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Theorem itgmulc2 21968
Description: Multiply an integral by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgmulc2.1  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
itgmulc2.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
itgmulc2.3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
Assertion
Ref Expression
itgmulc2  |-  ( ph  ->  ( C  x.  S. A B  _d x
)  =  S. A
( C  x.  B
)  _d x )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    ph, x    x, V
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem itgmulc2
StepHypRef Expression
1 itgmulc2.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
21recld 12977 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Re `  C
)  e.  RR )
32recnd 9611 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Re `  C
)  e.  CC )
43adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  C )  e.  CC )
5 itgmulc2.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
6 iblmbf 21902 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
75, 6syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
8 itgmulc2.2 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
97, 8mbfmptcl 21772 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
109recld 12977 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
1110recnd 9611 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  B )  e.  CC )
124, 11mulcld 9605 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( Re `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  e.  CC )
139iblcn 21933 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L^1 
/\  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L^1 ) ) )
145, 13mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L^1  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L^1 ) )
1514simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e.  L^1 )
163, 10, 15iblmulc2 21965 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( Re `  C )  x.  (
Re `  B )
) )  e.  L^1 )
1712, 16itgcl 21918 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A ( ( Re `  C )  x.  ( Re `  B ) )  _d x  e.  CC )
18 ax-icn 9540 . . . . 5  |-  _i  e.  CC
199imcld 12978 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
2019recnd 9611 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  e.  CC )
214, 20mulcld 9605 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  e.  CC )
2214simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) )  e.  L^1 )
233, 19, 22iblmulc2 21965 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( Re `  C )  x.  (
Im `  B )
) )  e.  L^1 )
2421, 23itgcl 21918 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( ( Re `  C )  x.  ( Im `  B ) )  _d x  e.  CC )
25 mulcl 9565 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x  e.  CC )  -> 
( _i  x.  S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x )  e.  CC )
2618, 24, 25sylancr 663 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x )  e.  CC )
271imcld 12978 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Im `  C
)  e.  RR )
2827renegcld 9975 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u ( Im `  C )  e.  RR )
2928recnd 9611 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u ( Im `  C )  e.  CC )
3029adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Im `  C )  e.  CC )
3130, 20mulcld 9605 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u ( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  e.  CC )
3229, 19, 22iblmulc2 21965 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( -u ( Im
`  C )  x.  ( Im `  B
) ) )  e.  L^1 )
3331, 32itgcl 21918 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A ( -u ( Im `  C )  x.  ( Im `  B ) )  _d x  e.  CC )
3427recnd 9611 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Im `  C
)  e.  CC )
3534adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  C )  e.  CC )
3635, 11mulcld 9605 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  e.  CC )
3734, 10, 15iblmulc2 21965 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( Im `  C )  x.  (
Re `  B )
) )  e.  L^1 )
3836, 37itgcl 21918 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( ( Im `  C )  x.  ( Re `  B ) )  _d x  e.  CC )
39 mulcl 9565 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x  e.  CC )  -> 
( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x )  e.  CC )
4018, 38, 39sylancr 663 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x )  e.  CC )
4117, 26, 33, 40add4d 9792 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S. A
( ( Re `  C )  x.  (
Re `  B )
)  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x ) )  +  ( S. A ( -u ( Im `  C )  x.  ( Im `  B ) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  _d x ) ) )  =  ( ( S. A ( ( Re `  C )  x.  ( Re `  B ) )  _d x  +  S. A
( -u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x )  +  ( ( _i  x.  S. A ( ( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  _d x )  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) ) ) )
