MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgioo Structured version   Unicode version

Theorem itgioo 21292
Description: Equality of integrals on open and closed intervals. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgioo.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
itgioo.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
itgioo.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
itgioo  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) C  _d x  =  S. ( A [,] B ) C  _d x )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    ph, x
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem itgioo
StepHypRef Expression
1 ioossicc 11380 . . . 4  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
21a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( A [,] B ) )
3 itgioo.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 itgioo.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
5 iccssre 11376 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
63, 4, 5syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
73rexrd 9432 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
84rexrd 9432 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
9 icc0 11347 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A [,] B
)  =  (/)  <->  B  <  A ) )
107, 8, 9syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B )  =  (/)  <->  B  <  A ) )
1110biimpar 485 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  ( A [,] B )  =  (/) )
1211difeq1d 3472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  ( ( A [,] B )  \ 
( A (,) B
) )  =  (
(/)  \  ( A (,) B ) ) )
13 0dif 3749 . . . . . . 7  |-  ( (/)  \  ( A (,) B
) )  =  (/)
14 0ss 3665 . . . . . . 7  |-  (/)  C_  { A ,  B }
1513, 14eqsstri 3385 . . . . . 6  |-  ( (/)  \  ( A (,) B
) )  C_  { A ,  B }
1612, 15syl6eqss 3405 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  <  A )  ->  ( ( A [,] B )  \ 
( A (,) B
) )  C_  { A ,  B } )
17 uncom 3499 . . . . . . . . 9  |-  ( { A ,  B }  u.  ( A (,) B
) )  =  ( ( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )
187adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  RR* )
198adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  RR* )
20 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  A  <_  B )
21 prunioo 11413 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  (
( A (,) B
)  u.  { A ,  B } )  =  ( A [,] B
) )
2218, 19, 20, 21syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  ( ( A (,) B )  u. 
{ A ,  B } )  =  ( A [,] B ) )
2317, 22syl5req 2487 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  ( A [,] B )  =  ( { A ,  B }  u.  ( A (,) B ) ) )
2423difeq1d 3472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  ( ( A [,] B )  \ 
( A (,) B
) )  =  ( ( { A ,  B }  u.  ( A (,) B ) ) 
\  ( A (,) B ) ) )
25 difun2 3757 . . . . . . 7  |-  ( ( { A ,  B }  u.  ( A (,) B ) )  \ 
( A (,) B
) )  =  ( { A ,  B }  \  ( A (,) B ) )
2624, 25syl6eq 2490 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  ( ( A [,] B )  \ 
( A (,) B
) )  =  ( { A ,  B }  \  ( A (,) B ) ) )
27 difss 3482 . . . . . 6  |-  ( { A ,  B }  \  ( A (,) B ) )  C_  { A ,  B }
2826, 27syl6eqss 3405 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  ( ( A [,] B )  \ 
( A (,) B
) )  C_  { A ,  B } )
2916, 28, 4, 3ltlecasei 9481 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B )  \  ( A (,) B ) ) 
C_  { A ,  B } )
30 prssi 4028 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  { A ,  B }  C_  RR )
313, 4, 30syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  { A ,  B }  C_  RR )
32 prfi 7585 . . . . 5  |-  { A ,  B }  e.  Fin
33 ovolfi 20976 . . . . 5  |-  ( ( { A ,  B }  e.  Fin  /\  { A ,  B }  C_  RR )  ->  ( vol* `  { A ,  B } )  =  0 )
3432, 31, 33sylancr 663 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( vol* `  { A ,  B }
)  =  0 )
35 ovolssnul 20969 . . . 4  |-  ( ( ( ( A [,] B )  \  ( A (,) B ) ) 
C_  { A ,  B }  /\  { A ,  B }  C_  RR  /\  ( vol* `  { A ,  B }
)  =  0 )  ->  ( vol* `  ( ( A [,] B )  \  ( A (,) B ) ) )  =  0 )
3629, 31, 34, 35syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( ( A [,] B )  \  ( A (,) B ) ) )  =  0 )
37 itgioo.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  C  e.  CC )
382, 6, 36, 37itgss3 21291 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  ( A (,) B )  |->  C )  e.  L^1  <->  ( x  e.  ( A [,] B
)  |->  C )  e.  L^1 )  /\  S. ( A (,) B
) C  _d x  =  S. ( A [,] B ) C  _d x ) )
3938simprd 463 1  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) C  _d x  =  S. ( A [,] B ) C  _d x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    \ cdif 3324    u. cun 3325    C_ wss 3327   (/)c0 3636   {cpr 3878   class class class wbr 4291    e. cmpt 4349   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   Fincfn 7309   CCcc 9279   RRcr 9280   0cc0 9281   RR*cxr 9416    < clt 9417    <_ cle 9418   (,)cioo 11299   [,]cicc 11302   vol*covol 20945   L^1cibl 21096   S.citg 21097
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-inf2 7846  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358  ax-pre-sup 9359  ax-addf 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-disj 4262  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-se 4679  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-ofr 6320  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-2o 6920  df-oadd 6923  df-er 7100  df-map 7215  df-pm 7216  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-fi 7660  df-sup 7690  df-oi 7723  df-card 8108  df-cda 8336  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-div 9993  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-4 10381  df-n0 10579  df-z 10646  df-uz 10861  df-q 10953  df-rp 10991  df-xneg 11088  df-xadd 11089  df-xmul 11090  df-ioo 11303  df-ico 11305  df-icc 11306  df-fz 11437  df-fzo 11548  df-fl 11641  df-mod 11708  df-seq 11806  df-exp 11865  df-hash 12103  df-cj 12587  df-re 12588  df-im 12589  df-sqr 12723  df-abs 12724  df-clim 12965  df-sum 13163  df-rest 14360  df-topgen 14381  df-psmet 17808  df-xmet 17809  df-met 17810  df-bl 17811  df-mopn 17812  df-top 18502  df-bases 18504  df-topon 18505  df-cmp 18989  df-ovol 20947  df-vol 20948  df-mbf 21098  df-itg1 21099  df-itg2 21100  df-ibl 21101  df-itg 21102
This theorem is referenced by:  itgpowd  29588
  Copyright terms: Public domain W3C validator