, 74, 81mul12d 9842 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  C )  x.  (
_i  x.  S. A
( Im `  B
)  _d x ) )  =  ( _i  x.  ( ( Re
`  C )  x.  S. A ( Im
`  B )  _d x ) ) )
873, 33, 36, 44, 2, 33itgmulc2nclem2 31922 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  C )  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  =  S. A
( ( Re `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x )
8887oveq2d 6317 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  (
( Re `  C
)  x.  S. A
( Im `  B
)  _d x ) )  =  ( _i  x.  S. A ( ( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  _d x ) )
8986, 88eqtrd 2463 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  C )  x.  (
_i  x.  S. A
( Im `  B
)  _d x ) )  =  ( _i  x.  S. A ( ( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  _d x ) )
9085, 89oveq12d 6319 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  C )  x.  S. A ( Re
`  B )  _d x )  +  ( ( Re `  C
)  x.  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )  =  ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x ) ) )
9179, 84, 903eqtrd 2467 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  C )  x.  S. A B  _d x
)  =  ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x ) ) )
9278oveq2d 6317 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  S. A B  _d x )  =  ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  ( S. A ( Re `  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) ) )
9375, 80, 83adddid 9667 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  ( S. A ( Re `  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  S. A ( Re
`  B )  _d x )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  C )
)  x.  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) ) )
9474, 50, 80mulassd 9666 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  S. A
( Re `  B
)  _d x )  =  ( _i  x.  ( ( Im `  C )  x.  S. A ( Re `  B )  _d x ) ) )
9550, 10, 15, 68, 49, 10itgmulc2nclem2 31922 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  C )  x.  S. A ( Re `  B )  _d x )  =  S. A
( ( Im `  C )  x.  (
Re `  B )
)  _d x )
9695oveq2d 6317 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  (
( Im `  C
)  x.  S. A
( Re `  B
)  _d x ) )  =  ( _i  x.  S. A ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  _d x ) )
9794, 96eqtrd 2463 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  S. A
( Re `  B
)  _d x )  =  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) )
9874, 50, 74, 81mul4d 9845 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )  =  ( ( _i  x.  _i )  x.  ( ( Im `  C )  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )
99 ixi 10241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
10099oveq1i 6311 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  x.  _i )  x.  ( ( Im
`  C )  x.  S. A ( Im
`  B )  _d x ) )  =  ( -u 1  x.  ( ( Im `  C )  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )
10150, 81mulcld 9663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  C )  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  e.  CC )
102101mulm1d 10070 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -u 1  x.  ( ( Im `  C )  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )  =  -u ( ( Im `  C )  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )
103100, 102syl5eq 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  _i )  x.  (
( Im `  C
)  x.  S. A
( Im `  B
)  _d x ) )  =  -u (
( Im `  C
)  x.  S. A
( Im `  B
)  _d x ) )
10450, 81mulneg1d 10071 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -u ( Im
`  C )  x.  S. A ( Im
`  B )  _d x )  =  -u ( ( Im `  C )  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )
10551, 33, 36, 59, 57, 33itgmulc2nclem2 31922 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -u ( Im
`  C )  x.  S. A ( Im
`  B )  _d x )  =  S. A ( -u (
Im `  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x )
106104, 105eqtr3d 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
-u ( ( Im
`  C )  x.  S. A ( Im
`  B )  _d x )  =  S. A ( -u (
Im `  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x )
10798, 103, 1063eqtrd 2467 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )  =  S. A (
-u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x )
10897, 107oveq12d 6319 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  S. A ( Re
`  B )  _d x )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  C )
)  x.  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )  =  ( ( _i  x.  S. A
( ( Im `  C )  x.  (
Re `  B )
)  _d x )  +  S. A (
-u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x ) )
10972, 61addcomd 9835 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x )  +  S. A
( -u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x )  =  ( S. A
( -u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) ) )
110108, 109eqtrd 2463 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  S. A ( Re
`  B )  _d x )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  C )
)  x.  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )  =  ( S. A ( -u (
Im `  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) ) )
11192, 93, 1103eqtrd 2467 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  S. A B  _d x )  =  ( S. A (
-u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) ) )
11291, 111oveq12d 6319 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  C )  x.  S. A B  _d x )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  C )
)  x.  S. A B  _d x ) )  =  ( ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x ) )  +  ( S. A ( -u ( Im `  C )  x.  ( Im `  B ) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  _d x ) ) ) )
11377, 112eqtrd 2463 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  C )  +  ( _i  x.  (
Im `  C )
) )  x.  S. A B  _d x
)  =  ( ( S. A ( ( Re `  C )  x.  ( Re `  B ) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  _d x ) )  +  ( S. A
( -u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) ) ) )
11462, 34mulcld 9663 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  e.  CC )
11519, 62, 33, 65, 37offval2 6558 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( Im `  C ) } )  oF  x.  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) ) ) )
11640, 49, 42mbfmulc2re 22590 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( Im `  C ) } )  oF  x.  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) ) )  e. MblFn )
117115, 116eqeltrrd 2511 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
) )  e. MblFn )
11850, 33, 36, 117iblmulc2nc 31920 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
) )  e.  L^1 )
1191adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
120119, 9mulcld 9663 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  x.  B )  e.  CC )
121 eqidd 2423 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) )
122 ref 13163 . . . . . . . . . . 11  |-  Re : CC
--> RR
123122a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Re : CC --> RR )
124123feqmptd 5930 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Re  =  ( k  e.  CC  |->  ( Re
`  k ) ) )
125 fveq2 5877 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( C  x.  B )  ->  (
Re `  k )  =  ( Re `  ( C  x.  B
) ) )
126120, 121, 124, 125fmptco 6067 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Re  o.  (
x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( C  x.  B ) ) ) )
127119, 9remuld 13269 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( C  x.  B ) )  =  ( ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  -  (
( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) ) ) )
128127mpteq2dva 4507 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( C  x.  B )
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( ( Re `  C )  x.  (
Re `  B )
)  -  ( ( Im `  C )  x.  ( Im `  B ) ) ) ) )
129126, 128eqtrd 2463 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Re  o.  (
x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( ( Re `  C )  x.  (
Re `  B )
)  -  ( ( Im `  C )  x.  ( Im `  B ) ) ) ) )
130 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )
131120, 130fmptd 6057 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) : A --> CC )
132 ismbfcn 22573 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) : A --> CC  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  e. MblFn  <->  ( (
Re  o.  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) )  e. MblFn  /\  (
Im  o.  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) )  e. MblFn ) ) )
133131, 132syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  e. MblFn  <->  ( ( Re  o.  (
x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) )  e. MblFn  /\  (
Im  o.  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) )  e. MblFn ) ) )
13416, 133mpbid 213 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Re  o.  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  (
x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) )  e. MblFn )
)
135134simpld 460 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Re  o.  (
x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) )  e. MblFn )
136129, 135eqeltrrd 2511 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  -  (
( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) ) ) )  e. MblFn )
13712, 30, 114, 118, 136itgsubnc 31917 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( ( ( Re `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  -  ( ( Im
`  C )  x.  ( Im `  B
) ) )  _d x  =  ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x  -  S. A ( ( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  _d x ) )
138127itgeq2dv 22725 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( Re
`  ( C  x.  B ) )  _d x  =  S. A
( ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  -  (
( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) ) )  _d x )
139114, 118itgneg 22747 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u S. A ( ( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  _d x  =  S. A -u ( ( Im `  C )  x.  ( Im `  B ) )  _d x )
14062, 34mulneg1d 10071 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u ( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  =  -u ( ( Im
`  C )  x.  ( Im `  B
) ) )
141140itgeq2dv 22725 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S. A ( -u ( Im `  C )  x.  ( Im `  B ) )  _d x  =  S. A -u ( ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x )
142139, 141eqtr4d 2466 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u S. A ( ( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  _d x  =  S. A ( -u (
Im `  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x )
143142oveq2d 6317 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S. A ( ( Re `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  _d x  +  -u S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x )  =  ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x  +  S. A (
-u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x ) )
144114, 118itgcl 22727 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A ( ( Im `  C )  x.  ( Im `  B ) )  _d x  e.  CC )
14531, 144negsubd 9992 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S. A ( ( Re `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  _d x  +  -u S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x )  =  ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x  -  S. A ( ( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  _d x ) )
146143, 145eqtr3d 2465 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S. A ( ( Re `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  _d x  +  S. A ( -u (
Im `  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x )  =  ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x  -  S. A ( ( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  _d x ) )
147137, 138, 1463eqtr4d 2473 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A ( Re
`  ( C  x.  B ) )  _d x  =  ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x  +  S. A (
-u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x ) )
148119, 9immuld 13270 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  ( C  x.  B ) )  =  ( ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  +  ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) ) ) )
149148itgeq2dv 22725 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A ( Im
`  ( C  x.  B ) )  _d x  =  S. A
( ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  +  ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) ) )  _d x )
150 imf 13164 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Im : CC
--> RR
151150a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Im : CC --> RR )
152151feqmptd 5930 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Im  =  ( k  e.  CC  |->  ( Im
`  k ) ) )
153 fveq2 5877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( C  x.  B )  ->  (
Im `  k )  =  ( Im `  ( C  x.  B
) ) )
154120, 121, 152, 153fmptco 6067 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Im  o.  (
x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im `  ( C  x.  B ) ) ) )
155148mpteq2dva 4507 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  ( C  x.  B )
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( ( Re `  C )  x.  (
Im `  B )
)  +  ( ( Im `  C )  x.  ( Re `  B ) ) ) ) )
156154, 155eqtrd 2463 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Im  o.  (
x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( ( Re `  C )  x.  (
Im `  B )
)  +  ( ( Im `  C )  x.  ( Re `  B ) ) ) ) )
157134simprd 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Im  o.  (
x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) )  e. MblFn )
158156, 157eqeltrrd 2511 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  +  ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) ) ) )  e. MblFn )
15935, 45, 63, 69, 158itgaddnc 31915 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A ( ( ( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  +  ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) ) )  _d x  =  ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x  +  S. A ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  _d x ) )
160149, 159eqtrd 2463 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. A ( Im
`  ( C  x.  B ) )  _d x  =  ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x  +  S. A ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  _d x ) )
161160oveq2d 6317 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  S. A ( Im `  ( C  x.  B
) )  _d x )  =  ( _i  x.  ( S. A
( ( Re `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x  +  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) ) )
16274, 46, 70adddid 9667 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x  +  S. A ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  _d x ) )  =  ( ( _i  x.  S. A ( ( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  _d x )  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) ) )
163161, 162eqtrd 2463 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  S. A ( Im `  ( C  x.  B
) )  _d x )  =  ( ( _i  x.  S. A
( ( Re `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x )  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) ) )
164147, 163oveq12d 6319 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S. A ( Re `  ( C  x.  B ) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A
( Im `  ( C  x.  B )
)  _d x ) )  =  ( ( S. A ( ( Re `  C )  x.  ( Re `  B ) )  _d x  +  S. A
( -u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x )  +  ( ( _i  x.  S. A ( ( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  _d x )  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) ) ) )
16573, 113, 1643eqtr4d 2473 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  C )  +  ( _i  x.  (
Im `  C )
) )  x.  S. A B  _d x
)  =  ( S. A ( Re `  ( C  x.  B
) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  ( C  x.  B
) )  _d x ) ) )
1661replimd 13248 . . 3  |-  ( ph  ->  C  =  ( ( Re `  C )  +  ( _i  x.  ( Im `  C ) ) ) )
167166oveq1d 6316 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  x.  S. A B  _d x
)  =  ( ( ( Re `  C
)  +  ( _i  x.  ( Im `  C ) ) )  x.  S. A B  _d x ) )
1681, 8, 5, 16iblmulc2nc 31920 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  e.  L^1 )
169120, 168itgcnval 22743 . 2  |-  ( ph  ->  S. A ( C  x.  B )  _d x  =  ( S. A ( Re `  ( C  x.  B
) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  ( C  x.  B
) )  _d x ) ) )
170165, 167, 1693eqtr4d 2473 1  |-  ( ph  ->  ( C  x.  S. A B  _d x
)  =  S. A
( C  x.  B
)  _d x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868   _Vcvv 3081   {csn 3996    |-> cmpt 4479    X. cxp 4847   dom cdm 4849    o. ccom 4853   -->wf 5593   ` cfv 5597  (class class class)co 6301    oFcof 6539   CCcc 9537   RRcr 9538   1c1 9540   _ici 9541    + caddc 9542    x. cmul 9544    - cmin 9860   -ucneg 9861   Recre 13148   Imcim 13149   volcvol 22401  MblFncmbf 22558   L^1cibl 22561   S.citg 22562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-inf2 8148  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-disj 4392  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-of 6541  df-ofr 6542  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-2o 7187  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-pm 7479  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-fi 7927  df-sup 7958  df-inf 7959  df-oi 8027  df-card 8374  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12027  df-mod 12096  df-seq 12213  df-exp 12272  df-hash 12515  df-cj 13150  df-re 13151  df-im 13152  df-sqrt 13286  df-abs 13287  df-clim 13539  df-sum 13740  df-rest 15308  df-topgen 15329  df-psmet 18949  df-xmet 18950  df-met 18951  df-bl 18952  df-mopn 18953  df-top 19907  df-bases 19908  df-topon 19909  df-cmp 20388  df-ovol 22402  df-vol 22404  df-mbf 22563  df-itg1 22564  df-itg2 22565  df-ibl 22566  df-itg 22567  df-0p 22614
This theorem is referenced by:  itgabsnc  31924
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