MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgioo Structured version   Unicode version

Theorem itgioo 21952
Description: Equality of integrals on open and closed intervals. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgioo.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
itgioo.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
itgioo.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
itgioo  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) C  _d x  =  S. ( A [,] B ) C  _d x )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    ph, x
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem itgioo
StepHypRef Expression
1 ioossicc 11601 . . . 4  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
21a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( A [,] B ) )
3 itgioo.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 itgioo.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
5 iccssre 11597 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
63, 4, 5syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
73rexrd 9634 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
84rexrd 9634 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
9 icc0 11568 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A [,] B
)  =  (/)  <->  B  <  A ) )
107, 8, 9syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B )  =  (/)  <->  B  <  A ) )
1110biimpar 485 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  ( A [,] B )  =  (/) )
1211difeq1d 3616 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  ( ( A [,] B )  \ 
( A (,) B
) )  =  (
(/)  \  ( A (,) B ) ) )
13 0dif 3893 . . . . . . 7  |-  ( (/)  \  ( A (,) B
) )  =  (/)
14 0ss 3809 . . . . . . 7  |-  (/)  C_  { A ,  B }
1513, 14eqsstri 3529 . . . . . 6  |-  ( (/)  \  ( A (,) B
) )  C_  { A ,  B }
1612, 15syl6eqss 3549 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  ( ( A [,] B )  \ 
( A (,) B
) )  C_  { A ,  B } )
17 uncom 3643 . . . . . . . . 9  |-  ( { A ,  B }  u.  ( A (,) B
) )  =  ( ( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )
187adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  RR* )
198adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  RR* )
20 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  A  <_  B )
21 prunioo 11640 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( A [,] B
) )
2218, 19, 20, 21syl3anc 1223 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  ( ( A (,) B )  u. 
{ A ,  B } )  =  ( A [,] B ) )
2317, 22syl5req 2516 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  ( A [,] B )  =  ( { A ,  B }  u.  ( A (,) B ) ) )
2423difeq1d 3616 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  ( ( A [,] B )  \ 
( A (,) B
) )  =  ( ( { A ,  B }  u.  ( A (,) B ) ) 
\  ( A (,) B ) ) )
25 difun2 3901 . . . . . . 7  |-  ( ( { A ,  B }  u.  ( A (,) B ) )  \ 
( A (,) B
) )  =  ( { A ,  B }  \  ( A (,) B ) )
2624, 25syl6eq 2519 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  ( ( A [,] B )  \ 
( A (,) B
) )  =  ( { A ,  B }  \  ( A (,) B ) ) )
27 difss 3626 . . . . . 6  |-  ( { A ,  B }  \  ( A (,) B ) )  C_  { A ,  B }
2826, 27syl6eqss 3549 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  ( ( A [,] B )  \ 
( A (,) B
) )  C_  { A ,  B } )
2916, 28, 4, 3ltlecasei 9683 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B )  \  ( A (,) B ) ) 
C_  { A ,  B } )
30 prssi 4178 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  { A ,  B }  C_  RR )
313, 4, 30syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  { A ,  B }  C_  RR )
32 prfi 7786 . . . . 5  |-  { A ,  B }  e.  Fin
33 ovolfi 21635 . . . . 5  |-  ( ( { A ,  B }  e.  Fin  /\  { A ,  B }  C_  RR )  ->  ( vol* `  { A ,  B } )  =  0 )
3432, 31, 33sylancr 663 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( vol* `  { A ,  B }
)  =  0 )
35 ovolssnul 21628 . . . 4  |-  ( ( ( ( A [,] B )  \  ( A (,) B ) ) 
C_  { A ,  B }  /\  { A ,  B }  C_  RR  /\  ( vol* `  { A ,  B }
)  =  0 )  ->  ( vol* `  ( ( A [,] B )  \  ( A (,) B ) ) )  =  0 )
3629, 31, 34, 35syl3anc 1223 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( ( A [,] B )  \  ( A (,) B ) ) )  =  0 )
37 itgioo.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  C  e.  CC )
382, 6, 36, 37itgss3 21951 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  ( A (,) B )  |->  C )  e.  L^1  <->  ( x  e.  ( A [,] B
)  |->  C )  e.  L^1 )  /\  S. ( A (,) B
) C  _d x  =  S. ( A [,] B ) C  _d x ) )
3938simprd 463 1  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) C  _d x  =  S. ( A [,] B ) C  _d x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    \ cdif 3468    u. cun 3469    C_ wss 3471   (/)c0 3780   {cpr 4024   class class class wbr 4442    |-> cmpt 4500   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   Fincfn 7508   CCcc 9481   RRcr 9482   0cc0 9483   RR*cxr 9618    < clt 9619    <_ cle 9620   (,)cioo 11520   [,]cicc 11523   vol*covol 21604   L^1cibl 21756   S.citg 21757
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561  ax-addf 9562
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-disj 4413  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6517  df-ofr 6518  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-fi 7862  df-sup 7892  df-oi 7926  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-q 11174  df-rp 11212  df-xneg 11309  df-xadd 11310  df-xmul 11311  df-ioo 11524  df-ico 11526  df-icc 11527  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-fl 11888  df-mod 11955  df-seq 12066  df-exp 12125  df-hash 12363  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-clim 13262  df-sum 13460  df-rest 14669  df-topgen 14690  df-psmet 18177  df-xmet 18178  df-met 18179  df-bl 18180  df-mopn 18181  df-top 19161  df-bases 19163  df-topon 19164  df-cmp 19648  df-ovol 21606  df-vol 21607  df-mbf 21758  df-itg1 21759  df-itg2 21760  df-ibl 21761  df-itg 21762
This theorem is referenced by:  itgpowd  30778  itgioocnicc  31252  itgiccshift  31255  itgperiod  31256  fourierdlem73  31437  fourierdlem81  31445  fourierdlem82  31446  fourierdlem111  31475
  Copyright terms: Public domain W3C validator