Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgioocnicc Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem itgioocnicc 37951
 Description: The integral of a piecewise continuous function on an open interval is equal to the integral of the continuous function , in the corresponding closed interval. is equal to on the open interval, but it is continuous at the two boundaries, also. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgioocnicc.a
itgioocnicc.b
itgioocnicc.f
itgioocnicc.fcn
itgioocnicc.fdom
itgioocnicc.r lim
itgioocnicc.l lim
itgioocnicc.g
Assertion
Ref Expression
itgioocnicc
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem itgioocnicc
StepHypRef Expression
1 itgioocnicc.a . . 3
2 itgioocnicc.b . . 3
3 itgioocnicc.g . . . . 5
4 iftrue 3878 . . . . . . . . 9
5 iftrue 3878 . . . . . . . . 9
64, 5eqtr4d 2508 . . . . . . . 8
76adantl 473 . . . . . . 7
8 iftrue 3878 . . . . . . . . . . . 12
9 iftrue 3878 . . . . . . . . . . . 12
108, 9eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . 11
1110adantl 473 . . . . . . . . . 10
1211ifeq2d 3891 . . . . . . . . 9
1312adantll 728 . . . . . . . 8
14 iffalse 3881 . . . . . . . . . 10
1514ad2antlr 741 . . . . . . . . 9
16 iffalse 3881 . . . . . . . . . 10
1716adantl 473 . . . . . . . . 9
18 iffalse 3881 . . . . . . . . . . 11
1918ad2antlr 741 . . . . . . . . . 10
20 iffalse 3881 . . . . . . . . . . 11
2120adantl 473 . . . . . . . . . 10
221adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
2322rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . 13
2423ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12
252rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . 13
2625ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . 12
272adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
28 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . 14
29 eliccre 37699 . . . . . . . . . . . . . 14
3022, 27, 28, 29syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13
3130ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12
321ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14
3330adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
3425adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16
35 iccgelb 11716 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3623, 34, 28, 35syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . 15
3736adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
38 neqne 2651 . . . . . . . . . . . . . . 15
3938adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14
4032, 33, 37, 39leneltd 9806 . . . . . . . . . . . . 13
4140adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
4230adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
432ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14
44 iccleub 11715 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4523, 34, 28, 44syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . 15
4645adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
47 eqcom 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4847notbii 303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4948biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5049neqned 2650 . . . . . . . . . . . . . . 15
5150adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14
5242, 43, 46, 51leneltd 9806 . . . . . . . . . . . . 13
5352adantlr 729 . . . . . . . . . . . 12
5424, 26, 31, 41, 53eliood 37691 . . . . . . . . . . 11
55 fvres 5893 . . . . . . . . . . 11
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . 10
5719, 21, 563eqtrrd 2510 . . . . . . . . 9
5815, 17, 573eqtrd 2509 . . . . . . . 8
5913, 58pm2.61dan 808 . . . . . . 7
607, 59pm2.61dan 808 . . . . . 6
6160mpteq2dva 4482 . . . . 5
623, 61syl5eq 2517 . . . 4
63 nfv 1769 . . . . 5
64 eqid 2471 . . . . 5
65 itgioocnicc.fcn . . . . 5
66 itgioocnicc.l . . . . 5 lim
67 itgioocnicc.r . . . . 5 lim
6863, 64, 1, 2, 65, 66, 67cncfiooicc 37869 . . . 4
6962, 68eqeltrd 2549 . . 3
70 cniccibl 22877 . . 3
711, 2, 69, 70syl3anc 1292 . 2
724adantl 473 . . . . . . . . 9
73 limccl 22909 . . . . . . . . . . 11 lim
7473, 67sseldi 3416 . . . . . . . . . 10
7574ad2antrr 740 . . . . . . . . 9
7672, 75eqeltrd 2549 . . . . . . . 8
7714, 8sylan9eq 2525 . . . . . . . . . . 11
7877adantll 728 . . . . . . . . . 10
79 limccl 22909 . . . . . . . . . . . 12 lim
8079, 66sseldi 3416 . . . . . . . . . . 11
8180ad3antrrr 744 . . . . . . . . . 10
8278, 81eqeltrd 2549 . . . . . . . . 9
8314, 16sylan9eq 2525 . . . . . . . . . . 11
8483adantll 728 . . . . . . . . . 10
8556eqcomd 2477 . . . . . . . . . . 11
86 cncff 22003 . . . . . . . . . . . . . 14
8765, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
8887ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . 12
8988, 54ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . 11
9085, 89eqeltrd 2549 . . . . . . . . . 10
9184, 90eqeltrd 2549 . . . . . . . . 9
9282, 91pm2.61dan 808 . . . . . . . 8
9376, 92pm2.61dan 808 . . . . . . 7
943fvmpt2 5972 . . . . . . 7
9528, 93, 94syl2anc 673 . . . . . 6
9695, 93eqeltrd 2549 . . . . 5
971, 2, 96itgioo 22852 . . . 4
9897eqcomd 2477 . . 3
99 ioossicc 11745 . . . . . . 7
10099sseli 3414 . . . . . 6
101100, 95sylan2 482 . . . . 5
1021adantr 472 . . . . . . . 8
103 eliooord 11719 . . . . . . . . . 10
104103simpld 466 . . . . . . . . 9
105104adantl 473 . . . . . . . 8
106102, 105gtned 9787 . . . . . . 7
107106neneqd 2648 . . . . . 6
108107, 14syl 17 . . . . 5
109100, 30sylan2 482 . . . . . . . 8
110103simprd 470 . . . . . . . . 9
111110adantl 473 . . . . . . . 8
112109, 111ltned 9788 . . . . . . 7
113112neneqd 2648 . . . . . 6
114113, 16syl 17 . . . . 5
115101, 108, 1143eqtrd 2509 . . . 4
116115itgeq2dv 22818 . . 3
117 itgioocnicc.f . . . . . 6
118117adantr 472 . . . . 5
119 itgioocnicc.fdom . . . . . 6
120119sselda 3418 . . . . 5
121118, 120ffvelrnd 6038 . . . 4
1221, 2, 121itgioo 22852 . . 3
12398, 116, 1223eqtrd 2509 . 2
12471, 123jca 541 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641   wss 3390  cif 3872   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cdm 4839   cres 4841  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cc 9555  cr 9556  cxr 9692   clt 9693   cle 9694  cioo 11660  cicc 11663  ccncf 21986  cibl 22654  citg 22655   lim climc 22896 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-mbf 22656  df-itg1 22657  df-itg2 22658  df-ibl 22659  df-itg 22660  df-0p 22707  df-limc 22900 This theorem is referenced by:  fourierdlem81  38163
 Copyright terms: Public domain W3C validator