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Theorem itgle 22767
Description: Monotonicity of an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgle.1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
itgle.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )
itgle.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
itgle.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
itgle.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  <_  C )
Assertion
Ref Expression
itgle  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  <_  S. A C  _d x )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)

Proof of Theorem itgle
StepHypRef Expression
1 itgle.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
2 itgle.3 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
32iblrelem 22748 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) ,  -u B ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
41, 3mpbid 214 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B
) ,  -u B ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
54simp2d 1021 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )
6 itgle.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )
7 itgle.4 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
87iblrelem 22748 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) ,  -u C ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
96, 8mpbid 214 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C
) ,  -u C ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
109simp3d 1022 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) ,  -u C ,  0 ) ) )  e.  RR )
119simp2d 1021 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) )  e.  RR )
124simp3d 1022 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) ,  -u B ,  0 ) ) )  e.  RR )
132ad2ant2r 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  B ) )  ->  B  e.  RR )
1413rexrd 9690 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  B ) )  ->  B  e.  RR* )
15 simprr 766 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  B ) )  ->  0  <_  B
)
16 elxrge0 11741 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( B  e. 
RR*  /\  0  <_  B ) )
1714, 15, 16sylanbrc 670 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  B ) )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo )
)
18 0e0iccpnf 11743 . . . . . . 7  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
1918a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2017, 19ifclda 3913 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
21 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )
2220, 21fmptd 6046 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
237ad2ant2r 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  C ) )  ->  C  e.  RR )
2423rexrd 9690 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  C ) )  ->  C  e.  RR* )
25 simprr 766 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  C ) )  ->  0  <_  C
)
26 elxrge0 11741 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( C  e. 
RR*  /\  0  <_  C ) )
2724, 25, 26sylanbrc 670 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  C ) )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo )
)
2818a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2927, 28ifclda 3913 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
30 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) )
3129, 30fmptd 6046 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
32 0re 9643 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
33 max1 11480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  0  <_  if (
0  <_  C ,  C ,  0 ) )
3432, 7, 33sylancr 669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )
35 ifcl 3923 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  e.  RR )
367, 32, 35sylancl 668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  e.  RR )
37 itgle.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  <_  C )
38 max2 11482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  C  <_  if (
0  <_  C ,  C ,  0 ) )
3932, 7, 38sylancr 669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  <_  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )
402, 7, 36, 37, 39letrd 9792 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  <_  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )
4132a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  e.  RR )
42 maxle 11485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  e.  RR )  -> 
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  <_  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  <-> 
( 0  <_  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  /\  B  <_  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )
4341, 2, 36, 42syl3anc 1268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  <_  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  <->  ( 0  <_  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  /\  B  <_  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )
4434, 40, 43mpbir2and 933 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  <_  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )
45 iftrue 3887 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
4645adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
47 iftrue 3887 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )
4847adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )
4944, 46, 483brtr4d 4433 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  A ,  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ,  0 ) )
5049ex 436 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ,  0 ) ) )
51 0le0 10699 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  0
5251a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
0  <_  0 )
53 iffalse 3890 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ,  0 )  =  0 )
54 iffalse 3890 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ,  0 )  =  0 )
5552, 53, 543brtr4d 4433 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  A ,  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ,  0 ) )
5650, 55pm2.61d1 163 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ,  0 ) )
57 ifan 3927 . . . . . . 7  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ,  0 )
58 ifan 3927 . . . . . . 7  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ,  0 )
5956, 57, 583brtr4g 4435 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  <_  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) )
6059ralrimivw 2803 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  <_  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) )
61 reex 9630 . . . . . . 7  |-  RR  e.  _V
6261a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
63 eqidd 2452 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )
64 eqidd 2452 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) )
6562, 20, 29, 63, 64ofrfval2 6549 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )  oR  <_ 
( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) )  <->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  <_  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) )
6660, 65mpbird 236 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )  oR  <_  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) )
67 itg2le 22697 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )  oR  <_  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) ) )
6822, 31, 66, 67syl3anc 1268 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) ) )
697renegcld 10046 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u C  e.  RR )
7069ad2ant2r 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) )  ->  -u C  e.  RR )
7170rexrd 9690 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) )  ->  -u C  e.  RR* )
72 simprr 766 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) )  ->  0  <_  -u C
)
73 elxrge0 11741 . . . . . . 7  |-  ( -u C  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( -u C  e.  RR*  /\  0  <_  -u C ) )