42 mulcl 9565 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  C )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  C )
)  e.  CC )
4318, 34, 42sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  (
Im `  C )
)  e.  CC )
448, 5itgcl 21918 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  e.  CC )
453, 43, 44adddird 9610 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  C )  +  ( _i  x.  (
Im `  C )
) )  x.  S. A B  _d x
)  =  ( ( ( Re `  C
)  x.  S. A B  _d x )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  S. A B  _d x ) ) )
468, 5itgcnval 21934 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( S. A ( Re `  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )
4746oveq2d 6291 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  C )  x.  S. A B  _d x
)  =  ( ( Re `  C )  x.  ( S. A
( Re `  B
)  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) ) )
4810, 15itgcl 21918 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A ( Re
`  B )  _d x  e.  CC )
4919, 22itgcl 21918 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S. A ( Im
`  B )  _d x  e.  CC )
50 mulcl 9565 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  S. A ( Im `  B )  _d x  e.  CC )  -> 
( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  e.  CC )
5118, 49, 50sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  e.  CC )
523, 48, 51adddid 9609 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  C )  x.  ( S. A ( Re `  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )  =  ( ( ( Re
`  C )  x.  S. A ( Re
`  B )  _d x )  +  ( ( Re `  C
)  x.  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) ) )
533, 10, 15, 2, 10itgmulc2lem2 21967 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  C )  x.  S. A ( Re `  B )  _d x )  =  S. A
( ( Re `  C )  x.  (
Re `  B )
)  _d x )
5418a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  _i  e.  CC )
553, 54, 49mul12d 9777 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  C )  x.  (
_i  x.  S. A
( Im `  B
)  _d x ) )  =  ( _i  x.  ( ( Re
`  C )  x.  S. A ( Im
`  B )  _d x ) ) )
563, 19, 22, 2, 19itgmulc2lem2 21967 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  C )  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  =  S. A
( ( Re `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x )
5756oveq2d 6291 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  (
( Re `  C
)  x.  S. A
( Im `  B
)  _d x ) )  =  ( _i  x.  S. A ( ( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  _d x ) )
5855, 57eqtrd 2501 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  C )  x.  (
_i  x.  S. A
( Im `  B
)  _d x ) )  =  ( _i  x.  S. A ( ( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  _d x ) )
5953, 58oveq12d 6293 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  C )  x.  S. A ( Re
`  B )  _d x )  +  ( ( Re `  C
)  x.  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )  =  ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x ) ) )
6047, 52, 593eqtrd 2505 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  C )  x.  S. A B  _d x
)  =  ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x ) ) )
6146oveq2d 6291 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  S. A B  _d x )  =  ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  ( S. A ( Re `  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) ) )
6243, 48, 51adddid 9609 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  ( S. A ( Re `  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  S. A ( Re
`  B )  _d x )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  C )
)  x.  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) ) )
6354, 34, 48mulassd 9608 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  S. A
( Re `  B
)  _d x )  =  ( _i  x.  ( ( Im `  C )  x.  S. A ( Re `  B )  _d x ) ) )
6434, 10, 15, 27, 10itgmulc2lem2 21967 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  C )  x.  S. A ( Re `  B )  _d x )  =  S. A
( ( Im `  C )  x.  (
Re `  B )
)  _d x )
6564oveq2d 6291 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  (
( Im `  C
)  x.  S. A
( Re `  B
)  _d x ) )  =  ( _i  x.  S. A ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  _d x ) )
6663, 65eqtrd 2501 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  S. A
( Re `  B
)  _d x )  =  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) )
6754, 34, 54, 49mul4d 9780 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )  =  ( ( _i  x.  _i )  x.  ( ( Im `  C )  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )
68 ixi 10167 . . . . . . . . . . 11  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
6968oveq1i 6285 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  x.  _i )  x.  ( ( Im
`  C )  x.  S. A ( Im
`  B )  _d x ) )  =  ( -u 1  x.  ( ( Im `  C )  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )
7034, 49mulcld 9605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  C )  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  e.  CC )
7170mulm1d 9997 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -u 1  x.  ( ( Im `  C )  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )  =  -u ( ( Im `  C )  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )
7269, 71syl5eq 2513 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  _i )  x.  (
( Im `  C
)  x.  S. A
( Im `  B
)  _d x ) )  =  -u (
( Im `  C
)  x.  S. A
( Im `  B
)  _d x ) )
7334, 49mulneg1d 9998 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -u ( Im
`  C )  x.  S. A ( Im
`  B )  _d x )  =  -u ( ( Im `  C )  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )
7429, 19, 22, 28, 19itgmulc2lem2 21967 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -u ( Im
`  C )  x.  S. A ( Im
`  B )  _d x )  =  S. A ( -u (
Im `  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x )
7573, 74eqtr3d 2503 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
-u ( ( Im
`  C )  x.  S. A ( Im
`  B )  _d x )  =  S. A ( -u (
Im `  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x )
7667, 72, 753eqtrd 2505 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) )  =  S. A (
-u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x )
7766, 76oveq12d 6293 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  S. A ( Re
`  B )  _d x )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  C )
)  x.  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )  =  ( ( _i  x.  S. A
( ( Im `  C )  x.  (
Re `  B )
)  _d x )  +  S. A (
-u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x ) )
7840, 33addcomd 9770 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x )  +  S. A
( -u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x )  =  ( S. A
( -u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) ) )
7977, 78eqtrd 2501 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  S. A ( Re
`  B )  _d x )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  C )
)  x.  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )  =  ( S. A ( -u (
Im `  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) ) )
8061, 62, 793eqtrd 2505 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  C ) )  x.  S. A B  _d x )  =  ( S. A (
-u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) ) )
8160, 80oveq12d 6293 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  C )  x.  S. A B  _d x )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  C )
)  x.  S. A B  _d x ) )  =  ( ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x ) )  +  ( S. A ( -u ( Im `  C )  x.  ( Im `  B ) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  _d x ) ) ) )
8245, 81eqtrd 2501 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  C )  +  ( _i  x.  (
Im `  C )
) )  x.  S. A B  _d x
)  =  ( ( S. A ( ( Re `  C )  x.  ( Re `  B ) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  _d x ) )  +  ( S. A
( -u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) ) ) )
8335, 20mulcld 9605 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  e.  CC )
8412, 83negsubd 9925 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( Re `  C )  x.  (
Re `  B )
)  +  -u (
( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) ) )  =  ( ( ( Re `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  -  ( ( Im
`  C )  x.  ( Im `  B
) ) ) )
8535, 20mulneg1d 9998 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u ( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  =  -u ( ( Im
`  C )  x.  ( Im `  B
) ) )
8685oveq2d 6291 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( Re `  C )  x.  (
Re `  B )
)  +  ( -u ( Im `  C )  x.  ( Im `  B ) ) )  =  ( ( ( Re `  C )  x.  ( Re `  B ) )  + 
-u ( ( Im
`  C )  x.  ( Im `  B
) ) ) )
871adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
8887, 9remuld 13001 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( C  x.  B ) )  =  ( ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  -  (
( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) ) ) )
8984, 86, 883eqtr4d 2511 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( Re `  C )  x.  (
Re `  B )
)  +  ( -u ( Im `  C )  x.  ( Im `  B ) ) )  =  ( Re `  ( C  x.  B
) ) )
9089itgeq2dv 21916 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( ( ( Re `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  +  ( -u (
Im `  C )  x.  ( Im `  B
) ) )  _d x  =  S. A
( Re `  ( C  x.  B )
)  _d x )
9112, 16, 31, 32itgadd 21959 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( ( ( Re `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  +  ( -u (
Im `  C )  x.  ( Im `  B
) ) )  _d x  =  ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x  +  S. A (
-u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x ) )
9290, 91eqtr3d 2503 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A ( Re
`  ( C  x.  B ) )  _d x  =  ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x  +  S. A (
-u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x ) )
9387, 9immuld 13002 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  ( C  x.  B ) )  =  ( ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  +  ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) ) ) )
9493itgeq2dv 21916 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A ( Im
`  ( C  x.  B ) )  _d x  =  S. A
( ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  +  ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) ) )  _d x )
9521, 23, 36, 37itgadd 21959 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A ( ( ( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  +  ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) ) )  _d x  =  ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x  +  S. A ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  _d x ) )
9694, 95eqtrd 2501 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. A ( Im
`  ( C  x.  B ) )  _d x  =  ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x  +  S. A ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  _d x ) )
9796oveq2d 6291 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  S. A ( Im `  ( C  x.  B
) )  _d x )  =  ( _i  x.  ( S. A
( ( Re `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x  +  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) ) )
9854, 24, 38adddid 9609 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  ( S. A ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  _d x  +  S. A ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  _d x ) )  =  ( ( _i  x.  S. A ( ( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  _d x )  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) ) )
9997, 98eqtrd 2501 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  S. A ( Im `  ( C  x.  B
) )  _d x )  =  ( ( _i  x.  S. A
( ( Re `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x )  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) ) )
10092, 99oveq12d 6293 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S. A ( Re `  ( C  x.  B ) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A
( Im `  ( C  x.  B )
)  _d x ) )  =  ( ( S. A ( ( Re `  C )  x.  ( Re `  B ) )  _d x  +  S. A
( -u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
)  _d x )  +  ( ( _i  x.  S. A ( ( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  _d x )  +  ( _i  x.  S. A ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  _d x ) ) ) )
10141, 82, 1003eqtr4d 2511 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  C )  +  ( _i  x.  (
Im `  C )
) )  x.  S. A B  _d x
)  =  ( S. A ( Re `  ( C  x.  B
) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  ( C  x.  B
) )  _d x ) ) )
1021replimd 12980 . . 3  |-  ( ph  ->  C  =  ( ( Re `  C )  +  ( _i  x.  ( Im `  C ) ) ) )
103102oveq1d 6290 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  x.  S. A B  _d x
)  =  ( ( ( Re `  C
)  +  ( _i  x.  ( Im `  C ) ) )  x.  S. A B  _d x ) )
10487, 9mulcld 9605 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  x.  B )  e.  CC )
1051, 8, 5iblmulc2 21965 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  e.  L^1 )
106104, 105itgcnval 21934 . 2  |-  ( ph  ->  S. A ( C  x.  B )  _d x  =  ( S. A ( Re `  ( C  x.  B
) )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  ( C  x.  B
) )  _d x ) ) )
107101, 103, 1063eqtr4d 2511 1  |-  ( ph  ->  ( C  x.  S. A B  _d x
)  =  S. A
( C  x.  B
)  _d x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    |-> cmpt 4498   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   CCcc 9479   RRcr 9480   1c1 9482   _ici 9483    + caddc 9484    x. cmul 9486    - cmin 9794   -ucneg 9795   Recre 12880   Imcim 12881  MblFncmbf 21751   L^1cibl 21754   S.citg 21755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cc 8804  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-disj 4411  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-ofr 6516  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-omul 7125  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-fi 7860  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-acn 8312  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xneg 11307  df-xadd 11308  df-xmul 11309  df-ioo 11522  df-ioc 11523  df-ico 11524  df-icc 11525  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-mod 11953  df-seq 12064  df-exp 12123  df-hash 12361  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-clim 13260  df-rlim 13261  df-sum 13458  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-hom 14568  df-cco 14569  df-rest 14667  df-topn 14668  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-topgen 14688  df-pt 14689  df-prds 14692  df-xrs 14746  df-qtop 14751  df-imas 14752  df-xps 14754  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-mnd 15721  df-submnd 15771  df-mulg 15854  df-cntz 16143  df-cmn 16589  df-psmet 18175  df-xmet 18176  df-met 18177  df-bl 18178  df-mopn 18179  df-cnfld 18185  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-topsp 19163  df-cn 19487  df-cnp 19488  df-cmp 19646  df-tx 19791  df-hmeo 19984  df-xms 20551  df-ms 20552  df-tms 20553  df-cncf 21110  df-ovol 21604  df-vol 21605  df-mbf 21756  df-itg1 21757  df-itg2 21758  df-ibl 21759  df-itg 21760  df-0p 21805
This theorem is referenced by:  itgabs  21969  itgpowd  30776  areaquad  30778  itgsinexplem1  31226  fourierdlem30  31392  fourierdlem83  31445  fourierdlem95  31457  sqwvfoura  31484
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