MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgless Structured version   Unicode version

Theorem itgless 21294
Description: Expand the integral of a nonnegative function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgless.1  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
itgless.2  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
itgless.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  RR )
itgless.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  0  <_  C )
itgless.5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  C )  e.  L^1 )
Assertion
Ref Expression
itgless  |-  ( ph  ->  S. A C  _d x  <_  S. B C  _d x )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    ph, x
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem itgless
StepHypRef Expression
1 itgless.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
2 itgss2 21290 . . 3  |-  ( A 
C_  B  ->  S. A C  _d x  =  S. B if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  _d x )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  S. A C  _d x  =  S. B if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  _d x )
4 itgless.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  C )  e.  L^1 )
5 iblmbf 21245 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  B  |->  C )  e.  L^1 
->  ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn )
64, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn )
7 itgless.3 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  RR )
86, 7mbfdm2 21116 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  vol )
91sselda 3356 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  B )
109, 7syldan 470 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
11 0re 9386 . . . . 5  |-  0  e.  RR
12 ifcl 3831 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  C , 
0 )  e.  RR )
1310, 11, 12sylancl 662 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  e.  RR )
14 eldifn 3479 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( B  \  A )  ->  -.  x  e.  A )
1514adantl 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  -.  x  e.  A )
16 iffalse 3799 . . . . 5  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  =  0 )
1715, 16syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  if (
x  e.  A ,  C ,  0 )  =  0 )
18 iftrue 3797 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  =  C )
1918mpteq2ia 4374 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  C )
20 itgless.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
211, 20, 7, 4iblss 21282 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )
2219, 21syl5eqel 2527 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A ,  C , 
0 ) )  e.  L^1 )
231, 8, 13, 17, 22iblss2 21283 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C , 
0 ) )  e.  L^1 )
247, 11, 12sylancl 662 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  e.  RR )
257leidd 9906 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  C  <_  C )
26 itgless.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  0  <_  C )
27 breq1 4295 . . . . 5  |-  ( C  =  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  -> 
( C  <_  C  <->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  <_  C ) )
28 breq1 4295 . . . . 5  |-  ( 0  =  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  -> 
( 0  <_  C  <->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  <_  C ) )
2927, 28ifboth 3825 . . . 4  |-  ( ( C  <_  C  /\  0  <_  C )  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  <_  C )
3025, 26, 29syl2anc 661 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  <_  C )
3123, 4, 24, 7, 30itgle 21287 . 2  |-  ( ph  ->  S. B if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  _d x  <_  S. B C  _d x
)
323, 31eqbrtrd 4312 1  |-  ( ph  ->  S. A C  _d x  <_  S. B C  _d x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    \ cdif 3325    C_ wss 3328   ifcif 3791   class class class wbr 4292    e. cmpt 4350   dom cdm 4840   RRcr 9281   0cc0 9282    <_ cle 9419   volcvol 20947  MblFncmbf 21094   L^1cibl 21097   S.citg 21098
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-addf 9361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-disj 4263  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-ofr 6321  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xadd 11090  df-ioo 11304  df-ico 11306  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-fl 11642  df-mod 11709  df-seq 11807  df-exp 11866  df-hash 12104  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-clim 12966  df-sum 13164  df-xmet 17810  df-met 17811  df-ovol 20948  df-vol 20949  df-mbf 21099  df-itg1 21100  df-itg2 21101  df-ibl 21102  df-itg 21103  df-0p 21148
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator