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Theorem itgle 22846
Description: Monotonicity of an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgle.1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
itgle.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )
itgle.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
itgle.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
itgle.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  <_  C )
Assertion
Ref Expression
itgle  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  <_  S. A C  _d x )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)

Proof of Theorem itgle
StepHypRef Expression
1 itgle.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
2 itgle.3 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
32iblrelem 22827 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) ,  -u B ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
41, 3mpbid 215 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B
) ,  -u B ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
54simp2d 1043 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )
6 itgle.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )
7 itgle.4 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
87iblrelem 22827 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) ,  -u C ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
96, 8mpbid 215 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C
) ,  -u C ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
109simp3d 1044 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) ,  -u C ,  0 ) ) )  e.  RR )
119simp2d 1043 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) )  e.  RR )
124simp3d 1044 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) ,  -u B ,  0 ) ) )  e.  RR )
132ad2ant2r 761 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  B ) )  ->  B  e.  RR )
1413rexrd 9708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  B ) )  ->  B  e.  RR* )
15 simprr 774 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  B ) )  ->  0  <_  B
)
16 elxrge0 11767 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( B  e. 
RR*  /\  0  <_  B ) )
1714, 15, 16sylanbrc 677 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  B ) )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo )
)
18 0e0iccpnf 11769 . . . . . . 7  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
1918a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2017, 19ifclda 3904 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
21 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )
2220, 21fmptd 6061 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
237ad2ant2r 761 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  C ) )  ->  C  e.  RR )
2423rexrd 9708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  C ) )  ->  C  e.  RR* )
25 simprr 774 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  C ) )  ->  0  <_  C
)
26 elxrge0 11767 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( C  e. 
RR*  /\  0  <_  C ) )
2724, 25, 26sylanbrc 677 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  C ) )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo )
)
2818a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2927, 28ifclda 3904 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
30 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) )
3129, 30fmptd 6061 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
32 0re 9661 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
33 max1 11503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  0  <_  if (
0  <_  C ,  C ,  0 ) )
3432, 7, 33sylancr 676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )
35 ifcl 3914 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  e.  RR )
367, 32, 35sylancl 675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  e.  RR )
37 itgle.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  <_  C )
38 max2 11505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  C  <_  if (
0  <_  C ,  C ,  0 ) )
3932, 7, 38sylancr 676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  <_  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )
402, 7, 36, 37, 39letrd 9809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  <_  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )
4132a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  e.  RR )
42 maxle 11508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  e.  RR )  -> 
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  <_  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  <-> 
( 0  <_  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  /\  B  <_  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )
4341, 2, 36, 42syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  <_  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  <->  ( 0  <_  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  /\  B  <_  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )
4434, 40, 43mpbir2and 936 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  <_  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )
45 iftrue 3878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
4645adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
47 iftrue 3878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )
4847adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )
4944, 46, 483brtr4d 4426 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  A ,  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ,  0 ) )
5049ex 441 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ,  0 ) ) )
51 0le0 10721 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  0
5251a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
0  <_  0 )
53 iffalse 3881 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ,  0 )  =  0 )
54 iffalse 3881 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ,  0 )  =  0 )
5552, 53, 543brtr4d 4426 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ,  0 )  <_  if (
x  e.  A ,  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ,  0 ) )
5650, 55pm2.61d1 164 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ,  0 ) )
57 ifan 3918 . . . . . . 7  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ,  0 )
58 ifan 3918 . . . . . . 7  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ,  0 )
5956, 57, 583brtr4g 4428 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  <_  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) )
6059ralrimivw 2810 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  <_  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) )
61 reex 9648 . . . . . . 7  |-  RR  e.  _V
6261a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
63 eqidd 2472 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )
64 eqidd 2472 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) )
6562, 20, 29, 63, 64ofrfval2 6568 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )  oR  <_ 
( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) )  <->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  <_  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) )
6660, 65mpbird 240 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )  oR  <_  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) )
67 itg2le 22776 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )  oR  <_  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) ) )
6822, 31, 66, 67syl3anc 1292 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) ) )
697renegcld 10067 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u C  e.  RR )
7069ad2ant2r 761 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) )  ->  -u C  e.  RR )
7170rexrd 9708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) )  ->  -u C  e.  RR* )
72 simprr 774 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) )  ->  0  <_  -u C
)
73 elxrge0 11767 . . . . . . 7  |-  ( -u C  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( -u C  e.  RR*  /\  0  <_  -u C ) )