7471, 72, 73sylanbrc 670 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) )  ->  -u C  e.  ( 0 [,] +oo )
)
7518a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C
) )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
7674, 75ifclda 3913 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C
) ,  -u C ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
77 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C
) ,  -u C ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) , 
-u C ,  0 ) )
7876, 77fmptd 6046 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) ,  -u C ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
792renegcld 10046 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u B  e.  RR )
8079ad2ant2r 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) )  ->  -u B  e.  RR )
8180rexrd 9690 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) )  ->  -u B  e.  RR* )
82 simprr 766 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) )  ->  0  <_  -u B
)
83 elxrge0 11741 . . . . . . 7  |-  ( -u B  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( -u B  e.  RR*  /\  0  <_  -u B ) )
8481, 82, 83sylanbrc 670 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) )  ->  -u B  e.  ( 0 [,] +oo )
)
8518a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B
) )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
8684, 85ifclda 3913 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B
) ,  -u B ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
87 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B
) ,  -u B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) , 
-u B ,  0 ) )
8886, 87fmptd 6046 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) ,  -u B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
89 max1 11480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u B  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
9032, 79, 89sylancr 669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
91 ifcl 3923 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR )
9279, 32, 91sylancl 668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR )
932, 7lenegd 10192 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  <_  C  <->  -u C  <_  -u B ) )
9437, 93mpbid 214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u C  <_ 
-u B )
95 max2 11482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u B  e.  RR )  ->  -u B  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
9632, 79, 95sylancr 669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u B  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
9769, 79, 92, 94, 96letrd 9792 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u C  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
98 maxle 11485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u C  e.  RR  /\  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR )  ->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  <-> 
( 0  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  /\  -u C  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) ) )
9941, 69, 92, 98syl3anc 1268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  <_  if (
0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  <-> 
( 0  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  /\  -u C  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) ) )
10090, 97, 99mpbir2and 933 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  <_  if (
0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
101 iftrue 3887 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )
102101adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )
103 iftrue 3887 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
104103adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
105100, 102, 1043brtr4d 4433 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ,  0 ) )
106105ex 436 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ,  0 ) ) )
107 iffalse 3890 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
108 iffalse 3890 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
10952, 107, 1083brtr4d 4433 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ,  0 ) )
110106, 109pm2.61d1 163 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ,  0 ) )
111 ifan 3927 . . . . . . 7  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C
) ,  -u C ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ,  0 )
112 ifan 3927 . . . . . . 7  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B
) ,  -u B ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ,  0 )
113110, 111, 1123brtr4g 4435 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u C ) , 
-u C ,  0 )  <_  if (
( x  e.  A  /\  0  <_  -u B
) ,  -u B ,  0 ) )
114113ralrimivw 2803 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) ,  -u C ,  0 )  <_  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) , 
-u B ,  0 ) )
115 eqidd 2452 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) ,  -u C ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C
) ,  -u C ,  0 ) ) )
116 eqidd 2452 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) ,  -u B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B
) ,  -u B ,  0 ) ) )
11762, 76, 86, 115, 116ofrfval2 6549 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) , 
-u C ,  0 ) )  oR  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) , 
-u B ,  0 ) )  <->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) , 
-u C ,  0 )  <_  if (
( x  e.  A  /\  0  <_  -u B
) ,  -u B ,  0 ) ) )
118114, 117mpbird 236 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) ,  -u C ,  0 ) )  oR  <_ 
( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) ,  -u B ,  0 ) ) )
119 itg2le 22697 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) ,  -u C ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) ,  -u B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) ,  -u C ,  0 ) )  oR  <_ 
( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) ,  -u B ,  0 ) ) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) , 
-u C ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B
) ,  -u B ,  0 ) ) ) )
12078, 88, 118, 119syl3anc 1268 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) ,  -u C ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) , 
-u B ,  0 ) ) ) )
1215, 10, 11, 12, 68, 120le2subd 10233 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )  -  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) ,  -u B ,  0 ) ) ) )  <_ 
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) )  -  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) ,  -u C ,  0 ) ) ) ) )
1222, 1itgrevallem1 22752 . 2  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )  -  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B
) ,  -u B ,  0 ) ) ) ) )
1237, 6itgrevallem1 22752 . 2  |-  ( ph  ->  S. A C  _d x  =  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) )  -  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C
) ,  -u C ,  0 ) ) ) ) )
124121, 122, 1233brtr4d 4433 1  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  <_  S. A C  _d x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   _Vcvv 3045   ifcif 3881   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290    oRcofr 6530   RRcr 9538   0cc0 9539   +oocpnf 9672   RR*cxr 9674    <_ cle 9676    - cmin 9860   -ucneg 9861   [,]cicc 11638  MblFncmbf 22572   S.2citg2 22574   L^1cibl 22575   S.citg 22576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-disj 4374  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-ofr 6532  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xadd 11410  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-sum 13753  df-xmet 18963  df-met 18964  df-ovol 22416  df-vol 22418  df-mbf 22577  df-itg1 22578  df-itg2 22579  df-ibl 22580  df-itg 22581  df-0p 22628
This theorem is referenced by:  itgge0  22768  itgless  22774  itgabs  22792  itgulm  23363  itgabsnc  32011  wallispilem1  37927  fourierdlem47  38017  fourierdlem87  38057  etransclem23  38122
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