MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgmulc2lem1 Unicode version

Theorem itgmulc2lem1 19676
Description: Lemma for itgmulc2 19678: positive real case. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgmulc2.1  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
itgmulc2.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
itgmulc2.3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
itgmulc2.4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
itgmulc2.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
itgmulc2.6  |-  ( ph  ->  0  <_  C )
itgmulc2.7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  B )
Assertion
Ref Expression
itgmulc2lem1  |-  ( ph  ->  ( C  x.  S. A B  _d x
)  =  S. A
( C  x.  B
)  _d x )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    ph, x    x, V
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem itgmulc2lem1
StepHypRef Expression
1 itgmulc2.5 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
2 itgmulc2.7 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  B )
3 elrege0 10963 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )
41, 2, 3sylanbrc 646 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
5 0re 9047 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
6 0le0 10037 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  0
7 elrege0 10963 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( 0  e.  RR  /\  0  <_  0 ) )
85, 6, 7mpbir2an 887 . . . . . . . 8  |-  0  e.  ( 0 [,)  +oo )
98a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
104, 9ifclda 3726 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  B , 
0 )  e.  ( 0 [,)  +oo )
)
1110adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
12 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )
1311, 12fmptd 5852 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
14 itgmulc2.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
151, 2iblpos 19637 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
1614, 15mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
1716simprd 450 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )
18 itgmulc2.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
19 itgmulc2.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  C )
20 elrege0 10963 . . . . 5  |-  ( C  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C ) )
2118, 19, 20sylanbrc 646 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
2213, 17, 21itg2mulc 19592 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
( RR  X.  { C } )  o F  x.  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )  =  ( C  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) ) )
23 reex 9037 . . . . . . 7  |-  RR  e.  _V
2423a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
2518adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  C  e.  RR )
26 fconstmpt 4880 . . . . . . 7  |-  ( RR 
X.  { C }
)  =  ( x  e.  RR  |->  C )
2726a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  X.  { C } )  =  ( x  e.  RR  |->  C ) )
28 eqidd 2405 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )
2924, 25, 11, 27, 28offval2 6281 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( RR  X.  { C } )  o F  x.  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( C  x.  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )
30 oveq2 6048 . . . . . . . 8  |-  ( if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  =  B  ->  ( C  x.  if (
x  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( C  x.  B ) )
31 oveq2 6048 . . . . . . . 8  |-  ( if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  =  0  ->  ( C  x.  if (
x  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( C  x.  0 ) )
3230, 31ifsb 3708 . . . . . . 7  |-  ( C  x.  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( C  x.  B ) ,  ( C  x.  0 ) )
33 itgmulc2.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
3433mul01d 9221 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C  x.  0 )  =  0 )
3534adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( C  x.  0 )  =  0 )
3635ifeq2d 3714 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A , 
( C  x.  B
) ,  ( C  x.  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( C  x.  B ) ,  0 ) )
3732, 36syl5eq 2448 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( C  x.  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( C  x.  B ) ,  0 ) )
3837mpteq2dva 4255 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  ( C  x.  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( C  x.  B ) ,  0 ) ) )
3929, 38eqtrd 2436 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( RR  X.  { C } )  o F  x.  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( C  x.  B ) ,  0 ) ) )
4039fveq2d 5691 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
( RR  X.  { C } )  o F  x.  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( C  x.  B
) ,  0 ) ) ) )
4122, 40eqtr3d 2438 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( C  x.  B
) ,  0 ) ) ) )
421, 14, 2itgposval 19640 . . 3  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )
4342oveq2d 6056 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  x.  S. A B  _d x
)  =  ( C  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) ) )
4418adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
4544, 1remulcld 9072 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  x.  B )  e.  RR )
46 itgmulc2.2 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
4733, 46, 14iblmulc2 19675 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  e.  L ^1 )
4819adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  C )
4944, 1, 48, 2mulge0d 9559 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( C  x.  B
) )
5045, 47, 49itgposval 19640 . 2  |-  ( ph  ->  S. A ( C  x.  B )  _d x  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( C  x.  B ) ,  0 ) ) ) )
5141, 43, 503eqtr4d 2446 1  |-  ( ph  ->  ( C  x.  S. A B  _d x
)  =  S. A
( C  x.  B
)  _d x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916   ifcif 3699   {csn 3774   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    o Fcof 6262   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946    x. cmul 8951    +oocpnf 9073    <_ cle 9077   [,)cico 10874  MblFncmbf 19459   S.2citg2 19461   L ^1cibl 19462   S.citg 19463
This theorem is referenced by:  itgmulc2lem2  19677
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cc 8271  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-disj 4143  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-ofr 6265  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-ovol 19314  df-vol 19315  df-mbf 19465  df-itg1 19466  df-itg2 19467  df-ibl 19468  df-itg 19469  df-0p 19515
  Copyright terms: Public domain W3C validator