7471, 72, 73sylanbrc 677 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) )  ->  -u C  e.  ( 0 [,] +oo )
)
7518a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C
) )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
7674, 75ifclda 3904 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C
) ,  -u C ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
77 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C
) ,  -u C ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) , 
-u C ,  0 ) )
7876, 77fmptd 6061 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) ,  -u C ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
792renegcld 10067 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u B  e.  RR )
8079ad2ant2r 761 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) )  ->  -u B  e.  RR )
8180rexrd 9708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) )  ->  -u B  e.  RR* )
82 simprr 774 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) )  ->  0  <_  -u B
)
83 elxrge0 11767 . . . . . . 7  |-  ( -u B  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( -u B  e.  RR*  /\  0  <_  -u B ) )
8481, 82, 83sylanbrc 677 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) )  ->  -u B  e.  ( 0 [,] +oo )
)
8518a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B
) )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
8684, 85ifclda 3904 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B
) ,  -u B ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
87 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B
) ,  -u B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) , 
-u B ,  0 ) )
8886, 87fmptd 6061 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) ,  -u B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
89 max1 11503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u B  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
9032, 79, 89sylancr 676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
91 ifcl 3914 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR )
9279, 32, 91sylancl 675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR )
932, 7lenegd 10213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  <_  C  <->  -u C  <_  -u B ) )
9437, 93mpbid 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u C  <_ 
-u B )
95 max2 11505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u B  e.  RR )  ->  -u B  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
9632, 79, 95sylancr 676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u B  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
9769, 79, 92, 94, 96letrd 9809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u C  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
98 maxle 11508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u C  e.  RR  /\  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR )  ->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  <-> 
( 0  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  /\  -u C  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) ) )
9941, 69, 92, 98syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  <_  if (
0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  <-> 
( 0  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  /\  -u C  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) ) )
10090, 97, 99mpbir2and 936 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  <_  if (
0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
101 iftrue 3878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )
102101adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )
103 iftrue 3878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
104103adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
105100, 102, 1043brtr4d 4426 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ,  0 ) )
106105ex 441 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ,  0 ) ) )
107 iffalse 3881 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
108 iffalse 3881 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
10952, 107, 1083brtr4d 4426 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ,  0 ) )
110106, 109pm2.61d1 164 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ,  0 ) )
111 ifan 3918 . . . . . . 7  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C
) ,  -u C ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ,  0 )
112 ifan 3918 . . . . . . 7  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B
) ,  -u B ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ,  0 )
113110, 111, 1123brtr4g 4428 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
-u C ) , 
-u C ,  0 )  <_  if (
( x  e.  A  /\  0  <_  -u B
) ,  -u B ,  0 ) )
114113ralrimivw 2810 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) ,  -u C ,  0 )  <_  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) , 
-u B ,  0 ) )
115 eqidd 2472 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) ,  -u C ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C
) ,  -u C ,  0 ) ) )
116 eqidd 2472 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) ,  -u B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B
) ,  -u B ,  0 ) ) )
11762, 76, 86, 115, 116ofrfval2 6568 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) , 
-u C ,  0 ) )  oR  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) , 
-u B ,  0 ) )  <->  A. x  e.  RR  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) , 
-u C ,  0 )  <_  if (
( x  e.  A  /\  0  <_  -u B
) ,  -u B ,  0 ) ) )
118114, 117mpbird 240 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) ,  -u C ,  0 ) )  oR  <_ 
( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) ,  -u B ,  0 ) ) )
119 itg2le 22776 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) ,  -u C ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) ,  -u B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) ,  -u C ,  0 ) )  oR  <_ 
( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) ,  -u B ,  0 ) ) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) , 
-u C ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B
) ,  -u B ,  0 ) ) ) )
12078, 88, 118, 119syl3anc 1292 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) ,  -u C ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) , 
-u B ,  0 ) ) ) )
1215, 10, 11, 12, 68, 120le2subd 10254 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )  -  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) ,  -u B ,  0 ) ) ) )  <_ 
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) )  -  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C ) ,  -u C ,  0 ) ) ) ) )
1222, 1itgrevallem1 22831 . 2  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )  -  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B
) ,  -u B ,  0 ) ) ) ) )
1237, 6itgrevallem1 22831 . 2  |-  ( ph  ->  S. A C  _d x  =  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  C ) ,  C ,  0 ) ) )  -  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u C
) ,  -u C ,  0 ) ) ) ) )
124121, 122, 1233brtr4d 4426 1  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  <_  S. A C  _d x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   _Vcvv 3031   ifcif 3872   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    oRcofr 6549   RRcr 9556   0cc0 9557   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692    <_ cle 9694    - cmin 9880   -ucneg 9881   [,]cicc 11663  MblFncmbf 22651   S.2citg2 22653   L^1cibl 22654   S.citg 22655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xadd 11433  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-xmet 19040  df-met 19041  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-mbf 22656  df-itg1 22657  df-itg2 22658  df-ibl 22659  df-itg 22660  df-0p 22707
This theorem is referenced by:  itgge0  22847  itgless  22853  itgabs  22871  itgulm  23442  itgabsnc  32075  wallispilem1  38039  fourierdlem47  38129  fourierdlem87  38169  etransclem23  38234
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